ICI-I PRODUCCIONES

(x,y,z)

(x,y,0)

x

y

z

Plano xy

Plano yz

Plano xz

IntroducciónAhora en calculo II vamos a encontrar una diferencia de lo que habíamos visto tanto en introducción al calculo como en calculo I, la diferencia es que siempre habíamos trabajado en un plano bidimensional, y ahora en calculo II nos encontramos con que esto a cambiado a un plano tridimensional como se puede apreciar en la figura. Ahora se nos agrega el eje de coordenadas z, además de los conocidos eje x y eje y. El eje z corresponde a la altura de una proyección en el plano de coordenadas.

Ahora vamos a poder trabajar en tres planos:   plano xz   plano xy   plano yz

Lo otro que vamos a utilizar, es que cuando demos la ubicación de un punto dentro del plano tridimensional debemos nombrar los tres puntos ( ej: (x, y, z) ).

Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica del espacio, al igual que la del plano, son: dada una ecuación matemática hallar su lugar geométrico, y dado un lugar geométrico hallar su ecuación matemática.

Distancia entre dos puntos

Sean P1, P2 puntos

cualquiera del espacio. Por cada uno de estos puntos pasan tres planos, paralelos a los planos coordenados, los que conforman un octoedro (figura 1.2). Los puntos P1 y P2 son vértices

opuestos. Sean A1 (x2, y2, z1)

y B(x2, y1, z1) los puntos

que muestra la figura. En el triangulo P1 AP2 , recto en

A, la distancia que separa P1

de P2 según Pitágoras es:

y

x

z

P1

P2

A

B

y

x

z

P2

A

BP1

En términos de coordenadas, esto equivale a:

d 2= (x1 – x2) 2+ (y1 – y2)

2+ (z1 – z2) 2

De aquí :

d = √ (x1 – x2) 2+ (y1 – y2)

2+ (z1 – z2) 2

Es claro entonces, que la distancia entre dos puntos del espacio es una extensión de la distancia entre puntos del plano.

d2= P1A 2 + AP2

2

En el triangulo P1BA, recto en B, se satisface:

P1A 2 = P1B 2 + AB 2

Reemplazando esto en d 2 obtenemos:

d 2= P1B 2 + AB 2 + AP2

2

Punto de División

r=

Si un punto P de coordenadas (x,y,z) del espacio divide a un segmento de recta, determinado por dos puntos P1 (x1,y1,z1) y P2

(x2,y2,z2) del espacio, en la relación P1P

PP2

, entonces la relación es:

X =x1 + rx2

1+ r

Y=y1 + ry2

1+ r

Z=z1 + rz2

1+ r

z2

zz1

y

x

z

x2

xx1

y1 y y2

P1

P2

P B

A

Los triángulos P1PA y P1P2B, rectos en A y B respectivamente, son

semejantes (Fig. anterior). Se tiene

r = P1P

PP2

=AP

BP2

= Z1 - Z

Z - Z2

Z=z1 + rz2

1+ r

De forma análoga se obtiene las restantes coordenadas de P.

Vectores

Magnitudes escalares: Son aquellas como la temperatura, la masa y el tiempo. Sólo influye el tamaño o cantidad y se especifican por medio de un número acompañado de una unidad de medida.

Magnitudes vectoriales: Aquí se encuentran magnitudes tales como velocidad, aceleración, fuerza, etc.

Sólo están bien definidos cuando se conoce su dirección y sentido, además de su Módulo.

Ejemplo: 500 gramos

Si en el plano o en el espacio tenemos dos puntos P y Q distintos, por ellos pasa una recta. Este segmento de recta se dice que está dirigido cuando definimos un punto inicial y un punto terminal. Por ejemplo, si el punto inicial es P y el terminal Q , el segmento de recta vendría a ser PQ.

Analíticamente , podemos definir un vector como una n-upla de la forma x = (x1 , x2 ...... xn )

En caso de que P y Q coincidan tenemos un punto.

Así , la distancia entre P y Q nos indica el módulo del vector. La recta que contiene a los dos puntos y su inclinación nos dan la dirección.

