1

ANÁLISIS DE FUNCIONES.I.1. INTRODUCCIÓN.

En todos los campos de las ciencias, la mejor forma de representar las funciones es por medio de gráficas. Si se adquiere habilidad para su interpretación, esto será de gran utilidad en casi cualquier actividad. Las propiedades que se deben considerar en estas curvas son:

Simetría.

Campo de variación ( Dominio y rango ).

Intersección con los ejes.

Máximos, mínimos, inflexión y concavidad.

(1) Simetría. Una curva es simétrica con respecto a:(a) El eje “x”, si su ecuación no varía al cambiar “y” por “- y”

(b) El eje “y”, si su ecuación no varía al cambiar “x” por “- x”

(c) El origen, si su ecuación no varía al cambiar “x” por “- x” y “y” por “- y”

(2) Campo de variación ( Dominio y rango ).El campo de variación horizontal es el de la variable “x” ( dominio ), el campo de variación vertical es el de la función “y” ( contradominio o rango ). Un punto ( x0, y0 ) recibe el nombre de punto aislado de la curva si sus coordenadas satisfacen la ecuación de ésta.

(3) Intersección con los ejes. Deben localizarse los puntos de corte con los ejes coordenados, si los hay. Con el eje “x”, despejando x en la ecuación “y = 0 “. Con el eje “y”, despejando y en la ecuación “ x = 0 “.

(4) Primera derivada ( f ) : Máximos y mínimos (primer método).

Función creciente si f ( x ) es positiva, ( pendiente positiva, ángulo agudo ).

Función decreciente si f (x) es negativa, (pendiente negativa, ángulo obtuso).

(5) Segunda derivada ( f ) : Máximos y mínimos. (Segundo método).

Puntos de inflexión.

Función cóncava si su f ( x ) es positiva.

Función convexa si su f ( x ) es negativa.

I.2. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES(1) Función creciente.- Una función es creciente si “y” [ f(x) ] aumenta cuando “x”

aumenta. Su derivada es positiva.(2) Función decreciente.- Una función es decreciente si “y” disminuye cuando “x” aumente.

Su derivada es negativa.I.3. MÁXIMOS Y MINIMOS.

(1) Primer método para calcular máximos y mínimos.- En la aplicación de este método, se recomiendan los pasos siguientes:I. Se encuentra la primera derivada.II. Se iguala la primera derivada a cero y se calculan las raíces reales de la ecuación

resultante. Estas raíces serán los valores críticos de la variable.

2

III. Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor ( mayor que cualquier valor crítico menor al que se analiza ) que el valor crítico y después para un valor un poco mayor. Si el signo de la derivada es primeramente + y después – , la función tiene un máximo para este valor crítico de la variable; en caso contrario, tiene un mínimo. Si no hay cambio de signo, no hay máximo ni mínimo para ese valor crítico.

(2) Segundo método para determinar máximos y mínimos.- Se recomiendan los pasos siguientes en el cálculo de máximos y mínimos con este método:

I. Calcular la primera derivada de la función.II. Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuación; las raíces reales son los

valores críticos de la variable.III. Determinar la segunda derivada.IV. Sustituir en la segunda derivada, en lugar de la variable, cada uno de los valores

críticos obtenidos. Si el resultado es negativo, la función tiene un máximo para ese valor crítico considerado; si el resultado es positivo, la función tiene un mínimo.Si f (x) = 0; se aplica el primer método, puesto que puede existir un máximo o mínimo para el valor crítico respectivo.

I.4. CONCAVIDAD DE UNA CURVA Concavidad de una curva.-El criterio para determinar el sentido de la concavidad de una curva en un punto es: La gráfica de y = f(x) es cóncava hacia arriba si la segunda derivada de y con respecto a x es positiva; es cóncava hacia abajo (convexo) si esta derivada es negativa.

I.5. PUNTOS DE INFLEXIÓN (1) Definición.- Un punto de inflexión en una curva es el punto en el cual la curva pasa de

cóncava a convexa o viceversa. Es el punto que separa arcos que tienen sentido de concavidad opuestos.

(2) Determinación de puntos de inflexión.-Para encontrar las coordenadas de los puntos de inflexión de una curva, se recomienda aplicar los siguientes pasos:I. Encontrar f (x) (segunda derivada)II. Igualar a cero f (x), resolver la ecuación resultante para considerar las raíces

reales encontradas.III. Se evalúa f (x), primero para valores de x un poco menores y después un poco

mayores que cada una de las raíces obtenidas en el segundo paso. Si f (x) cambia de signo, entonces se tiene un punto de inflexión.

IV. Se evalúa la función original para determinar la ordenada del punto de inflexión en el valor de x considerado.

Hay que recordar que:Si f (x) es positiva, la curva es cóncava hacia arriba.Si f (x) es negativa, la curva es cóncava hacia abajo.

EJERCICIOS (ANÁLISIS DE FUNCIONES) Analiza la función que se proporciona en cada inciso (Máximos y mínimos, puntos de inflexión, si

es creciente o decreciente, concavidad, intersecciones con los ejes, simetría, campo de variación y gráfica:

1) y = 2x2 - x4 ; 2) f (x) = 10 + 12x – 3x2 - 2x3 ;

3

3) y = x4+ 2x3 - 3x2 - 4x + 4;4) f ( x ) = 2x3 + 3x2

- 12x;5) f ( x ) = x3 - 6x2 + 9x - 8;6) f (x) = (x2 - 4)2 ;7) y = x4 - 4x2 + 4 ;8) y = 3x5 - 20x3 ;

9) y = ( 2 – x )3 ;10) y = x2 + 2x – 3;11) y = x2 – 9;12) y = 3 + 2x - x2 ;13) y = x2 + 4x;14) y = 4x - x2 ;

1) y = 2x2 - x4

I.1. MÁXIMOS Y MINIMOS. f ‘ (x) = 4x - 4x3

4x - 4x3 = 0 Valores críticos: x 1 = - 1; x 2 = 0; x 3 = 1

f ‘‘ (x) = 4 - 12x2 f ‘‘ (- 1 ) = 4 – 12 ( - 1 )2 = - 8; por ser f ‘‘ (x) NEG.; hay MAX.

