+ matemática x aschero

7/25/2019 + Matemática x Aschero

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+ MATEMÁTICA

X ASCHERO(BUENOS AIRES, 2016)



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1. Una mirada desprejuiciada sobre el sistema de numeración

Sólo es igual lo igual

No cabe duda. Para satisfacción de Aristóteles, vivimos en un mundo de objetos:aquí veo una mesa, allá una banana y más allá un edificio y una estrella. Hastanosotros mismos nos percibimos como un objeto más dentro del mundo, y percibimostambién como entidades separadas a las otras personas.

Ahora bien, mentalmente podemos establecer entre los diversos objetos quepueblan el universo distintos tipos de relaciones. Al menos teóricamente, cuandocomparamos dos o más objetos pueden ocurrir tres cosas diferentes: a) losobjetos son exactamente iguales; b) los objetos son totalmente diferentes; y c)los objetos comparados presentan semejanzas y diferencias. Examinemos cada unade estas posibilidades.

a) Los objetos comparados son exactamente iguales.- A poco que reflexionemossobre esta primera posibilidad, deberemos descartarla porque, si dos objetos sonexactamente iguales, entonces se trata del mismo objeto. Ni siquiera dos gemelosunivitelinos son exactamente iguales: el hecho de ocupar espacios distintos yalos diferencia. La historia de la filosofía ha establecido ya el supuesto de laimposibilidad de la existencia de dos cosas exactamente iguales, por ejemplo conel Principio de los Indiscernibles de Leibniz. Veamos ahora qué pasa connuestra segunda posibilidad.

b) Los objetos comparados son totalmente diferentes.- Esta es otra opción quedebemos descartar, aún cuando comparemos objetos tan diferentes como unamanzana, una galaxia y una piedra. Dichos objetos no son total y radicalmentediferentes porque comparten al menos una característica en común: "son", es

decir, son entes, objetos. Desde ya, estamos aquí en un nivel muy alto deabstracción, que es el territorio propio de los filósofos.



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Es fácil discernir que tienen en común un triángulo y un cuadrilátero. Sonpolígonos. Sin embargo no es tan fácil discernir qué tienen en común un polígonoy el aire. Por más diferentes que sean los objetos entre sí siempreencontraremos algo en común: ambos son objetos en el sentido filosófico deltérmino, es decir, "son". Esta y otras características tan genéricas de losentes son estudiadas por una rama de la filosofía, que es la metafísica.

c) Hemos concluido la imposibilidad de que dos objetos sean exactamente iguales,o que sean totalmente diferentes. Debemos admitir, entonces, la tercera y únicaposibilidad restante: si los objetos no son exactamente iguales tienendiferencias, y si no son totalmente distintos es porque presentan semejanzas.Por lo tanto, concluimos que todos los objetos presentan siempre entre sísemejanzas y diferencias.



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No todas las pérdidas son iguales

El infranúmero es un nuevo concepto matemático que determina la diversidad de lo noexistente, actuando como una alternativa eficaz y lógica ante la invariabilidad del cerotradicional que no tiene en cuenta el desarrollo de las diversas operaciones que

finalizan o pasan por él.Desde el momento en que existe un dato distinto a la nada (singularidad irrepetible),contamos con una energía numeral que llegará a ser infranumeral en el caso de lograrsu completa interferencia con las operaciones lógicas del sistema.

El infranúmero es la energía resultante de una operación de interferencia total, con lainterferencia parcial se está dentro de la zona numeral o ultranumeral.

El infranúmero determina una nueva noción matemática de fundamental importanciacon el fin de poder operar sobre cantidades de elementos que expresan medidas deentidades no materiales.

Es energía cuantificada neutra surgida de todas las pérdidas operativas.

Se considera físicamente interferencia cuando dos ondas se superponen en oposiciónde fase.

Si las ondas son de igual frecuencia y amplitud, la interferencia resulta total,(infranúmero).

Desde el punto de vista acústico, si se colocan dos tubos de órgano iguales,supongamos que de una frecuencia de 256 Hz. cada uno; acoplados a la misma cajade aire y se sopla en ambos, no oiremos un sonido más fuerte, sino sólo el aire queescapa.

También un haz de luz viene a estar compuesto por un tren de ondas. Cuando doshaces luminosos de iguales características chocan entre sí, su energía se interfiereprovocándose la oscuridad; pero la energía no ha desaparecido.

Una de las reglas fundamentales de la física dice que la energía no puededesaparecer.

Tal es la ley de conservación de la energía.

En el fenómeno de la interferencia hay una energía que ha dejado de existir en formade luz.

Por tanto, tiene que aparecer una cantidad exactamente igual de energía en otra formadistinta; y en este caso es el calor.

Supongamos que damos cuerda al resorte de un reloj; ahora contiene más energíaque cuando estaba distendido.

A continuación disolvemos el resorte todavía tenso, en un ácido. ¿Qué ocurre con laenergía?

También aquí se convierte en calor.



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Si empezamos con dos soluciones ácidas a la misma temperatura y disolvemos enuna de ellas el muelle distendido y en la otra un muelle tenso (por lo demás idénticos),la segunda solución tendrá al final una temperatura mayor que la primera.

La propia materia es una forma de energía.

Por otro lado, el lenguaje matemático incurre algunas veces en inexactitudes debido asu limitada capacidad para representar ciertos resultados.

Esto se soluciona en parte al incorporar la serie infranumeral.

Todo movimiento que salga, pase o llegue por el punto infranumeral es algo que debeser medido con exactitud.



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Entre la nada y el todo

Así como el infranúmero cuestiona la existencia del cero como único símbolo

representativo de la nada, el ultranúmero actúa como símbolo inverso de aproximaciónal concepto del todo, identificado tradicionalmente por el infinito y en el modelo deAschero con el ultra cero. Un mismo punto bidireccional de polo positivo y negativo,origina y finaliza lo incontable, que se extiende más allá y más acá de toda serienumérica, tanto como se desee. Si el número avanza, el ultranúmero retrocede y en lamedida que se aleja su magnitud decrece, con lo cual se invierten todas lasoperaciones aritméticas. Con el número y el infranúmero se cuenta, con el ultranúmerose descuenta. El absoluto es mensurable mediante el ultra cero, y así se define uno delos límites que ayuden de una vez por todas a solucionar alguno de los enigmas ycontradicciones más importantes del lenguaje matemático. Para esto se establece la

serie ultranumeral.Es tan lógico contar a partir de la nada como descontar a partir del todo.

Cada ultranúmero que proceda del todo es algo que debe ser medido con exactitud,para así establecer su magnitud, que tiene una progresión decreciente en la medidaque se aleja de su punto de partida: el ultra cero.

La serie ultranumeral es ilimitada y se utiliza indistintamente para los ultranúmerosreales y los imaginarios.



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1 : 0 = 1 (uno dividido cero es igual a ultra uno)

De esta forma la Ecuación de Wallis se resuelve: ultra uno es el uno más grande queexiste ya que es el número uno más próximo al ultra cero. En cambio, lo que esimposible de determinar es el ultranúmero menor (el de mayor cantidad de cifras).

La frontera (o el puente) que vincula a los números con los ultranúmeros para permitirel traspaso entre ambos es (por ahora) el gúgolduplex.

El gúgolduplex es uno de los números más grandes a los que se puso nombre. Asícomo una hoja de papel lo suficientemente grande como para escribir todos los cerosde un gúgolplex es más grande que el universo conocido, entonces, una hoja de papello suficientemente grande como para escribir un gúgolduplex sería más grande que ungúgolplex de universos como el nuestro.Para la recta numérica el gugoldúplex es un meganúmero finito, y al pasar dichafrontera se convierte en un ultranúmero muy pequeño, por la ley de la inversión que elmundo ultranumeral establece, determinando que los ultranúmeros más grandes,poseen las cifras más pequeñas:

Veamos ahora la serie de los primeros veintiséis ultranúmeros primos, empezando porel mayor (ultra uno) y finalizándola con el menor de ellos (ultra noventa y siete).

1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

Si no se considera al número uno como primo y sí al número dos, evidentemente elnúmero primo más grande es ultra dos.

Existe un puente que permite el tránsito numérico a través del Gúgolduplex queconvertido en Ultra Gúgolduplex fija el punto de conversión para arribar al númeromayor de las matemáticas: el ultra cero.

Si los matemáticos crean un número mayor al Gúgolduplex lo único que se debe haceres cambiar el puente de lugar realizando la misma conversión y, obviamenterecorriendo un camino más largo para arribar al mayor número que existe.

Los ultranúmeros fijan lo mayor (ultra cero) pero en cambio pierden la posibilidad defijar lo menor (ultra infinito). Ese es el sacrificio necesario para obtener un resultadoóptimo en uno de los extremos que históricamente nunca se logró.



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Tomando como punto de partida el plano numérico tradicional con todos sus atributos,que como sabemos es de posición horizontal, Sergio Aschero propone insertar un

segundo plano perpendicular al anterior en posición de atravesar centradamente elprimer plano.



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Los infranúmeros con su capacidad de cuantificar las pérdidas y los ultranúmeros conla suya de establecer un lugar preciso para los números imposibles de fijar mediante lamatemática tradicional, hacen de esta dualidad algo similar a la capacidad del diosJano con su posibilidad de ver simultáneamente el ayer y el mañana.

Los números son el "Big Bang” y los ultranúmeros el "Big Crunch". Lo que no sedetiene es la suma temporal (númérica) entre un fenómeno y el otro.



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Nuevo modelo decimal

En un principio para contar, la gente usó los cinco dedos de una mano, y así aparecióla numeración en base cinco.

Hasta hace pocos años este sistema era ampliamente usado en Oriente.

Los ábacos elementales que todavía se encuentran en China y Japón, estándiseñados con este código.

También fue muy utilizado el sistema de numeración romano basado en siete letras.

Es también fácil ver como el diez ha llegado a ser un número importante, motivadoporque el ser humano tiene diez dedos en las manos y diez en los pies.

Las primeras aportaciones tienen miles de años, pero, curiosamente nuestra maneraactual de escribir los números es bastante reciente: utilizada ya por los hindúes, ydifundida por los árabes, no llegó a Europa hasta el siglo XIII.

Durante siglos hubo una verdadera guerra entre los partidarios del sistema literalromano y del numeral arábigo.

Veamos las diferencias:

Un romano al observar tres rayas verticales trazadas en la arena (durante el imperio

de la antigua Roma), habría entendido que el número representado es tres (III),mientras que para un romano actual el mismo diseño significaría (111).



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Cada uno sigue un código distinto y ambos son coherentes.

Para uno, las tres rayas significan:

1 + 1 + 1 = 3

Y para otro:

100 + 10 + 1 = 111

La gran diferencia entre uno y otro, no está tanto en los signos mismos, como en laforma de relacionarlos. El romano es aditivo y sustractivo, el arábigo es ademásposicional. De allí su poder.

El número es una noción matemática de fundamental importancia, introducida de

manera más o menos consciente desde la antigüedad, con el fin de poder operarsobre cantidades de elementos que constituyen conjuntos o sobre cantidades queexpresan medidas de entidades materiales.

El código decimal presenta algunas deficiencias que empezaremos a señalar.



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2. La genetización numérica

La genética es la rama de la biología que se encarga del estudio de aquello estransmit ido en sucesivas generaciones a través de los genes . El conceptotambién hace referencia a lo que se vincula con el comienzo; el inicio o la raíz dealgo.

La genética; por lo tanto; analiza cómo se transmite la herencia de la biología de unindividuo a otro. Su principal objetivo es explicar la manera en que los rasgos ydiversas cualidades pasan de los padres a sus descendientes.Estas transferencias se desarrollan mediantes los genes; compuestos por fragmentosde ácido desoxirribonucleico o ADN; una molécula que se encarga de lacodificación de los datos genéticos presentes en las células.El ADN; que controla las funciones; el comportamiento y la estructuración de cadacélula; tiene la capacidad de replicarse y producir una copia de sí mismo.

La mitosis es un proceso de división celular en la que las dos células resultantesobtienen exactamente la misma información genética de la célula progenitora.

La meiosis; es una manera de reproducción celular; en la que a diferencia de lamitosis; las células hijas contienen la mitad de los cromosomas; es decir; su númeroes haploide; y su número de ADN es 1. Esta forma de reproducción celular; esutilizada por el organismo para crear células sexuales llamados gametos.



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El factor determinante para que los hijos sean semejantes a los padres es la herencia; ya queal aportar en un espermatozoide y en un óvulo 23 cromosomas cada uno para lograr laconcepción; aportan los genes; que son partículas que contienen rasgos del padre y de lamadre; transmitiendo características de los progenitores a los hijos. Los genes son pequeñísimas partículas constituidas por cadenas de ácidos que contienenpotencialmente rasgos y características provenientes del padre y de la madre; y a través deellos de sus antecesores.

En su investigación matemática; el genetizador de Sergio Aschero mira hacia elpasado; el presente y el futuro de cada número entero; estableciendo sus principiosreproductivos y hereditarios; basándose en una combinatoria de dos variables sinrepetición. El pasado es fragmentario; el presente unívoco y el futuro totalizador.Pasado y futuro están espejados (tienen las mismas cifras pero no el mismo sentido).Sólo el presente es único e irrepetible.

