26779289 guia de matematicas funciones

7/29/2019 26779289 Guia de Matematicas Funciones

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL AZCAPOTZALCO

MATEMTICAS IV

ASIGNATURA DE MATEMTICAS IV

PROGRAMA DEL CUARTO SEMESTRE DE MATEMTICAS

FUNCIONES:

POLINOMIALES

TRIGONOMTRICAS

EXPONENCIALES

LOGARITMICAS

2005-2006


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MATEMTICAS IV.

PROGRAMA DEL CUARTO SEMESTRE

DE MATEMATICAS IV

PLAN DE ESTUDIOS ACTUALIZADOS

AUTORES:

CLEMENTINA MENDOZA CARRILLO

ROBERTO LAGUNA LUNA


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DIRECTOR

SECRETARIA GENERAL

SECRETARIA ACADEMICA

SECRETARIA DOCENTE

SECRETARIA DEL SILADIN

SECRETARIA ESTUDIANTIL

SECRETARIA DE SERVICIOS ACADEMICOS

SECRETARIA ADMINISTRATIVA

SECRETARIA DE SERVICIOS ESCOLARES

JEFE DE SECCIN ACADEMICA

JEFE DEPTO. IMPRESIONES


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PRESENTACIN

Como siempre nuestra mxima preocupacin es el aprendizaje que podamos

promover en nuestros alumnos.

En este material se sealan, en primer lugar, los objetivos generales propios de la

asignatura de matemticas IV; posteriormente se da el enfoque de la Universidad

Nacional Autnoma de Mxico y la interpretacin personal que los autores hacen del

mismo, as como los contenidos temticos que lo conforman; para finalmente

presentar algunas fichas bibliogrficas de los textos que se pueden consultar con el

fin de contar con los elementos suficientes para la resolucin de problemas.

OBJETIVOS GENERALES

Este material est diseado de forma que los contenidos temticos se dividan en un

nmero de clases, determinado por las horas propuestas para el desarrollo del

programa de Matemticas IV. Se espera que los alumnos adquieran un conocimiento

perdurable sobre el tema de funciones, sabiendo que, para conseguirlo, el desarrollo

de los ejes temticos debe cobrar sentido en la percepcin que los alumnos tienen

respecto al mundo que nos rodea, desarrollando con estos conocimientos su

capacidad de trabajo y sus aptitudes para la investigacin, bsqueda de

interrogantes y respuestas, que propenda a la comunicacin de ideas. Las

definiciones, problemas y ejercicios van de acuerdo al nivel de estudio de los

alumnos, por lo que el grado de profundidad permite que los alumnos practiquen el


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razonamiento deductivo, eficientando el uso de herramientas de matemticas: tablas,

graficas, lenguaje de matemticas, el uso de calculadora y la computadora.

Se pretende que este material sea til y contribuya al aprovechamiento del alumno

permitindole que:

Incremente su capacidad de resolucin de problemas, al conocer y manejar

nuevas herramientas para modelar y analizar situaciones y fenmenos que se

pueden representar con las funciones estudiadas en el curso.

Enriquezca y utilice de manera integrada, diversos conceptos y

procedimientos de la aritmtica, el lgebra, la trigonometra, la geometra

euclidiana y analtica, en el estudio y modelacin del tipo de funciones

expuestas en este curso.

Modele diversas situaciones que involucren variacin funcional, a travs del

anlisis del comportamiento de la funcin respectiva, obteniendo informacin y

conclusiones sobre la situacin modelada.

Consolide su manejo del plano cartesiano, a travs de la graficacin de

funciones y el dominio de la vinculacin entre los parmetros y lascaractersticas de la grfica asociada.


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ENFOQUES Y CONTENIDOS

El material permite que el estudiante perciba las conexiones entre las distintas

ramas de la matemtica.

ARITMTICA Y ALGEBRA

FUNCIONES ESTADSTICA

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Los contenidos permiten desarrollar procesos y soluciones que van ligados con

otras ramas de las matemticas y que en el tema de funciones terminan por

aterrizar.

De la solucin de problemas surge la necesidad de aprender los procedimientos

que desembocan en conocimientos sistematizados conforme a las posibilidades y

condiciones del alumnado.

El material introduce:

Conceptos

Planteamientos de situaciones

Dificultades operativas

Relacin y correspondencia entre variables.

Interpretacin de graficas.


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ENFOQUE DE LA MATERIA

Muchos de los contenidos temticos de los programas de matemticas del Colegio de

Ciencias y Humanidades, por su naturaleza, forman parte del currculo de cualquier

institucin educativa del nivel medio superior del pas. Sin embargo, la forma de

enfocarlos, presentarlos y trabajarlos con el estudiante, es lo que hace la diferencia y

atiende a los principios educativos que pretende cada institucin.

De esta manera, en el Colegio de Ciencias y Humanidades la concepcin de la

matemtica conlleva una intencin del para qu queremos ensearla, y cmo

contribuye a la formacin de un sujeto capaz de buscar y adquirir por s mismo

nuevos conocimientos; adems de analizar e interpretar el mundo que lo rodea de

forma reflexiva, analtica, sistemtica y constructiva.

Por ello, en el CCH se concibe a la matemtica como una disciplina que:

o Posee un carcter dual: Es una ciencia y una herramienta.

o Manifiesta una gran unidad.

o Contiene un conjunto de simbologas propias y bien estructuradas, sujetas

a reglas especficas que permiten establecer representaciones a distintos

niveles de generalidades, que nos permite avanzar en su construccin

como ciencia y extender el potencial de sus aplicaciones.

o El libro conserva el enfoque, metodologa distribucin en el tiempo y

profundidad sugeridos por el plan de estudios del CCH.


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ENFOQUE DIDCTICO

Como en el CCH, un aspecto fundamental es la bsqueda del desarrollo de habilidades de

pensamiento que permitan al estudiante adquirir por su cuenta nuevos conocimientos, se

plantea que la puesta en prctica de estos programas, la enseanza considere:

Promover la formacin de significados de los conceptos y procedimientos,

cuidando que stos surjan como necesidades del anlisis de situaciones o

de la resolucin de problemas, y se sistematicen y complementen

finalmente, con una actividad prctica de aplicacin en diversos contextos.

Las precisiones tericas se establecern cuando los alumnos dispongan

de la experiencia y los ejemplos suficientes para garantizar su

comprensin.

Propiciar, sistemticamente, el trnsito entre diversos conceptos,

procedimientos, mtodos y ramas de la matemtica.

Fomentar el trabajo en equipos para la exploracin de caractersticas,

relaciones y propiedades tanto de conceptos como de procedimientos; la

discusin razonada; la comunicacin oral y escrita de las observaciones o

resultados encontrados.

Se proponen actividades de aprendizaje que propician la activa

participacin del estudiante en el proceso de aprendizaje, mediante su

interaccin con compaeros y profesor, as como a travs de la

manipulacin que hace del objeto de conocimiento.


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CONTRIBUCIN DEL REA DE MATEMTICAS

AL PERFIL DEL EGRESADO

Por lo anterior se busca que el estudiante sea el principal actor en el proceso de

su aprendizaje, adquiera un desempeo satisfactorio en la comprensin y manejo

de los contenidos de los cinco ejes temticos ( lgebra, Geometra,

Trigonometra, Geometra Analtica y Funciones), y desarrolle:

Empleo de diversas formas de pensamiento reflexivo.

Adquisicin de aprendizajes de manera independiente.

Comprensin de conceptos, smbolos y procedimientos matemticos a

nivel bachillerato.

