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Universidad Autónoma del Estado de México

Plantel “Ignacio Ramírez Calzada”Academia de Matemáticas

Núcleo de formación: Matemáticas

Apuntes de Cálculo Diferencial para la asesoría en el área de matemáticas

M. en A. Bernabé Gustavo Quintana Galindo.

JUNIO 2009

Apuntes de Cálculo Diferencial

INDICE.PRESENTACIÒN……………………………………………………………………………………………………...3LÍMITE DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………………………………..5LÍMITES LATERALES……………………………………………………………………………………………….8TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES…………………………………………………………..…10LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS…………………………………………………………………………………13LÍMITES INFINITOS………………………………………………………………………………………..……..15EL NÚMERO e……………………………………………………………………………………………………….17CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN……………………………………………………………………………18PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES……………….21CONTINUIDAD EN UN INTERVALO…………………………………………………………………………..23INCREMENTOS………………………………………………………………………………………………………25LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………………………27TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS………………………………………………………….29DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS………………………………….31M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 2


DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS………………………………….33DERIVADA DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS……………………………………………………………….35DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES………………………………………………………37DERIVACIÓN LOGARÍTMICA…………………………………………….………………………………………39DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN……………………………………………………………….41 DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS……………………………………………………………….42ECUACIÓN DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA………………….…………..44MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………….46PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS……………………………………………..49DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………………………52LA INTEGRAL INDEFINIDA………………………………………………………………………………………53INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN…………………………………………………………………………..54FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN……………….………………………………………54GLOSARIO……………………………………………………………………………………………………………..55BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………………………………..57

PRESENTACION

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 3


Los presentes Apuntes de Cálculo Diferencial pretenden apoyar los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando conceptos y definiciones, así como ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por resolver de uso más frecuente en los temas a tratar.

El alumno al hacer uso frecuente de estos apuntes encuentra un apoyo académico, ya que los conceptos y ejemplos presentados le permitirán hacer más comprensibles e interesantes la resolución de los ejercicios en el la aplicación a los diferentes tipos de problemas. Los conceptos y definiciones que contiene y los ejercicios que resuelva le proveerán de un conocimiento básico del Cálculo, comprendiendo la materia de un modo más completo. Los apuntes contienen conceptos y ejemplos de funciones, límites, derivadas y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva, así como aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos.

De esta manera, se pretende apoyar la asesoría a los estudiantes e ir consolidando materiales de sustento académico para el Núcleo de Formación de Matemáticas, por lo que estos apuntes se entregan a los alumnos al inicio del semestre haciendo una revisión personalizada como parte de la clase o en el cubículo como asesoría disciplinaría.



Con la elaboración y uso de este material por parte del alumno se busca desarrollar el razonamiento y la habilidad matemática en el alumno y ampliar la comprensión y utilización del lenguaje básico de las ciencias, lo cual es el propósito del programa de esta asignatura.



TEMA No. 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

El concepto de límite de una función es una de las ideas fundamentales que distinguen al cálculo de otras áreas de las matemáticas como el álgebra o la geometría. Debe advertirse al estudiante que la noción de límite no se llega a dominar fácilmente. En efecto, es frecuentemente necesario para el principiante estudiar la definición muchas veces, mirándola desde varios puntos de vista, antes de que su significado se aclare. A pesar de la complejidad de la definición, es fácil adquirir intuición para los límites.

En el cálculo y sus aplicaciones a menudo nos interesamos por los valores f(x) de una función f cuando está muy cerca de un número a, pero no es necesariamente igual a a. De hecho, en muchos casos el número a no está en el dominio de f; esto es f(a) no está definido. Vagamente hablando, nos hacemos la siguiente pregunta: ¿Si x se acerca más y más a a (pero x ¿ a), f(x) se acerca también cada vez más a algún número L? Si la respuesta es sí decimos que el límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L. y escribimos

limx→a

f ( x )=L

Consideremos el caso de un físico que desea hacer mediciones de los efectos del vacío en un experimento, cuando la presión del aire es cero. Como es imposible lograr un vacío perfecto en un laboratorio, una manera natural de abordar el problema es medir dicha cantidad a presiones cada vez más pequeñas. Si al acercarse a cero la presión, las mediciones correspondientes se acercan a un número L, entonces puede suponerse que la medición en el vació sería también L. Nótese que en este experimento la presión x nunca es igual a cero; sin embargo los equipos para hacer vació pueden lograr presiones muy cercanas a cero.

Consideremos que x tiende a 3,podemos considerar valores a la izquierda como 2.5,2.8,2.9,2.99,2.999,2.9999 y desde la derecha 3.5,3.2,3.1,3.01,3.001.



Nótese que a la variable x primero se le asignaron valores sucesivamente cada vez más cercanos a 3 desde la izquierda y desde la derecha pero ninguno igual a 3

Concepto de límite de una función:

El límite de una función real de variable real con regla de correspondencia y = f (x) cuando la variable independiente x tiende a un valor fijo a, es el valor L hacia el cual tiende la función, se denota:

limx→ a

f ( x )= L

Que se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a a es igual a L.

Significa que cuando x está muy cerca de a, la función y = f(x) está muy cerca de L.

Para interpretar geométricamente el valor de un límite, se traza la gráfica de la función, entonces, cuando x está muy cerca de a, f(x) está muy cerca de L, por lo cual L es el valor del límite.

Ejemplo 1: Obtener el valor del límite limx →1

(x2+2)

En este caso, como x tiende a uno, se le asignan a x valores sucesivamente cada vez más cercanos a uno, tanto menores como mayores y se valúa la función en cada valor asignado a x. El valor hacia el cual tienda la función cuando x esté muy cerca de 1 corresponderá al valor del límite.

En ambas tablas, cuando los valores de x se acercan cada vez más a 1, la función se acerca cada vez más a 3, por lo tanto el límite de la función es igual a 3, esto es


X f ( x )=x2+2 0.50.80.90.990.999

2.25 2.64 2.81 2.98 2.998

x f ( x )=x2+21.51.21.11.011.001

4.25 3.44 3.21 3.0201 3.002001


limx →1

(x2¿+2)=3¿

Resumen: El limite de una función es que cuando x está muy cerca de un valor a localizado en el eje x, la función y= f ( x ) está muy cerca de un valor L localizado en el eje y.

Ejercicios de reforzamiento:

Obtenga el valor de los siguientes límites, para lo cual construya una tabla en donde asigne valores cercanos al valor hacia el cual tiende la variable x:

1.- limx →1

(x3¿−1)¿

2.-limx →0

(4−2 x )

3.- limx →1

(2 x2¿−3 x+4 )¿



TEMA No.2. LÍMITES LATERALES

El asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x, tanto con valores menores como con valores mayores, se denomina: cálculo de un límite mediante sus límites laterales.

El límite en el cual se asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x, pero menores, se denomina límite lateral por la izquierda.

El límite lateral por la izquierda de una función f(x) cuando x tiende a un valor fijo a, se representa por:

limx→ a−

f ( x )

El límite en el cual se asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x, pero mayores, se denomina límite lateral por la derecha.

