MATEMÁTICAS V

PROGRAMA: I INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN. 1.- Diferencial de una función. 2.- Funciones primitivas e integrales indefinidas. 3.- Formulario. 4.- Integrales reducidas a las inmediatas. 5.- Sustitución trigonométrica. II INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS. 1.- Integración de las potencias del seno y de coseno. 2.- Integración de las potencias de la tangente y de la cotangente. 3.- Integración de las potencias de la secante y de la cosecante. 4.- Formulas de reducción. III INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 1.- Caso I. 2.- Caso II. 3.- Caso III. IV INTEGRACIÓN POR PARTES. 1.- Descripción del método. 2.- Ejemplos ilustrativos. V INTEGRACIÓN DE LAS FRACCIONES RACIONALES. 1.- Factores de un Polinomio. 2.- Descomposición de las fracciones racionales en fracciones simples. 3.- Los cuatro casos de integración. VI LA INTEGRAL DEFINIDA. CONSTANTE DE INTEGRACIÓN. 1.- Derivada de un área plana. 2.- Definición de la integral definida. 3.- Signos de áreas planas. VII APLICACIONES GEOMETRICAS. 1.- Cálculo de áreas simples. 2.- Área entre dos curvas. 3.- Volúmenes de revolución. 4.- Volúmenes de sólidos de sección conocida. VIII INTEGRALES DOBLES. 1.- Definición de la Integral Doble 2.- Momentos estáticos y centroides.

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS:

01) ∫ (du + dv - dw) = ∫ du + ∫ dv - ∫ dw

02) ∫ a dv = a ∫ dv

03) ∫ dx = x + c

04) ∫ v n dv = v n+1 + c

n+1

05) ∫ dv / v = ln v + c

06) ∫ a v dv = a v + c

ln a

07) ∫ e v dv = e v + c

08) ∫ sen v dv = - cos v + c

09) ∫ cos v dv = sen v + c

10) ∫ sec2 v dv = tg v + c

11) ∫ csc2 v dv = - cot v + c

12) ∫ sec v • tg v dv = sec v + c

13) ∫ csc v • ctg v dv = - csc v + c

14) ∫ tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c

15) ∫ ctg v dv = ln sen v + c

16) ∫ sec v dv = ln (sec v + tg v) + c

17) ∫ csc v dv = ln (csc v - ctg v) + c dv == 1 arc tg v + c v2 + a2 a a dv == 1 ln v - a + c v2 - a2 2a v + a dv == 1 ln a + v + c a2 - v2 2a a - v

18) ∫

19) ∫

20) ∫

APLICACIÓN DE LAS FÓRMULAS 18-20 Ejercicios del Granville páginas: 248-249. Se quitan los radicales 3,4,6,12,15,16, 17,18,23-26,28 Ejercicios páginas: 250-252. Se usa el término de completar cuadrados, quitar: 4,7,10,11,14,17,21-28,29-31,33,38,39. Ejercicios páginas: 253-254. Son los que utilizan un artificio matemático, quitar: 2,3,5,6,8,13-18,22,23,25,27-29,31,34.

INTEGRACIÓN DE DIFERENCUALES TRIGONOMÉTRICAS: CASO I : INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ sen u • cos u du n m m o n : Entero positivo impar y no importa lo que sea el otro Identidad usada: sen2 A + cos2 A = 1 Fórmula usada:

∫ v n dv = v n+1 + c

n+1 El impar se separa en dos factores. EJEMPLOS: GRANVILLE pág. 257

∫ sen2 x cos5 x dx

∫ sen3 x dx

∫ sen2 x cos x dx CASO II. INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ tg n v dv o ∫ ctg n v dv n: entero positivo. Identidad usada: sec2 A - tg2 A = 1 csc2 A - ctg2 A = 1

Fórmula usada:

∫ v n dv = v n+1 + c

n+1 EJEMPLOS:

∫ tg4 x dx = ∫ tg2 x tg2 x dx = ∫ tg2 x (sec2x - 1) dx

= ∫ sec2 x tg2 x dx - ∫ tg2 x dx = 1 tg3 x - ∫ (sec2x - 1) dx 3 = 1 tg3 x - tg x + c 3

∫ ctg3 x dx = ∫ ctg2 x ctg x dx = ∫ ctg x (csc2x - 1) dx CASO III. INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ sec n v dv o ∫ csc n v dv n: entero positivo par. NOTA: Para el impar se usa integración por partes . Identidad usada: sec2 A - tg2 A = 1 csc2 A - ctg2 A = 1 Fórmula usada:

∫ v n dv = v n+1 + c

n+1 EJEMPLOS:

∫ sec4 2x dx =

∫ csc 6 x dx = CASO IV. INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ tg m v • sec n v dv o ∫ ctg m v • csc n v dv CUANDO: n: entero positivo par se procede como caso III. EJEMPLOS:

∫ tg6 x sec4 x dx =

∫ tg5 x sec3 x dx = CASO V. INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ sen m v • cos n v dv m y n: enteros positivos pares. Identidad de Angulos Dobles: sen u • cos u = 1/2 sen 2u 2 sen u • cos u = sen 2u sen2 u = 1/2 - 1/2 cos 2u cos2 u = 1/2 + 1/2 cos 2u

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA:

Teorema de Pitágoras: a c c2 = b2 + a2 de donde: C A c = √ b2 + a2 , b = √ c2 - a2 , a = √ c2 - b2 b sen A = c.o. / h sec A = h / c.a. cos A = c.a. / h csc A = h / c.o. tg A = c.o. / c.a. ctg A = c.a. / c.o. I CASO: INTEGRALES QUE CONTIENEN : √ a2 - v2

dv = a cos z dz a v sen z = v / a v = sen z • a √ a2 - v2 cos z = √ a2 - v2 √ a2 - v2 = a cos z a EJEMPLOS: 1)

x2 dx == √ 4 - x2

B

Z

∫

dv = 2 cos z dz x 2 sen z = x / 2 v = 2 sen z √ 4 - x2 cos z = √ 4 - x2 √ 4 - x2 = 2 cos z 2

(2 sen z)2 • 2 cos z dz == 2 cos z

2) √ 16 - x2 dx == x2

3) dx == (5 - x2) 3/2 dx == (√ 5 - x2 )2

dv = 2 cos z dz x √ 5 v = 2 sen z √ 5 - x2 √ 4 - x2 = 2 cos z

√ 5 cos z dz == . dz == (√ 5 cos z)3 5 cos2 z

= 1/5 tg z + c = 1 x + c 5 √ 5 - x2

Z

∫ 4 ∫ sen 2 z dz

∫

∫ ∫

∫

Z

∫ ∫ 1/5 ∫ sec 2 z dz =

II CASO: INTEGRALES QUE CONTIENEN :

√ v2 - a2

dv = a sec z tg z dz √ a2 - v2 v sec z = v / a v = sec z • a a tg z = √ v2 - a2 √ v2 - a2 = a tg z a

III CASO: INTEGRALES QUE CONTIENEN : √ v2 + a2

dv = a sec2 z dz v √ a2 - v2 tg z = v / a v = tg z • a a sec z = √ a2 + v2 √ a2 + v2 = a sec z a

INTEGRACION POR PARTES:

∫ u dv = uv - ∫ vdu u y v son funciones de la misma variable independiente. Se separa el integrando en dos partes, una se iguala a u, la otra se iguala a dv (con dx) y debe ser fácilmente integrable.

∫ v du no debe ser más complicada que ∫ u dv SUGERENCIAS:

∫ (algebraica) (trigonométrica) dv u = algebraica

∫ (algebraica) (exponencial) dv dv = trigonométrica ; exponencial

∫ (algebraica) (logaritmica) dv u = log ; inv. trigonométrica

∫ (algebraica) (inv. trigonométrica) dv dv = algebráica o dx en caso de no aparecer la algebráica.

Z

Z

NOTA: Para logaritmos se tiene la fórmula:

∫ ln u du = u (ln u - 1) + c

∫ sec3 z dz = ∫ sec z • sec2 z dz

u = sec z du =sec z tg z dz dv = sec2 z dz v = tg z

∫ sec3 z dz = sec z tg z - ∫ tg z • sec z • tg z dz

∫ sec3 z dz = sec z tg z - ∫ tg2 z • sec z dz

∫ sec3 z dz = sec z tg z - ∫ (sec2 z - 1) • sec z dz

∫ sec3 z dz = sec z tg z - ∫ sec3 z dz + ∫ sec z dz

∫ sec3 z dz = sec z tg z - ∫ sec3 z dz + ∫ sec z dz

∫ sec3 z dz + ∫ sec3 z dz = sec z tg z + ln(sec z + tg z) + c

2 ∫ sec3 z dz = sec z tg z + ln(sec z + tg z) + c

∫ sec3 z dz = sec z tg z + ln(sec z + tg z)