El sentido está determinado por la punta de flecha que va en el punto terminal del segmento

Vector: conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes

Dos segmentos dirigidos representan al mismo vector

si tienen la misma medida, la misma dirección y el mismo

sentido

Ejemplo:

P Q

A B

8

8 O

P

4

C

D

4

E

F

G

H

55

PQ y AB representan el mismo vector

Podemos representar un vector por medio de una letra minúscula o mayúscula con una flecha en su parte superior, o bien, con letras en letras en negrita. Si el punto inicial de un vector v es A y el final es B, escribimos v = AB

Vector de posición: Si en el plano o en el espacio, escogemos

el origen O = (0,0,0) como punto inicial fijo y un punto P = (x,y,z)

como final, tenemos un vector r = OP llamado vector posición de

P. Las componentes de este vector son las coordenadas x e y del

punto, en el caso del plano. O bien; x,y,z; en el espacio.

Vector de posición

x

y

O

OP

V = (x,y)

xy

z

V=(x,y,z)

O

Suma y resta de vectores

a + b = (a1 + b1, a2+b2,.....an+bn)

Para sumar vectores en forma analítica, debemos sumar componente

a componente. Sean a = (a1 , a2 ..... an) y b = (b1, b2.....bn) , entonces:

En el plano, dados los vectores a y b con origen común , a + b corresponde a la diagonal del paralelógramo que tiene origen común con a y b. Otra manera de sumar vectores es poner uno a continuación del otro. La suma corresponde a un nuevo vector cuyo origencoincide con el del primer vector , y su extremo coincide con el del último.

Suma de vectores:

b

a + b

a + b + c

b c

a

a

Sabemos que la resta es la operación inversa de la suma. Entonces, para restar vectores debemos cambiarle el signo al sustraendo.

a - b = a + (-1)b

Geométricamente, cambiar el signo es equivalente a invertir el sentido del vector.

a- a

Sean a = (a1 , a2 ..... an) y b = (b1, b2.....bn) , entonces:

a - b = (a1 - b1, a2- b2,.....an- bn)

b

a

b-a

b

a

a - b

Producto por escalar (ponderación)

3.- Si k = -1 resulta un vector de igual dirección y módulo que a ,

pero con sentido contrario.

2.- Si k < 0, el producto k.a es un vector | k | veces el vector a, y de sentido contrario.

Dado un vector a y un número real k , podemos formar el vector

k . a . Se pueden presentar los siguientes casos:

1.- Si k > 0, el producto k.a es un vector de longitud k.a y que tiene la misma dirección y el sentido de a

La ecuación general de un cono en el espacio tiene la forma:

( x – h )2 ( y – k)2 ( z – j )2 a2 b2 c2

= 0

Si a ≠ b, entonces el cono es elíptico, y si a = b circular recto

Producto Vectorial

En 3 , los vectores unitarios canónicos i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), son linealmente independientes y generan el espacio 3. Esto significa que cualquier vector de 3 puede ser escrito como combinación lineal de los vectores de esta base canónica. Sea a = (a1,a2,a3 ) vector cualquiera de 3,

entonces

a = a1(1,0,0) + a2 (0,1,0) + a3 (0,0,1)

Es decir

( a1,a2,a3 ) = a1 i + a2 j + a3 k

i j k a1 a2 a3

b1 b2 b3

( a2 b3 - a3 b2 , a3 b1 – a1 b3 , a1 b2 - a2

b1 )

a x b

Se le llama producto vectorial o cruz de los vectores a y b a:

es igual a :

y es igual a :

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

a o ( b x c ) =

Para tres vectores a ,b , c del espacio , su “triple producto escalar” (T.P.E.) viene dado por

Triple producto escalar

Propiedades del triple producto escalar:

* propiedad de rotación

a o ( b x c ) = c o ( a x b ) = b o ( c x a )

* con esto se prueba que los vectores son coplanarios (están en un mismo plano)

a o ( b x c ) = 0

* por una propiedad de los determinantes se tiene que

a o ( a x b ) = 0

)

a x b

a

b

esto significa que a es perpendicular con a x b. Análogamente se verifica que b es perpendicular con a x b. En consecuencia a x b es perpendicular al plano determinado por los vectores a y b. Dicho de otra forma, a x b apunta en la dirección y sentido del movimiento que toma un tornillo de rosca a la derecha si gira un ángulo desde a hasta b. Por este hecho se conoce como “regla de la mano derecha”.