El límite lateral por la derecha de una función f(x) cuando x tiende a un valor fijo a, se representa por:

limx→a+

f ( x )

TEOREMA

El límite de una función existe, sí y sólo sí, sus límites laterales existen y son iguales, esto es:



limx→a

f ( x )existe⇔

limx→a−

f ( x )= limx→ a+

f ( x )

Del teorema anterior se deduce que para calcular el límite de una función, primero se deben obtener sus límites laterales y a partir de ellos, se determina el valor del límite.

Ejemplo 1: Calcular el límite por la izquierda de la siguiente función: f ( x )=√5−x cuando x tiende a 5.

En este caso se obtiene el límite de la función elaborando la siguiente tabla:

Cuando los valores de x se acercan cada vez más a 5 por la izquierda, la función se acerca cada vez más a 0, esto es, cuando x→ 5−¿ ¿, entonces f ( x ) →0 y por lo tanto:

limx→ 5−¿ √5− x ¿

¿

Resumen: El asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x, tanto con valores menores como con valores mayores, se denomina: cálculo de un límite mediante sus límites laterales.


1.-Calcular el límite por la izquierda de la siguiente función: f ( x )=3 x2+5 cuando x tiende a 2.

2.- Calcular el límite de la siguiente función utilizando límites laterales:

limx →2

g (x) si g ( x )=¿ √ x para x ¿2 x2 para x ≤ 2


x→ 5−¿ ¿ f ( x )=√5−x 4.5 4.8 4.9 4.99 4.999

0.7071 0.4472 0.3162 0.1000 0.0316


TEMA No.3. TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES

Una forma directa para calcular el límite de una función, es mediante el uso de teoremas, los más importantes son los siguientes:

1. lim k

x→a=k

donde k es un número real (una constante)

2. lim x

x→a=a

3. lim kx

x→a=ka

donde k es un número real (una constante).

4. limx→a

xn=an

5. limx→a

[ f (x )+g ( x )]=limx→ a

f ( x )+limx→a

g ( x ) donde f (x) y g (x) son funciones

reales.

6. limx→a

[ f (x )⋅g( x )]=limx→ a

f ( x )⋅limx→ a

g( x )

7. limx→a

f ( x )g ( x )

=limx→a

f ( x )

limx→a

g ( x ) donde g (x) ¿ 0.



8. limx→a

[ f ( x )] n= [limx→af ( x )] n

Ejemplo 1: Calcular el valor del límite: limx →2

(2 x2¿−5 x+3)¿

Utilizando el teorema 5

limx →2

(2 x2¿−5 x+3)=limx →2

(2 x2¿)−limx → 2

(5 x )+ limx→ 2

(3)¿¿

Utilizando los teoremas 3,4 y 1

¿2(2)2−5 (2 )+3Simplificando, se tiene el valor del límite.

=1


(x2¿+2)(3 x−1)¿

Se pide obtener el límite de un producto de dos funciones, entonces

limx →1

(x2¿+2) (3 x−1 )= limx →1

(x2¿+2) limx →1

(3 x−1)¿¿

= (1+2) (3-1)

= 3


2 x2+3 x−14 x+5

Aplicando el teorema número 7, se tiene:

limx →0

2 x2+3 x−14 x+5

=0+0−10+5

=−15

Ejemplo 4: Determinar el valor del límite limx→−2

x2+4 x+4x2+8 x+12

Factorizando tanto el numerador como el denominador de la función, porque al calcular directamente el límite resulta la indeterminación 0

0 .



limx→−2

x2+4 x+4x2+8 x+12

= limx →−2

( x+2 )(x+2)( x+6 )(x+2)

Simplificando

¿ limx→−2

(x+2)(x+6)

Aplicando los teoremas correspondientes:

=−2+2−2+6 = 0

4 = 0

Ejemplo 5: Calcular el valor del límite: limx →1

x−1√ x−1

La simplificación de una expresión que contiene radicales, se hace racionalizando. En este caso se debe racionalizar el denominador de la función multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador que es: √ x+1.

limx →1

x−1√ x−1

=limx →1 [ x−1

√x−1 ][ √x+1√x+1 ]

Efectuando la multiplicación, en el denominador se tienen dos binomios conjugados, cuyo producto resulta una diferencia de cuadrados.

=limx →1

( x−1 )(√x+1)(√x )2−(1 )2

Simplificando: = limx →1

( x−1 )(√x+1)x−1

Aplicando los correspondientes teoremas de límites:

=2



Resumen: Para el cálculo directo de límites de funciones se aplican los teoremas correspondientes aplicando los productos notables para factorización así como procesos como racionalización.


Calcular los siguientes límites.

1.- limx →2

(2 x2¿−3 x+1)¿

2.- limx→ 4

3√4 x+11

3.- limx →2

x2+2x−82 x2−4

4.- limx →2

3 x−6√3 x−√6

TEMA No.4. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

En esta sección desarrollaremos fórmulas para los límites de las funciones trigonométricas, supondremos que cada variable representa un número real o la medida en radianes de un ángulo y en algunos casos se expresará como una función con ciertas variables.

El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los siguientes teoremas, en los cuales se considera que u = f (x).

1. limu →φ

sen u =sen φ

2. limu →φ

cos u=cos φ

3. limu→0

sen u=0



4. limu→ 0

cos u=1

5.

limu→ 0

sen uu

=1

Con estos teoremas es posible obtener el límite de funciones trigonométricas. Cuando la función dada es diferente de la función seno y coseno, primero se aplican identidades trigonométricas y después el teorema correspondiente.

Entre las identidades más usuales para el cálculo de límites, se tienen las siguientes:

tan u ≡ sen ucos u

cot u≡cos usen u

sec u ≡ 1cos u

csc u≡ 1sen u

Ejemplo 1: Calcular el límite trigonométrico limx →0

cos3 x

El argumento de la función es 3x, entonces haciendo u=3x, cuando x→ 0, tambièn 3x→ 0, esto es, el lìmite se puede escribir

lim3 x → 0

cos3 x

Aplicando el teorema limu → 0

cosu=1 se tiene el valor del límite, esto es:

limx →0

cos3 x=1

Ejemplo 2: Calcular el valor del siguiente límite limx →0 [ 2 sen8 x

x ]En este tipo de límites se debe multiplicar por la fracción 8

8 para igualar el argumento con el denominador y aplicar el teorema correspondiente.

limx →0 [ 2 sen8 x

x ]=limx →0 [ 8

8 ] [2 sen8 xx ]



Factorizando y efectuando productos.

=limx →0

[ (2 )(8)] [ sen8 x8 x ]

Aplicando el teorema limu→ 0

senuu

=1

= (2) (8) (1)= 16

Resumen: En los límites de funciones trigonométricas directas supondremos que cada variable representa un número real o la medida en radianes de un ángulo y en algunos casos se expresará como una función con ciertas variables.

Ejercicios de reforzamiento.

Calcular el valor de los siguientes límites.

1.- limx →3 [ sen( x−3)

3 x−9 ]2.- lim

x →0 [ 3 sec xcsc x ]

TEMA No. 5 LÍMITES INFINITOS

DEFINICIÓN 1

Se dice que x tiende a más infinito ( x→+∞) si a partir de un número real cualquiera, éste y todos los que le siguen son mayores que cualquier número real dado.

DEFINICIÓN 2



Se dice que x tiende a menos infinito ( x→−∞) si a partir de un número real cualquiera, éste y todos los que le siguen son menores que cualquier número real dado.

