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Liceo de Aserrí Departamento de Matemáticas Prof: Jorge Umaña Ramírez I Examen Convocatoria curso 2015

Nivel Décimo año Tiempo 120 minutos Puntaje total: 75 puntos Fecha: _________________

PUNTOS OBTENIDOS CALIFICACIÓN CONDICION

APROBADO_______

REPROBADO______

PRIMER APELLIDO SEGÚNDO APELLIDO NOMBRE Sección:________

Instrucciones Generales:

Utilice bolígrafo con tinta azul o negra

Las respuestas escritos con lápiz o corregidos con corrector no admiten reclamos posteriores a la revisión de la prueba

No puede usar hojas adicionales a la prueba

No se permite el uso de celular y equipos reproductores de música durante la prueba

No se permite el intercambio de instrumentos de trabajo (lápiz, corrector, calculadoras, etc) durante la prueba

Puede usar calculadora no programable

La prueba queda regulada por lo establecido en el reglamento de evaluación

La prueba consta de 9 páginas, tres secciones, resolución de ejercicios, resolución de problema, sección única

A.) SELECCIÓN ÚNICA. Valor 15 puntos. Escriba una equis (x) sobre la letra que antecede a la única respuesta correcta. (1 punto c/u)

1. El centro de la circunferencia (𝑥 − 12)2 + (𝑦 + 8)2 = 25 corresponde al par ordenado

a) (5,0)

b) (12, −8)

c) (−12,8)

d) (−8,12)

2. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro (−4,8) y con radio 4?

a) (𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 8) = 16

b) (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 8) = 16

c) (𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 8) = 4

d) (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 8) = 4

3. La ecuación de la circunferencia que se representa gráficamente

en la figura de la derecha, corresponde a:

a) (𝑥 − 6)2 + (𝑥 + 4)2 = 4

b) (𝑥 + 6)2 + (𝑥 − 4)2 = 4

c) (𝑥 − 6)2 + (𝑥 + 4)2 = 16

d) (𝑥 + 6)2 + (𝑥 − 4)2 = 16

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4. Al trasladar la circunferencia por un vector sucede con certeza que

a) el centro de la circunferencia se conserva y radio cambia

b) se conserva la medida del radio y el centro se conserva

c) el radio se conserva y el centro de la circunferencia cambia

d) ni el radio ni el centro de la circunferencia cambian

5. Al trasladar la circunferencia (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 1 por el vector �⃗� = (2,3) se obtiene la

circunferencia

a) (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 4)2 = 1

b) (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 1

c) (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 3

d) (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 4)2 = 1

6. En la recta que se muestra en la gráfica adjunta, la intersección con el eje de

ordenadas corresponde al punto

a) (1,0)

b) (0,1)

c) (0,3)

d) (1

3, 0)

7. La ecuación de la recta que tiene pendiente 8 y corta el eje de las ordenadas por (0, −5) es

a) 𝑦 = 8𝑥 + 5

b) 𝑦 = −5𝑥 + 8

c) 𝑦 = 8𝑥 − 5

d) 𝑦 = −8𝑥 − 5

8. La ecuación de la recta paralela a la recta dada por 𝑦 = 6𝑥 + 5 es

a) 𝑦 = 6𝑥 − 3

b) 𝑦 =1

6𝑥 + 5

c) 𝑦 = −1

6𝑥 + 3

d) 𝑦 = −6𝑥 − 5

9. La ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por 𝑦 = −2𝑥 + 3 corresponde a

a) 𝑦 = 2𝑥 − 1

b) 𝑦 = −2𝑥 + 7

c) 𝑦 =1

2𝑥 + 2

d) 𝑦 = −1

2+ 4

10. Considere los conjuntos 𝐴 =]4, 37[, 𝐵 =]17, 58]. El conjunto determinado por 𝐴 ∪ 𝐵

a) ]4, 58]

b) ]4, 17[

c) ]17, 58]

d) ]17, 37[

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11. Considere los conjuntos 𝑀 = {6, 8, 12, 14}, 𝑁 = {8, 12, 16} y 𝑃 = {8, 12}, analice las siguientes