En los tres primeros números genetizados (1, 2, 3), se pueden hacer algunas

asociaciones: el número 1 es lo masculino; pero también se puede entender como unalínea en un plano (a); el número 2 es lo femenino; pero también se puede entendercomo un ángulo (a), (b); y el número3 que es lo engendrado por la unión del 1 y el 2;se puede entender como un triángulo (a), (b), (c); constituyéndose en la primera figurageométrica. De ahí sus extraordinarias cualidades. También entre 1, 2 y 3 en la seriede Fibonacci existe una continuidad entre los tres números que luego se pierdedefinitivamente: 0, 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

Veamos que pasa al genetizar algunos números:

El pasado del número 1 es el 1, el presente del número 1 es el 1 y el futuro del número

1 es el 1. El 1 es un número particular y el iniciador de todo. Su pasado; su presente ysu futuro son idénticos. Es un caso único.

En el caso del número 2, su pasado son los números 1,1; su presente es el número 2 y su el futuro es el número 11. Las variables son dos: 1,1 y 11. El 1,1 en el pasado y el11 en el futuro. Es decir que la "vida del número 2" transcurre (con estas dosvariables) entre 1,1 y 11.

El número 3 tiene cuatro variables: 1,2; 2,1; 3; 12; 21. El presente y el futuro de 3 (y elde todos los números que surgen de 3 es divisible por3; generando en su resultadonúmeros enteros; en cambio el pasado de todos los números; con la excepción del 1,tiene decimales). Recordemos que 3 es además el único número primo puro.

Otro aspecto a tener en cuenta es que serie de números naturales agrupados ysumados de tres en tres tienen la propiedad de ser siempre divisibles por 3.

1 + 2 + 3 = 6 (3x2)

4 + 5 + 6 = 15 (3x5)

7 + 8 + 9 = 24 (3x8)

10 + 11 + 12 = 33 (3x11)

13 + 14 + 15 = 42 (3x14)



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16 + 17 + 18 = 51 (3x17)

19 + 20 + 21 = 60 (3x20)…

El número 4 tiene seis variables: 1,3; 2,2; 3,1; 4; 13; 22; 31.

El número 5 tiene ocho variables: 1,4; 2,3; 3,2; 4,1; 5; 14; 23; 32; 41.

El número 6 tiene diez variables: 1,5; 2,4; 3,3; 4,2; 5,1; 6; 15; 24; 33; 42; 51. (divisiblespor 3)

El número 7 tiene doce variables: 1,6; 2,5; 3,4; 4,3; 5,2; 6,1; 7; 16; 25; 34; 43; 52; 61.

El número 8 tiene catorce variables: 1,7; 2,6; 3,5; 4,4; 5,3; 6,2; 7,1; 8; 17; 26; 35; 44;53; 62; 71.

El número 9 tiene dieciséis variables: 1,8; 2,7; 3,6; 4,5; 5,4; 6,3; 7,2; 8,1; 9; 18; 27; 36;

45; 54; 63; 72; 81. (divisibles por 3)El número 10 tiene dieciocho variables: 1,9; 2,8; 3,7; 4,6; 5,5; 6,4; 7,3; 8,2; 9,1; 10; 19;28; 37; 46; 55; 64; 73; 82; 91…

A continuación algunos números de la serie que nace de 3 con sus particularescaracterísticas de divisibilidad:

3 = 12; 21 (3x1; 3x4; 3x7)

6 = 15; 24; 33; 42; 51 (3x5; 3x8; 3x11; 3x14; 3x17)…

9 = 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81 12 = 111; 210; 39; 48; 57; 66; 75; 84; 93; 102; 111

15 = 114; 213; 312; 411; 510; 69; 78; 87; 96; 105; 114; 123; 132; 141

18 = 117; 216; 315; 414; 513; 612; 711; 810; 99; 108; 117; 126; 135; 144; 153; 162; 171

21 = 120; 219; 318; 417; 516; 615; 714; 813; 912; 1011; 1110; 129; 138; 147; 156;165; 174; 183; 192; 201

24 = 123; 222; 321; 420; 519; 618; 717; 816; 915; 1014; 1113; 1212; 1311; 1410;159; 168; 177; 186; 195; 204; 213; 222; 231

27 = 126; 225; 324; 423; 522; 621; 720; 819; 918; 1017; 1116; 1215; 1314; 1413; 1512; 1611; 1710; 189; 198; 207; 216; 225; 234; 243; 252; 261

30 = 129; 228; 327; 426; 525; 624; 723; 822; 921; 1020; 1119; 1218; 1317; 1416; 1515; 1614; 1713; 1812; 1911; 2010; 219; 228; 237; 246; 255; 264; 273; 282; 291

33 = 132; 231; 330; 429; 528; 627; 726; 825; 924; 1023; 1122; 1221; 1320; 1419; 1518; 1617; 1716; 1815; 1914; 2013; 2112; 2211; 2310; 249; 258; 267; 276; 285;

294; 303; 312; 321



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36 = 135; 234; 333; 432; 531; 630; 729; 828; 927; 1026; 1125; 1224; 1323; 1422; 1521; 1620; 1719; 1818; 1917; 2016; 2115; 2214; 2313; 2412; 2511; 2610; 279; 288; 297; 306; 315; 324; 333; 342; 351

39 = 138; 237; 336; 435; 534; 633; 732; 831; 930; 1029; 1128; 1227; 1326; 1425;

1524; 1623; 1722; 1821; 1920; 2019; 2118; 2217; 2316; 2415; 2514; 2613; 2712; 2811; 2910; 309; 318; 327; 336; 345; 354; 363; 372; 381

42 = 141; 240; 339; 438; 537; 636; 735; 834; 933; 1032; 1131; 1230; 1329; 1428; 1527; 1626; 1725; 1824; 1923; 2022; 2121; 2220; 2319; 2418; 2517; 2616; 2715; 2814; 2913; 3012; 3111; 3210; 339; 348; 357; 366; 375; 384; 393; 402; 411

45 = 144; 243; 342; 441; 540; 639; 738; 837; 936; 1035; 1134; 1233; 1332; 1431; 1530; 1629; 1728; 1827; 1926; 2025; 2124; 2223; 2322; 2421; 2520; 2619; 2718; 2817; 2916; 3015; 3114; 3213; 3312; 3411; 3510; 369; 378; 387; 396; 405; 414; 423; 432; 441

48 = 147; 246; 345; 444; 543; 642; 741; 840; 939; 1038; 1137; 1236; 1335; 1434;1533; 1632; 1731; 1830; 1929; 2028; 2127; 2226; 2325; 2424; 2523; 2622; 2721;2820; 2919; 3018; 3117; 3216; 3315; 3414; 3513; 3612; 3711; 3810; 399; 408; 417;426; 435; 444; 453; 462; 471

El Triángulo de Pascal o Tartaglia tiene un origen, como en muchos otros casos, muyanterior al de estos dos matemáticos. Se tienen referencias que datan del siglo XII enChina. De hecho, algunas de sus propiedades ya fueron estudiadas por el matemáticochino Yang Hui (siglo XIII), así como por el poeta persa Omar Khayyam (siglo XII). Elque se le asocie el nombre del filósofo y matemático Blas Pascal (1623-1662), se debea que el francés escribió el primer tratado sobre el Triángulo. Lo de Tartaglia (1500-1557) viene porque el italiano fue el primero que lo publicó en Europa.

Hablando del Triángulo, este no es un triángulo en el sentido geométrico de la palabra,sino una colección de números dispuestos en forma triangular que se obtienen de unamanera muy sencilla.

Como se puede observar, en la cúspide del Triángulo hay un 1, en la segunda fila haydos 1, y las demás filas empiezan con 1 y finalizan con 1, y cada número intermedio seobtiene sumando los dos que se encuentran justo encima. Este Triángulo es infinito yestá relacionado con el desarrollo de las potencias de un binomio y con los númeroscombinatorios.



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Sergio Aschero propone la creación de otra figura: la Pirámide de Aschero , cuyaestructura se basa en el proceso numérico establecido aquí.

Veamos su configuración:



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3. La identiplicación numérica

La evolución, la que transformaría un pez en un filósofo, requiere que los componentesquímicos inertes se organicen formando un organismo vivo capaz de reproducirse a símismo. Se supone que todos los tipos de vida han descendido, por medio de procesos

naturales, a partir de esta forma de vida "simple".Para que esto fuera posible, debe haber existido algún proceso que pudiera generar lainformación genética que observamos en los seres vivientes en la actualidad. El primerorganismo capaz de reproducirse tendría que haber hecho copias de sí mismo. Laevolución, para poder funcionar, requiere además que las copias no sean siemprecompletamente exactas dado que ocurren modificaciones de la copia (mutaciones).Cualquier mutación que capacite a un organismo a dejar más descendencia capaz dereproducirse será pasada las generaciones posteriores. Esta "reproducción diferencial"se llama selección natural.

El ácido desoxirribonucleico (polímero de unidades menores denominadosnucleótidos) junto con el ácido ribonucleico, constituye la porción prostética de losnucleoproteidos, cuyo nombre tiene un contexto histórico, ya que se descubrieron enel núcleo de la célula. Se trata de una molécula de gran peso molecular(macromolécula) que está constituida por tres sustancias distintas: ácido fosfórico, unmonosacárido aldehídico del tipo pentosa (la desoxirribosa), y una base nitrogenadacíclica que puede ser púrica (adenina ocitosina) o pirimidínica (timina o guanina).La unión de la base nitrogenada (citosina, adenina, guanina o timina) con la pentosa(desoxirribosa) forma un nucleósido; éste, uniéndose al ácido fosfórico, nos da unnucleótido; la unión de los nucleótidos entre sí en enlace diester nos da elpolinucleótido, en este caso el ácido desoxirribonucleico. Las bases nitrogenadas sehallan en relación molecular 1:1, la relación adenina + timina / guanina + citosina esde valor constante para cada especie animal. Estructuralmente la molécula de ADN sepresente en forma de dos cadenas helicoidales arrolladas alrededor de un mismo eje(imaginario); las cadenas están unidas entre sí por las bases que la hacen en pares.Los apareamientos son siempre adenina-timina y citosina-guanina. El ADN es la basede la herencia. Es la capacidad que tiene el ADN de hacer copias o réplicas de sumolécula. Este proceso es fundamental para la transferencia de la informacióngenética de generación en generación. Las moléculas se replican de un modosemiconservativo. La doble hélice se separa y cada una de las cadenas sirve de moldepara la síntesis de una nueva cadena complementaria. El resultado final son dosmoléculas idénticas a la original.

El ADN es por lo común el constituyente básico de la cromatina (cromosoma) nuclearen las células eucarióticas, pero también existe en pequeña cantidad en lasmitocondrias y cloroplastos. En los procariontes forma el nucloide (que a diferencia delos eucariontes no va asociado a proteínas, es desnudo) y en los virus (DNA virus) quelo poseen constituyen el virión o elemento infectante. Por lo comúnsu estructura tridimensional posee giro hacia la derecha (ß-ADN, dextrogiro) que es laforma más estable y ocasionalmente posee giro hacia la izquierda (z-ADN, levógiro)Acorde a las evidencias, sólo una pequeña parte del ADN constituye genes (menos del10 %). Existen diferentes tipos que los podemos dividir en:-ADN de copia única (el 57 % del total) formados por segmentos de aproximadamente1000 pares de nucleótidos del longitud, una pequeña parte de este ADN contiene losgenes.-ADN repetitivo (20 %) son unidades de aproximadamente 300 pares de nucleótidos



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(es una molécula compleja formado por una base nitrogenada, un hidrato de carbono yun grupo fosfato (ácido fosfórico inorgánico), unidos entre sí por enlaces covalentes)que se repiten en el genoma unas 105 veces (unidades de repetición) y se intercalancon el ADN de copia única.-ADN satélite (altamente repetitivo: 28 %) son unidades cortas de pares de nucleótidos

que se repiten en el genomio. Son característicos en cada especie y pueden serseparados por centrifugación. Constituyen la heterocromatina y no se leconoce función.Los porcentajes indicados son del hombre y el ratón, y las proporciones serían lasmismas en otras especies.Las bases nitrogenadas son anillos heterocíclicos compuesto además del carbonoe hidrógeno por nitrógeno. Son de dos tipos fundamentales, las bases púricas (porser derivadas de la purina, de dos anillos heterocíclicos) y las bases pirimídicas (porser derivadas de la pirimidina de un solo anillo).Dichas bases son cinco, pero en realidad solamente cuatro aparecen en el ADN. Lasbases púricas presentes son la adenina y guanina. Las bases pirimídicas son la

citosina y la timina (el uracilo es característico del ARN).Si bien para la constitución del ADN se unifica a un solo grupo fosfato, existen en lascélulas una serie de nucleótidos desingular importancia en el metabolismo celular. Estos producen enlaces muy ricos deenergía y los di- y tri- nucleótidos como el adenosin-tri-fosfato (ATP) son losencargados de muchos procesos metabólicos.Debe contener información útil biológicamente y que pueda trasmitirse sin

alteraciones. Por lo tanto debe permitir su duplicación para permitir el paso de célula acélula y de generación en generación. Por otra parte debe ser capaz deproducir materia viva (proteínas) a partir de dicha información. Y deberá ser capaz devariar ocasionalmente, para favorecer los cambios evolutivos y de adaptación.