DEFINICIÓN 3

Se dice que x tiende a infinito ( x→∞) sí ( x→+∞) ó ( x→−∞).

DEFINICIÓN 4

Se dice que una función tiende a más infinito cuando x→a , si cada vez que a “x” se le asignan valores cercanos a a, los valores de la función son cada vez más grandes que cualquier número real dado, esto es:

limx→a

f ( x )=+∞

DEFINICIÓN 5

Se dice que una función tiende a menos infinito cuando x→a , si cuando a “x” se le asignan valores cada vez más cercanos a a , los valores de la función son cada vez menores que cualquier número real dado, esto es:

limx→a

f ( x )=−∞

DEFINICIÓN 6

Se dice que L es el límite de una función f(x) cuando la variable x tiende a más infinito, si cuando a x se le asignan valores cada vez mayores, los valores de la función son cada vez más cercanos a un número real L, esto es:

limx→+∞

f ( x )=L

DEFINICIÓN 7

Se dice que L es el límite de una función f(x) cuando la variable x tiende a menos infinito, si cuando a x se le asignan valores cada vez menores, los valores de la función son cada vez más cercanos a un número real L, esto es:

limx→−∞

f ( x )=L



Resumen: en los límites infinitos se considera que la variable x toma valores que tienden a +∝ y hacia -∝

TEMA No.6. EL NÚMERO e

El número e llamado Número de Euler, esta definido por los siguientes límites, donde u es una función de x

e= limu→0

(1+u )1u

óe= lim

u→∞(1+

1u ) u



El conocimiento del número e es indispensable para el cálculo de límites, derivadas e integrales de funciones logarítmicas y exponenciales.El sistema de logaritmos que tiene como base al número e recibe el nombre de sistema de logaritmos naturales o neperianos, se denota por ln. El número e tiende al valor 2.71828....

Resumen: el numero e se presenta como un límite, y este número es la base de los logaritmos naturales.

TEMA No.7. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.

Una función es continua cuando se representa su gráfica como una línea continua sin presentar interrupciones ni saltos. El concepto de continuidad debe de cumplir con algunos requisitos que se proponen en la siguiente definición.

DEFINICIÓN.



Se dice que una función real de variable real con regla de correspondencia Y = f(x), es continua en un punto de abscisa x = a, cuando cumple la condición siguiente, llamada condición de continuidad.

f (a )=limx→a

f (x )

Cuando esta condición no se cumple, entonces la función es discontinua en x=a. En este caso, el punto de abscisa “a” se denomina punto de discontinuidad de la función.

Existen tres tipos de discontinuidad de una función:

1. Discontinuidad evitable o restringible.2. Discontinuidad infinita o asintótica.3. Discontinuidad de salto.

Estos tipos de discontinuidad se pueden identificar de acuerdo a las siguientes características:

1. Se presenta una discontinuidad evitable, cuando la función no está definida en el punto, pero el límite en ese punto si existe.

2. Se presenta una discontinuidad infinita, cuando la función no está definida en el punto y tampoco existe el límite en ese punto.

3. Se presenta una discontinuidad de salto, cuando la función está definida en el punto, pero el límite en ese punto no existe.

La condición de continuidad, en algunos textos se analiza por separado, esto es, primero se valúa la función en la abscisa del punto indicado, después se calcula el límite de la función y por último se comparan los dos valores obtenidos.

Ejemplo 1: Analice la continuidad de la siguiente función en el punto indicado, en caso de que la función sea discontinua, indicar a que tipo de discontinuidad pertenece.

y=2 x−7en x= 3

Analizando la condición de continuidad por separado se tiene:

a) f (3 )=2 (3 )−7=−1 El cual pertenece a los nùmeros reales.b) lim

x →3(2x−7 )=−1 El cual pertenece a los nùmeros reales.



Como f (3) = limx →3

(2 x−7)

Se cumple la condición de continuidad, entonces la función dada es continua en x=3.

Gráfica. Se trata de una función lineal de primer grado, tabulamos en el intervalo (-1,6).

Ejemplo 2: Analice la continuidad de la siguiente función en el punto indicado, en caso de que la función sea discontinua, indique a que tipo de discontinuidad pertenece.

3x-1 si x≤ 2 y=¿ 4 si x>2 en x=2.

Analizando la condición de continuidad:

a) Para evaluar f (2), se considera la parte de la función que está definida para x=2, esto es la función lineal. Entonces:

f (2 )=3 (2 )−1=5b) lim

x →2f (x ) Aquì por tratarse de una funciòn definida en dos

secciones, el lìmite se calcula mediante los lìmites laterales.

El límite por la izquierda es:lim

x→ 2−¿ f ( x )= limx →2−¿ 3x−1=5

¿¿¿¿

El límite por la derecha es:lim

x→ 2+¿ 4=4¿¿

Como los límites laterales son diferentes, entonces el límite de la función f(x) no existe, esto es:

limx →2

f ( x )=∄

Entonces f (2)≠ limx→ 2

f (x) por no existir límite.


x y=2x−7-10123456

-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5


Por lo tanto la función f(x) es discontinua en x=2 porque no se cumple la condición de continuidad. Se presenta una discontinuidad de salto. Se deja al alumno la elaboración de la gráfica.

Resumen: una función se considera continua cuando se representa su gráfica como una línea continua sin presentar interrupciones ni saltos.


Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado y trace la gráfica, en caso de que la función sea discontinua, indique a que tipo de discontinuidad pertenece.

1.- y=3 x2−2en x=3

2.-y= x2+3 xx

en x=

TEMA No. 8. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES.



En una función algebraica racional con regla de correspondencia de la

forma y= f (x )

g( x ) , donde f(x) y g(x) son funciones polinomiales, los puntos en los cuales la función g(x) es igual a cero, son puntos de discontinuidad porque la división entre cero no está definida.

Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una función algebraica racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar con cero el denominador.

Ejemplo 1: Encuentre los puntos de discontinuidad de la función: f ( x )= 3 x

x2−2 x

Igualando con cero el denominador

x2−2 x=0

Resolviendo la ecuación por factorización:x (x−2 )=0

x=0 x−2=0

x=2

Por lo tanto, la función es discontinua en x=0 y en x=2.

Calculando el límite de la función en estos dos puntos

a) Para x=0

limx →0

3 xx2−2 x

=limx →0

3 xx (x−2)

¿ limx→ 0

3x−2 =−3

2

La función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto (0,- 32)

porque la funciòn no esta definida en x=0, pero su límite en ese punto si existe.

b) Para el segundo valor x=2, se tiene

limx →2

3xx2−2 x

=30=No existe el lìmite.



Entonces la función f(x) presenta una discontinuidad infinita en el punto de abscisa x=2. La gráfica de la función es:

Resumen: Los puntos de discontinuidad son aquellos donde la gráfica presenta alguna asíntota o una región donde no existe la curva de una manera continua.


Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, trace la gráfica e indique el tipo de discontinuidad que se presenta.

1.- f ( x )=3 x−6x−2

2.- f ( x )= 3 xx2+5 x+6

TEMA No. 9. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO.



Si una función es continua en cada punto de un intervalo dado, es continua sobre el intervalo. Si una función no es continua en a, se dice que es discontinua o que tiene una discontinuidad en a.

DEFINICIÓN 1.

