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Tema 4

Diferenciabilidad

4.1 Funciones Diferenciables

Cuando estudiamos el Calculo en una variable real, se definıa funcion derivable en unpunto como aquella para la cual existıa la derivada en dicho punto. En el caso defunciones de varias variables no es posible la generalizacion directa de este razonamiento,pues pueden existir las derivadas parciales y, sin embargo, no hacerlo alguna de lasderivadas direccionales. Por esta razon la definicion de funcion derivable es un poco mascompleja en este caso.

Recordemos la definicion para el caso de una variable:

Sea f(x) una funcion definida al menos en un entorno del punto x0 ∈ R, diremos quef(x) es derivable en el punto x0 si existe (y es finito) el lımite:

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)h

= limx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

= f ′(x0)

que recibe el nombre de derivada de la funcion f(x) en el punto x0.En tal situacion, la derivada representaba, desde el punto de vista geometrico, la

pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (x0, y0), de tal maneraque la ecuacion de dicha recta resulta ser:

y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

Es posible ası re-escribir la definicion de funcion derivable, de la forma siguiente:Una funcion f(x) es derivable en x0 si existe1 f ′(x0) y ademas se verifica:

limx→x0

f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0)x− x0

= 0

1Recordemos que con este hecho ya serıa derivable, para el caso de funciones de una variable.

25

26 CALCULO / INGENIERO GEOLOGO / TEMA 4

es decir, que la diferencia entre la funcion: y = f(x), y su recta tangente: y = f(x0) +f ′(x0)(x− x0), sea un infinitesimo en x0 de orden mayor que uno2.

-2-1

01

2-2

-1

0

1

2

-1.5

-1

-0.5

0

x

y

fHx,yL

-2-1

01

2

Ejemplo de funcion para la cual existen las derivadas parciales

y sin embargo no es derivable en el punto (0, 0).

Generalicemos ahora esta version de la definicion para el caso de funciones de dos varia-bles reales:

Una funcion de dos variables reales f(x, y) es diferenciable en el punto (x0, y0) si existenlas derivadas parciales ∂f

∂x (x0, y0) y ∂f∂y (x0, y0) de la funcion en dicho punto, y ademas se

verifica:

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y)− f(x0, y0)− ∂f∂x (x0, y0)(x− x0)− ∂f

∂y (x0, y0)(y − y0)

‖(x, y)− (x0, y0)‖ = 0

donde ‖(x, y)− (x0, y0)‖ denota el modulo o norma del vector (x− x0, y − y0):

‖(x, y)− (x0, y0)‖ = +√

(x− x0)2 + (y − y0)2

Tenemos ası que para definir la diferenciabilidad de f(x, y) en un punto no solo se requierela existencia de las derivadas parciales, tambien que la diferencia entre la funcion y elplano tangente a la superficie z = f(x, y) en dicho punto sea un infinitesimo de ordensuperior a uno, o bien, dicho de una forma menos tecnica: que el plano tangente a lasuperficie constituya una buena aproximacion a la funcion en las cercanıas del punto encuestion.

2Obviamente, esta segunda condicion coincide con la primera, algo que no va a ocurrir en varias

variables. De manera mas general puede definirse una funcion f(x) derivable en x0 como aquella para

la que existe un numero real a tal que:

limx→x0

f(x)− (f(x0) + a (x− x0))

x− x0= 0

Demostrandose entonces trivialmente que en tal caso el numero a debe ser necesariamente:

a = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

es decir, la derivada de f(x) en x0.

CALCULO / INGENIERO GEOLOGO / TEMA 4 27

De forma trivial se generaliza esta definicion para el caso de n variables: Una funcionf(~x) es diferenciable en ~x0 si existen las derivadas parciales de f(~x) en ~x0 y ademas severifica:

lim~x→~x0

f(~x)− f(~x0)−∑n

i=1∂f∂xi

(~x0) (xi − x0i )

‖~x− ~x0‖ = 0

siendo ~x = (x1, . . . , xn) y ~x0 = (x01, . . . , x

0n).