Capacidad de anlisis.

Capacidad de formular conjeturas.

Capacidad de aprender acierto-error.

Capacidad para generalizar.

Habilidad en el manejo de estrategias.

Incorporacin de lenguaje cientfico.

Aplicacin de conocimientos.

Inters por la lectura y comprensin de texto cientfico.

Valoracin del conocimiento cientfico.


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CONTENIDO GENERAL DE LA ASIGNATURA

No. Nombre de la unidad Horas

.

1. - FUNCIONES POLINOMIALES duracin 20 hrs.

2. - FUNCIONES RACIONALES Y CON RADICALES duracin 20 hrs.

3. - FUNCIONES TRIGONOMTRICAS duracin 20 hrs.

4. - FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS duracin 20 hrs.


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BIBLIOGRAFA SUGERIDA

Barnett Raymond, et al. Algebra, Mc. Graw-Hill, Interamericana, Mxico 2000.

Barnett Raymond, et al. Precalculo: Funciones y Grficas. Mc. Graw-Hill, Mxico

2000

Johnson, Murphy, y Stefferson, Arnold. lgebra y trigonometra con aplicaciones.

Trillas, Mxico 1998.

Larson, Ronald, Hostetler, Robert. lgebra. Publicaciones, Cultural, Mxico 1996.

Leithol, Louis. Matemticas previas al clculo: Anlisis Funcional y Geometra

Analtica, Harla, Mxico 1996.

Sullivan, Michael. Preclculo. Prentice- Hall, Hispanoamericana, Mxico 1997.

Swokowski, Earl W. lgebra y Trigonometra con Geometra Analtica. Grupo

editorial Iberoamericana, Mxico 2002.


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Rodrguez, Fco., et al. Paquete didctico para Matemticas IV. Gua del profesor.

CCH Oriente. UNAM. , Mxico 2002.

Walter Fleming, Dale Varberg, Hamline University, Prentice-Hall

Hispanoamericana, S.A., Mxico, Englewood Cliffs, Londres, Sydney, Toronto,

Nueva Delhi, Tokio, Singapur, Ri de Janeiro.

Bohuslov, Ronald, Geometra analtica, introduccin al precalculo, Union

tipografica editorial Hispano- Americana, S. A. De C.V. Mxico 1983.

Sntalo Sors Marcelo, Carbonell Chaure Vicente, Clculo Diferencial e Integral,

Grupo Editorial xodo, Mxico 2004.

Lehmann, Charles H . , Geometria Analitica, The Cooper School of Engineering ,

Noriega Editores, Editorial Limusa S .A . de C . V . Mxico 1989.


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NDICE

UNIDAD UNO

FUNCIONES POLINOMIALES

Situaciones que dan lugar a una funcin polinomial.

Duracin: 1hr.

Nocin generalizada de funcin.

a) Relacin entre dos variables que cumple ciertas condiciones

b) Conjuntos asociados

c) Regla de correspondencia

d) Notacin funcional f(x).

e) Problemas

f) Ejercicios

Duracin: 4 hrs.

Concepto de funcin Polinomial

a ) Notacin:F(x)= a n x n ++ a 3 x + a x + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

b) Grado de una funcin Polinomial

c) Grfica de funciones Polinomiales de la forma:


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f(x) = a x + c con a , c R

f(x) = a x + c con a , c R

Duracin: 4hrs.

Mtodos de exploracin para la obtencin de los ceros, aplicables a las

funciones factorizables de grado 3 y 4.

a) Divisin de Polinomios

b) Divisin sinttica

c) Teorema del residuo

d) Teorema del factor y su recproco

e) Divisores del trmino independiente

f) Identificacin de tipos de raz: Enteras, racionales, reales, complejas y su

multiplicidad.

Duracin: 4 hrs.

Bosquejo de la grfica de una funcin Polinomial.

F(x) = a n xn+ + a3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0

a) Intersecciones de la grfica con los ejes cartesianos.

b) Anlisis del comportamiento: Valor An, Concavidad, ndice de crecimiento

(Alargamiento o compresin).

c) Traslacin horizontal y vertical f(x+k), f(x) + k

d) Nocin de intervalo

e) Intervalo donde:

f(x) es positiva

f(x) es negativa

f) La no-interrupcin de la grfica


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Duracin: 4 hrs.

Problemas de aplicacin

Duracin: 3 hrs.

UNIDAD DOS

FUNCIONES RACIONALES

Situaciones que dan lugar a funciones racionales.

Duracin 2 hrs.

Nocin de intervalo en la recta real.

Duracin 2 hrs.

Estudio del comportamiento analtico y grfico; local y al infinito por

medio del dominio y rango de las funciones tipo:

f(x) = a / x + b + c f(x) = a / (x + b ) 2 + c

Duracin 2 hrs.

f(x) = P(x) / Q(x) ; con P(x) y Q(x) lineales o cuadrticas, con a , b , y c R

Duracin 2 hrs.

Problemas de aplicacin.

Duracin 2 hrs.

FUNCIONES CON RADICALES

Situaciones que dan lugar a funciones con radicales del tipo:

f(x) = ax + c ;

f(x) = ax + bx + c

Duracin 2 hrs.


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Estudio analtico y grfico del dominio y el rango de una funcin del tipo

anterior.

Duracin 4 hrs.

Resolucin de problemas con fenmenos de diversa ndole (geomtricos

y fsicos), susceptibles de modelarse a travs de funciones racionales o

con radicales.

Duracin 4 hrs.

UNIDAD TRESFUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Situaciones que involucran variacin peridica.

Duracin 2 hrs.

Generalizacin en el plano cartesiano de las razones trigonomtricas

para un ngulo cualquiera.

Duracin xxx

Crculo unitario: extensin de las funciones seno y coseno para ngulos

no agudos.

a ) ngulos positivos y negativos.

b) ngulo de referencia. Sus cuatro posiciones.

c ) Medida de ngulos con distintas unidades: grados y radianes.

d ) Clculo del seno y el coseno para ngulos mayores de 90

Duracin 2 hrs.

Grfica de las funciones seno, coseno y tangente.


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a ) Anlisis del dominio y rango.

b ) Nocin de amplitud, periodo y frecuencia.

Duracin 4 hrs.

Definicin de funcin peridica: f(x+k) = f(x).

Duracin 2 hrs.

Grfica de las funciones:

f(x) = a sen (bx + c) + d

f(x) = a cos (bx + c) + d

a ) Anlisis del comportamiento de sus parmetros a, b, c y d.

b ) Fase y ngulo de desfasamiento.

Duracin 4 hrs.

Las funciones trigonomtricas, como modelos de fenmenos peridicos.

Duracin 2hrs.

Ejemplos.

Problemas de aplicacin.

Ejercicios.

Duracin 4 hrs.

UNIDAD CUATRO

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

FUNCIONES EXPONENCIALES

Situaciones que involucran crecimiento y decaimiento exponencial.


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Anlisis de la variacin exponencial:

a) Papel que desempea la variable.

b) Crecimiento y decaimiento.

c) Representacin algebraica.

d) Contraste de comportamientos entre funciones exponenciales y funciones

potencia.

Estudio analtico y grfico del comportamiento de funciones

exponenciales del tipo:

f(x) = c a x con a > 1 y c 0

f(x) = c (1 a) x con a > 1 y c 0

Revisin del dominio y del rango.

Papel que desempea c.

Importancia y caracterizacin del nmero e.

Las propiedades a x a y = a x + y ; (a x) y = a xy

Ejemplos.

Ejercicios.

