Las matemáticas aparecieron por la necesidad que tenía la gente en contar objetos y hacer diferentes cálculos.Al principio necesitaban la ayuda de diferentes objetos como piedras, dedos…Y tenían la necesidad de ampliar la cifra de números naturales, ya que querían hacer cálculos más extensos. Gracias a esta ampliación de los números naturales, ya se iban encaminando hacia la matemática moderna. Las matemáticas se fueron desarrollando en las antiguas civilizaciones de Egipto, Mesopotámia, India y China.

Egipto: La información disponible sobre la civilización desarrollada a lo largo del Nilo es, lo suficientemente fiable, como para ser considerada la primera civilización que alcanzó un cierto desarrollo matemático. Nuestros conocimientos sobre las matemáticas del Antiguo Egipto se basan principalmente en dos grandes papiros de carácter matemático y algunos pequeños fragmentos, así como en las inscripciones en piedra encontradas en tumbas y templos.

Desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía en denominar cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo (palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se formaban añadiendo a un número u otro del número central uno o varios de estos números clave. Un sistema de numeración posterior a éste, pero de similares características sería el sistema de numeración romano. También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad, esto es, de la forma 1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas fracciones. Aparecen también los primeros métodos de operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y fracciones.

NUMERACIÓN EGIPCIA:

Desde el tercer milenio a.C los egipcios usaron un sistema deescribir los números en base diez utilizando los geroglíficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades

Los números egipcios se podían escribir en todos los sentidos cambiando la orientación de las figuras. Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los geroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban.

En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.

Mesopotamia: Bajo esta denominación se engloban los Estados situados entre el Tigris y el Eufrates y que existieron desde el año 2000 a.C. hasta el año 200 a.C. Actualmente la información sobre esta civilización (en cuanto a matemáticas se refiere) es mucho mayor que la existente sobre la civilización egipcia, debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas de arcillas es al paso del tiempo.Utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces cuadradas. Desarrollaron el concepto sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas.

NUMERACIÓN BABILÓNICA:

Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el ssss A.C. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores. Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.

China: aunque la civilización china es cronológicamente comparable a las civilizaciones egipcia y mesopotámica, los registros existentes son bastante menos fiables. La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de los nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de los egipcios y babilónicos y a diferencia de los griegos cuyos tratados eran expositivos, sistemáticos y ordenados de manera lógica.

Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad media. No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de la cultura china, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo de estancamiento.

NUMERACIÓN CHINA:

La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental,ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75.

Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10.

INDIA ANTIGUA.:

Son muy escasos los documentos de tipo matemático que han llegado a nuestras manos, pese a tener constancia del alto nivel cultural de esta civilización. Aun más que en el caso de China, existe una tremenda falta de continuidad en la tradición matemática hindú y al igual que ocurría con las tres civilizaciones anteriores, no existe ningún tipo de formalismo teórico. Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos y también parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal. Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C cuando la contribución a la evolución de las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el

predominio de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos las números irracionales.

GRECIA:

La actividad intelectual de las civilizaciones desarrolladas en Egipto y Mesopotamia, ya había perdido casi todo su impulso mucho antes que comenzara la Era Cristiana, pero a la vez que se acentuaba este declive, surgían con una fuerza indescriptible nuevas culturas a lo largo de todo el Mediterráneo; y de entre ella, la cultura helénica fue la principal abanderada en el terreno cultural. Tanto es así, que las civilizaciones anteriores a la Antigua Grecia se conocen como culturas prehelénicas.

El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.

En los matemáticos de esta época los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.

NUMERACIÓN GRIEGA:

El primer sitema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.

Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico. Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente.

Algunos descubrimientos de las matemáticas fueron:

-En 1899 Hilbert escribió los fundamentos de la geometría, que confieren rigurosidad al método euclídeo y lo convierten en uno de mayor alcance. Hilbert presentó los problemas de los que consideraban que tenían que ocuparse los matemáticos durante el siglo xx.

-En 1901 Josiah Willard Gibbs publica su obra Elementary Principales in Statistical Mechanics

PITAGORAS .