Finalmente, ya de manera completamente general definiremos:

Definicion: Dada la funcion ~f : A ⊂ Rn → Rm, definida al menos en un entorno de~x0, con ~f = (f1, f2, ..., fm), se dice que ~f es diferenciable en el punto ~x0 si existe unaaplicacion lineal L : Rn → Rm (que puede depender de ~x0) tal que se verifica:

lim~x→~x0

‖~f(~x)− ~f(~x0)− L(~x− ~x0)‖‖~x− ~x0‖ = 0

Usando las propiedades de la norma, es facil comprobar que esta igualdad equivale a lasiguiente:

lim~x→~x0

~f(~x)− ~f(~x0)− L(~x− ~x0)‖~x− ~x0‖ = ~0

Definicion: Dada una funcion ~f : A ⊂ Rn → Rm diferenciable en el punto ~x0, se llamaderivada, o diferencial, de ~f en el punto ~x0 y se denota por D~f(~x0), o d~x0

~f , a la unicaaplicacion lineal L : Rn → Rm que verifica la definicion anterior.

Proposicion: La matriz asociada a la aplicacion lineal d~x0f respecto de las bases

canonicas en Rn y Rm es la matriz Jacobiana J(~f)(~x0) =(

∂fi∂xj

)(~x0).

Demostracion:Denominemos ~h = ~x− ~x0, ~h = (h1, . . . , hn). Tendremos entonces que:

L(~h) =

l11 . . . l1n

.... . .

...lm1 . . . lmn

h1

...hn

Dado que ~f(~x) es derivable en ~x0 debe verificarse:

lim~h→~0

~f(~x0 + ~h)− ~f(~x0)− L(~h)

‖~h‖= ~0

y por tanto debe verificarse componente a componente, por ejemplo, para la componente j-esima:

lim~h→~0

fj(~x0 + ~h)− fj(~x0)−∑n

k=1 ljkhk

‖~h‖= 0


Y si tomamos dicho lımite a lo largo de la recta ~h = α~ui, siendo ~ui el correspondiente vector dela base canonica de Rn:

limα→0

fj(~x0 + α~ui)− (fj(~x0) + ljiα)α

= 0 ⇒ ∂fj

∂xi(~x0)− lji = 0

De manera que:

lji =∂fj

∂xi(~x0)

Q.E.D.

Definicion: Una funcion se dice que es diferenciable en un abierto A si es diferenciableen todos los puntos de A.

Nota: Derivadas y diferenciales

Existe un frecuente abuso del lenguaje cuando se trata con funciones diferenciables devarias variables. Es habitual usar indistintamente los terminos derivada, diferencial ymatriz jacobiana, dando por sentada la comprension de los diferentes conceptos involu-crados. Detallaremos brevemente este hecho:

Si recordamos del calculo en una variable, la diferencial en x0 de una funcion f(x)derivable en x0 no era mas que la aplicacion lineal:

df(x0) : R→ R

definida de la forma:df(x0)(h) = f ′(x0) h

Tradicionalmente se denominaba dx, y no h, a la variable sobre la que df(x0) actuaba,de manera que se escribe:

df(x0)(dx) = f ′(x0) dx

Muy frecuentemente se elimina de la expresion anterior a la variable sobre la cual ladiferencial actua (es decir dx), de manera que habitualmente se escribe:

df(x0) = f ′(x0) dx

Analogamente, para una funcion escalar de varias variables: f(x1, . . . , xn), derivable en~x0, la diferencial de f en ~x0 es la aplicacion lineal:

df(~x0)(~h) =(

∂f∂x1

(~x0) . . . ∂f∂xn

(~x0))

h1

...hn

=

n∑

k=1

∂f

∂xk(~x0)hk


Introduciendo la notacion mas habitual: hk ≡ dxk, tendremos:

df(~x0) =∂f

∂x1(~x0) dx1 + . . . +

∂f

∂xn(~x0) dxn

Y finalmente, dando por obvio el punto en el que esta definida la diferencial, laexpresion mas corriente que suele usarse es:

df =∂f

∂x1dx1 + . . . +

∂f

∂xndxn

En el caso de una funcion vectorial, ~f ≡ (f1, . . . , fm), podemos escribir, para cada unade las funciones componentes:

dfj =∂fj

∂x1dx1 + . . . +

∂fj

∂xndxn

En definitiva, hablaremos indistintamente de “derivada” D~f(~x0) (aplicacion lineal enabstracto, sin actuar en ningun vector concreto), “diferencial” d~x0

~f (aplicacion linealactuando sobre el vector (dx1, . . . , dxn)) y “matriz jacobiana” J(~f)(~x0) (matriz asocia-da a la aplicacion lineal en las bases canonicas correspondientes, es decir la matrizde derivadas parciales de la funcion), de una funcion diferenciable en un punto ~x0,obviandose los matices diferenciadores entre estos conceptos.

