hoja ejercicios cálculo 2
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ
Estudios Generales Ciencias
Cálculo 1
Material Complementario
Funciones. Dominio. Rango. Gráfica
Asumimos que el estudiante de Cálculo 1 tiene conocimiento de las funciones elementales, tales
como: las polinomiales, trigonométricas, valor absoluto, exponenciales, logarítmicas, racionales y
la combinación de estas funciones para dar origen a otras funciones.
1. Determine el dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones:
a) f(x) = −2x2 + 8x− 4.
b) f(x) = |5− x2|.
c) f(x) =√x2 − 16.
d) f(x) = −√6− 2x.
e) f(x) =
2− x
x− 3, x = 3
2, x = 3.
2. Sea
f(x) =1
2(ax + a−x), a > 0.
Verifique que
f(x+ y) + f(x− y) = 2f(x)f(y).
3. Sea f(x) = senx− cosx. Demuestre que f(1) > 0.
4. Sea f(x) = ax. Demuestre que ∀x, y ∈ R se cumple:
a) f(−x)f(x)− 1 = 0.
b) f(x).f(y) = f(x+ y).
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5. Determine el dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones:
a) f(x) =x2
1 + x.
b) f(x) = ln(x2 − 4).
c) f(x) =√x
sen(πx).
d) f(x) = arc sen
(2x
1 + x
).
e) f(x) = cot(πx) + arc cos(2x).
6. Sea Ex ⊂ Dom(f ), donde y = f(x) es una función.
Halle el conjunto Ey, imágenes de los x ∈ Ex mediante la función y = f(x).
Gráfique al conjunto Ey.
a) y = x2, Ex = {−1 ≤ x ≤ 2}.
b) y = log(x), Ex = {10 < x < 1000}.
c) y = 1π arctan(x), Ex = R.
d) y = |x|, Ex = {1 ≤ |x| ≤ 2}.
Función. Par. Impar. Monótona
7. Determine cuáles de las siguientes funciones son pares y cuáles son impares:
a) f(x) = 3x− x3;
b) f(x) = ax + a−x, a > 0, a = 1;
c) f(x) = ln
(1− x
1 + x
)− 1 < x < 1;
d) f(x) = 3√
(1− x)2 + 3√
(1 + x)2;
8. Demuestre que f(x)+ f(−x) es una función par y que f(x)− f(−x) es una función impar.
9. Demuestre que toda función f , definida en el intervalo ] − a, a[, a > 0, se puede expresar
como la suma de una función par y una función impar.
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10. Dada la función f , halle una nueva función g, que cumpla con las siguientes condiciones:
g(x) = f(x),∀x ∈ D(f)
y g sea:
par
impar
a) f(x) = x2 + 2x, 0 < x ≤ 2
b) f(x) =
x2 − 2x+ 1; 0 < x ≤ 1
0; 1 < x ≤ 2
11. Determine los intervalos de monotonía de las siguientes funciones:
a) f(x) = ln(x2 − 4).
b) f(x) =√4− x2.
c) f(x) = 1− e−x.
d) f(x) = − arc sen(1 + x).
e) f(x) = arctan(x).
Algebra de funciones
12. Sean las funciones
f(x) = −x2, x ∈ [−2, 3]
g(x) = |2x− x2|, x ∈ [−2, 4]
h(x) =√2x+ 1.
a) Grafique la función g.
b) Halle la regla de correspondencia y su dominio de: f/g y h/g .
13. Demuestre que el producto de dos funciones impares es par.
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Transformación de unciones
14. Construya la gráfica de las siguientes funciones:
a) y = π2 − arc cos(2x)
b) y = 1 + arctan(2x)
c) y = arc sen(1−x4 )
15. Construya la gráfica de la función exponencial compuesta
y = ey1
si:
a) y1 = x2
b) y1 = −x2
c) y1 =1
x2
16. Sea
f(x) =
1− |x|, |x| ≤ 1;
0, |x| > 1.
Construya las gráfica de la función
y =1
2[f(x− t) + f(x+ t)]
para: t = 0, t = 1 y t = 2.
17. Aplicando la regla de la suma de las gráficas, construye la gráfica de las siguientes funciones:
a) y = x2 + 2x
b) y = x+ sen(x)
c) y = x+ e−x
d) y = x+ arctan(x)
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18. Esboce la gráfica de las siguientes funciones:
a) f(x) = |x| sen(x).
b) f(x) = x2 sen2(x).
c) f(x) = sen2( 1x).
d) f(x) =sen(x)
x.
e) f(x) =sen(x)
1 + x2.
f ) f(x) = x sen( 1x).
19. Construya la gráfica de las funciones dadas en forma paramétrica, si:
a) x = 1− t, y = 1− t2
b) x = t+1
t, y = t+
1
t2
c) x = 2(t− sen(t)), y = 2(1− cos(t)), (cicloide).
d) x = 10 cos(t), y = sen(t)
20. Resuelva aproximadamente la ecuación
x3 − 3x+ 1 = 0
construyendo para ello la gráfica de la función f(x) = x3 − 3x+ 1
21. Resuelva gráficamente las siguientes ecuaciones (ver problema 20).
a) x3 − 4x− 1 = 0;
b) x = 2−x
c) 10x = x2
d) tanx = x, 0 ≤ x ≤ 2π
Función inversa
22. Construya la gráfica de la función
y = arc sen y1
si:
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a) y1 = 1− x
2
b) y1 =1− x
1 + x
c) y1 = ex
23. Sean las funciones f con sus respectivos dominios.
Pruebe que son inyectivas.
Determine la función inversa con su respectivo dominio.
a) f(x) = x2, −∞ < x ≤ 0
b) f(x) =1− x
1 + x, x = −1
c) f(x) =ex − e−x
ex + e−x, −∞ < x < +∞
d) f(x) =
x; −∞ < x < 1
x2; 1 ≤ x ≤ 4
2x; 4 < x < +∞
24. Dada la función
f(x) =
(x+ 1)2 + 2; x ≤ −1
arctan(x+ 1); x > −1
a) Demuestre que f es inyectiva.
b) Halle la regla de correspondencia de f−1 y su dominio.
c) Grafique en un mismo sistema de coordenadas f y f−1.
25. Dada la función
f(x) =
ln(x− 1); x ≥ 2
6x− x2 − 10; x < 2
a) Demuestre que f es inyectiva.
b) Halle la regla de correspondencia de f−1 y su dominio.
c) Grafique en un mismo sistema de coordenadas f y f−1.