Una función real de variable real con regla de correspondencia y = f (x) , es continua en el intervalo ( a, b ), sí y sólo sí es continua en todos los puntos con abscisa dada por los números comprendidos dentro del intervalo abierto ( a, b )Lo cual implica que no tiene puntos de discontinuidad en todas las abscisas de los puntos que pertenecen a dicho intervalo.

DEFINICIÓN 2.

Una función real de variable real con regla de correspondencia y = f(x) , es continua en el intervalo [a , b ] , sí y sólo sí cumple con las siguientes condiciones.

1.-Que f(x) no tenga puntos de discontinuidad en (a, b).

2.-Que limx→a+

f ( x )=f (a )

3.-Que limx→b−

f ( x )=f (b )

Ejemplo 1: Analice la continuidad de la función f ( x )=√25−x2 en el intervalo [−5,5 ] y trace la gràfica.

Analizando las tres condiciones de continuidad para un intervalo cerrado se tiene:

1.- En el intervalo abierto (−5,5 ) la funciòn es continua, puesto que existe para todos los valores del intervalo, esto es, la función no presenta puntos de discontinuidad en el intervalo abierto (−5,5 ).



2.- limx→−5+¿ √25−x2=0¿

¿

f (−5 )=√25−(−5)2

Como limx→−5+¿ √25−x2=f (−5)¿

¿ Cumple con la segunda condiciòn de continuidad.

3.- limx→ 5−¿ √25− x2¿

¿=0

f (5 )=√25−(5)2=0

Como limx→ 5−¿ √25− x2= f (5)¿

¿ Cumple con la tercera condiciòn de continuidad.

Por lo tanto la función es continua en el intervalo cerrado [−5,5 ].

Resumen: si una función es continua en cada punto de un intervalo dado, se dice que es continua sobre el intervalo.


Analice la continuidad de las siguientes funciones en el intervalo indicado y trace la gráfica.

1.- f ( x )=2 x2−4 en [ 0,4 ]

2.- f ( x )=√2−xen[−2,2 ]



TEMA No. 10. INCREMENTOS.

INCREMENTO DE UNA VARIABLE.

Si a la variable independiente x se le asigna un valor inicial x 1 , y después un valor final x 2 , entonces, se llama incremento de la variable x a la diferencia del valor final con el valor inicial y se denota por Δ x (se lee: delta x ). Esto es:

Δ x=x 2−x 1

INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN.

Dada una función real de variable real con regla de correspondencia y=f(x) , si x varia de x1 a x2 entonces al valor de la función en x1 se llama valor inicial de la función f(x1) y al valor de la función en x2 se llama valor final de la función f(x2).

Se llama incremento de la función f(x) a la diferencia del valor final con el valor inicial y se denota por Δf ( x ). Esto es:

Δf ( x )=f ( x2)−f (x1 )

En general para cualquier x que pertenece al dominio de la función, se considera:

Δf ( x )= f ( x+ Δx )−f (x )

Ejemplo 1: Determinar el cociente

∆ f (x)∆ x

Para la siguiente función: f ( x )=3 x2+2x−1



El incremento de la función se obtiene con: ∆ f ( x )=f ( x+∆ x )− f (x), entonces

∆ f ( x )=3(x+∆ x )2+2 ( x+∆ x )−1−(3 x2+2 x−1)

¿3 ( x2+2x ∆ x+∆ x2)+2 x+2∆ x−1−3 x2−2 x+1

¿3 x2+6 x ∆ x+3 ∆ x2+2 x+2 ∆ x−1−3 x2−2 x+1

¿6 x ∆ x+3 ∆ x2+2 ∆ x

¿(6 x+3 ∆ x+2)∆ xDividiendo entre ∆ x y simplificando, se tiene el cociente de incrementos

∆ f (x)∆ x

=(6 x+3 ∆ x+2)∆ x∆ x

=6 x+3∆ x+2

Resumen: si a la variable x se le hace un incremento ∆ x entonces la función f(x) presenta un incremento proporcional al realizado en el eje x.


Determine el cociente ∆ f (x)∆ x

para las siguientes funciones:

1.- f ( x )=3 x3−4 x2+ x−5

2.- f ( x )=√2 x+1



TEMA No 11. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La derivada de una función es una de las herramientas más poderosas en las matemáticas. En efecto, es indispensable para las investigaciones no elementales tanto en las ciencias naturales como en las ciencias sociales y las humanidades.

DEFINICIÓN.

La derivada de una función real de variable real continua, se obtiene como el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable independiente, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero, esto es:

Derivada de f ( x )= lim

Δx→0

Δf ( x )Δx

También la derivada de una función se expresa como:

Derivada de f ( x )= lim

Δx→0

f ( x+ Δx )−f ( x )Δx

A efecto de simplificar la notación, es común representar a Δx mediante la letra h, con lo cual se tiene:

Derivada de f ( x )=lim

h→0

f ( x+h )−f ( x )h

NOTACIÓN.



La derivada de una función real de variable real con regla de correspondencia y=f ( x ) se denota de las siguientes seis formas:

D x f ( x ),D x y

,f ' ( x ), Y’,

df ( x )dx

,

dydx

La derivada de una función en cualquiera de sus puntos, geométricamente representa la pendiente de las rectas tangentes a la curva en esos puntos. Esto es

mT=D x f ( x )

Ejemplo 1: Obtener la derivada de la siguiente función: f ( x )=4 x2+2x−3Aplicando la definición de derivada:

D x f ( x )=limh →0

f ( x+h )−f (x )h

Resulta¿ lim

h→ 0

4(x+h)2+2 ( x+h )−3−(4 x2+2 x−3)h

¿ limh→ 0

4 ( x2+2xh+h2 )+2 x+2 h−3−4 x2−2x+3h

¿ limh→ 0

4 x2+8 xh+4h2+2 x+2h−3−4 x2−2 x+3h

Simplificando:¿ lim

h→ 0

8 xh+4h2+2 hh

Realizando la división¿ lim

h→ 0(8 x+4 h+2¿)¿

Finalmente, calculando el límite cuando h→ 0 se tiene la derivada de la función

D x f ( x )=8 x+2

Resumen: La derivada de una función real de variable real continua, se obtiene como el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable independiente, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero.




Utilizando la definición, calcular la derivada de las siguientes funciones.

1.- f ( x )=5−2 x+5 x2

2.- f ( x )= 2x3 x+1

TEMA No. 12. TEOREMAS PARA EL CÀLCULO DE DERIVADAS.

f Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la derivada de una función real de variable real, es mediante el uso de

teoremas, los cuales se obtienen a partir de la definición.

1.- D x k=0 donde k es un número real (Constante).

2.- D x x=1

3.- D x kx=k donde k es un número real (Constante).

4.- D x x n = nx n − 1donde n ∈ R .

Sí f (x) y g(x) son dos funciones reales de variable real continuas:

Sí f(x) y g(x) son dos funciones continuas, se tienen los siguientes teoremas para el cálculo de derivadas.

6. Derivada de un producto.D x [ f ( x )⋅g ( x )]= f ( x )D x g( x )+g( x ) D x f ( x )7. Derivada de un cociente.

D x [ f ( x )g( x ) ]= g( x ) D x f ( x ) − f ( x ) D x g( x )

[ g( x )] 2 donde g(x) ¿ 0



8. Derivada de una función elevada a una potencia.

D x [ f ( x )] n = n [ f ( x )] n−1 D x f ( x )

Este teorema generalmente se expresa como :D x u n = n u n − 1 D x u donde u es una función de x.