4.2 Propiedades de las Funciones Diferenciables

Teorema: Sea ~f : A ⊂ Rn → Rm una funcion diferenciable en el punto ~x0, entonces ~f

es continua en ~x0.

Teorema: Sea ~f : A ⊂ Rn → Rm, ~f = (f1, . . . , fm). Supongamos que existen todaslas derivadas parciales de ~f , ∂fi

∂xj, y que son funciones continuas en un entorno de ~x0,

E(~x0) ⊂ A, entonces ~f es diferenciable en ~x0.

Este Teorema permite en la practica determinar con facilidad la derivabilidad de lamayor parte de las funciones que trataremos. Basta con calcular las derivadas parcialesy observar su continuidad. Es de resaltar, no obstante, que el teorema establece suresultado en sentido directo pero no recıproco, es decir, la diferenciabilidad de unafuncion en un punto no implica que las derivadas parciales sean funciones continuas enun entorno de dicho punto.

Definicion: Se dice que una funcion ~f es de clase C1 en un conjunto abierto A ⊂ Rn

si existen las derivadas parciales de ~f en todos los puntos de A y ademas son funcionescontinuas en dichos puntos. Evidentemente el Teorema anterior se re-escribe ahoradiciendo que toda funcion de clase C1 es A es diferenciable en A.


Propiedades Basicas:

1. Sean ~f y ~g dos funciones vectoriales, ~f,~g : A ⊂ Rn → Rm, ambas diferenciables en~x0, entonces se verifica:

1.a) ~f+~g es diferenciable en ~x0 y ademas: D(~f +~g)(~x0) = D~f(~x0)+D~g(~x0). En terminosde las matrices jacobianas, la propiedad se escribe:

J(~f + ~g)(~x0) = J(~f)(~x0) + J(~g)(~x0)

1.b) λ~f es diferenciable en ~x0 y D(λ~f)(~x0) = λD~f(~x0).

J(λ ~f)(~x0) = λJ(~f)(~x0)

2. Sean f, g : A ⊂ Rn → R dos funciones escalares diferenciables en ~x0. Se tieneentonces:2.a) f ·g es diferenciable en ~x0 y D(f ·g)( ~x0) = Df(~x0)g(~x0)+f(~x0)Dg(~x0). Las matricesjacobianas correspondientes (en este caso matrices fila simplemente) verificaran al mismaidentidad:

J(f · g)( ~x0) = J(f)(~x0) g(~x0) + f(~x0) J(g)(~x0)

2.b) Si g(~x0) 6= 0 entonces la funcion cociente: fg , es diferenciable en el punto ~x0 y se

verifica:

D

(f

g

)(~x0) =

Df(~x0)g(~x0)− f(~x0)Dg(~x0)(g(~x0))2

y analogamente para las correspondientes matrices.

Regla de la Cadena. Finalmente, dedicaremos un apartado especial a la Regla de lacadena, pues es la propiedad de las funciones diferenciables menos trivial, y con masaplicaciones y posibilidades.

Recordemos en primer lugar como funcionaba la regla de la cadena para las funcionesde una variable. Se trataba de como derivar la funcion composicion de dos funcionesderivables. Es decir, si f(x) es derivable en x0 y g(x) es derivable en f(x0), entonces(g ◦ f)(x) tambien es derivable en x0 y se verifica:

(g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0)) f ′(x0)

De manera general estas expresiones van a ser validas sustituyendo las derivadas ordi-narias por las matrices jacobianas correspondientes. Veamos:

Sean ~f : Rn → Rm una funcion vectorial de n variables reales definida al menos en unentorno del punto ~x0 ∈ Rn, y sea ~g : Rm → Rp definida de tal manera que la imagen de~f este contenida en el dominio de g, Im ~f ⊂ Dom ~g. En tales circunstancias estara bien


definida la funcion compuesta: ~h = ~g ◦ ~f , ~h : Rn → Rp, que por definicion actua de laforma:

~h(~x) = ~g ◦ ~f(~x) = ~g(

~f(~x))

, ∀~x ∈ Dom ~f

Entonces, si ~f es diferenciable en el punto ~x0 y ~g es diferenciable en el punto ~f(~x0), severifica que ~h es diferenciable en el punto ~x0 y ademas:

D~h(~x0) = D~g(~f(~x0))D~f(~x0)

Si J(~f)(~x0) es la matriz jacobiana de ~f en ~x0 y J(~g)(~f(~x0)) es la correspondiente a ~g enel punto ~y0 = ~f(~x0), entonces tendremos que la matriz jacobiana de ~h en ~x0 verificarala ecuacion matricial:

J(~h)(~x0) = J(~g ◦ ~f)(~x0) = J(~g)(~f(~x0)) · J(~f)(~x0)

Ejemplo: Sea ~f(x, y, z) = (x2 − y2, x + y + z2) una funcion vectorial, ~f : R3 → R2, y sea~g : R2 → R2, ~g(u, v) = (u + v, u2 − uv). Determinemos la matriz jacobiana de ~h = ~g ◦ ~f en elpunto (1, 1, 1). Tendremos:

J(~f) =

(∂f1∂x

∂f1∂y

∂f1∂z

∂f2∂x

∂f2∂y

∂f2∂z

)=

(2x −2y 01 1 2z

)⇒ J(~f)(1, 1, 1) =

(2 −2 01 1 2

)

Debemos calcular ~f(1, 1, 1) = (0, 3), ası:

J(~g) =

(∂g1∂u

∂g1∂v

∂g2∂u

∂g2∂v

)=

(1 1

2u− v −u

)⇒ J(~g)(0, 3) =

(1 1−3 0

)

Finalmente:

J(~h)(1, 1, 1) =

(1 1−3 0

)·(

2 −2 01 1 2

)=

(3 −1 2−6 6 0

)

Detallaremos a continuacion algunos casos particulares concretos para los que la reglade la cadena resulta especialmente util.

Caso Particular 1. Consideremos la composicion de una funcion escalar f(x, y, z) yuna vectorial: ~σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) (curva en R3):

f : R3 → R , ~σ : R→ R3

La funcion compuesta G(t) es una funcion de una variable real:

G(t) = f ◦ ~σ(t) = f(x(t), y(t), z(t))


Aplicando la regla de la cadena:

G′(t) =dG

dt=

(∂f∂x

∂f∂y

∂f∂z

)·

dxdtdydtdzdt

Tenemos en definitiva:

dG

dt=

∂f

∂x

dx

dt+

∂f

∂y

dy

dt+

∂f

∂z

dz

dt

donde evidentemente las parciales de f han de ser tomadas actuando sobre (x(t), y(t), z(t)).Si recordamos ahora que se definio el gradiente de una funcion escalar f(x, y, z)

simplemente como su matriz de derivadas parciales escrita en forma de vector:

grad f(x, y, z) = ~∇f(x, y, z) =(

∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)=

∂f

∂x~ı +

∂f

∂y~ +

∂f

∂z~κ

mientras que la derivada de una curva ~σ(t) era a su vez interpretable como el vectortangente a dicha curva:

~σ′(t) =(

dx

dt,dy

dt,dz

dt

)=

dx

dt~ı +

dy

dt~ +

dz

dt~κ

tendremos que la regla de la cadena antes escrita puede reinterpretarse ahora en la forma:

dG

dt(t) = grad f(~σ(t)) · ~σ′(t)

denotando en este caso el punto al producto escalar estandar de vectores de R3.

Caso Particular 2. Un caso que se presenta muy habitualmente en las Matematicasaplicadas a las ciencias y la tecnica es el siguiente: Sea f una funcion escalar definidaen R3, y sea ~g : R3 → R3 un campo en R3. Tendremos ası la composicion: h(x, y, z) =f ◦ ~g(x, y, z). Si denotamos ~g(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)), y llamamos(u, v, w) a las variables de las que depende la funcion f , tendremos:

(∂h∂x

∂h∂y

∂h∂z

)=

(∂f∂u

∂f∂v

∂f∂w

)·

∂u∂x

∂u∂y

∂u∂z

∂v∂x

∂v∂y

∂v∂z

∂w∂x

∂w∂y

∂w∂z

Ası por ejemplo, para la derivada ∂h∂x tendremos:

∂h

∂x=

∂f

∂u

∂u

∂x+

∂f

∂v

∂v

∂x+

∂f

∂w

∂w

∂x

y analogamente para las demas variables.