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Modelos matemáticos
26. Un cono circular recto de dimensiones r y h se inscribe en una esfera de radio R. Exprese
el volumen del cono como función de h.
27. Un tirángulo isósceles de base a y altura h lleva inscrito un rectángulo tal como se muestra
en la figura. ¿Cuál debe ser la altura del rectángulo para que su superficie sea la mayor
posible?
a
h
28. En una esfera de radio R se circunscribe un cono circular recto de dimensiones r y h.
a) Exprese el volumen del como función de h.
b) Halle el área de la superficie total del cono como función de r.
29. Debe construirse una caja rectángular sin tapa, de un trozo rectángular de cartón de
dimensiones 12 por 18 cm. Para ello se recortan cuadrados iguales de lado x en las 4
esquinas y a continuación se doblan los lados hacia arriba. Exprese el volumen de la caja
como función de x.
30. En condiciones ideales, cierta población de bacterias se duplica cada 4 horas. Suponiendo
que inicialmente existen 200 bacterias.
a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas?
b) Estime el tiempo para que la población llegue a 50.000 bacterias.
c) Grafique la población en función al tiempo.
31. Un cono recto dado lleva inscrito un cilindro de manera que los planos y los centros de las
bases circulares del cilindro y del cono coinciden. ¿Cuál debe ser la relación de los radios
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de las bases del cilindro y del cono para que la superficie lateral del cilindro sea la mayor
posible?
32. En la recta L : y = x+ 2 halle un punto tal que la suma de los cuadrados de la distancia
que media entre éste y las rectas L1 : 3x− 4y + 8 = 0 y L2 : 3x− y − 1 = 0 sea la menor
posible.
33. Sea un cono recto circular cuyo radio de base es igual a R y su altura H. Lleva inscrito un
cilindro de manera que los planos y los centros de las bases circulares del cono y del cilindro
coinciden. ¿Cuál debe ser el radio del cilindro para que la superficie total del mismo sea la
mayor posible? Considere los casos H > 2R y H ≤ 2R.
Problemas varios
34. Esboce la gráfica de las siguientes funciones con el apoyo de una computadora:
a) f(x) = sen( 1x).
b) f(x) = cos( 1x).
c) f(x) = x sen( 1x).
d) f(x) = x2 sen( 1x).
e) f(x) = (1 + x)1x .
f ) f(x) =(1 +
1
x
)x
.
35. Simplifique las siguientes funciones:
a) f(x) = sen(arc cos(x).
b) f(x) = tan(arc sen(x).
c) f(x) = x sen(2 arc sen(x).
36. Calcule los x que satisfacen las siguientes ecuaciones:
a) f(x) = sen(x) + cos(x) =√2.
b) f(x) = sen(2x) + 2 cos2()x = 2.
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37. Demuestre que son acotadas las siguientes funciones:
a) f(x) =x2√1 + x2
.
b) f(x) =1
1 + x2.
c) f(x) =x2
1 + x4.
d) f(x) = | sen(x)|
Límite
38. Demuestre, usando la definición, los siguientes límites:
a) lımx→1
(x2 + 2x+ 3) = 6
b) lımx→−2
(x2 − 4
x+ 2
)= −4
c) lımx→3
(5x− 7
3x− 5
)= 2
d) lımx→3
(1
x− 4
)= −1
e) lımx→−1
√2x2 − 4x+ 2 =
√8
39. Para cada función f , halle el valor de lımx→x0
f(x) = L. Para un valor de ϵ, determine un
valor adecuado de δ de manera que se cumpla el límite.
a) f(x) = 4− x2, x0 = 3, ϵ = 0,05
b) f(x) =√x− 3, x0 = 7, ϵ = 0,05
40. Justifique porque no existe el límite en c de las siguientes funciones:
a) f(x) = sen( 1x), c = 0.
b) f(x) =
1− (x− 2)2; x ≤ 2
x+ 1; x > 2,
c = 2.
c) f(x) =1
x− 2, c = 2.
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Límites laterales
41. Dada la función f(x) =
x2 − 1; x < 1
0; 1 ≤ x < 2√x+ 1; 2 ≤ x
a) Calcule, si existe, lımx→c
f(x), cuando c = 1, c = 2.
b) Muestre gráficamente la existencia de dichos.
42. Dada la función f(x) =
x; x ≤ 1
ax+ b; 1 < x < 4
−2x; 4 < x
a) Halle los valores de a y b para que existan lımx→1
f(x) y lımx→4
f(x).
b) Grafique f con los valores de a y b hallados en la primera parte.
43. Dada la función f(x) =
2x− 10
x2 − 2x− 15; x < 5
√αx− β − 2
x− 5; 5 < x.
Si existe lımx→5
f(x), halle los valores de α y β.
Teoremas sobre límites. Cálculo de límites
44. Analice la verdad sobre las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.
a) Si f(x) < g(x),∀x ∈ I, c ∈ I ⇒ lımx→c
f(x) < lımx→c
g(x),∀x ∈ I.
b) Si lımx→c
f(x) existe, y lımx→c
g(x) = 0 ⇒ lımx→c
f(x)
g(x)no existe.
c) Si lımx→c
[f(x) + g(x)] existe, y lımx→c
f(x) existe ⇒ lımx→c
g(x) existe.
d) Si lımx→c
f(x) = lımx→c
g(x) entonces existe un δ > 0 tal que se cumple
f(x) = g(x),∀x ∈]c− δ, c+ δ[.
45. Calcule los siguientes límites, si existen.
a) lımx→a
x4 − a4
x− a.
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b) lımx→7
7− x
5−√4 + 3x
.
c) lımx→0
3√8− x2 −
√4 + x2
x.
d) lımx→1
m√x− 1
n√x− 1
, m, n ∈ Z+.
Teorema del sandwich. Límites trigonométricos
46. Calcule los siguientes límites:
a) lımx→1
[3√x2 − 1 cos
(3π(x+ 3)
x2 − 3x+ 2
)].
b) lımx→1
[(x2 − 1)2 cos
1
(x− 1)2
].
47. Calcule los siguientes límites:
a) lımx→0
3x− sen(2x)
4x+ sen(3x).
b) lımx→1
sen(πx)
x(x− 1).
c) lımx→0
1−√
cos(x)
x2.
d) lımx→π
6
√3− 2 cos(x)
sen(x− π6 )
.
e) lımx→0
x
arctan(x).
