matemÁtica - ilse.esc.edu.ar · definir como función partida, determinar conjunto imagen y...

MATEMÁTICA

GUÍA DE TRABAJOS

PRÁCTICOS

QUINTO AÑO

Se agradece el aporte de los profesores María Inés Sáinz y Daniel Dacunti

Universidad de Buenos Aires

Instituto Libre de Segunda Enseñanza

Departamento de matemática. ILSE.

1

TRABAJO PRÁCTICO Nº 1

FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTE

1) Se definen las funciones:

1 1 2

2

2 2

2

2

5

x3 3

2 ( 2) si x 1: / ( )

6 8 si x 1

2 2 si 1

: / ( ) 2 si 1 2

log ( ) si 2

log ( 4) si x 3

: / ( ) 11 si x 3

2

x

x xf Df R f x

x x

x

f Df R f x x x

x x

x

f Df R f x

y se pide:

a) Dominio, conjunto de ceros, conjuntos de positividad y negatividad, ecuaciones de las

asíntotas, conjunto imagen y gráfico aproximado de las mismas.

b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones 2f y 3f .

2) Para cada una de las siguientes funciones definidas de R en R, se pide:

Definir como función partida, determinar conjunto imagen y representar gráficamente

0xsix

0xsixx)x(f1 (Función módulo)

4-2x(x)f2 4-2x-3(x)f3

xx)x(f4 xx)x(f5

3) Hallar el dominio de las siguientes funciones:


2

a) 2xx f(x) 2 b)

2xx

1 g(x)

2

c) x)ln(2x)-ln(2h(x) d))x(sen

1 l(x)

e) 1x k(x) 2 f) 4 22 1)x2(x m(x)

g) 2xx p(x) h) 4 22 1)x2(x

1 q(x)

i) 3

1)(

2

x

xxf j)

2

23

4

43)(

xx

xxxf

k)

2

log( 1)( )

2

xf x

x x

4) Dadas 1x)x(f , 2)1x()x(g y 3 3)1x()x(h se pide:

a) Indicar el dominio de cada una

b) Representarlas gráficamente

c) Contestar y justificar: ¿f = g? ¿f = h?


3

RESPUESTAS:

1) a)

0

1 1 1 1

1

2;0;2;4 2,0 2,4 , 2 0,2 4,

Im ,1 asíntotas no tiene

Df R C f C f C f

f

0

2 2 2 2

2

Im 1; y = 2 asíntotas horizontal.

Df R C f C f R C f

f

0

3 3 3

3 3

, 2 2, 5; 5 , 5 5,3

5, 2 2, 5 3, Im asíntotas verticales 2;

2, asíntota horizontal: 1

Df C f C f

C f f R x

x y

b) 2 2 crece : ; 1 0;2 2; decrece : 1;0 f f

3 3 crece : 2;3 decrece : ; 2 3; f f

2) 1Im 0; ; 2Im 0; ; 3;Im3 ; ;0Im4 ; 5Im ,0

3) a) (-,-2] U [1, +) ; b)(- ,-2)U(1,+ ) ; c)(-2,2) ; d)R-Z ; e){-1,1} ;

f){-1,1} ; g) [1,+ ) ; h) ;i) ; 3 1;1 3; ;j) 1; 2 0;4 ;

k) 1;


4


LÍMITES – CONTINUIDAD

1) A partir de los siguientes gráficos determinar si existe, )(xflímx

, )(xflímx

, )(0

xflímx

a) b)

c)

d)

e)


5

2) Dibujar una función RRf : que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:

a)3

( 2;4) lim ( ) lim ( ) 1 3 (0) ( 2)x x

f f x f x es raiz y f f

b)2

(3; 2) lim ( ) lim ( ) 3 2 (0) (3)x x

f f x f x es raiz y f f

c)1

1 3 sean las unicas raices lim ( ) lim ( ) lim ( ) 2x x x

y f x f x f x

d)1

2 1 sean las unicas raices lim ( ) 2 lim ( ) lim ( )x x x

y f x f x f x

3) Calcular los siguientes límites:

a) 4x

2xlim

22x

b) )1xln(lim

2x

c)

2x

2xlim

2

1x

d) xcos.4

)1x).(2x(lim

2

0x

e)

1x8

xlim

1x f)

xx

xx

0x 22

22lim

g) 1x

1xlim

2

1x

h)

3

2xlimx

i)

1x2

1x x

1xlim

j) 9x

1lim

23x k)

2x

1lim

2x l)

1x

4lim

3x

m) 2x

1xlim

3

1x

n)

x

3lim

0x o)