La función principal del ADN es mantener a través de un sistema de claves(código genético) la información necesaria para que las células hijas sean idénticas alas progenitoras (información genética). Este proceso se almacena en la secuencia delas bases (aparentemente aleatoria), que tiene una disposición que es copiada al ARNpara que en el ribosoma sintetice determinada proteína. Este proceso es tambiéndenominado "dogma central de la biología molecular". Por medio de los mecanismosde recombinación y mutaciones se obtienen las variaciones necesarias paraadaptaciones y evoluciones.El núcleo dirige las actividades de la célula y en él tienen lugar procesos tanimportantes como la autoduplicación del ADN o replicación, antes de comenzar ladivisión celular, y la trascripción o producción de los distintos tipos de ARN, que

servirán para la síntesis de proteínas.La mitosis es la división celular que consiste en que a partir de una célula se obtienendos células hijas, genéticamente idénticas a la madre. Se produce en cualquier célulaeucarionte, ya sea diploide o haploide y como mantiene invariable el número decromosomas, las células hijas resultarán diploides, si la madre era diploide o haploide.La división del citoplasma se llama citocinesis, y la división del núcleo, cariocinesis.Algunas células no realizan mitosis y permanecen en un estado interfásico, pero otrasla realizan frecuentemente (células embrionarias, células de zonas de crecimiento,células de tejidos sujetos a desgaste.).Función: crecimiento y desarrollo del organismo multicelular, y la regeneración detejidos expuestos a destrucción de células. En unicelulares, cumple la funciónde reproducción asexual.Cada mitosis está precedida por una interfase, donde se produce la duplicación del



21

material genético. Actúa como un mecanismo que asegura que cada célula hija recibala misma información genética.Etapas: Profase, Pro metafase, Metafase, Anafase y Telofase.Resultado de una división mitótica es la obtención de dos células hijas con igual cargacromosómica, o sea, de una célula diploide con su carga cromosómica diploide se

obtienen dos células hijas también diploides. Siguiendo el principio de que loscromosomas hermanos (homólogos) no pueden ir a un mismo polo y se distribuyenaleatoriamente. El núcleo celular es un corpúsculo contenido en el citoplasma de lascélulas animales y vegetales, que contiene los cromosomas y es centro de informaciónque dirige la síntesis proteica. Su forma es variable (redondo, oval o elíptico, etc.),su volumen es relativo (pero la relación núcleo-citoplasma es constante); ocupa unaposición central en la célula (en general), pero puede estar situado parietalmente. Entodas las células existe un núcleo, pero también hay células binucleadas yplurinucleadas. El núcleo se halla rodeado por una membrana nuclear atravesada porporos. Los núcleos presentan un doble aspecto según se hallen en reposo o en etapade división celular. En período de reposo se observan en su interior nucleolos. Su

composición química es compleja (proteínas, lípidos, compuestos inorgánicos, ADN,ARN, protaminas e histonas).En su interior se encuentra los cromosomas, que contienen el material genéticoresponsable del funcionamiento celular y de la transmisión de los caracteres que seheredan. La identiplicación es un proceso aritmético descubierto por Sergio Ascheroque permite conservar el ADN de un número impar a lo largo de todo su desarrollo.El procedimiento para identiplicar un número impar es el siguiente:

a) Dividir por dos el número impar inicial (generador) de cada serie (1 : 2 = 0,5)(centro)

b) Sumar el resultado de la división y sumarle a su vez 0,5 (0 + 5 = 5) (5 + 0,5) = 5,5c) El resultado final multiplicado por dos es el próximo número identiplicado en relaciónal número anterior (en este caso 1) (5,5 x 2 = 11)…

Todos los números identiplicados forman parte de las cinco series de númerosgeneradores posibles: 1, 3, 5, 7, 9.

