instituciÓn educativa normal superior santiago de … · 2020. 5. 14. · instituciÓn educativa...

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR SANTIAGO DE CALI

MEN – Resolución Acreditación de Calidad y Desarrollo no. 1462 7 de Febrero de 2019 Reconocimiento Oficial de Estudios Resolución No. 4143.0.21.6478 Septiembre 17 de 2013

Carrera 34 No. 12 – 60 Colseguros. Teléfonos 3364797 – 98 – 99 Fax 3356233 Correo Electrónico: [email protected]

NIT 800243065-3

GUIAS DE APRENDIZAJE

Versión 01

Fecha:

17/03/2020

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Código:

F-GCA 39

DOCENTE: SIMEON CEDANO ROJAS

ASIGNATURA: MATEMATICA 10-6

CONTENIDO: 1. Números Complejos. 2. Ángulos. Medidas. Transformación. 3. Razones Trigonométricas.

4. Resolución de triángulos rectángulos.

N° DE HORAS: 3

PERIODO: 2

DESEMPEÑOS: Describe y justifica procesos de medición de longitudes y ángulos.

Explica propiedades de figuras geométricas que se involucran en los procesos de medición.

Valida la precisión de instrumentos para medir longitudes.

Propone alternativas para estimar y medir con precisión diferentes magnitudes.

Explica criterios de semejanza y congruencia a partir del teorema de Thales.

Identifica formas geométricas, analizar sus estructuras, características, propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno físico.

Elaborar y manejar representaciones (gráficos, modelos, diagramas,...) para expresar conceptos, discriminando entre sus características más o menos relevantes. y, establecer relaciones entre los mismos.

Describe y justifica procesos de medición de longitudes y ángulos.

Explica propiedades de figuras geométricas que se involucran en los procesos de medición.

Valida la precisión de instrumentos para medir longitudes.

Propone alternativas para estimar y medir con precisión diferentes magnitudes.

Explica criterios de semejanza y congruencia a partir del teorema de Thales.

Identifica formas geométricas, analizar sus estructuras, características, propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno físico.

Elaborar y manejar representaciones (gráficos, modelos, diagramas,...) para expresar conceptos, discriminando entre sus características más o menos relevantes. y, establecer relaciones entre los mismos.

Justificar los distintos pasos de un procedimiento, valorando la oportunidad de los mismos.

Identifico los distintos tipos de ángulo que existen y los gráficos.

Reconoce el radian como unidad de medida angular y conoce su significado geométrico.

Realizo conversiones de ángulos entre los sistemas sexagesimal y radial.

Utilizo calculadora científica para encontrar el seno, el coseno o la tangente de un ángulo dado.

Utilizo calculadoras y software para encontrar un ángulo agudo en un triángulo rectángulo conociendo su seno, su coseno o su tangente.

Sobre la complejidad de los conceptos y procedimientos adquiridos, determina la capacidad de expresar ideas y relaciones matemáticas utilizando terminologías, notaciones y estructuraciones adecuadas al nivel de aprendizaje donde se esté trabajando.

Determina algunos valores de las razones trigonométricas para ángulos no agudos, auxiliándose de ángulos de referencia inscritos en el círculo unitario.

Analiza las distintas situaciones problemicas en distintas áreas, que se pueden resolver a partir de triángulos rectángulos.

NOMBRE DE LA GUÍA: Razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

ACTIVIDADES PROPUESTAS: Hacer las representaciones graficas de cada uno de los conceptos y figuras

geométricas.

Analizar las composiciones geométricas para deducir las propiedades de paralelismo y perpendicularidad.

Describir las situaciones de las diferentes figuras para determinar su área y perímetro.

Observar los diferentes tipos de triángulos y comprobar sus propiedades y determinar sus composiciones.

Observar los diferentes cuadriláteros y determinar sus propiedades y formas.

Observar en la vida practica las diferentes aplicaciones de la geometría.

Coherencia en el proceso de aplicación de las operaciones matemáticas en la resolución y grafica de situaciones de geometría, tanto en casa como en el salón de clase.

Observación de la aplicación de los procesos lógicos matemáticos operativos en el desarrollo de los diferentes ejercicios para la casa, en el colegio, donde aplique los conceptos de la geometría.

Grafica de ángulos y arcos con las medidas del transportador.

Ejercicios de equivalencias de medidas de ángulos.

Comparación entre las diferentes medidas de ángulos en radianes y grados.

Representación gráfica de ángulos positivos y ángulos negativos.

Operaciones con la amplitud de los ángulos.

Identificar los elementos de un triángulo rectángulo.

Calcula cada uno delos elementos de un triángulo rectángulo-

Escribe y denota las razones trigonométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo.

Soluciona los triángulos rectángulos y soluciona problemas de aplicación de las razones trigonométricas y sobre los teoremas del seno y del coseno.

Usa la calculadora para determinar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

INTRODUCCIÓN: En esta unidad de aprendizaje se desarrolla bajo el modelo de una introducción a la trigonometría a su nivel más elemental: las razones trigonométricas de ángulos agudos y de estas en los triángulos rectángulos para su aplicabilidad en la resolución de triángulos. Teniendo como base el aprendizaje y el conocimiento de los ángulos en sus clasificaciones, construcciones y su medida así como la transformación de sus unidades. Se inicia también un acercamiento a la relación entre razones trigonométricas y la relación fundamental, necesarias para la resolución de triángulos rectángulos y con una clara vision de la aplicación en la vida práctica, sobre todo en temas de la construcción. Entender que Las funciones trigonométricas son razones (relaciones) entre los lados de un triángulo rectángulo. Se pueden tener como metas de conseguir en el desarrollo de cada uno de los temas: Introducción al concepto de razón trigonométrica y sus definiciones

Cálculo de razones trigonométricas de ángulos agudos

Aproximación a las relaciones entre razones trigonométricas

Introducción a la resolución de triángulos rectángulos. Recordando profundamente que el apoyo tecnológico de los estudiantes debe ser importante, para el manejo de las razones y el cálculo de estas, usando herramientas básicas como son: calculadora, plataformas de geometría, programas de geometría, etc.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN: Desarrollar trabajos en clase y fuera de ella bien sea en grupo o de manera

individual. Se evalúa en un proceso de seguimiento en el trabajo en clase, la participación de la clase y la resolución de los talleres y tareas.

Aplica los conocimientos matemáticos para interpretar, argumentar, y proponer soluciones a diferentes situaciones de su entorno.

Maneja los diferentes conceptos geométricos y matemáticos en la solución de tareas, trabajos, talleres.

Utiliza las nuevas tecnologías para su aprendizaje y para el desarrollo de sus tareas, trabajos, talleres y exposiciones.

Utiliza las páginas de internet dadas por los profesores para resolver dudas matemáticas y geométricas.

Exposiciones y corrección individual de cada una de las tareas, o propuestas de trabajo hechas por los estudiantes.

Trabajos en grupos realizados en clase, con socialización respectiva de cada uno de los trabajos.

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE: Desarrollo de los talleres en la casa.

Socialización de los ejercicios de mayor complicación y de las definiciones de mayor relevancia con sus compañeros por medio del uso de la tecnología, internet, redes sociales, WhatsApp, etc.

Reflexión y análisis de los conceptos básicos y apropiación de los ejemplos propuestos.

Evidencias del acompañamiento, seguimiento y colaboración de los Padres de Familia.

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BIBLIOGRAFÍA: Matemática y geometría elemental de grado noveno. Cardona Valencia.

Internet. Google.