1x

x2lim

LIMITES INDETERMINADOS

4) Cociente de polinomios

a) 1x

1xlim

21x

b)

xx

x3x2lim

3

2

0x

c)

25x10x

5xlim

25x

d) 2x2x3x

2xx2xlim

23

235

1x

e)

5x10

1x4lim

2

2

1x

f )2xx

5x2x3lim

4

3

1x

g) 16x

4x3xlim

2

2

4x

h)

15x13x3x

5x4xlim

23

2

5x


6

i) )3x).(2x(

x4x4xlim

23

2x

j)

x

a)xa(lim

22

0x

k)

1x

2x22

1x 1x

1xlim

5) Irracionales:

a) 2x

2xlim

2x

b)

1x

x1lim

1x

c) x51

x53lim

4x

d)

x

1x1lim

0x

e)2x

2x32xlim

2x

f) 1x

xxlim

2

1x

g)

5x3

x4lim

2

2

2x

h)

x

x1x1lim

0x

i) 1x

1x3x3lim

1x

j)

23x

1xlim

21x

6) Infinito sobre infinito :

a) 1xx3

1xx2lim

2

2

x

b)

5x

2x3xlim

3

x

c) 5xx

2x3lim

2x

d)

4x

1x2x3lim

3

2

x

e) 6xx

x2xxlim

2

23

x

d)

3923

15lim

2

xx

x

x

7) Dados los siguientes gráficos, determinar los límites que se indican en cada caso:

a) )(´2

xflímx

; )(´2

xflímx

; )(xflímx

; )(xflímx


7

b) xlím f ( x)

0+® ;

xlím f ( x)

0-® ; )(xflím

x ; )(xflím

x

c) x

lím h( x)4-® x

lím h( x)4+®


8

8) Límites laterales:

a)

x

0x 3

1lim

b)

x

0x 3

1lim

c)

x

x 3

1lim

d)

x

x 3

1lim

e) x

x2lim

f) x

x2lim

g) x

1

0x3lim

h) x

1

0x3lim

i) x

1

0x 3

1lim

j) x

1

0x 3

1lim

k) 1x

2lim

1x

l) 1x

2lim

1x m)

x

xlim

0x n)

x

xlim

0x

ñ) 21

lim log 1

x

x o) 21

lim log 1

x

x p) 1

2

2

1lim log 1

xx

q) 1

2

2

1lim log 1

xx r)

2 2

1lim log

2 3

x

x

x s) 1 2

0 3

1lim log

2 3

x x

t)

1

10

1 2

1 3lim

x

x x

9) Hallar, si existen, los límites laterales en los puntos indicados y graficar:

-5


9

a)

0x2

0xx)x(f en x1 = 0

b)

1xx2

1xx4)x(f

2

2

en x1 = 1

c)

1xx1

1x1x

1x2

)x(f 2 en x1 = - 1 en x2 = 0 en x3 = 1

10) Dada la función f xx x

x( )

2 5 14

2 14 , se pide:

a) Indicar su dominio b) Calcular lim f xx7

( ) , lim f xx2

( ) y lim f xx

( )

11) Dada la función f xx x

x( ) log

3

2 2

1, se pide:

a) Indicar su dominio b) Graficarla

c) Calcular lim f xx1

( ) , lim f xx2

( ) y lim f xx

( )

12) a) Graficar las funciones siguientes:

13 3

: / ( ) 2

8 3

x

xf R R f x

x x


10

2

2

2 2 2

: / ( ) 3log 2

2

x x x

g R R g xx x

b) Completar y responder:

lim f xx

3

( ) .......... lim f xx

3

( ) .......... ¿Existe lim f xx3

( ) ?

lim g xx

2

( ) .......... lim g xx

2

( ) .......... ¿Existe lim g xx2

( ) ?

13)

a) Sea : 1 /g R R

1

1

1

11

2

11 < 1

3( )

log ( 1) 5 1

x

x

si xg x

x si x

, se pide:

Calcular si existen 1

( )xlim g x

y ( )xlim g x

.

b) Sea : 3 /h R R

1

2 9

12

13,12 s < 3

3( )1

log 33

x

i xxh x

si xx

, se pide:

Calcular si existen : 3

( )xlim h x

;

3( )

xlim h x

;

3( )

xlim h x

; 4

( )xlim h x

; ( )xlim g x

.