Problemas diversos de aplicacin.

FUNCIONES LOGARTMICAS

Situaciones que dan lugar a funciones logartmicas.

La funcin logaritmo como inversa de la funcin exponencial. Nocin de

funcin inversa.

Equivalencia de las expresiones: y = a y log y = x.


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Logaritmos con base 10 y naturales. Propiedades de los logaritmos

incluyendo la expresin para cambio de base.

Grficas de funciones logartmicas. Su relacin con la grfica de la

funcin.

Exponencial de la misma base. Su dominio y rango.

Ejemplos.

Ejercicios.

Problemas diversos de aplicacin.


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MATEMTICAS IV. UNIDAD UNO.


TABLA DE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE.

UNIDAD 1: Funciones Polinomiales.

NUM. TEMTICA Y OBJETIVOS_____________________

Situaciones que dan lugar a una funcin polinomial.

1.1 El estudiante:

1.1.1 Explorar en una situacin o problema, que da lugar a una funcin

polinomial, las condiciones, relaciones o comportamientos que le permitan

obtener informacin y sean tiles para establecer la representacin

algebraica.

1.1.2 Modelar situaciones que den lugar a una funcin polinomial.

1.1.3 Establecer la nocin de funcin.

1.1.4 Examinar ecuaciones algebraicas con dos variables o su grfica paradecidir si se trata de una funcin o no.

Concepto de funcin polinomial.


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1.2 El estudiante:

1.2.1 Explorar las situaciones que dan lugar a una funcin polinomial.

1.2.2 Nocin generalizada de funcin.

a) Relacin entre dos variables que cumplen ciertas condiciones.

b) Conjuntos asociados, dominio y rango.

c) Regla de correspondencia.

d) Notacin funcional f(x).

1.2.3 Concepto de funcin polinomial.

a) Notacin f(x) = an xn + . . . + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

b) grado de una funcin polinomial.

c) Grfica de funciones polinomiales de la forma:

f(x) = a x3 + c con a, c R

f(x) = a x4 + c con a, c R

1.2.4 Mtodos de exploracin para la obtencin de los ceros, aplicable a las

funciones polinomiales factorizables de grado 3 y 4.

a) Divisin de polinomios.

b) Divisin sinttica.

c) Teorema del residuo.

d) Teorema del factor y su recproco

e) Divisores del trmino independiente

f) Identificacin de tipos de raz:

Enteras, racionales, reales, complejas y su multiplicidad.

1.2.5 Bosquejo de la grfica de una funcin polinomial.

F(x) = an xn + . . . + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0


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a) Interseccin de la grfica con los ejes cartesianos.

b) Anlisis del comportamiento:

Valor de an

Concavidad

ndice de crecimiento (alargamiento o compresin)

c) Traslacin horizontal y vertical.

d) Nocin de intervalo.

e) Intervalos donde:

f(x) es positiva

f(x) es negativa

f) La no- interrupcin de la grfica.

1.2.6 Problemas de aplicacin.


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MATEMTICAS IV. UNIDAD UNOFUNCIONES POLINOMIALES

DURACIN 20 HRS.

EVALUACIN DIAGNSTICA

A. Define los siguientes conceptos:

1. Define el concepto de funcin.

2. Define el concepto de ecuacin.

3. Cul es la diferencia entre ecuacin y funcin?

4. Toda ecuacin tiene una funcin asociada y viceversa?

5. Qu es un polinomio?

B. Polinomios, productos notables y factorizacin.

1. Realiza la suma, resta, multiplicacin y divisin entre cada par de polinomios:

a) x4

+ x2

x + 2; x2

+ x + 1

b) 3 x x 2 ; x + 9 x 3

c) x (3 + 4i) ; x (3 4 I)

d) Divide 3 x 3 2 x 2 + x 2 ; entre x 2


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e) Divide x 3 5 x 2 5 x + 6 ; entre x 3

2. Factoriza los siguientes polinomios:

a) x 2 4 x + 5 = e) 2 x 3 6 x =

b) 2 x 2 = f) 4 x + 8 =

c) x 4 + x 2 x + 2 = g) 25 x 2 10 x + 1 =

d) 3 x 3 2 x 2 + x 2 = h) x 3 1 =

C. Dados los siguientes nmeros complejos Z 1 = 3 + 2 i ; Z 2 = 4 8 i , efecta las

operaciones segn se indique:

a) Z 1 + Z 2 = b) Z 1 Z 2 = c) Z 1 Z 2 = d) Z 1 / Z 2 =


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1.1.1 Situaciones que dan lugar a funciones polinomiales

- Lectura del material en voz alta.

- Resolucin de problemas por equipo.

Duracin 2 hrs.

EJEMPLO:

1. Si se lanza una pelota hacia arriba en direccin vertical con una velocidad inicial

de 80 pies/seg, su distancia s (en pies), de la tierra en cualquier instante t (en

segundos) se da por:

s = 80 t 16 t .

La frmula anterior de distancia para cada libre de los cuerpos es una funcin

cuadrtica con un solo trmino, trmino cuadrtico, trmino de primer grado y

trmino independiente. Por esto se le considera una funcin polinomial.

s = distancia o altura

t = tiempo

g = gravedad = 9.8 m/seg. = 32 ft/seg.

Velocidad inicial = 80 ft/seg.

Velocidad final = 0, la pelota se detiene al llegar a su altura mxima.


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a) Graficar esta funcin en un sistema de coordenadas t - s

s

t

0

b) Determinar el instante en el cul la pelota alcanzar su punto ms alto (mximo) .

t = Vf Vo / g ; t = 0 80 ft/s / 32 ft/s = 2.5 seg.

c) Calcular la altura mxima que alcanz la pelota.

s = Velocidad inicial (t) - g t

s = 80 ft/s (2.5 seg.) + (32 ft/seg) (2.5 seg) = 80 + 16 (2.5) = 80 + 16

(6.25) = 80 + 100 = 180 ft

d) Hallar los instantes en que la pelota estar en reposo.

La pelota est en reposo cuando alcanza su altura mxima 180 ft y cuando xxx


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e) Cul es la velocidad promedio durante los dos primeros segundos del recorrido?

Resuelve los siguientes problemas:

1. Un ranchero desea cercar un terreno rectangular. Uno de sus lados est a

lo largo de un arroyo, por lo que no requiere alambrada. Si hay 100

yardas de alambre disponible para cercar los otros tres lados, hallar las

dimensiones del terreno de tal manera que su rea sea mxima.

2. Se construir una alcantarilla de desage con una pieza de lmina de 12

pulgadas de ancho doblando sobre la orilla cantidades iguales de hoja.

Qu cantidad de lmina se deber doblar para que la capacidad de

acarreo sea mximo?.

3. Calcular las dimensiones del rectngulo de rea mxima que se pueda

inscribir en un tringulo issceles de altura 8 y base 4. Se supone que

uno de los lados del rectngulo est sobre la base del tringulo.

4. Encontrar una frmula para el rea de todos los rectngulos con

permetro dado.

5. Demostrar que el rectngulo de rea mxima para un permetro dado es

un cuadrado.


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Analiza cuidadosamente cada una de las preguntas y contesta SI o NO

1. En una relacin a cada uno de los elementos de un conjunto se le pueden

hacer corresponder uno o ms elementos de otro conjunto?________

2. Si compramos un boleto para el teatro, entre el boleto y el asiento se

establece: o una relacin o una funcin?___________________

3. Explica por qu:__________________________________________________

4. Menciona dos ejemplos de relacin y dos de funcin:____________________

_______________________________________________________________


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1.1.2 Nocin generalizada de funcin

- Discusin del tema.

