COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE VERACRUZ PLANTEL 35

“DR. LEONARDO PASQUEL”

PROYECTO DE CÁLCULO INTEGRAL “INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE”

GRUPO 602 INTEGRANTES DEL EQUIPO

-BASULTO ALMEIDA MAURICIO ALBERTO -JIMÉNEZ MENDOZA ANDRÉS GIOVANNI

-LEAL HERNÁNDEZ ARLETTE -MARTÍNEZ SÁNCHEZ JOSÉ FRANCISCO

-REYES LLANOS LUIS ARTURO

MATERIA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESOR ING. CARLOS MELESIO CARRILLO CONSUEGRA

FECHA DE ENTREGA 18 DE MARZO DE 2014

Cálculo Integral Método de integración por sustitución (caso 1) o cambio de variable

(caso 2)

Cuando el integrando es complicado, es necesario aplicar un método adicional para integrar una función que no puede ser integrada por simples formulas elementales; éste método se conoce como “sustitución o cambio de variable” y se resume en lo siguiente:

𝑆𝑒𝑎 𝑢 𝑙𝑎 función interna 𝑦 𝑑𝑢 = 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥

Resolvamos un ejercicio para observar cómo se utiliza la sustitución en la integración.

1. Determinar ∫ 3𝑥2 cos(𝑥3) 𝑑𝑥

Buscamos una función interior cuya derivada esté presente, en este caso es 𝑥3 . Igualamos 𝑢 = 𝑥3 , entonces 𝑑𝑢 = 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥 = 3𝑥2𝑑𝑥 . El integrando original se puede volver a escribir en términos de la nueva variable 𝑢.

∫ 3𝑥2 cos(𝑥3) 𝑑𝑥 = ∫ cos(𝑥3) ∙ 3𝑥2𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥3) + 𝐶

Si cambiamos la variable a 𝑢 podemos simplificar el integrando. Ahora tenemos cos 𝑢 cuya integral puede calcularse con más facilidad. El paso final, después de integrar, es regresar a la variable original, 𝑥.

¿Por qué funciona la sustitución?

El método de sustitución hace que parezca como si pudiéramos manejar a 𝑑𝑢 y 𝑑𝑥 como entidades separadas, incluso simplificándolas en la ecuación

𝑑𝑢 = (𝑑𝑢

𝑑𝑥) 𝑑𝑥. Veamos por que da resultado esto. Supongamos que hay una

integral de la forma ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 siendo 𝑔(𝑥) la función interior y

𝑓(𝑥) la función exterior. Si 𝐹 es una antiderivada o integral de 𝑓, entonces

𝐹′ = 𝑓 y, de acuerdo con la regla de la cadena 𝑑

𝑑𝑥(𝐹(𝑔(𝑥))) =

𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥). Por consiguiente:

∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶

Ahora escribimos 𝑢 = 𝑔(𝑥) y 𝑑𝑢(𝑑𝑥 = 𝑔′(𝑥) en ambos lados de esta ecuación:

∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢

𝑑𝑥𝑑𝑥 = 𝐹(𝑢) + 𝐶

Por otro lado, sabemos que 𝐹′ = 𝑓 equivale a:

∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶

Por consiguiente, las dos integrales siguientes son iguales:

∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢

𝑑𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢

Al sustituir 𝑢 en la función interior y escribir 𝑑𝑢 = 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥 se deja sin alterar la integral indefinida.

2. Determinar ∫ 𝑡𝑒(𝑡2+1)𝑑𝑡

En este caso, la función interior es 𝑡2 + 1, cuya derivada es 2𝑡. Como hay un factor igual a t en el integrando, hacemos la prueba con:

𝑢 = 𝑡2 + 1

Entonces

𝑑𝑢 = 𝑢′(𝑡)𝑑𝑡 = 2𝑡 𝑑𝑡

Sin embargo, observemos que el integrando original sólo tiene 𝑡 𝑑𝑡 y no 2𝑡 𝑑𝑡. En consecuencia escribimos:

1

2𝑑𝑢 = 𝑡 𝑑𝑡

Y a continuación, sustituimos:

∫ 𝑡𝑒(𝑡2+1)𝑑𝑡 = ∫ 𝑒(𝑡2+1) ∙ 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒𝑢 ∙1

2𝑑𝑢 =

1

2∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 =

1

2𝑒𝑢 + 𝐶 =

1

2𝑒(𝑡2+1) + 𝐶

3. Determinar ∫𝑒√𝑥

√𝑥𝑑𝑥

Seleccionamos la función interior, que en este caso es √𝑥, entonces:

𝑢 = √𝑥

Entonces:

𝑑𝑢 =1

2√𝑥𝑑𝑥

Pero, el integrando original sólo tiene 1

√𝑥𝑑𝑥, en consecuencia se debe

escribir:

2 𝑑𝑢 =1

2√𝑥𝑑𝑥

Y a continuación, sustituimos:

∫𝑒√𝑥

√𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑒√𝑥 ∙

1

√𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑢 ∙ 2𝑑𝑢 = 2 ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 2𝑒𝑢 + 𝐶 = 2𝑒√𝑥 + 𝐶

Advertencia

En los ejemplos anteriores vimos que se puede aplicar el método de sustitución cuando falta un factor constante en la derivada de la función interior. Sin embargo, no podremos emplear la sustitución si falta algo que no sea un factor constante. Por ejemplo, si igualamos 𝑢 = 𝑥4 + 5 para determinar:

∫ 𝑥2√𝑥4 + 5 𝑑𝑥

No avanzamos nada, porque no podemos obtener con facilidad 𝑥2 𝑑𝑥 en función de 𝑢. Para aplicar la sustitución, el integrando debe contener a la derivada de la función interna y ésta debe diferir sólo en un factor constante.

4. Determinar ∫𝑒𝑡

1+𝑒𝑡𝑑𝑡

Al observar que la derivada de 1 + 𝑒𝑡 es 𝑒𝑡, vemos que 𝑢 = 1 + 𝑒𝑡 es buena elección. Entonces 𝑑𝑢 = 𝑒𝑡 𝑑𝑡 por lo que:

∫𝑒𝑡

1 + 𝑒𝑡𝑑𝑡 = ∫

1

1 + 𝑒𝑡∙ 𝑒𝑡 𝑑𝑡 = ∫

1

𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 = 𝑙𝑛|1 + 𝑒𝑡| + 𝐶

En este caso 1 + 𝑒𝑡 siempre es positivo por lo que el valor absoluto sólo

es redundancia, por lo que ∫𝑒𝑡

1+𝑒𝑡𝑑𝑡 = ln(1 + 𝑒𝑡) + 𝐶

5. Determinar ∫𝑥 𝑑𝑥

√16−𝑥2

Seleccionamos la función interior, siendo esta 16 − 𝑥2, esto implica que

𝑢 = 16 − 𝑥2, por lo que 𝑑𝑢 = −2𝑥 𝑑𝑥

Pero en la función original sólo aparece 𝑥 𝑑𝑥, por lo que decimos que

−1

2𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥

Y entonces ya podemos sustituir

∫𝑥 𝑑𝑥

√16 − 𝑥2= ∫

−12 𝑑𝑢

√𝑢= −

1

2∫

𝑑𝑢

√𝑢= −

1

2∙

√𝑢

12

+ 𝐶 = −√𝑢 + 𝐶 = −√16 − 𝑥2 + 𝐶

6. Determinar ∫𝑥 cos(𝑥2)

√sin(𝑥2)𝑑𝑥

En este caso la función interior es 𝑥2, entonces

𝑢 = 𝑥2 de lo que se obtiene 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥

Pero el integrando sólo tiene 𝑥 𝑑𝑥 entonces se debe hacer

1

2𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥

Ahora sustituimos

∫𝑥 cos(𝑥2)

√sin(𝑥2)𝑑𝑥 = ∫

cos 𝑢 ∙12

𝑑𝑢

√sin 𝑢=

1

2∫

cos 𝑢 𝑑𝑢

√sin 𝑢

Podemos volver a sustituir realizando otra selección de función interior, en este caso

𝑢1 = sin 𝑢 de donde 𝑑𝑢1 = cos 𝑢 𝑑𝑢

Nuevamente volvemos a sustituir ya que el diferencial aparece tal y como debe ser.

