Matemáticas Sesión # 9. Derivadas

Contextualización

Comencemos ahora el estudio del cálculo. Las ideas propias

del cálculo son totalmente diferentes a las del algebra y la

geometría. La fuerza e importancia de estas ideas y de sus

aplicaciones serán aclaradas a lo largo de esta sesión.

En esta sesión introduciremos la llamada derivada de una

función y aprenderás reglas importantes para encontrar estas

derivadas.

Se verá también como se usa la derivada para analizar la

razón de cambio de una cantidad, tal como la razón a la que la

posición de un cuerpo está cambiando.

Introducción

Uno de los problemas principales de que se ocupa el cálculo es el de encontrar la pendiente de la recta tangente a un punto sobre una curva.

¿Son útiles las rectas tangentes en otras curvas?

¿Qué es una recta secante?

¿Cómo se aplica el concepto de recta tangente en la derivada de una función?

Éstas y otras preguntas responderemos a lo largo de la explicación de esta sesión y nos ayudaran a entender de manera mas clara el concepto de derivada de una función.

Extraído de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/Dydx.jpg solo para fines educativos.

Explicación

Definición de derivada

La derivada de una función f es la función denotada por f´ y definida por:

(Siempre que este límite exista). Si puede encontrarse f´(x), se dice que f es diferenciable y f´(x) se llama derivada de f en x, o derivada de f con respecto a x. El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación.

Explicación

Ejemplo1: Encuentra la derivada por medio de su definición de la

función f(x) = x2

Observe que al tomar el limite tratamos a x como una constante porque

era h y no x la que estaba cambiando.

Explicación

Ejemplo2: Encontrar una ecuación de una línea tangente. Si f(x)=2x2+2x+3

en el punto (1,7).

Solución: iniciamos encontrando primero la derivada por definición ya que

el resultado de esta derivada es la pendiente de la línea tangente a la

función en cuestión:

Explicación

Ahora sustituimos el valor de x=1 en la derivada de la función

f´(x)=4x+2

f´(1)= 4(1)+2=6

La línea tangente a la grafica en (1,7) tiene entonces pendiente de 6.

La ecuación buscada es:

y – y1=m(x-x1)

y – 7=(6)(x-1)

y=6x-6+7 entonces la ecuación es: y = 6x +1

Explicación

Cálculo de derivadas

Reglas de diferenciación.

La diferenciación directa de una función por medio de la definición de la derivada, puede ser muy tediosa. Afortunadamente existen reglas que permiten efectuar la diferenciación en forma por completo mecánica y eficiente.

Regla 1. Derivada de una constante

f(x) = c, entonces f´(x) = 0 donde c es cualquier número real.

Regla 2. Derivada de xn

Si f(x) = xn, entonces f´(x) = nxn-1

Explicación

Regla 3. Factor constante

Si f es una función diferenciable y c es una constante, entonces cf(x) es diferenciable si c[f´(x)]

Esto es, la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.

Regla 4. Regla del producto

Si f y g son funciones diferenciables, entonces

Esto significa que, multiplicamos la primer función por la derivada de la segunda función y sumamos la segunda función por la derivada de la primer función.

Explicación

Regla 5. Regla del cociente.

Si f y g son funciones diferenciables, entonces

Esto es, el denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, entre el denominador al cuadrado.

Explicación

Ejemplos: Encuentra la derivada de la función con el uso de la reglas.

1. F(x) = 4

F´(x) = 0

2. F(x) = x3

F´(x) = 3x2

3. F(x) = x7

F´(x) = 7x6

4. F(x) = 4x2

F´(x)=4(2x) = 8x

Explicación

5. F(x) = 5x6

F´(x) = 5(6x5) = 30x5

6. F(x) = 3x4+2x3-7x2-4x+20

F´(x)=12x3+6x2-14x-4

En este ejemplo cuando tenemos una función con n términos sumándose o

restándose se debe de derivar término por término.