YouTube. Matemática de grado 10. Editorial Norma.

I.E. NORMAL SUPERIOR Santiago de Cali DEPTO DE MATEMATICA-FISICA AREA DE MATEMATICA GUIA DE TRABAJO 2 Grado Diez. 10-6

NOMBRE:

GDO COD FECHA

LOS NUMERO COMPLEJOS. Los números complejos se representan con la letra C, completan el plano cartesiano y se componen de dos partes:

1. Real: Eje x. 2. Imaginaria: Eje y

Escritura: 1. (𝑎, 𝑏). Par ordenado 2. 𝑎 + 𝑏𝑖. Suma algebraica del real más el imaginario 3. 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗. Vectorial. Todo número complejo tiene: 1. Una norma, o tamaño. Se calcula aplicando el Teorema de

Pitágoras, porque este forma un triángulo rectángulo con los ejes.

𝑅1 = √𝑥2 + 𝑦2 = 2. Un ángulo de inclinación (dirección y sentido), se calcula por

Razones trigonométricas. No se tenga en cuenta el signo. Grafica.

𝑇𝑎𝑛𝜃 =𝐶𝑜

𝐶𝑎=

𝑦

𝑥

Ej. Graficar los siguientes números complejos, halle la norma y el ángulo.

1. 𝐴 = (3, 5) 2. 𝐵 = −4 + 3𝑖 3. 𝐶 = −5𝑖 − 5𝑗 4. 𝐷 = 7 − 6𝑖

Calculamos la norma de cada uno de los números complejos y el ángulo. El ángulo hallado es el que forma con el eje x. Pero el ángulo del complejo es desde el eje x o°.

1. 𝐴 = √𝑋2 + 𝑌2 = √(3)2 + (5)2 = √9 + 25 = √34

tan 𝜃 =𝑌

𝑋=

5

3= 1.66 𝜃 = tan−1(1.66) = 58.93°

2. 𝐵 = √𝑋2 + 𝑌2 = √(−4)2 + (3)2 = √16 + 9 = √25 = 5

tan 𝜃 =𝑌

𝑋=

4

3= 1.33 𝜃 = tan−1(1.66) = 53.06°

𝛼 = 180° − 53.06° = 126.94°

3. 𝐶 = √𝑋2 + 𝑌2 = √(−5)2 + (−5)2 = √25 + 25 = √50 = 5√2

tan 𝜃 =5

5= 1 𝜃 = tan−1(1) = 45°

𝛼 = 180° + 45° = 225°

4. 𝐴 = √𝑋2 + 𝑌2 = √(7)2 + (−6)2 = √49 + 36 = √85

tan 𝜃 =𝑌

𝑋=

6

7= 0.85 𝜃 = tan−1(0.85) = 40.36°

𝛼 = 360° − 40.36° = 319.64° RESUELVA. Calcule la norma, el ángulo y grafique cada número complejo. 1. 3 − 5𝑖 2. −5 + 3𝑖 3. 6 + 4𝑖 4. −6 − 6𝑖 5. −4 − 6𝑖

OPERACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS. Recordar que:

𝑖 = √−1 𝑖2 = −1 𝑖3 = −√−1 𝑖4 = 1 SUMA Y RESTA Esta operación equivale a la suma de vectores, por esa razón la retomamos aquí. Ej. Sumar los siguientes tres números complejos.

𝐴 = 5 + 4𝑖 𝐵 = −6 + 3𝑖 𝐶 = −4 − 2𝑖 Para sumar y restar realizamos la operación por separado de la parte real y la de la parte imaginaria.

𝑅 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = (5 + 4𝑖) + (−6 + 3𝑖) + (−4 − 2𝑖) (5 − 6 − 4) + (4 + 3 − 2)𝑖 = −5 + 5𝑖 = (−5, 5)

𝑅 = (12 + 4𝑖) + (5 − 13𝑖) + (−8 − 5𝑖) + (7 − 3𝑖)

(12 + 5 − 8 + 7) + (4 − 13 − 5 − 3)𝑖 = 16 − 17 = (16, −17) 𝑅 = 3(5 + 4𝑖) + 2(−6 + 3𝑖) − 5(−4 − 2𝑖) =

15 + 12𝑖 − 12 + 6𝑖 + 20 + 10𝑖 (15 − 12 + 20) + (12 + 6 + 10)𝑖 = 23 + 28𝑖 = (23, 28) 𝑅 = 3(4 − 7𝑖) − 3(+5 − 8𝑖) − 4(10 − 2𝑖) + 5(2 − 5𝑖)

12 − 21𝑖 − 15 + 24𝑖 − 40 + 8𝑖 + 10 − 25𝑖 (12 − 15 − 40 + 10) + (−21 + 24 + 8 − 25)𝑖 = −33 − 14𝑖

= (−33, −14) RESUELVA. Cada uno de los ejercicios propuestos indicado el procedimiento. 1. Dados los siguientes números complejos, hallar la suma y hacer

la gráfica como si se tratara de vectores. 𝑎 = 2 + 5𝑖 𝑏 = −4 − 5𝑖 𝑐 = −6 + 6𝑖 𝑑 = 5 − 3𝑖

1. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3. 𝑎 − 𝑏 + 𝑑 5. 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 2𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 4. 𝑎 + 2𝑏 − 3𝑑 6. 𝑏 − 2𝑎 + 3𝑑

PRODUCTO. Se efectúa el producto como si se tratara de la multiplicación de Binomios. Ejemplos.

(3 + 5𝑖)(−4 + 3𝑖) = −12 − 20𝑖 + 9𝑖 + 15𝑖2 = −12 − 11𝑖 + 15(−1)

(3,5)

-4+3i

-5-5i

7-6i

R

A

B C





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−12 − 11𝑖 − 15 = −27 − 11𝑖 (7 + 5𝑖)(4 + 3𝑖) = 28 + 21𝑖 + 20𝑖 + 15𝑖2 = 28 + 41𝑖 + 15(−1)

28 + 41𝑖 − 15 = 13 + 41𝑖 (6 + 4𝑖)(6 − 4𝑖) = 36 − 24𝑖 + 24𝑖 − 16𝑖2 = 36 − 16(−1)

36 + 16 = 52 (3 + 5𝑖)(3 + 5𝑖) = 9 + 15𝑖 + 15𝑖 + 15𝑖2 = 9 + 30𝑖 + 15(−1)

9 + 30𝑖 − 15 = −6 + 30𝑖 (8 − 4𝑖)(5 + 3𝑖) = 40 + 24𝑖 − 20𝑖 − 12𝑖2 = 40 + 4𝑖 − 12(−1)

40 + 4𝑖 + 12 = 52 + 4𝑖

(2

5+ 3𝑖) (

4

3−

3

2𝑖) =

8

15−

6

10𝑖 +

12

3𝑖 −

9

2𝑖2 =

8

15+

17

15𝑖 −

9

2(−1)

8

15+

17

15𝑖 +

9

2=

151

30+

17

15𝑖

RESUELVA. Efectué cada uno de los productos y calcule la norma de cada número complejo y calcule el ángulo. Dado los números complejos 𝑎 = 2 + 5𝑖 𝑏 = −4 − 5𝑖 𝑐 = −6 + 6𝑖 𝑑 = 5 − 3𝑖 𝑒 = −4 − 5𝑖 1. 𝑎. 𝑏 3. 𝑎𝑑 5. 𝑏. 𝑐 7. 𝑎. 𝑒 2. 𝑎𝑐 4. 𝑏. 𝑑 6. 𝑐. 𝑑 8. 𝑒. 𝑎

DIVISION.