MAX. = f ( - 1 ) = 2 ( - 1 ) 2 - ( - 1 ) 4 = 1; ( - 1, 1 )

f ‘‘ ( 0 ) = 4 – 12 ( 0 )2 = 4; por ser f ‘‘ (x) POSIT.; hay MIN. MIN. = f ( 0 ) = 2 ( 0 ) 2 - ( 0 ) 4 = 0; ( 0, 0 )

f ‘‘ ( 1 ) = 4 – 12 ( 1 )2 = - 8; por ser f ‘‘ (x) NEG.; hay MAX. MAX. = f ( 1 ) = 2 ( 1 ) 2 - ( 1 ) 4 = 1; ( 1, 1 )

I.2. PUNTOS DE INFLEXION f ‘ (x) = 4x - 4x3

f ‘‘ (x) = 4 - 12x2 4 – 12 x 2 = 0

Raíces reales: x 1 = √ 13 ; x 2 = - √ 1

3 ;

Para x 1 = √ 13 ; valor menor = 0; valor mayor = 1

f ‘‘ ( 0 ) = 4 – 12 ( 0 )2 = 4; f ‘‘ ( 1 ) = 4 – 12 ( 1 )2 = - 8; como f ‘‘ ( x ) cambia de signo, hay P. I.

P. I. = f (√ 13 ) = 2 (√ 1

3 ) 2 - (√ 13 ) 4 =

59 ; (√ 1

3 ,

59 )

Para x 1 = - √ 13 ; valor menor = - 1 ; valor mayor = 0

f ‘‘ ( - 1 ) = 4 – 12 ( - 1 )2 = - 8; f ‘‘ ( 0 ) = 4 – 12 ( 0 )2 = 4; como f ‘‘ ( x ) cambia de signo, hay P. I.

4

P. I. = f ( -√ 13 ) = 2 ( -√ 1

3 ) 2 - ( -√ 13 ) 4 =

59 ; ( -√ 1

3 ,

59 )

I.3. INTERSECCIONES CON LOS EJES

Con el eje “x”: y = 0; 2x2 - x4 = 0; x 1 =-√ 2 ; x 2 =x 3 = 0; x 4 = √ 2 ;

( -√ 2 , 0 ); ( 0, 0 ): (√ 2 , 0 )Con el eje “y”: x = 0; y = 2 ( 0 )2 – ( 0 )4 = 0; ( 0, 0 )

I.4. GRAFICA

I.5. FUNCION CRECIENTE O DECRECIENTE Para x < - 1 0 < x < 1 ; f ‘ (x) = 4x - 4x3 es POSITIVA; f ( x ) es CRECIENTE. Para – 1 < x < 0 1 < x; f ‘ (x) = 4x - 4x3 es NEGATIVA; f ( x ) es DECRECIENTE.

I.6. CONCAVIDAD

Para x < - √ 13 √ 1

3 < x ; f ‘ ‘ (x) = 4 - 12x2 es NEGATIVA; f ( x ) es CONVEXA.

Para –√ 13 < x < √ 1

3 ; f ‘ ‘ (x) = 4 - 12x2 es POSITIVA; f ( x ) es CONCAVA

I.7. CAMPO DE VARIACIONDominio ( Variación en eje “x” ): ( - , + ). Rango ( Variación en eje “y” ): ( - , 1 .

I.8. SIMETRIANo es simétrica con el eje “x” porque; y = 2x2 - x4 es diferente de - y = 2x2 - x4 .

5

Es simétrica con el eje “y” porque; y = 2x2 - x4 no cambia con y = 2 (-x)2 – (-x)4

8) f ( x ) = 3x5 - 20x3

I.1. MÁXIMOS Y MINIMOS.

f ‘ (x) = 15x4 - 60x2 15x4 - 60x2 = 0 Valores críticos: x 1 = - 2; x 2 = 0; x 3 = 2

f ‘‘ (x) = 60x3 – 120 x f ‘‘ (- 2 ) = 60 ( -2 )3 – 120 ( - 2 ) = - 240; por ser f ‘‘ (x) NEG.; hay MAX.

MAX. = f ( - 2 ) = 3 ( - 2 ) 5 - 20 ( - 2 ) 3 = 64; ( - 2, 64 )

f ‘‘ ( 0 ) = 60 ( 0 )3 – 120 ( 0 ) = 0; por ser f ‘‘ (x) = 0, se revisa con primer método

f ‘‘ ( 2 ) = 60 ( 2 )3 – 120 ( 2 ) = 240; por ser f ‘‘ (x) POSIT; hay MIN. MIN. = f ( 2 ) = 3 ( 2 ) 5 - 20 ( 2 ) 3 = - 64; ( 2, - 64 )

Para x 2 = 0; valor menor = - 1; valor mayor = 1f ‘ ( - 1 ) = 15 ( - 1 )4 – 60 ( - 1 )2 = - 45; f ‘ ( 1 ) = 15 ( 1 )4 – 60 ( 1 )2 = - 45por no haber cambio de signo, no hay MAX. ni MIN.

I.2. PUNTOS DE INFLEXION

f ‘ (x) = 15x4 - 60x2

f ‘‘ (x) = 60x3 – 120 x

60x3 – 120 x = 0

Raíces reales: x 1 = -√ 2 ; x 2 = 0; x 3 = √ 2Para x 1 = -√ 2 ; valor menor = - 2; valor mayor = - 1

f ‘‘ (- 2 ) = 60 ( - 2 )3 – 120 ( - 2 ) = - 240; f ‘‘ ( - 1 ) = 60 ( - 1 )3 – 120 ( - 1 ) = 60; como f ‘‘ ( x ) cambia de signo, hay P. I.