∫𝑥 cos(𝑥2)

√sin(𝑥2)𝑑𝑥 =

1

2∫

cos 𝑢 𝑑𝑢

√sin 𝑢=

1

2∫

𝑑𝑢1

√𝑢1

=1

2∙

√sin 𝑢

12

+ 𝐶 = √sin 𝑥2 + 𝐶

7. Determinar ∫(2𝑥 + 1)𝑒𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥

En este caso un paso importante es efectuar el producto 𝑒𝑥2𝑒𝑥 que, con la

regla de productos de potencias resulta 𝑒𝑥2+𝑥, ahora, la función interior es

𝑢 = 𝑥2 + 𝑥 de donde resulta que 𝑑𝑢 = (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥

Es interesante que el diferencial de u se encuentre tal y como debe estar en el integrando, por lo que

∫ 𝑒𝑥2+𝑥 (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶 = 𝑒𝑥2+𝑥 + 𝐶

8. Determinar ∫ 4𝑥(𝑥2 + 1)𝑑𝑥 con dos métodos; primero multiplique y después integre; ahora resuelva la integral utilizando la sustitución; explique por qué los dos resultado obtenidos son distintos; ¿son correctos los dos?

Comencemos con el primer método que pide el problema, en este caso hay que desarrollar el producto del integrando.

∫ 4𝑥(𝑥2 + 1)𝑑𝑥 = ∫(4𝑥3 + 4𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥3 𝑑𝑥 + ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑥3𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑥 𝑑𝑥

Esto puede resolverse utilizando formulas inmediatas de integración.

= 4 ⋅𝑥4

4+ 4 ∙

𝑥2

2+ 𝐶 = 𝑥4 + 2𝑥2 + 𝐶, este es el resultado 1.

Para obtener el resultado 2 habrá que utilizar el método de sustitución que hemos estado estudiando.

Seleccionamos la función interna, que en este caso es 𝑢 = 𝑥2 + 1 y de ahí obtenemos 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥, pero en el integrando hay 4𝑥 𝑑𝑥 por lo que se dice 2 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥, ahora sustituimos

∫ 4𝑥(𝑥2 + 1)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 ∙ 2 𝑑𝑢 = 2 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∙𝑢2

2+ 𝐶 = 𝑢2 + 𝐶 = (𝑥2 + 1)2 + 𝐶

El cual es el resultado 2.

Pero, ¿son iguales los dos resultados?, comprobémoslo desarrollando el resultado 2.

(𝑥2 + 1)2 + 𝐶 = 𝑥4 + 2𝑥2 + 1 + 𝐶 , puesto que cuando se trata de integrales, toda constante se considera como C, ya que al derivar una constante siempre da cero, podemos resumir el resultado en lo siguiente 𝑥4 + 2𝑥2 + 𝐶 ; con lo que concluimos que los dos resultados son diferentes porque difieren en una constante pero los dos son correctos.

Integración de las funciones trigonométricas elementales

Por otro lado, el método de sustitución ayuda en gran medida a obtener diversas formulas inmediatas para integrar funciones trigonométricas que se presenten de una forma determinada en el integrando. En este caso calcularemos 7 integrales de funciones trigonométricas.

9. Determinar ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥

Si recordamos las identidades trigonométricas sabremos que tan 𝑥 =sin 𝑥

cos 𝑥,

entonces:

∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫sin 𝑥

cos 𝑥𝑑𝑥 , en esta integral podemos aplicar el método de

sustitución, seleccionando a la función interior 𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥 y 𝑑𝑢 =− sin 𝑥 𝑑𝑥, pero en el integrando aparece sin 𝑥 𝑑𝑥, entonces decimos que