4.3 Gradientes y derivadas direccionales

Aunque ya definimos el gradiente en el tema anterior, recordemos la definicion:Definicion: Sea f : U ⊂ Rn → R una funcion diferenciable sobre el abierto U , se defineel gradiente de f(~x) en el punto ~x de U como el vector de Rn:

gradf = ~∇f =(

∂f

∂x1, . . . ,

∂f

∂xn

)

Mientras que la derivada direccional la definıamos de la forma:

Definicion: Sea f : Rn → R definida al menos en un entorno de ~x0, y sea ~v un vectorde Rn tal que ‖~v‖ = 1. Se define la derivada direccional de f en la direccion de ~v en elpunto ~x0 ∈ Domf de las siguientes dos maneras equivalentes:

D~vf(~x0) = limh→0

f(~x0 + h~v)− f(~x0)h

=d

dtf(~x0 + t~v)

∣∣∣∣t=0

Presentaremos a continuacion un resultado que permite en la practica calcular comoda-mente las derivadas direccionales de las funciones diferenciables:

Teorema. Si f(~x) es una funcion escalar diferenciable en ~x, entonces existen todas susderivadas direccionales en ~x, y ademas se verifica:

D~vf(~x) = gradf .~v

para cualquier vector ~v 6= ~0.

Dem: Definamos la funcion G(t) = f(~x+ t~v) = f(~σ(t)), siendo por tanto ~σ(t) = ~x+ t~v, es decir,la recta que pasa por ~x y que tiene a ~v como vector director. G(t) es evidentemente diferenciable,ademas G′(0) = D~vf , y ası, por la regla de la cadena:

D~vf(~x) = G′(0) = grad f(~x) · ~σ′(0) = ~∇f(~x) · ~v

Q.E.D.

Propiedades.

1) El vector gradiente de una funcion en un punto determina la direccion y el sentidode maximo crecimiento de la funcion. Dicho de otra forma, marca la direccion y sentidoen el que la derivada direccional es maxima.

Dem: Si se considera, como hacemos habitualmente, que el vector ~v es unitario, tendremos:

D~vf = grad(f) · ~v = ‖gradf‖ ‖~v‖ cos θ = ‖gradf‖ cos θ

luego cos θ = 1, es decir: θ = 0, proporciona el maximo valor posible de la derivada direccional,

y por tanto el vector ~v correspondiente a dicha derivada maxima, y gradf , son paralelos.


2) Sea f : R2 → R una funcion escalar de dos variables reales, de clase C1 en su dominio,y sea Ck la curva de nivel k de dicha funcion, es decir: Ck = {(x, y) ∈ R2 / f(x, y) = k}.Entonces el gradiente de f es ortogonal a Ck en cada uno de los puntos de dicha curva.(Recordemos que la ortogonalidad entre un vector y una curva se entiende en terminosde la perpendicularidad entre el vector y el vector tangente a dicha curva).

3) Sea f : R3 → R una funcion de clase C1 y sea (x0, y0, z0) un punto en la superficie denivel Sk = {(x, y, z) ∈ R3 / f(x, y, z) = k siendo k una constante. Entonces el gradientede f en ese punto es normal a dicha superficie de nivel. (En este caso la ortogonalidadse entiende con respecto al plano tangente a SK en el punto, o alternativamente, conrespecto al vector tangente a cualquier trayectoria ~σ(t) contenida en Sk, con ~σ(t0) =(x0, y0, z0)).

Dem: Evidentemente las propiedades 2) y 3) son ambas casos particulares del caso general enRn. Demostremos la propiedad 3):

Sea ~σ(t) una curva tal que ~σ(t) ∈ Sk, ∀t, entonces ~σ′(t0) es un vector tangente a Sk en~σ(0) = (x0, y0, z0). Tendremos entonces:

d

dt(f(~x0 + t~σ′(0)) |t=0 = grad f · ~σ′(0) = 0

Q.E.D.