proposiciones

I 𝑁 ⊂ 𝑀

II 𝑀 ∩ 𝑁 = 𝑃

III 𝑁 ⊂ ℝ

De ellas son verdaderas

a) La I y la II

b) La II y la III

c) Solamente la II

d) Solamente la III

12. Considere las funciones 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 3 𝑦 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5, el valor de (𝑔 ∘ 𝑓)(7)

a) 11

b) 16

c) 21

d) 132

13. Considere las funciones ℎ y 𝑚 que se representan en las siguientes tablas, el valor de (𝑚 ∘ ℎ)(2)

a) 1

b) 3

c) 4

d) 5

14. De acuerdo con la figura de la gráfica adjunta el ámbito de la función “𝑔” es

a) [−5, −1]

b) [0, 4]

c) ] − ∞, 4]

d) ℝ

15. De acuerdo con los datos de la gráfica de la función ℎ analice las siguientes proposiciones

I El vértice está ubicado en (−1, 2)

II El ámbito es de [−1, +∞[

III La función es decreciente de ] − ∞, 2[

¿De estas son verdaderas?

a) La I y la II

b) La I y la III

c) La II y la III

d) Todas

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B.) RESPUESTA RESTRINGIDA. Valor 41 puntos Para cada una de los siguientes ítem, conteste en el espacio correspondiente según se le indica

1. En la figura que se presenta a continuación se representan gráficamente cinco circunferencias

llamadas 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 y 𝐶5. De acuerdo con la información de la figura escriba sobre la línea el

nombre de la circunferencia cuyo centro y radio se da en cada caso. Sobra una circunferencia. (4

puntos)

a) Circunferencia de la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 = 4:

b) Circunferencia de radio 2 con centro (9,0)

c) La ecuación de la circunferencia es (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 3)2 = 8

d) La ecuación de la circunferencia es (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 5)2 = 1

2. Considere la circunferencia cuya ecuación es (𝑥 – 2)2

+ (𝑦 + 1)2 = 9. Escriba sobre la línea la

frase “interior”, “exterior” o “sobre la circunferencia” de acuerdo con la posición que con

respecto a la circunferencia ocupa el punto que se da en cada caso. (3 puntos)

a) (4,1)

b) (2, −4)

c) (5, −2)

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3. Considere la figura adjunta donde se pueden apreciar las circunferencias 𝐶1 𝑦 𝐶2, y las rectas

𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡. Con respecto a los mostrado indique si la proposición dada es falsa (F) o verdadera (V) (5

puntos)

a) La recta “r” es secante a 𝐶2 y tangente a 𝐶1 ( )

b) La recta “t” es exterior a la circunferencia 𝐶1 ( )

c) La recta “q” es secante a la circunferencia 𝐶2 ( )

d) La recta “s” es tangente a la circunferencia 𝐶1 ( )

e) La recta “r” es tangente a 𝐶1 y a 𝐶2 ( )

4. A la derecha se presenta un polígono regular de centro O, en donde 𝐴 − 𝐵 − 𝑘. De acuerdo con la

información de la figura determine la medida del ángulo que se pide en cada caso: (4 puntos)

a) ∡𝐻𝑂𝐺

b) ∡𝐽𝐴𝐵

c) ∡𝐶𝐵𝐾

d) ∡𝑂𝐸𝐷

5. Represente los siguientes intervalos reales en las distintas notaciones estudiadas, según

corresponda (6 puntos)

Intervalo Por comprensión En la recta numérica

{𝑥 𝑥⁄ ∈ ℝ, −3

5< 𝑥 ≤ 8}

]√5, +∞]