1. Se multiplica por la conjugada del denominador ambos términos.

2. Se efectúa el producto en el numerador y en el denominador.

3. Se simplifica.

3 − 2𝑖

3 + 4𝑖=

3 − 2𝑖

3 + 4𝑖𝑥

3 − 4𝑖

3 − 4𝑖=

9 − 12𝑖 − 6𝑖 + 12𝑖2

9 − 12𝑖 + 12𝑖 − 16𝑖2 =

9 − 18𝑖 + 12(−1)

9 − 16(−1)=

9 − 18𝑖 − 12

9 + 16=

−3 − 18𝑖

25= −

3

25−

18

25𝑖

4 − 5𝑖

2 − 5𝑖=

4 − 5𝑖

2 − 5𝑖𝑥

2 + 5𝑖

2 + 5𝑖=

8 + 20𝑖 − 10𝑖 − 25𝑖2

4 − 10𝑖 + 10𝑖 − 25𝑖2 =

8 + 10𝑖 − 25(−1)

4 − 25(−1)=

8 + 10𝑖 + 25

4 + 25=

+33 + 10𝑖

29=

33

29+

10

29𝑖

−5 − 6𝑖

−4 + 7𝑖=

−5 − 6𝑖

−4 + 7𝑖𝑥

−4 − 7𝑖

−4 − 7𝑖=

20 − 35𝑖 + 24𝑖 + 42𝑖2

16 + 28𝑖 − 28𝑖 − 49𝑖2 =

9 − 18𝑖 + 12(−1)

9 − 16(−1)=

9 − 18𝑖 − 12

9 + 16=

−3 − 18𝑖

25= −

3

25−

18

25𝑖

−2 + 8𝑖

−5 − 6𝑖=

−2 + 8𝑖

−5 − 6𝑖𝑥

−5 + 6𝑖

−5 + 6𝑖=

10 − 12𝑖 − 40𝑖 + 48𝑖2

25 − 30𝑖 + 30𝑖 − 36𝑖2 =

10 − 52𝑖 + 48(−1)

25 − 36(−1)=

10 − 52𝑖 − 48

25 + 36=

−38 − 52𝑖

61= −

38

61−

52

61𝑖

RESUELVA. Resuelva las siguientes divisiones de números complejos.

1. 5−7𝑖

3−5𝑖 3.

7−7𝑖

5−5𝑖 5.

10+7𝑖

−8−7𝑖 7.

−2𝑖

−4+6𝑖 9.

15

6+5𝑖

2. −5−7𝑖

3+5𝑖 4.

7+7𝑖

5−6𝑖 6.

−10+9𝑖

9−12𝑖 8.

−8𝑖

−14−6𝑖 10.

15

6−5𝑖

GEOMETRIA.

ANGULO. El ángulo es una parte del plano determinada por dos

semirrectas llamadas lados, que tienen en común el mismo punto de

origen llamado vértice.

Llano Acutángulo Obtuso Recto

0° entre 0 y 90° entre 90 y 180° 90°

DEFINICIONES DE ALGUNOS ANGULOS.

𝐴

Los ángulos se pueden nombrar de

varias maneras.

Tres letras mayúsculas ∡𝐴𝑂𝐵, Letra

griega ∡𝜃, mayúscula del vértice ∡𝐵

𝐴

𝑂

𝐵

RESUELVA: Complete los espacios haciendo los gráficos con ejemplos.

Ángulos consecutivos los que comparten un lado y el vértice.

Ángulos adyacentes los que tienen un vértice y un lado común.

Ángulos opuestos por el vértice aquellos que tienen en común el vértice y las semirrectas son opuestas.

Ángulos congruentes son aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo.

Ángulos complementarios son aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°.

Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°.

MEDIDA DEL ANGULO. Se hace la medición y construcción de un ángulo con un transportador. Ej: Construir los ángulo de y construir otros propuestos por usted.

ANGUL VR ANGUL VR ANGUL VR ANGUL VR

A O° E 140 𝛿 60

B 20° F 180 𝜇 120

C 75° 𝜃 30

D 100 𝛽 90

UNIDADES DE MEDICION. SISTEMA SEXAGESIMAL: Unidad de medida es el grado. Una vuelta 360°. Un grado 60´. Un minuto 60´´. CONVERSION DE GRADOS A GRADOS, MIN Y SEG. Ej 1. Convertir de grados al sistema sexagesimal. 1. Se separa la parte decimal y se multiplica por 60 que es el

equivalente de un grado a minutos. 2. De este resultado se separa la parte decimal y se multiplica por

60, que es el equivalente de un minuto. 3. El resultado es el formado por los números enteros de los

resultados.

ANGULO DEMAL 1 GRO RESUL DEMAL 1MIN RESUL CONVERSION

49.54 0.54 60 32.40 0.40 60 24.00 49° 32´ 24´´

o


https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)

https://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_consecutivos

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_consecutivos

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_adyacentes

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_adyacentes

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_opuestos_por_el_v%C3%A9rtice



https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_congruentes

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_congruentes

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_complementarios

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_complementarios

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_suplementarios

https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_suplementarios




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12.65 0.65 60 39.00 0.00 60 0.00 12° 39´ 00´´

124.48 0.48 60 28.80 0.80 60 48.00 124° 28´ 48´´

173.89 0.89 60 53.40 0.40 60 24.00 173° 53´ 24

206.12 0.12 60 7.20 0.20 60 12.00 206° 7´ 12´´

245.09 0.90 60 54.00 0.00 60 0.00 245° 54´ 00´´

268.85 0.85 60 51.00 0.00 60 0.00 268° 51´ 00´´

289.43 0.43 60 25.80 0.80 60 48.00 289° 25´ 48´´

301.15 0.15 60 9.00 0.00 60 0.00 301° 9´ 00´´

345.56 0.56 60 33.60 0.60 60 36.00 345° 33´ 36´´

358.04 0.04 60 2.40 0.40 60 24.00 358° 2´ 24´´

72.88° 0.88 60 52.80 0.80 60 48.00 72° 52´ 48´´

RESUELVA. Cada uno de los grados convertirlos a grados minutos y segundo, realizando el proceso completo de las operciones. 1. 24.56° 2. 76.56° 3. 126.89° 4. 168.46° 5. 45.98° 6. 324.76° 7. 216.35° 8. 226.49° 9. 316.25° 10. 345.16° CONVERSION DE GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOA A DRADOS. 1. Se toman los segundos y se dividen por 60, que es la equivalencia

de minutos a grados. 2. Se toman los segundos y se dividen por 3.600 que es la

equivalencia de segundos a grados. 3. Se suman los resultados de los grados, los resultados de la

primera división y la segunda división y el resultado es la equivalencia.

ANGULO GDO MIN EQUI RESUL SEG EQUI RESU SUMA

49°13´16´´ 49 13 60 0.217 16 3,600 0.004 49.2211

72°48´59´´ 72 48 60 0.800 69 3,600 0.019 72.8192

99°56´23´´ 99 56 60 0.933 23 3,600 0.006 99.9397

116°39´49´´ 116 39 60 0.650 49 3,600 0.014 116.6636

168°59´59´ 168 59 60 0.983 59 3,600 0.016 168.9997

185°13´50´´ 185 13 60 0.217 50 3,600 0.014 185.2306

200°21´21´´ 200 21 60 0.350 21 3,600 0.006 200.3558

265°45´58´ 265 45 60 0.750 58 3,600 0.016 265.7661

278°48´25´ 278 48 60 0.800 25 3,600 0.007 278.8069

290°35´49´ 290 35 60 0.583 49 3,600 0.014 290.5969

300°04´09 300 4 60 0.067 9 3,600 0.003 300.0692

323°38´39´ 323 38 60 0.633 39 3,600 0.011 323.6442

345°46´51´ 345 46 60 0.767 51 3,600 0.014 345.7808

356°23´32´ 356 23 60 0.383 32 3,600 0.009 356.3922

13°52´13´´ 13 52 60 0.867 13 3,600 0.004 13.8703

RESUELVA. Convierta cada uno de los ángulos dados a grados, realizando el proceso operativo completo.