14) Para 5+6x-x

25-x=)x(f

2

2

se pide: a) Determinar Dominio

b) Graficar

c) Calcular límites cuando x tiende a los valores

prohibidos para el dominio

15) Determinar en cada caso el valor de a para que

a) 56x5x

6xxlim

2

2

ax

b)

6x5x

6xxlim

2

2

ax


11

16) Para los posibles valores de a y b, calcular:

a) x+xb

x+axlim

3

23

∞→x b)

x+xb

1+axlim

3

2

∞→x

17) Analizar antes de graficar si las siguientes funciones son continuas. Luego graficar.

a)

x xf ( x)

x x 02

1 2 0ì - + - < <ïïï= íï ³ïïî

b)

x

f ( x) x x

x x

2

1 1

1 1

1

ìï - £ -ïïï= - < <íïï ³ïïî

c)

x x

x xf ( x)

x x

2

1 1

1 1 2

3 2

ì - + < -ïïïï + - £ £= íïï + >ïïî

d)

0xx

1

0xx

)x(f

2

e) 1x

1x)x(f

2

f) 4x

2x3x)x(f

2

2

g)

2x2

2xx

)x(f h)

1xx3

1xx3

)x(f


12

i)

2x

2x

1

2x3

)x(f j)

6x10x2

6x22x

8

2x4

)x(f

f x

x kx t x

kx t x

( )

2 2

2 2

19) Determinar en cada caso el valor de a para que f sea continua. Graficar.

a) f a R f x

ax

x ax

x x

:( , ) / ( )

18

1

2

3

28

b) 2

2

15 2

4: / ( )

3 18 2

4

si x

f f xax x

si xx

c) 3

15 1

4: / ( )

1 1

1 2 2

si x

f f xx a

si xx x

d)

f a R f x

x x

ax

x ax

:( , ) / ( )

1

31 9

159

20) Rededinir, cuando sea posible, las siguientes funciones para que sean contínuas.

Analizar si alguna de ellas presenta asíntotas horizontales o verticales.

18) Sabiendo que f ( ) 3 7 y f ( ) 1 6 , se pide

a) Determinar k y t.

b) ¿Es continua?

c) Graficar.


13

a) x x

f ( x)x

2 2 3

3

- -=

- b)

2 11 3

( ) 43

x

f xx

c) 3x

27x)x(f

3

d)

( x ).( x )f ( x)

x

23 16

4

+ -=

-

e) x3x2x

6x5x)x(f

23

2

f) 3x

3x)x(f

21) a) ¿Es posible redefinir )1(f para que 1x

)1x.(x)x(f

2

sea continua en x = 1?

b) Definir, si es posible, )2(f para que 4x

2x)x(f

2

sea continua en x = 2

22) Propongan, en cada caso, la expresión de una expresión que cumpla simultáneamente

las siguientes condiciones, luego graficar.

a) Presente una discontinuidad en 4x ; 4 4

lim ( ) 5 lim ( ) 5x x

f x f x

b)

lim ( ) 2 lim ( ) (0) 3x x

f x f x f y que presente una

discontinuidad en 2x .

23) Proponga la expresión de una función f con dominio R e imagen R, y que cumpla

2 2lim ( ) 4 lim ( ) 0x x

f x f x

24) Hallar las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de cada una

de las siguientes funciones

1x

1x(x)f

2

1

x

x1(x)f

3

2

1x

x(x)f

3

3

3

2

3

4x1

x(x)f

3x

4x)x(f

2

2

5

4x

2x)x(f

2

3

6


14

25) Dada CBxAx

cbxax)x(f

2

2

y la tabla siguiente

a b c A B C

0 1 - 2 1 0 - 1

1 0 - 9 0 1 -3

0 1 2 1 0 - 4

1 0 - 1 0 1 2

Investigar la existencia de asíntotas para los distintos valores de a, b, c, A, B y C.

26) Determinar dominio, asíntotas y graficar:

5

1057)(

2

234

x

xxxxxf


15

RESPUESTAS

1) a)0 ; ; ; b) No existe; ; 0 ; c) 1 ; 1 ; 0 ; d) 0 ;0 ;1 ; e) 1 ; -1; 0

3) a) ½ b) 0 c) 1/3 d) ½ e) 1/3 f) 0 g) h) i) 1 j) k) l) 0 m) 0

n) o)

4) a) ½ b) 2 c) d) 9/7 e) –2/5 f) 11/5 g) 5/8 h) 3/16 i) 0 j) 2a k) 4

5) a) 2 2 ;b) -2 ;c) 3

1 ;d)

2

1 ; e) 0 ; f) 0 ;g) 6 ; h) 1 ; i) 0 ; j) 2

6) a) 2/3 ; b) ;c) 0 ; d) 0 ; e) ; f) 7

5

7) a) ; ; 1 ; 1 ; b) ; ; 0 ; 0 c) x

lím h( x)4

5-®

= - x

lím h( x)4+®

= + ¥

8) a) 1 ; b) 1 ; c) 0 ; d) + ; e) + ;f) 0 ;g) + ; h) 0 ; i) 0 ; j) + ; k) + ; l)

