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EL NMERO DE OROUn nmero nada fcil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la

naturaleza y desde la poca griega hasta nuestros das en el arte y el diseo. Es elllamado nmero de oro (representado habitualmente con la letra griega ) o tambinseccin urea, proporcin urea o razn urea.

Tres nmeros con nombre.

La seccin urea y el nmero de oro.

El rectngulo ureo.

Pitgoras y el nmero de oro.

La sucesin de Fibonacci.

El nmero de oro en el arte, el diseo y la naturaleza.

La trigonometra y el nmero de oro.

Curiosidades ureas.

Tres nmeros con nombreHay tres nmeros de gran importancia en matemticas y que "paradjicamente"

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nombramos con una letra. Estos nmeros son:E l nmero designado con la letra griega = 3,14159....(Pi) que relaciona la

longitud de la circunferencia con su dimetro ( Longitud = 2. .radio= .dimetro).

E l nmero e = 271828......, inicial del apellido de su descubridor LeonhardEuler (matemtico suizo del siglo XVIII) que aparece como lmite de la sucesinde trmino general .

E l nmero designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado nmero deoro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presenteen sus obras.

Los tres nmeros tienen infinitas cifras decimales y no son peridicos (sus cifrasdecimales no se repiten peridicamente). A estos nmeros se les llama irracionales.Cundo se utilizan se escriben solamente unas cuantas cifras decimales (en los tresejemplos de arriba hemos tomado 5).

U na diferencia importante desde el punto de vista matemtico entre los dosprimeros y el nmero de oro es que los primeros no son solucin de ninguna ecuacinpolinmica (a estos nmeros se les llama trascendentes), mientras que el nmero de orosi que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de la ecuacin de segundo grado

es que da como resultado el nmero de oro.

La seccin urea y el nmero de oro

La seccin urea es la divisin armnica de una segmento en media y extrema razn.Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. De


esta manera se establece una relacin de tamaos con la misma proporcionalidad entreel todo dividido en mayor y menor. Esta proporcin o forma de seleccionarproporcionalmente una lnea se llama proporcin urea.

Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la divisin indicadaanteriormente

Aplicando la proporcin urea obtenemos la siguiente ecuacin que tendremos queresolver

Una de las soluciones de esta ecuacin (la solucin positiva) es x= .

Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el segmentomayor entre el menor,

Es decir, la relacin entre las dos partes en que dividimos el segmento es el nmerode oro.


El rectngulo ureoDibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos

con uno de los vrtices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial,de esta manera obtenemos el lado mayor del rectngulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectngulovale por lo que la proporcin entre los dos lados es (nuestro nmero deoro).

Obtenemos as un rectngulo cuyos lados estn en proporcin urea. A partir deeste rectngulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, sehan utilizando en arquitectura (Partenn, pirmides egipcias) y diseo (tarjetas decrdito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...).

Una propiedad importante de los tringulos ureos es que cuando se colocan dosiguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vrtice C.

En efecto, situemos los rectngulos en unosejes de coordenadas con origen en el punto A.


Las coordenadas de los tres puntos sernentonces:

Vamos a demostrar que los vectores y sonproporcionales:

Por lo tanto, los tres puntos estn alineados.

Pitgoras y el nmero de oroPitgoras (c. 582-c. 500 a.C.), filsofo y matemtico griego, naci en la isla de

Samos. Fue instruido en las enseanzas de los primeros filsofos joniosTales de Mileto, Anaximandro y Anaxmenes. Se dice que Pitgorashaba sido condenado a exiliarse de Samos por su aversin a la tiranade Polcrates. Hacia el 530 a.C. se instal en Crotona, una coloniagriega al sur de Italia, donde fund un movimiento con propsitosreligiosos, polticos y filosficos, conocido como pitagorismo. La

filosofa de Pitgoras se conoce slo a travs de la obra de sus discpulos.L os pitagricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los

enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia deconsumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hbito delautoanlisis. Los pitagricos crean en la inmortalidad y en la trasmigracin del alma.Se dice que el propio Pitgoras proclamaba que l haba sido Euphorbus, y combatido


durante la guerra de Troya, y que le haba sido permitido traer a su vida terrenal lamemoria de todas sus existencias previas.

Entre las amplias investigaciones matemticas realizadas por los pitagricos seencuentran sus estudios de los nmeros pares e impares y de los nmeros primos y delos cuadrados, esenciales en la teora de los nmeros. Desde este punto de vistaaritmtico, cultivaron el concepto de nmero, que lleg a ser para ellos el principiocrucial de toda proporcin, orden y armona en el universo. A travs de estos estudios,establecieron una base cientfica para las matemticas. En geometra el grandescubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teoremad e Pitgoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un tringulorectngulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Una revuelta provocada en Crotona, por una asociacin de ideas contrarias a laspitagricas, termin con el incendio de la sede. Se cree que Pitgoras se vio obligado ahuir de Crotona y muri en Metaponto. La persecucin de los pitagricos provoc elxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la difusin de las ideas pitagricas.

