PRACTICA Nº1

CIFRAS SIGNIFICATIVAS, PROPAGACIÓN DE ERRORES Y

TRATAMIENTO ESTADÍSTICO DE RESULTADOS.

INTEGRANTES:

-Ríos Rivera, Edgar

-Gavino Jiménez, Paolo Jesús

-Ávila Bernal, Marcelo Alex

-Gonzales Flores, Gianmarco

-Gallardo Rea, Carlos

CURSO:

-Análisis Instrumental

DOCENTE:

-Mg. Ing. Salcedo Meza, Máximo

2015

PRÁCTICA DE LABORATORIO

Práctica N° 1: Cifras significativas, propagación de errores y tratamiento

estadístico de resultados

I. Objetivos.

a. Determinar las cifras significativas experimentales, propagación de errores y el

tratamiento estadístico de los resultados.

b. Adquirir habilidad en el uso y aplicación de las herramientas estadísticas de

naturaleza aleatoria.

II. Fundamentos teóricos

El concepto de cifra significativa: lo podemos definir como aquella que

aporta información no ambigua ni superflua acerca de una determinada medida

experimental, son cifras significativas de un número vienen determinadas por

su error. Son cifras que ocupan una posición igual o superior al orden o

posición de error.

Propagación de errores: Ocurre que al medir las distintas magnitudes

directas, no todas son medidas con el mismo número de cifras significativas.

En este caso, se tomará como criterio determinar el orden del error de la

magnitud indirecta como aquella del orden del menor número de cifras

significativas. Para ello se realizará el redondeo correspondiente.

Distribuciones de probabilidad: En los problemas siguientes utilizaremos la

distribución t y la distribución normal.

DISTRIBUCIÓN DE T DE STUDENT

Es una distribución de probabilidad que surge del problema

de estimarla media de una población normalmente distribuida cuando

el tamaño de la muestra es pequeño. Ésta es la base de la popular prueba t de

Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y

para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las

medias de dos poblaciones.

La distribución t es más ancha y más plana en el centro que la distribución

normal estándar como resultado de ello se tiene una mayor variabilidad en las

medias de muestra calculadas a partir de muestras más pequeñas. Sin

embargo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se

aproxima a la distribución normal estándar.

Condiciones:

Se utiliza en muestras de 30 o menos elementos.

La desviación estándar de la población no se conoce

Diferencias:

La distribución t student es menor en la media y mas alta en los

extremos que una distribución normal.

Tiene proporcionalmente mayor parte de su área en los extremos que

la distribución normal.

Formula:

Tipos de población:

Infinita

Finita

Nivel de significación:

Grados de libertad:

Existe una distribución t para cada tamaño de la muestra, por lo que

“Existe una distribución para cada uno de los grados de libertad”.

Los grados de libertad son el número de valores elegidos libremente.

Dentro de una muestra para distribución t student los grados de libertad

se calculan de la siguiente manera:

GL=n – 1

Uso de la tabla de distribución t:

La tabla de distribución t es más compacta que z y muestra las áreas y

valores de t para unos cuantos porcentajes exclusivamente

(10%,5%,2% y 1%)

Una segunda diferencia de la tabla es que no se centra en la

probabilidad de que el parámetro de la población que está siendo

estimado caiga dentro del intervalo de confianza. Por el contrario, mide

la probabilidad de que ese parámetro no caiga dentro del intervalo de

confianza

Una tercera diferencia en el empleo de la tabla consiste en que hemos

de especificar los grados de libertad con que estamos trabajando.

DISTRIBUCIÓN DE NORMAL

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas.

Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o

normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su

comportamiento a esta distribución.

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya

gráfica tiene forma de campana.

Variable aleatoria:

Es aquella que tiene resultados o valores que tienden a variar de observación

en observación debido a los factores relacionados con el azar. Y se divide a su

vez en dos:

Variable aleatoria discreta:

Si los valores que asume se pueden contar. Por ejemplo: número de

defectos de los zapatos, cantidad de cosechas perdidas, número de

terremotos, número de juegos perdidos.

Variable aleatoria continua:

Si puede asumir cualquier valor dentro de un determinado intervalo. Por

ejemplo: peso de personas, altura de los pinos, duración de un

conversación telefónica.