Ejemplo 1: Obtenga la derivada de la función f ( x )=6x 4+5 x3−7 x2+8 x−7

Aplicando los teoremas correspondientes

D x f ( x )=D x ( 6 x 4 )+Dx (5 x3 )−D x (7 x2 )+Dx (8 x )−Dx (7)

D x f ( x )=24 x3+15 x2−14 x+8

Ejemplo 2: Obtenga la derivada de f ( x )= 3x5 −

32 x4 +

7x3

Transformando la función a la forma de potencia

f ( x )=3 x−5−3 x−4

2+7 x−3

Aplicando teoremas y simplificando

D x f ( x )=−15 x−6+ 12 x−5

2−21 x−4

D x f ( x )=−15x6 + 6

x5 −21x4

Resumen: para obtener la derivada de una función algebraica de manera directa se aplican los teoremas respectivos, sin necesidad de desarrollar la definición de derivada.


Calcular la derivada de las siguientes funciones:



1.- f ( x )=2 x3−3√2x+ 7x2 −2

2.- f ( x )= 6 x4

3 x2+2 x−3

3.- f ( x )=(3 x+7)√ x+2

TEMA No. 13. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS.

Hemos descrito una función algebraica y expresábamos que una función que no es algebraica es llamada función trascendente. En esta parte estudiaremos el cálculo de aquellas funciones trascendentes comúnmente llamadas funciones trascendentes elementales. Estas incluyen las funciones trigonométricas, las trigonométricas inversas, las logarítmicas y las exponenciales

La derivada de las seis funciones trigonométricas directas se obtienen aplicando los siguientes teoremas:

Considerando que u es una función continua de x, esto es: u = f (x)

1. D x sen u=cos u Dx u

2. D x cos u=−sen u Dx u

3. D x tan u= sec 2 u D x u

4. D x cot u=−csc 2 u D x u



5. D x sec u=sec u tan u D x u

6. D x csc u=−csc u cot u D x u

Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función f ( x )=tan (2 x2¿+3 x−1)¿

Considerando u=2 x2+3 x−1 y que la derivada es de la forma D x tanu=sec2 u Dx u, entonces

D x f ( x )=sec2 ( 2 x2+3 x−1 ) D x (2 x2+3 x−1)

Calculando la derivada indicada y reordenando los términos, se tiene la derivada de la función.

¿ (4 x+3 ) sec2(2x2+3 x−1)

Resumen: Para obtener la derivada directamente de las funciones trigonométricas se aplican los teoremas respectivos haciendo la consideración del valor que toma la función u.


Obtenga la derivada de las siguientes funciones:

1.- f ( x )=sec √1−3 x2

2.- f ( x )=4 tan7 x−2 sec5 x2

3.- f ( x )= 3x+1cos2 x3



TEMA No. 14. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.

Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas inversas, se aplican los siguientes teoremas.

Considerando que u es una función continua de x, esto es: u = f (x).

1.

D x arc sen u= 1√ 1−u 2

Dx u

2.

D x arc cos u=− 1√ 1−u 2

D x u

3. D x arc tan u= 1

1+u 2D x u

4. D x arc cot u=− 1

1+u 2Dx u



5.

D x arc sec u= 1u √u 2−1

Dx u

6.

D x arc csc u=− 1u √u 2−1

D x u

Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función f ( x )=arc sen ( 2 x3+5 )

Si u= 2 x3+5 y utilizando el teorema D x arc senu= 1√1−u2

D x u se tiene

D x f ( x )= 1

√1−(2 x3+5)2Dx (2 x3+5)

Derivando la función indicada, se tiene la derivada de la función.D x f ( x )= 6 x

√1−(2 x3+5)2

Resumen: para obtener la derivada de las funciones trigonométricas inversas se aplican los teoremas correspondientes haciendo las consideraciones de los valores que toma la función u.


Derive las siguientes funciones:

1.- f ( x )=arc sen (2 x2+5)

2.- f ( x )=( sen3 x2 )¿

3.- f ( x )=arc tan 7 xcot 5 x



TEMA No. 15. DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS.

Para calcular la derivada de una función logarítmica, se aplican los teoremas siguientes:

Considerando que u es una función continua de x, esto es u = f (x).

1. D x log a u=1

uloga e D x u

2.

D x ln u=1u

D x u

Ejemplo1: Calcule la derivada de la función f ( x )=log3(5 x2¿+3 x−4)¿

Considerando u= 5 x2+3 x−4

Aplicando el teorema D x log au=1u

loga e D x u se tiene:



D x f ( x )= 15 x2+3 x−4

log3 e D x(5 x2+3 x−4)

Calculando la derivada indicada, se tiene la derivada de la función.

¿ 10 x+35 x2+3 x−4

log3e

Ejemplo 2: Hallar la derivada de la función f ( x )=ln(cos3 x2¿)¿

Considerando u= cos3 x2

Aplicando el teorema D x ln u=1u

Dx u y simplificando, se tiene:

D x f ( x )= 1cos3 x2 Dx ¿), calculando la derivada indicada.

¿ 1cos3 x2 (−sen3 x2 Dx (3 x2 )) = −6 x sen3 x2

cos3 x2 =−6 x tan 3 x2

Resumen: las funciones logarítmicas que consideran al logaritmo vulgar y al logaritmo natural se pueden derivar aplicando los teoremas correspondientes y considerando los valores que toma la función u.


Calcule la derivada de las siguientes funciones:

1.- f ( x )=log3(2 x5¿+7)¿

2.- f ( x )= tan ( log 5 x4)

3.- f ( x )= ln(sen5 x)cot (2x+3)



TEMA No. 16. DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES.

Para calcular la derivada de una función exponencial, se aplican los siguientes teoremas.

Considerando que u es una función continua de x, esto es, u = f (x).

1. D x a u =a u ln a D x u donde a es una constante.

2. D x e u =e u D x u

Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función f ( x )=5x2+2 x−5

Considerando u=x2+2x−5

Aplicando el teorema D x au=au ln a D x u , se tiene:



D x f ( x )=5x2+2 x−5 ln 5 Dx (x2+2 x−5)Calculando la derivada indicada

¿5x2+2 x−5 ln5 (2x+2)Reordenando los términos, se tiene la derivada de la función:

¿(2 x+2)5x2+2 x−5 ln 5Ejemplo 2: Calcule la derivada de la función g ( x )=esen3 x

Considerando u= sen 3x

Aplicando el teorema D x eu=eu D x u , se tiene:

D x g ( x )=esen 3x D x (sen3 x )Calculando la derivada indicada

D x g ( x )=esen 3 x ¿

Reordenando los términos, se tiene la derivada de la función¿3 esen3 x cos3 x

Resumen: las funciones exponenciales en las cuales una constante o el número e son elevadas a una potencia que es una función de la variable independiente x tienen su derivada, la cual se obtiene mediante la aplicación de sus respectivas formulas.


Calcule la derivada de las siguientes funciones:1.- h ( x )=42 x3+x−1

2.- h ( x )=earc tan√3 x



TEMA No. 17. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA.

