punto, recta y plano. pertenencias.como en el caso del punto, en la determinación de un plano...

ANA BALLESTER JIMÉNEZ DIBUJO TÉCNICO 1º BACH

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TEMA 13

SISTEMA DIÉDRICO I

Punto, recta y plano.

Pertenencias.


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SISTEMA DIÉDRICO: REPRESENTACIÓN DEL PUNTO

El punto se representa por dos proyecciones que están siempre alineadas en una perpendicular a la L.T.

Se llama COTA a la distancia del punto al P.H. y ALEJAMENTO a la distancia al P.V.

Nomenclatura: Para nombrar los puntos en el espacio utilizaremos letras mayúsculas: A, B, C...

La proyección vertical A2 o A’’ y la proyección horizontal A1 o A’.

Coordenadas: Las coordenadas o distancias a los planos de proyección se dan entre paréntesis después de

la letra: A (x, y, z)

Las proyecciones serán positivas o negativas, según el cuadrante donde se encuentren los puntos:

PUNTOS SITUADOS EN 1º, 2º, 3º Y 4º CUADRANTE:

A (35,20,25), B (25,-30,10), C (15,-25,-15) D (5,10,-15)

X = lateralidad Y = alejamiento Z = cota


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PUNTOS SITUADOS EN LOS PLANOS DE PROYECCIÓN: P.V. y P.H.

Siempre tienen cota o alejamiento 0.

PUNTOS SITUADOS EN LOS PLANOS BISECTORES

La cota y el alejamiento son iguales, solo cambia la + o – según el cuadrante.

A (20,0,25) B (30,25,0) C (15,-20,0) D (5,0,-30)

A (30,10,10) B (20,-25,25) C (10,-15,-15) D (5,30,-30)


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EJERCICIO:

Determinar las proyecciones de los siguientes puntos e indicar en qué cuadrante está cada uno. Tomar como origen el

margen izquierdo de la hoja:

Punto A, está en el tercer cuadrante, se encuentra en el primer bisector y tiene 30 mm de alejamiento. (x=40).

Punto B (60,30,-40)

Punto C, está en el segundo cuadrante, se encuentra en el segundo bisector y tiene 20 mm de cota. (x=80).

Punto D, están en la parte posterior del plano horizontal y tiene 50 mm e alejamiento. (x=100).

Punto E (120,15,40)

Punto F (140,-15,40)


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SISTEMA DIÉDRICO: REPRESENTACIÓN DE LA RECTA.

Una recta tiene dos proyecciones: r1 y r2 y dos trazas V y H.

Las trazas son los puntos donde la recta corta a los planos de proyección. A partir de las trazas se halla la

visibilidad de una recta, y los cuadrantes por donde pasa.

RECTA: REPRESENTACIÓN, TRAZAS Y VISIBILIDAD

Origen en el margen izquierdo. r : A(80,10,30), B(120,20,5)

r1 corta a L.T. en V1, V2 L.T.

r2 corta a L.T. en H2, H1 L.T.


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TIPOS DE RECTAS.

RECTA VERTICAL: Perpendicular al PH y paralela al

PV; r2 es perpendicular a LT, sólo tiene traza H y r1 es

un punto.

RECTA DE PUNTA: Perpendicular al PV y paralela al

PH; r1 es perpendicular a LT, sólo tiene traza V y r2 es

un punto.

RECTA PARALELA A L.T.: Paralela al PV y PH; r2 y r1

son paralelas a L.T.; no tiene trazas.

RECTA HORIZONTAL o PARALELA AL PH: r2 es

paralela a L.T. y sólo tiene traza V.

RECTA FRONTAL o PARALELA AL PV: r1 es paralela

a L.T. y sólo tiene traza H.

RECTA QUE PASA POR L.T.: Sus trazas están

contenidas en L.T. coincidiendo en un mismo punto


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RECTA DE PERFIL: Está contenida en un plano perpendicular a PV y PH. En la recta de perfil no todos los puntos

pertenecen a la recta; debemos construir r real en un eje de coordenadas para visualizar este tipo de rectas. Esta

visualización recibe el nombre de Tercera Proyección

EJERCICIOS:

1. Representar en sistema diédrico las siguientes rectas:

r: A (-70,40,15), B (20,10,15)

s:C (-20,-20,10), D (60,-20,45)

t: E (-45,20,0), F (-45,15,20)

Señalar las trazas, las partes vistas y ocultas, y el nombre de cada una de las rectas.