La distribución de probabilidad:

Es una función que asigna a cada evento definido sobre la variable aleatoria

una probabilidad. La distribución de probabilidad describe el rango de valores

de la variable aleatoria así como la probabilidad de que el valor de la variable

aleatoria esté dentro de un subconjunto de dicho rango.

Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales,

la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función

de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable

aleatoria sea menor o igual que x.

En una distribución normal el 50% de las observaciones están por encima de la

media y el 50% restante por debajo de la misma. Análogamente, de toda el

área comprendida entre la curva y el eje de las abscisas el 50% está a la

derecha de la media y el otro 50% está a la izquierda de la misma. También

eso se refleja en la figura anterior 

Distribuciones de probabilidad con variables continúas:

Donde Z es la variable tipificada, es decir, la variable en términos de

distribución normal estándar, ya no en términos de una distribución normal

específica.

X es cualquier valor especificado de la variable aleatoria continua.

Una vez que se ha realizado el proceso de transformación a una distribución

normal estándar, la media tendrá el valor 0 y la desviación típica 1, esto es

independientemente de los valores que originalmente se tengan, ello en razón

de que el numerador de la fórmula exige que se reste el valor exacto de la

media de la distribución. 

III. Materiales, Reactivos y Equipos.

a. Clips, clavos, monedas balanza analítica

IV. Método operatorio

a. Pesar las muestras proporcionadas por el profesor.

b. Formula; W =x± ts

√n

c. Desarrollar los ejercicios de cifras significativas, incertidumbre con la cantidad

correcta de cifras significativas y método de mínimos cuadrados para calcular

la ecuación de la mejor recta. (del 1 al 13)

V. Cálculos y resultados

a. Presentar las respuestas para un L.C. al 92%

MONEDAS

PROMEDIO: ¿∑i

n

X i

n=52,523

MEDIA: M e=4,36+4,367

2=4,3635

VARIANZA: S2=∑ ¿¿¿2/ N-1 = 0,04681892

12−1=0,004256265

DESVIACIÓN ESTANDAR: σ=√S2=√0,004256265=0,065240058

MONEDA(0.10) PESO (Xi) (Xi - ) (Xi - )ᶺ21 4,237 -0,13991667 0,019576672 4,306 -0,07091667 0,005029173 4,343 -0,03391667 0,001150344 4,356 -0,02091667 0,000437515 4,358 -0,01891667 0,000357846 4,36 -0,01691667 0,000286177 4,367 -0,00991667 9,834E-058 4,421 0,04408333 0,001943349 4,438 0,06108333 0,00373117

10 4,443 0,06608333 0,0043670111 4,444 0,06708333 0,0045001712 4,45 0,07308333 0,00534117

SUMA 52,523 0,04681892PROMEDIO 4,376916667

%COEFICIENTE DE VARIACIÓN:

%C.V= σM e

x100=0,0652400584,3635

x100=1,50 %

∴La formula seriaW=x ±t s√n

W=4,3635±1,53640,065240058

√11=4,3635±0,030221936

CLAVOS

Interpolación para un límite de confianza de 92%

0,901,3634

0,92 T0,95 1,795

9

0.90−0.920.90−0.95

= 1.3634−T1.3634−1.7959

T=1,5364

CLAVOS PESO (Xi) (Xi - ) (Xi - )ᶺ2

1 0,294 -0,0232 0,00053824

2 0,31 -0,0072 5,184E-05

3 0,311 -0,0062 3,844E-05

4 0,313 -0,0042 1,764E-05

5 0,317 -0,0002 4E-08

6 0,323 0,0058 3,364E-05

7 0,324 0,0068 4,624E-05

8 0,325 0,0078 6,084E-05

9 0,325 0,0078 6,084E-05

10 0,33 0,0128 0,00016384

SUMA 3,172 0,0010116

PROMEDIO 0,3172

PROMEDIO: ¿∑i

n

X i

n=0,3172

MEDIA: M e=0,317+0,323

2=0,32

VARIANZA: S2=∑ ¿¿¿2/ N-1 = 0,0010116

10−1=0,0001124

DESVIACIÓN ESTANDAR: σ=√S2=√0,0001124=0,010601886

%COEFICIENTE DE VARIACIÓN:

%C.V= σM e

x100=0,0106018860,32

x100=3,31 %

∴La formula seriaW=x ±t s√n

W=0,32±1,53640,010601886

√9=0,32±0,005429579217

CLIPS

Interpolación para un límite de confianza de 92%

0,901,3634

0,92 T0,95 1,795

9

0.90−0.920.90−0.95

= 1.3634−T1.3634−1.7959

T=1,5364

PROMEDIO: ¿∑i

n

X i

n=0,4099

MEDIA: M e=0,405+0,406

2=0,4055

VARIANZA: S2=∑ ¿¿¿2/ N-1 = 0,0064347

30−1=0,000221886206

CLIPS PESO (Xi) (Xi - ) (Xi - )ᶺ21 0,388 -0,0219 0,000479612 0,39 -0,0199 0,000396013 0,39 -0,0199 0,000396014 0,39 -0,0199 0,000396015 0,395 -0,0149 0,000222016 0,397 -0,0129 0,000166417 0,398 -0,0119 0,000141618 0,398 -0,0119 0,000141619 0,399 -0,0109 0,00011881

10 0,399 -0,0109 0,0001188111 0,399 -0,0109 0,0001188112 0,4 -0,0099 9,801E-0513 0,401 -0,0089 7,921E-0514 0,404 -0,0059 3,481E-0515 0,405 -0,0049 2,401E-0516 0,406 -0,0039 1,521E-0517 0,409 -0,0009 8,1E-0718 0,413 0,0031 9,61E-0619 0,42 0,0101 0,0001020120 0,422 0,0121 0,0001464121 0,422 0,0121 0,0001464122 0,423 0,0131 0,0001716123 0,424 0,0141 0,0001988124 0,426 0,0161 0,0002592125 0,426 0,0161 0,0002592126 0,427 0,0171 0,0002924127 0,428 0,0181 0,0003276128 0,43 0,0201 0,0004040129 0,432 0,0221 0,0004884130 0,436 0,0261 0,00068121

SUMA 12,297 0,0064347PROMEDIO 0,4099

DESVIACIÓN ESTANDAR: σ=√S2=√0,000221886206=0,014895845

%COEFICIENTE DE VARIACIÓN:

%C.V= σM e

x100=0,0002218862060,4055

x100=0,05 %

∴La formula seriaW=x ±t s√n

W=0,4055±1,53640,014895845

√29=0,4055±0,004249819101

b. Desarrollo de los ejercicios del 1 a 13

1. Redondee cada número a la cantidad de cifras significativas, incertidumbre que se indica.

SOLUCIÓN

a) 1,2367 a 4 c. s 1,237 (4 CIFRAS SIGNIFICATIVAS)

b) 1, 2384 a 4 c. s 1,238 (4 CIFRAS SIGNIFICATIVAS)

c) 0, 1352 a 3 c. s 0,135 (3 CIFRAS SIGNIFICATIVAS)

d) 2,051 a 2 c. s 2,1 (2 CIFRAS SIGNIFICATIVAS)

e) 2, 0050 a 3 c. s 2, 00 (3 CIFRAS SIGNIFICATIVAS)

f) 2, 0150 a 3 c. s 2, 02 (3 CIFRAS SIGNIFICATIVAS)

g) 2, 00501 a 3 c. s 2, 01(3 CIFRAS SIGNIFICATIVAS)

Interpolación para un límite de confianza de 92%

0,901,3634

0,92 T0,95 1,795

9

0.90−0.920.90−0.95

= 1.3634−T1.3634−1.7959

T=1,5364

Respuesta: 1,237; 1,238; 0,135; 2,1; 2,00; 2,02; 2,01.

2. Escriba cada respuesta con la cantidad correcta de cifras significativas.

SOLUCIÓN

a) 1,021 + 2,69 = 3,711 3,71 (Redondeo en 3 C.S)b) 12,3 – 1,63 = 10,67 10,7 (Redondeo en 3 C.S)c) 4,34 x 9,2 = 39,928 40 (Redondeo en 2 C.S)d) 0,0602 / (2,113 x 104) = 2,84903 x 10-6 2,85x10-6 (Redondeo

en 3 C.S)

Respuesta: 3,71; 10,7; 40; 2,85 x 10-6.