P. I. = f (-√ 2 ) = 3 (-√ 2 ) 5 - 20(-√ 2 ) 3 = 28√ 2 ; (-√ 2 ,28√ 2 ) Para x 2 = 0; valor menor = - 1; valor mayor = 1

f ‘‘ ( - 1 ) = 60 ( - 1 )3 – 120 ( - 1 ) = 60; f ‘‘ ( 1 ) = 60 ( 1 )3 – 120 ( 1 ) = - 60;como f ‘‘ ( x ) cambia de signo, hay P. I. P. I. = f ( 0 ) = 3 ( 0 ) 5 - 20( 0 ) 3 = 0; ( 0, 0 )

Para x 1 =√ 2 ; valor menor = 1; valor mayor = 2 f ‘‘ ( 1 ) = 60 ( 1 )3 – 120 ( 1 ) = - 60; f ‘‘ ( 2 ) = 60 ( 2 )3 – 120 ( 2 ) = 240; como f ‘‘ ( x ) cambia de signo, hay P. I.

P. I. = f (√ 2 ) = 3 (√ 2 ) 5 - 20(√ 2 ) 3 = - 28√ 2 ; (√ 2 , - 28√ 2 )

6

I.3. INTERSECCIONES CON LOS EJES

Con el eje “x”: y = 0; 3x5 - 20x3 = 0; x 1 = − 2 √ 15

3 ; x 2 = 0;

x 3 =

2 √ 153 ; (

− 2 √ 153 , 0 ); ( 0, 0 ): (

2 √ 153 , 0 )

Con el eje “y”: x = 0; y = 3 ( 0 )5 – 20 ( 0 )3 = 0; ( 0, 0 )

I.4. GRAFICA

I.5. FUNCION

CRECIENTE O DECRECIENTE Para x < - 2 x > 2 ; f ‘ (x) = 15x4 - 60x2 es POSITIVA; f ( x ) es CRECIENTE. Para – 2 < x < 2; f ‘ (x) = 15x4 - 60x2 es NEGATIVA; f ( x ) es DECRECIENTE.

I.6. CONCAVIDAD

Para x < - √ 2 0< x < √ 2 ; f ‘‘ (x) = 60x3 – 120 x es NEGATIVA; f ( x ) es CONVEXA.

Para –√ 2 < x < 0 x >√ 2 f ‘‘ (x) = 60x3 – 120 x es POSITIVA; f ( x ) es CONCAVA

I.7. CAMPO DE VARIACIONDominio ( Variación en eje “x” ): ( - , + ). Rango ( Variación en eje “y” ): ( - , + ).

I.8. SIMETRIANo es simétrica con el eje “x” porque; y = 3x5 - 20x3 es diferente de - y = 3x5 - 20x3 No es simétrica con el eje “y” porque; y = 3x5 - 20x3 es diferente de y =3(-x)5–20(-x )3

7

RAZON DE CAMBIO

Variables relacionadasLos conceptos de crecimiento y de decrecimiento de funciones, se aplican también a

funciones que varían con el tiempo; si la variable y depende del tiempo t, entonces

dydt se llama:

razón de cambio con respecto al tiempo. En particular, si y mide una distancia,

dydt se llama

velocidad.Nuestro interés está centrado en una amplia variedad de razones de cambio con respecto

al tiempo: La razón con la que el agua fluye en un depósito, la razón con la cual crece o decrece su altura, la razón en la cual se separan dos móviles, después de pasar por un punto específico P, etc.

Cuando la variable y depende solo de t, basta con derivar y calcular el valor de la derivada en el tiempo requerido. Pero, en la mayoría de los casos, la variable y está ligada (relacionada) con otras variables de las cuales conocemos su razón de cambio.

Estos problemas donde intervienen derivadas de variables relacionadas entre si, se llaman: problemas de variables ligadas, o de variables relacionadas, o razones afines y es típico en ellos que:

1. Ciertas variables estén relacionadas en forma determinada para todos los valores de t que se consideran en el problema.

2. Se conocen los valores de algunas o de todas las variables y de sus derivadas para un instante dado;

3. Se pide hallar la derivada de una o de varias de las variables en dicho instante.

RAZON DE CAMBIOComenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable

independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)La cantidad de dinero en una cuenta en un bancoEl volumen de un globo mientras se inflaLa distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viajeEl cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+∆t, es el incremento ∆QLa Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón

de cambio ∆Q en Q con respecto del cambio ∆t en t, por lo que es el cociente ∆ Q∆ t

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de

esta razón promedio cuando ∆t→0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es dqdt

8

Lo cual simplemente es la derivada f ´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q =f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t , f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q =f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así

Q es creciente en el instante t si Q es decreciente en el instante t si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente.

9

Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo

[x , x+∆x] es el cociente Δ yΔ x

La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando ∆x→0, de la

razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es

dydx

LA DERIVACION COMO RAZON DE CAMBIO

La aplicación de la "Razón del cambio", tiene muchas usos, por ejemplo: Los índices de reprobación en Diseño Estructurado de Algoritmos, los costos de producción.

Normalmente las razones de cambio se refieren a los cambios respecto al tiempo, pero se puede buscar la "razón del cambio" respecto a cualquier variable relacionada. Por ejemplo: Un basquetbolista hace un tiro al aro, cuya trayectoria está definida por la ecuación y = -0.05x2+2x, observemos la razón del cambio de la altura "y" del balón conforme aumenta su distancia horizontal "x".