; m) 1 ; n) -1 ñ) ; o)no existe; p)no existe; q) + ; r) ; s) ; t) 0

9) a) 0)(lim0

xfx

;b) 3)(lim1

xfx

; c) No existe )(lim1

xfx

; 0)(lim0

xfx

; No existe

)(lim1

xfx

10) a) 7;2 Dom ; b) 2

23)(

7

xflím

x ; 0)(lim

2

xf

x ;

)(lim xf

x

11) a) 1;2 Dom c) 1)(lim1

xfx

;

)(lim2

xfx

;

)(lim xfx

12) b) 5 ; 5 ; Si ; -1 ;-2 ; No existe

13) a) 1

( ) 1xlím g x

( )xlím g x

b) 3

1( )

6xlim h x

;

3( )

xlim h x

;

3( ) : no existe

xlim h x

; 4

( ) 0xlim h x

; ( )xlim g x

14) a) 1;5 RDom c) 2

5)(lim

5

xf

x ;

)(lim

1xf

x

15) a) 2a ; b) 3a


16

16) a) 0;0; bab

a ; b) 0;;0 bRa

18) a) 3k ; 8t ;

19) a) 2a b) a = 3 c) a = 3 d) 3a

21) a) )1(f 2

1 b) )2(f

4

1

: /g R R

1

1

1

11

2

11 < 1

3

( ) 1 1

log ( 1) 5 1

x

x

si x

g x si x

x si x

24) 1:..;1:..:1 xyOAxVAf

0:..:2 xVAf

1..;1:..:3 yHAxVAf

xyOAxxVAf ..;1;1:..:4

1:..:5 yHAf

xyOAxxVAf :..;2;2:..:6

25) 0..;1;1:..;1

221

yHAxxVA

x

xxf

1:..;3;3:..;3

92

2

2

yHAxxVA

x

xxf

0:..;2:..;2

1

4

223

yHAxVA

xx

xxf

2:..;2:..;2

12

4

xyOAxVA

x

xxf

26) 5;5 RDom ; Discontinuidadese en 5x y en 5x ; No tiene

asíntotas.


17


DERIVADAS

1) Encontrar, aplicando la definición de derivada, la función derivada de

2x3(x)f 21 x)x(f2 con 0x

x

1(x)f3 con 0x 3

4 x(x)f

2) Determinar si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Justificar los que son

falsos:

a) Si una función es continua en un punto, entonces es derivable en este punto

b) Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en él.

3) ¿Es derivable la función xf(x) en x = 0? ¿Es continua en todo el dominio? Explicar

porqué.

4) a) ¿Qué tipo de función es la función derivada de una función lineal?

b) ¿Qué tipo de función es la función derivada de una función cuadrática?

REGLAS DE DERIVACIÓN

5) Utilizando las reglas de derivación, obtener la función derivada de:

xx x(x)f 641 x

2 5.e (x)f

xln3

1 (x)f3

1x2

x (x)f

2

4

senxe (x)f x5

x

2x (x)f6

x

7 x.e(x)f 21

8 xx)x(f

2)senx(3x(x)f9


18

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA (REGLA DE LA CADENA)

6) Derivar las siguientes funciones compuestas:

x3sen)x(f1 )x(lncos (x)f 22

x21)x(f3 524 )4(x (x)f

4

x

x

5e1

e1(x)f

3 2

6 )xcos(4 (x)f

xscoxsen (x)f 337 1xcos)x(f 2

8

x1)x(f9 x10 e (x)f

x3x11

2

e)x(f x12 6.5)x(f

xsenxxxf 135ln)(13 xxexf x 3254

14 cos21ln3

RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL

7) Determinar la recta tangente y la recta normal a cada una de las siguientes funciones en

los puntos indicados:

a) x2x)x(f 2 , en 1x0

b) x4x)x(f 3 , en 1x0

c) xe)x(f , en 0x0

d) x3x5)x(f 2 , en 1x0

8) De una función real se sabe que su función derivada es 4x3x(x)' f/RR:'f 2 .

Determinar la pendiente de la recta tangente a la curva que representa f en los puntos de

abscisa 1 y –2.


19

9) Las pendientes de dos tangentes a una parábola son 2)3('f y 3)5('f

a) A cuál de los siguientes intervalos pertenece vx ?

)3;( (3; 5) );5(

b) ¿Puede hallar vx ? ¿Cuál es?