Pitágoras, nació en la isla de Samos. Siendo muy joven viajó a Mesopotamia y Egipto (también, fue enviado por su tío, Zoilo, a Militene a estudiar con Ferécides de Syros y tal vez con su padre, Babydos de Syros). Tras regresar a Samos, finalizó sus estudios, según Diógenes Laercio con Hermodamas de Samos y luego fundó su primera escuela durante la tiranía de Polícrates. Abandonó Samos para escapar de la tiranía de Polícrates y se estableció en la Magna Grecia, en Crotona (o Crotón), en el sur de Italia, donde fundó su segunda escuela. Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), Vivió inmediatamente después de Tales. Fundó la escuela pitagórica (Sur de Italia), organización que se guiaba por el amor a la sabiduría y en especial a las Matemáticas y a la Música.

Además de formular el teorema que lleva su nombre, inventó una tabla de multiplicar y estudió la relación entre la música y las matemáticas.A partir de la Edad Media, el teorema de Pitágoras fue considerado como el "pons asinorum", el puente de los asnos, es decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas.

EUCLIDES

1. Euclides vivió entre el 365 y el 300 a. c., pero se desconoce su lugar de nacimiento. Se le denomina de Alejandría por que fue en esta ciudad donde desarrolló todo su trabajo Euclides fue un personaje histórico que escribió Los Elementos y otras obras atribuidas a él.

2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso escribiendo libros a nombre de Euclides después de su muerte.

3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara que había vivido unos cien años antes

Su obra "Elementos de Geometría" como el texto matemático de más éxito en toda la historia. Tanto es así que hasta una época muy reciente, todavía se utiliza como texto escolar en Inglaterra

Matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad. Es probable que Euclides se educara en Atenas, lo que explicaría con su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón

MATEMÁTICAS FAMOSAS

1. TEANO (s.VI a.C .): . Teano nació en Crotona, fue discípula de Pitágoras y se casó con él. Enseñó en la escuela pitagórica. Se conservan fragmentos de cartas y escritos que prueban que fue una mujer que escribió mucho, y eso mismo le atribuye la tradición, que considera como suyos varios tratados de matemáticas, física y medicina. El tratado Sobre la piedad del que se conserva un fragmento con una reflexión sobre el número se piensa que es de Teano. Se le atribuyen otros tratados sobre los poliedros regulares y sobre la teoría de la proporción, en particular sobre la proporción áurea.

Tales, Pitágoras y Teano aparecen en el siglo VI antes de nuestra era. Son figuras indefinidas históricamente, ya que no ha quedado ninguna obra

matemática suya y ni siquiera existe constancia de que las escribieran.

Teano fue una de las primeras mujeres matemáticas. Después de la rebelión contra el gobierno de Crotona, a la muerte de Pitágoras, Teano pasó a dirigir la comunidad, con la escuela destruida y sus miembros exiliados y dispersos, sin embargo con la ayuda de dos de sus hijas difundió los conocimientos matemáticos y filosóficos por Grecia y por Egipto

HIPATIA DE ALEJANDRÍA (370-415):

Nació en Alejandría, su padre era matemático y profesor de museo y se preocupó de darle una buena formación y lo consiguió pues Hipatia fue una filósofa, astrónoma y matemática que llegó a superar a su padre. Contribuyó a la invención de aparatos como el aerómetro y construyó el astrolabio.

Trabajó sobre escritos relacionados con las ecuaciones diofánticas, sobre las cónicas y la geometría y también elaboró tablas sobre movimientos de los astros. Alejandría fue profesora durante 20 años. Enseñó matemáticas, astronomía, lógica, filosofía, mecánica...

En el año 415 cuando tenía 45 años fue asesinada por monjes fanáticos de la iglesia de San Cirilo de Jerusalén ya que ella era partidaria del racionalismo científico griego y no quiso convertirse al cristianismo.

Estudió en el museo y después viajó por Italia y Atenas donde perfeccionó sus conocimientos, y cuando volvió a Alejandría fue profesora durante 20 años. Enseñó matemáticas, astronomía, lógica, filosofía, mecánica... de todas partes del mundo llegaban estudiantes para aprender de ella.