Explicación

7. F(x) = (x+4)(x2-4x+4)

F´(x) = (x+4)(2x-4)+(x2-4x+4)(1)

F´(x) = (2x2-4x+8x-16)+ (x2-4x+4)

F´(x) = 3x2-12

En este ejemplo se aplicó la regla de producto y después de aplicar la regla se debe de resolver las multiplicaciones y simplificar.

En este problema se aplicó la regla del cociente y después de aplicarla se resuelven las multiplicaciones del numerador y se simplifican. El denominador nunca se desarrolla.

Explicación

Aplicación de derivadas

Una aplicación muy importante de la derivada implica el movimiento de un

objeto viajando en línea recta. Esto nos da una manera conveniente de

interpretar la derivada como una razón de cambio.

Para denotar el cambio en una variable x, se usa el símbolo de ∆x (léase

“delta x”). Por ejemplo, si x cambia de 1 a 3, entonces el cambio en x es

∆x = 3-1 = 2. El nuevo valor de x(=3) es el viejo valor más el cambio, esto

es, 1 + ∆x.

De manera similar, si t se incrementa en ∆t, el nuevo valor es t + ∆t esta

razón de cambio nos servirá para trabajar la aplicación más usual de la

derivada que es en la física en el movimiento rectilíneo de los cuerpos.

Explicación

Si s= f(t) es la función de posición de un objeto que se mueve en línea recta,

la velocidad media del objeto en el intervalo [t, t+∆t] está dada por

Y la velocidad en el tiempo t está dada por

Esto es, la velocidad en el tiempo t es la primera derivada de la función de

posición de un objeto.

Explicación

Ejemplo: encontrar

a) la velocidad media y

b) b) la velocidad

Si suponemos que la función de posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta es

s=f (t)= 3t2+5, donde t está en segundos y s en metros.

Solución:

Se tiene aquí, t= 10 y ∆t= 10.1-10 = 0.1

Explicación

b. La velocidad está dada por . Cuando t = 10, la velocidad es:

v= 6t = 6(10) = 60 m/s

Obsérvese que la velocidad media en el intervalo [10, 10.1] es cercana a la velocidad

en t= 10. Esto era de esperarse porque la duración del intervalo es pequeña.

Conclusión

La línea tangente a una curva en un punto P es la posición límite de las líneas secantes. La pendiente de la tangente en un punto P se le llama pendiente de la curva en P.

Si y = f(x), la derivada de f en x es la función definida por el limite

Geométricamente, la derivada nos da la pendiente de la curva y = f(x) en el punto (x, f(x)). Una ecuación de la tangente en un punto particular (x1, y1) se obtiene evaluando f´(x), que es la pendiente m de la recta tangente y sustituyendo en la forma punto-pendiente de las ecuaciones de recta.

Cualquier función que es diferenciable en un punto debe también ser continua ahí.

Las reglas básicas para encontrar derivadas se aplican en funciones donde suponemos que son diferenciables.

En la siguiente sesión aplicaremos la operación contraria a la derivación llamada Integración o anti derivada, sus reglas y aplicaciones.

Para aprender más…

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Limites, derivada por definición. Recuperado el día 17 de abril del 2014 de: http://www2.uah.es/fsegundo/calcTeleco/esquemas/LimitesDefinicionDerivada.pdf

Reglas de derivación. Recuperado el día 17 de abril del 2014 de: http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Reglas/FTBasicas.pdf

Videos para resolver la derivada de una función con el uso de las reglas:

Regla de las potencias. Recuperado el dia 17 de abril del 2014 de: https://es.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/power_rule_tutorial/v/power-rule

Propiedades de las derivadas. Recuperado el dia 17 de abril del 2014 de: https://es.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/power_rule_tutorial/v/derivative-properties-and-polynomial-derivatives

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

Bibliografía

Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias

sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall

hispanoamericana, S.A.