+ c

2

∫ ln(x2 + 2) dx =

u = ln(x2 + 2) du = 2x dx / (x2 + 2) dv = dx v = x

∫ ln(x2 + 2) dx = x ln(x2 + 2) - ∫ x • 2x dx / (x2 + 2)

= x ln(x2 + 2) - 2 ∫ x2 dx / (x2 + 2)

∫ x √ 1 + x dx =

u = x du = dx dv = √ 1 + x dx v = (2 / 3) √ (1 + x )3

= (2x / 3) √ (1 + x )3 - (2 / 3) ∫ √ (1 + x )3 dx

∫ ex cos x dx = u = ex du = ex dx dv = cos x dx v = sen x

∫ ex cos x dx = ex sen x - ∫ ex sen x dx u = ex du = ex dx dv = sen x dx v = - cos x

∫ ex cos x dx = ex sen x - [- ex cos x - ∫ - (ex cos x) dx ] ∫ ex cos x dx = ex sen x + ex cos x - ∫ ex cos x dx

2 ∫ ex cos x dx = ex sen x + ex cos x + c

∫ ex cos x dx = (ex sen x + ex cos x )/2 + c Fracciones propias son aquellas que tienen el grado del numerador menor que el denominador. Fracciones impropias son aquellas que tienen el grado del numerador mayor o igual al del denominador en cuyo caso se realiza una división, resultando un cociente más una fracción propia.

INTEGRACION DE FRACCIONES RACIONALES. CASO I.- Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y ningún factor se repite. Ejemplo:

(3-x) dx = x3+4x2+3x

Factorizando el denominador: x3+4x2+3x = x(x2+4x+3) = x(x+3)(x+1)

(3-x) dx = (3-x) dx = x3+4x2+3x x(x+3)(x+1)

Aplicación de la teoría de las Fracciones Racionales

∫

∫ ∫

3-x = A + B + C x(x+3)(x+1) x x+3 x+1 3-x = A(x+3)(x+1) + B(x)(x+1) + C(x)(x+3) si: x = 0 3 = A(3)(1) A = 1 ALGEBRA x = -3 6 = B(-3)(-2) B = 1 x = -1 4 = C(-1)(2) C = -2 CASO II.- Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y algunos se repiten. Ejemplo:

(x3+1) dx = x(x-1)3 ( x3+1) dx = (3-x) dx = x(x-1)3 x(x-1)(x-1)(x-1)

Aplicación de la teoría de las Fracciones Racionales x3+1 = A + B + C + D x(x-1) 3 x ( x-1) 3 ( x-1) 2 ( x-1) x3+1 = A(x-1)3 + B(x) + C(x)(x-1) + D(x)(x-1)2

CASO III.- Cuando el denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno de estos factores se repite. Ejemplo:

4 dx = x 3+4x

INTEGRALES POR SUSTITUCION DE UNA NUEVA VARIABLE

Diferenciales que contienen potencias fraccionarias de x (RACIONALIZACION). x = zn

n = denominador común menor de los exponentes fraccionarios de x. x, dx y cada radical puede expresarse racionalmente en términos de z

∫

∫ ∫

∫

Ejemplo: x1/2 dx = 1+x 3/4

n = 4 x = z4

x1/2 = z2

x3/4 = z3

dx = 4z3 dz

x1/2 dx = z2 (4z3)dz = z5 dz 1+x3/4 1+z3 1+z3

División:

z2 z3+1 z5 -z5-z2

-z2

( z2 - z2 )dz = z2 dz - z2 dz z 3+1 . z3+1

= (4/3) z3 - (4/3) ln(z3 + 1) + c = (4/3) x3/4 - (4/3) ln(x3/4 + 1) + c Diferenciales que contienen potencias fraccionarias de ax + b: ax + b = zn

n = denominador común menor de los exponentes fraccionarios de ax + b. Ejemplo:

dx = (x+1)3/2 + (x+1)1/2

n = 2 x+1 = z2

x = z2 - 1

dx = 2z dz (x + 1)3/2 = z3

(x + 1)1/2 = z

∫

∫ ∫ 4∫

∫ 4∫ 4∫

∫

dx = 2z dz = dz (x+1)3/2 + (x+1)1/2 z3+z z2+1

= 2 arc tg z + c = 2 arc tg (x + 1)1/2 + c

TRANSFORMACION DE DIFERENCIALES TRIGONOMETRICAS tg u = z du = 2 dz 2z 1+z2 a 1+z2 sen u = 2z cos u = 1-z2 1 - z2 1+z2 1+z2