ÉMILIE DE CHÂTELET (1706-1749):

Nació en el seno de una familia ilustre el 17 de diciembre de 1706 en Saint-Jean-en-Greve. Con diez años ya había estudiado matemáticas y la metafísica; a los 12 sabía inglés, italiano, español y alemán y traducía textos en latín. En un café de París no la dejaron entrar por ser mujer. Estudió a Descartes, Leibniz y a Newton. Escribió las instituciones de la física, libro que contiene el cálculo infinitesimal. Hacia 1745 tradujo los principios de la matemática de Newton. Después de quedarse embarazada terminó la edición de la Principia.

MARÍA GAETANA AGNESI (1718 – 1799):

Nació en Milán (Italia) un 16 de mayo de 1718. Desde pequeña conoció a gente muy inteligente y preparada: profesores universitarios, científicos, filósofos... y algunos de ellos instruyeron a María en diversos temas y ciencias. En la adolescencia cayó enferma y tuvo que dejar de estudiar. Apenas recuperada de su enfermedad murió su madre.

María siguió estudiando y en 1738 le publicaron Propositiones philosophicae que abordaba los problemas de filosofía natural que habitualmente se discutían en los salones. Después escribió el libro Instituciones analíticas al uso de la juventud italiana en el que explicaba una parte novedosa de las matemáticas: el cálculo analítico. El libro tuvo muy buena crítica. Se dedicó en profundidad al estudio del álgebra y la geometría y nueve años más tarde aparecieron publicadas las Instituzioni Analitiche, sin duda la obra más importante de toda su carrera como matemática.

CAROLINA HERSCHEL (1750 – 1848):

Nació en Hanover en una familia numerosa de músicos, pero no recibió una educación formal. Cuando Carolina tenía 22 años se fue con ellos para estudiar canto. Aunque tuvo éxito como soprano, la educación que había recibido la había hecho tan dependiente que sólo cantaba cuando la dirigía su hermano William. También ayudó a su hermano a construir telescopios más grandes y más potentes que permitieran estudiar astros más lejanos que la luna y los planetas.

Murió con 97 años y a pesar de que durante una gran parte de su vida fue la ayudante de su hermano, y que por su falta de autoestima y los

prejuicios que en esta época había hacia las mujeres

ÁLGEBRA:

Proviene del árabe y significa restaurar .La palabra Al-gebr, significa transposición de términos, fue

empleada por primera vez por el matemático árabe Al-khuwarizmi, que vivió en Bagdad entre los años 800 y 835 d. J.C.

El álgebra es la rama de la matemática que estudia estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.

El álgebra dio lugar con el tiempo a desarrollos más complejos, de tal manera que es común dividir hoy en día todo el álgebra en las siguientes categorías:

• Álgebra elemental, que se restringe al uso de símbolos abstractos para cantidades numéricas y a la resolución de problemas matemáticos elementales eminentemente prácticos por medio de signos.

• Álgebra abstracta, que se ocupa del estudio en sí misma de las estructuras algebraicas y sus propiedades.

CÁLCULO:

En general, el término cálculo (del latín calculus = piedra)1

hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

No obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico-matemático. Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos.

El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento o discurso. El cálculo lógico natural como razonamiento es el primer cálculo elemental del ser humano. El cálculo en sentido lógico-matemático aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de formalizarse.

ALGORITMO:

Al igual que las funciones matemáticas, los algoritmos reciben una entrada y la transforman en una salida, comportándose como una caja negra. Sin embargo, para que un algoritmo pueda ser considerado como tal, debe ser determinista, eficiente, tener un número finito de instrucciones y debe acabar. Por determinista se entiende que si se sigue el mismo proceso más de una vez se llega siempre al mismo resultado; eficiente que el consumo de tiempo y memoria debe estar cercano o ser el menor posible.