Usando:a o b = a b cos

a o ( b x c ) = a b x c cos

en donde es el angulo entre a y ( b x c ). En consecuencia

volumen = a o (b x c )

se tiene:

* Volumen del paralelepípedo entre a, b, y c

a o ( b x c ) = V

h

b

ac

Demostración:

Consideremos la caja de aristas coterminales a, b, c . es claro que el volumen de la caja viene dado por :

Volumen = ( área de la base ) * (altura)

El área de la base es b x c . El vector b x c es perpendicular tanto al vector c como al vector b. La altura h = a cos . Con estos datos tenemos:

Volumen = b x c a cos

Triple producto vectorial

1-. a x ( b x c ) = ( a o c ) b – ( a o b ) c

2-. a x ( b x c ) = ( a o c ) b – ( b o c ) a}

combinación lineal del triple

producto vectorial

3-. a x ( b x c ) ( a x b ) x c } no asociatividad

El “triple producto vectorial” ( T.P.V) de tres vectores en el espacio corresponde a:

a x ( b x c )

Propiedades del triple producto vectorial

Proyección vectorial

En ciertos problemas de física o de ingeniería, es necesario descomponer un vector en una suma de vectores componentes. Este hecho viene a ser el proceso inverso de sumar vectores y obtener un vector resultante

b denota un vector perpendicular con b. Vamos a determinar s y t

Proposición: todo vector a puede escribirse en términos de otro

vector b 0 en la forma

a = s b + t b

a = s b + t b a o b = (s b + t b ) o b = s b o b + t b o b =s b 2 + 0

se obtiene que s = a o b b 2

de forma análoga

al despejar, t = a o b

b 2

a = s b + t b a o b = (s b + t b ) o b

= s b o b + t b o b

= 0 + t b 2

proyb (a) = a b b

b 2( ).

Definición: la proyección vectorial del vector a sobre el vector b, para b 0 es el vector

compb (a) = a b

b

.y la componente del vector a a lo largo del vector b es el numero

La componente y la proyección se encuentran ligadas por la relación

proyb (a) = b compb (a)

b

Como lo muestra la figura a continuación, en términos geométricos, la componente de vector a sobre el vector b es la longitud de la proyección vectorial

a

b

a cos

Proyección de a sobre b

La Recta

La recta en el espacio corresponde al lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen un sistema lineal en tres variables, de la forma

+B1 x zA1 C1 y D1+ + = 0

A2 B2 C2 D2 x + y + z + = 0

Para determinar la ecuación de la recta usaremos vectores

Una recta puede determinarse por uno de sus puntos y por su dirección, esta se especifica en términos de un vector no nulo llamado vector director

d

A

P

AP trasladado

a

a trasladado

x y

z

r

A = (a1,a2,a3) un punto del plano d = (d1,d2,d3) ≠ 0 vector director

GRAFICA

Determinemos la recta que pasa por A y de dirección d

* AP + a = r ; AP = a – r , y como AP es // a d, entonces r – a = td

De aquí (x,y,z) - (a1,a2,a3) = t (d1,d2,d3)

Igualando componentes: x = a1 + t d1 y = a2 + t d2 z = a3 + t d3

•Se llama recta por A en la dirección d al conjunto:L = { X = A + td, t Є IR }, donde d es el vector director de la recta L,La ecuación X = A + td se llama la ecuación vectorial. A partir de esta se obtiene la ecuación paramétrica

(x,y,z) = (a1,a2,a3) + t (d1,d2,d3)

Igualando componentes obtenemos su expresión paramétrica

x = a1 + t d1 y = a2 + t d2 z = a3 + t d3

Al despejar el parametro t en la expresión obtenemos la ecuac. Cartesiana o Simétrica de la recta.

x - a1

d1

X = =y – a2

d2

=z – a3

d3

X = A + td

A partir de esta ecuación obtenemos la ecuaión de la recta que pasa por los puntos P1 (x1,y1,z1) y P2 (x2,y2,z2), entonces el vector director

es :

El Plano

El plano en el espacio es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una ecuación lineal de la forma: Ax + By + Cz + D = 0 n

PP1

Determinemos la ecuación en el plano. P1 (x1,y1,z1); P (x,y,z) y

un vector normal n = (A,B,C)La condición para que P este en el plano es que P1 P * n = 0

= x2 - x1

=y - y1

y2 - y1

z - z1

z2 - z1

x - x1

Esto quiere decir que : (x - x1, y - y1, z - z1 ) * ( A, B, C ) = 0

Esta es la llamada ecuación vectorial del plano. Esta se puede llevar a la ecuación punto-normal.