Número generador: 1

1 = 0,5 x 2

11 = 5,5 x 2

21 = 10,5 x 2

31 = 15,5 x 2

41 = 20,5 x 2

51 = 25,5 x 2



22

61 = 30,5 x 2

71 = 35,5 x 2

81 = 40,5 x 2

91 = 45,5 x 2

101 = 50,5 x 2

111 = 55,5 x 2

121 = 60,5 x 2

131 = 65,5 x 2

141 = 70,5 x 2

151 = 75,5 x 2161 = 80,5 x 2

171 = 85,5 x 2

181 = 90,5 x 2

191 = 95,5 x 2

201 = 100,5 x 2

211 = 105,5 x 2221 = 110,5 x 2

231 = 115,5 x 2

241 = 120,5 x 2

251 = 125,5 x 2

261 = 130,5 x 2

271 = 135,5 x 2281 = 140,5 x 2

291 = 145,5 x 2

301 = 150,5 x 2

311 = 155,5 x 2

321 = 160,5 x 2

331 = 165,5 x 2341 = 170,5 x 2



23

351 = 175,5 x 2

361 = 180,5 x 2

371 = 185,5 x 2

381 = 190,5 x 2

391 = 195,5 x 2

401 = 200,5 x 2

411 = 205,5 x 2

421 = 210,5 x 2

431 = 215,5 x 2

441 = 220,5 x 2451 = 225,5 x 2

461 = 230,5 x 2

471 = 235,5 x 2

481 = 240,5 x 2

491 = 245,5 x 2

501 = 250,5 x 2511 = 255,5 x 2

521 = 260,5 x 2

531 = 265,5 x 2

541 = 270,5 x 2

551 = 275,5 x 2

561 = 280,5 x 2571 = 285,5 x 2

581 = 290,5 x 2

591 = 295,5 x 2

601 = 300,5 x 2

611 = 305,5 x 2

621 = 310,5 x 2631 = 315,5 x 2



25

931 = 465,5 x 2

941 = 470,5 x 2

951 = 475,5 x 2

961 = 480,5 x 2

971 = 485,5 x 2

981 = 490,5 x 2

991 = 495,5 x 2

1001 = 500,5 x 2


3 = 1,5 x 2

13 = 6,5 x 2

23 = 11,5 x 2

33 = 16,5 x 2

43 = 21,5 x 253 = 26,5 x 2

63 = 31,5 x 2

73 = 36,5 x 2

83 = 41,5 x 2

93 = 46,5 x 2

103 = 51,5 x 2113 = 56,5 x 2

123 = 61,5 x 2

133 = 66,5 x 2

143 = 71,5 x 2

153 = 76,5 x 2

163 = 81,5 x 2173 = 86,5 x 2



26

183 = 91,5 x 2

193 = 96,5 x 2

203 = 101,5 x 2

213 = 106,5 x 2

223 = 111,5 x 2

233 = 116,5 x 2

243 = 121,5 x 2

253 = 126,5 x 2

263 = 131,5 x 2

273 = 136,5 x 2283 = 141,5 x 2

293 = 146,5 x 2

303 = 151,5 x 2

313 = 156,5 x 2

323 = 161,5 x 2

333 = 166,5 x 2343 = 171,5 x 2

353 = 176,5 x 2

363 = 181,5 x 2

373 = 186,5 x 2

383 = 191,5 x 2

393 = 196,5 x 2403 = 201,5 x 2

413 = 206,5 x 2

423 = 211,5 x 2

433 = 216,5 x 2

443 = 221,5 x 2

453 = 226,5 x 2463 = 231,5 x 2



27

473 = 236,5 x 2

483 = 241,5 x 2

493 = 246,5 x 2

503 = 251,5 x 2

513 = 256,5 x 2

523 = 261,5 x 2

533 = 266,5 x 2

543 = 271,5 x 2

553 = 276,5 x 2

563 = 281,5 x 2573 = 286,5 x 2

583 = 291,5 x 2

593 = 296,5 x 2

603 = 301,5 x 2

613 = 306,5 x 2

623 = 311,5 x 2633 = 316,5 x 2

643 = 321,5 x 2

653 = 326,5 x 2

663 = 331,5 x 2

673 = 336,5 x 2

683 = 341,5 x 2693 = 346,5 x 2

703 = 351,5 x 2

713 = 356,5 x 2

723 = 361,5 x 2

733 = 366,5 x 2

743 = 371,5 x 2753 = 376,5 x 2



28

763 = 381,5 x 2

773 = 386,5 x 2

783 = 391,5 x 2

793 = 396,5 x 2

803 = 401,5 x 2

813 = 406,5 x 2

823 = 411,5 x 2

833 = 416,5 x 2

843 = 421,5 x 2

853 = 426,5 x 2863 = 431,5 x 2

873 = 436,5 x 2

883 = 441,5 x 2

893 = 446,5 x 2

903 = 451,5 x 2

913 = 456,5 x 2923 = 461,5 x 2

933 = 466,5 x 2

943 = 471,5 x 2

953 = 476,5 x 2

963 = 481,5 x 2

973 = 486,5 x 2983 = 491,5 x 2

993 = 496,5 x 2

1003 = 501,5 x 2


5 = 2,5 x 2



29

15 = 7,5 x 2

25 = 12,5 x 2

35 = 17,5 x 2

45 = 22,5 x 2

55 = 27,5 x 2

65 = 32,5 x 2

75 = 37,5 x 2

85 = 42,5 x 2

95 = 47,5 x 2

105 = 52,5 x 2115 = 57,5 x 2

125 = 62,5 x 2

135 = 67,5 x 2

145 = 72,5 x 2

155 = 77,5 x 2

165 = 82,5 x 2175 = 87,5 x 2

185 = 92,5 x 2

195 = 97,5 x 2

205 = 102,5 x 2

215 = 107,5 x 2

225 = 112,5 x 2235 = 117,5 x 2

245 = 122,5 x 2

255 = 127,5 x 2

265 = 132,5 x 2

275 = 137,5 x 2

285 = 142,5 x 2295 = 147,5 x 2



30

305 = 152,5 x 2

315 = 157,5 x 2

325 = 162,5 x 2

335 = 167,5 x 2

345 = 172,5 x 2

355 = 177,5 x 2

365 = 182,5 x 2

375 = 187,5 x 2

385 = 192,5 x 2

395 = 197,5 x 2405 = 202,5 x 2

415 = 207,5 x 2

425 = 212,5 x 2

435 = 217,5 x 2

445 = 222,5 x 2

455 = 227,5 x 2465 = 232,5 x 2

475 = 237,5 x 2

485 = 242,5 x 2

495 = 247,5 x 2

505 = 252,5 x 2

515 = 257,5 x 2525 = 262,5 x 2

535 = 267,5 x 2

545 = 272,5 x 2

555 = 277,5 x 2

565 = 282,5 x 2

575 = 287,5 x 2585 = 292,5 x 2



31

595 = 297,5 x 2

605 = 302,5 x 2

615 = 307,5 x 2

625 = 312,5 x 2

635 = 317,5 x 2

645 = 322,5 x 2

655 = 327,5 x 2

665 = 332,5 x 2

675 = 337,5 x 2

685 = 342,5 x 2695 = 347,5 x 2

705 = 352,5 x 2

715 = 357,5 x 2

725 = 362,5 x 2

735 = 367,5 x 2

745 = 372,5 x 2755 = 377,5 x 2

765 = 382,5 x 2

775 = 387,5 x 2

785 = 392,5 x 2

795 = 397,5 x 2

805 = 402,5 x 2815 = 407,5 x 2

825 = 412,5 x 2

835 = 417,5 x 2

845 = 422,5 x 2

855 = 427,5 x 2

865 = 432,5 x 2875 = 437,5 x 2



33

137 = 68,5 x 2

147 = 73,5 x 2

157 = 78,5 x 2

167 = 83,5 x 2

177 = 88,5 x 2

187 = 93,5 x 2

197 = 98,5 x 2

207 = 103,5 x 2

217 = 108,5 x 2

227 = 113,5 x 2237 = 118,5 x 2

247 = 123,5 x 2

257 = 128,5 x 2

267 = 133,5 x 2

277 = 138,5 x 2

287 = 143,5 x 2297 = 148,5 x 2

307 = 153,5 x 2

317 = 158,5 x 2

327 = 163,5 x 2

337 = 168,5 x 2

347 = 173,5 x 2357 = 178,5 x 2

367 = 183,5 x 2

377 = 188,5 x 2

387 = 193,5 x 2

397 = 198,5 x 2

407 = 203,5 x 2417 = 208,5 x 2



34

427 = 213,5 x 2

437 = 218,5 x 2

447 = 223,5 x 2

457 = 228,5 x 2

467 = 233,5 x 2

477 = 238,5 x 2

487 = 243,5 x 2

497 = 248,5 x 2

507 = 253,5 x 2

517 = 258,5 x 2527 = 263,5 x 2

537 = 268,5 x 2

547 = 273,5 x 2

557 = 278,5 x 2

567 = 283,5 x 2

577 = 288,5 x 2587 = 293,5 x 2

597 = 298,5 x 2

607 = 303,5 x 2

617 = 308,5 x 2

627 = 313,5 x 2

637 = 318,5 x 2647 = 323,5 x 2

657 = 328,5 x 2

667 = 333,5 x 2

677 = 338,5 x 2

687 = 343,5 x 2

697 = 348,5 x 2707 = 353,5 x 2



35

717 = 358,5 x 2

727 = 363,5 x 2

737 = 368,5 x 2

747 = 373,5 x 2

757 = 378,5 x 2

767 = 383,5 x 2

777 = 388,5 x 2

787 = 393,5 x 2

797 = 398,5 x 2

807 = 403,5 x 2817 = 408,5 x 2

827 = 413,5 x 2

837 = 418,5 x 2

847 = 423,5 x 2

857 = 428,5 x 2

867 = 433,5 x 2877 = 438,5 x 2

887 = 443,5 x 2

897 = 448,5 x 2

907 = 453,5 x 2

917 = 458,5 x 2

927 = 463,5 x 2937 = 468,5 x 2

947 = 473,5 x 2

957 = 478,5 x 2

967 = 483,5 x 2

977 = 488,5 x 2

987 = 493,5 x 2997 = 498,5 x 2



36

1007 = 503,5 x 2


9 = 4,5 x 2

19 = 9,5 x 2

29 = 14,5 x 2

39 = 19,5 x 2

49 = 24,5 x 2

59 = 29,5 x 269 = 34,5 x 2

79 = 39,5 x 2

89 = 44,5 x 2

99 = 49,5 x 2

109 = 54,5 x 2

119 = 59,5 x 2129 = 64,5 x 2

139 = 69,5 x 2

149 = 74,5 x 2

159 = 79,5 x 2

169 = 84,5 x 2

179 = 89,5 x 2189 = 94,5 x 2

199 = 99,5 x 2

209 = 104,5 x 2

219 = 109,5 x 2

229 = 114,5 x 2

239 = 119,5 x 2249 = 124,5 x 2



37

259 = 129,5 x 2

269 = 134,5 x 2

279 = 139,5 x 2

289 = 144,5 x 2

299 = 149,5 x 2

309 = 154,5 x 2

319 = 159,5 x 2

329 = 164,5 x 2

339 = 169,5 x 2

349 = 174,5 x 2359 = 179,5 x 2

369 = 184,5 x 2

379 = 189,5 x 2

389 = 194,5 x 2

399 = 199,5 x 2

409 = 204,5 x 2419 = 209,5 x 2

429 = 214,5 x 2

439 = 219,5 x 2

449 = 224,5 x 2

459 = 229,5 x 2

469 = 234,5 x 2479 = 239,5 x 2

489 = 244,5 x 2

499 = 249,5 x 2

509 = 254,5 x 2

519 = 259,5 x 2

529 = 264,5 x 2539 = 269,5 x 2



38

549 = 274,5 x 2

559 = 279,5 x 2

569 = 284,5 x 2

579 = 289,5 x 2

589 = 294,5 x 2

599 = 299,5 x 2

609 = 304,5 x 2

619 = 309,5 x 2

629 = 314,5 x 2

639 = 319,5 x 2649 = 324,5 x 2

659 = 329,5 x 2

669 = 334,5 x 2

679 = 339,5 x 2

689 = 344,5 x 2

699 = 349,5 x 2709 = 354,5 x 2

719 = 359,5 x 2

729 = 364,5 x 2

739 = 369,5 x 2

749 = 374,5 x 2

759 = 379,5 x 2769 = 384,5 x 2

779 = 389,5 x 2

789 = 394,5 x 2

799 = 399,5 x 2

809 = 404,5 x 2

819 = 409,5 x 2829 = 414,5 x 2



39

839 = 419,5 x 2

849 = 424,5 x 2

859 = 429,5 x 2

869 = 434,5 x 2

879 = 439,5 x 2

889 = 444,5 x 2

899 = 449,5 x 2

909 = 454,5 x 2

919 = 459,5 x 2

929 = 464,5 x 2939 = 469,5 x 2

949 = 474,5 x 2

959 = 479,5 x 2

969 = 484,5 x 2

979 = 489,5 x 2

989 = 494,5 x 2999 = 499,5 x 2

1009 = 504,5 x 2

A continuación veamos la Tabla de Identiplicar donde se simplifican los resultados dela multiplicación y se genera un modelo novedoso de relaciones internumerales.



40

Tabla de identiplicar

Modelo: 1 x 1 = 1 3 x 4 = 12 (1 + 2 = 3) 3 x 4 = 3

(números compuestos puros)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3

2 2 4 6 8 1 3 5 7 9 2 4 6

3 3 6 9 3 6 9 3 6 9 3 6 9

4 4 8 3 7 2 6 1 5 9 4 8 3

5 5 1 6 2 7 3 8 4 9 5 1 6

6 6 3 9 6 3 9 6 3 9 6 3 9

7 7 5 3 1 8 6 4 2 9 7 5 3

8 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3

11 2 4 6 8 1 3 5 7 9 2 4 6

12 3 6 9 3 6 9 3 6 9 3 6 9



43

Sistemas de numeración híbridos

Estos sistemas combinan el principio del sistema aditivo con el multiplicativo, pero elorden en la escritura de las cifras es fundamental para evitar confusiones en suinterpretación, un ejemplo de este sistema es el chino clásico.

Sistemas de numeración posicionales

Es el mejor y más desarrollado sistema inventado por las civilizaciones antiguas, en

ellos la posición de las cifras indica la potencia de la base que le corresponde.Solamente tres culturas lograron implementar este sistema, la babilónica, la hindú y lamaya, estas dos últimas lograron innovar una nueva cifra de trabajo, el valor posicionaldel cero.

Las matemáticas son la ciencia de los fundamentos que trata las estructuras, formas,magnitudes y relaciones numéricas de configuraciones del pensamiento.

Han sido llamadas correctamente, la reina y sirviente de las ciencias.

A medida que se han desarrollado las matemáticas abstractas, se han intentadoaplicar a ciencias más prácticas, y el cambio de las necesidades científicas hamotivado la investigación en ciertos campos no tradicionales.

Históricamente, las matemáticas no se han desarrollado como maduración equilibradadel pensamiento lógico, sino por saltos irregulares e intermitentes, algunas veces conlagunas de siglos entre avances importantes.

Estos surgen como consecuencia de los estudios efectuados por hombres interesadosen la delimitación de nuevos procesos, y tales hombres aparecen en intervalos nopróximos.

En los primeros tiempos, sólo eran necesarias las más primitivas ideas de aritmética.

Al aparecer el trueque -con los principios de la civilización-, fue necesario aprendercómo valorar y decir cuántas ovejas se cambiaban por un número de útiles.

Tal vez, cierto número de piedras se amontonaban para significar el valor de unaoveja, y otras se colocaban en un montón diferenciado y representaban el valor de unacazuela.

Para realizar el cambio de algunas ovejas por otras cosas, seguramente se tomaban

las piedras alternativamente de uno y otro montón (correspondencia de uno a uno), y



44

las que sobraban en un montón, después de haber acabado con el otro, senegociaban de otra manera.

Este ejemplo intenta ilustrar el uso de las piedras como unidad para materializar elvalor de las cosas, y no habría de pasar mucho tiempo antes de que apareciera una

forma más abstracta de contar (el número).En un principio para contar, la gente usó los cinco dedos de una mano, y así aparecióla numeración en base cinco.

Hasta hace pocos años este sistema era ampliamente usado en Oriente.

Los ábacos elementales que todavía se encuentran en China y Japón, estándiseñados con este código.

También fue muy utilizado el sistema de numeración romano basado en siete letras.

Es también fácil ver como el diez ha llegado a ser un número importante, motivadoporque el ser humano tiene diez dedos en las manos y diez en los pies.

Las primeras aportaciones tienen miles de años, pero, curiosamente nuestra maneraactual de escribir los números es bastante reciente: utilizada ya por los hindúes, ydifundida por los árabes, no llegó a Europa hasta el siglo XIII.

Durante siglos hubo una verdadera guerra entre los partidarios del sistema literalromano y del numeral arábigo.

Veamos las diferencias:

Un romano al observar tres rayas verticales trazadas en la arena (durante el imperiode la antigua Roma), habría entendido que el número representado es tres (III),mientras que para un romano actual el mismo diseño significaría (111).

Cada uno sigue un código distinto y ambos son coherentes.

Para uno, las tres rayas significan:

1 + 1 + 1 = 3

Y para otro:

100 + 10 + 1 = 111

La gran diferencia entre uno y otro, no está tanto en los signos mismos, como en laforma de relacionarlos. El romano es aditivo y sustractivo, el arábigo es ademásposicional. De allí su poder.

El número es una noción matemática de fundamental importancia, introducida demanera más o menos consciente desde la antigüedad, con el fin de poder operar

sobre cantidades de elementos que constituyen conjuntos o sobre cantidades queexpresan medidas de entidades materiales.



45

El código decimal presenta algunas deficiencias que empezaremos a señalar:

Si se parte de los diez primeros números (0 a 10) el "centro" es 5.

Sin embargo si avanzamos al siguiente límite (0 a 100) el "centro" es 50, debiendo sersin embargo 55. Todos los "centros" tendrían que ser 5, 55, 555…

Para corregir este error hay que producir cambios en el modelo.

El primero tiene que ver con otorgar un símbolo para "el dedo 10" ya que 10 es launión del número 1 y del número 0.

A partir de este nuevo modelo decimal de Aschero el cero tradicional se transforma enel nuevo diez.



46

Si el cero tradicional representa diez, el modelo decimal de Aschero necesita un nuevosímbolo para representar la nada.

Estos cambios implican una modificación a la hora de contar:



47

Y este es el nuevo sistema de numeración posicional de base diez.

Utiliza las cifras:

1 una unidad

2 dos unidades

3 tres unidades

4 cuatro unidades

5 cinco unidades 0 : 2 = 5 (centro)

6 seis unidades

7 siete unidades

8 ocho unidades

9 nueve unidades



48

0 diez unidades = 1 decena

Opera dando a cada cifra de una secuencia el valor obtenido multiplicando la cifra porla potencia de 0 relativa a su posición.

Es el más utilizado puesto que permite emplear en los cálculos los dedos de lasmanos.

Su origen es indo árabe, fue introducido en Europa por Leonardo de Pisa en el sigloXIII y modificado para hacerlo realmente decimal por Sergio Aschero a comienzos delsiglo XXI.

Sus decenas se representan así:

11 una decena una unidad

12 una decena dos unidades

13 una decena tres unidades

14 una decena cuatro unidades

15 una decena cinco unidades

16 una decena seis unidades

17 una decena siete unidades

18 una decena ocho unidades

19 una decena nueve unidades

10 una decena diez unidades

21 dos decenas una unidad

22 dos decenas dos unidades

23 dos decenas tres unidades

24 dos decenas cuatro unidades

25 dos decenas cinco unidades

26 dos decenas seis unidades

27 dos decenas siete unidades

28 dos decenas ocho unidades



49

29 dos decenas nueve unidades

20 dos decenas diez unidades

31 tres decenas una unidad

32 tres decenas dos unidades

33 tres decenas tres unidades

34 tres decenas cuatro unidades

35 tres decenas cinco unidades

36 tres decenas seis unidades

37 tres decenas siete unidades

38 tres decenas ocho unidades39 tres decenas nueve unidades

30 tres decenas diez unidades

41 cuatro decenas una unidad

42 cuatro decenas dos unidades

43 cuatro decenas tres unidades

44 cuatro decenas cuatro unidades45 cuatro decenas cinco unidades

46 cuatro decenas seis unidades

47 cuatro decenas siete unidades

48 cuatro decenas ocho unidades

49 cuatro decenas nueve unidades

40 cuatro decenas diez unidades51 cinco decenas una unidad

52 cinco decenas dos unidades

53 cinco decenas tres unidades

54 cinco decenas cuatro unidades

55 cinco decenas cinco unidades 00 : 2 = 55 (centro)

56 cinco decenas seis unidades57 cinco decenas siete unidades



50

58 cinco decenas ocho unidades

59 cinco decenas nueve unidades

50 cinco decenas diez unidades

61 seis decenas una unidad

62

63

64

65

66

6768

69

60

71 siete decenas una unidad

72

7374

75

76

77

78

7970

81 ocho decenas una unidad

82

83

84

8586



51

87

88

89

80

91 nueve decenas una unidad

92

93

94

95

9697

98

99

90

01 diez decenas una unidad

0203

04

05

06

07

0809

00 diez decenas diez unidades = 11 una centena una decena

Y sus centenas:

111 una centena una decena una unidad112



54

171

172

173

174

175

176

177

178

179

170181

182

183

184

185

186187

188

189

180

191

192193

194

195

196

197

198199



55

190

101 una centena diez decenas una unidad

102

103

104

105

106

107

108

109100 una centena diez decenas diez unidades

211 dos centenas una decena una unidad

212

213

214

215216

217

218

219

210

221222

223

224

225

226

227228



58

287

288

289

280

291

292

293

294

295

296297

298

299

290

201

202203

204

205

206

207

208209

200 dos centenas diez decenas diez unidades

311 tres centenas una decena una unidad

312

313

314315



59

316

317

318

319

310

321

322

323

324

325326

327

328

329

320

331332

333

334

335

336

337338

339

330

341

342

343344



60

345

346

347

348

349

340

351

352

353

354355

356

357

358

359

350361

362

363

364

365

366367

368

369

360

371

372373



61

374

375

376

377

378

379

370

381

382

383384

385

386

387

388

389380

391

392

393

394

395396

397

398

399

390

301302



62

303

304

305

306

307

308

309

300 tres centenas diez decenas diez unidades

411 cuatro centenas una decena una unidad

412413

414

415

416

417

418419

410

421

422

423

424425

426

427

428

429

420431



63

432

433

434

435

436

437

438

439

430

441442

443

444

445

446

447448

449

440

451

452

453454

455

456

457

458

459450



64

461

462

463

464

465

466

467

468

469

460471

472

473

474

475

476477

478

479

470

481

482483

484

485

486

487

488489



65

480

491

492

493

494

495

496

497

498

499490

401

402

403

404

405406

407

408

409

400 cuatro centenas diez decenas diez unidades

511 cinco centenas una decena una unidad512

513

514

515

516

517518



66

519

510

521

522

523

524

525

526

527

528529

520

531

532

533

534535

536

537

538

539

530541

542

543

544

545

546547



67

548

549

540

551

552

553

554

555 000 : 2 = 555 (centro)

556

557558

559

550

561

562

563564

565

566

567

568

569560

571

572

573

574

575576



68

577

578

579

570

581

582

583

584

585

586587

588

589

580

591

592593

594

595

596

597

598599

590

501

502

503

504505



69

506

507

508

509

500 cinco centenas diez decenas diez unidades

611 seis centenas una decena una unidad

612

613

614

615616

617

618

619

610

621622

623

624

625

626

627628

629

620

631

632

633634



70

635

636

637

638

639

630

641

642

643

644645

646

647

648

649

640651

652

653

654

655

656657

658

659

650

661

662663



71

664

665

666

667

668

669

660

671

672

673674

675

676

677

678

679670

681

682

683

684

685686

687

688

689

680

691692



73

722

723

724

725

726

727

728

729

720

731732

733

734

735

736

737738

739

730

741

742

743744

745

746

747

748

749740



75

770

781

782

783

784

785

786

787

788

789780

791

792

793

794

795796

797

798

799

790

701702

703

704

705

706

707708



76

709

700 siete centenas diez decenas diez unidades

811 ocho centenas una decena una unidad

812

813

814

815

816

817

818819

810

821

822

823

824825

826

827

828

829

820831

832

833

834

835

836837



78

867

868

869

860

871

872

873

874

875

876877

878

879

870

881

882883

884

885

886

887

888889

880

891

892

893

894895



80

925

926

927

928

929

920

931

932

933

934935

936

937

938

939

930941

942

943

944

945

946947

948

949

940

951

952953



81

954

955

956

957

958

959

950

961

962

963964

965

966

967

968

969960

971

972

973

974

975976

977

978

979

970

981982



82

983

984

985

986

987

988

989

980

991

992993

994

995

996

997

998999

990

901

902

903

904905

906

907

908

909

900 nueve centenas diez decenas diez unidades011 diez centenas una decena una unidad



83

012

013

014

015

016

017

018

019

010

021022

023

024

025

026

027028

029

020

031

032

033034

035

036

037

038

039030



84

041

042

043

044

045

046

047

048

049

040051

052

053

054

055

056057

058

059

050

061

062063

064

065

066

067

068069



86

099

090

001

002

003

004

005

006

007

008009

000 diez centenas diez decenas diez unidades

...........................................................................................................................................

1111 una unidad de millar una centena una decena una unidad

0000 diez millares diez centenas diez decenas diez unidades

11111 una decena de millar una unidad de millar una centenauna decena una unidad

00000 cien mil lares diez millares diez centenas diez decenas diez unidades

111111 una centena de millar una decena de millar una unidad de millar unacentena una decena una unidad

000000 mil millares cien millares diez millares diez centenas diez decenas diezunidades

...........................................................................................................................................

1111111 una unidad de millón una centena de millar una decena de millar unaunidad de mil lar una centena una decena una unidad

...........................................................................................................................................



87

Tipología numeral

a.- Número Abundante

Número natural para el cual, la suma de sus divisores es mayor que su duplo:

12 tiene los divisores 1, 2, 3, 4, 6, 12 y es

1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28; 28 > 2: 12.

b.- Números Amigos

Dos números tales que la suma de los divisores de cada uno de ellos es igual al otronúmero respectivamente: 284 y 220.

c.- Números de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

d.- Números de Pitágoras

32 + 42 = 52

e.- Números de Aschero (nueva serie)

1 + 3 - 2 + 4 - 3 + 5 - 4 + 6...

f.- Números Triangulares

3, 6, 0, 15...

g.- Números Cuadrados

4, 9, 16, 25...

h.- Números Pentagonales

5, 12, 22...



88

i.- Números Pares

2, 4, 6, 8...

j.- Números Impares

1, 3, 5, 7...

k.- Números Opuestos

3/4, -3/4

l.- Números Perfectos6, 28, 496...

Son iguales a la suma de sus divisores:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

m.- Números Primos1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,97...

n.- Números Racionales

4/3, 2/4

ñ.- Números Binarios

0, 1

o.- Números Naturales

1, 2, 3, 4...



89

p.- Números Ordinales

1º, 2º, 3º...

q.- Números Negativos

-1, -2, -3...

r.- Números Positivos

1, 2, 3, 4...

s.- Números Irracionales y TrascendentesNo son representables como fracción de dos números enteros. Se representan comofracciones decimales infinitas no periódicas.

π = 3, 1415926536...

e = 2, 71828182284...

t.- Números Enteros

-3, 4, 90...

u.- Números Decimales

1,33

v.- Números Algebraicos

(X - 2)2

w.- Números Imaginarios

5i, 8i...

x.- Números Complejos

3 + 4i = 3 parte real y 4 parte imaginaria



90

Algori tmo

Conjunto bien definido de instrucciones o condiciones operativas que regulan elcomportamiento de un operador para la resolución de un problema.

Período

La repetición de determinados valores numerales en una sucesión.

1:7 = X, 142857 = 142857142857...

Número combinatorio

(8/5) = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 : 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 56

Cuadrado mágico

16 3 2 13

5 0 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Ordenación cuadrada de números enteros, de forma que las sumas por columnas, porfilas y en diagonal coincidan.

Triángulo de Tartaglia

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 0 0 5 1

1 6 15 10 15 6 1



91

Paréntesis

a x (b + c) = ab + ac

a x b + c = ab + c

a + b (c + d) = a + bc + bd

a + b (c - d) = a + bc – bd

a - b (c + d) = a - bc - bd

a - b (c - d) = a - bc + bd

Sucesión armónica

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6...

Sucesión convergente

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16... (menor que 1)

Sucesión divergente

1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5... (mayor que 1)



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5. El nonúmero

El ser humano ha sido definido como animal simbólico. La definición no puede sermás certera, pues uno de los rasgos que lo definen y le diferencian del resto de losanimales es su capacidad de simbolización, que empieza con el lenguaje y culmina

con la simbolización de la relación de la persona con el mundo y las cosas. Elsímbolo no es algo exclusivo de los niños y niñas, de las personas neuróticas, o delos pueblos llamados "primitivos". Resulta consustancial al ser humano, constituyeuna parte fundamental de su vida espiritual y es anterior al lenguaje y a la razóndiscursiva. Ser persona, resumiendo las aportaciones de las principalesantropologías de nuestro siglo, es "simbolizar la existencia".

El ser humano puede representar el mundo de dos maneras: directa eindirectamente. La directa tiene lugar cuando la cosa se representa "en carne yhueso" y se hace presente en sí misma. La indirecta sucede cuando el objeto estáausente y se le representa al ser humano en imagen. Una de esas formasindirectas de representación es el símbolo.

La palabra "símbolo" proviene del verbo griego symballein, que, en su formatransitiva, significa poner en común, reunir, intercambiar y, en su forma intransitiva,encontrarse, juntarse. El sustantivo symbolon significa conjunción, pacto, reuniónde las dos partes en que se dividía el objeto.

El símbolo antiguo indica un objeto que se rompe en dos partes iguales de formaque cada uno de los firmantes de un pacto se queda con una parte. Cada parte porseparado carece de valor. El valor simbólico radica en la relación de una mitad conla otra. La unión de ambas partes llevada a cabo por los portadores es lo queconstituye la prenda del pacto. La reunión de las partes escindidas lleva alreconocimiento, a la identificación y al encuentro.

El mundo de los símbolos constituye un ejercicio de equilibrio entre la herenciarecibida y la creatividad. El ser humano no parte de cero, ni las comunidadespueden hacer tabla rasa del pasado. Los símbolos no se inventan todos los días,como tampoco cambian arbitrariamente cual si de productos de moda se tratara.Perviven por encima de los avatares a los que están expuestos y resisten losmúltiples embates a los que están expuestos. Lo que suele cambiar con el tiempono son los símbolos, sino su significado.

El experimento se erige en la única forma de experiencia válida. Todas las esferasde la vida humana, se modelan de acuerdo con las técnicas del laboratorio. Los

problemas filosóficos se resuelven según los métodos experimentales modernos.Para el positivismo, las funciones de la filosofía son la clasificación y laformalización de los métodos científicos. Y cuando la filosofía se resiste a aceptaresas funciones se la reduce a poesía o mística, y se la coloca despectivamente

junto a la teología. Y cuando sigue firme denunciando con pertinacia y tesón lasprácticas destructivas de la ciencia, se le da como respuesta que la causa de talesprácticas no está en la naturaleza misma de la ciencia, siempre tan benefactora,sino en el mal uso que de ella se hace.

¿Se oponen símbolo y razón? ¿Atenta el símbolo contra la razón o ésta contraaquél? Ésa es una imagen muy extendida de la relación entre uno y otra. Pero noparece que sea correcta. El símbolo no lucha contra la razón, ni la razón debebuscar la eliminación del símbolo. El símbolo no es un simple adorno de la razón niejerce una función subsidiaria del concepto. Hay una razón simbólica que amplía el



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El campo simbólico no se queda en los objetos, se amplía a las palabras, losgestos, las personas, los animales y lo desconocido, etc.

Suele ser muy corriente oponer símbolo a realidad. Pero tal oposición no tiene porqué darse. El símbolo afecta a lo más real y profundo de la persona y de su mundo.Así, por ejemplo, en un duelo, sobran las palabras y son sustituidas por multitud desímbolos: una corona de flores, el silencio y/o el beso de condolencia, las lágrimasde solidaridad. Estos y otros símbolos pretenden expresar la presencia solidaria, lacomunicación entre dos sujetos, la alteridad compartida.

No es válida, por tanto, la disyuntiva: símbolo o realidad, simbólico o histórico, nison acertadas expresiones como "cuanto más simbólico, menos real" o "cuantomás simbólico, menos importante". Lo simbólico no implica negación de lo histórico,ni excluye lo histórico. Lo simbólico es independiente de lo histórico, pero no losustituye. Lo que hace es enraizar lo histórico en lo real.

La tendencia innata del ser humano en su individualidad es a alterar continuamentelas creencias. La tendencia innata del ser humano como ser social es lamaterialización, la coherencia de las creencias. He aquí la verdadera dualidad quees fuente del desarrollo. Si la humanidad llegase alguna vez al conocimiento de laverdad "absoluta" (en realidad a un acuerdo general), comenzaría de inmediato anegarlo.

La negación, como tantas otras estrategias de afrontamiento, no puede calificarsecomo inherentemente buena o mala. Debe tenerse en cuenta el contexto y sobretodo desarrollar principios que especifiquen las condiciones bajo las cuales losprocesos de negación pueden tener consecuencias favorables o desfavorables.

En el intercambio de los bienes operan dos lógicas diferentes: la del valor, que secentra en los objetos como tales, y la del intercambio simbólico, que se centra en larelación entre sujetos. De ambas lógicas la que rige en el símbolo es la segunda. Elsímbolo escapa a todo esquema de valor, a toda concepción utilitarista yproductivista de la vida y del ser humano. No se mueve en el marco del valormercantil ni del valor de uso del objeto. Un regalo sin apenas valor puede resultarmás estimado que un regalo de coste muy elevado. En la esencia del símbolo estáel carecer de valor venal. Lo que importa no es el valor, ni la utilidad social oeconómica, sino la comunicación entre los sujetos. Ese es precisamente elsignificado originario del concepto "símbolo".

La práctica simbólica no se diluye en otras prácticas humanas, como la política, la

social, la ética, etc. Se rige por su propia gramática y tiene sus propias reglas de juego. Pero tampoco es independiente de ellas, ni camina en paralelo a lasprácticas referidas, sino que debe articularse con ellas, sin confundirse.