El concepto de algoritmo, aunque similar y obviamente relacionado, no debe confundirse con el concepto de programa. Mientras el primero es la especificación de un conjunto de pasos (operaciones, instrucciones, órdenes, ...) orientados a la resolución de un problema, el segundo es ese conjunto de operaciones especificadas en un determinado lenguaje de programación y para un computador concreto, susceptible de ser ejecutado (o compilado o interpretado). Un algoritmo, estrictamente hablando, no puede ejecutarse hasta que no se implementa, ya sea en un lenguaje de programación, en un circuito eléctrico, en un aparato mecánico, usando papel y lápiz o en algún otro modelo de computación.

Número primo

El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad.

Los números primos menores que cien, son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

El teorema fundamental de la Aritmética establece que cualquier número natural mayor que 1 siempre puede representarse como un producto de números primos, y esta representación (factorización) es única.

Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 adC. Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con métodos diversos, e incluso hay una demostración topológica.

NÚMEROS AMIGOS:

Dos números amigos son dos enteros positivos tales que la suma de los divisores propios de uno de ellos es igual al otro (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).

Un ejemplo es el par (220, 284), ya que:

• los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284

• los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220

Para los pitagóricos los números amigos tenían muchas propiedades místicas. Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos: si

p = 3 × 2n-1 - 1, q = 3 × 2n - 1, r = 9 × 22n-1 - 1,

donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces

2npq y 2nr son un par de números amigos.

NUMERO DE ORO:

El número de oro, número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción, representado por la letra griega Φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:

Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.

CLASIFICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS

Tradicionalmente, las matemáticas "puras" se suelen dividir en tres áreas: "Álgebra", "Análisis Matemático" y "Geometría y Topología"

ÁLGEBRA: El álgebra (una de las ramas más importantes de las matemáticas) tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el Teorema de Pitágoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofanto. Arquímedes se basó en la matemática para componer su tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofanto de Alejandría fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento; como principales trabajos tenemos el análisis diofántico y la obra Aritmética, que recopila todo el conocimiento del álgebra existente hasta entonces.

ANÁLISIS MATEMÁTICOS:

En el siglo XIV, el análisis matemático se origina con Madhava, en el Sur de Asia, quien desarrolló ideas fundamentales como la expansión de series infinitas, las series de potencias, series de Taylor, y la aproximación racional de series infinitas. Además desarrolló las series de Taylor de funciones trigonométricas - seno, coseno, tangente -, y estimó la magnitud de los errores de cálculo truncando estas series. También desarrolló fracciones continuas infinitas, integración término a término, y las serie de potencias de pi. Sus discípulos de la Escuela de Kerala continuaron su trabajo hasta el siglo XVI.

El análisis en Europa se origina en el siglo siglo XVII, en el que Newton y Leibniz inventan el cálculo. En dicho siglo y en el siglo XVIII, ciertos tópicos del análisis como el cálculo de variaciones, las ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales, el análisis de Fourier y las funciones generadoras fueron desarrolladas principalmente para un trabajo de aplicación. Las técnicas del Cálculo fueron aplicadas con éxito en la aproximación de problemas discretos mediante los continuos.

GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA:

La Topología es una disciplina Matemática que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad, etcétera.

Los matemáticos usan la palabra topología con dos sentidos: informalmente es el sentido arriba especificado, y de manera formal se refieren a una cierta familia de subconjuntos de un conjunto dado, familia que cumple unas reglas

sobre la unión y la intersección. Este segundo sentido puede verse desarrollado en el artículo espacio topológico.

La geometría se encargaba de buscar construcciones con regla y compás. Posteriormente, dado que toda construcción es repetición de cinco operaciones básicas sobre unos elementos (rectas y puntos), comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos, y la barrera entre álgebra y geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen [1], que define la geometría como el estudio de los invariantes de un conjunto (como puede ser por ejemplo, pero no necesariamente, el espacio) mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie de propiedades invariantes, y al estudio de cada familia de propiedades invariantes determinadas por cada grupo de transformaciones en cada conjunto es a lo que se dedica la Geometría.

Laura Fuentes y Maria José Gonzabay