Límites infinitos
48. De una definición formal de los siguientes límites:
a) lımx→x−
0
f(x) = +∞.
b) lımx→x+
0
f(x) = −∞.
c) lımx→x−
0
f(x) = −∞.
d) lımx→x+
0
f(x) = +∞.
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49. Demuestre usando la definición, que:
a) lımx→0
1
x2= +∞.
b) lımx→0−
1
x3= −∞.
c) lımx→3−
2x− 1
x− 3= −∞.
d) lımx→3+
2x− 1
x− 3= +∞.
50. Halle las asíntotas verticales, si existen, de las siguientes funciones:
a) f(x) = ln(x2 − 2x).
b) f(x) =x− 3√x2 − 9
.
c) f(x) =2x+ 1√4− x2
.
d) f(x) =x
4− x2.
Límites en el infinito
51. Demuestre usando la definición.
a) lımx→+∞
1
x2= 0.
b) lımx→−∞
1
x3= 0.
c) lımx→+∞
2x− 1
x− 3= 2.
d) lımx→−∞
x− 1
x− 3= 1.
52. De una definición formal de los siguientes límites:
a) lımx→−∞
f(x) = +∞.
b) lımx→+∞
f(x) = −∞.
c) lımx→−∞
f(x) = −∞.
d) lımx→+∞
f(x) = +∞.
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53. Sea f : R → R una función par que tiene a la recta y = 4x+ 3 como una asíntota oblicua
derecha.Calcule
lımx→−∞
f(x)√8x2 + sen(x)
.
54. Calcule los siguientes límites:
a) lımx→+∞
3x+ 4√x2 − 5
.
b) lımx→−∞
√x2 − 1
x.
c) lımx→+∞
(√x2 + x− 1−
√x2 − x+ 3).
d) lımx→−∞
( 3√x2 + 2x− 3
√x2 + x).
55. Halle las asíntotas de las siguientes funciones:
a) f(x) =x3
4− x2.
b) f(x) =x− 3√x2 − 9
.
c) f(x) =ex − e−x
ex + e−x.
d) f(x) =
3√x3 + 3x2, x ≥ 0
√x2 − x
x+ 3, x < 0, x = −3.
Problemas varios
56. Sea la función f(x) =x− 1
x− 2, x = 2. Demuestre, usando la definición, que:
a) lımx→−∞
f(x) = 1.
b) lımx→3−
f(x) = 2.
57. Demuestre que si lımx→0
g(x) = 0 y |h(x)| ≤M para todo x, entonces lımx→0
g(x)h(x) = 0.
58. Sea f(x) = cos(x2 ), x ∈ [0, 2π].
a) Demuestre que f tiene inversa. Esboce la gráfica de f−1.
b) Esboce la gráfica de la función h(x) =1
f(x). Justifique si tiene asíntota.
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59. Demuestre que:
a) lımx→0
f(x) = lımx→0
f(x2).
b) lımx→1
1
x− 1no existe.
c) Si lımx→0
g(x) = 0, entonces lımx→0
g(x) sen( 1x) = 0.
60. Sea la función f(x) = x+1
x, x = 0.
a) Demuestre que f es impar.
b) Halle las asíntotas de la gráfica de f .
c) Esboce la gráfica de f y de sus asíntotas.
61. Dadas las funciones:
f(x) = arctan(x) ; g(x) = ex2
y h(x) = (f ◦ g)(x).
a) Calcule lımx→0
h(x).
b) Pruebe que lımx→∞
h(x) =π
2.
c) Esboce la gráfica de h.
62. Demuestre que:
a) lımx→0+
csc(x) = +∞.
b) lımx→0−
cot(x) = −∞.
c) lımx→π
2−csc(x) = +∞.
63. Demuestre que:
a) lımx→0+
ln(x) = −∞.
b) lımx→2+
ln(x2 − 2x) = −∞. Use la primera parte.
64. Demuestre que lımx→c
f(x) = L⇔ lımx→c
[f(x)− L] = 0.
65. Demuestre que si lımx→c
f(x) = L⇔ lımx→c
|f(x)| = |L|.
66. Demuestre que si lımx→c
g(x) = 0 ⇔ lımx→c
g(x) sen( 1x) = 0.
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67. Suponga que lımx→c−
f(x) < lımx→c+
f(x). Demuestre que existe algún δ > 0 tal que f(x) < f(y)
siempre que x < a < y, |x− c| < δ e |y − c| < δ.
68. Demuestre que lımx→0+
f(1/x) = lımx→+∞
f(x).
69. Calcule lımx→0
f(x), si:
a) f(x) = sen( 1x).
b) f(x) = cos( 1x).
c) f(x) = x sen( 1x).
d) f(x) = x2 sen( 1x).
e) f(x) = (1 + x)1x .
Continuidad en un punto
70. Analice en cada caso si la función f es continua en el número x0. En caso de ser discontinua,
indique el tipo de discontinuidad. Muestre gráficamente esa discontinuidad.
a) f(x) =x+ 1
x− 1, x = 1, x0 = 3
b) f(x) =
x2 − 1
x+ 1, x = −1
6, x = −1.
x0 = −1;
c) f(x) =
x2 − 2, x ≥ 2
3x− 4, x < 2.
x0 = 2;
71. Las siguientes funciones f tienen discontinuidad evitable en x = a. Redefina f como
F (x) =
f(x), x = a
lımx→a
f(x), x = a
de tal manera que F sea continua en x = a.
a) f(x) =x2 − 2x− 8
x+ 2, a = −2.
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b) f(x) =x3 + 64
x+ 4, a = −4.
c) f(x) =3−
√x
9− x, a = 9.
d) f(x) = x sen( 1x), a = 0.
72. ¿Cuántos puntos de discontinuidad (y de qué genero) tiene la función y =1
ln |x|? Esboce
su gráfica.
73. Si f : R → R es una función tal que |f(x)| ≤ |x|, ∀x ∈]−1, 1[, demuestre que f es continua
en x = 0.
Teoremas sobre continuidad
74. Sea f una función y c ∈ D(f) tal que existe
lımx→c
f(x)− f(c)
x− c, x ∈ D(f).
Demuestre que f es continua en c.
75. Suponga que f satisface f(x+ y) = f(x) + f(y), y que f es continua en 0. Demuestre que
f es continua en a para todo a ∈ R.
76. Analice la continuidad de la función máximo entero f(x) = [|x|], definida mediante
[|x|] = k ⇔ k ≤ x < k + 1, k ∈ Z.