10) El vértice de una parábola es (-3;2). La pendiente de la recta tangente a la parábola en el

punto de abscisa 2 es –3. ¿En qué punto de la parábola, la pendiente de la recta tangente

a ella es –2?. Halle la ecuación de dicha recta

11) Indique en qué punto o puntos del gráfico de 5x6xf(x) 3 , la recta tangente es

horizontal.

12) Indique en qué punto o puntos del gráfico de 17x7x4

1f(x) 4 la recta tangente

forma un ángulo de 45º con el semieje positivo de las abscisas.

13) Demuestre que la recta de ecuación -x y es tangente a la gráfica de la función

x8x6xf(x) 23 . Halle el punto de tangencia.

14) ¿Cuál es la ecuación de la recta normal a 3x

1f(x) en el punto (1; 1)?

15) ¿En qué punto del gráfico de 2x

1 f(x) la tangente al mismo corta al eje x en 3x ?

16) Determine el valor de “a”, tal que los puntos sobre la parábola 2xy de abscisas “a” y

“-a” tengan tangentes perpendiculares entre si. Dar la ecuación de cada recta. Grafique

la parábola y las rectas tangentes

17) Sea 7x142

x7

3

x f(x)

23

.¿En qué puntos la recta tangente tiene pendiente 2?.

Escribir la función de cada recta.

18) La función xxxxf 23 3)( en el punto (2;-2) tiene por recta tangente una recta tal

que corta a f(x) en otro punto. Determinar las coordenadas de dicho punto.

19) Determinar la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal al gráfico de

12ln1)( xxxf en el punto de abscisa 1x .

20) Determinar en qué punto o puntos de 5 32)( xxf la recta tangente es vertical.


20

21) Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a 2

)(

x

exf

x

en :

a) 1x ; b) 0x .

22) Determinar a y b sabiendo que la recta tangente al gráfico de

x cosb-x sena)( xf en el punto (0;5) es 52 xy .

23) En qué punto la recta tangente al gráfico de 2ln34)( xxf es 26 xy .

24) Dada kxxxf 23 2)( . Determinar el valor real de k para el cual la recta tangente al

gráfico en el punto de abscisa 10 x pase por el punto 6;0 P

APLICACIONES DE LA DERIVADA

25) Mostrar en qué subconjuntos del dominio, las siguientes funciones son estrictamente

crecientes. Determinar puntos críticos:

a) 5x3 xf(x) 3 b) 23 )3x.(x)x(f

c) 3 3 x12xf(x) d)

1x

3x2f(x)

e)2)3x(

1f(x)

f) 23)( xxxf

26) Hallar los extremos de las siguientes funciones:

a) 2x1

3f(x)

b) x

x

1f(x)

c) 23 x2 xf(x) d) )xln(1 f(x) 2

27) Encontrar los ceros de f. Graficar f ’ y f ’’y determinar a partir de estos gráfico

crecimiento, decrecimiento y concavidad de f. ¿Dónde están los puntos máximos,

mínimos y de inflexión?

a) f(x)= x2x6

1 3 ; b) 23 x2

3x

3

1-f(x) ; c)

3

11x3xx

3

1- =f(x) 23


21

28) a) Para las siguientes funciones, se pide estudiar: dominio; intersección con los ejes;

intervalos de positividad y negatividad; intervalos de crecimiento y decrecimiento y

extremos relativos.

b)Para las funciones 1 2 3 4 5 6 7f , f , f , f , f , f y f analizar concavidad y puntos de inflexión;

asíntotas. Hacer para cada una un gráfico aproximado.

421 x6x (x)f

1x

1)x(f

22

4x

x2)x(f

2

3

3

354 x53x- (x)f

34

5 x43x (x)f 64x48x12 x(x)f 2346

27x1

x)x(f

x

8 e x(x)f

2

2

39

xf (x)

x

2x10 e (x)f

x

exxf 5

2

2

11

22

12 1 xexxf

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

29) a) Entre todos los rectángulos de área 16, encontrar el que tiene perímetro mínimo.

b) Entre todos los rectángulos de área 50, encontrar al que diagonal mas corta.

c) Con 12 metros de alambre se construyen rectángulos. Hallar las dimensiones del que

tiene área máxima.

d) Con 100 m2 de baldosas se quiere cubrir una superficie rectangular. Hallar las

dimensiones de la que tiene mínimo perímetro.

e) Dividir al número 100 en dos partes cuya suma de cubos sea mínima.

f) Encontrar un número real x, tal que la suma del número y el inverso de su cuadrado,

tenga un valor mínimo.

g) Se tiene una cartulina cuadrada de 4dm de lado, y se quiere hacer una caja recortando

cuadraditos de los extremos, para luego levantar las aletas. ¿Cuál debe ser la medida


22

del lado del cuadrado que se quiere recortar (en la figura x) para que el volumen de la

caja resulte máximo?

h) Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm., ¿cuál es el de área máxima?

i) Determina el punto de la gráfica de la función f (x) = −x3 + 6x2 − 7x + 5 en el que la

pendiente de la recta tangente es máxima. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en

ese punto?

j) ¿En qué punto del primer cuadrante de la parábola y = 4 - x2 determina la tangente,

junto con los ejes coordenados, un triángulo de área mínima.

k) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3;4) y forma en el primer

cuadrante un triángulo de área máxima.