CONSTANTE DE INTEGRACION:

En cada punto de cierta curva y'' = x. Hallar la ecuación de la curva, sabiendo que pasa por el punto (3,0) y tiene en ese punto la pendiente 7/2

∫ y'' = ∫ x y' = x2/2 + c' 7/2 = 32/2 + c' c' = 7/2 - 9/2 c' = -1

y' = ∫ (x2/2 - 1) dx y = x3/6 - x + c 0 = 33/6 - 3 + c c = 3 - 27/6 c = - 3/2 Ecuación: y = x3/6 - x - 3/2 En cada punto de cierta curva es y'' = 12/x3, hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el punto (1,0) y es tangente en ese punto a la recta 6x+y=6.

Sol. xy+6x=6 En cada punto de cierta curva es y'' = 3/√x+3 , hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el punto (1,1) y tiene una inclinación de 45o en ese punto.

∫ ∫ 2∫

u

TEOREMA:

∫ f(x) dx = F(b) - F(a)

∫ (2x+1) (x2+x)1/2 dx = 59.63

∫ (x1/3+x4/3)dx = 65.68

∫ sen3 2x • cos 2x dx =

INTEGRALES MULTIPLES:

∫ ∫ (x+y) dy dx = 2a3/3

∫ ∫ (a-y)x2 dy dx = 7a2b3/6 Son expresiones diferenciales que contienen dos o más variables independientes que se integran considerando en primer lugar que una sola de ellas varía y que todas las otras son constantes. Entonces se integra el resultado dejando variar alguna otra de las variables y manteniendo las otras como constantes y así sucesivamente.

∫ ∫ (x+2) dy dx = 5

∫ ∫ y dy dx =

∫ ∫ dy dx =

∫ ∫ y dx dy =

∫ ∫ y dy dx =

∫ ∫ (x+2y) dx dy =

∫ ∫ xy dx dy =

∫ ∫ (x+y) dy dx =

a

b

0

4

1

8

0

¶

0

a

0

√a2-x2

b

2b

0

a

0

1

0

2

0

4

0

x

0

a

0

√x

1

2

0

y/2

0

2

0

x2

1

2

y

y2

0

-1

y+1

2y

-1

1

0

x2

FRACCIONES RACIONALES CASO I.

(4x-2) dx = x(x-2)(x+1)

4x-2 = A + B + C x(x-2)(x+1) x x-2 x+1 4x-2 = A(x-2)(x+1) + B(x)(x+1) + C(x)(x-2)

(4x+3) dx = x(2x+3)(2x+1)

(2-x2) dx = x(x+2)(x+1)

(x2-3x+1) dx = (x-1)(x+2)(x-3)

CASO II.

(x-3) dx = x2(x+1)2

x-3 = A + B + C + D x2(x-1)2 x2 x ( x+1) 2 ( x+1) x-3 = A(x+1)2 + B(x)(x+1)2 + C(x)2 + D(x)2(x+1) si: x = 0 -3 = A(1) A = -3 x = -1 -4 = C(-1)2 C = -4 x = 1 -2 = (-3)(4) + B(1)(4) + (-4)(1) + D(2) -2 = -12+4B-4+2D

0 = -14+4B+2D 0 = -7+2B+D 1

x = 2 -1 = (-3)(9) + B(2)(9) + (-4)(4) + D(4)(3) -1 = -27+18B-16+12D

0 = -42+18B+12D

0 = -7+3B+2D 2

1.-∫

2.-∫

3.-∫

4.-∫

1.-∫

De las ecuaciones 1 y 2: 0 = -7+2B+D 0 = 14-4B-2D

0 = -7+3B+2D 0 = -7+3B+2D 0 = 7-B B = 7 0 = -7+2(7)+D 0 = -7+14+D 0 = 7+D D = -7

(3x2+5x) dx = (x-1)2(x+1)2

(3x2+5x) = A + B + C + D (x-1)2(x+1)2 ( x-1)2 ( x-1) ( x+1)2 ( x+1)

(x2-3x+1) dx = (x-1)3

(x2-3x+1) = A + B + C (x-1)3 ( x-1)3 ( x-1)2 ( x-1)

x2-3x+1 = A + B(x-1) + C(x-1)2 si: x = 1 -1 = A(1) A = -1 x = 0 1 = -1-B+C 0 = -2-B+C 1 x = -1 1+3+1 = -1+B(-2)+C(4)

5 = -1-2B+4C 0 = -6-2B+4C 0 = 3+B-2C 2

De las ecuaciones 1 y 2: 0 = -2-B+C

0 = 3+B-2C 0 = 1-C C = 1 0 = -2-B+1 0 = -1-B B = -1

2.-∫

3.-∫

(x+3) dx = (x-2)3

CASO I y II.