1. 16°23´15´´ 2. 62°15´46´´ 3. 93°25´´ 4. 104°58´ 5. 116°43´21´´ 6. 166°35´24´´ 7. 159°28´´ 8. 204°58´

SISTEMA DE MEDICION RADIANES. El radián mide el ángulo central a una circunferencia y su medida es igual a la razón entre la longitud del arco que comprende de dicha circunferencia y la longitud del radio, es decir, mide la cantidad de veces que la longitud del radio cabe en dicho arco. También puede ser para una circunferencia de radio 1.

𝜃 =𝐿

𝑟=

2𝜋𝑟

𝑟= 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

La circunferencia completa tiene 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = 2𝑥3.14 = 6.28 𝑟𝑎𝑑 Recuerden que la calculadora tiene 3 modos de trabajar y convertir ángulos: DEG= Sexagesimal, RAD=Radianes GRA= Gradientes. TRANSFORMACION DE GRADOS A RADIANES.

2π 360° 𝑋 =2𝜋

360

=𝜋

180° X 1°

Ej. Transformar a radianes los siguientes ángulos:

30° = 30°𝜋

180°=

𝜋

6 𝑟𝑎𝑑 45° = 45°

𝜋

180°=

𝜋

4 𝑟𝑎𝑑

120° = 120°𝜋

180°=

2𝜋

3 𝑟𝑎𝑑 150° = 150°

𝜋

180°=

5𝜋

6 𝑟𝑎𝑑

60° = 60°𝜋

180°=

𝜋

3 𝑟𝑎𝑑 90° = 90°

𝜋

180°=

𝜋

2 𝑟𝑎𝑑

180° = 180°𝜋

180°= 𝜋 𝑟𝑎𝑑 240° = 240°

𝜋

180°=

4𝜋

3 𝑟𝑎𝑑

270° = 270°𝜋

180°=

3𝜋

2 𝑟𝑎𝑑 300° = 300°

𝜋

180°=

5𝜋

3 𝑟𝑎𝑑

340° = 340°𝜋

180°=

17𝜋

9 𝑟𝑎𝑑 48° = 48°

𝜋

180°=

48(3.14)

180= 0.83 𝑟𝑎𝑑

RESUELVA: Transformar a radianes cada uno de los siguientes ángulos. 75° 105° 135° 165° 195° 225° 255° 285° 315° 330° 345° 28° 198° 229° 267° 304° TRANSFORMACION DE RADIANES A GRADOS.

2π 360° 𝑋 =360

2𝜋

=180

𝜋 1 X

Ej. Transformar a grados sexagesimal los siguientes ángulos en radianes. 2𝜋

5𝑟𝑎𝑑 =

2𝜋

5

180

𝜋=

360

5= 72°

3𝜋

5𝑟𝑎𝑑 =

3𝜋

5

180

𝜋=

540

5= 108°

4𝜋

5𝑟𝑎𝑑 =

4𝜋

5

180

𝜋=

720

5= 144°

7𝜋

5𝑟𝑎𝑑 =

7𝜋

5

180

𝜋=

1260

5= 252°

2𝜋

7𝑟𝑎𝑑 =

2𝜋

7

180

𝜋=

360

7= 51.42°

3𝜋

7𝑟𝑎𝑑 =

3𝜋

7

180

𝜋=

540

7= 77.14°

3𝜋

8𝑟𝑎𝑑 =

3𝜋

8

180

𝜋=

540

8= 67.5°

5𝜋

8𝑟𝑎𝑑 =

5𝜋

8

180

𝜋=

900

8= 112.58°

2𝜋

10𝑟𝑎𝑑 =

2𝜋

10

180

𝜋=

360

10= 36°

3𝜋

5𝑟𝑎𝑑 =

3𝜋

10

180

𝜋=

540

10= 54°

RESUELVA. Transforma a grados los siguientes ángulos en radianes. 3𝜋

4

5𝜋

2

3𝜋

9

6𝜋

5

7𝜋

11

3𝜋

13

5𝜋

12

2𝜋

15

2.56 3.25 0.67 0.89 1.35 2.45 1.56 1. RAZONES TRIGONOMETRICAS. La física, la matemática, la ingeniería y otras ciencias, utiliza como ciencia auxiliar a la Trigonometría, para poder realizar algunos cálculos operacionales sobre temas específicos y por tal razón utiliza las Razones Trigonométricas definidas para un triángulo rectángulo cualquiera, así: Sea el triángulo rectángulo ABC, del cual podemos afirmar que el <B = Un recto. PROPIEDADES DEL TRIANGULO. C b a B c A 1. <B = 90° 2. <A + <C = 90° 3. Lado a y c, son catetos. 4. Lado b, Hipotenusa. Se definen las Razones Trigonométricas así:

Seno de A 𝑆𝑒𝑛 𝐴 =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 =

𝐶.𝑂.

𝐻 =

𝑎

𝑏

Coseno de A 𝐶𝑜𝑠 𝐴 =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 =

𝐶.𝐴.

𝐻 =

𝑐

𝑏

Tangente de A 𝑇𝑎𝑛 𝐴 =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 =

𝐶.𝑂.

𝐶.𝐴. =

𝑎

𝑐

Las Razones Trigonométricas inversas dadas.


https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia

https://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)

https://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)




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Cosecante de A 𝐶𝑠𝑐𝐴 =𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 =

𝐻.

𝐶.𝑂. =

𝑏

𝑎 Inversa del SenA

Secante de A 𝑆𝑒𝑐 𝐴 =𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 =

𝐻.

𝐶.𝐴. =

𝑏

𝑐 Inversa del CosA

Cotangente A 𝐶𝑜𝑡 𝐴 =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 =

𝐶.𝐴.

𝐶.𝑂. =

𝑐

𝑎 Inversa de Tan A

Ejemplo: Hallar las razones trigonométricas para el triángulo rectángulo ∆𝐴𝑃𝑄, recto en ∡𝑃 = 90°.Los catetos valen 10 y 5.

A p q Q a=10 P

Hallamos la hipotenusa p por teorema de Pitágoras.