Encontrar la derivada de una expresión que es un producto, un cociente o una potencia resulta más fácil si se usan logaritmos y sus propiedades para derivar.

Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función y para efectuar la demostración de teoremas para el cálculo de derivadas.

El método de derivación logarítmica consiste en lo siguiente:

1. Se iguala la función con y.

2. Se aplica el logaritmo natural en ambos miembros de la igualdad.

3. Se aplican las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión.

4. Se derivan con respecto a la variable independiente ambos lados de la igualdad.



5. Se despeja Dxy, que es la derivada que se está calculando.

6. Se substituye la función y = f(x) en el segundo miembro de la igualdad.

7. Se efectúan operaciones en el segundo miembro de la igualdad y se realizan las simplificaciones correspondientes, obteniéndose la derivada de la función dada.

Las propiedades de los logaritmos que se utilizan en este proceso son:

1.- ln AB= ln A+ln B

2.- ln AB

=ln A−ln B

3.- ln An=n ln A

Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función f ( x )=( 4 x2+3 )sen5 x

Igualando la función con y

y=(4 x2+3)sen5 x

Aplicando el logaritmo naturalln y= ln(4 x2+3)sen5 x

Aplicando la propiedad de los logaritmos: ln An=n ln Aln y= (sen5 x ) ln(4 x2¿¿+3)¿¿

Derivando con respecto a x los dos miembros de la igualdad1y

Dx y=( sen5 x ) D x ln (4 x2¿+3)+ ln(4 x2¿+3) Dx (sen5 x)¿¿

¿ ( sen5x )D x ( 4 x2+3 )

4 x2+3+ ln (4 x2¿+3)cos5 x (5)¿

¿ ( sen5 x ) 8 x4 x2+3

+5 ln (4 x2¿+3)cos5x ¿

¿ 8 xsen 5 x4 x2+3

+5 ln(4 x2¿+3)cos5 x¿

Despejando D x yD x y= y ¿

Sustituyendo y ¿(4 x2+3)sen5 x



D x(4 x2+3)sen 5x=(4 x2+3)sen 5x [ 8x sen5 x4 x2+3

+5 ln ( 4 x2+3 ) cos5 x ]Efectuando la multiplicación, se tiene la derivada de la función

¿(4 x2+3)sen 5x 8 x sen5 x4 x2+3

+(4 x2+3)sen5 x 5 ln(4 x2¿+3)cos5 x¿

Resumen: la derivación logarítmica es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función aplicando las propiedades de los logaritmos.


Utilizando el proceso de derivación logarítmica, obtenga la derivada de las siguientes funciones.

1.- f ( x ) ¿(7 x2+3 x )sec 8x

2.- f ( x )=¿¿TEMA No.18. DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN.

Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como resultado una nueva función, la cual se puede derivar nuevamente.

A la derivada de la derivada de una función se le llama segunda derivada y se denota por:

Dx2 f ( x ) D

x2 yd2 f ( x )

dx 2d2 ydx2 f ‘’(x)

Análogamente, la derivada de la segunda derivada, se llama tercera derivada de la función y se denota por Dx3f(x), etcétera.

Las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas de orden superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada la ordinaria.



Ejemplo 1: Obtener la cuarta derivada de la función: f ( x )=7 x5+6 x4−4 x3+3 x2−8 x+1

La primera derivada de la función es:D x f ( x )=35 x4+24 x3−12 x2+6 x−8

La segunda derivadaD x

2 f ( x )=140 x3+72x2−24 x+6La tercera derivada

D x3 f ( x )=420 x2+144 x−24

Finalmente la cuarta derivadaD x

4 f (x )=840 x+144Resumen: las derivadas sucesivas de una función se obtienen derivando a la primera derivada, a la segunda, a la tercera y así sucesivamente hasta obtener la derivada deseada.


1.- Halle la segunda derivada de la siguiente función f ( x )=√3 x2−2 x

2.- Obtenga la quinta derivada de la función f ( x )=sen (4 x−7)TEMA No. 19. DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS.

La mayoría de las funciones que hemos considerado han estado especificadas mediante una fórmula para f(x). Para tales funciones la derivada se obtiene por aplicación directa de los teoremas apropiados sobre derivadas.

Una función real de variable real es implícita cuando su regla de correspondencia es de la forma f (x, y) = 0, esto es, cuando ninguna variable está despejada en términos de la otra.

La derivada de una función implícita de la forma f (x, y) =0 se puede determinar con respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita.



En el presente texto sólo se describe el procedimiento para obtener mediante derivación implícita, la derivada con respecto a la variable independiente x , en la cual, se deriva la regla de correspondencia con respecto a x , teniendo en cuenta que y es la variable dependiente y que Dxy = y’ es la derivada buscada.

En general, para obtener la derivada implícita con respecto a x de una función f ( x , y )=0 , se aplica el siguiente procedimiento:

1. Se derivan todos los términos de la función con respecto a x.

2. Se efectúan las operaciones indicadas.

3. Utilizando las propiedades de la igualdad, se transforma la ecuación en otra equivalente de tal manera que en el primer miembro se tengan los términos que contengan a y’.

4. Se factoriza y ‘.

5. Se despeja y ‘, que es la derivada que se desea obtener.

Ejemplo 1: Derivar implícitamente con respecto a x la función x2 y2−x2 y−x=3 y2+xy

Derivando con respecto

D x ( x2 y2 )−Dx ( x2 y )−Dx ( x )=Dx (3 y2 )+ Dx (xy )Calculando las derivadas que aparecen indicadas

x22 y y '+2 x y2−( x2 y '+2 xy )−1=6 y y '+x y '+ y

Para despejar y’ primero se aplica la propiedad distributiva y después se agrupan en el primer miembro lo términos que contienen a la derivada de y

2 x2 y y '−x2 y '−6 y y '−x y '= y+1−2x y2+2 xyFactorizando la derivada de y

y ' ( 2x2 y−x2−6 y−x )= y+1−2 x y2+2 xyFinalmente, despejando y’ se tiene la derivada de la función con respecto a x, esto es:



y '= y+1−2 x y2+2xy2x2 y−x2−6 y−x

Resumen: la derivación implícita se aplica para aquellas funciones que se presentan de manera implícita es decir que están dadas de la forma f(x, y)=0


Derive con respecto a x las siguientes funciones

1.- 3 x4+2 y3= y2+cos xy

2.- ln xy2=exy+arc tan x

TEMA No. 20. ECUACIÓN DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA.

Una de las aplicaciones de la derivada, que tienen una utilidad inmediata, y que se apoya en la definición e interpretación geométrica de la derivada de una función real de variable real continua, consiste en la obtención de la ecuación de la recta tangente y normal en un punto determinado de la curva.

Si una función real de variable real con regla de correspondencia y = f(x) es continua y tiene derivada en x = x0 , esto es, f ‘(x0) ∈ R, entonces, la función f(x) tienen una recta tangente en el punto ( x0 ,f(x0) ) , cuya pendiente es m=f’(x0) y su ecuación en la forma punto pendiente es:M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 46


y− f ( x0 )= f ' ( x0)(x−x0)

Una recta normal a la curva en un punto dado, es la recta perpendicular a la recta tangente en ese mismo punto denominado punto de tangencia.