23

RESPUESTAS:

2) a) F b) V

3) No. Sí

4) a) Constante b) Lineal

5) 1x6x4)x(f 53'1 x'

2 e5)x(f

x3

1)x(f '

3 2

'4

)1x2(

)1x(x2)x(f

xcose)x(f x'5

2

'6

x

2)x(f

)1x(e)x(f x'7

32

'8

x

2

x)x(f

xxxsenxf cos233'

9

6) )x3cos(3)x(f '1

x

)x(lnsen).xcos(ln2)x(f '

2

x21

1)x(f '

3

42'

4 )4x(x10)x(f

2

3

'

5)1(

2

1

14)(

x

xx

x

x

e

ee

e

exf

3 22

2'6

)x(cos16

)x(sen.x

3

8)x(f

)xcossenx(xcossenx.3)x(f '7 )1x(sen.x2)x(f 2'

8

x12

1)x(f '

9

x2

e)x(f

x'10

)3x2(e)x(f x3x'11

2

x'12 6.6ln.5)x(f

xxx

xsen

xxf cos1

1235

5,

13

xsenxxxx

xexxf x

223

2

542,

14 cos321lncos21

412

3

7) a) 14 xyT , 4

13

4

1 xyN , 3;1P


24

b) 2 xyT, 4 xyN , 3;1P

c) 1 xyT, 1 xyN , 1;0P

d) 513 xyT,

13

105

13

1 xyN , 8;1P

8) 2 y 14

9) a) 5;3 b)5

19Vx

10)

3

4,

3

1P

3

2x2y

11) 524,2P1 524,2P2

12) 7;2P

13) 3;3P

14) 3

2x

3

1yN

15)

4

1,2P

16) 2

1a

4

1xy

4

1xy

17)

3

85,41P

3

61x2y1

2

53,32P

2

41x2y2

18) 5;1P

19) 3) 44 xyT ; 4

1

4

1 xyN

20) 2;3P


25

21) a) e

yT

1 Normal: 1x ; b)

2

1

4

1 xyT

2

14 xyN

22) 2a , 5b

23) 4;1P

24) 2k

25) a) R ; b)

,3

7

3, ; c) ),2()2,( ; d) R-{1} ;

e) )3,( f)

3;

2

6

2

6;3 .

Puntos Críticos: a) No tiene; b) 7

3;3;0 xxx ;

c) 2;2;32;0 xxxx ;d) No tiene; e)No tiene ; f) 0;3A ;

0;3B ;

2

3;

2

6C ;

2

3;

2

6D

26) a) Mínimo en 3;0P ; b) No hay extremos relativos ; c) Máximo 0;0P

Mínimo en

27

32;

3

4Q ; d) Mínimo en 0;0P

27) a) 32,32,0C0 ;

3

8;2Máximo ;

3

8;2Mínimo ;Punto de inflexión 0;0

b)

2

9,0C0

;

2

9;3Máximo ; 0;0Mínimo ; Punto de inflexión

4

9;

2

3

c) 321,321,1C0 ;

3

16;1Máximo ;

3

16;3Mínimo ;

Punto de inflexión 0;1

28) 1) Máximos 3;3 fA 3;3 fB ; Mínimo 0;0P

Crece : 3;03; Decrece : ;30;3 ;

Puntos de inflexión 5;1C ; 5;1D

Cóncava hacia abajo: ;11; ; Cóncava hacia arriba 1;1

2) 1;1 RDom ; Máximo 1;0 ;Crece 0;11; ; Decrece 0;11;0

; A. V : 1x 1x ; A. H. 0y . No tiene puntos de inflexión. Cóncava hacia

abajo : 1;1 Cóncava hacia arriba : ;11;

3) 2;2 RDom ; Máximo en 32x ; Mínimo en 32x ;

Crece ;3232; ; Decrece 32;22;22;32

Punto de Inflexión 0;0P

Cóncava hacia arriba ;20;2 ; Cóncava hacia abajo : 2;02;


26

xyOAxxVA 2:..;2;2:..