L a estrella pentagonal o pentgono estrellado era, segn latradicin, el smbolo de los seguidores de Pitgoras. Lospitagricos pensaban que el mundo estaba configurado segn unorden numrico, donde slo tenan cabida los nmeros fraccionarios.La casualidad hizo que en su propio smbolo se encontrara unnmero raro: el numero de oro.

Por ejemplo, l a relacin entre la diagonal del pentgono y sulado es el nmero de oro.


Tambin podemos comprobar que los segmentos QN, NP yQP estn en proporcin urea.

Ver la seccin La trigonometra y el nmero de oro.

La sucesin de FibonacciConsideremos la siguiente sucesin de nmeros:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Cada nmero a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por

ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 ser 34 + 21 = 55. Esta sucesin es la llamada "sucesin de Fibonacci"*.*Es el sobrenombre con el que se conoci al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240).

Viaj por el Norte de frica y Asia y trajo a Europa algunos de los conocimientos de la culturarabe e hind, entre otros la ventaja del sistema de numeracin arbigo (el que usamos) frente alromano.

L a sucesin de Fibonacci presenta diversas regularidades numricas. Para queresulte ms sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen engeneral) y hemos calculado los primeros catorce trminos de esta sucesin:

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 t141 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377


Si sumas los cuatro primeros trminos y aades 1, te sale el sexto (1+1+2+3 +1 = 8). Si sumas los cinco primeros trminos y aades 1, te sale el sptimo(1+1+2+3+5 + 1 = 13).

Si sumas los tres primeros trminos que ocupan posicin impar (t1,t3,t5) sale elsexto trmino (t6), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro primeros trminos que ocupanposicin impar (t1,t3,t5,t7) sale el octavo trmino (t8), (1+2+5+13 = 21).

Si sumas los tres primeros trminos que ocupan posicin par (t2,t4,t6) y aades1, sale el sptimo trmino (t7), (1+3+8 + 1 =13). Si sumas los cuatro primerostrminos que ocupan posicin par (t2,t4,t6,t8) y aades 1, sale el noveno trmino(t9), (1+3+8+21 + 1 =34).

An las hay ms difciles de imaginar! Tomemos dos trminos consecutivos, por ejemplo: t4= 3 y t5=5; elevando al

cuadrado y sumando: 32+52=9+25=34 que es el noveno (4+5) trmino de lasucesin. Tomando t6= 8 y t7=13; elevando al cuadrado y sumando:82+132=64+169=233 que es el (6+7) decimotercer trmino de la sucesin.

Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros trminos y los sumamos, sale elproducto del quinto y el sexto trmino: 12+12+22+32+52=40=5*8. Si hacemos lomismo para los seis primeros trminos, sale el producto del sexto y el sptimo


trmino:12+12+22+32+52+82=104=8*13.

Y quizs la ms sorprendente sea la siguiente propiedad. Dividamos dostrminos consecutivos de la sucesin, siempre el mayor entre el menor y veamos loque obtenemos:

1 : 1 = 1 2 : 1 = 2 3 : 2 = 15 5 : 3 = 166666666 8 : 5 = 16 13 : 8 = 1625 21 :13 = 16153846.... 34 :21 = 16190476.... 55 :34 = 16176471.... 89 :55 = 16181818....

Al tomar ms trminos de la sucesin y hacer su cociente nos acercamos al nmerode oro. Cuanto mayores son los trminos, los cocientes se acercan ms a =1,61803....En lenguaje matemtico,

Efectivamente,


El nmero de oro en el arte, el diseo y la naturalezaEl nmero ureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas,

objetos, partes de nuestro cuerpo, ...Un ejemplo de rectngulo ureo en el arte es el alzado del Partenn griego.

En la figura se puede comprobar que AB/CD= . Hay ms cocientes entre susmedidas que dan el nmero ureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA= .

Hay un precedente a la cultura griegadonde tambin apareci el nmero de oro.E n La Gran Pirmide de Keops, elcociente entre la altura de uno de los trestringulos que forman la pirmide y el ladoes 2 .

Y a vimos que el cociente entre la diagonal

de un pentgono regular y el lado de dichopentgono es el nmero ureo. En un pentgonoregular est basada la construccin de la


Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.

E j e m p l o s derectngulos ureos los podemos encontrar en las tarjetas decrdito, en nuestro carnet de identidad y tambin en lascajetillas de tabaco.

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y

romanos, las plasm en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvi para ilustrar el libro LaDivina Proporcin de Luca Pacioli editado en 1509.