𝑝 = √𝑎2 + 𝑞2 = √102 + 52 =

√100 + 25 = √125 =

𝑝 = 5√5 ∡𝑄 𝑎 = 𝐶𝐴 𝑞 = 𝐶𝑂

Hallar las Razones trigonométricas para el ∡𝑄

𝑆𝑒𝑛𝑄 =𝐶𝑂

𝐻=

𝑞

𝑝=

5

5√5=

√5

5

𝐶𝑜𝑠𝑄 =𝐶𝐴

𝐻=

𝑎

𝑝=

10

5√5=

2√5

5

𝑇𝑎𝑛𝑄 =𝐶𝑂

𝐶𝐴=

𝑞

𝑎=

5

10=

1

2

𝐶𝑠𝑐𝑄 =𝐻

𝐶𝑂=

𝑝

𝑞=

5√5

5= √5

𝑆𝑒𝑐𝑄 =𝐻

𝐶𝐴=

𝑝

𝑎=

5√5

10=

√5

2

𝐶𝑜𝑡𝑄 =𝐶𝐴

𝐶𝑂=

𝑎

𝑞=

10

5= 2

Las Razones Trigonométricas para el ángulo A

𝑆𝑒𝑛𝐴 =𝐶𝑂

𝐻=

𝑎

𝑝=

10

5√5=

2√5

5

𝐶𝑜𝑠𝐴 =𝐶𝐴

𝐻=

𝑞

𝑝=

5

5√5=

√5

5

𝑇𝑎𝑛𝐴 =𝐶𝑂

𝐶𝐴=

𝑞

𝑎=

10

5= 2

𝐶𝑠𝑐𝐴 =𝐻

𝐶𝑂=

𝑝

𝑎=

5√5

10=

√5

2


𝐶𝐴=

𝑝

𝑞=

10

5√5=

2√5

5


𝐶𝑂=

𝑞

𝑎=

5

10=

1

2

Si comparamos las Razones Trigonométricas para el ∡𝑄 y para el ∡𝐴, observamos que:

𝑆𝑒𝑛𝑄 = 𝐶𝑜𝑠𝐴 𝐶𝑠𝑐𝑄 = 𝑆𝑒𝑐𝐴 𝐶𝑜𝑠𝑄 = 𝑆𝑒𝑛𝐴 𝑆𝑒𝑐𝑄 = 𝐶𝑠𝑐𝐴 𝑇𝑎𝑛𝑄 = 𝐶𝑜𝑡𝐴 𝐶𝑜𝑡𝑄 = 𝑇𝑎𝑛𝐴

Nos indica que las razones trigonométricas de ángulos complementarios son iguales. Cuando los ángulos suman 90°, las razones trigonométricas de dichos ángulos, son iguales.

La operación inversa de la Razón Trigonométrica, es el arc cuya razón es: 𝐴𝑟𝑐 𝑅𝑇 =

𝑆𝑒𝑛 𝐴 =2√5

5=

𝐴 = 𝐴𝑟𝑐 𝑆𝑒𝑛2√5

5= sin−1

2√5

5= 63.43°

Como Los ángulos A y Q son complementarios, entonces suman 90° ∡𝑄 = 90° − ∡𝐴 = 90° − 63.43° = 26.57°

Ejemplo: Hallar las razones trigonométricas para el triángulo rectángulo ∆𝐴𝑃𝑄, recto en ∡𝑃 = 90°.La hipotenusa vale 10 y uno de los catetos vale 5.

A P=10 q Q a=5 P

Hallamos el cateto q por teorema de Pitágoras.

𝑞 = √𝑝2 − 𝑎2 = √102 − 52 =

√100 − 25 = √75 =

𝑞 = 5√3 ∡𝑄 𝑎 = 𝐶𝐴 𝑞 = 𝐶𝑂

Hallar las Razones trigonométricas para el ∡𝑄

𝑆𝑒𝑛𝑄 =𝐶𝑂

𝐻=

𝑞

𝑝=

5√3

10=

√3

2

𝐶𝑜𝑠𝑄 =𝐶𝐴

𝐻=

𝑎

𝑝=

5

10=

1

2

𝑇𝑎𝑛𝑄 =𝐶𝑂

𝐶𝐴=

𝑞

𝑎=

5√3

5= √3

𝐶𝑠𝑐𝑄 =𝐻

𝐶𝑂=

𝑝

𝑞=

10

5√3=

2√3

3


𝐶𝐴=

𝑝

𝑎=

5√3

10=

√3

2


𝐶𝑂=

𝑎

𝑞=

5

5√3=

√3

3

Las Razones Trigonométricas para el ángulo A


𝐻=

𝑎

𝑝=

5

10=

1

2


𝐻=

𝑞

𝑝=

5√3

10=

√3

2


𝐶𝐴=

𝑞

𝑎=

5

5√3=

√3

3


𝐶𝑂=

𝑝

𝑎=

10

5= 2

𝑆𝑒𝑐𝐴 =𝐻

𝐶𝐴=

𝑝

𝑞=

10

5√3=

2√3

3

𝐶𝑜𝑡𝐴 =𝐶𝐴

𝐶𝑂=

𝑞

𝑎=

5√3

5= √3


𝐶𝑜𝑠 𝑄 =1

2= 0.5

𝑄 = 𝐴𝑟𝑐 𝐶𝑜𝑠1

2= cos−1

1

2= 60°

Como Los ángulos A y Q son complementarios, entonces suman 90° ∡𝐴 = 90° − ∡𝑄 = 90° − 60° = 30°

Si comparamos las Razones Trigonométricas para el ∡𝑄 y para el ∡𝐴, observamos que:

𝑆𝑒𝑛𝑄 = 𝐶𝑜𝑠𝐴 𝐶𝑠𝑐𝑄 = 𝑆𝑒𝑐𝐴 𝐶𝑜𝑠𝑄 = 𝑆𝑒𝑛𝐴 𝑆𝑒𝑐𝑄 = 𝐶𝑠𝑐𝐴 𝑇𝑎𝑛𝑄 = 𝐶𝑜𝑡𝐴 𝐶𝑜𝑡𝑄 = 𝑇𝑎𝑛𝐴


Ejemplo: Hallar las razones trigonométricas para el triángulo rectángulo ∆𝐴𝐵𝐶, recto en ∡𝐵 = 90°.La hipotenusa vale 15 y uno de los catetos vale 10.

A b=15 c=10

C a=5√5 B

Hallamos el cateto q por teorema de Pitágoras.

𝑎 = √𝑏2 − 𝑐2 = √152 − 102 =

√225 − 100 = √125 =

𝑎 = 5√5 ∡𝐶 𝑎 = 𝐶𝐴 𝑞 = 𝐶𝑂

Razones Trigonométricas para el ∡𝐶

𝑆𝑒𝑛𝐶 =𝐶𝑂

𝐻=

𝑐

𝑏=

10

15=

2

3

𝐶𝑜𝑠𝐶 =𝐶𝐴

𝐻=

𝑎

𝑏=

5√5

15=

√5

3

𝑇𝑎𝑛𝐶 =𝐶𝑂

𝐶𝐴=

𝑐

𝑎=

10

5√5=

2√5

5

𝐶𝑠𝑐𝐶 =𝐻

𝐶𝑂=

𝑏

𝑐=

15

10=

3

2

𝑆𝑒𝑐𝐶 =𝐻

𝐶𝐴=

𝑏

𝑎=

15

5√5=

3√5

5

𝐶𝑜𝑡𝐶 =𝐶𝐴

𝐶𝑂=

𝑎

𝑐=

5√5

10=

√5

2

Las Razones Trigonométricas para el ángulo ∡𝐴


𝐻=

𝑎

𝑏=

5√5

15=

√5

3


𝐻=

𝑐

𝑏=

10

15=

2

3


𝐶𝐴=

𝑎

𝑐=

5√5

10=

√5

2


𝐶𝑂=

𝑏

𝑎=

15

5√5=

3√5

5

𝑆𝑒𝑐𝐴 =𝐻

𝐶𝐴=

𝑏

𝑐=

15

10=

3

5

𝐶𝑜𝑡𝐴 =𝐶𝐴

𝐶𝑂=

𝑐

𝑎=

10

5√5=

2√5

5





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𝑇𝑎𝑛𝐶 =2√5

5= 0.8944

𝐶 = 𝐴𝑟𝑐 𝑇𝑎𝑛2√5

5= tan−1

2√5

5= 41.81°

Como Los ángulos A y Q son complementarios, entonces suman 90° ∡𝐴 = 90° − ∡𝐶 = 90° − 41.81° = 48.19°