– 𝑑𝑢 = sin 𝑥 𝑑𝑥; ahora procedemos a sustituir,

∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫−𝑑𝑢

𝑢= − ∫

𝑑𝑢

𝑢= −𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶

Ahora revertimos la sustitución inicial, con lo que concluimos que

∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| + 𝐶

Adicional; demuestra que − ln|cos 𝑥| + 𝐶 = ln|sec 𝑥| + 𝐶

10. Determinar ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥

Nuevamente, de acuerdo a las identidades trigonométricas cot 𝑥 =cos 𝑥

sin 𝑥,

entonces,

∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = ∫cos 𝑥

sin 𝑥𝑑𝑥, y seleccionando 𝑢 = sin 𝑥 y 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥 podemos

sustituir en el integrando,

∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑢

𝑢= ln|𝑢| + 𝐶 = ln|sin 𝑥| + 𝐶

11. Determinar ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥

Vamos a aplicar un “truco” para llegar al resultado de esta integral, multiplicando y dividiendo el integrando por (sec 𝑥 + tan 𝑥), entonces tenemos,

∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 = ∫sec 𝑥 (sec 𝑥 + tan 𝑥)

(sec 𝑥 + tan 𝑥)𝑑𝑥 = ∫

𝑠𝑒𝑐 2𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥

sec 𝑥 + tan 𝑥𝑑𝑥

Calculemos ahora por sustitución la integral resultante, seleccionando 𝑢 = sec 𝑥 + tan 𝑥 y de donde 𝑑𝑢 = (sec 𝑥 tan 𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2𝑥)𝑑𝑥 , con esto, procedemos a sustituir,

∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑢

𝑢= ln|𝑢| + 𝐶 = ln|sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝐶

12. Determinar ∫ csc 𝑥 𝑑𝑥

Otra vez, vamos a aplicar el método del ejercicio anterior, esta vez vamos a multiplicar y dividir al integrando por (csc 𝑥 − cot 𝑥), resultando lo siguiente

∫ csc 𝑥 𝑑𝑥 = ∫csc 𝑥 (csc 𝑥 − cot 𝑥)

(csc 𝑥 − cot 𝑥)𝑑𝑥 = ∫

(𝑐𝑠𝑐2𝑥 − csc 𝑥 cot 𝑥)𝑑𝑥

(csc 𝑥 − cot 𝑥)

Calculemos ahora esta integral por el método de sustitución, seleccionando 𝑢 = csc 𝑥 − cot 𝑥 y de esta forma obteniendo 𝑑𝑢 =[(− csc 𝑥 cot 𝑥) − (−𝑐𝑠𝑐2𝑥)]𝑑𝑥 , entonces 𝑑𝑢 = (𝑐𝑠𝑐2𝑥 − csc 𝑥 cot 𝑥)𝑑𝑥 , sustituyendo

∫ csc 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑢

𝑢= ln|𝑢| + 𝐶 = ln|csc 𝑥 − cot 𝑥| + 𝐶

13. Determinar ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥

Podemos utilizar una identidad trigonométrica en el integrando, esta vez

seleccionamos 𝑠𝑖𝑛2𝑥 =1−cos 2𝑥

2, entonces

∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 =1

2∫(1 − cos 2𝑥) 𝑑𝑥 =

1

2∫ 𝑑𝑥 −

1

2∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥

Podemos calcular la segunda integral con el método de sustitución,

seleccionando 𝑢 = 2𝑥, de donde 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥, entonces 1

2𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, entonces

1

2∫ 𝑑𝑥 −

1

2∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 =

1

2𝑥 −

1

2∙

1

2∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 =

1

2𝑥 −

1

4sin 𝑢 + 𝐶

=1

2𝑥 −

1

4sin 2𝑥 + 𝐶

Sabemos que sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥, entonces

=1

2𝑥 −

1

4⋅ 2 sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 =

1

2𝑥 −

1

2sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝐶

Finalmente

∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 =1

2(𝑥 − sin 𝑥 cos 𝑥) + 𝐶

14. Determinar ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥

De acuerdo con la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥, alteramos el integrado de manera que quede de la siguiente forma

∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 − ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥

De acuerdo al ejercicio anterior, sabemos que ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 =1