(3x2+5x) dx = (x-1)

9x2 dx = (2x+1)(x+2)2

dx = (x-1) (x+1)(x-3)2

(x4-3x2+1) dx = x2(x-1) (x+1)2

CASO I y III.

(4x2+6) dx = x(x2+3)

(x2+x) dx = (x-1)(x2+1)

(2y3+y2+2y+2) dx = (y2+2)(y2+1)

(x2-3x+1) dx = (x-1)(x+1)(x2+3x+4)

CASO IV.

(x3-3x2+1) dx = (x2+2x+2)(x2-3x+5)

4.-∫

1.-∫

2.-∫

3.-∫

4.-∫

1.-∫

2.-∫

3.-∫

4.-∫

1.-∫

AREAS: Determinar el área de la superficie limitada por la circunferencia x2+y2=16 y la elipse 9x2+16y2=144. x2+y2=r2 c(0,0) figura:

9x2+16y2 = 144 x2

+ y2

= 1 c(0,0) v(±4,0) (9)(16) 144 16 9 a2=b2+c2 16-9=c2 c=√7

√16-x2 - √144-9x2 dx = 4

y = √16-x2 y = √144-9x2 = 9 (16 - x2) = (3/4)√16-x2 4 16

√16-x2 - (3/4) √144-9x2 dx = (1/4) (√144-9x2 ) dx

Hallar el área limitada por las siguientes curvas: y2+x-6y+3=0 1 (parábola) x-4y+11=0 2 (recta) 2x+y-5=0 3 (recta) Parábola: y2-6y+3=-x

4

4

4 4

∫ -4

4 ( )

√

∫ -4

4 ( ) ∫ -4

4

y2-6y+9 = -x+6 (y-3)2 = -(x-6) Vértice (6,3)p Corte en el eje X y Y: Si: y=0 x = -3 (-3,0) x=0 y2-6y+3 = 0 y = 6 ±√ 36-12 = 6 ±√ 24 2 2 y1 � 5.45 (0,5.45)

y2 � 0.56 (0,0.56) Intersecciones de 1 y 2: y2+x-6y+3=0 1 (parábola) x-4y+11=0 2 (recta) y2+x-6y+3 = x-4y+11 y2-2y-8 = 0 (y-4)(y+2) = 0 y1 = 4 x1 = 5 (5,4)

y2 = -2 x2 = -19 (-19,-2)

La ecuación de la curva OA es y2 = x3. Hallar el volumen del sólido que se engendra cuando la superficie: solución

a) OAB gira alrededor de OX 64 ¶ b) OAB gira alrededor de AB (1024 ¶) / 35 c) OAB gira alrededor de CA (704 ¶) / 5 d) OAB gira alrededor de OY (512 ¶) / 7 e) OAC gira alrededor de OY (384 ¶) / 7 f) OAC gira alrededor de CA (576 ¶) / 5 g) OAC gira alrededor de AB (3456 ¶) / 35 h) OAC gira alrededor de OX 192 ¶

CENTROS DE GRAVEDAD: El centro de gravedad de una superficie plana se define del modo siguiente: Un trozo de cartón rígido, plano y horizontal permanecerá en equilibrio. Si se sostiene en un punto determinado. Este punto de apoyo es el CENTRO DE GRAVEDAD de la superficie plana del cartón. Para un rectángulo o un círculo, el centro de gravedad son evidentes.

y y = f(x)

• x y x a b Momento de Superficie: Producto de su área por la distancia de su centro de gravedad. Mx = yA y = Mx A My = xA x = My A y y = f(x)

k = y/2

• h = x x a b dA = y dx d Mx = k dA

A = ∫ y dx Mx = ∫ k dA

d My = h dA = x dA Mx = ∫ y/2 dA

My = ∫ x dA Mx = ∫ y/2 y dx

My = ∫ xy dx Mx = (1/2) ∫ y2 dx

h y

k

a

b

a

b

a

b

a

a

b

a

b

a

a

b

a

b

a

EJEMPLOS: Hallar el centro de gravedad de cada una de las superficies limitadas por las siguientes curvas: 1) y = x3 x = 2 y = 0 gráfica:

A = ∫ x3 dx = [x4/4] = [ 24/4] = 16/4 = 4 A = 4

Mx = (1/2) ∫ (x3)2 dx = (1/2) ∫ x6 dx = [(1/2)(x7/7)] = [(1/2)(27/7)] = [26/7] = 64/7 Mx = yA y = Mx A y = Mx = (64/7) = 64 = 32 = 16 A 4 28 14 7

My = ∫ (x)x3 dx = ∫ x4 dx = [x5/5] = [25/5] = 32/5 My = xA x = My A x = My = (32/5) = 32 = 16 = 8 A 4 20 10 5 8 16 CENTRO DE 5 , 7 GRAVEDAD.

2

2

0 2 0

2

0

2

0 2 0

2

0

2

0 2 0

( )

2) x = 4y-y2 y = x y2-4y = -x y2-4y+4 = -x+4 (y-2)2 = -(x-4) v(4,2) Puntos de intersección: y = 4y-y2 y2 -3y = 0 y(y-3) = 0 y1 = 0 x1 = 0 (0,0) y2 = 3 x2 = 3 (3,3) EJERCICIOS: 1) Hallar el área limitada por las parábolas y = 6x-x2 y y = x2-2x . 2) Hallar el área de las superficie limitada por la recta 3x-2y-5=0 y la parábola: x2-2x-4y+5=0. Volumen: 1) Hallar el volumen que se engendra al hacer girar alrededor de lo que se indica la

superficie limitada por la curva y2 = 4x, el eje x y la recta x = 4. 2) Hallar el volumen que se genera al hacer girar alrededor del eje x la superficie que se

forma entre la curva y = -x2-3x+6 y x+y-3 = 0. Hallar el volumen que se genera al hacer girar alrededor del eje x la superficie que se forma entre la curva y = -x2-3x+6 y x+y-3 = 0. y = -x2-3x+6 x+y-3 = 0. x2+3x-6 = -y x2+3x+9/4 = -y+6+9/4 (x+3/2)2 = -y+33/4 (x+3/2)2 = -(y-33/4) vértice(-3/2 , 33/4) Puntos de intersección: y = -x2-3x+6 y = -x+3. -x2-3x+6 = -x+3. -x2-2x+3 = 0 x2+2x-3 = 0 (x+3)(x-1) = 0

x1 = -3 y1 = 6 (-3,6) x2 = -1 y2 = 2 (1,2) Centro de Gravedad: 1) Determinar el centro de gravedad en el primer cuadrante de la parábola y = 4-x2, x = 2, y = 0. x2 = 4-y x2 = -(y-4) v(0,4)

A = - ∫ (4-y)1/2 -dy = [-(2/3)(4-y)3/2] A = -(2/3)√ (4-3)3 -[-(2/3)√ (4-0)3 ] = -2/3+4/3 = 2/3

Mx = -(1/2) ∫ (4-y) dy = -[(1/4)(4-y)2] = (-1/4) - [-16/4] = -1/4+16/4 = 15/4 y = Mx = (15/4) = 45 A 2/3 8

My = ∫ (y)x dy = ∫ (y)√ (4-y) dy

My = ∫ (y)(4-y)1/2 dy 4-y = z2 y = 4-z2

dy = -2zdz

(4-y)1/2 = z

My = ∫ (4-z2) z (-2z) dz

My = -2 ∫ (4-z2) z2dz = -2 ∫ (4z2-z4)dz My = -(2/3)(4z3)+(2/5)(z5) My = -(2/3)(4(3)3)+(2/5)(35) = -(8/3)(27) + 486/5 = -72+486/5 = 25.5

3

0 3 0

0 3 0

3

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

[ ] 3

0

[ ]

My = xA x = My A x = My = (25.2) = 37.8

A 0.66

VOLUMEN:

V = ¶ ∫ (y12- y2

2) dx

V = ¶ ∫ (y1-y2)2 dx

Ejercicios: ay = x√ (a2-x2) x = 0 x = a y = (x/a)√ (a2-x2)