En dicho libro se describen cuales hande ser las proporciones de lasconstrucciones artsticas. En particular,Pacioli propone un hombre perfecto en elque las relaciones entre las distintaspartes de su cuerpo sean proporcionesureas. Estirando manos y pies y haciendocentro en el ombligo se dibuja lacircunferencia. El cuadrado tiene por ladola altura del cuerpo que coincide, en uncuerpo armonioso, con la longitud entrelos extremos de los dedos de ambas manoscuando los brazos estn extendidos yformando un ngulo de 90 con el tronco.Resulta que el cociente entre la altura delhombre (lado del cuadrado) y la distanciadel ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el nmero ureo.


El cuadro de Dal Leda atmica,pintado en 1949, sintetiza siglos detradicin matemtica y simblica,especialmente pitagrica. Se trata deuna filigrana basada en la proporcinurea, pero elaborada de tal forma queno es evidente para el espectador. Ene l boceto de 1947 se advierte lameticulosidad del anlisis geomtricorealizado por Dal basado en elpentagrama mstico pitagrico.

E n la naturaleza, aparece la proporcin urea tambin en elcrecimiento de las plantas, las pias, la distribucin de las hojas en untallo, dimensiones de insectos y pjaros y la formacin de caracolas.

La espiral logartmicaSi tomamos un rectngulo ureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado

es el lado menor AD del rectngulo, resulta que el rectngulo EBCF es ureo. Sidespus a ste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectngulo resultante HGCF tambines ureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obtenindose una sucesinde rectngulos ureos encajados que convergen hacia el vrtice O de una espirallogartmica.


Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atencin de matemticos,artistas y naturalistas. Se le llama tambin espiral equiangular (el ngulo de corte delradio vector con la curva es constante) o espiral geomtrica (el radio vector crece enprogresin geomtrica mientras el ngulo polar decrece en progresin aritmtica). J.Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llam spira mirabilis, rogando que fueragrabada en su tumba.

La espiral logartmica vinculada a los rectngulos ureos gobierna el crecimientoarmnico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas demoluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo msvisualmente representativo es la concha del nautilus.

La trigonometra y el nmero de oroConsideremos un pentgono regular en el cual se han dibujado las diagonales. En esta

figura slo aparecen tres ngulos diferentes. Miden 36, 72y 108. La relacin entre estos ngulos es la siguiente: 72 es eldoble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tiposdiferentes de tringulos issceles, de los cuales seleccionamostres: los tringulos ABE, ABF y AFG. El resto de tringulosson semejantes a alguno de estos y no aportan informacin


son semejantes a alguno de estos y no aportan informacinadicional. Finalmente, hay cuatro segmentos diferentes en

estos tringulos, que llamaremos: BE=a, AB=AE=b, AF=BF=AG=c y GF=d. Las longitudesde estos segmentos cumplen: a>b>c>d.

Consideremos cada uno de estos tringulos por separado y apliquemos el teorema delseno.

Tringulo ABE

Tringulo ABF

Tringulo AFG

Como 72=180-108, se verifica que sen72=sen108.


En consecuencia podemos establecer las siguientes proporciones:

Es decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de mayor amenor, la razn entre cada una de ellas y la siguiente es constante e igual a nuestronmero de oro.

Tomando la primera de las proporciones, teniendo en cuenta que c=a-b y haciendob=1:

(el numero de oro)

Es decir, dos de estos segmentos consecutivos cumplen la proporcin urea.

Como consecuencia, se verifica .

Curiosidades ureasPotencias. Los nmeros guardan unas curiosas relaciones entre si.

Efectivamente, podemos deducirlas a partir de la ecuacin que tienecomo solucin el nmero de oro:


Potencias 2 . Consideremos la sucesin de trmino general: . Si calculamoslos primeros trminos, podemos observar una curiosa relacin entre ellos. Calculandoprimero algunas potencias

podemos concluir que la sucesin dada se convierte en

Evidentemente, cada trmino a partir del tercero se puede obtener sumando los dosanteriores. Lo curioso es que esta relacin es la misma que se verifica en la sucesin deFibonacci.

Limites. Comprobemos que los siguientes lmites dan como resultado el nmero deoro: 1 2

1. Llamemos "L" al valor del lmite. Fcilmente se comprueba que se verifica la

ecuacin . Elevando al cuadrado los dos miembros y pasando todos los trminosa la izquierda se obtiene la ecuacin final . Una de las soluciones de estaecuacin es nuestro nmero de oro .

2. Sea "M" el valor del lmite. Se comprueba la relacin . Quitandodenominadores y pasando todos los trminos a la izquierda se obtiene la ecuacin


cuya solucin positiva es el nmero de oro.Pgina creada por Ignacio A. Langarita Felipe

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