Si comparamos las Razones Trigonométricas para el ∡𝐶 y para el ∡𝐴, observamos que:

𝑆𝑒𝑛𝐶 = 𝐶𝑜𝑠𝐴 𝐶𝑠𝑐𝐶 = 𝑆𝑒𝑐𝐴 𝐶𝑜𝑠𝐶 = 𝑆𝑒𝑛𝐴 𝑆𝑒𝑐𝐶 = 𝐶𝑠𝑐𝐴 𝑇𝑎𝑛𝐶 = 𝐶𝑜𝑡𝐴 𝐶𝑜𝑡𝐶 = 𝑇𝑎𝑛𝐴


RESUELVA. Dados los siguientes triángulos rectángulos encuentre las razones trigonométricas de los ángulos agudos. 15 20 15 16 30 25 8 10

EJ. Hallar lo valores de las razones trigonométricas del triángulo rectángulo, dado a continuación.

A d=22 C D

Las medidas de los ángulos son: 1. < 𝐶 = 90° 2. < 𝐷 = 55° 3. Hallamos el ángulo A.

< 𝐴+< 𝐷 = 90° < 𝐴 + 55° = 90°

< 𝐴 = 90° − 55° = 35°

Uso de la calculadora para encontrar las razones trigonometricas. Colacar la calculadora en Mode DEG. Angulo A=35°

𝑆𝑒𝑛 35° = 0.5735

𝐶𝑜𝑠35° = 0.8191

𝑇𝑎𝑛 35° = 0.7002

𝐶𝑠𝑐35° =1

𝑠𝑒𝑛35°= 1.7434

𝑆𝑒𝑐35° =1

𝐶𝑜𝑠35°= 1.2207

𝐶𝑜𝑡35° =1

𝑇𝑎𝑛35°= 1.4281

Razones Trigonometricas para el angulo D = 55°

𝑆𝑒𝑛 55° = 0.8191

𝐶𝑜𝑠55° = 0.5735

𝑇𝑎𝑛 55° = 1.4281

𝐶𝑠𝑐55° =1

𝑠𝑒𝑛55°= 1.2207

𝑆𝑒𝑐55° =1

𝐶𝑜𝑠55°= 1.7434

𝐶𝑜𝑡55° =1

𝑇𝑎𝑛55°= 0.7002

Si uno de los catetos del triangulo vale 22 cm. Cual son las medidas de los otros lados. Trabajamos respuestas con dos cifras decimales.

Hallamos el valor de Hipotenusa.

𝑆𝑒𝑛55° =𝐶𝑂

𝐻=

22

𝑐

Despejar el lado c que es la hipotenusa.

𝑐 =22

𝑆𝑒𝑛55°=

22

0.81= 27.16

Hallamos el valor del otro cateto.

𝐶𝑜𝑠55° =𝐶𝐴

𝐻=

𝑎

𝑐

Despejar el lado a que es la hipotenusa.

𝑎 = 𝑐𝐶𝑜𝑠55° = 27.16(0.57) 𝑎 = 15.48

Ej. Hallar las Razones Trigonometricas para los angulos agudos de un triangulo rectangulo, que uno de sus angulos agudos mide 67°.

A d=124m C

Las medidas de los ángulos son: 4. < 𝐶 = 90°

67° D

5. < 𝐷 = 67° 6. Hallamos el ángulo A.

< 𝐴+< 𝐷 = 90° < 𝐴 + 67° = 90°

< 𝐴 = 90° − 67° = 23°

Uso de la calculadora para encontrar las razones trigonometricas. Colacar la calculadora en Mode DEG.

Angulo A=23° 𝑆𝑒𝑛23° = 0.3907 𝐶𝑜𝑠23° = 0.9205 𝑇𝑎𝑛23° = 0.4244

𝐶𝑠𝑐23° =1

𝑠𝑒𝑛23°= 2.5593

𝑆𝑒𝑐23° =1

𝐶𝑜𝑠23°= 1.0863

𝐶𝑜𝑡23° =1

𝑇𝑎𝑛23°= 2.3558

Angulo D=67° 𝑆𝑒𝑛67° = 0.9205 𝐶𝑜𝑠67° = 0.3907 𝑇𝑎𝑛67° = 2.3558

𝐶𝑠𝑐67° =1

𝑠𝑒𝑛67°= 1.0863

𝑆𝑒𝑐67° =1

𝐶𝑜𝑠67°= 2.5593

𝐶𝑜𝑡67° =1

𝑇𝑎𝑛67°= 0.4244

Si uno de los catetos del triangulo vale 124 cm. Cual son las medidas de los otros lados. Trabajamos respuestas con dos cifras decimales.

Hallamos el valor de Hipotenusa.


𝐻=

124

𝑐

Despejar el lado c que es la hipotenusa.

𝑐 =124

𝑆𝑒𝑛67°=

124

0.92= 134.78𝑐𝑚

Hallamos el valor del otro cateto.


𝐻=

𝑎

𝑐

Despejar el lado a que es la hipotenusa.

𝑎 = 𝑐𝐶𝑜𝑠67° = 134.78(0.39) 𝑎 = 52.56𝑐𝑚

En un triangulo rectangulo uno de los catetos vale 40 pul y el angulo opuesto vale 70°. Hallar los lados y los angulos faltantes.

Nombramos el triangulo. Hallamos el angulo C

∡𝐶 = 90° − ∡𝐴 = 90° − 70° ∡𝐶 = 20°

Hallamos lado c.

𝑇𝑎𝑛70° =𝐶𝑂

𝐶𝐴=

40

𝑐

𝑐 =40

𝑇𝑎𝑛70=

40

2.74= 14.59

Hallamos el lado a. Hipotenusa Usar una de la R.T. q use Hipoten

A 70° b c B a=40pul C


𝐻=

40

𝑏

𝑏 =40

𝑆𝑒𝑛70°=

40

0.93= 43.01𝑝𝑢𝑙

Determine las Razones Trigonometricas de los angulos agudos.

Angulo A=70° 𝑆𝑒𝑛70° = 0.9396 𝐶𝑜𝑠70° = 0.3420 𝑇𝑎𝑛70° = 2.7474

𝐶𝑠𝑐70° =1

𝑠𝑒𝑛70°= 1.0641

𝑆𝑒𝑐70° =1

𝐶𝑜𝑠70°= 2.9238

𝐶𝑜𝑡70° =1

𝑇𝑎𝑛70°= 0.3639

Angulo C=20° 𝑆𝑒𝑛20° = 0.34205 𝐶𝑜𝑠20° = 0.9396 𝑇𝑎𝑛20° = 0.3639

𝐶𝑠𝑐20° =1

𝑠𝑒𝑛20°= 2.9238

𝑆𝑒𝑐20° =1

𝐶𝑜𝑠20°= 1.0641

𝐶𝑜𝑡20° =1

𝑇𝑎𝑛20°= 2.7474

Probar con las medidas de los lados del triangulo que las razones trigonometricas son equivalentes a las encontradas con la calculadora.