77. Sea f(x) = x− [|x|]. Determine los puntos de discontinuidad de f y construya su gráfica.
78. Analice la continuidad de f ◦ g en x0.
a) f(x) =
sen(x+ 4)
x+ 4, x = −4
1, x = −4.
x0 = −4;
g(x) =
x2 − 4
x+ 2, x = −2
−4, x = −2.
x0 = −2;
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b) f(x) =
√5x+ 1, x > 3
3x− 5, x ≤ 3.
x0 = 3;
g(x) =
x+ 1, x ≥ 2
2x− 1, x < 2.
x0 = 2;
79. Halle el valor de las constantes a y b para que las funciones dadas sean continuas.
a) f(x) =
x+ 1, x < 1
ax+ b 1 ≤ x < 2
3x, x ≥ 2.
b) f(x) =
a(cosx− senx)
cos 2x, 0 ≤ x < π
4
2x tanx− π
cosxπ4 ≤ x < π
2
b, x = π2 .
c) f(x) =
senx
x, −π < x < 0
ax+ b, 0 ≤ x < π
cosx, π ≤ x ≤ 2π.
Funciones continuas en intervalos cerrados
80. Muestre gráfica y analíticamente, que la ecuación dada, tiene al menos una solución.
a) x2 =√x+ 1, [1, 2]
b) cosx = x, [0, 1]
c) x3 − 4x+ 2 = 0, [1, 2]
d) x3 − 6x+ 3 = 0, [−5, 5].
81. Se dice que una función g tiene un punto fijo en c si g(c) = c. El punto (c, g(c)) se obtiene
intersecando las gráficas de y = x con y = g(x).
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a) Halle los puntos fijos de la funnción f(x) = x2 + 2x− 6.
b) Demuestre que la función f(x) = x2 + 2 sen(πx)− 1, tiene al menos dos puntos fijos.
c) Demuestre que toda función continua con dominio y rango en [0, 1] tiene al menos un
punto fijo.
82. Pruebe la existencia del número irracional√2.
Sugerencia. Aplique el teorema del valor intermedio a f(x) = x2 − 2 en [1, 2].
Problemas varios
83. Demuestre que f es continua en x = a si y solo si lımh→0
f(a+ h) = f(a).
84. Demuestre que la ecuación
4− 2x − x = 0,
tiene una raíz real. Ubique dicha raíz en un intervalo de longitud 12 .
85. Analice en R, la continuidad de la función
f(x) = [|x|]− x.
Esboce su gráfica.
Derivada
86. Usando la definición halle f ′(a) y luego, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f
en el punto (a, f(a)).
a) f(x) =1
x2 + 1, a = −2.
b) f(x) = tan(2x), a = −π8 .
c) f(x) = cos(x), a = −π2 .
87. Dada la función definida por f(x) =
x2 + 1, x ≤ 1
2x, x > 1.
19
a) Pruebe que f es continua en x = 1.
b) Calcule las derivadas laterales de f en x = 1.
c) Halle la recta tangente a la gráfica de f en (1; 2).
d) Grafique f y su recta tangente en (1; 2).
88. Pruebe que existe f ′(0), si f(x) =
x2 sen( 1x), x = 0
0, x = 0.
89. Demuestre que existe al menos un punto P en la gráfica de la función f , definida por
f(x) = x cosx+ x2 − 4x, x ∈[−π2,π
2
]tal que la recta tangente a la gráfica de f en P sea paralela a la recta que pasa por los
puntos A(−1; 6) y B(1;−2).
90. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = cot(x) − x en el punto de
abscisa x = π4 . Use la definición de derivada para hallar la pendiente.
91. Si f es una función diferenciable, demuestre que:
a) lımh→0
f(x)− f(x− h)
h= f ′(x).
b) lımh→0
f(x+ h)− f(x− h)
2h= f ′(x).
c) lımx→c
xf(c)− cf(x)
x− c= f(c)− cf ′(c).
92. ¿Qué ángulos forman al cortarse las parábolas: y = x2, y2 = x?
93. Cada uno de los siguientes límites es la derivada de alguna función en un valor c. Identifique
la función y el punto c.
a) lımh→0
tan(π4 + h)− tan(π4 )
h.
b) lımh→0
23+h − 8
h.
c) lımx→0
ex − 1
x.
d) lımx→5π
cos(x) + 1
x− 5π.
20
94. Para una función f , impar y derivable en R, la recta tangente a su gráfica en el punto
P (−2; f(−2)) tiene por ecuación y = 3x + 7, halle la ecuación de la recta tangente a la
gráfica de f en el punto Q(2; f(2)).
Diferenciabilidad y continuidad
95. Dada la función f , halle los valores de a y b para que exista f ′(x0).
a) f(x) =
ax2 + b, x ≤ 1
1
x, x > 1
; f ′(x0), x0 = 1.
b) f(x) =
x3 + 1, x < 1
a√x+
b
x+ 1, x ≥ 1
; f ′(x0), x0 = 1.
96. Sea G(f) la gráfica de la función f(x) = −x2 + 4x+ 3.
a) Halle la recta tangente a G(f) en (1; f(1)).
b) Determine los puntos de G(f) donde la recta tangente tiene pendiente m = 2.
c) Halle las rectas tangentes a G(f) trazadas desde el punto Q(32 ; 9).
d) ¿Existe recta tangente a G(f) que pase por R(2; 2)?
97. Compruebe que la función
f(x) = |x− a|φ(x),
donde φ es una función continua y φ(a) = 0, no admite derivada en el punto a.
¿A qué son iguales las derivadas laterales f ′−(a) y f ′+(a) ?
Reglas de derivación
98. Halle la derivada de la función.
a) f(x) = cos√x2 + 1.
21
b) f(x) = ln
(x+ 2
x− 2
).
c) f(x) = arc sen(x2
)+ x
√4− x2.
99. Halle la derivada de la función
f(x) = ln(cos2 x+√1 + cos2 x)
introduciendo la variable intermedia u = cos2 x.
100. ¿En qué puntos la gráfica de la función
f(x) = x+ 3√senx
tiene tangente vertical? Construya su gráfica.
101. ¿Para qué valor de x, son paralelas las tangentes a la gráfica de: f(x) = x2 y h(x) = x3?
Derivación implícita
102. Se define implícitamente una función y = f(x), donde f es derivable. Calcule y′.
a)√x+
√y = x.
b) x3y2 + 3xy = 0.
c) y2 cos(x)− x arctan(y) = sen(x+ y).
d) x sen(y) + y cos(x) = 1.