- Composicin del tema por equipo

- Exposicin frente a pizarrn.

- Duracin 2 hrs.

Un caso particular de relacin es el de funcin. Alcanzar el concepto de funcin es

algo sencillo, pues podemos hacer corresponder los elementos de un conjunto con

los elementos de otro conjunto.

X Y

1----------------------------------- 3

2----------------------------------- 6

3----------------------------------- 9

4-----------------------------------12

Recuerdas:

1. Cmo se llama el primer conjunto?

R.__________________________________

2. Cmo se llama el segundo conjunto?

R.___________________________________


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3. Establece cul es la regla de correspondencia que se aplica a los elementos

del dominio y da como resultado los elementos del rango.

Comprubalo:___________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Se llama variable a la letra en minscula del alfabeto, se le pueden asignar

diferentes valores en un mismo problema y a la totalidad de valores que toma le

llamamos: intervalo de variacin de la variable.

A los elementos del dominio se les representa generalmente con la letra ______en

minscula. Al conjunto del dominio se le representa generalmente con la letra

______ en mayscula.

A los elementos del rango se les representa generalmente con la letra ______en

minscula, al conjunto del rango se le representa generalmente con la letra ______

en mayscula.

De igual manera que si se tratara de una recreacin o diversin donde hay que

obedecer las reglas o condiciones establecidas al inicio del juego, en el tema de

funciones tambin se deben obedecer las reglas o condiciones establecidas al inicio

del problema.


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Como queda dicho:

La regla de correspondencia se aplica a los elementos del __________, la serie de

resultados obtenidos forman el conjunto del _________.

La regla de correspondencia se compone, confecciona o construye de acuerdo al

anlisis hecho al fenmeno u objeto de nuestro estudio. Para aclarar este punto

estudia el ejemplo siguiente:

Se deja caer un cuerpo. A partir de este fenmeno debemos, segn nuestras

aptitudes, determinar el valor de la fuerza de gravedad. Llamamos gravedad a la

fuerza con que la tierra atrae los cuerpos hacia su centro. Newton, despus de un

arduo proceso de investigacin, obtuvo el valor de 9.8 m/s 32 ft/s, para este

fenmeno natural.

Ejercicio:

Deja caer un cuerpo y determina la fuerza de gravedad. Explica que proceso de

investigacin utilizaras para encontrar el mismo valor que obtuvo Newton.

Antes de seguir adelante sera conveniente dar la definicin de funcin.

P.G. Lejeune Dirichlet (1805-1859), matemtico francs, defini a la funcin as: Una

funcin es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto (llamado

dominio), exactamente un valor de otro conjunto (llamado rango).

Otra definicin:


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Una funcin determina una correspondencia biunvoca (de uno a uno) entre los

elementos de dos conjuntos, uno llamado dominio y el otro rango.

Al conjunto del rango tambin se le llama: imagen.

La regla se representa por: f ( ) =

El dominio se representa usualmente con la letra x y va dentro del parntesis,

sealando as que sobre esos elementos recaen las operaciones que seala la regla.

El rango se representa con la letra y. Como qued asentado arriba, los valores que

se obtienen al realizar las operaciones a los elementos del conjunto dominio, forman

el conjunto del rango.

La notacin funcional queda: f (x) = y

Ejercicios:

Obtn las grficas de las siguientes funciones:

1. f(x) = x - 1; - 4 x 4

2. f(x) = x 3 + 1 - 4 x 4

3. f(x) = x 2 x 3 -1 < x < 6

4. f(x) = x 2 + x + 3 - 1 < x < 6

Completa las siguientes frases usando los conceptos: Funcin, relacin, variable

dependiente, variable independiente.

1. Si los valores de una variable y dependen de los de otra variable x y a cada

valor de x le corresponde uno o ms de y, se dice que x y y estn _________.

2. Si a cada valor de x le corresponde un solo valor de y, se dice que y es una

_________de x.


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3. A la variable x, se le llama: variable ____________ , a la variable y, se le

llama: variable__________o funcin.

No se crea que la regla que da origen al rango y que se aplica a los elementos del

dominio, es necesariamente difcil de obtener, pues en muchos casos es obvia y

hasta fcil de determinar.

EJEMPLOS:

1) La segunda ley de Newton, F = m a. Es una funcin de dos variables.

2) La aceleracin angular = wf wi / t. Es una funcin de tres variables.

3) El rea de un tringulo depende de la base y de la altura. Es una funcin de

dos variables.

Ordenamos la informacin en un instrumento llamado tabla de____________, donde

incluimos valores del dominio, rango y el par ordenado o coordenadas.

El par ordenado de valores nos muestra la posicin de un punto en el espacio; para

ubicarlo en el espacio necesitamos un marco de referencia, dado por el plano

llamado:_____________, en honor de Ren Descartes (filsofo y matemtico francs

1596-1650).

Este plano cartesiano est formado por dos ejes perpendiculares entre s que se

cortan en un: ________; al que llamamos:_____________e indica el cero o principio

de la referencia. El plano cartesiano corta el espacio en cuatro cuadrantes

numerados en sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj. Al eje horizontal

se le llama eje x, del dominio o de las abscisas; al eje vertical se le llama eje y, del

rango u ordenadas.


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y +

II I

180 90

x

- +

270 360

III IV

-

Sus caractersticas principales son:

a) cada cuadrante mide 90

b) Los ejes sealan sentidos positivos y negativos.

El eje de las abscisas (horizontal o eje x) del origen hacia la derecha tiene sentido

positivo y hacia la izquierda su sentido es negativo; el eje de las ordenadas (vertical

o eje de las y) del origen hacia arriba tiene sentido positivo y hacia abajo tiene

sentido negativo.

Los ejes son rectas numricas que en su graduacin deben mantener una

proporcionalidad; es decir, debe o no indicarse la graduacin de los ejes

dependiendo de la importancia del problema, con el fin de obtener grficas fieles,

libres de distorsiones o errores.


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Ejercicios:

a) Ubica los siguientes pares ordenados de valores en el plano cartesiano: (x,y),

(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16)

b) A los pares ordenados de valores llamados: _____________________se les puede

representar con letras en mayscula del alfabeto.

Al plano cartesiano tambin se le llama sistema de referencia rectangular, esto se

debe a que para ubicar un punto en el plano se lanzan lneas punteadas

perpendiculares a cada uno de los valores de la coordenada, y el punto de

interseccin ser el punto buscado.

Ejercicios:

a) Ubica la coordenada ( a, b ), en el plano cartesiano, segn se indica:

b) Ubica el valor de a en el eje x, ubica el valor de b en el eje y.

c) Desde a lanza una lnea punteada perpendicular al eje y; desde b lanza una

lnea punteada perpendicular al eje x, el punto de interseccin es el que

buscamos.

Si hubiese ms puntos por ubicar se utilizara el mismo procedimiento.

A las figuras geomtricas que se forman al entrelazar todos los puntos, por medio

de un trazo, se les llama grficas.

La grfica es un dibujo y un mtodo que representa los estados de un fenmeno,

esquematiza los datos y seala sus relaciones principales.


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Ejercicios:

Obtn el rango, tabla de valores y las grficas de las siguientes funciones:

1. f(x) = 4 x 3; -3 < x < 3.

2. f(x) = 3 x + 2; -3 < x < 4.

3. f(x) = x - -2 < x < 6.

4. f(x) = 3 x + 2 - 4 < x < 4.