∫ (x/a)√ (a2-x2) dx = (-1/2a) ∫ (a2-x2)1/2 (-2x) dx = (-1/3a) (a2-x2)3/2 = (-1/3a) (a2-a2)3/2 - (-1/3a) (a2-02)3/2 = (-1/3a) (0)3/2 - (-1/3a) (a)3 = 0 + (1/3)(a)2 = a2/3

(7-2x) dx = (x-1)(x2+2x-8)

7-2x = A + Bx+C (x-1)(x2+2x-8) x-1 (x2+2x-8) 7-2x = A(x2+2x-8) + (Bx+C)(x-1) si: x = 1 5 = A(-5) A = -1 x = 0 7 = (-1)(-8) + C(-1) C = 8-7 C = 1

b

a

a

b

0

a

0

a

[ ] a

0

[ ] [ ]

1.-∫

x = -1 9 = (-1)(1-2-8) + (-B+1)(-2) 9 = 9+2B-2

2B = 2 B = 1

7-2x = -1 + x+1 dx (x-1)(x2+2x-8) x-1 (x2+2x-8)

= -dx + 2( x+1 )dx x-1 (x2+2x-8) EJERCICIOS:

dx = (x3-1)

(x2-2x+3) dx = (x3-4x2+x+6)

(7-2x) dx = (x-1)(x2+2x-8)

(1+x)1/2 dx = (1-x) x dx = (1+x1/2)

dx = 2(x1/2) + (x1/3)

dx = 4+5(Cos x)

dx = 2(Sen x) - Cos x + 3

Cos x dx = 5 - 3(Cos x)

10.- La segunda derivada es igual a 6x+2. Hallar la ecuación de la curva si se sabe que pasa por (1,3) y el valor de la pendiente es igual a 3 en ese punto

∫ ∫( )

∫ 1/2∫

1.-∫

2.-∫

3.-∫

4.-∫

5.-∫

6.-∫

7.-∫

8.-∫

9.-∫

11.- Determinar la ecuación de la curva que pasa por el punto (4,2) y cuya primera derivada es 2x-1. 12.- En cada punto de cierta curva la y'' = 3/(x+3)1/2. Hallar la ecuación de la curva si se sabe que pasa por el punto (1,1) y tiene una inclinación de 45o en ese punto. 13.- Calcular el Área de la superficie limitada por y = x3/2, y = 2x. 14.- Calcular el área limitada por y = x+1, el eje "Y" y las rectas y = -2, y = 3. 15.- Hallar el área de una arcada de la función y = Sen x.

16.- ∫ 9x2 (e) dx = (-9/3) ∫ (e) (-3x2) dx = -3 e + c d(-x3) = -3x2 dx

dx = 1 - Cos x

(1+Cos x) dx = (1+Cos x) dx = (1+Cos x) dx = (1-Cos x)(1+Cos x) (1-Cos2 x) (Sen2 x)

dx + (Cos x) dx = (Sen2 x) (Sen2 x)

∫ Csc2 x dx + ∫ (Sen-2 x)(Cos x) dx = - Ctg x - Sen-1 x + c

Csc x Ctg x dx = 5 - 4Csc x

4(Csc x Ctg x) dx = (1/4) ln (5-4Csc x) + c 5 - 4Csc x

d(5-4Csc x) = 4Cscx x Ctg x dx

dx = 25x2+4

5 dx = (1/10) arc tg (5x/2) + c (5x)2+4

-x3

17.-∫

18.-∫

19.-∫

-x3 -x3

∫ ∫ ∫

∫ ∫

1/4∫

1/5∫

dx = 2+2x-x2

dx = . dx = . dx -(x2-2x-2) x2-2x+1-2-1 (x-1)2-3

== - 1 ln x-1-√√ 3 + c

2√√ 3 x-1+√√ 3

(2x+6) dx = x2+2x+6

DERIVADA: Hallar la derivada de las siguientes funciones: 1.- y = 4-3x-2x3 y' = -3-6x = -3(1+2x) 2.- y = 1 = (9-x2)-1/2 √ 9-x2

y' = -1 (9-x2)-3/2 (-2x) = x 2 (9-x2)3/2 3.- x2-xy = 5 2x-xy'-y = 0 xy' = 2x-y y' = (2x-y)/x 4.- y = √ 4+x2

x y' = x (1/2) (4+x2)-1/2(2x) - (4+x2)1/2 (1) = x2 (4+x2)-1/2 - (4+x2)1/2

x2 x2

5.- y = x√ 2+3x

y' = x (1/2) (2+3x)-1/2 (3) + (2+3x)1/2 (1) y' = (3x/2) (2+3x)-1/2 + (2+3x)1/2

6.- y = ln x3

20.-∫

21.-∫

∫ ∫ ∫ ∫

( )

y' = (1/x3)(3x2) = 3/x

7.- y = x ex

y' = x ex + ex (1) = ex (x+1)