103. Dada la curva C : 4x2 − xy + y2 = 24.
a) Halle una ecuación de la recta tangente a C en el punto (−2;−4).
b) Halle los puntos de C donde la recta tangente tiene pendiente -2.
c) Halle las rectas tangentes a C trazadas desde el punto (4; 0).
d) Gráfique C y sus rectas tangentes halladas previamente.
22
104. La curva definida por la ecuación
C : (x2 + y2)2 = x2 − y2
se llama Lemniscata. Halle las coordenadas de los puntos sobre la curva en los cuales la
recta tangente es horizontal.
105. Se dice que dos curvas son ortogonales si en cada punto de intersección sus rectas tangentes
son perpendiculares.
a) Pruebe que las curvas
C1 : y2 = 4x y C2 : 2x2 + y2 = 6
son ortogonales.
b) ¿Son ortogonales las parábolas y = x2 y y2 = x?
Derivada de la inversa de una función
106. Pruebe que existe f−1. Luego, halle (f−1)′ indicando su dominio.
a) f(x) = x+ lnx.
b) f(x) = x+ ex.
107. Sea la función x = earc sen(y).
a) Halledy
dxen términos de y.
b) Halledy
dxen términos de x.
c) Muestre la equivalencia.
108. Sea la función f(x) =ex − e−x
ex + e−x.
a) Halledy
dxen términos de y.
b) Halledy
dxen términos de x.
c) Muestre la equivalencia.
23
109. Dada la función f(x) = x5 + x3 + 2x− 1, x ∈ R.
a) Verifique que f es creciente en R y por lo tanto tiene inversa.
b) Si (1; 3) ∈ G(f), hallar (f−1)′(3).
c) Halle una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f−1 en el punto (−1; 0).
110. Sea
g(x) =
10
πarc senx, 0 ≤ x < 1
−12x
2 + 3x+ 52 , 1 ≤ x ≤ 5
a) Grafique g.
b) Si f es una función impar definida en el intervalo [−3, 3], que coincide con g en el
intervalo [0, 3] ¿Es f una función inyectiva? Justifique.
c) Halle la inversa de f y grafique en un mismo sistema tanto f como f−1.
111. Dadas las funciones f(x) = ex − x+ 1, x > 0 y g(x) =√x− 1
2 ln(x) + 1, x > 1.
a) Pruebe que dichas funciones son crecientes y, por lo tanto, tienen inversa.
b) Halle (f−1)′(e).
c) Halle h′(e2), si h(x) = f−1(g(x)).
Derivadas de orden superior
112. Halle una fórmula general para la n-ésima derivada de
f(x) =1
x2 − 3x+ 2+ cos(2x).
Sugerencia. Fracciones parciales y cos(α+ π2 ) = − sen(α).
113. Halle una fórmula general para la n-ésima derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = ln(2x− 3).
b) f(x) = sen(2x).
c) f(x) = sen2(x) ln(x).
24
114. Demuestre que, si una función f admite derivada de n-ésimo orden, se tiene
[f(ax+ b)](n) = anf (n)(ax+ b), n ∈ Z+.
115. Demuestre que la función
f(x) =
e−
1x2 , x = 0
0, x = 0
es infinitamente derivable en x = 0.
Derivadas paramétricas
116. Sea y = f (x) una función definida paramétricamente por x = φ(t)
y = ψ(t).
Demuestre que
y′′xx =y′′ttx
′t − y′tx
′′tt
(x′t)3
.
117. Calcule f ′(x) y f ′′(x), si y = f (x) es una función definida paramétricamente por:
a)
x (t) = a (cos t+ sen t) , a > 0
y (t) = a (sen t− t cos t) , t > 0
b)
x (t) = e2t cos2 t,
y (t) = e2t sen2 t,
c)
x (t) = arc sen t√
1+t2
y (t) = arc cos 1√1+t2
118. Una función y = f(x) definida en forma paramétrica determina la curva C, denominada
Cicloide:
C :
x = t− sen(t)
y = 1− cos(t).
25
a) Analice la diferenciabilidad de f en t = π y en t = 2π.
b) Halle la pendiente de la recta tangente a C en el punto que corresponde a t = π2 .
c) Calcule f ′′(x) cuando t = π2 .
119. Sea y = f (x) una función definida paramétricamente por
x(t) = arc sen(t)
y(t) = ln(1− t2)
Calcule f ′(x) |x=0 y f ′′(x) |x=0.
120. La Astroide1 o curva de 4 picos. Se genera cuando una circunferencia de radio a4 rueda
interiormente sobre otra circunferencia fija de radio a. Las ecuaciones paramétricas de la
astroide están dadas por:
C :
x (t) = a cos3 t, a > 0
y (t) = a sen3 t,
Calcule f ′(x) y f ′′(x). En el caso a = 2, esboce su gráfica.
121. Halle las ecuaciones de la recta tangentes y normal a la curva
C :
x = 2t− t2,
y = 3t− t3,
en el punto t = 1.
122. Halle una ecuación de la recta tangente a la curva
C :
x = e2t cos2(t),
y = e2t sen2(t),
que tenga pendiente igual a 1.
123. Sea la función f(x) =1
1 +√x, x ≥ 0.
a) Halle la ecuación de la asíntota de la gráfica de f .1Ver Geometría Analítica, Ch. Lehmann, página 277.
26
b) Usando la definición, halle f ′(x), x > 0.
c) Halle la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto P (1; f(1)).
d) Esboce la gráfica de f y de su recta normal en P (1; f(1)).
Diferenciales y aproximaciones lineales
124. Usando diferenciales, halle el valor aproximado de
a) sen(31◦)
b) arc sen(0, 54)
c) 4√17
125. Halle las aproximaciones lineales en a = 0 de las siguientes funciones
a) f (x) = ex.
b) f (x) = tan (x).
126. Halle dy en cada de las ecuaciones.
a) y = e−3x2 .
b) y = 3
√x−1x+1 .
c) x2 + 2√xy − y2 = 1.
127. Use diferenciales para determinar un valor aproximado de la expresión indicada.
a)√
2 + 3√8, 2.
b) arctan(e0,08
).
c) ln (1, 07).
128. Se estima que el próximo mes se venderán 8,000 unidades de cierto producto. Esta estima-
ción tiene un margen de error de 3%. La función ganancia es
G (x) = 5x− 0, 0002x2 dólares,
donde x es el número de unidades vendidas por mes.