𝑅. 𝑇 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∡𝐴 = 70°


𝐻=

𝑎

𝑏=

40

43.01= 0.93


𝐻=

𝑐

𝑏=

14.56

43.01= 0.33


𝐶𝐴=

𝑎

𝑐=

40

14.56= 2.74

𝐶𝑠𝑐70° =𝐻

𝐶𝑂=

𝑏

𝑎=

43.01

40= 1.07

𝑅. 𝑇 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∡𝐶 = 20°


𝐻=

𝑐

𝑏=

14.56

43.01= 0.33


𝐻=

𝑎

𝑏=

40

43.01= 0.93

𝑇𝑎𝑛20° =𝐶𝐴

𝐶𝑂=

𝑐

𝑎=

14.56

40= 0.36

𝐶𝑠𝑐20° =𝐻

𝐶𝑂=

𝑏

𝑐=

43.01

14.56= 2.95





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𝑆𝑒𝑐70° =𝐻

𝐶𝐴=

𝑏

𝑐=

43.01

14.56= 2.95

𝐶𝑜𝑡70° =𝐶𝐴

𝐶𝑂=

𝑐

𝑎=

14.56

40= 0.36

𝑆𝑒𝑐20° =𝐻

𝐶𝐴=

𝑏

𝑎=

43.01

40= 1.07

𝐶𝑜𝑡20° =𝐶𝐴

𝐶𝑂=

𝑎

𝑐=

40

14.56= 2.74

Uso de la calculadora para hallar Razones Trigonometricas.

𝑆𝑒𝑛25° = 0.4226 𝐶𝑜𝑠45.12° = 0.7056 𝑇𝑎𝑛21.62° = 0.3963

𝐶𝑠𝑐123.45° =1

𝑆𝑒𝑛123.45°=

1.1985

𝑆𝑒𝑐168.34° =1

𝐶𝑜𝑠168.34°=

−1.0210

𝐶𝑜𝑡123.45° =1

𝑇𝑎𝑛123.45°=

−0.6606 𝑆𝑒𝑛47.56° = 0.7379

𝐶𝑜𝑠145.23° = −0.8214 𝑇𝑎𝑛235.69° = 1.4653

𝐶𝑠𝑐254.5° =1

𝑆𝑒𝑛254.5°=

−1.0377

𝑆𝑒𝑐268.34° =1

𝐶𝑜𝑠268.34°=

−34.5203

𝐶𝑜𝑡23.84° =1

𝑇𝑎𝑛23.84°=

2.2630 𝑆𝑒𝑛 − 25° = −0.4226

𝐶𝑜𝑠 − 145.12° = −0.8203 𝑇𝑎𝑛 − 225.76° = −1.0268

𝐶𝑠𝑐 − 3.45° =1

𝑆𝑒𝑛 − 3.45°=

−16.6175

𝑆𝑒𝑐 − 79.05° =1

𝐶𝑜𝑠 − 79.05°=

5.2644

𝐶𝑜𝑡 − 271.23° =1

𝑇𝑎𝑛 − 271.23°=

0.0214

𝑆𝑒𝑛25°13´2´´ = 0.4260 𝐶𝑜𝑠145°5´25´´ = −0.8200

𝑇𝑎𝑛56°21´2´´ = 1.5023

𝐶𝑠𝑐78°23´4´´ =1

𝑆𝑒𝑛78°23´4´´=

1.0209

𝑆𝑒𝑐34°56´´ =1

𝐶𝑜𝑠34°56´´=

1.2064

𝐶𝑜𝑡13°3´´ =1

𝑇𝑎𝑛13°3´´=

4.3311 𝑆𝑒𝑛325°1´2´´ = −0.5733

𝐶𝑜𝑠235°24´45´´ = −0.5676 𝑇𝑎𝑛62°27´8´´ = 1.9170

𝐶𝑠𝑐15°17´49´´ =1

𝑆𝑒𝑛15°17´49´´=

3.7904

𝑆𝑒𝑐83°15´57´´ =1

𝐶𝑜𝑠83°15´57´´

8.5278

𝐶𝑜𝑡345°5´8´´ =1

𝑇𝑎𝑛345°5´8´´

−3.7544 𝑆𝑒𝑛 − 125°47´´ = −0.8190

𝐶𝑜𝑠 − 245°6´38´´ = −0.4208 𝑇𝑎𝑛 − 86°27´8´´ = −16.1291

𝐶𝑠𝑐 − 2°9´´ =1

𝑆𝑒𝑛 − 2°9´´=

−28.6179

𝑆𝑒𝑐 − 16°6´6´´ =1

𝐶𝑜𝑠 − 16°6´6´´

1.0408

𝐶𝑜𝑡 − 35°35´´ =1

𝑇𝑎𝑛 − 35°35´´

−0.7004

Con la ayuda de la calculadora encontrar el angulo de la Razon Trigonometrica dada. 1. Hallar el arco de la Razon Trigonometrica. 2. Shift + Razon Trigonometrica.

𝑆𝑒𝑛𝐴 = 0.2567 𝐴 = sen−1 0.2567 = 14.87 = 14°52´27´´

𝐶𝑜𝑠𝐴 = 0.2567 𝐴 = cos−1 0.2567 = 75.12 = 75°7´32´´

𝑇𝑎𝑛𝐴 = 0.2567 𝐴 = tan−1 0.2567 = 14.39 = 14°23´49´´

𝐶𝑠𝑐𝐴 = 1.2567 𝐴 = sen−1(1

1.2567) = 52.72 = 52°43´28´´

𝑆𝑒𝑐 𝐴 = 1.2567 𝐴 = cos−1(1

1.2567) = 37.27 = 37°16´31´´

𝐶𝑜𝑡𝐴 = 0.2567 𝐴 = tan−1(1

0.2567) = 75.60 = 75°36´10´´

𝑆𝑒𝑛𝐴 = 0.3589 𝐴 = sen−1 0.3589 = 21.03 = 21°1´57´´

𝐶𝑜𝑠𝐴 = 0.8964 𝐴 = cos−1 0.8964 = 26.31 = 26°18´40´´

𝑇𝑎𝑛𝐴 = 1,4694 𝐴 = tan−1 1.4694 = 55.76 = 55°45´45´´

𝐶𝑠𝑐𝐴 = 2.3535 𝐴 = sen−1(1

2.3535) = 25.14 = 25°8´39´´

𝑆𝑒𝑐 𝐴 = 4.7813 𝐴 = cos−1(1

4.7813) = 77.92 = 77°55´39´´

𝐶𝑜𝑡𝐴 = 1 𝐴 = tan−1(1

1) = 45 = 45°0´0´´

𝑆𝑒𝑛𝐴 = −0.3589 𝐴 = sen−1 −0.3589 = −21.03 = −21°1´57´´

𝐶𝑜𝑠𝐴 = −0.5664 𝐴 = cos−1 −0.5664 = 124.49 = 124°29´58´´

𝑇𝑎𝑛𝐴 = −3,4672 𝐴 = tan−1 −3.4672 = −73.91 = −73°54´41´´

𝐶𝑠𝑐𝐴 = −1.6248 𝐴

= sen−1(−1

1.6248) = −37.98 = −37°59´7´´

𝑆𝑒𝑐 𝐴 = −2.1614 𝐴 = cos−1(−1

2.1614) = 117.55 = 117°33´32´´

𝐶𝑜𝑡𝐴 = −2.1133 𝐴 = tan−1 (−1

2.1133) = −25.32 = 25°19´23´´

RESOLUCION DE TRIANGULOS. Resolver un triángulo rectángulo, equivale a encontrar todo los valores desconocidos, tales como ángulos, lados, área, perímetro. Para resolver el triángulo es necesario conocer: Dos lados o un lado y uno de los ángulos agudos.