2𝑥 −

1

2sin 𝑥 cos 𝑥 entonces

= 𝑥 − [1

2𝑥 −

1

2sin 𝑥 cos 𝑥] + 𝐶 =

1

2(𝑥 + sin 𝑥 cos 𝑥) + 𝐶

∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =1

2(𝑥 + sin 𝑥 cos 𝑥) + 𝐶

15. Determinar ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑑𝑥

Sabemos, gracias a la identidad trigonométrica que 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1, entonces

∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = tan 𝑥 − 𝑥 + 𝐶

Cambio total de variable (Caso 2)

A veces, es posible re expresar por completo la integral en términos de u y du. Aunque este proceso requiere más pasos explícitos que el modelo de sustitución visto anteriormente donde solo faltaba un factor constante, sirve para resolver integrales de mayor dificultad; en donde podamos hacer que la variable x quede en términos de la variable u.

16. Determinar ∫ 𝑥√2𝑥 − 1𝑑𝑥

En este caso tomamos 𝑢 = 2𝑥 − 1, y de ahí obtenemos que 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥,

entonces 1

2𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, pero el integrando contiene un factor x, entonces hay

que expresar x en términos de u, despejándola de la ecuación; con lo que

se obtiene𝑥 =1

2(𝑢 + 1), ahora, sustituyendo obtenemos al fin

∫ 𝑥√2𝑥 − 1𝑑𝑥 = ∫1

2(𝑢 + 1) ∙ √𝑢 ∙

1

2𝑑𝑢 =

1

4∫(𝑢

32 + 𝑢

12)𝑑𝑢

=1

4∫ 𝑢3/2𝑑𝑢 +

1

4∫ 𝑢1/2𝑑𝑢 =

1

4∙

𝑢5/2

5/2+

1

4⋅

𝑢3/2

3/2+ 𝐶

=𝑢5/2

10+

𝑢3/2

6+ 𝐶 =

√(2𝑥 − 1)5

10+

√(2𝑥 − 1)3

6+ 𝐶

Llegamos así al resultado de esta complicada sustitución.

17. Determinar ∫ 𝑥2√1 − 𝑥 𝑑𝑥

En este caso escogemos 𝑢 = 1 − 𝑥 de donde resulta 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥, pero,

despejamos, y queda – 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, ahora pongamos a x en términos de u, al hacer esto resulta 𝑥 = 1 − 𝑢, finalmente podemos hacer la sustitución correcta.

∫ 𝑥2√1 − 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑢)2√𝑢 ∙ −𝑑𝑢 = − ∫(1 − 𝑢)2√𝑢 𝑑𝑢

= − ∫(1 − 2𝑢 + 𝑢2)√𝑢 𝑑𝑢 = − ∫ 𝑢1/2𝑑𝑢 + ∫ 2𝑢3/2𝑑𝑢 − ∫ 𝑢5/2𝑑𝑢

= −𝑢3/2

3/2+ 2

𝑢5/2

5/2−

𝑢7/2

7/2+ 𝐶 =

4

5√𝑢5 −

2

3√𝑢3 −

2

7√𝑢7 + 𝐶

= −2√𝑢3

105(35 − 42𝑢 + 15𝑢2) + 𝐶

= −2

105√(1 − 𝑥)3 ∙ (15(1 − 𝑥)2 − 42(1 − 𝑥) + 35) + 𝐶

= −2

105√(1 − 𝑥)3 ∙ (15 − 30𝑥 + 15𝑥2 − 42 + 42𝑥 + 35) + 𝐶

Y finalmente llegamos al resultado de esta complicada integral.

= −2

105√(1 − 𝑥)3 ∙ (15𝑥2 + 12𝑥 + 8) + 𝐶

18. Determinar ∫ 𝑡 ∙ √𝑡 − 43

𝑑𝑡

En este caso vamos a selección la función interior 𝑢 = 𝑡 − 4 con lo que 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡; vamos a despejar la variable t de manera que quede en términos de u; y así hacer una sustitución completa, 𝑡 = 𝑢 + 4, y ahora cambiamos por completo el integrando.