Si x = 5 la altura es y = 8.75, si x = 15, la altura del balón es de y = 18.75, el cociente de

incrementos de y al pasar de x = 5 a x = 15 es 18.75−8.75

15−5=1

Supongamos que Martín Gramática ( pateador de futbol ) americano de los Bucaneros de Tampa Bay), tiene que anotar un gol de campo decisivo. Si la trayectoria del balón está definida por la ecuación siguiente: y = x-0.02x2

Calcule y encuentre:

a. La trayectoria del Balón. b. La distancia horizontal que recorre el balón. c. ¿Cuál es el Valor de x para que el balón alcance su máxima altura? d. La ecuación que indica la razón del cambio instantáneo de la altura respecto al

cambio horizontal en x = 0,10,15,20,25,30,50. e. ¿Cuál es la razón del cambio instantáneo de la altura cuando el balón alcanza su

altura máxima?.

x: 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50y: 0 4.5 8 10 12 12.5 12 10 8 4.5 0

 

10

Razones de cambio relacionadas¿Cuán rápido varía una cantidad? En general, una razón de cambio con respecto al tiempo

es la respuesta a esta pregunta. La derivada dydx de una función y=f(x) es una razón de cambio

instantánea con respecto a la variable x. Si la función representa posición o distancia entonces la razón de cambio con respecto al tiempo se interpreta como velocidad.

Si dos cantidades están relacionadas entre sí, entonces cuando una de ellas cambia con el tiempo, la otra cambiará también. Por lo tanto sus razones de cambio (con respecto al tiempo) están relacionadas entre sí. Por ello a este tipo de situaciones se les llama razones de cambio relacionadas. Se proporcionan algunos ejemplos en la siguiente tabla:

Expresión Verbal Modelo Matemático

Velocidad de un carro después de una hora de viaje es 60 mi/hr.

x =distancia

dxdt = 60 cuando t = 1

Se echa agua en una piscina a razón de 10m3/hr.

v = volumen del agua en la piscinadvdt = 10m3/hr

 

Una rueda gira 25 revoluciones /min.

=ángulo de girodαdt =25(2p) radianes/min.

La altura del agua en un cono va disminuyendo a razón de 8 pies/seg

h =altura del aguadhdt = -8 pies/seg

La longitud de la sombra de una persona aumenta a razón de 8 pulg./seg

x =longitud de la sombradxdt = 8 pulg./seg.

A los dos segundos después de haber tirado una bola para arriba la misma va bajando a una velocidad de 12 pies/seg

x = posición o altura de la boladxdt = -12 pies/seg cuando t = 2

Al inflar una bomba redonda, su radio crece a razón de 2 cm/seg

r = radiodrdt = 2 cm/seg

La parte inferior de una escalera que está recostada en una pared se aleja de la

x = distancia entre la parte inferior de la escalera y la pared

11

misma a razón de 8 pulg/seg.dxdt = 8 pulg/seg.

El radio de una bomba que se está desinflando cambia a razón de 3 cm/seg.

r = radiodrdt = -3 cm/seg

     A continuación, examinaremos algunos ejemplos de este tipo de problemas.

PROBLEMA 1:

Una persona de 1.80 metros de altura se aleja de un poste de alumbrado de 6 metros de altura con una velocidad de 1 m/s. ¿Con qué rapidez crece la sombra de la persona?

    Observa la siguiente figura. En ella observarás como cambia la sombra que una persona proyecta sobre el piso, cuando esa persona se aleja de la fuente luminosa.

    Como habrás observado, la longitud de la sombra depende de la distancia de la persona al poste. Puesto que la distancia x cambia con el tiempo, también la longitud de la sombra s cambia con el tiempo. La razón de cambio de la longitud de la sombra con respecto al tiempo, depende de la velocidad con la que la persona se aleja del poste. A esto le llamamos razones de cambio relacionadas. Enseguida, se muestran los cálculos necesarios para encontrar la razón de cambio de la sombra del ejemplo anterior.

La relación entre x y s es: 

 

1 . 8s ( t )

= 6s ( t ) + x ( t )

Despejando a s(t) obtenemos: 

s(t) = (0.428571) x(t) Derivando con respecto al tiempo obtenemos s'(t): s'(t) = (0.428571) x'(t)

  Sustituyendo el valor de x'(t)=1. obtenemos:  s'(t) = 0.428571

1.8m

6m

12

La razón de cambio de s con respecto a t es: 

s'(t)= 0.428571 cuando x'(t)= 1

  Para la solución de un problema de razones de cambio relacionadas, se recomienda el procedimiento que se resume a continuación:

Para la solución de los problemas de razones de cambio relacionadas serecomiendan los siguientes pasos:

1) Hacer una ilustración de la situación planteada. 2) Identificar con símbolos las cantidades que varían en el tiempo. 3) Identificar las razones que se conocen y la razón que se busca. 4) Escribir una ecuación que relacione las variables. 5) Derivar implícitamente con respecto al tiempo la ecuación obtenida en el paso 4.

PROBLEMA 2:

Se inyecta aire a un globo esférico a razón de 20 pies cúbicos / min. ¿A qué razón varía el radio cuando éste mide 3 pies? La solución y una gráfica que ilustra el problema se muestran a continuación.

Observa que si V representa el volumen y r el radio: dV/dt = 20 pies cúbicos / min dr/dt = ? cuando r =3 pies.

La relación entre volumen y radio es:  V ( t ) = 4 π r ( t )3

3

Derivando implícitamente con respecto al tiempo   (recuerda la regla de la cadena):                           V'(t) = 4  r(t)2  r'(t) 

  Despejando r'(t) obtenemos:   r ¿ ( t ) = V ¿ ( t )

4 π r ( t ) 2

13

Sustituyendo V'(t)= 20 y r(t)= 3:  r ¿ ( t ) = 5

9 π

La razón de cambio buscada es 

r ¿ ( t ) = 59 π

PROBLEMA 3:

Una escalera de 13 mts de largo esta recargada contra una pared vertical; la base de la escalera resbala horizontalmente alejándose de la base de la pared a razón de 2 mts/seg. ¿Con que rapidez resbala hacia debajo de la pared la parte alta de la escalera, cuando la parte baja de la misma se encuentra a 4 mts de la pared?

Desarrollamos:x → distancia de la parte baja de la escalera a la pared.y → altura en la pared hasta la parte alta de la escalera.

dxdt=2 mts

seg

;

dydt= ?

