facultad de ciencias de la salud

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN facultad de ciencias de la salud

CAPITULO I1. Integracin indefinida

El campo vectorial definido asignando a cada punto (x, y) un vector que tiene por pendiente(x) = (x3/3)-(x2/2)-xSe muestran tres de las infinitas primitivas de(x) que se pueden obtener variando laconstante de integracin.En clculo infinitesimal, la funcin primitiva o antiderivada de una funcin f es una funcin F cuya derivada es f, es decir, F = f.Una condicin suficiente para que una funcin f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.Si una funcin f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre s en una constante: siF1yF2son dos primitivas def, entonces existe un nmero realC, tal queF1=F2+C. ACse le conoce comoconstante de integracin. Como consecuencia, siFes una primitiva de una funcinf, el conjunto de sus primitivas esF+C. A dicho conjunto se le llamaintegral indefinidade f y se representa como: El proceso de hallar la primitiva de una funcin se conoce como integracin indefinida y es por tanto el inverso de la derivacin. Las integrales indefinidas estn relacionadas con lasintegrales definidas a travs del teorema fundamental del clculo, y proporcionan un mtodo sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

2. AntiderivadasLa antiderivada es la funcin que resulta del proceso inverso de la derivacin, es decir, consiste en encontrar una funcin que, al ser derivada produce la funcin dada.Ejemplo:Si f(x) = 32, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x).Observe que no existe una derivada nica para cada funcin.Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).La antiderivada tambin se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable deintegracino diferencial de x y C es la constante de integracin.NotacinLa notacin que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

TeoremaSi dos funciones h y g son antiderivadas de una misma funcin f en un conjunto D de nmeros reales, entonces esas dos funcioneshygsolo difieren en una constante.

Conclusin: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de nmeros reales, entonces cualquier antiderivada defes en ese conjunto D se puede escribir

Como constante real.Frmula que relaciona la integral definida y la indefinida

3. Interpretacin geomtrica de la integralSe llama integral indefinida de una funcin y=f(x) al conjunto de todas las primitivas de f. A la integral indefinida de la funcin f se le nota por la expresinY se lee integral de f diferencial de x. Al smbolo que inicia la expresin (y que tiene forma de s alargada) se le llama signo integral y lo que le sigue integrando.Para calcular la integral indefinida de una funcin. Basta con calcular una primitiva y la integral indefinida ser la familia de funciones que resulte de sumar a esa primitiva una constante.

Donde F(x) es una primitiva de f(x).A la constante C se le denomina constante de integracin.se llama integral definida de la funcin f (x) en el intervalo[a, b], y se nota por:

La expresin f(x)dx se llama integrando; a y b son los lmites de integracin; a es el lmite inferior, yb, el lmite superior.Primer teorema fundamental del clculo infinitesimal. Sea f integrable sobre [a, b] y defnaseFsobre [a, b] porSifes continua encde [a, b], entoncesFes derivable enc, y el teorema 1 es interesante en extremo cuandofes continua en todoslos puntos de [a, b]. En este casoFes derivable en todos los puntos de [a,b] y F' = f sifes continua ...,fes la derivada de alguna funcin, a saber, lafuncin

Segundo teorema fundamental del clculo infinitesimal [Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna funcin F, entonces:

A) Integrales inmediatasPara encontrar una primitiva de una funcin dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinacin lineal) enfunciones elementalescuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendoal revs una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

Aqu estn las principales funciones primitivas:Funcin: primitiva deFuncin: derivada de

Por ejemplo, busquemos una primitiva dexx(2-3x). Como no se conocen primitivas de un producto, desarrollemos la expresin:x(2-3x)= 2x- 3x2. 2xes la derivada dex2, 3x2es la dex3, por lo tanto 2x - 3x2 tiene como primitivax2-x3+k. Si adems se pide que la primitiva verifique una condicinF(x0) =y0(que recibe el nombre decondicin inicial cuando se trata de un problema de fsica), entonces la constantekes unvocamente determinada. En el ejemplo, si se imponeF(2) = 3, entonces forzosamentek= 7.B) Mtodo de sustitucinElmtodo de integracin por sustitucin o cambio de variable se basa en la derivada de la funcin compuesta.