RESUMEN

FUNCIN Y SU REPRESENTACIN GEOMETRICA

IntroduccinLas funciones son expresiones matemticas que nos ayudan a comprender la relacin entre lasvariables, partes o componentes de cualquier proceso, ya sea estadstico, biolgico, fsico,qumico, etc.

La grfica es la herramienta visual que nos permite observar punto por punto el desarrollo delproceso: crecimiento, decaimiento, puntos de inflexin (crestas, valles), mximos, mnimosetc.

Los autores Clementina Mendoza Carrillo y Roberto Laguna Luna establecen en este articuloel paralelismo entre los conceptos de funcin y coordenada del punto en el plano cartesiano,pues ambos tienen la misma definicin.

FUNCIN

La definicin de funcin que nos ensean en la escuela dice: Una funcin es un tipo especialde relacin en donde a cada elemento de un conjunto A corresponde un solo elemento de otroconjunto B.

A los elementos del conjunto A, los podemos representar con la letra x y al conjunto A lopodemos llamar dominio. Yendo ms lejos, podemos representar al conjunto del dominio ysus elementos x as:Representacin por comprensin:


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Dominio = { x / x reales}

O

D = { x / x reales}Se leera as: El conjunto del dominio esta formado por un elemento x, tal que x pertenece alconjunto de los nmeros reales (nmeros positivos, el cero y los negativos, enteros oracionales)

Al conjunto B lo podemos llamar rango o imagen y a sus elementos los podemos representarcon la letra y.

La representacin por comprensin o simblica sera as:

Imagen = { y / y reales }

O

I = { y / y reales }

Leeramos as:El conjunto del rango o imagen est formado por un elemento y, tal que y pertenece alconjunto de los nmeros reales.

Se determina la relacin entre las variables x, y de los conjuntos dominio y rango, sometiendoa los elementos del conjunto dominio a una serie de operaciones matemticas, lo cual serepresenta as:

F(x)

La F representa las operaciones matemticas que se realizan con o sobre los elementos x delconjunto dominio.

La relacin biunvoca o funcin queda establecida cuando a los resultados de f(x) losagrupamos para formar el conjunto que con anterioridad nombramos rango o imagen.

La relacin entre conjuntos, llamada funcin, la representamos as:

F(x) = y

O

Y = f(x)


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Por tanto, una funcin establece la correspondencia de uno a uno entre los elementos de dosconjuntos e implica la idea de subordinacin o dependencia, pues los valores del rangodependen, se obtienen o resultan, del valor que en ese momento tenga x, que es el valor conque se realizan las operaciones y de las cuales se obtienen los resultados y.As concluimos:

i) x representa a uno o cualquier valor del dominioii) y representa a uno o cualquier valor del rango o imageniii) x es la variable independienteiv) y es la variable dependientev) y = f(x), establece la correspondencia de uno a uno (correspondencia biunvoca o

funcin) entre los elementos de los conjuntos del dominio y del rango.

REPRESENTACIN GEOMTRICA DE LA FUNCIN

Un punto en el plano cartesiano queda definido por sus coordenadas (x, y). Del estudio de la

coordenada determinamos el parecido o similitud que tiene con la definicin de funcin ya queambos establecen la correspondencia de uno a uno (correspondencia biunvoca) entre loselementos de dos conjuntos, como se justifica a continuacin.

Fig. 1

En el plano cartesiano los ejes x, y son rectas numricas perpendiculares entre s que se cortan

en un punto, al que llamamos origen. El plano divide al espacio en cuatro cuadrantes que senumeran en sentido contrario al movimientos de las agujas del reloj, los puntos o el puntoubicado(s) en cualquier cuadrante queda(n) determinado(s) por dos dimensiones, x-distanciahorizontal (ancho); y-distancia vertical (altura). Estas dimensiones expresadas numricamentey representadas juntas, dentro un par de parntesis, forman la(s) coordenada(s) y establece(n)la correspondencia de uno a uno o biunvoca entre los elementos del conjunto x y el conjuntoy. As, A(x, y), la letra A designa al punto de coordenadas (x, y).

x

y

x

yI II

III IV

A(x,y)


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Si al eje horizontal llamado tambin eje de las abscisas o eje de las x, le llamamos dominio. Ysi al eje vertical llamado tambin eje de las ordenadas o eje de las y, le llamamos imagen orango. Estableceremos el paralelismo entre la definicin de funcin y la coordenada de unpunto.

Ubicando un punto cualquiera dentro del plano cartesiano y lanzando lneas punteadas delpunto hacia los ejes x, y, los valores determinados por las lneas punteadas sobre los ejes sernlas coordenadas del punto, estos valores tambin satisfacen a la funcin. Por tanto, a partir deahora, podemos referirlos como sinnimos pues ambas establecen la correspondencia de uno auno entre los elementos de dos conjuntos.Debido a las operaciones matemticas que se realizan con los elementos x del dominio paraobtener los valores del rango, las funciones se pueden clasificar en siete familias diferentes,cada una con sus propias caractersticas y propiedades:1.- Funciones enteras.2 .- Funciones racionales.3 .- Funciones radicales.4 .- Funciones exponenciales.5 .- Funciones logartmicas.6 .- Funciones trascendentes o trigonomtricas.7 .- Funciones polinomiales.

Cada tipo de funcin tendr un tipo diferente de grfica, y para determinar los valores delrango, a partir de los valores del dominio en cada tipo de funcin, se aplicar uno o msprocedimientos exclusivos de la familia a la que pertenece la funcin.

i) La funcin y las coordenadas de un punto en el plano cartesiano son sinnimos,pues ambas, establecen la correspondencia de uno a uno (x, y) entre los elementosde dos conjuntos (dominio, rango) = (abscisas, ordenadas)

ii) El par de valores (x, y) obtenidos en la funcin se utilizan como coordenadas de unpunto sobre el plano cartesiano.

iii) Si los puntos en el plano cartesiano se unen por medio de una lnea forman lagrafica caracterstica de la funcin.

iv) Hay siete tipos de funciones y por lo tanto siete familias diferentes de grficasv) La grfica de la funcin se forma punto por punto o por una serie de caractersticas

bien determinadas.

Una funcin establece la correspondencia de uno a uno entre los elementos de dos

conjuntos uno llamado dominio y el otro rango.

La correspondencia es una regla definida en trminos operacionales (suma, resta,

) entre los elementos de esos conjuntos; de hecho, la regla se aplica a los

elementos del dominio y arroja como resultado los elementos del rango.


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Un conjunto es una agrupacin, reunin o coleccin ordenada o no de elementos de

una misma especie, los elementos son representados por una letra en minscula del

abecedario, mientras que al conjunto se le representa con un letra en mayscula.

a A

En una funcin se hacen corresponder los elementos de dos conjuntos por medio de

una regla.

El dominio es un conjunto de valores dados al inicio del problema, el conjunto de

valores del dominio sirven de parmetro, de donde a donde debemos considerar del

problema, estos valores determinan la funcin.

Se representa la funcin as:

f(x) = y y = f(x)

Plano cartesiano o sistema de coordenadas rectangulares:

y +

II I

180 90

x

- +

270 360

III IV

-

Los puntos estn representados por las coordenadas (dominio, rango), (x, y).

El valorx se ubica en el eje de las abscisas u horizontal.


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El valor y se ubica en el eje de las ordenadas o vertical.

Los elementos del dominio (elementos del conjunto dominio), se llaman variables

independientes porque se dan al inicio del problema, y no depende de operacin

alguna para tener ese valor.