Es necesario recordar que si m 1 es la pendiente de una recta y m 2 la pendiente de otra recta perpendicular a la primera, entonces se cumple que m1m2=−1

, conocida como condición de perpendicularidad.

Por lo tanto, la recta normal a la curva en el punto de tangencia (x0,

f(x0)) con pendientemn=− 1

f '( x0 ) , tiene por ecuación:

y−f ( x0)=− 1f ' ( x0)

( x−x0 )

Ejemplo 1: Obtener la ecuación de la recta tangente y normal a la curva f ( x )=2 x2+3 x−2 en el punto de abscisa x=1.

La ordenada del punto de tangencia, se calcula sustituyendo x=1 en la ecuación de la curva.

f (1 )=2(1)2+3 (1 )−2¿3

Entonces el punto de tangencia es P (1,3)

La pendiente de la recta tangente, se obtiene derivando y valuando la función en la abscisa del punto de tangencia.La derivada de la función es:

f (x)'=4 x+3El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es:

m=f ' (1)¿4 (1 )+3=7

La ecuación de la recta tangente es:y− f ( x0 )= f ' ( x0 ) ( x−x0 )

Sustituyendo los valores y simplificando se tiene la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto P (1,3).

y−3=7( x−1)7 x− y−4=0

La ecuación de la recta normal es:



y−f ( x0 )= −1f ' ( x0 )

(x−x0)

Sustituyendo los valores y simplificando se tiene la ecuación de la recta normal a la curva en el punto P (1,3).

y−3=−17

( x−1 )

x+7 y−22=0

Resumen: Una de las aplicaciones de la derivada, consiste en la obtención de la ecuación de la recta tangente y normal en un punto determinado de la curva, así como de la pendiente de ambas rectas con lo cual se puede trazar la gráfica.


1.- Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva y=2 x2−4 x+8 con ángulo de inclinación de 135º.

2.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y=x3−5 x+2 que tiene pendiente m=5.

TEMA No. 21. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN.

Función creciente: una función real de variable real continua en el intervalo abierto (a, b), se dice que es creciente en ese intervalo, sí y sólo sí:

f ( x1)≤f ( x2 ) para x1≤x2 definidos en el intervalo.



Función decreciente: una función real de variable real continua en el intervalo abierto (a, b), se dice que es decreciente en ese intervalo, sí y sólo sí:

f ( x1)≥f ( x2 ) parax1≤x2 definidos en el intervalo.

Punto máximo de una función: el punto máximo de una función, es el punto en el cual la función cambia de creciente a decreciente.

Punto mínimo de una función: el punto mínimo de una función, es el punto en el cual la función cambia de decreciente a creciente.

Para determinar los puntos máximos y mínimos, de una función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el siguiente procedimiento:

1. Se obtiene la derivada de la función.

2. Se iguala con cero la derivada de la función.

3. Se resuelve la ecuación f ' ( x )=0 .

La solución de esta ecuación corresponde a las abscisas de los puntos llamados puntos críticos, que pueden ser los puntos máximos o mínimos, aunque no necesariamente.

4. Se obtiene la segunda derivada de la función.

5. Se valúa la segunda derivada de la función en cada uno de los punto críticos

x0 , Y f (x) tiene un máximo en x0, sí f’’(x0) < 0.f ( x ) tiene un mínimo en x0 , sí f’’(x0) > 0.

6. Se obtiene la ordenada de los puntos máximos y mínimos sustituyendo el valor de x0 en la función original.

7. Se traza la gráfica de la función.

8. Se establecen los intervalos donde la función es creciente y decreciente.



Ejemplo 1: Obtener los puntos máximos y mínimos de la función f ( x )=x3−12x+2Así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente, trazar también la gráfica.Derivando la función

f ' ( x )=3 x2−12Igualando con cero la primera derivada

3 x2−12=0Simplificando y resolviendo la ecuación, se tiene la abscisa del punto crítico

3 x2=12x2=4

x=±√4x1=−2 x2=2

Calculando la segunda derivada de la función

f ' ' ( x )=6 x

Valuando la segunda derivada de la función en los puntos críticos

X f ' ' ( x )=6 x-2 6(-2)=-12 f ' ' ( x )<0 entonces se tiene unmàximo en x=−2 2 6(2)=12 f ' ' ( x )>0 entonces se tiene unmìnimo en x=2

Valuando los puntos críticos en la función original, se tiene el valor de su ordenada

x f ( x )=x3−12x+2-2 (−2)3−12 (−2 )+2=18 Se tiene un máximo en (-2,18) 2 (2)3−12 (2 )+2=−14 Se tiene un mínimo en (2,-14)

A partir de la gráfica, se determinan los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

La función es creciente en: x∈ (−∝ , 2 ) y enx∈(2 ,∝)La función es decreciente en: x∈(−2,2)

Se propone al alumno la elaboración de la gráfica.

Resumen: mediante la aplicación de derivadas es posible obtener la abscisa de los puntos máximos y mínimos de la gráfica de una función,



así como las coordenadas de estos puntos. También se obtienen los intervalos donde es creciente y decreciente.


Trazar la gráfica de las siguientes funciones determinando sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.

1.- f ( x )=x3−6 x2+3 x+10

2.- f ( x )=3−8 x−x2

TEMA No. 22. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.



La teoría que desarrollamos para encontrar los valores extremos de funciones puede aplicarse en algunos problemas prácticos. Estos problemas pueden describirse oralmente o enunciarse por medio de palabras escritas como se hace en los libros de texto. Para resolverlos, es necesario traducir los enunciados verbales al lenguaje de las matemáticas introduciendo para ello fórmulas, funciones y ecuaciones. Como los tipos de aplicaciones son muchos y muy variados, es difícil dar reglas específicas para hallar las soluciones.

Algunos problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un mínimo, pueden resolverse con la teoría que se ha desarrollado hasta el momento.

La aplicación principal se presenta en problemas de optimización, en los cuales se pide obtener uno o varios valores máximos o mínimos.

No existe un método general que se pueda aplicar para resolver todos los problemas de este tipo, pero se recomienda realizar lo siguiente:

1. Leer varias veces el problema hasta entenderlo totalmente. Aquí se deben identificar tres elementos:

- Los datos del problema.- Las condiciones o restricciones del problema.- Lo que se pide obtener en el problema.

2. Asignar las variables con las cuales se planteará y resolverá el

problema, de ser posible realizar un dibujo lo más apegado posible al problema.

3. Establecer la función objetivo en términos de las variables propuestas. Esta es la función que se debe maximizar o minimizar según corresponda. Aquí la función objetivo puede ser una función con varias variables.

4. Establecer una ecuación para cada una de las condiciones o restricciones del problema, esto es, transformar el lenguaje común a lenguaje algebraico.



5. Despejar una variable en cada una de las ecuaciones y sustituirla en la función objetivo de tal manera que se tenga una función con una sola variable.

6. Determinar los valores máximos o mínimos de la función según corresponda.

7. Con los valores obtenidos, establecer las conclusiones del problema.

8. Si es posible, con los resultados obtenidos, realizar una comprobación con el enunciado del problema.

Ejemplo 1: Se desea construir una caja sin tapa, con base rectangular, a partir de una pieza rectangular de cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo, recortando un cuadrado de cada esquina y doblando sus lados. Encuentre el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo.