Paracambiar de variableidentificamos una parte de lo que se va a integrar con una nuevavariable t, de modo que se obtenga una integralms sencilla.Pasos para integrar por cambio de variable

1 Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos trminos:

Se despejauydx, sustituyendo en la integral:

2Si laintegralresultante es ms sencilla, integramos:

3Se vuelve a lavariable inicial:

Ejemplo

Cambios de variables usuales1.2.3.4.5.En lasfunciones racionales de radicales con distintos ndices, de un mismo radicando lineal ax + b, elcambio de variableestelevado al mnimo comn mltiplo de los ndices.6.Sies par:

7.Sino es par:

Integracin por partes IEl mtodo de integracin por partesse basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunasintegrales de productos.

Tenemos quederivarueintegrarv', por lo que ser conveniente que laintegral dev'seainmediata.Las funciones polinmicas, logartmicas y arcotangente se eligen comou.Las funciones exponenciales y trgonomtricas del tipo seno y coseno, se eligen comov'.

Ejercicio:

4. Integrales de funciones racionalesEn lasintegrales racionalessuponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera as se dividira.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.Dependiendo de las races del denominador nos encontramos con los siguientestipos de integrales racionales:Caso 1: Integrales racionales con races reales simplesLa fraccinpuede escribirse as:

Los coeficientes A, B y C son nmeros que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.Ejemplo

Se efecta la suma:

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.

Caso 2: Integrales racionales con races reales mltiplesLa fraccinpuede escribirse as:

Ejemplo

Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro ms.

Caso 3: Integrales racionales con races complejas simplesLa fraccinpuede escribirse as:

Estaintegralse descompone en una de tipologartmicoy otra de tipoarcotangente.Ejemplo

Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:

4. La integral definidaPropiedades de las sumatoriasResumenEltrabajomuestraproblemasque deben enfrentar a diario los especialistas de diversas ramas del conocimiento, y para su determinacin se trabaja desde el punto de vista terico en la obtencin de expresiones compactas. Tomando en cuenta el amplio espectro de aplicaciones que pueden ser beneficiadas con este tipo de resultado, en el presente trabajo se realiza una recopilacin de las propiedades de las sumatorias reportadas en laliteratura, posterior a lo cual se proponen y demuestran otro conjunto particularmente relevante cuando se trabaja confuncionesde variable discreta cuyo intervalos de variacin son uniformes en todo eldominiode la funcin.

IntroduccinEl estudio de fenmenos yprocesosque ocurren en laNaturalezay laSociedadconduce a la formulacin demodelosque los describen y predicen su comportamiento, los cuales, no obstante su diversidad, pueden agruparse en dos categoras: continuos, como ladescripcinde la transmisin del movimientoa travs de una cuerda, el desplazamiento de un vehculo, etc., o discretos, como la serie de pagos histricos de una entidad, losregistros detemperaturade un pas o territorio, etc.Esta ltima categora, discretos, tiene gran importancia en la actualidad atendiendo al aceleradodesarrollode lastcnicasdigitales, que en la prctica es unprocesodonde toda lainformacin, en ltima instancia, se representa a travs deconjuntosordenados de dosvaloreslgicos: falso o verdadero.En trminosmatemticos, el estudio de las funciones cuya variable dependiente exhibe una variacin discreta constituye una especialidad, que tiene en las sumatorias y series un componente relevante.Tomando en cuenta lo sealado, en el presente trabajo se relacionan un conjunto de propiedades reportadas en la literatura sobre las sumatorias y se deducen otras que pueden facilitar clculos tales como la solucin deSistemasdeEcuacionesLineales resultantes del planteamiento del problema de la obtencin de expresiones analticas para la derivada de funciones de variable independiente discreta.

