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INSTITUCIÓN EDUCATIVA STELLA VÉLEZ LONDOÑO (ANTES INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAÚL LONDOÑO LONDOÑO)

(RESOLUCIÓN 07027 AGOSTO 12 DE 2009)

Calle 48DD Nº 99D – 118, TELEFONO: 492 27 68 - 492 75 13

Calle 48 DD Nº 99 F 99, Teléfono 4927192

Asignatura: Matemáticas Periodo: 2

Temática: Funciones trigonométricas Semana 1 y 2

Actividad #: 1- Signos de las funciones trigonométricas

Total horas: 8

Indicador (es) de desempeño:

Representa gráficamente las funciones trigonométricas y determina el dominio, rango, gráfica, período, desfasamiento y amplitud de cada una de ellas.

Desarrollo temático: Las funciones trigonométricas ya vistas en el primer periodo (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) tiene comportamientos propios de una función, por lo tanto, los podemos representar gráficamente. Sin embargo antes de realizar este análisis gráfico es necesario mirar el comportamiento del signo en cada uno de los cuadrantes del plano cartesiano para que así, al momento de graficar se tenga un mayor manejo de sus componentes gráficos. Para realizar este análisis de sus signos planteemos el siguiente plano cartesiano:

Identifiquemos el 1er cuadrante en la esquina superior derecha, el 2do cuadrante en la esquina superior izquierda, el 3er cuadrante en la esquina inferior izquierda y el 4to cuadrante en la esquina inferior derecha. También podemos concluir que:

- Para el 1er cuadrante X y Y son positivos





- Para el 2do cuadrante X es negativo y Y es positivo - Para el 3er cuadrante tanto X como Y son negativos - Para el 4to cuadrante X es positivo pero Y es negativo

ANÁLISIS PRIMER CUADRANTE Ahora generemos un punto en la circunferencia unitaria que se encuentre en el primer cuadrante





Ahora formemos un triángulo rectángulo

Si sabemos que en la circunferencia unitaria las razones trigonométricas son: Sen(X) = Cateto opuesto Cos(X) = Cateto adyacente Tan(X) = Cateto opuesto/Cateto adyacente Manejaremos “X” como ángulo de referencia por facilidad. Deduzcamos cómo se comportan seno, coseno y tangente en el primer cuadrante





- Para seno observamos que su razón trigonométrica es cateto opuesto, por lo que el

cateto opuesto está ubicado en el eje positivo Y. Por lo tanto, seno en el 1er cuadrante es positivo

- Para coseno observamos que su razón trigonométrica es cateto adyacente y éste está ubicado en el eje positivo horizontal, por lo tanto, coseno en el 1er cuadrante es positivo

- Para tangente observamos que su razón trigonométrica es opuesto/adyacente y vemos que cada uno de ellos son positivos, por lo tanto (+) / (+) y esto da positivo. Por lo tanto tangente para el 1er cuadrante es positivo

ANÁLISIS SEGUNDO CUADRANTE Realizando el mismo procedimiento del análisis del primer cuadrante, ahora generamos un triángulo rectángulo en el segundo cuadrante

Deduzcamos cómo se comportan seno, coseno y tangente en el segundo cuadrante

- Para seno observamos que su razón trigonométrica es cateto opuesto, por lo que el cateto opuesto está ubicado en el eje positivo Y. Por lo tanto, seno en el 2do cuadrante es positivo

- Para coseno observamos que su razón trigonométrica es cateto adyacente y éste está ubicado en el eje negativo X, por lo tanto, coseno en el 2do cuadrante es negativo





- Para tangente observamos que su razón trigonométrica es opuesto/adyacente y vemos que seno es positivo pero coseno es negativo, por lo tanto (+) / (-) y esto da negativo. Por lo tanto, tangente para el 2do cuadrante es positivo

Vea el video del siguiente link como apoyo a las temáticas vistas y además, apoyese en él para realizar la actividad de aplicación https://www.youtube.com/watch?v=LdBi_u2V2c8

Actividades de aplicación: 1) Pase al cuaderno toda la teoría vista 2) De acuerdo a los análisis explicados de las funciones trigonométricas en el primer y

segundo cuadrante, realice los análisis del tercer y cuarto cuadrante, con sus respectivas gráficas en el cuaderno.

Estrategia y parámetros de evaluación: - Elaboración de los análisis - Elaboración de cada una de los planos cartesianos

https://www.youtube.com/watch?v=LdBi_u2V2c8






Temática: Funciones trigonométricas Semana 3

Actividad #: 2 – Gráfica de la función seno Total horas: 4



Desarrollo temático: Trigonometría, que en términos generales se define como el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Se encuentra presente en los demás campos de la matemática y se aplica en cualquier situación donde se requiere usar medidas de precisión. Cuando hablamos de una función, ésta representa una ley de correspondencia que se da entre una variable independiente hacia la variable dependiente. De acuerdo a lo anterior una función trigonométrica describe la relación que existe entre su ángulo con sus lados, en la que hay una variable independiente θ y una variable dependiente y. Esta variable dependiente depende del tipo de función a la que haga referencia, como se mencionó anteriormente existen 6 funciones trigonométricas, cada una con comportamientos propios, unos mas distantes que otros. FUNCIÓN SENO La gráfica de una función seno, se describe como una onda (llamada onda sinusoidal) en la que el valor máximo en el eje y es 1 y el valor mínimo es -1 (observe en la gráfica como la onda sube y baja hasta dichos valores). Es importante mencionar que la onda sinusoidal es infinita, por lo tanto la onda de la imagen se extiende infinitamente sobre el eje x (o teta) “el dominio de la función seno , f (t) = sen (t), es el conjunto de todos los números reales (-ꝏ, ꝏ ), y que su contradominio es el intervalo [-1,1]. La gráfica de una función periódica se obtiene con facilidad trazando repetidamente un ciclo de su gráfica.” (Álgebra, trigonometría y geometría analítica, pág. 397)