Con el teorema de Pitágoras relacionamos X y Y aplicado al triángulo de la figura:x2+ y2=(13 )2=169

Derivamos respecto a “t”:

2 x dxdt+2 y dy

dt=0

; De donde:dydt=−2 x

2 ydxdt=− x

ydxdt

(1)

Consideremos ahora el caso especial en que x=4, y el valor correspondiente a Y lo obtenemos en:

14

16+ y2=169 y2=169−16=153 y=±√ 153

Tomamos el valor positivo (+) cuando sustituimos en (1):

dydt= −4√153

(2)= −8√153

=− 812 . 4

=−0 .6 mtsseg

La parte alta de la escalera baja a razón de 0.6 mts/seg, cuando la parte baja de la misma esta a 4 mts de la pared.

PROBLEMA 4:Paulina de 1.2 mts de alto corre en la noche alejándose de un poste a la velocidad de 5

mts/seg; el foco del poste que ilumina a Paulina esta a 7.5 mts de altura. A medida que se aleja del poste la sombra de ella crece (¿es verdad?, o ¿realmente crece?).

Contestemos las siguientes preguntas:

a.- ¿A qué velocidad cambia el largo de la sombra de paulina?b.- El extremo de la sombra se aleja también del poste, a la velocidad de este alejamiento. ¿Es la misma velocidad de la niña? o ¿es la misma velocidad dada como respuesta a la pregunta anterior?

Sea:

X (t) la distancia de la niña al poste en el instante t.

S (t) el largo de la sombra de la niña en el tiempo t.

Entonces la velocidad de la niña esdx ( t )

dt y en términos de estas variables, lo que buscamos

para contestar la primera pregunta es ds( t )

dt .Lo que debemos hacer es encontrar una relación en donde aparezca s(t) y después derivar.

Como los triángulos ABC y DEB son semejantes (tienen los mismos ángulos), se da la

siguiente relación entre los lados:

ACDE

= ABDB

Y de esta forma tenemos:

7 .51. 5

=x ( t )+s( t )

s( t )Que es lo mismo que:

15

7 . 5 s ( t )= 1 .5 x ( t ) + 1 . 5 s ( t ) 6 s( t ) = 1 .5 x ( t ) . s ( t )= 0.25 x ( t )

Derivando a ambos lados:ds( t )

dt= 0 .25 dx ( t )

dt= 0 .25∗(5) mts

seg=1 . 25 mts

segLa pregunta b se refiere a la derivada de la suma x(t)+ s(t) y como conocemos cada derivada,

la respuesta es: no es ninguna de las dos sugeridas, la velocidad del extremo de la sombra es 6.25 mts/seg.

Supongamos que ahora es Pedrito quien corre, pero a 20Km/Hr, ¿Cuál corre más rápido, Pedro o la niña?

Si Pedrito mide 135cm., ¿a qué velocidad el extremo de la sombra se aleja del poste?

PROBLEMA 5:En el cruce de dos calles que tienen de ancho 11mts cada una, hay un poste de 3mts de alto

en una de las esquinas. En la noche Pedrito, de 1.9 mts, camina a 1.3 mts/seg alejándose de la esquina por la vereda contraria al poste y a un metro de la orilla de la calle.

¿A qué velocidad se alarga la sombra de Pedrito cuando este se encuentra a 13mts de la orilla de la calle que recién cruzo?

Como podemos ver en el diagrama este se puede simplificar a un triangulo rectángulo como sigue:

16

Sea:p(t) distancia de Pedrito a la base del poste [p(t)=AC]s(t) largo de la sombra de Pedrito [s(t)=CD]e(t) distancia de Pedrito de la calle transversal a la calle donde camina [e(t)=CF)

sea t0 el instante que Pedrito esta a 13 mts

¿Qué buscamos? el valor de

dsdt( t 0 )

¿Qué conocemos?

dedt( t0 )=1.3mts

segComo tenemos dos triángulos rectángulos semejantes:31. 9

=p ( t )+s ( t )s ( t )

(3−1 . 9 )s( t )=1 . 9p( t )ds( t )dt

=1.9(3−1. 9 )

dp( t )dt

dsdt( t 0)=1 .7273 dp

dt( t0)

Por lo tanto necesitamos conocer

dpdt( t0)

. Como AFC forma un triangulo rectángulo, tenemos:

17

( p( t ))2=(11+1)2+(e ( t ))2 ; derivando:

2p( t )dpdt=2e ( t )de

dtAsí en el instante t 0 :

dpdt( t0 )=

e ( t 0 )p( t0 )

dedt( t0 )=

13p( t 0 )

1. 3 mtsseg ;

En el instante t0 , usando * tenemos:( p( t0))

2=144+(e( t 0))2=144+169=313 ; p( t0 )=√313

De esta forma logramos:

dpdt( t0)=

13√313

1 .3 mtsseg ; Y así:

dsdt( t 0 )=1. 7273 13

√3131 . 3 mts

seg≈1. 65 mts

seg

PROBLEMA 6:

Sea s= 32

12+ t2con t ≥0

, la ecuación que determina la distancia en el tiempo t(en segundos) de una partícula al origen en un movimiento rectilíneo. Determinar el tiempo, la distancia y la velocidad es cada instante en que la aceleración es nula.

Si s= 32

12+ t2entonces la velocidad está dada por:

v (t )= −64 t(12 + t2 )2

=s( t ) y la aceleración es

a=192 t2− 768(12 + t 2 )3

=v ( t )

Averigüemos el tiempo en que la aceleración se hace cero.a ( t )=0⇔192 t2−768=0⇔ t2=4⇔ t=2

Luego la distancia recorrida cuando t =2 es s=2mts y la velocidad en t =2 es

v=−12

mts /seg

Otros ejemplos con la segunda derivada.

18

Si y =f(x) es la ecuación de una curva, se sabe que f’(x) determina la pendiente de la recta tangente a la grafica de f en un punto(x, y).