La praxis simbólica tiene una significación liberadora y ejerce una funciónhumanizadora. Pero, al no contar con defensas ni propias ni ajenas, puede serobjeto de perversión, manipulación y secuestro ideológico. El poder dominantetiende a usar y abusar del símbolo, poniéndolo al servicio de sus intereses yconvirtiéndolo en instrumento de alienación de las conciencias y de los colectivoshumanos. De ahí la necesidad de adoptar una actitud vigilante frente a los intentosvarios de manipulación.

Una última característica del símbolo es su carácter comunitario. El símbolo no escreación individual; precede al individuo, nace en el seno de una colectividad, de



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La matemática tiene su sistema simbólico y ese sistema permite desde la lógicaincorporar nuevas variables. Ese el caso del nonúmero de Sergio Aschero.

El nonúmero es la ausencia del número, operador o conjunto que representa y lapresencia de todos los demás números, operadores o conjuntos.

El símbolo que lo identifica es Veamos algunos ejemplos con no dos:

P (no primos) (En este caso no se opera con ningún número primo)

N (no naturales) (En este caso no se opera con ningún número natural)



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6. Números armónicos inmanentes

A través de los peldaños móviles de una escalera y el plano inclinado de un tobogán,podemos situar todos los procesos culturales de la música en cuanto a la organizaciónmodal y tonal de sus sonidos, (aquí cabe reseñar la cuota de sacrificio histórico

necesario en busca del mejor sistema).La heptafonía es un ordenamiento escalar selectivo (Bach), y el cromatismo, una ciertaaproximación al tobogán totalizador (Wagner).

Entre los cantos de recolección monofónicos de los alacalufes del sur de Chile y los defecundación tetrafónicos de los bosquimanos; así como entre los cuartetos deBeethoven y los de Bartók, existe algo en común: el respeto a una unidad generadorade lo sonoro, (la matriz universal de toda serie), que permite el desarrollo natural decualquier modelo de afinación que, aunque en lo musical no está presente, siempre seha deseado encontrar o justificar en los diversos modelos establecidos: la Edad Media

fue la del armónico 3, el Renacimiento llegó hasta el armónico 5, el Barroco y elClasicismo hasta el 7 y el 9, y el Romanticismo con Wagner a la cabeza hasta el 12.Eso es todo y eso es poco.

Supone una aproximación muy lenta hacia la verdadera naturaleza del sonido, que sefrena en gran medida por las propias contradicciones del propio lenguaje musical queposee en sus genes la base de su propia inoperancia.

No se puede actuar con seriedad en una investigación de este tipo teniendo en cuentalos modelos admitidos por una cultura decadente por más bellos que nos parezcan.Nosotros también estamos condicionados por un modelo que nos ha privado de lariqueza de lo verdaderamente armónico.

Nuestros gustos son poco confiables.

Se debe iniciar la aventura partiendo de un profundo conocimiento de la realidadsonora y de sus leyes inmutables, que determinan sin excepciones, las reglasobjetivas del lenguaje.

La pérdida de ese supuesto implica la desintegración de los sistemas: la tonalidadsurge de un cierto respeto a sus normas, el atonalismo de su ignorancia.

Cada vez que se ha intentado suplantar la tonalidad, la sensibilidad colectiva harechazado la opción, (el fracaso del dodecafonismo lo testimonia); pero lo curioso esque Arnold Schönberg intentó crear una falsa naturaleza a través de su concepto serial- y si bien la naturaleza del sonido es serial, no es menos cierto que es tambiénsupratonal - (un estado de máxima tonalidad) - y eso Schönberg no lo tuvo en cuenta ala hora de diseñar su propuesta, quedándose sólo en el terreno de lo combinatorio.

Confiesa su incapacidad para hacer de lo natural un lenguaje, (aunque intuye que esel futuro de la música: "Armonía"), pero su discurso sigue siendo un híbridodescentrado entre la tradición y el futuro.

Música y naturaleza no comparten los mismos principios.



100

El sonido de frecuencia "n" se llama fundamental o primer armónico de la serie y losdemás sonidos de la sucesión se llamarán armónicos, designándose por orden:segundo armónico, tercer armónico, etc.

Conociendo la frecuencia de "n", bastará conocer el número de orden de un armónico

para deducir su frecuencia.La serie armónica es teóricamente infinita.

Los armónicos se oyen en razón inversa al cuadrado de su distancia o sea el númeroque los representa.

La intensidad del sonido de los armónicos disminuye a medida que se alejan delsonido fundamental, de tal modo que el armónico 2 se oirá 4 veces menos que elarmónico 1; el armónico 3 se oirá 9 veces menos que el armónico 1; el armónico 8, 64veces menos que el 1, etc.

Los ocho primeros armónicos (sin contar el séptimo) dan origen a los teoremas deTyndall y Helmholtz.

Veamos algunas de las contradicciones del lenguaje musical con respecto a surelación con los armónicos naturales:

1.- La música se basa en un comportamiento artificioso del sonido.

La escala mayor las notas fa y la no están contenidas en la serie armónica.

Como la notación musical no posee signos propios para representar todos los sonidos

naturales, por su propia configuración histórica y no científica, ni una teoría coherentepara explicarlos; ha ido buscando aproximaciones artificiosas para poder justificar suescala mayor.

Los sonidos 7, 11, 13 y 14 son de escritura aproximada.

2.- Comete errores físicos y matemáticos.

El armónico 7, (evitado por el piano con la anulación de su sistema vibratorio), imponesu realidad con más fuerza que los teoremas de Tyndall y Helmohltz, y existe a pesarde ellos.

Tampoco Pitágoras con sus quintas encadenadas pudo cerrar lo que la naturaleza nocierra.

El mi sostenido de la sexta octava no es igual que el fa de la séptima octava (eseintervalo de diferencia se denomina: comma pitagórica).

3.- Prohíbe o defiende fuera de toda lógica.

La cuarta aumentada denominada por los teóricos "diabolus in musica" es un intervalonatural repudiado.

Lo mismo ocurre con las octavas y quintas paralelas, definidas entre los grados 1, 2 y3 de cada serie.



101

La teoría defiende la existencia del modo menor como fruto de esa naturaleza antesmarginada, y eso es falso.

El modo mayor se forma naturalmente entre los armónicos 4, 5 y 6.

Sin embargo el modo menor es artificial ya que el mi bemol no aparece en la seriearmónica.

4.- Se escuda en la sinrazón de un temperamento inarmónico.

Do = 261,625 Hz.

Do# (Reb) = 277,182 Hz.

Re = 293,664 Hz.

Re# (Mib) = 311,126 Hz.

Mi = 329,627 Hz.

Fa = 349,228 Hz.

Fa# (Solb) = 369,994 Hz.

Sol = 391,995 Hz.

Sol# (Lab) = 415,304 Hz.

La = 440,000 Hz. (diapasón)

La# (Sib) = 466,163 Hz.

Si = 493,883 Hz.

Do’ = 523,250 Hz.

La armonía sólo admite frecuencias de números enteros, siendo los decimales elorigen de la inarmonía.

La única y curiosa excepción la constituye la naturalidad del diapasón (440Hz.)

Una base matemáticamente incorrecta (12) y una escritura anacrónica no puedencontener la naturaleza expansiva de los armónicos.

Tal como se ha visto, para obtener un resultado armónico, hay que partir de la propianaturaleza del sonido. Todas las bases musicales 7, 12, 24, 36, 48... (temperadas ono), pueden ser útiles instrumentalmente pero resultan absolutamente inarmónicasen mayor o menor grado. Sólo las bases en cuyas frecuencias no existen decimales yque responden a 2 n como eje de su desarrollo serial (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,512,...), pertenecen a la naturaleza y no son discrepantes.

También en el desarrollo de un embrión, el óvulo fecundado comienza a dividirse y el

número de células empieza a crecer: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. Éste es un crecimientoexponencial. Pero el feto sólo puede crecer hasta un tamaño que el útero pueda



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soportar; así, otros factores comienzan a disminuir el incremento del número decélulas, y la tasa de crecimiento disminuye. Después de un tiempo, el niño nace ycontinúa creciendo. Finalmente, el número de células se estabiliza y la estatura delindividuo se hace constante. Se ha alcanzado la madurez, en la que el crecimiento sedetiene. En el caso de los gemelos monocigóticos, en cambio, los dos tienen el mismoorigen: un solo óvulo fecundado por un solo espermatozoide. Lo que sucede es quedespués de haberse fusionado el material genético de la madre con el del padre, lacélula resultante (conocida como cigoto) se divide muy tempranamente en dos. Losdos cigotos resultantes quedan con la misma carga genética y por eso que los bebésterminan siendo idénticos.

Mediante cualquiera de dichas bases y partiendo de la serie armónica, se demuestraque primero (1º) es el único grado que en todas sus frecuencias produce la "Ley deAschero" que señala que el único grado que multiplicado por sí mismo es igual a símismo es primero (1º) con lo que se fundamenta su preponderancia frente a todos losdemás grados de cualquier serie. Cada nuevo Número Armónico Inmanente "suena"siempre al doble de la frecuencia del anterior desde 1 Hz. hasta el infinito. Estosnúmeros en realidad son siempre un 1 fecundado (que alumbra un 2) y en sureplicación binaria nunca pierde su identidad inicial.

(2 + 2 = 4), (2 x 4 = 8)

(4 x 2 = 8 = 4 = 2 = 1)

(6 x 3 = 18 ≠ 12 = 6 = 3)



105

Características:



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a) Todos los primos armónicos nacen del número 1 y su "replicación celular."

b) La multipl icación de dos primos armónicos da como resultado otro primoarmónico:

8 x 4 = 32, 8 x 128 = 1024…

Modelo

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

8192

16384

32768

65536

131072…

Los armónicos negativos se "crean" en La Ilustración (siglo XVIII), con la intención de justificar el acorde menor. Se trataba de una abstracción matemática de este acordemediante la inversión en espejo de los armónicos postivos (mientras que los positivosson ascendentes los negativos descienden). Gracias a este tipo de armónicos seconsigue explicar el IV grado.Su creador fue Zarlino que consideraba que la tercera menor era el intervalo fundadorde la armonía. Anteriormente, Aristoxeno (siglo IV a.C.) instauró la escala de 8 notasbasándose en las proporciones físicas y no matemáticas de los sonidos. También elfrancés Rameau, inventó la armonía, es decir, nombró los acordes según los grados y



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los situó con un orden dentro de la tonalidad, estableciendo la serie armónica(positiva).

Las frecuencias subarmónicas son frecuencias que están por debajo de la frecuenciafundamental., existen en la naturaleza y son un problema en el diseño de circuitos

eléctricos.Por ejemplo, si la frecuencia fundamental de un oscilador son 440 Hz, lossubarmónicos corresponden a 220 Hz. (1/2) y 110 Hz. (1/4) y 55 Hz. (1/8).

La nota sol de la cuarta cuerda es la nota más grave que sale de un violín afinado. Oeso pensaría cualquiera antes de escuchar a la concertista Kimura. Todos losinstrumentos de cuerda tienen en teoría (insisto, en teoría) la posibilidad de tocar notastodo lo agudas que se quiera. Para subir una octava completa basta con presionar deforma que la cuerda que vibra reduzca a la mitad su longitud. Una octava más esvolver a reducir a la mitad, y así sucesivamente hasta la paradoja de Zenón. En la

práctica llega un momento que simplemente la cuerda no vibra por razones decomposición y grosor. Luego hay un límite superior por razones físicas.El límite inferior, sin embargo tiene un fundamento físico-matemático. Por ejemplo,decíamos que la nota más grave que da un violín es un sol en su cuerda más gruesa.Para obtener esta nota basta con hacer vibrar la cuerda sin pulsar sobre el mástil.Cuanto más larga sea la cuerda, más grave será la nota. Pero evidentemente, si bienpodemos pulsar para acortar una cuerda, no existe forma de alargarla . Esa es la limitaciónfísica de los graves.

La limitación matemática es universal: no se podrá emitir una onda que tenga una

longitud de onda más grande que el objeto que la emite. Recordemos que la longitudde una onda sonora está asociada con lo aguda o grave que es (cuanto más larga,más grave). Por eso los violines emiten ondas de 30 o 40 centímetros, y el contrabajolas emite de más de 1 metro. Por eso un bebé nunca podrá cantar como un bajo obarítono en un coro. Lo mismo ocurre, por ejemplo, con el campo electromagnético:una antena solo emite ondas electromagnéticas que son como mucho del tamaño dela propia antena.Si en lugar de pulsar la cuerda a la mitad, la cuarta parte, etc. (octavas superiores,agudas) se apoya suavemente el dedo sobre la mitad, la cuarta parte, etc., lo que seobtiene es un armónico. Podemos decir que lo que Kimura obtiene para sacar delviolín las octavas inferiores son subarmónicos. Cualquiera que no estuviera avisadodiría que su pieza "Capricho para el segundo subarmónico" la tocan dos instrumentos(violín y violoncello). ¿Pero cómo lo hace?

