GUÍA “INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN”

OBJETIVOS:

Establecer la relación entre el método de integración por sustitución con el

método de derivación en cadena.

Aplicar el método de integración por sustitución en la resolución de

ejercicios.

CONCEPTO

Este método tiene su fundamento en la regla de la cadena usada en las

derivadas, por tanto, es utilizado para integrar funciones compuestas, y consiste

en realizar un cambio de variable en el integrado para que la integral se

transforme en otra variable más fácil de integrar, es decir, para aplicar las fórmulas

dadas:

Así, a partir de la definición de anti derivada se tiene:

Sean dos funciones derivables tales que: ( ( )) es una anti

derivada de , entonces: ∫ ( ( )) ( ) ( ( ))

Si ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

Para aplicar la integración por sustitución se procede de la siguiente forma:

Primero, se elige , por lo general es la función interna de la función

compuesta.

Segundo, se deriva con respecto a y se escribe como diferencial.

Tercero, se expresa el integrando de la forma ( )

Cuarto, se calcula la integral resultante en términos de la variable

Finalmente, se sustituye nuevamente para obtener una expresión en

términos de .

∫ ( ( )) ( )

Función interna Derivada de la función interna

EJEMPLOS:

Hallar la integral de cada función empleando el método de sustitución.

a. ∫ ( )

Es necesario tomar la función interna y se deriva.

∫( ) ( ) ∫

∫

Como entonces,

∫ ( ) = ( )

b.∫ ( )

Sea

∫ ( ) =

∫ ( ) se multiplica y se divide por 2

Se organizan los factores =

∫

Se reemplaza u =

se calcula la integral

Como , entonces

∫ ( ) =

( )

c.∫

∫

=

∫

∫

( )

Luego, ∫

( )

d. ∫( ) ( )

.

∫( ) ( )

= ∫

=

= ( )

=

=