27
a) Calcule la ganancia que dejarán los 8,000 artículos.
b) Estime el margen de error de la ganancia con el cálculo anterior.
c) Estime el margen de error relativo.
d) Estime el margen de error porcentual.
Problemas varios
129. Calcule la derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = arctan
(√4− x2
x
)+ cos3(2x).
b) h(x) = 2ln(1−x)(x2 +
√x+ 1
).
130. Demuestre que la función
y = f(x) =arc senx√1− x2
, −1 < x < 1,
satisface la ecuación
(1− x2)y′ − xy = 1.
131. Sean las funciones
f(x) = arc sen√x y g(x) = sen2(x).
a) Demuestre que una es inversa de la otra, indicando sus dominios.
b) Si g′(x) = sen(2x), halle f ′(x). Justifique su procedimiento.
c) Halle una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto que corresponde
a x = 12 . Justifique.
d) Grafique f y g en un mismo sistema de coordenadas.
132. Sea la función
f(x) =
x arctan( 1x), x = 0
0, x = 0.
a) Halle la ecuación de la asíntota horizontal de la gráfica de f .
28
b) Demuestre que f es continua en x = 0.
c) Demuestre que f no es derivable en x = 0.
d) Esboce la gráfica de f y de su asíntota hallada en (a).
133. Sean las funciones
f (x) = ax2
g (x) = lnx.
a) Halle el valor de a de tal manera que las gráficas de f y de g tengan un solo punto de
intersección y la recta tangente sea común a ambas gráficas en el punto de contacto.
b) Halle la ecuación de la recta tangente (común) a las gráficas de f y de g.
c) Grafique en un mismo sistema de coordenadas f , g y la recta tangente hallada en b).
134. Sea
f (x) =x2
1 + x3, x < −1.
a) Probar que f es decreciente en ]−∞,−1[.
b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f−1 en el punto P(−4
7 ; f−1(−4
7
)).
c) Esboce la gráfica de f y de sus asíntotas.
135. Sean las funciones
f (x) = cos (3x+ 2)
g (x) = x |x| .
Halle
(f ◦ g)′ (|x|) .
136. Dada la función f definida por
f (x) =
b
x− 2, x ≤ 1
ax2 − 2, 1 < x < 2
b√x− 1− 6, x ≥ 2
29
a) Halle los valores de las constantes a y b para que f sea diferenciable en x = 2.
b) Con los valores de a y b hallados,
1) ¿es f diferenciable en x = 1?
2) Determine la función f ′ (x) indicando su dominio.
137. Dada la función
f (x) = ex − ln (1− x)
aproxime usando diferenciales o aproximación lineal el valor de f (−0,5).
138. Si
y = f (u) , u = g (x)
demuestre qued2y
dx2=d2y
du2
(du
dx
)2
+d2u
dx2
(dy
du
)139. Halle la n-ésima derivada f (n), n ≥ 1, si
a) f (x) =1
(1− 2x) (1 + x).
b) f (x) = x2e−x.
140. Sea
f (x) =x2
1 + x3, x < −1.
a) Probar que f es decreciente en ]−∞,−1[.
b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f−1 en el punto P(−4
7 ; f−1(−4
7
)).
c) Esboce la gráfica de f y de sus asíntotas.
141. ¿En qué punto(s) de la gráfica de la función
f (x) = sen(x)− x3
3, x ∈ R
la recta tangente tiene pendiente igual a 1?
30
142. Dadas las funciones
f (x) = x2 + 1
g (x) = −x2
halle las ecuaciones de las rectas tangentes que son simultáneamente tangentes a la gráfica
de f y de g.
143. Suponga que la ecuación de la curva
C : x2 (1− y) = y2 (1− x) + 9
define una función diferenciable y = f (x).
a) Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a C en los puntos donde C corta al
eje X.
b) Halle el valor de
f ′′ (−3)
144. Sea C la curva definida por las ecuaciones paramétricas
C :
x = t2 − 1
y = t4 − 4t
Halle
a) Una ecuación de la recta tangente a C en el punto correspondiente a t = 2.
b) Las coordenadas de los puntos de C donde la recta tangente es horizontal.
c) Las coordenadas de los puntos de C donde la recta tangente es vertical.
d)d2y
dx2en términos de t.
145. Dada la función
f (x) = ex − ln (1− x)
aproxime usando diferenciales o aproximación lineal el valor de f (−0,5).
31
146. Sea la función f definida por
f (x) = e√2x(√
2x− 1)
, x ≥ 0.
a) Pruebe que f ′ (x) = e√2x, x > 0.
b) Usando el Teorema del Valor Medio y la parte a) demuestre que
x ≤ e√2x(√
2x− 1), para x ≥ 0.
Razón de cambio y tasas relacionadas
147. Una pelota que se lanza verticalmente hacia arriba en el instante t = 0 (segundos), con
una velocidad inicial 30 m/s y una altura inicial de 35 m, tiene la función de altura
y(t) = −1
2gt2 + 30t+ 35.
a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?
b) ¿En qué instante y con qué velocidad se golpea la bola en el suelo?
148. Una nave espacial que se aproxima al planeta Gzyx se encuentra a una altura de y metros
en el instante t (segundos) dada por
y(t) = 100− 100t+ 25t2.
¿En qué instante y con que velocidad llega a la superficie del mencionado planeta?
149. Una circunferencia de radio R rueda, sin deslizarse, sobre una recta. El centro de la circun-
ferencia se mueve con velocidad constante v. Halle la velocidad de variación de la abscisa
x y la ordenada y para un punto P (x; y) de la circunferencia. P describe una Cicloide.
150. El volumen de un cilindro recto es de 500π cm3 y permanece constante cuando el diámetro
de su base aumenta a razón de 1 cm/s. Halle la razón de cambio de la altura respecto al
tiempo cuando el diámetro de la base es 10 cm.
151. Una gota de lluvia, al caer, atraviesa una capa de aire seco y se evapora de manera que
se mantiene siempre esférica y su volumen decrece a un ritmo proporcional al área de su
superficie. Pruebe que el radio de la gota decrece a razón constante.
32
152. Un móvil parte del punto (0; 0) hacia el punto (12; 5) siguiendo una trayectoria rectilínea
a una velocidad constante de4
3u/s. Con qué rapidez cambia la distancia entre el punto
(0; 5) y el móvil, después de 3 segundos de haber partido el móvil.