Los valores del rango (resultados obtenidos al aplicar la regla a los elementos del

dominio), se llaman dependientes porque el valor que adquiere depende del valor

del dominio.

Ejercicios:

1. Obtn la grfica de la expresin: y = 4x 5.

2. La expresin anterior Es una funcin? Por qu?

3. Enuncia con tus propias palabras que entiendes por funcin:______________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

4. Menciona 4 ejemplos de relacin.

5. Menciona 4 ejemplos de funcin.

6. Menciona un ejemplo de cantidades que estn relacionadas y que la relacin

no sea una funcin.

7. De la expresin: y = f (x) = 4 x + 16 x + 16 determina el dominio y el rango.

8. Define con tus palabras asntota.

9. Cul es el dominio de la funcin?: y = (x 6)

10.Dnde corta la funcin?: x + 3x 5 / x + 2


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1.1.3 Concepto de funcin polinomial.

- Investigacin en la biblioteca.

- Discusin en clase

- Resolucin de ejercicios y problemas frente a pizarrn, individual.

- Duracin 4 hrs.


Fundamentalmente un polinomio es una expresin que puede obtenerse utilizando

slo las operaciones de suma, resta y multiplicacin a partir de los nmeros reales.

Por ejemplo, se obtiene: 5 x x x x = 5 x 4 multiplicando. Se puede obtener6 x

con el mismo proceso y despus de sumar3 x obtener: 3 x + 6 x

Por qu 2 x 2 = 2 / x , no es polinomio?

Las funciones polinomiales son aquellas que satisfacen la siguiente definicin:

A una funcinP se le llama funcin polinomial si es del tipo:

P(x) = a 0 x n + a 1 x n- 1+ + a n 1 x + a n

Donde n es un nmero entero positivo o cero y los coeficientes a 0 , a 1 , , a n 1 , a

n son (n + 1) nmeros reales o complejos.

P(x) es de grado n siempre que a 0 0 , aunque algunos o todos los coeficientes

restantes pueden ser cero. Cada una de las expresiones tales como: a j x n j ; 0 j

n se denomina trmino del polinomio. Cuando n = 0 el polinomio consta de un solo

trmino al cual se le asigna el grado cero. Una excepcin a esto es la constante cero

a la que no se le asigna ningn grado.


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EJEMPLOS:

P(x) = 2 x 4 5 x 3 + x.

En este caso se ha utilizado una abreviatura obvia. Sin sta, el polinomio sera:

P(x) = 2 x 4 + (- 5) x 3 + 0 x 2 + (1) x + 0

Note que el polinomio es de primer grado con coeficientes:

a 0 = 2 , a 1 = - 5 , a 2 = 0 , a 3 = 1 , a 4 = 0

En general las funciones se especifican con reglas de correspondencia; pero la

funcin no est determinada sino hasta que se da su dominio. Las reglas son

adecuadas para mostrar la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos y

son fundamentales para determinar informacin numrica exacta. Una vez

especificados el dominio de la funcin y la regla de correspondencia, quedan

determinados los resultados que forman el rango de la funcin; sin embargo, los

aspectos especficos de una funcin no quedan claros hasta que se dibujan. Al dibujo

de una funcin se le llama grfica. Y la grfica de una funcin es la grfica de la

ecuacin asociada a la funcin f (x), es decir: y = f (x).

Una funcin polinomial es de la forma: _____________________________________

Donde n es un nmero entero positivo o cero y los coeficientes a , a , ..., a , a son

(n + 1) nmeros reales o complejos.

La funcin polinomial P(x) es siempre de grado n (exponente) si a (coeficiente)= 0;

por su parte, los coeficientes de los otros trminos pueden o no ser cero.


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Se sabe que la grafica de la funcin lneal: f(x) = ax + b es siempre una __________.

Y que si a = 0, la grfica de ax + bx + c es una: _____________.

La funcin P(x) = 2 x7 + x 4 + x 2 + x + 5 De qu grado es?:

___________________________.

Construye las grficas de las siguientes funciones:

1. F(x) = 4x 2; dominio -3 x 3

2. F(x) = x 3; dominio x 3

3. F(x) = 1 / (x 2) 2; dominio x 2

La construccin de grficas de polinomios de grado mayor a dos necesita de las

siguientes consideraciones:

1. Si n es par y a < 0, la grfica tendr dos brazos cados; si n es par y a > 0,

tendr ambos brazos levantados. Esto se debe al dominio del trmino de

grado ms alto para valores grandes |x|.

2. Si n es impar, un brazo cae y el otro se levanta. Nuevamente se debe al

dominio del trmino de grado ms alto.

3. El nmero combinado de valles y cspides no puede exceder a n 1; aunque

puede ser menor.

Por lo general, al considerar polinomios el objetivo es obtener la solucin de uno o

ms de los siguientes problemas:


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a) Dada la funcin polinomial P(x) y un valor del dominio a , hallarP(a).

b) Dada una funcin polinomial P(x), determinar todos los valores del dominio

para los cuales P(x) = 0.

c) Dada una funcin polinomial P , construir su grfica de la manera ms fcil y

eficiente.


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1.1.4 Mtodos de exploracin para la obtencin de los

ceros, aplicable a las funciones polinomiales factorizables

de grado 3 y 4.

- Trabajo por equipo, mximo cuatro alumnos.

- Resolucin de series de problemas y ejercicios.

- Resolucin de problemas tipo en el pizarrn.

- Lluvia de ideas.

- Duracin 6 hrs.Los siguientes teoremas son importantes en la determinacin de los incisos

anteriores.

Divisin de Polinomios.

Sea P(x) el polinomio que se va a dividir (dividendo), G(x) el polinomio que divide

(divisor), de grado menor o igual a P(x); C(x) el polinomio que se obtiene como

resultado de realizar la divisin (cociente), y R(x) el polinomio que sobra de la

divisin (residuo).

Por eso podemos decir que el algoritmo de la divisin de polinomios es:

Teorema (i): Algoritmo de la divisin: P(x) = G(x) C(x) + R(x)

Dados un dividendo P(x) y un divisorG(x) se tiene nicamente un cociente C(x) y un residuo

R(x).


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Ejemplo:

Si P(x) = x 4 + x 2 x + 2 y D(x) = x 2 + x +1, hallar Q(x) y R(x) de modo que:

P(x) = G(x) C(x) + R(x)

x 2 - x + 1

x 2 + x + 1 x 4 + + x 2 - x + 2

- x 4 - x 3 - x 2

- x 3 - x + 2

+ x 3 + x 2 + x

+ x 2 + 2

- x 2 - x - 1

- x + 1.

De acuerdo al teorema (i)

G(x) = x2 x + 1, R(x) = - x + 1

Como puede comprobarse.

Teorema (ii): Teorema del residuo.

Si P(x) es un polinomio de grado mayor o igual a 1 y se divide entre G(x) un

polinomio igual a (x a) donde a es cualquier nmero real o complejo, hasta obtener

un residuo numrico, entonces el polinomio P(a) = al residuo numrico R.

Establecindose el teorema del residuo:

Teorema (ii): P(x) = (x a) G(x) + P(a)


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El teorema del residuo es importante porque el residuo de la divisin es igual al valor

del polinomio P(x), para el valorx = a, es decir:

P(a) = R

El teorema del residuo se puede emplear para resolver problemas como el siguiente:

a) Dada una funcin polinomial representada porP(x) y un nmero a del dominio

de P, hallarP(a).

b) Dada una funcin polinomial representada por P(x), determinar todos los

valores del dominio para los cuales P(x) = 0. A estos nmeros se les llama

ceros del polinomio o races de la ecuacin polinomial P(x) = 0.