A (x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0

EcuaciónEcuación reducidareducida : x y za b c

+ + = 1 ; a, b, c son las intersecciones con los ejes coordenados.Ecuación por tres puntos:

Esta ecuación corresponde a un triple producto escalar, es posible escribirla en términos de un determinante.

( P - P1 ) o [(P2 - P1) x (P3 - P1)]= x - x1 y - y1 z - z1

x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1

= 0

( P - P1 ) o [(P2 - P1) x (P3 - P1)]

Distancia de un punto a un plano

Sean, Ax + By + Cz – D = 0 la ecuación de una plano y (a1,a2,a3)

un punto en el espacio, encontremos una expresión para encontrar la fórmula distancia punto-plano.

(a1,a2,a3) * Determinemos la recta que pasa por (a1,a2,a3) y que es perpendicular

al plano. Si n = (A,B,C) es vector normal, entonces también es vector director de la recta, entonces la paramétrica de la recta es:

X= (a1,a2,a3) + t(A,B,C) esto es x = a1 + tA ; y = a2 + tB ; z = a3 + tC

La recta se intersecta con el plano cuando:

A(a1 + tA ) + B(a2 + tB ) + C(a3 + tC ) – D = 0

De aquí que para cierto valor t0 de t se tenga que:

Luego, el punto intersección de la recta y el plano es:

La distancia entre este punto y el punto (a1,a2,a3) viene dada por:

d = √(a1 + t0. A – a1)

2 + (a2 + t0. B – a2)

2 + (a3 + t0. C – a3)

3

que al simplificar equivale a

d = √t02 (A2 + B2 + C2) = t0 √ A2 + B2 + C2

Reemplazando el valor de t0 se tiene

D – A . a1 – B . a2 – C . a3

√ A2 + B2 + C2

d =

A2 + B2 + C2

t0 = D – A . a1 – B . a2 – C . a3

(a1 + t0 . A, a2+ t0

.B, a3 + t0.C )

Fórmula Vectorialn

P

d

Q

proynPQ Sea P un punto arbitrario en el plano, Q punto exterior alplano, n vector normal en n,la distancia d desde el puntoQ al plano corresponde a la magnitud de de la proyeccióndel vector PQ sobre el vectornormal n del plano (la componente).

d = PQ o n n

El triangulo que forman el vector PQ, su proyección sobre el normal, y el segmento bajado perpendicular de Q a n, es:

d = Q – P cos θ = Q – P n cos θ = ( Q – P ) o n = PQ o n n n n

Consideremos como punto de partida el plano de ecuación Ax + By + Cz + D = 0

entonces el plano Ax + By + Cz + k = 0, en donde k Є IR, representa al conjunto de todos los planos que son paralelos al plano dado. Esto se conoce como familia de planos. Una familia interesante de planos es aquellas que por la inter-sección de dos planos dados en la forma

A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (1)

A2x + B2y + C2z + D2 = 0 (2)

En este caso, cualquier punto que satisfaga ambas ecuaciones se encuentra sobre la recta de intersección de ambos planos.

Familias de Planos

La ecuación

k1 (A1x + B1y + C1z + D1) + k2 (A2x + B2y + C2z + D2) = 0

Representa todos los planos que pasan por la intersección de los planos dados (1) y (2), siempre que las constantes reales k1 y k2 no sean cero simultáneamente. Esta ecuación se puede

reducir al dividir por k1 ≠ 0 a

El número real k se llama parámetro.

A1x + B1y + C1z + D1 + k (A2x + B2y + C2z + D2) = 0

Distancia de un punto a una recta

A

d

Q

P

L

d

La figura muestra un punto A desde el cual se quiere hallar ladistancia a la recta L que pasa porel punto P y tiene vector director d.Si es el ángulo que forman los vectores d y PA, entonces la distancia d del punto A a la recta es

d = PA sen

Se sabe que el área que generan dos vectores a y b de origen común es a x b = a b sen

d = d x PA = (A – P) x d

d d

Formula Vectorial:

Planos Proyectores de la Recta

Suponemos que una recta se puede representar por dos planos cualesquiera de la familia

A1x + B1y + C1z + D1 + k (A2x + B2y + C2z + D2) = 0

Dado que existe una número infinito de pares de planos que definen la recta por intersección, es natural escoger planos con ciertas características que los hagan interesantes. Por ejemplo, aquellos planos que pasan por la recta y son perpendiculares a los planos coordenados, llamados Planos Proyectores de la recta. Para su determinación es suficiente eliminar una de las variables en la familia para cierto valor del parámetro k.