153. Un hombre corre a 5 m/s a lo largo del diámetro de un patio circular de radio 20 m. Una luz
ubicada en uno de los extremos de un diámetro perpendicular a la trayectoria del hombre
proyecta la sombra del hombre sobre la pared circular.
a) ¿Con qué rapidez se mueve la sombra a lo largo de la pared cuando el hombre se
encuentra a 10 m del centro del patio?
b) ¿Qué tan lejos está el hombre del centro del patio cuando la rapidez de su sombra a
lo largo de la pared es de 9 m/s?
154. Se bombea agua en un tanque esférico a razón de 22,5 pie3/min, el radio r de la esfera es
10 pies, ¿con qué rapidez está subiendo el nivel del agua, cuando la altura del agua es de
5 pies en el centro del tanque?
Nota. Volumen del segmento esférico V = 13h
2π (3r − h), donde r es el radio de la esfera
y h es el nivel del agua
Teoremas del cálculo diferencial en intervalos
155. Determine el máximo y el mínimo absoluto de la función en el intervalo cerrado indicado.
a) h (x) = senx+ cosx, x ∈ [−π2 , 2π].
b) g (x) =lnx
x2, x ∈ [1, e].
156. Pruebe que para cualquier constante positiva a, la ecuación
x3 + ax− 1 = 0
tiene exactamente una solución real.
157. Sea f una función dada por
f (x) = |2x− 4| ; x ∈ [−1, 5]
33
Investigue si f cumple con las hipótesis del teorema de Rolle.
158. Demuestre que la ecuación
x2 + 3x− sen (x+ 1) + 1 = 0
tiene solo una raíz en el intervalo[−1, π2 − 1
].
159. Demuestre que para todo x ∈]0, 1[ se cumple
x < arc sen(x) <x√
1− x2.
160. Usando el teorema del Valor Medio o el de Rolle, demuestre que
a) ln√x− 4 <
x− 5
2para todo x > 5.
b) n√x+ 1 < 1 +
x
npara todo x > 0 y n ≥ 1 entero.
c) |1− cosx| ≤ |x|, ∀x ∈ R.
d)x− 1
x< lnx < x− 1, ∀x > 1.
161. Demuestre que para 0 < a < b en R se cumple:
b− a
b< ln
(b
a
)<b− a
a.
162. Para la función f(x) = x+ 2 cos(x), x ∈ R.
a) Halle todos los valores o puntos críticos de la función f .
b) Analice en cuáles de los valores críticos de f , dicha función tiene valores extremos.
c) ¿f posee extremos absolutos? Justifique.
Criterios de monotonía y de concavidad
163. Determine los intervalos de monotonía, puntos críticos, intervalos de concavidad, puntos
de inflexión y gráfica de las siguientes funciones:
a) f(x) = 3x− x3.
34
b) f(x) = x+ sen(x).
c) f(x) = x− sen(2x).
164. Determine los intervalos de monotonía, puntos críticos, intervalos de concavidad, puntos
de inflexión y gráfica de las siguientes funciones:
a) f(x) = x+ | sen(2x)|.
b) f(x) =2x
1 + x2.
165. Demuestre que la función
f(x) =
(1 +
1
x
)x
es creciente en los intervalos ]−∞,−1[ y ]0,+∞[.
166. Halle los puntos de inflexión y los intervalos ce concavidad de la gráfica de la función
f(x) = 3x2e−x.
Optimización
167. Determine las dimensiones del cono de volumen mínimo circunscrito a una semiesfera
de radio R de tal forma que el plano de la base del cono coincida con el de la semiesfera.
168. Calcule las dimensiones del cono circular recto de mayor volumen inscrito en una esfera
de radio R = 6.
169. Una lata de volumen V dado tiene forma de cilindro recto. ¿Cuál debe ser la relación entre
la altura h y el diámetro 2R para que se emplee en su fabricación la cantidad de material
mínima?
170. Determine las dimensiones del cono inscrito para que su área lateral sea máxima.
Nota. El área lateral de un cono es AL = 2πrL, donde L =√r2 + h2.
171. Un hombre está parado en el punto A en la orilla de un río recto de 2 km de ancho, y
desea alcanzar el punto B que está a 7 km corriente abajo sobre la orilla opuesta, primero
remando en su barca a un punto P de la orilla opuesta y después caminando la distancia
restante x hasta B. Puede remar a 2 km/h y caminar a 5 km/h.
35
a) Exprese el tiempo total T que necesita para ir de A hasta B como una función de x.
b) Halle las coordenadas de P y el valor de x de tal manera que T sea mínimo.
172. Una esfera de radio fijo a está inscrita en una pirámide regular de base cuadrada de modo
que la esfera es tangente a la base y a cada uno de las caras laterales de la pirámide. Halle
la pirámide de volumen mínimo.
173. Halle el punto P de la curva
C : y =1
1 + x2
en el que la recta tangente (en P ) forme con el eje X el ángulo de mayor valor absoluto.
174. ¿Cuál de los cilindros de volumen dado tiene menor superficie total?
175. ¿Qué sector se debe recortar de un círculo de radio R, de modo que la parte restante se
pueda enrrollar un embudo de capacidad máxima.
Regla de L’Hospital
176. Calcule los siguientes límites.
a) lımx→π/2
ln (sen (x))
(π − 2x)2.
b) lımx→1
(x
x− 1− 1
lnx
).
c) lımx→0
ex − e−x − 2x
x− senx
d) lımh→0
ax+h + ax−h − 2ax
h2, a > 0.
e) lımx→1
(tan
πx
4
)tan πx2
177. Demuestre que
lımx→+∞
x− senx
x+ senx= 1
no se puede hallar por la regla de L’Hospital. Halle este límite directamente.
36
Gráfica de funciones y = f(x), x ∈ R
178. Bosqueje la gráfica de la función f, señalando, si fuera el caso, puntos de intersección de la
gráfica con los ejes coordenados, intervalos de monotonía, extremos relativos, asíntotas de
la gráfica, intervalos de concavidad y puntos de inflexión.
a) f(x) = x4e−x
b) f (x) = 3√x3 − 3x2.
c) f (x) =
3x2
x2 − 25si x > −1, x = 5
√4x2 + 3x si x ≤ −1
d) f (x) = ln(e+ 1
x
)179. Construya la gráfica de las siguientes funciones:
a) f(x) =ex
1 + x.
b) f(x) = arc sen
(2x
1 + x2
).
Antiderivadas
180. Halle la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.
a)f(x) = 4x3 − 5.√x b)f(x) =
√1− 3x. c)f(x) = sen(π + 3x).
d)f(x) = 6e2−3x. e)f(x) = sec2(x/2). f)f(x) = senx cosx.