4) RDom ; Máximo: 2;1A ; Mínimo: 2;1B ; Crece: 1;1

Decrece: ;21;

5) RDom ; Mínimo: 1;1B ; Crece: ;1 Decrece: 1;

6) RDom ; Mínimos: 64;0 A ;; Crece: ;0 ;Decrece: 0; ; Cóncava

hacia arriba en todo su dominio

7) RDom ; 0.. yHA ; Máximo

2

1;1P ; Mínimo

2

1;1Q

Crece: 1;1 ; Decrece ;11;

Puntos de inflexión 0;0A ;

4

3;3B ;

4

3;3C

Cóncava hacia arriba : ;30;3 ;

Cóncava hacia arriba : 3;03;

8) RDom ; Máximo:

eP

1;1 ; Crece 1; Decrece ;1

Punto de Inflexión :

2

2;2e

Q ; Cóncava hacia arriba : ;2 ; Cóncava hacia

abajo : 2;

9) 3Dom ; asíntotas: AV x = 3, AO y = x - 1 Mínimo relativo 4 4P ;

Máximo relativo (2;0); Crece 2 4; ; ; Decrece : 2 3 3 4; ;

Cóncava hacia abajo: 3; Cóncava hacia arriba: 3;

10) RDom ; Máximo 1;0P ; Crece : 0; ; Decrece : ;0

; Puntos de inflexión :

2

1

;2

2eA

2

1

;2

2eB

Cóncava hacia arriba

;

2

2

2

2; ; Cóncava hacia abajo :

2

2;

2

2

11) RDom ; Mínimo: 0;0A ; Máximo : 225;5 eB ; Crece : 5;0 ;

Decrece : ;50; ; Puntos de inflexión en 2

251 x

2

252 x ;

Cóncava hacia arriba :

2

25

2

25; ; Cóncava hacia abajo :

2

25;

2

25

12) RDom ; Máximo : 1;0A ; Crece: 0; ; Decrece : ;0 ; Puntos

de inflexión :

2

3

2

5;

2

6eP

2

3

2

5;

2

6eQ ;

Cóncava hacia arriba:

;

2

6

2

6; ;Cóncava hacia abajo:

2

6;

2

6


27

29) a) Cuadrado de lado igual a 4 ;b) 25 ; c) Cuadrado de 1,5 metros ;

d) Cuadrado de 10 metros de lado ; e) 50 y 50 ; f) 3 2 ; g) dmx3

2

h) Equilátero con lados de 10 cm i) 3y 5x j) ;2 3 8

3 3

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

k) y x4

83

= - +


28


INTEGRALES

Dada una función f(x), diremos que otra, F(x) es primitiva de f(x) cuando F’(x) = f(x)

F(x) es primitiva de f(x) F’(x) = f(x)

Ejemplo: 4x4

1)x(F es una primitiva de f(x) = x3 porque F’(x) = f(x)

Observar que 1x4

1)x(F 4 también es una primitiva de f ¿por qué?

¿cuántas primitivas tiene f? ¿por qué?

La operación que permite calcular la función primitiva recibe el nombre de Integración.

Así como cuando vemos el símbolo “+” o “ - ” entendemos que debemos efectuar la

operación suma o la operación resta, la operación integrar también tiene su símbolo

y este es que se interpreta como “ buscar la primitiva de ”.

Propiedades de la integración

a) f g f g b) k f k f. .

Regla de Barrow

b

a

)a(F)b(Fdx)x(f

Tabla de Primitivas

f(x) F(x)

1 x+C

k k.x+C

xn 11

1

nCn

xn

x

1

ln x +C

ex ex+C

sen x - cos x+C

cos x sen x+C

1) Calcular las siguientes primitivas:


29

a) 8 3x dx b) ( )x x x dx3 52 c) x dx

d) x dx3

e) 2 5 3x x dx.( ) f) 5

xdx

g) 6 7x dx

h)