Se tiene que D x

2 y es la razón de cambio de la pendiente de la recta tangente respecto a x.

mas adelante utilizaremos la segunda derivada de una función para determinar los extremos relativos de una función y para determinar la concavidad de la grafica de una función.

PROBLEMA 7:

Determinar la pendiente de la recta tangente en cada punto de la grafica de la curva con la

ecuación y=x 4+x3−3 x2, en los que la razón de cambio de la pendiente es cero.

Se tiene que y '=4 x3+3 x2−6 x da la pendiente de la recta tangente a la curva.

Además y =12 x rSup { size 8{2} } +6x - 6} { ¿determina la razón de cambio de la pendiente.

Debemos averiguar los valores de x en los que esta razón de cambio es cero;

Entoncesy =0 dlrarrow 6 \( 2x - 1 \) \( x+1 \) =0 dlrarrow x= { {1} over {2} } ``ò``x= - 1} { ¿Luego cuando x =

12 la pendiente es

y '=12( 14)+ 6

2−6=0

y cuando x =-1 la pendiente y’ también es cero.

PROBLEMA 8:

Determinar la razón de cambio de la pendiente en (3, 27) para la curva con ecuación y=(2x−3)3

La razón de cambio de la pendiente esta dada por la segunda derivada de la función, así: DX

2 y=Dx (Dxy )=Dx [ 6(2 x−3)2 ]=12(2 x−3 )∗ 2=24 ( x−3)En el punto con coordenadas (3, 27) la razón de cambio de la pendiente es:24 (2∗3−3)=24(6−3 )=72

Luego D x2 y=72 en (3 , 27 )

PROBLEMA 9:

Una escalera de metal con ruedas en su base está apoyada en una muralla de tal forma que su extremo superior esta a 3mts del suelo. El bloqueo de sus ruedas le impide moverse. La escalera mide 4mts de largo y es pesada de modo tal que cuando se desbloquean las ruedas la escalera se desliza en la muralla moviéndose a su extremo superior a la velocidad de 100

19

mts/seg. Cuando está a un metro del suelo ¿a qué velocidad se mueven las ruedas en ese instante?

Para contestar esa pregunta necesitamos definir algunas variables y hacer un diagrama del problema.

Sean:r(t) la distancia de las ruedas a la muralla y h(t) la distancia del extremo superior de la escalera al suelo.

Por lo tanto

dhdt( t )=100 mts

seg y lo que buscamos es

drdt

en t0 que es el instante en que la

escalera esta a 1mt del suelo, es decir, h( t 0)=1 metroComo se ve, la muralla con la escalera y el suelo en todo tiempo t forman un triángulo rectángulo así tenemos el teorema de Pitágoras,(h( t ))2+(r ( t ))2=(4 )2Derivado en ambos lados de la igualdad (y usando la regla de la cadena) tenemos

2h ( t )dh ( t )dt

+2r( t )dr ( t )dt

=0

dr ( t )dt

=−h( t )r ( t )

dh ( t )dt Y por lo tanto en el instante t0

drdt( t 0 )=

h( t 0 )r ( t0 )

dhdt( t 0 )=−

1r ( t 0 )

100 mtsseg ; Usando podemos obtener r (t0 )

(h( t0 ))2+(r ( t0 ))

2=( 4 )2⇔(1)2+(r ( t0 ))2=16

r ( t0 )=√15Por lo tanto las ruedas se deslizan a la velocidad de:

20

drdt( t0 )=−

1√15

100 mtsseg

≈−25. 82 mtsseg

¿Por qué nos dio una respuesta negativa?Por el sistema de referencia elegido; como la distancia h(t) disminuye, la velocidad de caída de la escalera debería ser negativa, es decir, en vez de haber puesto en 100mts/seg deberíamos haber puesto -100mts/seg.

PROBLEMA 10:

Un hombre se aleja de un edificio de 18mts de altura a una velocidad de 1.8mts/seg. Una persona en la azotea observa al hombre alejarse. ¿A qué velocidad varia el ángulo de depresión de la persona en la azote hacia el hombre, cuando este dista 24mts de la base a la torre?

Sea “l” la distancia recorrida por el hombre en el instante “t”Sea “a” la medida en radianes del ángulo de depresión en el instante “t”

Rapidez con que el hombre se aleja del edificio, o sea;

dldt=1. 8 mts

seg|

l =24

tan∝¿18l

La ecuación de razones se obtiene derivando implícitamente a ambos lados con respecto al tiempo, lo cual nos conduce a:

ddt( tan∝)= d

dt (18l ) ;

dαdt sec2

α=−18l2

dldt

Finalmente pare determinar la variación del ángulo de depresión en el instante en que l=24, primero se debe calcular el valor para cos a en el mismo instante.

Ahora bien, dado que:cos∝¿ CA

H ; Aplicando teorema de Pitágoras:

21

Por lo tanto sustituyendo.

cos∝¿ 45

dldt=1. 8=9

5

SE OBTIENE QUE:

dαdt=−18

l2 sec2 α

dldt

dαdt=−18 cos 2

l2dldt

dαdt=−18*16*9

242*25*5

dαdt=−2592

72000=−9

250

dαdt=−. 036 rad

seg

Si este se alejara mas, el ángulo de depresión disminuye a una velocidad de -0.036 rad/seg. El ángulo es decreciente.

PROBLEMA 11:

Un hombre camina a lo largo de una senda recta a la velocidad de 4ft/seg. Un reflector esta en el piso a 20tf de la senda y se mantiene enfocado sobre el hombre. ¿Con que rapidez gira el reflector cuando el hombre esta a 15ft del punto de la senda más cercana al reflector?

Dibujemos la figura y sea x la distancia del punto de la trayectoria más cercano al reflector hasta el hombre.

22

Denotemos con “¿ ” el ángulo entre el haz de luz del reflector y la perpendicular a la senda.