6. Considere los intervalos A= [3, 12[, 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ ∈ ℝ; −11 < 𝑥 ≤ 30} Escriba sobre la línea uno de los

símbolos ∈, ∉, ⊂ ó ⊄ según sea el caso (4 puntos)

a) −14 𝐵 b) 𝐴 B

c) 12 A d) 𝐵 ℝ

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7. Considere los intervalos 𝐶 = [−11, 28[ ⋀ 𝐷 =] − 3, +∞[. Determine el complemento de cada uno,

expréselo en notación de intervalo (2 puntos)

a) 𝐶𝑐

b) 𝐷𝑐

8. Considere la gráfica de la función 𝑓 que se le presenta a continuación. De acuerdo a los datos de la

figura conteste sobre la línea cada una de los datos que se solicitan (6 puntos)

a) Dominio

b) Ámbito

c) Intervalo en que 𝑓 es decreciente

d) Un cero de la función (punto)

e) Determine 𝑓(3)

f) La preimagen de −2

9. Para cada una de las siguientes relaciones representadas en diferentes formas, determine si es

función o no es función (3 puntos)

{(2, 11), (8, 2), (6, 3), (6, 7)} ( ) 𝑆í 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 ( ) 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛

( ) 𝑆í 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 ( ) 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛

( ) 𝑆í 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 ( ) 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛

10. Si 𝑓 es la función dada por 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 − 7, escriba F o V (falso o verdadero) según

corresponda en cada afirmación que se le presenta (4 puntos)

a. ( ) La función es una parábola cóncava hacia abajo

b. ( ) Interseca el eje de ordenadas en el punto (0, −7)

c. ( ) Interseca el eje de las abscisas en un solo punto

d. ( ) El vértice está ubicado en el punto (−10, 1)

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C.) RESOLUCION DE EJERCICIOS. Valor 14 puntos. Resuelva cada uno de los ejercicios que se le presenta a continuación. Exprese el resultado simplificado al máximo

1. Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−1,1) y (2, −5) (3 puntos)

2. En un polígono regular el ángulo central mide 72° y el radio mide 4 𝑐𝑚, determine: a) La apotema (2 puntos) b) El lado (3 puntos) c) Perímetro (1 punto) d) El área del polígono (1 puntos)

La apotema

El lado

El área del polígono

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3. Determine el ámbito de la función 𝑘(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 + 12; 𝑘: {−1, 0, 1, 3} → ℤ (4 puntos)

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D.) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Valor 5 puntos. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios, debe dar todo los procedimientos aplicados para

resolverlo. Trabaje en forma ordenada y clara, si no se entiende no se revisa

1. Considere los puntos A, B, C y D ubicados en el mapa del centro de Aserrí que se le muestra a

continuación. Si se coloca un router inalámbrico en las instalaciones de la Chicharronera Cacique

Acserí (punto C) que proporciona una señal a 90m a la redonda.

Considere los puntos

B en el Banco Popular

D En la plaza de Deportes

De acuerdo con la información dada anteriormente,

a) Represente algebraicamente la señal inalámbrica proporcionada por el router de la

Chicharronera.(ecuación de la circunferencia) (3 puntos)

b) Determine algebraicamente si la señal de dicho router es percibida en los puntos B y D (2

puntos)

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FORMULARIO I CONVOCATORIA MATEMATICAS 2015

4 DE DICIEMBRE 2014

Nombre Completo_____________________________________________________

Circunferencia Distancia Traslación

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 (𝑥 − ℎ − 𝑎)2 + (𝑥 − 𝑘 − 𝑏)2 = 𝑟2

ALGUNAS FÓRMULAS RELACIONADAS CON POLÍGONOS REGULARES

Medida del ángulo central 360°

n

Suma de los ángulos internos 180°(n – 2)

Total de diagonales n(n 3)

2

Medida del ángulo interno 180°(n 2)

n

Área del Polígono Regular P ∙ a

2

Simbología para polígonos regulares:

“n” es el número de lados “P” es el perímetro “a” es la apotema

Función Lineal

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑚 =𝑦2 + 𝑦1

𝑥2 + 𝑥1 𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥

Función Cuadrática

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑥 =−𝑏 ± √∆

2𝑎

𝑉 = (−𝑏

2𝑎,−∆

4𝑎)

Pitágoras Ley de Senos Formulas notables

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝛼=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝛽=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝛾

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

Trigonometria

𝑠𝑒𝑛 𝛼 =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 cos 𝛼 =

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 tan 𝛼 =

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