Realizar el ejercicio colocando la hoja en horizontal, y tomando como origen el centro de la hoja.

2. Ver problemas 12 y 13 de las páginas 108 y 109 del libro.

Datos ej.12: Dada la proyección de un punto A (-30, Y, 8), contenido en una recta de perfil

r: V (-30, 0, 30) H (-30, 23, 0), hallar la proyección A1 del punto.

Datos ej.13: Dada una recta de perfil r: A (-30, 15, 12) B (-30, 20, 8), hallar sus trazas V y

H.


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SISTEMA DIÉDRICO: REPRESENTACIÓN DEL PLANO.

Los planos no tienen proyecciones, sólo tienen trazas α1 y α2, que son las rectas con las que cortan a los planos de

proyección.

REPRESENTACIÓN DEL PLANO POR COORDENADAS.

Como en el caso del punto, en la determinación de un plano intervienen tres coordenadas α(x,y,z):

X = distancia del origen al vértice del plano.

Si es +, el vértice está a la derecha del origen.

Si es -, el vértice está a la izquierda del origen.

Y = alejamiento de la traza horizontal α1 en el origen.

Si es +, se sitúa debajo de LT.

Si es -, se sitúa por encima de L.T.

Z = cota de la traza vertical α2 en el origen.

Si es +, se sitúa por encima de L.T.

Si es -, se sitúa por debajo de L.T.

Ejemplo: Representar los siguientes planos situando el origen en el centro de la hoja: α (30,20,30), β (-30,-35,20),

ω (-40,30,40).


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PLANO DEFINIDO POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN. r ∩ s = α

Dos rectas que se cortan siempre forman un plano. Las trazas del plano deben contener a las trazas del mismo nombre

de las dos rectas, es decir:

Ejemplo: Hallar el plano que forman las rectas r y s, sabiendo que estas se cortan en el punto B(-10,10,40) y que la

recta r contiene al punto A(-30,40,10), y la recta s contiene al punto C(54,-10,25). Situar el origen en el centro de la

hoja.

V2r U V2s = α2 y H1r U H1s = α1


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TIPOS DE PLANOS.

PLANO HORIZONTAL: Paralelo al PH y perpendicular

al PV. Sólo tiene traza α2 paralela a la L.T. Todo lo

contenido en el PH se verá en verdadera magnitud.

PLANO FRONTAL: Paralelo al PV y perpendicular al

PH. Sólo tiene traza α1 paralela a L.T. Todo lo contenido

en el PV se verá en verdadera magnitud.

PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL:

Perpendicular al PH. Su traza α2 es perpendicular a

L.T. Sobre α1 todas las medidas se verán en verdadera

magnitud.

PLANO PROYECTANTE VERTICAL: Perpendicular al

PV. Su traza α1 es perpendicular a L.T. Sobre α2 todas

las medidas se verán en verdadera magnitud.

PLANO DE PERFIL: Sus dos trazas son

perpendiculares a L.T. Para trabajar sobre este plano,

será necesario hallar su vista de perfil o tercera

proyección.

PLANO PARALELO A L.T. o PERPENDICULAR AL

P.P.: Sus dos trazas son paralelas a L.T. No vemos en

verdadera magnitud nada contenido en este plano.

Para visualizarlo también suele utilizarse la tercera

proyección.


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PLANO PERPENDICULAR AL PRIMER BISECTOR: Sus trazas forman el mismo ángulo con L.T.

PLANO PERPENDICULAR AL SEGUNDO BISECTOR: Tiene sus trazas en línea recta.

PLANO QUE PASA POR L.T. Sus trazas coinciden con la L.T., por lo tanto este plano siempre viene dado acompañado de un punto y debe verse en la tercera proyección o vista de perfil.


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SISTEMA DIÉDRICO: PERTENENCIAS.

PUNTO QUE PERTENECE A UNA RECTA A r

Cuando A1 está contenido en r1 y A2 está contenido en r2.

RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO r α

Cuando las trazas de la recta están sobre las trazas del mismo nombre del plano.

PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO A α

Cuando el punto está contenido en una recta que a su ver está contenida en el plano. Cuando tengamos que situar un

punto en un plano, utilizaremos, siempre que podamos, rectas auxiliares horizontales o frontales, ya que sólo poseen

una traza y es más fácil trabajar con ellas.