Se nos da que

dxdt=4 ft

seg y se nos pide encontrar d∝ ¿

dtcuando X=15 ¿

. Con base en la figura 5, la ecuación que relaciona X con ¿ se puede escribir:x

20=tan∝x=20 tan∝¿ ¿

Si derivamos cada miembro con respecto a “t”, obtenemos:dxdt=20sec2∝d∝ ¿

dt¿

Por consiguiente;

d∝ ¿dt= 1

20cos2∝ dx

dt= 1

20cos2∝(4 )=1

5cos2∝¿ ¿¿

Cuando x=15, la longitud del haz es de 25, de modo que; cos∝¿ 20

25= 4

5

d∝ ¿dt= 1

5 [ 45 ]2

=16125

=0.128 ¿

El reflector gira a razón de 0.128rad/seg. Siendo que 0.128 rad/seg =

360 ºpi rad

Esto es igual a un ángulo de 14.66º, esto es el ángulo en el que se movió el reflector.PROBLEMA 12:

Al arrojar una piedra a un tanque se forman ondas circulares concéntricas cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3mts, este aumenta a una rapidez (velocidad) de 50cm/seg. ¿A qué rapidez aumenta el área del círculo formado por dicha onda?

23

Datos Fórmula

r (t)=3mts/seg A( t )= π r2

A(t)=?r´(t)= 50cm/seg=0.5mts/segA´(t)=?

Solución A( t )=π r2

A( t )=π r ( t )2

dAdt= d

d ( t )( π r ( t )2 ) dA

dt= π d

d ( t )(r ( t )2)

dAdt= π 2r r ´ ( t )

; A ´=2 π (3mts )0 .5 mts /seg )

A´=9.4248mts2/seg; es el aumento del área del círculo de la onda exterior de 3 mts. de radio

PROBLEMA 13:

A un deposito cilíndrico de base circular de 5mts de radio le está entrando agua a una razón de cambio de 25 lts/seg ¿Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua?

dvdt=25 lts

seg=25 dm3

segV=π r2 hdvdt= d

dt(π r2 h)

v ´ ( t )= π r2 ddt(h )

v ´ ( t )= π r2 h´v ´ ( t )π r2 =h ´=25

π (50)2

h=0 .0032 dmseg

PROBLEMA 14:

Supongamos que se tiene un recipiente cónico con agua, como el que se muestra en la figura. Cuando el agua sale del recipiente, el volumen V, el radio r, y la altura h del nivel del agua son las tres funciones que dependen del tiempo.

24

Estas tres variables están relacionadas entre sí por la ecuación de volumen del cono, a saber;

V= π3

r2 h (∗)

Por otra parte derivando implícitamente ambos lados de (*) respecto al tiempo t, se obtiene la siguiente ecuación de razones relacionadas:dVdt=π

3⌈2 rh dr

dt+r2 dh

dt⌉

Se puede observar que la razón de cambio del volumen, está ligada a las razones de cambio de la altura y el radio, donde:dVdt es la razón o rapidez a la cual varia el volumen respecto al tiempo

drdt es la razón o rapidez a la cual varia el radio con respecto al tiempo

dhdt es la razón o rapidez a la cual varia la altura con respecto al tiempo

Así por ejemplo:dVdt=10m3

seg significa que el volumen está aumentando 10 m3 cada segundo, mientras

que;

dVdt=−10 m3

significa que el volumen está disminuyendo 10 m3 cada segundo.

PROBLEMA 15:

25

Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 3mts de ancho hacia arriba y 3.5mts de

hondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a razón de 3 mts3

min , ¿encuentre la razón de cambio de la altura del agua cuando tal atura es de 2mts?

Sea V el volumen del recipiente, r el radio de la superficie variable en el instante t y h el nivel del agua en el instante t.

dVdt=3 mts3

min Rapidez con que aumenta el volumen del agua.dVdt|h=2 m

Rapidez con que sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 mts:

V= π3

r2 h La ecuación que relaciona las variables es el volumen del cono: (*)

Ahora bien, como el volumen consta de dos variables ( r y h), conviene, en este caso, expresarlo únicamente en términos de altura h, para lo cual se usara la relación que existe

entre las variables citadas (Thales); a saber: r=3

7h

Sustituyendo en (*) se tiene que:v= π

3 ( 37 h)2h⇒ v=3 π

49h3

La ecuación de razones relacionadas se obtiene derivando implícitamente, respecto al

tiempo, a ambos lados de la ecuación V=3 π

49h3

, lo cual nos conduce a:dVdt=9 π

49h2 dh

dt(** )

Finalmente como se desea encontrar la variación de la profundidad del

agua en el instante que h=2, y dado que

dVdt=3

, sustituimos estos valores en (**) para

obtener que: 3=9 π

49(2)2 dh

dt ;

dhdt=

3(49 )4 (9) π

=4912 π

dhdt≈1 .2998≈1 .3 mts

min El nivel del agua aumenta a una razón aproximada de 1 .3 mts

min

26

PROBLEMA 16:

La altura de un triangulo disminuye a razón de 2 cm/min. Mientras que el área del mismo

disminuye a razón de 3 cm2

min . ¿A qué ritmo cambia la base del triángulo cuando la altura es 20 cm y el área es de 150 cm2?

Sea A el área, b la base y h la altura del triangulo, en el instante t.

Rapidez con que disminuye tanto la altura, como el área del triangulo; es decir:dhdt=−2 cm

miny dA

dt=−3 cm2

min

Determinar la variación de la base del triangulo cuando la altura mide 20cm y el área es de 150 cm2

, o sea:dbdt¿ |h=20cm|A=150 cm2

¿ La ecuación que relaciona las variables es

A=bh2 (*);

Ecuación de razones relacionadas: derivando implícitamente, respecto al tiempo, a ambos lados de (*), se obtiene que:

dAdt= d

dt (bh2 )=1

2ddt(bh )=1

2 [b dhdt+ h db

dt ]

Cuando el área es de 150 cm2 y la altura de 20 cm:

27

A=bh2

150=b (20)2

b = 150 (2)20

= 15

−3=12 [15 (−2 ) + 20 db

dt ]

−6 + 3020

=dbdt=12

10

b´=1.2 cmmin

La base del triángulo cambia a una razón de

1 .2 cmmin cuando la altura es 20 cm y el área

es de 150 cm2. PROBLEMA 17:

Un vigilante colocado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura, observa un bote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 pies/seg ¿Con que rapidez cambia el ángulo formado por la visual con respecto al bote cuando éste se encuentra a 300 pies de la base del faro?