3. Empleando la cantidad correcta de cifras significativas, calcule la masa molar de:

a) Cloruro de Bario (BaCl2)

BaCl2 Ba (1) + Cl (2) 137,327g.mol-1(1) + 35,4527g.mol-1(2)

∴137,3270gmol

+70,8505gmol

=208,232gmol

b) C31H32O8N2

C31H32O8N2 C (31) + H (32) + O (8) + N (2)

12,011 (31) g/mol + 1,00794 (32) g/mol + 15,9994 (8) g/mol

+ 14,00674 (2) g/mol

∴372,3410gmol

+32,2541gmol

+127,9952gmol

+28,01348gmol

¿560,604 g/mol

PA: Ba = 137,327 g.mol-1 PA: H = 1,00794 g.mol-1

PA: Cl = 35,4527 g.mol-1 PA: O = 15,9994 g.mol-1

PA: C = 12,011 g.mol-1 PA: N = 14,00674 g.mol-1

4. Escriba cada resultado con la cantidad correcta de cifras significativas:

SOLUCIÓN

a) 1,0 + 2,1 + 3,4 + 5,8 = 12,3000 12,3 (3 C.S)

b) 106,9 - 31,4 = 75,5000 75,5 (3 C.S)

c) 107,868 - (2,113 x 102) + (5,623 x 103) = 5519,568 5520 (4 C.S)

d) (26,14 / 37,62) x 4,38 = 3,043413 3,04 (2 C.S)

e) (26,14 / 37,62 x 108) x (4,38 x 10-2) = 3,043413 x 10-10 3,04x10-10 (3 C.S)

f) (26,14 / 3,38) + 4,2 = 11,9337 11,9 (2 C.S)

Respuesta: 12,3; 75,5; 5520; 3,04; 3,04 x 10-10; 11,9.

5. Determine la incertidumbre absoluta y la incertidumbre relativa porcentual para cada cálculo. Exprese los resultados con una cantidad razonable de cifras significativas.

SOLUCIÓN:

Respuesta: 10,18 (± 0,07), 10,18 (± 0,7 %) ; 174 (± 2) , 174 (± 1 %) ; 0,147 (± 0,003) , 0,147 (± 2 %) ; 7,86 (± 0,01) , 7,86 (± 0,1 %) ; 2185,8 (± 0,8) , 2185,8 (± 0,04 %).

6. Para el cloruro de sodio.

a) Demuestre que la masa molar del cloruro de sodio es 58,4425 (± 0,0009)

g.mol-1.

SOLUCIÓN:

b) Para preparar una disolución de cloruro de sodio, se tomó una masa de 2,634 (± 0,002) g y se disolvió en un matraz aforado de 100,00 (± 0,08) mL. Exprese la molaridad de la disolución resultante y su incertidumbre con la cantidad correcta de cifras significativas.

PA (Na) = 22.989768 (± 0,000006) g.mol-1.

PA (Cl) = 35.4527 (± 0.0009) g.mol-1.

Respuesta: 0,4507 (± 0,0005) M ; 0,4507 (± 0,1 %) M.

7. Mediante el test Q, decida si el valor 216 debe descartarse del conjunto de resultados 192, 216, 202, 195, 204.

Respuesta: No debe descartarse.

8. Empleando el método de mínimos cuadrados se calculó la ecuación de la

mejor recta a partir de los puntos: (3,0 ; -3,87 x104), (10,0 ; -12,99 x 104), (20,0

; -25,93 x 104), (30,0 ; -38,89 x 104), (40,0 ; -51,96 x 104).

Los resultados son: m = -1,29872 x104, b = 256,695, σm = 13,190, σb = 323,57. Exprese la pendiente y la ordenada en el origen y sus incertidumbres con la cantidad correcta de cifras significativas.

Respuesta: y = [- 12987 (± 13) ] x + 257 (± 324)

9. Empleando el test Q, determine el número n más grande que podría conservarse en el conjunto 63, 65, 68, 72, n.

Respuesta: 88.

10. Aplique el método de mínimos cuadrados para calcular la ecuación de la mejor recta que pase por los puntos: (1 ; 3), (3 ; 2), (5 ; 0).