H1 α1

V2 α2

A1 r1

A2 r2

A ϵ r ϵ α


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RECTAS PARTICULARES DE UN PLANO:

RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE (r.m.p.)

La recta de máxima pendiente de un plano, es la recta que forma el mayor ángulo posible con el plano horizontal. Se

caracteriza porque su proyección r1, es perpendicular a α1

RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN (r.m.i.)

La recta de máxima inclinación de un plano, es la recta que forma el mayor ángulo posible con el plano vertical. Se

caracteriza porque su proyección r2 es perpendicular a α2.


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PROYECCIONES DE UNA FIGURA PLANA CONTENIDA EN UN PLANO.

Problema general: Dado un plano y una figura contenida en dicho plano, de la que se conoce una de las proyecciones,

hallar la otra proyección.

α2

α1

α2

α1


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EJERCICIOS SISTEMA DIÉDRICO

1. Dibujar las proyecciones diédricas de los puntos A (3,1,2), B (-3,2,-3) y C (-2,4,-3). Después hallar la

visibilidad de la recta AC y de la recta BC. Cotas en cm. Origen en el centro de la hoja.

2. Hallar las trazas de la recta de perfil determinada por los puntos P (4,3,1) y Q (4,2,2). Origen a 7 cm del

margen izquierdo.


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3. Situar sobre el plano α (-50,20,30): (Origen en el centro de la hoja)

Una recta frontal r con alejamiento 8 mm y que pase por un punto P de cota 20 mm.

Una recta horizontal s de cota 25 mm y que pase por el punto Q de alejamiento -15 mm.

4. Situar sobre la recta r: A (-25,-15,-5), B(10,-30,10), el punto de cota 20 mm y hallar la visibilidad de r.

Origen en el centro de la hoja

5. Dada la recta r: A (20,15,25), B (50,0,10), trazar: (origen a 5 cm del margen izquierdo)

El plano α cuya recta de máxima pendiente sea la recta r.

El planto β cuya recta de máxima inclinación sea la recta r.


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6. Los puntos P y Q definen la recta r. Representarla diferenciando partes visibles y ocultas, determinar sus

trazas y diedros por los que pasa.

7. Representar la recta de perfil m que pasa por los puntos A y B. Determinar sus trazas y el ángulo que forma

con el P.V.

8. Determinar, estableciendo su visibilidad, la recta que pasa por el punto P y corta a la recta r en el punto de

cota 25 mm.

A1


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9. Representar la recta que pasa por los puntos A(-50, 24, 8) y B (8,-10,-14). Indicar partes visibles y ocultas.

10. Calcular la proyección horizontal del punto P que pertenece a la recta de perfil t, del que se conoce su

proyección vertical P2.


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11. La recta a pasa por los diedros indicados y por el punto P. Representarla.

12. Calcular las trazas de la recta de perfil que pasa por los puntos A y B y las proyecciones B1 y B2.

13. Determinar las trazas del plano definido por las rectas a y b.


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14. Representar el plano que contiene a las rectas s y t.

15. Calcular las trazas del plano definido por los tres puntos dados: L, M y N.

16. Determinar las proyecciones de la horizontal de cota 18 mm del plano que define la recta de máxima

inclinación dada.


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17. Determinar las proyecciones de la frontal de alejamiento 25 mm del plano que define la recta de máxima

pendiente dada.

18. Representar el plano que forma 30º con el P.V., pasa por la L.T. y por el 1º y 3º diedro.

19. P2 es la proyección vertical de un punto P perteneciente al plano α. Determinar la recta de máxima pendiente

de este plano que pasa por P.


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20. Determinar las proyecciones del punto perteneciente al plano β, de cota 22 mm y alejamiento 14 mm.

21. Dada la proyección horizontal de un cuadrilátero que está situado en el plano α, dibujar su proyección vertical

utilizando rectas horizontales.

22. Dibujar la proyección vertical del cuadrado KLMN apoyado sobre el plano β, proyectante horizontal. El lado

LM tiene cota 4 mm y la cota del lado KN es mayor.


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23. Dibujar la proyección horizontal del cuadrilátero ABCD situado en el plano α.

24. Dibujar la proyección vertical del triángulo ABC contenido en el plano α, perpendicular al plano de perfil.

punto, recta y plano. pertenencias.como en el caso del punto, en la determinación de un plano...

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