Figura 1 - Gráfica de la función Seno

Figura 2 - Gráfica seno con 1 ciclo

Para mayor comprensión en su elaboración observe el siguiente video https://www.youtube.com/watch?v=n-Pivhz2kJk

Actividades de aplicación: - Elabore en una hoja milimetrada la gráfica seno, en la que en el eje del ángulo (el

horizontal) se exprese tanto en sistema sexagesimal como cíclico - Una vez realizada la gráfica, describa como sus palabras, que forma y comportamiento

presenta la función seno. Este análisis preséntelo en el adverso de la hora milimetrada

Estrategia y parámetros de evaluación: - Precisión de la gráfica - Ángulos correctos - Presentación de ángulos en el sistema cíclico - Presentación de ángulos en el sistema sexagesimal

https://www.youtube.com/watch?v=n-Pivhz2kJk






Temática: Funciones trigonométricas Semana 4

Actividad #: 3 – Gráfica de la función coseno Total horas: 4



Desarrollo temático: FUNCIÓN COSENO Cuando hablamos de la función coseno, debemos tener en cuenta todos los datos de la función seno, puesto que Coseno presenta las mismas características de la función anterior y su gráfica es la misma, pero con un desfase de 90° por lo que en el origen la función no arranca desde cero, sino desde 1, guardando las mismas proporciones en su crecimiento y decrecimiento pero siempre en todos los puntos con el mismo desfase: Figura 1 - Gráfica seno con 1 ciclo

Observemos que “un ciclo” de la función seno (en rojo) se da entre 0 y 2π. Ahora analicemos la función coseno:

Figura 1 - Gráfica coseno con 1 ciclo

Claramente se evidencia el “un ciclo” de la función coseno (en rojo) se da entre 0 y 2π, pero a diferencia de seno, no inicia desde cero, si no que inicia desde 1. A este acontecimiento se le





llama un desfase, puesto que seno, llegará a 1, cuando su ángulo sea π/2. Por lo tanto Seno y coseno serán la misma gráfica pero con un desfase de π/2 Observe el video del siguiente link y siga detalladamente la explicación: https://www.youtube.com/watch?v=YhJ2z1mELy4

Actividades de aplicación: - Elabore en una hoja milimetrada la gráfica coseno, en la que en el eje del ángulo (el


presenta la función coseno. Este análisis preséntelo en el adverso de la hora milimetrada


https://www.youtube.com/watch?v=YhJ2z1mELy4






Temática: Funciones trigonométricas Semana 5 y 6

Actividad #: 4 – Gráfica de la función tangente, cotangente, secante y cosecante

Total horas: 8



Desarrollo temático: FUNCIÓN TANGENTE La función tangente a diferencia de las funciones seno y coseno, presenta un comportamiento bastante diferente, la función tangente si bien es infinita a lo largo del eje x, también es infinita en el eje Y, puesto que la función sigue aumentando su valor cada vez más, a medida que se acerque a la asíntota (línea puntuada roja) Una asíntota sin indeterminaciones en la función, lo que genera que moldea la función y por lo general una función (la línea azul) no podrá tocarla ni traspasarla, causando ese “moldeo” en la función. Figura 2 - Gráfica Tangente

Fuente: Álgebra, trigonometría y geometría analítica, pág. 406)





A continuación visualice el video en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=HTKL-kdOz7Y A continuación observe el video, donde podrá analizar como graficar todas las funciones: https://www.youtube.com/watch?v=t9zCHC4zsHY Es importante hablar de las otras 3 funciones trigonométricas: cotangente, secante y cosecante. Denominadas como las inversas multiplicativas de seno, coseno y tangente. Estas tres gráficas representan los valores inversos (1/f(x)) de las tres funciones seno, coseno y tangente. Obteniendo los siguientes esquemas: FUNCIÓN COTANGENTE

Una vez conocemos las gráficas de la función cotangente, vea el siguiente video https://www.youtube.com/watch?v=yZaa7FUwqr4

https://www.youtube.com/watch?v=HTKL-kdOz7Yhttps://www.youtube.com/watch?v=t9zCHC4zsHYhttps://www.youtube.com/watch?v=yZaa7FUwqr4





FUNCIÓN SECANTE

Una vez conocemos las gráficas de la función cotangente, vea el siguiente video https://www.youtube.com/watch?v=JaScqsumtOM FUNCIÓN COSECANTE

https://www.youtube.com/watch?v=JaScqsumtOM





Una vez conocemos las gráficas de la función cotangente, vea el siguiente video https://www.youtube.com/watch?v=ilKiDeuyEXs

Actividades de aplicación: - Elabore en una hoja milimetrada la gráfica tangente, en la que en el eje del ángulo (el


presenta la función tangente. Este análisis preséntelo en el adverso de la hora milimetrada

- Elabore en 3 hojas milimetradas las funciones cotangente, secante y cosecante, una en cada hoja.

https://www.youtube.com/watch?v=ilKiDeuyEXs

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