Su respuesta nos deja, si cabe, más sorprendidos: "En realidad no sé qué es lo quehago" dice la violinista, que afirma que obtuvo el sonido a base de "prueba y error".Varios científicos de instituciones americanas y japonesas han intentado abordar elfenómeno, pero han abandonado tras varias pruebas. Sin embargo, el equipo deAlfred Hanssen de la Universidad de Tromsø en Noruega ha adquirido un compromisomás a largo plazo. La apuesta va por el camino de que Kimura desliza su arco sobrelas cuerdas según un comportamiento que en física llamamos no-lineal, dirigido y

amortiguado. Pertenece a esa parte de la ciencia tan joven (los sistemas no lineales)en la que la respuesta no siempre es proporcional al estímulo, sino que tiene un



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16 Hz. = 1 Hz. 15 Hz., 2 Hz. 14 Hz., 3 Hz. 13 Hz., 4 Hz. 12 Hz., 5 Hz. 11 Hz., 6 Hz. 10Hz., 7 Hz. 9 Hz., 8 Hz. 8 Hz.(16 Hz. umbral auditivo)(115, 214, 313, 412, 511, 610,79, 88, 97, 106, 115, 124, 133, 142, 151)…

32 Hz. = 1 Hz. 31 Hz., 2 Hz. 30 Hz., 3 Hz. 29 Hz., 4 Hz. 28 Hz., 5 Hz. 27 Hz., 6 Hz. 26

Hz., 7 Hz. 25 Hz., 8 Hz. 24 Hz., 9 Hz. 23 Hz., 10 Hz. 22 Hz., 11 Hz. 21 Hz., 12 Hz.20 Hz., 13 Hz. 19 Hz., 14 Hz. 18 Hz., 15 Hz. 17 Hz., 16 Hz. 16 Hz.(131, 230, 329, 428,527, 626, 725, 824, 923, 1022, 1121, 1220, 1319, 1418, 1517, 1616, 1715, 1814, 1913,2012, 2111, 2210, 239, 248, 257, 266, 275, 284, 293, 302, 311)…

Los subarmónicos que están dentro de cada frecuencia fundamental definen de formacategórica el subtimbre de cada una, es decir su esqueleto, sus órganos y susfunciones; mientras que los armónicos superiores que actúan en lo externo del cuerponumérico le otorgan su encarnadura tímbrica que sí puede ser variable.



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7. Polisuma entrecruzada

En todo número impar elevado al cuadrado y escrito cifra por cifra desde el 1 hasta elnúmero resultante de dicho cuadrado, estando dichos números ordenados en tantas

líneas como el cuadrado indique, la polisuma entrecruzada establece cuatrodirecciones de lectura que parten del a) (número diagonal izquierdo superior al númerodiagonal derecho inferior), b) (del número vertical central superior al número verticalcentral inferior), c) (del número diagonal derecho superior al número diagonal izquierdoinferior) y d) (del número horizontal central izquierdo al número horizontal centralderecho) que sumados independientemente en sus cuatro variables darán el mismoresultado.

Símbolo de la polisuma entrecruzada:

32 = 15

Fórmula de la polisuma entrecruzada:

n x 3 (n2 + 1) / 2 (fórmula de la polisuma entrecruzada)

32 = 15

3 x (9 + 1) / 2 = 15

1 + 5 + 9 = 15

3 + 5 + 7 = 15

2 + 5 + 8 = 15

4 + 5 + 6 = 1552 = 65

5 x (25 + 1) / 2 = 65



111

1 + 7 + 13 + 19 + 25 = 65

3 + 8 + 13 + 18 + 23 = 65

5 + 9 + 13 + 17 + 21 = 65

11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 65

72 = 175

7 x (49 + 1) / 2 = 175

1 + 9 + 17+ 25 + 33 + 41 + 49 = 175

4 + 11 + 18 + 25 + 32 + 39 + 46 = 175

7 + 13 + 19 + 25 + 31 + 37 + 43 = 175

22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 = 175

92 = 369

9 x (81 + 1) / 2 = 369

1 + 11 + 21+ 31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 = 369

5 + 14 + 23 + 32 + 41 + 50 + 59 + 68 + 77 = 369

9 + 17 + 25 + 33 + 41 + 49 + 57 + 65 + 73 = 369



112

37 + 38 + 39 + 40 + 41 + 42 + 43 + 44 + 45 = 369

3 x (9 + 1) / 2 = 15

5 x (25 + 1) / 2 = 65

7 x (49 + 1) / 2 = 175

9 x (81 + 1) / 2 = 369

11 x (121 + 1) / 2 = 671

13 x (169 + 1) / 2 = 1105

15 x (225 + 1) / 2 = 1695

17 x (289 + 1) / 2 = 2465

19 x (361 + 1) / 2 = 3439

99 x (9801 + 1) / 2 = 485.199…



113

8. Cuerpo Numérico

Un plano cartesiano (nombrado así en honor del matemático francés René Descartes,quien formalizo su uso en las matemáticas) está definido por dos líneas de númerosperpendiculares: el eje de las x , que es horizontal, y el eje de las y, que es vertical.Usando estos ejes, podemos describir cualquier punto en el plano usando una parejaordenada de números.El plano cartesiano se extiende infinitamente en todas direcciones. Para mostrar esto,los libros de matemáticas usualmente colocan flechas en los extremos de los ejes ensus dibujos.

Tomando como punto de partida el plano numérico tradicional con todos sus atributos,que como sabemos es de posición horizontal, Sergio Aschero propone insertar unsegundo plano perpendicular al anterior en posición de atravesar centradamente el

primer plano.



114

Esto implica un cambio espacial en la definición del campo aritmético que se define enprincipio con cuatro zonas: la del semiplano de los números racionales positivos(derecha), la del semiplano de los números racionales negativos (izquierda), la delsemiplano de los infranúmeros (abajo) y la del semiplano de los ultranúmeros (arriba).

En el campo numérico de Aschero, existen tres tipos de cero, todos ellos ubicados enel mismo punto de intersección de los dos planos: el lugar del cero tradicional.

Estos son: el cero tradicional en su posición conocida, el infra cero habilitante delespacio inferior (entrante) y el ultra cero que completa esta trilogía permitiendo el usodel espacio superior (saliente).



115

Con respecto a los infinitos, estos son cuatro: el infinito de los números realespositivos, el infinito de los números reales negativos, el infra infinito de losinfranúmeros reales y el ultra infinito de los ultranúmeros reales. El campo imaginariotambién se integra en el mismo modelo de cuatro variables.

Los infranúmeros con su capacidad de cuantificar las pérdidas y los ultranúmeros conla suya de establecer un lugar preciso para los números imposibles de fijar mediante la

matemática tradicional, hacen de esta dualidad algo similar a la capacidad del diosJano con su posibilidad de ver simultáneamente el ayer y el mañana.



116

El número cero ocupa un papel primordial en la historia del desarrollo de la abstracciónpor parte del ser humano. Aunque se dice que filosóficamente aparece en la culturade la India hace unos 17000 años, no es hasta hace alrededor de 1500 años que seincorpora como cifra en los cálculos matemáticos.

Lo primero que hay que decir sobre el cero es que hay dos usos para el cero, ambosextremadamente importantes, pero algo distintos. Un uso es como indicador de lugarvacío en nuestro sistema numérico de valor por posición. Así pues en un número como2106 el cero es usado para que las posiciones de 2 y de 1 sean correctas. Claramente216 significa algo bastante distinto. El segundo uso del cero es como un númeromismo en la forma que lo usamos como 0. Hay también otros aspectos distintos delcero en estos dos usos, a saber, el concepto, la notación y el nombre. (Nuestronombre "cero" deriva del árabe "sifr" el cual también nos da la palabra "cifra".)

Ninguno de los usos de arriba tiene una fácil descripción histórica. No sucedió quealguien inventó las ideas y entonces todo el mundo comenzó a usarlas. También es

justo decir que el número cero está lejos de ser un concepto intuitivo. Los problemas

matemáticos comenzaron como problemas "reales" más que como problemasabstractos. Los números en los primeros momentos de la historia eran concebidos deuna forma mucho más concreta que los abstractos conceptos que son nuestrosnúmeros de hoy.

Podemos ver de esto que el primer uso del cero para denotar un espacio vacío no esen realidad un uso del cero como número después de todo, sino meramente el uso dealgún tipo de signo de puntuación para que los números tengan una interpretacióncorrecta.Los antiguos griegos comenzaron sus contribuciones a las matemáticas sobre laépoca en la que el cero como indicador de posición vacía empezaba a usarse por losmatemáticos babilonios. Los griegos sin embargo no adoptaron un sistemanumérico posicional. Merece la pena pensar lo significativo que es este hecho. ¿Cómo



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podían con los brillantes avances matemáticos de los griegos no verlos adoptar unsistema numérico con las ventajas del sistema de valor por posición que poseían losbabilonios? La verdadera respuesta a esta pregunta es más sutil que la simplerespuesta que vamos a dar, pero básicamente los logros matemáticos griegos estabanbasados en la geometría. Aunque la obra Elementos de Euclides contenía un librosobre Teoría Numérica, este estaba basado en la geometría. En otras palabras, losmatemáticos griegos no necesitaban nombrar los números dado que trabajaban connúmeros como longitudes de una línea. Los números que requerían ser nombradoseran usados por los mercaderes, no por los matemáticos, y de aquí que nonecesitasen una notación clara.

Aunque existieron excepciones a lo que hemos afirmado. Las excepciones fueron losmatemáticos que estaban involucrados en el registro de datos astronómicos. Aquíencontramos el primer uso del símbolo que hoy reconocemos para el cero, losastrónomos griegos comenzaron a usar el símbolo O. Hay muchas teorías acerca depor qué se usó este símbolo en particular. Algunos historiadores están a favor de laexplicación de que es omicrón, la primera letra de la palabra griega para nada, es decir"ouden". Neugebauer, sin embargo, descarta esta explicación dado que los griegos yausaban omicrón como un número – representaba el 70 (el sistema numérico de losgriegos estaba basado en su alfabeto). Otra explicación ofrecida incluye el hecho deque significa "obol", una moneda sin casi valor, y que surge cuando se usaban fichaspara contar en una tabla de arena. La sugerencia aquí es que cuando se eliminabauna ficha para dejar una columna vacía el hueco en la arena parecía un O.

Ptolomeo en Almagest, escrito alrededor del 130 d.C, usó el sistema babiloniosexagesimal junto con el parámetro de vacío O. En esta época Ptolomeo usaba elsímbolo tanto entre dígitos como al final del número y uno estaría tentado a creer queal menos el cero como parámetro vacío se había establecido con firmeza.

Esto, sin embargo, está lejos de lo que sucedió. Solo unos pocos astrónomosexcepcionales usaron la notación y cayeron en desuso varias veces antes deestablecerse finalmente. La idea del lugar cero (ciertamente no concebido como unnúmero por Ptolomeo quien aún lo consideraba un signo de puntuación) hace susiguiente aparición en los matemáticos indios.

La escena ahora se mueve a la India donde es justo decir que nacieron los números ysistemas numéricos los cuales evolucionaron en los sistemas altamente sofisticadosque usamos hoy. Por supuesto, no hace falta decir que el sistema indio debía algo alos sistemas previos y muchos de los historiadores de las matemáticas creen que eluso indio del cero evolucionó del usado por los astrónomos griegos. Así como algunoshistoriadores parecen querer quitar importancia a la contribución de los indios de unaforma poco razonable, hay también quienes afirman que los indios inventaron el cero,lo que me parece ir demasiado lejos.

Lo cierto es que alrededor del año 650 d.C el uso del cero entró en la matemática

india. Los indios usaron también un sistema de valor por posición y el cero se usabapara denotar un lugar vacío.



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Alrededor del 500 d.C, Aryabhata ideó un sistema numérico que no tenía aún el cero yque era un sistema posicional. Usó la palabra "kha" para la posición y sería usado mástarde como nombre para el cero. Hay pruebas de que se había usado el punto en losprimeros manuscritos indios para denotar un espacio vacío en la notación posicional.Es interesante que los mismos documentos a veces también usen un punto paradenotar algo desconocido donde nosotros usaríamos x .

El brillante trabajo de los matemáticos indios fue transmitido a los matemáticos árabese islámicos.

Es importante hacer notar en este punto que hubo otra civilización que desarrolló unsistema numérico de valor por posición con el cero. Fueron los mayas, que vivieron enCentro América. Esta fue una antigua civilización que floreció particularmente entre el250 y 900. Sabemos que sobre el 665 usaron un sistema numérico de valor porposición de base 20 con un símbolo para el cero. Sin embargo, su uso del cero ibamás allá de esto y estaba en uso antes de que lo introdujesen en el sistema numéricode valor por posición. Esto es un notable éxito pero desgraciadamente no influenció aotras culturas.