= ∫(𝑢 + 4)√𝑢3

𝑑𝑢 = ∫(𝑢4/3 + 4𝑢1/3)𝑑𝑢 = ∫ 𝑢4/3𝑑𝑢 + 4 ∫ 𝑢1/3 𝑑𝑢

=𝑢7/3

7/3+ 4 ⋅

𝑢4/3

4/3+ 𝐶 =

3√𝑢73

7+ 3√𝑢43

+ 𝐶

=3

7√(𝑡 − 4)73

+ 3√(𝑡 − 4)43+ 𝐶

=3

7√(𝑡 − 4)43

∙ ((𝑡 − 4) + 7) + 𝐶

Y finalmente llegamos al resultado final.

=3

7√(𝑡 − 4)43

∙ (𝑡 + 3) + 𝐶

19. Determinar ∫ √1 + √𝑥 𝑑𝑥

Esta vez la derivada de la función interior no puede verse. Sin embargo,

probaremos con 𝑢 = 1 + √𝑥. Entonces 𝑢 − 1 = √𝑥, por lo que (𝑢 − 1)2 =𝑥. Entonces 2(𝑢 − 1)𝑑𝑢 = 𝑑𝑥. Con lo anterior,

∫ √1 + √𝑥 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢 ⋅ 2(𝑢 − 1)𝑑𝑢 = 2 ∫ 𝑢12 ∙ (𝑢 − 1)𝑑𝑢

= 2 ∫ (𝑢32 − 𝑢

12) 𝑑𝑢 = 2 ∙ [

𝑢52

52

−𝑢

32

32

] + 𝐶 = 2 ∙ [2

5√𝑢5 −

2

3√𝑢3] + 𝐶

=4

5√(1 + √𝑥)5 −

4

3√(1 + √𝑥)3 + 𝐶

20. Hagamos un problema de mayor dificultad. Determinar

∫−𝑥

(𝑥+1)−√(𝑥+1)𝑑𝑥

En este caso 𝑢 = 𝑥 + 1, con lo que podemos determinar que 𝑥 = 𝑢 − 1, y entonces 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢, entonces vayamos directo a la sustitución.

= ∫−(𝑢 − 1)

𝑢 − √𝑢𝑑𝑢 = − ∫

(𝑢 − 1)

𝑢 − √𝑢𝑑𝑢

En este caso descompondremos el integrando de la siguiente forma,

− ∫(√𝑢 + 1)(√𝑢 − 1)

√𝑢(√𝑢 − 1)𝑑𝑢 = − ∫

(√𝑢 + 1)

√𝑢𝑑𝑢 = − ∫ (1 + 𝑢−

12) 𝑑𝑢

Como ves, hemos descompuesto el integrando en una función mucho más simple que la inicial, todo esto gracias a la sustitución que hicimos al principio, continuemos,

= − (𝑢 +𝑢

12

12

) + 𝐶 = −𝑢 − 2√𝑢 + 𝐶 = −𝑥 − 1 − 2√(𝑥 + 1) + 𝐶

= −(𝑥 + 2√𝑥 + 1) + 𝐶

¿Aceptas el reto?

Comprueba las siguientes integrales.

1. ∫ 𝑥3√𝑥4 + 5 𝑑𝑥 = 1

6√(𝑥4 + 5)3 + 𝐶

2. ∫ 𝑒cos 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒cos 𝑥 + 𝐶

3. ∫(𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 1)𝑐𝑠𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡3𝑥

3− cot 𝑥 + 𝐶

4. ∫ 𝑥(𝑥2 + 3)2 𝑑𝑥 = 1

3(𝑥2 + 3)3 + 𝐶

5. ∫(𝑥 + 7)√(3 − 2𝑥)3

𝑑𝑥 = −1

4(

51

4(3 − 2𝑥)

4

3 −3

7(3 − 2𝑥)

7

3) + 𝐶

6. ∫𝑥2−1

√2𝑥−1𝑑𝑥 =

1

15√2𝑥 − 1(3𝑥2 + 2𝑥 − 13) + 𝐶