1. GeneralidadesPor sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito de nmeros, que se denota como sigue:

Donde:S: magnitud resultante de la suma.T: cantidad de valores a sumar.k: ndice de la suma, que vara entre h y h+th: punto inicial de la sumatoriah+t: punto final de la sumatoriank:valorde la magnitud objeto de suma en el punto kUn tipo particular de sumatoria de gran importancia lo es el caso cuando t , que se conoce como serie y se representa de la manera siguiente:

Considerando la amplitud que reviste elanlisisde las series, este tema no ser abordado en este trabajo.2. Propiedades de las sumatoriasEntre las propiedades generales de las sumatorias reportadas en la literatura se encuentra las once que se relacionan a continuacin, cuya demostracin se realiza utilizando elprocedimientomatemtico deInduccinCompleta.

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Propiedad #1:Propiedad #2:Propiedad #3:Propiedad #4:Propiedad #5:Propiedad #6:Propiedad #7:Propiedad #8:Propiedad #9:Propiedad #10:

Propiedad #11:En la prctica existen mltiples problemas cuya solucin conduce alclculode sumatorias que cumplen con requisitos especiales, como es el caso de la solucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales resultante para la determinacin de lasderivadasde funciones con intervalo de variacin uniforme de la variable dependiente; los problemas que exhiben simetra, etc., bajo cuyas condiciones es posible obtener expresiones tiles de trabajo, que simplifican lasoperacionesa realizar, entre las que pueden sealarse las que se deducen a continuacin.3. Considerando simetra en el recorrido del ndice de la sumaUna condicin que trata de utilizarse siempre que sea posible, ya que simplifica los clculos en los modelos de fenmenos o procesos, es la simetra, la que en trminos de las sumatorias esta caracterstica se corresponde con la variacin del ndice de la suma en el intervalocomo se indica a continuacin:

Bajo estahiptesisde trabajo, es posible obtener el conjunto de propiedades que se demuestran a continuacin.Propiedad #1:Demostracin:

Propiedad #2:Demostracin:

Propiedad #3:

Propiedad #4:

Propiedad #5:

5. Solucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales con variable independiente de la forma x kD xUna aplicacin en la cual las sumatorias simtricas adoptan un trmino interesante es el caso de la obtencin de expresiones analticas por el clculo de las derivadas de funciones de variable discreta, en el cual es comn trabajar con trminos de la formaelevado a una ciertapotencia. A continuacin se deducen cinco propiedades de granutilidadprctica.Propiedad #1:Clculo de

Propiedad #2:Clculo de

Propiedad #3:Clculo de

Propiedad #4:Clculo de

Propiedad #5: Clculo de

Propiedad #6:Clculo de

6. rea de una regin plana por sumatoria

El rea de la regin R est dada por:

Al aplicar la frmula o Ecuacin recordemos que y para i=0, 1, 2, ..n pues xi est a i pasos de longitud a la derecha de

Ejemplos

1) Determinar el rea bajo la grfica de f(x)=x2 en el intervalo .

Solucin:

Si dividimos 0, 3 en n subintervalos, de la misma longitud.

Por tanto: sustituimos

aplicando propiedad de sumatorias,

= aplicamos la frmula de sumatoria

Aplicamos lmite cuando

Pues y tienden a cero cuando

... A = 9u2

7. Particin de un intervalo cerrado

7.1. Particin de un intervalo [a, b]Una particin del intervalo [a, b] es una coleccin de intervalos contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningn punto en comn) y cuya unin es [a,b]. La particin de un intervalo queda determinada por los extremos de los nuevos intervalos, y por esto, la particin se suele expresar nombrando dichos extremos. En la figura, la particin de [a, b] es:

7.2. Definicin de particinSea a