guía sobre integral indefinida
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GUÍA SOBRE INTEGRAL INDEFINIDA
OBJETIVOS:
1. Establecer la relación que existe entre la función y su derivada. Determinar
la antiderivada.
2. Caracterizar la integral indefinida de una función como el conjunto de todas
las antiderivadas de una función.
3. deducir la expresión general de la integral de la suma o diferencia de
funciones respecto a la misma variable
ANTIDERIVADAS
Para resolver cierto tipo de problemas, dada una función se requiere determinar
una función tal que ( ) ( )sobre un intervalo I. tal función se denomina
antiderivada o primitiva de
Por ejemplo, si ( ) entonces una antiderivada de es ( ) . Siendo
este proceso inverso de derivar:
De hecho cualquier antiderivada de es de la forma , donde es cualquier
número real.
SI son dos antiderivadas de una función sobre un intervalo I, entonces
difieren por una constante; estos es, existe un número real con la
propiedad de que
( ) ( )
Para cada
DEFINICIÒN:
SI es una antiderivada de , la anti derivada más general ( ) C se denomina
integral indefinida de y se denota por:∫ ( )
El símbolo ∫ ( ) Se lee como “integral indefinida de ( ) con respecto a ” o
“integral indefinida de ( ) diferencial de ”.
La constante se denomina constante de integración.
Es importante resaltar que el significado de la integral indefinida: representa a la
antiderivada más general del integrando; es decir,
∫ ( ) ( ) ( ) ( )
Lo anterior dice que cada formula de integración puede expresarse como una
fórmula de derivada y recíprocamente, que cada derivada puede expresarse
como una integral.
EJEMPLOS:
1. ∫
2. Dado que
∫
3. Debido a que
( ) se tiene que ∫( ) o que
∫
4. ∫ tan
5. ∫
6. Como
( ) ( ) ∫ ( ) ( )
Se puede observar que sin el dato inicial de la derivada, no sería fácil
calcular esta integral.
7. ∫
8. ∫
siempre que (recuerde que
(
)
9. ∫ √
(√
)
∫
√
10. ∫
∫
11. Como ( ln | |+C)’ =
entonces ∫ ∫
| |
12. como ( ) ∫
13. como (
)
entonces: ∫
Las integrales indefinidas tienen dos integrales básicas que “heredan” de
las propiedades respectivas de las derivadas:
I. ∫[ ( ) ( )] ∫ ( ) ∫ ( )
II. ∫ ( ) ∫ ( ) para cualquier constante real k.
14. ∫( ) ∫ ∫ ∫ ∫
15. ∫ (
)
∫(
)
=∫ ∫
∫
| |
16. ∫ √
∫ (
) = t-5ln| |
√
17. ∫
∫ (
)
= ∫
( )
∫
( )
= ∫
∫
∫
∫ (
)
= ∫ ∫
18. ∫( ) ∫( )
= ∫( )
= ∫( ) ( )
= ∫( )
EJEMPLO DE APLICACIÓN DE PROPIEDADES DE INTEGRACIÓN
∫(
)
∫ ∫ ∫
∫
∫