De las propiedades 2) y 3) se deduce de manera inmediata lo siguientes:

• Si f(x, y) − k = 0 es la ecuacion de una curva en R2 (evidentemente se trata de lacurva de nivel Ck de la funcion f(x, y)), con f(x, y) de clase C1, entonces la ecuacion dela recta tangente a dicha curva en el punto (x0, y0) puede escribirse de la forma:

grad f(x0, y0) · (x− x0, y − y0) = 0 ⇔ ∂f

∂x

∣∣∣∣(x0,y0)

(x− x0) +∂f

∂y

∣∣∣∣(x0,y0)

(y − y0) = 0

• Analogamente, si f(x, y, z) − k = 0 es la ecuacion de una superficie en R3 (superficiede nivel Sk de la funcion f(x, y, z)), con f(x, y, z) de clase C1, entonces la ecuacion delplano tangente a la superficie en el punto (x0, y0, z0) se escribe:

grad f(x0, y0, z0) ·(x−x0, y−y0, z−z0) = 0 ⇔ ∂f

∂x(x−x0)+

∂f

∂y(y−y0)+

∂f

∂z(z−z0) = 0

donde las derivadas parciales son evaluadas obviamente en (x0, y0, z0).

Ejemplo: Calculemos la ecuacion del plano tangente al elipsoide de revolucion:

x2

4+

y2

4+ z2 = 1

en el punto (1, 1, 1√2).


Tomaremos f(x, y, z) = x2

4 + y2

4 + z2, y ası:

grad f = (x

2,y

2, 2z) ⇒ grad f(1, 1,

1√2) = (

12,12,√

2)

El plano tangente sera:

(12,12,√

2) · (x− 1, y − 1, z − 1√2) = 0 ⇒ x

2+

y

2+√

2z = 2

4.4 Derivadas de orden superior

Definicion: Sea f : A ⊂ Rn → R una funcion de varias variables definida al menosen un entorno A de ~x0 y diferenciable en dicho entorno. Llamaremos derivada parcialsegunda respecto de las variables xi y xj de una funcion f , en ~x0, y lo denotaremospor fxi,xj (~x0) ≡ ∂2f

∂xi∂xj(~x0) a la derivada parcial respecto de la variable xi, en ~x0, de la

funcion ∂f∂xj

, es decir, ∂2f∂xi∂xj

(~x0) = ∂∂xi

(∂f∂xj

)(~x0).

Analogamente se definen derivadas parciales de orden superior.

Ejemplo: Dada la funcion f(x, y) = x2 + y3x + 1 hallar todas las derivadas segundas posibles.

∂f

∂x= 2x + y3 ∂f

∂y= 3y2x

y por ello∂2f

∂x2= 2

∂2f

∂x∂y= 3y2 ∂2f

∂y∂x= 3y2 ∂2f

∂y2= 6yx

Definicion: Dada una funcion f : A ⊂ Rm → R, diremos que f es de clase Cr en unabierto V ⊂ A si para todo ~x ∈ V existen y son continuas todas las derivadas parciales def hasta el orden r inclusive. Si existen y son continuas todas las derivadas de cualquierorden se dice que f es de clase C∞.

Teorema de Schwarz. Dada una funcion f : A ⊂ Rn → R de clase C2 en un entornoE(~x0) de ~x0 contenido en A, entonces se cumple que

∂2f

∂xi∂xj(~x0) =

∂2f

∂xj∂xi(~x0)

El teorema anterior se generaliza facilmente para las derivadas de orden superior. Seaf : A ⊂ Rn → R una funcion de clase Ck y ~x0 ∈ A, entonces se verifica que:

∂mf

∂xi1 · . . . · ∂xim

(~x0) =∂mf

∂xπ(i1) · . . . · ∂xπ(im)(~x0) ∀m = 2, . . . , k


siendo π cualquier permutacion de los ındices dados.

Matriz hessiana: Como vimos en una seccion anterior, si una funcion f : A ⊂ Rn → Res diferenciable en un punto ~x0 ∈ A, su diferencial es una aplicacion lineal d~x0

f : Rn → R,cuya matriz jacobiana asociada es una matriz fila:Si f es de clase C2 diferenciable en un entorno de ~x0, tenemos en total n2 derivadasparciales segundas de f . Se define estonces la matriz hessiana de f en ~x0 como la matrizde derivadas parciales segundas siguiente:

H~x0(f) =

∂2f∂x2

1

∂2f∂x1∂x2

· · · ∂2f∂x1∂xn

∂2f∂x2∂x1

∂2f∂x2

2· · · ∂2f

∂x2∂xn

· · · · · · . . . · · ·∂2f

∂xn∂x1

∂2f∂xn∂x2

· · · ∂2f∂x2

n

(~x0)

Usando el Teorema de Schwarz es evidente que se trata de una matriz simetrica.

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