Comenzamos por considerar el cartón de 21 cm de largo por 16 cm de ancho en donde usamos la letra x para denotar la longitud del lado del cuadrado que debe recortarse en cada esquina. Nuestro objetivo es lograr que la caja así construida tenga el máximo volumen posible.

El volumen V de la caja esta dado por

V=x (16−2 x ) (21−2 x )=2(168 x−37 x2+2 x3)

Esta ecuación expresa a V como una función de x. Derivando con respecto a x obtenemos

D x V=2 (168−74 x+6 x2 )

¿4 (3 x2−37 x+84 )

¿4 (3 x−28 ) (x−3 )

Por lo tanto los números críticos posibles son 283 y 3, pero como 28

3 se encuentra fuera del dominio de x, el único número crítico es 3.

La segunda derivada de V está dado por

D x2 V=2 (−74+12 x )=4 (6 x−37 )

Sustituyendo 3 en lugar de x,



D x2 V=4 (18−37 )=−76<0

Y aplicando el criterio de la segunda derivada, vemos que V tiene un máximo local en x=3. Por lo tanto para encontrar una caja con volumen máximo, deben recortarse cuadrados de tres centímetros de lado de cada esquina del cartón.

Resumen: problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un mínimo, pueden resolverse con la aplicación de la teoría de máximos y mínimos, principalmente en problemas de optimización, en los cuales se pide obtener uno o varios valores máximos o mínimos.


1.- Una empresa desea fabricar recipientes cilíndricos sin tapa con una capacidad de 6 litros. ¿Que dimensiones deben tener para que se utilice la menor cantidad de material en su fabricación?

2.- Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la ecuación h=−1

2t2+30 t , donde h es la altura en metros y t el

tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima y el valor de esta.



TEMA No 23. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN.

Considérese una función real de variable real continua, con regla de correspondencia y=f ( x ) .

La diferencial de la variable independiente x se denota por dx y es igual a :

dx=Δx

Donde Δx es el incremento de la variable independiente.

La diferencial de la variable dependiente o función y, se denota por dy o df(x) y se define como:

dy=f ' ( x )dx

Esto es, la diferencial de una función, es igual a la derivada de la función multiplicada por dx .

1. d ( k ) = 0

2. d ( x ) = d x

3. d ( k x ) = k d x

4. d ( x n ) = n x n −1 d x

Sí u y v son dos funciones reales de variable real continuas :

6.- d (u v )=(u D x v+v D x u ) dx

7.- d ( u

v )=( v Dx u−uD x v

v 2 ) dx donde v ¿ 0

8.- d (u n )=n u n −1 Dx u dx



5.- d ( u+v )=( Dx u+Dx v ) dx

TEMA No. 24. LA INTEGRAL INDEFINIDA.

TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS

1. ∫ dx=x+c

2. ∫ k dx=kx+c donde k es un número real (constante).

3. ∫ k f ( x )dx=k ∫ f ( x )dxdonde k es un número real (constante).

4. ∫ [ f ( x )±g (x )] dx=∫ f ( x )dx ±∫ g( x )dx∫ x −1 dx=∫ dxx

= ln |x|+ c

TEMA No. 25. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN.

Para calcular integrales utilizando este método, se utilizan los dos teoremas siguientes:

1. ∫u n du= 1

n+1u n + 1 +c

donde n ∈ R y n ¿ 1

2. ∫ du

u= ln |u|+c



FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN.

Las principales fórmulas para calcular integrales indefinidas son:

1. ∫ sen u du =−cos u+c

2. ∫cos u du=sen u+c

3. ∫ tan u du=ln |sec u |+c

4. ∫cot u du= ln | sen u |+c

5. ∫sec u du=ln | sec u+ tan u |+c

6. ∫csc u du=ln | csc u−cot u | +c

7. ∫sec 2 u du=tan u +c

8. ∫csc 2 u du=−cot u+c

9. ∫sec u tan u du=sec u+c

10. ∫csc u cot u du=−csc u+c

11. ∫ a u du= a u

ln a+c

12. ∫ e u du=e u +c

13. ∫ du

√a 2 −u 2=arc sen u

a+c

14. ∫ du

a 2 +u 2=1

aarc tan u

a+c

15.

∫ duu √u 2 −a 2

=1a

arc sec ua+c



GLOSARIO.

Abscisa. Una de las dos coordenadas rectilíneas que fijan la posición de un punto en el plano.

Álgebra. Ciencia que tiene por principal objeto simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números. Esto se consigue utilizando letras para designar los números que se buscan; las reglas operacionales se eligieron para que siguieran el mismo patrón que en aritmética ordinaria con el empleo generalizado del número negativo.

Amplitud. De un intervalo (a, b)

Aproximación. Evaluación o cálculo empírico con resultado inexacto, pero lo suficientemente cercano al real para considerarse suficiente.

Asíntota. Línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de continuo a una curva, sin llegar a encontrarla nunca.

Cálculo Diferencial. Rama de las matemáticas que trata de las unidades de cambio en las cantidades variables. En el cálculo diferencial se consideran solamente los incrementos en las cantidades variables; se antepone a ellas el símbolo “d”, lo que significa un incremento.

Coordenadas. Se le llama coordenada a la pareja (x, y) que determina la distancia que un punto guarda en relación con los ejes de coordenadas rectilíneas o cartesianas. La x se define como la abscisa y es la distancia ortogonal que dicho punto guarda con el eje de las Y, y la coordenada “y” representa la distancia ortogonal que el punto guarda con respecto al eje X.

Curva. Línea o trayectoria que se desvía constantemente de su dirección y no contiene ninguna posición de línea recta. Es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas que ocupa un punto que se traslada con arreglo a una determinada ley; por lo tanto, es una figura geométrica determinada por un sistema de coordenadas y la expresión gráfica de la variación que experimenta una magnitud en función de otra u otras, de cuya definición se desprende que una recta es un caso particular de curva.



Derivación. Es la operación con la que se encuentra la derivada de una función.

Discontinuo. Magnitud que varía por saltos y no gradualmente.

Función, derivada de una. Es la tendencia de una función al acercamiento a un valor dado de la variable independiente. Existen varias fórmulas para derivar.

Funciones implícitas. Son implícitas cuando su dependencia con la variable independiente no se encuentra en forma de ecuación resuelta, como es: 5 xy−2 y=8, en este caso “y” es una función implícita de x.

Funciones, valores críticos de las. Se llaman valores críticos a los valores en los que una función encuentra un máximo, un mínimo o un punto de inflexión, éstos se localizan derivando la función e igualando a cero. Los valores de x que satisfacen a f’(x) se llaman valores críticos.

Límite de una función. Es el valor al que tiende el resultado de la operación cuando la variable tiende a un valor predeterminado. Como es decir que el límite de f(x) cuando x tiende a “a” sea k.

Máximo. Límite superior de una cosa. Valor mayor de una cantidad variable entre ciertos límites.

Trascendentes. Ecuaciones y funciones que no se pueden representar por expresiones algebraicas, porque intervienen en ellas logaritmos, funciones trigonométricas o ecuaciones en las que el exponente es la variable.

Variable dependiente. Magnitud que en una relación o función depende del valor que se le asigne a otras variables.

Variable independiente. Magnitud que no depende de otra para obtener su valor.



BIBLIOGRAFIA.

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