Fibonacci fue una de las principales personas en traer estas nuevas ideas sobresistemas numéricos a Europa. Se considera que fue un importante nexo entre elsistema numérico Arábico-Hindú y el de los matemáticos europeos.En Liber Abaci describe los nueve símbolos indios junto con el signo 0 para loseuropeos alrededor del año 1200 pero no fue usado ampliamente hasta bastantetiempo después. Es significativo que Fibonacci no fue lo bastante audaz como paratratar el 0 de la misma forma que al resto de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dado que

habla de la "marca cero" mientras que al resto de símbolos los llama números. Aunquetraer los números indios a Europa fue claramente de una gran importancia podemosver en su tratamiento del cero no alcanzó el mismo nivel de los indiosBrahmagupta, Mahavira y Bhaskara ni la de los matemáticos árabes e islámicos comoAl-Samawal.

El infranúmero es un nuevo concepto matemático que determina la diversidad de lo noexistente, actuando como una alternativa eficaz y lógica ante la invariabilidad del cerotradicional que no tiene en cuenta el desarrollo de las diversas operaciones quefinalizan o pasan por él.Desde el momento en que existe un dato distinto a la nada (singularidad irrepetible),

contamos con una energía numeral que llegará a ser infranumeral en el caso de lograrsu completa interferencia con las operaciones lógicas del sistema.

El infranúmero es la energía resultante de una operación de interferencia total, con lainterferencia parcial se está dentro de la zona numeral o ultranumeral.

El infranúmero determina una nueva noción matemática de fundamental importanciacon el fin de poder operar sobre cantidades de elementos que expresan medidas deentidades no materiales.

Es energía cuantificada neutra surgida de todas las pérdidas operativas.

Se considera físicamente interferencia cuando dos ondas se superponen en oposiciónde fase.



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Si las ondas son de igual frecuencia y amplitud, la interferencia resulta total,(infranúmero).

Desde el punto de vista acústico, si se colocan dos tubos de órgano iguales,supongamos que de una frecuencia de 256 Hz. cada uno; acoplados a la misma caja

de aire y se sopla en ambos, no oiremos un sonido más fuerte, sino sólo el aire queescapa.

También un haz de luz viene a estar compuesto por un tren de ondas. Cuando doshaces luminosos de iguales características chocan entre sí, su energía se interfiereprovocándose la oscuridad; pero la energía no ha desaparecido.

Una de las reglas fundamentales de la física dice que la energía no puededesaparecer.

Tal es la ley de conservación de la energía.

En el fenómeno de la interferencia hay una energía que ha dejado de existir en formade luz.

Por tanto, tiene que aparecer una cantidad exactamente igual de energía en otra formadistinta; y en este caso es el calor.

Supongamos que damos cuerda al resorte de un reloj; ahora contiene más energíaque cuando estaba distendido.

A continuación disolvemos el resorte todavía tenso, en un ácido. ¿Qué ocurre con laenergía?

También aquí se convierte en calor.

Si empezamos con dos soluciones ácidas a la misma temperatura y disolvemos enuna de ellas el muelle distendido y en la otra un muelle tenso (por lo demás idénticos),la segunda solución tendrá al final una temperatura mayor que la primera.

La propia materia es una forma de energía.

Cuando las matemáticas entiendan al número como energía (es decir cuando lasmatemáticas y la física se unifiquen matecinéticamente), se descubrirá que el cero y el

infinito son dos conceptos inútiles en cualquier operación lógica por su propiacondición inabarcable.

Por otro lado, el lenguaje matemático incurre algunas veces en inexactitudes debido asu limitada capacidad para representar ciertos resultados.

Esto se soluciona en parte al incorporar la serie infranumeral.

Todo movimiento que salga, pase o llegue por el punto infranumeral es algo que debeser medido con exactitud.

5 – 5 = 5 (cinco menos cinco es igual a infra cinco)



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Los socráticos asociaban a la idea de infinito a algo malo, perverso. El infinito no soloera lo descomunal, enormemente grande, lo indefinido, sino que estaba asociado aidea negativa de desorden de caos, lo imperfecto.

En la Grecia clásica se utilizaba la expresión apeiron que significa sin fin, sin límite, lo

infinito, lo ilimitado o lo carente de definición, sin medida. Por tanto, se podíainterpretar que en el apeiron destacan connotaciones éticas como el caos.

Algunos autores veían en el concepto de infinito la idea aniquilación o absorción.

El concepto de infinito desde la perspectiva filosófica ha sido ampliamente discutidopues induce a contradicciones y paradojas, desde Euclides, (el todo no es mayor quelas partes), la paradoja de Zenon (¿cómo recorrer una infinidad de mitades en untiempo finito?) o la Russell (el conjunto de conjuntos que no pertenecen a sí mismo). Oel Hotel de Hilbert.

El símbolo atribuido a infinito fue introducido por el matemático inglés John Wallis en1655. Posee la forma de la Lemniscata de Bernoulli, aunque realmente se desconocede dónde Wallis sacó la idea. Muchos comentan que tiene la forma de una cinta deMoebius, pero no es cierto, ya que el descubrimiento de August Moebius fue posterior.

La idea del infinito actual surge al considerarlo como una unidad. Esto es, tenemosuna (en el sentido de unidad) "cosa" que es infinitamente grande o numerosa, comolos números naturales o los números múltiplos de 27. Lo tratamos como si fuese unelemento que surge al superar la idea del límite. Aparece cuando ya hemos llegado,cuando tenemos el total.

Esta idea nos crea dificultades pues no tenemos un infinito, sino muchos, lo quesupone dificultades para la comparación y en definitiva para la medición. En efecto,admitiendo la existencia del infinito actual, pues muchos matemáticos la negaron -como por ejemplo Cauchy, Gauss-, es fácil demostrar que tenemos varios infinitos, loque implica que unos son diferentes de otros y, por tanto, de distintos tamaños. Estoes, tendremos unos infinitos mayores que otros.

De manera intuitiva, si consideramos los números múltiplos de 27 y los númerosnaturales, ambos son infinitos, aunque "parece" que el primero es 27 veces máspequeño que el segundo, sin embargo, ambos son infinitamente grandes.

En términos lógicos podríamos decir que el segundo está contenido en el primero y,teniendo en cuenta el postulado de Euclides, que establece que el todo es mayor quelas partes, ambos infinitos deberían ser distintos, pero no lo son, pues tienen el mismotamaño. Llamamos tamaño de un conjunto a su cardinal, y el cardinal de ambosconjuntos es el mismo, como demostró Cantor.

El razonamiento de Cantor es simple. Basta con comprobar que se puede estableceruna correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números naturales y elconjunto de los múltiplos de 27, de manera que estos conjuntos son equipolentes(tienen el mismo número cardinal). De la misma forma se pueden numerar los puntosde una semicircunferencia o los puntos de una recta.



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Las ideas de Cantor de que había unos infinitos más infinitos que otros, además dellevar al escándalo, condujo a la formalización y ampliación de ciertos conceptos comoel de cardinalidad y ordinalidad.

Así como el infranúmero cuestiona la existencia del cero como único símbolo

representativo de la nada, el ultranúmero actúa como símbolo inverso de aproximaciónal concepto del todo, identificado tradicionalmente por el infinito y en el modelo deAschero con el ultra cero. Un mismo punto bidireccional de polo positivo y negativo,origina y finaliza lo incontable, que se extiende más allá y más acá de toda serienumérica, tanto como se desee. Si el número avanza, el ultranúmero retrocede y en lamedida que se aleja su magnitud decrece, con lo cual se invierten todas lasoperaciones aritméticas. Con el número y el infranúmero se cuenta, con el ultranúmerose descuenta. El absoluto es mensurable mediante el ultra cero, y así se define uno delos límites que ayuden de una vez por todas a solucionar alguno de los enigmas ycontradicciones más importantes del lenguaje matemático. Para esto se establece laserie ultranumeral.

Es tan lógico contar a partir de la nada como descontar a partir del todo.

Cada ultranúmero que proceda del todo es algo que debe ser medido con exactitud,para así establecer su magnitud, que tiene una progresión decreciente en la medidaque se aleja de su punto de partida: el ultra cero.

La serie ultranumeral es ilimitada y se utiliza indistintamente para los ultranúmerosreales y los imaginarios.

1 : 0 = 1 (uno dividido cero es igual a ultra uno)

De esta forma la Ecuación de Wallis se resuelve: ultra uno es el uno más grande queexiste ya que es el número uno más próximo al ultra cero. En cambio, lo que esimposible de determinar es el ultranúmero menor (el de mayor cantidad de cifras).

La frontera (o el puente) que vincula a los números con los ultranúmeros para permitirel traspaso entre ambos es (por ahora) el gúgolduplex.



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El gúgolduplex es uno de los números más grandes a los que se puso nombre. Asícomo una hoja de papel lo suficientemente grande como para escribir todos los cerosde un gúgolplex es más grande que el universo conocido, entonces, una hoja de papello suficientemente grande como para escribir un gúgolduplex sería más grande que ungúgolplex de universos como el nuestro.

Para la recta numérica el gugoldúplex es un meganúmero finito, y al pasar dichafrontera se convierte en un ultranúmero muy pequeño, por la ley de la inversión que elmundo ultranumeral establece, determinando que los ultranúmeros más grandes,poseen las cifras más pequeñas:

Veamos ahora la serie de los primeros veintiséis ultranúmeros primos, empezando porel mayor (ultra uno) y finalizándola con el menor de ellos (ultra noventa y siete).

1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

Si no se considera al número uno como primo y sí al número dos, evidentemente elnúmero primo más grande es ultra dos.



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Tacto

El tacto, es uno de los sentidos de los seres humanos y de otros animales. A travésdel tacto, el cuerpo percibe el contacto con las distintas sustancias, objetos, etc. Losseres humanos presentan terminaciones nerviosas especializadas en la piel, que sellaman receptores del tacto. Estos receptores se encuentran en la epidermis (capamás externa de la piel) y transportan las sensaciones hacia el cerebro a través de lasfibras nerviosas. Hay sectores de la piel que poseen mayor sensibilidad ya que elnúmero de receptores varía en toda la piel.Los receptores del tacto están constituidos por los discos de Merkel, que se subdividenen las siguientes categorías:

Corpúsculos de Pacini: se ubican en la zona profunda de la piel, sobre todo en losdedos de las manos y de los pies. En general son poco abundantes. Detectanpresiones y deformaciones de la piel, y sus estímulos duran poco.

Terminaciones nerviosas libres: están en casi todo el cuerpo y se especializan ensentir el dolor.

Terminaciones nerviosas de los pelos: sensibles al tacto. La mayoría de los pelos sonde este tipo.



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Corpúsculo de Meissner: se encuentran en las papilas dérmicas, abundantes en losextremos de los dedos, los labios, la lengua, etc. Se ubican en la zona superficial de lapiel y se especializan por el tacto fino.

Corpúsculos de Krause: presentes en la superficie de la dermis y son sensibles al frío,se ubican en especial en la lengua y en los órganos sexuales.

Corpúsculo de Rufino: son poco numerosos, alargados y profundos, son sensibles alcalor.

La piel:Es una parte muy importante del organismo que protege y cubre la superficie delcuerpo. Contiene órganos especiales que suelen agruparse para detectar las distintassensaciones como la temperatura y dolor.

El uso activo del tacto para "buscar y adquirir información" ha sido denominado "tactoháptico". El "sistema háptico" ha sido definido como un sistema perceptual distintivo

orientado a la discriminación y al reconocimiento de objetos manipulándolos en lugarde mirarlos.

Braille

El Braille, es el sistema utilizado por las personas ciegas, para poder leer. Este, unsistema de escritura, funciona por medio de caracteres en relieve para permitir leerusando los dedos de la mano.

Cada uno de estos caracteres o células, contiene seis posiciones de puntos,

posicionados en rectángulos, los cuales se encuentran en dos columnas de trespuntos cada una. Cada uno de estos puntos, pueden ser levantados (darles relieve),para que con los dedos, la persona no vidente pueda sentir esta protuberancia.Cuando no hay ningún relieve, significa que existe un espacio.

La primera columna contiene los números del 1 al 3. Y la segunda, la que estáposicionada a la derecha, contiene los números del 4 al 6. Para ir desarrollando lasletras y los números, se realizan distintas combinaciones de relieve, con los diferentespuntos existentes.



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Las 10 (diez) cifras arábigas (del 0 al 9) se representan por medio de los 10 primerossignos del alfabeto anteponiéndole el signo de número, que se forma con los puntos(3-4-5-6)

Signo en Tinta Descripción

1 (1)

2 (1-2)

3 (1-4)

4 (1-4-5)

5 (1-5)

6 (1-2-4)



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Ej.: 1

Ej.: 12

Ej.: 153

Cuando un número tiene más de tres cifras, éstas se separan con un punto,comenzando por las unidades. Para ello se utiliza el punto (3)

Ej.: 1.079

7 (1-2-4-5)

8 (1-2-5)

9 (2-4)

0 (2-4-5)



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INDICE

1. Una mirada desprejuiciada sobre el sistema de numeración (2)

2. La genetización numérica (14)

3. La identiplicación numérica (19)

4. Modelo decimal (41)

5. El nonúmero (91)

6. Números armónicos inmanentes (97)

7. Polisuma entrecruzada (109)

8. Cuerpo Numérico (112)

9. Tactomatemática (123)

+ matemática x aschero

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