72x

dx i) 12

7 4xdx

j) ( . )6 9 4e x dxx k) (sen )x x dx 3 l) dxx

2x

3

m) ( cos )5 6 5x x dx n) dx)x2x( 22

o) dxxx

12

2

3

p) dxx

3xx2

q) dx)x1.(x r) dxxx).(xx 23

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN


a) dx)xcos().x(sen b) dxe.x5x4 c) dx

)xcos(

)x(sen

d) dx)x(sen

)xcos(

5 e) dx)x(sen.x 2 f)

dx

3x2x

)1x(

2

g)

dx

5x

x

2 h)

dx1x

1 i)

dx

x

)xln1( 2

j) dx)1x(x2x 2 k) dx)3x(

x

5

l)

dxx

x

4sen

4cos2

INTEGRACIÓN POR PARTES


30


a) dxe.x x b) dx)xcos(.x c) dx)x(sen.x

d) dx)xcos(.x2 e) dx)x(sen.x3 f) dxe.x x2

g) dx)xln(.x h) dx)xln( i) dx)x(sen.ex

j) dx)xcos(.ex k) dxe.x x32 l) dxxx ln5 2

4) Calcular las siguientes integrales definidas:

a) dxx

2

0

b) dxx3

4

1

2

c) dxsenx2

0

d) dxex

3

1

e) dx

2

3x2

1

5) Calcular el área determinada por cada una de las siguientes curvas con el eje de las

abscisas y los límites dados en cada caso, graficar esquemáticamente cada situación.

a) f(x) = 2x + 6 para a = 4 y b = 6 b) f(x) = x2 + 1 para a = 0 y b = 2

c) f(x) = x3 para a = 1 y b = 2 d) f(x) = 3 + 2x - x 2 con el eje de las “x”

e) f(x) = x2 - 6x con el eje de las “x” f) f(x) = 1 + 42x

para a = 1 y b = 2

g) f(x) = (x2 - 1).(x - 3) con el eje de las “x”

6) Graficar y calcular el área de la región limitada por:

a) f(x) = 4x - x2 y g(x) = 2x

b) f(x) = 3x + 2 y g(x) = x3

c) f(x) = x2 + 2 y g(x) = 4

d) 15)( xxf ; 7)( xxg ; el eje x

e) xxf 2)( 4)( xg 0x


31

f) x

xf1

)( ; xxg 9)( ; 3x

g) xexf )( , xexg )( , 1x , 1x

h) 2)( xxf xxg 2)( 2

)(2x

xh

i) 1)( xxf 1)( xxg 3)( xxh eje x

j) senxxf 3)( , xxg cos3)( , 0x , 2

x

k) xxxf 2)( 3 y 2)( xxg

7) Determinar la primitiva )(xF de xexxf 5)( , que verifique 45

1

F .

8) Sabiendo que 111)(2

3

0

dxxf , obtener 3

0

)( dxxf .

9) Sea 2

4( ) ( 4)

xF x t dt

se pide hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los

puntos extremos de F(x).


32

RESPUESTAS

1) a) kx2 4 b) kx2

1x

3

1x

4

1 264 c) kxx3

2

d) kxx4

3 3 e) kx3x3

10 23 f) kxln.5

g) kx

1

6 h) k

x

7 i) k

x7

4

3

j) kx4x2

9e6 2x k) kxx 2

2

3cos

l) kx

1xx

3

2

2 m) kxsenx.5 6

n) kxxx 345

3

4

5

1 o) kx

5

1xx

7

6x3 5323

p) k6x3

2x

5

2x 2

q) kxx

5

2x

2

1 22

r) kxx11

6xx

5

2xx

10

3x

4

1 6 52334

2) a) kxsen2

1 2 b) ke5

1 5x c) k)xln(cos

d) kxsen4

1

4 e) k)xcos(

2

1 2 f) k3x2xln2

1 2

g) k5x 2 h) k1xln i) k)xln1(3

1 3

j) kx2x)x2x(3

1 3 22 k) k4

3)3x(

3

1

)3x(

1

4

l)

kxsen

4

1

4

1

3) a) k)1x(ex b) kxcossenx.x c) ksenxxcos.x

d) ksenx2xcosx2senx.x2 e) k)6x3(senx)x6x(xcos 23


33

f) k)2x2x(e 2x g) k)1xln2(x4

1 2 h) k)1x(lnx

i) k)xcossenx(e2

1 x j) k)xcossenx(e2

1 x

k) k)2x6x9(e27

1 2x3 l) kxxx

x 33

9

1ln

35

4) a) 2 b) 63 c) 4 d) 13 ee e) 12

5) a) 32 b) 3

14 c)

4

15 d)

3

32 e) 36 f) 3 g) 17

6) a) 3

4 ; b)

4

27 ; c) 2

3

8 ; d)

5

108A ; e)

3

2132A

f) 3ln240 A ; g) 42

2 e

eA ; h) 4A ; i) A=3 ; j) 626 A

k) 12

37A

7) 25

961

5

1)( 5 xexF x

8) 4

9) Crece: (-2 ;0) Decrece:

Máximo: A= Mínimos: B= C=

matemÁtica - ilse.esc.edu.ar · definir como función partida, determinar conjunto imagen y...

Documents