Exprese su respuesta en la forma y = [m (± σm)]x + [b (± σb)], con la cantidad correcta de cifras significativas.

Respuesta: y = [ - 0,8 (± 0,1) ] x + 3,9 (± 0,5)

8.-

a) 9,23 (±0,03 )+4,21 (±0,02 )−3,26 (0,06 )=?

i .a=√ (0,03 )2+¿¿

i .r .%=0,07×10010,18

=0,6876227 %

b) 91,3 (±0,1 )× 40,3 (±0,2 )21,1 (±0,2 )

=?

i .r .%1=0,1×100

91,3=0,109529 %

i .r .%2=0,2×100

40,3=0,4962779 %

i .r .%3=0,2×100

21,1=0,9478673 %

i .r .%resultado=√ (i . r .%1)2+(i . r .%2 )2+(i .r .%3 )2=1,0755188

i .a=1,0755188×174,37867100

=1,8754754

⇒174 (±2 )

⇒174 (±1% )

c)[4,97(±0,05)−1,86(±0,01)]

21,1(±0,2)

i .anumerador=√(0,05 )2+(0,01 )2=0,0509901

i .r .%1=0,05×100

3,11=1,607717 %

i .r .%2=0,2×100

21,1=0,9478673 %

i .r .%resultado=√ (i . r .%1)2+(i . r .%2 )2=1,866335

i .a=1,866335×0,1473933100

=0,002750854

⇒0,147 (±0,003 )

⇒0,147 (±2 % )

d) 2,0164 (±0,0008 )+1,233 (±0.002 )+4,61 (±0,01 )=?

i .a=√ (0,0008 )2+(0,002 )2=0,0102293

i .r .%=0,0102293×1007,8594

=0,1301545 %

⇒7,86 (±0.01 )

⇒7,86 (±0,1 % )

e) [2,0164 (±0,0008) ]103+¿

2016,4 (±0,8 )+123,3 (±0,2 )+46,1 (±0,1 )=2185,8

i .a=√ (0,8 )2+(0,2 )2+(0,1)2=0,8306623

i .r .%=0,8306623×1002185,8

=0,0380026 %

9.

a)

PMNaCl=22,989768 (±0,000006 )+35,4527 (±0,0009 )=58,4425 (±0,009 )gmol2

i .a=√ (0,000006 )2+(0,0009 )2=0,00090002

b)

M=2,634 (±0,002 ) g

58,445 (±0,0009 )gmol−1×0,10000 (±0,00008 )L=0,4506994 (±? )M

i .r .%=√( 0,0022.634 )

2

+( 0,000958,445 )

2

+( 0,000080,10000 )

2

=0.1102968 %

⇒0,4507 (±0.0005 )M

⇒0,4507 (±0,1 % )M

10.

Q (90%) 0,94 0,76 0,64 0,56 0,51 0,47

N° abs 3 4 5 6 7 8

Q= desvioamplitud

SiQtabulado<Q calculado

El datodudoso puede ser descartado conunniveldeconfianza del90 %

192 ,195 ,202 ,204 ,216⇒Qcalculado=216−204216−192

=0,5

Como0,64>0,5⇒no debedescartarse

11.

y= [−12987 (±13)] x+257(±324)

12.

63,65,68,72 , n

Qcalculado=n−72n−63

=0,64

n=88

13.

σ m2 =σ y

2×nD

σ y2=∑ (d¿¿ i¿¿2)

n−2¿¿

σ b2=σ y

2×∑ (x¿¿ i¿¿2)D

¿¿

D=∑ (x¿¿ i¿¿2)×n−¿¿¿¿

(x¿¿ i)¿( y¿¿ i)¿(x¿¿ i)2 ¿ d i ¿) d i2

1 3 1 -0,1666 0,02775556

3 2 9 0,3334 0,11115556

5 0 25 -0,1666 0,02775556

∑ 9 5 35 0,1666668

σ y2=0,166666 8

3−2=0,1 66666 8

σ b=√ 0,166666 8×3524

=0,4930068

σ m=√ 0,166666 8×324

=0,1443376

m=−0,75

b=3,91666

⇒ y=[−0,8(±0,1)] x+3,9(±0,5)

D=35×3−92=24