Ejemplo: Sea P(x) = 3 x 3 2 x 2 + x 2. Determinar P(2) utilizando el teorema del

residuo.

Solucin: De acuerdo al teorema anterior, el valor de P(2) es el residuo de la

divisin de P(x) entre (x 2).

3 x 2 + 4 x + 9

x 2 3 x 3 2 x 2 + x - 2

- 3 x 3 + 6 x 2

4 x 2 + x

- 4 x 2 + 8 x

9 x - 2

- 9 x + 18

16 = P(2)

Este teorema tiene significado cuando se consideran los siguientes teoremas:


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Teorema (iii): Teorema del factor.

Si a es un cero del polinomio P(x) de grado n > 0, entonces (x a) es un factor de

P(x) igual que lo sera G(x).

P(x) = (x a) G(x).

De otra forma si el polinomio P(x) se factoriza y uno de los factores es (x a), el

valor x = a, ser un cero de dicho polinomio, es decir P(a) = 0, si el otro factor

resultante de la factorizacin es G(x) entonces:

P(x) = (x a) G(x).

El teorema afirma que si x es un cero a de P(x), podemos factorizar P(x) como

producto de un factor lineal (x a) y un polinomio de menor grado que P(x).

EJEMPLO:

Sea P(x) = x 3 + 27. Determinar un cero de P(x) y factorizar P(x).

Teorema (iv): Recproco del teorema del factor.

Si (x a) es un factor del polinomio P(x), entonces x = a y a es el cero de P(x).

Los factores lineales de P(x) nos dan a conocer los ceros del polinomio P(x).


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Teorema (v): Teorema fundamental del lgebra.

Toda funcin polinomial P(x), existe un valorc real o complejo, tal que c es un cero

del polinomio P(x), o sea que P(c) = 0.

Divisin Sinttica, Teorema del Residuo y Grficas

La divisin sinttica y el teorema del residuo proporcionan una forma eficiente para

graficar las funciones polinomiales. El proceso se agiliza al formar una tabla de

divisiones sintticas secuenciadas (una tras otra) en donde el elemento que divide se

mueve en el dominio de la variable.

Divide P(x) = x3 + 3 x2 x 3 entre los valores del dominio 4 x 2, las parejas

ordenadas de valores (x, P(x) ) son las coordenadas de los puntos que forman la

grfica.

1 3 -1 -3 Coordenadas

-4 1 -1 3 -15 = P (-4) (-4, -15)

-3 1 0 -1 0 = P (-3) (-3, 0)

-2 1 1 -3 3 = P (-2) (-2, 3)

-1 1 2 3 0 = P (-1) (-1, 0)

0 1 3 -1 -3 = P (0) ( 0, - 3)

1 1 4 3 0 = P (1) (1, 0)

2 1 5 9 15 = P (2) (2, 15)


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PROBLEMAS:

a) Exprese 2 x4 + x3 x2 2 / x3 + 1, como un polinomio ms una expresin

racional propia.

b) Encuentra el cociente y el residuo cuando x4 + 6 x3 2 x2 + 4 x 15 se divide

entre x2 - 2 x + 3.

c) Divide los polinomios:

2 x3 + 3 x2 11 x + 9 entre x2

2(x + 3)2 + 10(x + 3) 14 entre x + 3

(x2 + 3)3 + 2x (x2 + 3) + 4x 1 entre x2 + 3

d) Resuelve con divisin sinttica:

x4 - 4x3 + 29 entre x 3

2x4 x3 + 2x 4 entre x +

x4 + 4x3 + 4 3x2 + 3 3x + 3 3 entre x + 3

e) Demuestra que el segundo polinomio es factor del primero y determina el otro

factor.

x5 + x4 16 x 16 ; x 2

x5 + 32 ; x + 2

x4 3 / 2 x3 + 3 x2 + 6x + 2 ; x +


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f) Utiliza la divisin sinttica para demostrar que el segundo polinomio es un

factor del primero y determnese el otro factor.

x4 + x3 x 1 ; x2 1

x4 x3 + 2x2 4x 8 ; x2 x 2

x4 + 2 x3 4 x 4 ; x2 + 4

g) Encuentra k de modo que el segundo polinomio sea un factor del primero.

x3 + x2 10 x + k ; x 4

x4 + kx + 10 ; x 1

k2 x3 4kx + 4 ; x 1

h) Determina h y k tales que ambos, x 3 y x + 2 sean factores de: x4 x3 + hx2

+ kx 6.

i) Determina a, b, y c tales que (x 1)3 sea un factor de: x4 + ax3 + bx2 + cx - 4


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1.1.5 Bosquejo de la grfica de una funcin polinomial.

- Graficacin de una serie de funciones.

- Discusin sobre su comportamiento.

- Definicin de propiedades y caractersticas

- Duracin 4 hrs.

Consideremos el problema de la construccin de grficas de ciertas funciones

polinomiales.

f(x) = an xn + . . . + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

Los puntos de giro, inflexin y las intersecciones con el eje x, requiere de la

aplicacin del clculo; pero si el polinomio se puede factorizar en factores lineales o

cuadrticos, entonces s es posible obtener la grfica del polinomio con facilidad.

Los mtodos que utilizaremos ms bien sern generales y se aplicarn para trazar

un bosquejo de la grfica y no para obtener una grfica exacta.

La funcin polinomial de segundo grado P(x) = ax + bx + c, con (a, b y c reales),

funcin cuadrtica, nos ayudar a repasar las propiedades esenciales.


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Caso uno:

Grafica la funcin: f(x) = a x; a = 0.

Anlisis:

1. Cmo es la grfica con respecto al eje y?

2. Cmo es la grfica con respecto al eje x?

3. Cunto vale el cero de la funcin?

Contesta SI o NO:

1. La curva se encuentra contenida en un solo lado del eje x?

2. El lado del eje x donde esta contenida la grfica esta determinado por el

signo del coeficiente a?

3. La curva se encuentra arriba o abajo del eje x segn que el coeficiente a del

trmino cuadrtico sea positivo o negativo?


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Caso dos:

Grafica la funcin polinomial: f(x) = a x + c; a > 0, c = 0.

Anlisis:

a) Cul es la diferencia que observar entre esta funcin y la del caso anterior?

b) La grfica de la funcin est afectada por la constante c?

c) La grfica se traslad sobre el eje vertical?

Contesta SI o NO.

a) Si c > 0, la grfica se desplaza sobre el eje y hacia arriba una distancia igual

a la sealada porc?

b) S c < 0, la curva se desplaza sobre el eje y hacia abajo una distancia igual a

la sealada porc?.


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Caso tres:

Construye la funcin polinomial: f(x) = a x + b x + c; a = 0.

Anlisis.

Contesta SI o NO.

1. Las intersecciones de la curva con el eje de las x se puede obtener con la

frmula general para funciones completas de segundo grado?

2. Al punto ms alto de la curva se le llama mximo?

3. Al punto ms bajo se le llama mnimo?

4. S a < 0 la curva tiene un mnimo?

5. S a > 0 la curva tiene un mximo?

6. La curva que se obtiene es una parbola?


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Obtn la traslacin de la funcin dentro del plano cartesiano y contesta:

1. Cules son las coordenadas de la parbola?

Ejercicios:

1. En cada uno de los ejercicios construye la curva correspondiente a la

ecuacin que se da.

a) y = x3 2 x2 x + 2.

b) y = 2 x4 11 x3 + 20 x2 12 x.

c) Y = x5 5 x4 6 x3 + 38 x2 43 x + 5.