Solución:En la figura aparecen las variables que intervienen en el problema:

x: distancia del bote al pie de la base P en cualquier tiempo t. : ángulo formado por la visual y el bote B en cualquier tiempo t.

Nótese que cuando “ B se acerca a P “ [dxdt=− 20 pies

seg ], entonces es de esperar que “”

también decrece.

De la figura se tiene que: tan θ = x

250 ; x = 250 tan ( 1 )Derivando en ( 1 ):

dxdt= 250 sec2 θ dθ

dt ;

dθdt=

dxdt

250 sec2 θ ; ( 2 )

28

cuando x = 300 ;tan θ = 300

250= 6

5 ( 3 )Usando la identidad 1 + tan2 = sec2 ;

sec2 θ = 1 + ( 65 )2= 61

25 ; Sustituyendo en ( 2 )dθdt= − 20

250 (6125 )

= − 261 ( rad

seg )Es decir, el ángulo decrece a una velocidad aproximada de 0.0327 rad/seg.

PROBLEMA 18:

Una piscina de 40 pies por 20 pies y con profundidades de 9 y 4 pies en sus extremos más y menos hondos, tiene agua hasta 4 pies de profundidad en su extremo más hondo.

a) ¿Qué porcentaje de la piscina está llena?b) ¿Si se echa agua en ella a razón de 10 pies3/minuto. ¿A qué ritmo sube el nivel del

agua en el instante para el cual hay agua hasta 4 pies de profundidad?

La figura del problema es:

a) Se debe calcular inicialmente el volumen total de la piscina. Este corresponde al volumen de un sólido cuya base es un trapecio con medidas: base mayor = 9 pies, base menor = 4 pies y un espesor de 20 pies.

V T=[9+4 ]40

2(20 )= 5200 pies3

29

El porcentaje de piscina llena corresponde al del sólido que aparece en la figura siguiente:

V Ll=4 L

2(20 )= 40 L pies3

Como los triángulos ADB y PDC son semejantes, se tiene la siguiente proporción:

54= 40

L⇒ L= 32 pies

; de donde:

V Ll= 40 (32 )= 1280 pies3 ; usando una regla de tres, el porcentaje de la piscina llena es:

x=1280 (100 )5200

≈ 24 .61 %

b) Supóngase que en un instante t determinado, el volumen de piscina llena corresponde al volumen del sólido que aparece en la figura, en el cual, y ( nivel vertical ) y x ( nivel horizontal ) están creciendo con respecto al tiempo.

V= y x2

(20 )= 10 x y ; y con la proporción:

y4= x

32⇒ x = 8 y

V= 10 x y = 10 (8 y ) ( y )= 80 y2 ; derivando:

dVdt= 160 y dy

dt⇒ dy

dt=

dVdt

160 y

30

Como: dVdt= 10 pies 3

min y y = 4 pies, se tiene finalmente:

dydt= 10

160 (4 )= 1

64piesmin Que es la velocidad a la cual crece el nivel del agua en ese

instante.

EXPLOSION DEMOGRAFICA

Al estudiar la población mundial entre los años 1950 y 2000, se encuentra que la población mundial aproximadamente satisface la función:P(t) = 2.5565 e 0.0173514 t t 0en donde la variable t representa años desde el 1950 (o sea, t = 0 en el 1950, t = 50 en el 2000, t = 100 en el 2050) y la variable P representa población mundial en miles de millones (o sea, P = 5 significa 5,000,000,000 personas). Usar esta función para calcular lo siguiente:a. La población mundial en los años 1950, 2000 y 2050.b. ¿En qué año llega a 10 mil millones la población mundial?c. La razón de crecimiento de la población mundial como función de tiempo.d. La razón de crecimiento de la población mundial en los años 1950, 2000, 2050.e. ¿En qué año llega a 75 millones el crecimiento anual de la población mundial?f. ¿A qué valor se acerca la población cuando t®¥ ?

SOLUCIONa. P(0) = 2.5565 e 0.0173514 (0) = 2.5565 ; esto es 2 556 500 000 habitantes en el año 1950P(50) = 2.5565 e 0.0173514 (50) = 6.08733 ; esto es 6 087 330 000 habitantes en el año 2000

P(100) = 2.5565 e 0.0173514 (100) = 14.4946 ; esto es 14 494 600 000 habitantes en el año 2050

b. Se resuelve la ecuación: P(t) = 10 = 2.5565 e 0.0173514 t t = 78.6 que corresponde al año 2028.

c. Razón de crecimiento: DERIVADA:

P / (t) = 2.5565 e 0.0173514 t (0.0173514) = 0.0443589 e 0.0173514 t

P / (t) = 0.0443589 e 0.0173514 t

d. P / ( 0 ) = 0.0443589 e 0.0173514 ( 0 ) = 0.0443589 44 358 900 personas por año en 1950

P / ( 50 ) = 0.0443589 e 0.0173514 ( 50 ) = 0.105624 105 624 000 personas por año en 2000

P / ( 100 ) = 0.0443589 e 0.0173514 ( 100 ) = 0.251502 251 502 000 personas por año en 2050

e. Como 75 millones = 0.075 mil millones, se resuelve la ecuación.

31

f. Lim

t → α P(t) = Lim

t → α 2.5565 e 0.0173514 t = En este modelo, la población sigue creciendo hacia el infinito.

2. Un modelo más sofisticado que el anterior para la población mundial es dado por esta función:

P ( t )= 11.10851 + 3 .34516 e −0. 0279592 t

; t ≥ 0

Repetir los cómputos anteriores con esta función