Ej. En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide 25 cm y su ángulo opuesto 24°. Hallar los lados y ángulos desconocidos.

P 24° f r R p=25cm F

Debemos hallar ∡𝐹, lado f y r. Area y perimetro.

∡𝐹 = 90° − 24° = 66°


𝐶𝐴=

𝑓

25

𝑓 = 25𝑇𝑎𝑛66° = 25(2.24) 𝑓 = 56𝑐𝑚


𝐻=

𝑓

𝑟=

56

𝑟

Despejamos r

𝑟 =56

𝑆𝑒𝑛66°=

56

0.91= 61.53𝑐𝑚

Hallamos el perimetro.

𝑃 = 𝑓 + 𝑟 + 𝑝 = 56 + 61.53 + 25

142.53𝑐𝑚

𝐴 =𝑏𝑥ℎ

2=

(25𝑐𝑚)(56𝑐𝑚)

2

=1400

2= 700𝑐𝑚2

Ej. En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide 45 cm y su ángulo adyacente 39°. Hallar los lados y ángulos desconocidos. A y P.

P 51° f r=58.06cm f=36cm 39° R p=45cm F

Debemos hallar ∡𝑃, lado f y r. Area y perimetro.

∡𝑃 = 90° − 39° = 51°


𝐶𝐴=

𝑓

45

𝑓 = 45𝑇𝑎𝑛39° = 45(0,80) 𝑓 = 36𝑐𝑚


𝐻=

𝑓

𝑟=

36

𝑟

Despejamos r

𝑟 =36

𝑆𝑒𝑛39°=

36

0.62= 58.06𝑐𝑚


𝑃 = 𝑓 + 𝑟 + 𝑝 = 36 + 58.06 + 45

139,06𝑐𝑚

𝐴 =𝑏𝑥ℎ

2=

(45𝑐𝑚)(36𝑐𝑚)

2

=1620

2= 810𝑐𝑚2

Ej. En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide 60 cm y uno de sus ángulos agudos 65°. Hallar los lados y ángulos, perímetro y área.

P 65° f r 25° R p=60cm F


∡𝐹 = 90° − 65° = 25°


𝐶𝐴=

60𝑐𝑚

𝑓

𝑓 =60

𝑇𝑎𝑛65°=

60

2.14= 28.03


𝐻=

𝑝

𝑟=

60

𝑟

Despejamos r

𝑟 =60

𝑆𝑒𝑛65°=

60

0.90= 66.66𝑐𝑚

𝑃 = 𝑓 + 𝑟 + 𝑝 =

28.03 + 66.66 + 60 = 154.69𝑐𝑚

𝐴 =𝑏𝑥ℎ

2=

(60𝑐𝑚)(28.03𝑐𝑚)

2





NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

8 de 1

Código:

F-GCA 39

Hallamos el perimetro. =

1681.8

2= 840.9𝑐𝑚2

Otra opcion: Si se toma el angulo adyacente al lado.

P 25° f r 65° R p=60cm F


∡𝑃 = 90° − 65° = 25°


𝐶𝐴=

𝑓

60

𝑓 = 60𝑇𝑎𝑛65° = 60(2.14) 𝑓 = 128.4𝑐𝑚


𝐻=

𝑓

𝑟=

128.4

𝑟

Despejamos r

𝑟 =128.4

𝑆𝑒𝑛65°=

128.4

0.90= 142.66𝑐𝑚


𝑃 = 𝑓 + 𝑟 + 𝑝 =

128.4 + 142.66 + 60 = 331.06𝑐𝑚

𝐴 =𝑏𝑥ℎ

2=

(60𝑐𝑚)(128.4𝑐𝑚)

2

=7704

2= 3.852𝑐𝑚2

Ej. En un triángulo rectángulo los catetos miden 25 y 60 cm. Hallar los lados y ángulos desconocidos. Área y perímetro.

P f=25cm r 22.61° R p=60cm F


𝑇𝑎𝑛𝐹 =𝐶𝑂

𝐶𝐴=

25

60=

5

12

𝐹 = 𝑇𝑎𝑛−1 (5

12) = 22.61°

∢𝑃 = 90° − 22.61° = 67.39

Hallamos el vr de la hipotenusa r

𝑆𝑒𝑛22.61° =𝐶𝑂

𝐻=

𝑓

𝑟=

25

𝑟

Despejamos r

𝑟 =25

𝑆𝑒𝑛22.61°=

25

0.38= 65.78


𝑃 = 𝑓 + 𝑟 + 𝑝 = 25 + 65.78 + 60

150.78𝑐𝑚

𝐴 =𝑏𝑥ℎ

2=

(60𝑐𝑚)(25𝑐𝑚)

2

=1500

2= 750𝑐𝑚2

Ej. En un triángulo rectángulo Se conoce la hipotenusa y mide 18 cm y

su razón 𝑆𝑒𝑛𝑃 =2

5. Hallar lados y ángulos desconocidos. P y A

P 23.57° f r=36 66.43° R p=36cm F

Como 𝑆𝑒𝑛𝑃 =2

5=

𝐶𝑂

𝐻=

𝑝

𝑟=

𝑝

18,

despejamos p. 𝑝 = 2(18) = 36

𝑆𝑒𝑛𝑃 =2

5, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃 =

𝑃 = 𝑆𝑒𝑛−1 (2

5) = 23.57°

Hallamos el angulo F ∢𝐹 = 90° − 23.57° = 66.43

𝑇𝑎𝑛23.57 =𝐶𝑂

𝐶𝐴=

36

𝑓

Despejamos f

𝑓 =36

𝑇𝑎𝑛23.57°=

36

0.43= 83.72


𝑃 = 𝑓 + 𝑟 + 𝑝 =

83.72 + 36 + 83.72 = 142.53𝑐𝑚

𝐴 =𝑏𝑥ℎ

2=

(36𝑐𝑚)(83.72𝑐𝑚)

2

=3013.92

2= 1506.96𝑐𝑚2

RESUELVA. Los siguientes triángulos rectángulos. 1. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 48m y B=26°,

siendo < 𝐴 = 90°. 2. Un dirigible que está volando a 800m de altura, distingue un

pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

3. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 42° y su lado opuesto mide 15m. Hallar lo desconocido.

4. En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide 32 cm y su ángulo adyacente 26°. Hallar los lados y ángulos desconocidos.

5. En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide 160 cm y uno de sus ángulos agudos 75°. Hallar los lados y ángulos, perímetro y área.

6. En un triángulo rectángulo Se conoce la hipotenusa y mide 38 cm

y su razón 𝑆𝑒𝑛𝑃 =3

4. Hallar lados y ángulos desconocidos. P y A.

7. En un triángulo rectángulo los catetos miden 48 y 90 cm. Hallar los lados y ángulos desconocidos. Área y perímetro.

OBSERVACIONES. Guías de trabajo en casa donde se recuerdan algunas operaciones, sus respectivos procesos y solo se entregar máximo el 50% de los ejercicios, donde aparece titulado Resuelva y como trabajo de práctica y afianzamiento el resto de los ejercicios. Debe haber acompañamiento y seguimiento de papas. Toda la guía debe desarrollarse también en el cuaderno como evidencia del trabajo en casa.

Lic. Simeón Cedano Rojas Profesor de la materia GUIA1-2 APRENDIZAJE.PII.10-6.MAT.SCR.doc


instituciÓn educativa normal superior santiago de … · 2020. 5. 14. · instituciÓn educativa...

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