8.- y = tg √ 1-x

y' = sec (1-x)1/2 (1/2) (1-x)-1/2(-1) = - Sec√√ 1-x

2√√ 1-x 9.- y = e2x Sen 2x y' = e2x (Cos 2x) (2) + Sen 2x (e2x) (2)

y' = 2e2xCos 2x + 2e2x Sen 2x = 2e2x(Sen 2x + Cos 2x) 10.- y = arc Sen √ x

y' = (1/2) (x)-1/2 = 1

√ 1- (x1/2)2 2√√ x (1- x) Ejercicios de Geometría Analítica: Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (0,-4/3) y cuya directriz es la recta y-4/3 = 0. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (3,2) y foco(5,2). Hallar la ecuación de la parábola de foco(6,-2) y directriz la recta x-2 = 0. Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (2,3) de eje paralelo al "Y" y pasa por el punto (4,5). (x-h)2 = 4p (y-k)

(4-2)2 = 4p (5-3) 4 = 4p(2) 4/8 = p = 1/2 (x-2)2 = 4(1/2)(y-3) (x-2)2 = 2(y-3)

Hallar la ecuación de la parábola de eje paralelo al de coordenadas "X" y pasa por los puntos (-2,1) (1,2) (-1,3). Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice esta sobre la recta 2y-3x = 0 , que su eje sea paralelo al de coordenadas "X" y pasa por los puntos A(3,5) y B(6,-1).

EXAMEN 1

x + 1 3 x dx = x3 + 3x2

+ 3x + 1 x dx = 2 8 2 4

= (1/8) ∫ x4 dx + (3/2) ∫ x2 dx + (3/4) ∫ x3 dx + ∫ x dx = x5/40 + x3/2 + (3/4)(x4/4) + x2/2 + c = x5/40 + x3/2 + 3x4/16 + x2/2 + c

x2 dx = . 3x2 dx =

x3+5 . x3+5

v = x3+5 dv = 3x2 dx = (1/3) in (x3+5) + c

x3 dx =

x-1

x2+x+1 x-1 x3

-x3+x2

-x2+x

-x+1

x3 dx = x2 dx + x dx + dx + dx =

x-1

= x3/3 + x3/2 +x + ln(x-1) + c t dt = (t2-2)-1/3 (2t) dt (t2-2)1/3

= (3/4) (t2-2)2/3 + c

AREAS:

1.- Hallar el área limitada por las siguientes curvas

x2+y2 = 9 y = x+3

1.-∫ ( ) ∫ ( )

2.-∫ ( ) 1/3∫ ( )

3.-∫ ( )

∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ x-1

4.-∫ 1/2∫

figura:

x2+(x+3)2 = 9 x2+x2+6x+9 = 9 2x2+6x = 0 2x(x+3) = 0

x1 = 0 y1 = 3 (0,3) x2 = -3 y2 = 0 (-3,0)

A = ∫∫ (x+3+√√ x2+9 ) dx 2.- Hallar el área limitada por las siguientes curvas

y = -x2+8x-5 y = x+1

figura:

y = -(x2-8x+5)

-y+11 = x2-8x+5+11 -y+11 = x2-8x+16 -(y-11) = (x-4)2 (x-4)2 = -(y-11) v(4,11)

2

0

Puntos de Intersección: x+1 = -x2+8x-5 0 = -x2+7x-6 0 = x2-7x+6 0 = (x-6)(x-1)2

x1 = 6 y1 = 7 (6,7) x2 = 1 y2 = 2 (1,2)

A = ∫∫ (-x2+8x-5-x-1 ) dx = ∫∫ (-x2+7x-6) dx A = -(x3/3) + (7x2/2) - 6x = [-(63/3) + (7(6)2/2) - 6(6)] - [-(13/3) + (7(1)2/2) - 6(1)] A = -216/3 +252/2 -36 +1/3 -7/2 +6 = -215/3 + 245/2 -30 A = (-430 +735)/6 -30 = 305/6 - 30 A = (305-180)/6 = 125/6 u2

6

1

6

1

[ ] 6

1