181. La resistencia del aire sobre una gota de lluvia, a medida que cae verticalmente, aumenta
debido a que el área superficial de la gota aumenta. Supongamos que en el instante inicial
(t = 0), una gota de lluvia está a 500 m sobre el suelo y tiene velocidad, hacia abajo, de 10
m/s; y su aceleración, también hacia abajo, es a(t) = 9 − 0,9t, si 0 ≤ t ≤ 10 s y a(t) = 0,
si t ≥ 0 s. Calcule el tiempo que tarda en llegar al suelo la gota de lluvia.
37
182. Halle una función f tal que:
a) f ′′(x) =(1− 1
x2
)2, f ′(1) = f(1) = 0.
b) f ′′(x) =x4 + 1
x3, cuya recta tangente en (1;−1) es y = x− 2.
c) f ′′(x) = 4x−3, cuya recta tangente en (1; 3) es y = 5− 2x.
183. El punto (3; 2) está en una curva, y en cualquier punto (x; y) de la curva la recta tangente
tiene una pendiente igual a m = 2x− 3. Determine una ecuación de la curva.
184. Desde el borde de un acantilado de 88 m sobre el fondo se lanzan dos pelotas hacia arriba.
La primera se arroja con una velocidad de 16 m/s y la segunda se lanza un segundo más
tarde a una velocidad de 8 m/s. ¿Se encuentran alguna vez esas dos pelotas antes de que
lleguen al suelo?
185. La aceleración de un objeto, que se mueve a lo largo de un trayecto recto, en cada instante
t es a(t) = (6t− 2)m/s2. Si después de 1 s de la partida alcanza una velocidad de 7 m/s y
se encuentra ubicado a 8 m a la derecha del origen de coordenadas, halle la velocidad y la
posición del objeto al cabo de 3 s de la partida.
186. Calcule las siguientes integrales
a)∫ x
(x+ 1)2dx.
b)∫ae−mxdx, m > 0
c)∫cos2 xdx
Problemas varios
187. Una tanque lleno con 10 galones de agua comienza gotear en el instante t = 0; el volumen
V de agua del tanque t segundos más tarde está dado por
V (t) = 10
(1− t
100
)2
hasta que el tanque quede vacío en el instante t = 100.
a) ¿A qué razón sale el agua del tanque después de un minuto?
38
b) ¿En qué instante son iguales la razón de cambio instantánea de V y la razón de cambio
promedio de V de t = 0 a t = 100?
188. Sea la función f(x) = (1 + x)3/2 − 32x− 1.
a) Demuestre que f es creciente en ]0,+∞[.
b) Demuestre que
(1 + x)3/2 > 1 +3
2x, ∀x > 0.
189. Una esfera con radio fijo a está inscrita en una pirámide de base cuadrada, de modo que
la esfera toca la base de la pirámide y cada uno de sus cuatro lados.
a) Demuestre que el volumen de la pirámide está dado por
V (y) =4a2y2
3(y − 2a),
donde y es la altura de la pirámide. Halle el dominio de V .
b) Demuestre que el volumen mínimo posible de la pirámide es 8π veces el volumen de la
esfera.
190. Sea la función f(x) = arctan
(1
1− x
), x = 1.
a) Halle los intervalos de monotonía.
b) Determine la asíntota de la gráfica de f .
c) Calcule los extremos relativos de f .
d) Esboce la gráfica de f .
191. Una partícula se mueve a lo largo de la curva de ecuación
y = cos (2x+ 1)
donde x = t2 + 1, ¿con qué rapidez está desplazandose respecto a la dirección vertical
cuando t = 2 s?
192. En un rectángulo OABC los vértices A y C están sobre los ejes horizontal y vertical,
respectivamente, O en el origen de coordenadas y B sobre la curva y = 2x. Si la ordenada
de B aumenta a razón de una unidad por segundo ¿Cómo está cambiando el área del
rectángulo?
39
193. Un tanque tiene la forma de un cono circular recto truncado de 6 m de altura, de 5 m de
radio mayor y 3 m de radio menor. Del tanque sale agua a razón de 16, 9π m3/hora. Halle
la rapidez con que baja el nivel del agua cuando éste tiene 4 m.
Sugerencia.
El volumen del cono truncado circular recto de altura h, radio menor r y radio mayor R es
V =π
3h(r2 + rR+R2
)194. Dada la gráfica de la función y = f ′(x), bosqueje la gráfica de la funció f , continua en R,
analizando intervalos de monotonía y de concavidad, valores extremos, puntos de inflexión
y tiene los valores dados.
a) f(0) = 3.
2-1
X
Y
b) f(−1) = 0, f(0) = 2, f(1) = 3, f(2) = 0.
195. La ley del movimiento de un cuerpo por una línea recta está dada por
s (t) =t4
4− 4t3 + 16t2
40
donde t es el tiempo en segundos y s (t) el desplazamiento en metros.
a) ¿En qué instantes de tiempo el cuerpo se encuentra en el origen de coordenadas?
b) ¿En qué instantes de tiempo la dirección de su movimiento coincide con la orientación
positiva del eje X?
c) ¿En qué instantes de tiempo su aceleración es nula?
d) Para t = 4 s, halle la velocidad y aceleración del cuerpo.
196. Sea C la curva definida por las ecuaciones paramétricas
C :
x = t2 − 1
y = t4 − 4t
Halle
a) Una ecuación de la recta tangente a C en el punto correspondiente a t = 2.
b) Las coordenadas de los puntos de C donde la recta tangente es horizontal.
c) Las coordenadas de los puntos de C donde la recta tangente es vertical.
d)d2y
dx2en términos de t.
197. Sea la función f definida por
f (x) = x3 − 3x− 3, con x ∈ [0, 3]
a) Sobre el arco AB de la gráfica de f halle un punto M (c, f (c)) en el cual la tangente
sea paralela a la cuerda AB si A (0, f (0)) y B (3, f (3)).
b) Demuestre que la ecuación
x3 − 3x− 3 = 0
tiene una única raíz real.
198. Demuestre que existe al menos un punto P en la gráfica de la función f , definida por
f(x) = x cos(x) + x2 − 4x, x ∈[−π2,π
2
]tal que la recta tangente a la gráfica de f en P sea paralela a la recta que pasa por los
puntos A(−1; 6) y B(1;−2).
RWSG. San Miguel, 10 de marzo de 2011