Superficies

Superficie: Gráfica de una ecuación de tres variables de la forma F(x,y,z) = 0. Por consiguiente la ecuación ax + by +cz + d = 0 es una superficie cuadrática cuando F(x,y,z) = 0 es el lugar geométrico de un polinomio de 2° grado.

Planos: Para trazar la gráfica de un plano es conveniente hallar la traza de la gráfica en los planos coordenadas, es decir, la recta que intersecta la gráfica del plano con cada uno de lo planos coordenados (xy, xz, yz). Por ejemplo la ecuación del plano es ax+ by + cz + d = 0, con z = 0 se obtiene ax + by +d = 0 siendo esta ecuación la traza de la gráfica del plano en el plano xy. Análogamente se encuentra las dos trazas restantes.

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0

Cilindros

Un cilindro es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen relaciones del tipo.

f(x,y) = 0 ; f(x,z) = 0 ; f(y,z) = 0

x

y

zEn el 1er caso, el cilindro tiene eje // al eje z, en el 2do // al eje y, y en el 3ero // al eje x.

En la forma general de la ecuación cuadrática, el cilindro se caract. por tener omitida una de sus variables, la x, la y o bien la z.

Un cilindro en el espacio se puede considerar como la superficie generada por una recta que se mueve a lo largo de una curva plana dada de tal forma que siempre queda // a una recta fija que no está en el plano de tal curva. La curva plana se llama directriz del cilindro y la recta movible elemento o determinante del cilindro.

Esferas

Es un lugar geométrico de todos los puntos que mantienen una distancia constante a un punto fijo. La distancia constante se denomina radio y el punto fijo centro.Si el centro es el punto (h,j,k) y el redio es r, entonces un punto cualquiera en la esfera de coordenadas (x,y,z) satisface la ecuación

( x – h )2 - ( y – k)2 – ( z – j )2 = r2

x

y

z

Elipsoides

El elipsoide es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen la relación:

+ +a2 b2 c2

= 1( x – h)2 ( y – k)2 ( z – j )2

Las trazas sobre los planos coordenados, cuando existen, son o elipses o un punto.

Si a = b, entonces es una superficie de revolución que se obtiene haciendo girar la traza xz alrededor del eje z. Lo mismo ocurre si a= c, b = c. Si a = b = c la superficie es una esfera.

Conos

El cono es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfascen una relación de la forma

x2 y2 z2

a2 b2 c2

x2 y2 z2

a2 b2c2

x2 y2 z2

a2b2 c2+ + + + + += 0, = 0, = 0

Cono Eliptico

y

x

z

Paraboloide Eliptico El Paraboloide elíptico es el lugar geometrico de todos los

puntos que satisfacen una relación de la forma.

x2 y2 x2 z2 y2 z2 + = c2 z , + = b2 y , + = a2 xa2 b2 a2 c2 b2 c2

y

x

z

( x – h )2 ( y – k )2 + = c2 ( z – j )

a2 b2

Si a = b , se tiene un paraboloide de revolución, que se obtiene haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

La ecuación general del Paraboloide elíptico en el espacio tiene la forma

Paraboloide Hiperbólico El Paraboloide Hiperbólico es el lugar geométrico de todos los

puntos que satisfacen una relación de la forma.

x2 y2 x2 z2 y2 z2 - = c2 z , - = b2 y , - = a2 xa2 b2 a2 c2 b2 c2

x

y

z

La ecuación general del Paraboloide Hiperbólico en el espacio tiene la forma

( x – h )2 ( y – k )2 - = c2 ( z – j )

a2 b2

Hiperboloide de una Hoja

El Hiperboloide de una Hoja es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma

x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 + - = 1, - + = 1, + + = 1a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2

x

y

z

La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el espacio es

( x – h )2 ( y – k )2 ( z – j ) 2

+ - = 1 a2 b2 c2

Si a = b se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

Hiperboloide de dos Hojas La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el

espacio es

( x – h )2 ( y – k )2 ( z – j ) 2

- - = 1

a2 b2 c2

Si b = c se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

x

y

z

El Hiperboloide de dos Hojas es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma

x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 - - = 1, - + - = 1, - - + = 1a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2