2. Si la funcin polinomial general f(x), igualada a cero, tiene por races los

nmeros complejos conjugados (a + bi) y (a bi), en que a y b son reales, b

0, y i = -1, demustrese que f(x) tiene un factor cuadrtico positivo para

todos los valores reales de x, y por tanto, que no hay ningn punto de

interseccin de la curva y = f(x) con el eje x.

3. Si la funcin polinomial general f(x), igualada a cero, tiene races reales de

orden impar , iguales cada una al valora, demustrese que la curva y = f(x)

corta al eje x en el punto (a, 0).

4. Si la funcin polinomial general f(x), igualada a cero, tiene races reales de

orden par, iguales cada una al valora, demustrese que la curva y = f(x) es

tangente al eje x en el punto (a, 0).


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5. Para las curvas potenciales y = xn , demuestra:

a) Que todas las curvas del tipo parablico pasan por el punto (1, 1) y el

origen.

b) Que todas las curvas del tipo hiperblico son asntotas a los ejes

coordenados.

REPRESENTACIN GRFICA DE POLINOMIOS DE GRADO

SUPERIOR

Ejemplo (i): Trazar la grfica de la funcin polinomial:

P(x) = x - x - 5.5 x + 6

Realiza la factorizacin del polinomio y completa los espacios en blanco:

P(x) = (x + ) (x 1) ( - 4).

Los ceros de P(x) son3, 1, 4.

Completa las coordenadas donde la grfica choca en el eje de las x:

(-3, ), ( ,0), (4,0)

Se puede bosquejar rpidamente la grfica realizando las consideraciones

siguientes:

- < x < -3, -3 < x < 1, 1 < x < 4 4 < x < +


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Contesta SI o NO:

1. Si aplicamos el teorema del residuo a la regin - < x < -3, P(x) < 0?

Demustralo.

2. Si aplicamos el teorema del residuo a la regin: 3 < x < 1, P(x) > 0?

Demustralo.

3. Si aplicamos el teorema del residuo a la regin: 1 < x < 4, P(x) > 0?

Demustralo

4. Si aplicamos el teorema del residuo a la regin: 4 < x < + , P(x) > 0

Demustralo.Toma los puntos medios de esas regiones y construye la grfica.

Hasta el momento se ha considerado que las grficas constaban de un solo trazo, es

decir, no tenan cortes ni puntos aislados, esto se conoce como continuidad. Las

funciones polinomiales tienen grficas continuas, continuidad significa que la grfica

no contiene cortes o saltos.


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1.1.6 Problemas de aplicacin.

- Trabajo por equipo.

- Duracin 2 hrs.

1. Traza la grfica de de la funcin P(x) = (x 3 x - x + 3x).

a) Factoriza el polinomio.

b) Determina los ceros del polinomio.

c) Determina las coordenadas de la grfica del polinomio.

Utilizando el teorema del residuo determina otros puntos de la grfica:

Como podrs notar los puntos de inflexin y giro no se pueden determinar; por eso

solo podemos trazar un esquema de la grfica, basados en las coordenadas

obtenidas.

2. En cada caso construye las curvas potenciales cuyas ecuaciones se dan.

a) y = (x 1)3

b) y = (x + 1)5

c) y = x4 + 1

d) y 2 = (x 3)4

e) y + 1 = (x 1 ) 3 / 2

f) y 1 = ( x + 1) 2 / 3

g) y 3 = (x + 2) - 4

3. A partir de sus ecuaciones paramtricas, obtn la ecuacin rectangular de la

curva de Agnesi: y = 8 a3/ x2+ 4 a2 . Efectuar una discusin completa de la

curva.


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4. Traza la curva cuya ecuacin es: x3 + xy2 3 ax2 + ay2 = 0. Esta curva se

llama: trisectriz de Maclaurin. Como su nombre lo indica puede usarse para

trisecar un ngulo cualquiera.

5. Traza la curva cuya ecuacin es: x4 + y4 = a4. Esta curva se conoce con el

nombre de: curva de cuarto grado de Lam.

6. En el mismo sistema de ejes coordenados dibujar las porciones de curvas de

la familia de curvas xn + yn = 1, correspondientes al primer cuadrante cuando

a n se le asignan sucesivamente los valores de , 2/3, 1, 2, y 4. Identificar

cada lugar geomtrico y observar el efecto obtenido haciendo variar el valor

de n.

7. Trazar el lugar geomtrico de: x3 + y3 3 axy = 0. Esta curva se llama: hoja

de Descartes.

8. Trazar la grfica de: (x2 + y2)2 ax2y = 0. Esta curva se llama: bifoliada.

9. Trazar la curva cuya ecuacin es: x3 + xy2 + ax2 ay2 = 0. Su lugar

geomtrico es la estrofoide.

10. Trazar el lugar geomtrico de: x2y a2x + b2y = 0. Esta curva se llama:

serpentina.

11. Trazar el lugar geomtrico de: y1/6 2ay3 + a2x2 = 0.

12. Trazar el lugar geomtrico de: x2y2 = a2(x2+ y2). Esta curva se llama:

cruciforme. Se debe notar que aunque el origen pertenece a la grfica ningn

otro punto de la vecindad de origen est sobre la curva. Un punto, tal como el

origen, se llama entonces punto aislado.


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13. Obtn de las siguientes funciones su grfica, dominio, rango, races o ceros.

a) f(x) = (x + 5) (x + 3) (x + 3) (x + 3) (x 2) (x 2) (x 5)

b) f(x) = (x + 4) (x +1) (x 3) x2

c) f(x) = (x 2)4 (x + 5)3 x3

d) f(x) = (x 3)3 (x + 3)2 (x 5)2

e) f(x) = (x + 3)2 (x 2)4 x3 (x 5)3

f ) f(x) = x3 (x2 + 3x +2)

g) f(x) = x3 + 2x2 5 x - 6

h) f(x) = x4 13x2 12x


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MATEMTICAS IV

TABLA DE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

UNIDAD DOS. FUNCIONES CON RACIONALES Y

RADICALES

DURACIN 20 HRS.

NUM. TEMTICA Y

OBJETIVOS___________________

Funciones racionales

2.1 El estudiante:

2.1.1 Explorar situaciones o problemas que dan lugar a una funcin racional, en

particular las que involucran variacin inversa o inversamente proporcional

al cuadrado de la variable. Analizar las relaciones y comportamientos que

le permitan obtener informacin para establecer su representacin

algebraica.

2.1.2 Establecer la regla de correspondencia de una funcin racional, asociada a

un problema.

2.1.3 A partir de la regla de correspondencia de una funcin racional, elaborar

una tabla de valores que le permita construir su grfica e identificar su(s)

punto(s) de ruptura y asntotas.

2.1.4 Identificar el dominio de definicin y el rango de una funcin racional, a

partir de su regla de correspondencia y de las condiciones del problema.


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2.1.5 Interpretar los resultados de la tabla o de la grfica de una funcin racional,

y obtendr conclusiones sobre el problema correspondiente.

2.1.6 Resolver problemas sobre valores extremos, en una funcin racional, por

medio de una aproximacin numrica.

Funciones con radicales

2.2 El alumno:

3.1 Explorar en una situacin o problema que da lugar a una funcin con

radicales. Las relaciones y comportamientos que le permitan obtener

informacin para establecer su representacin algebraica.

3.2 Establecer la regla de correspondencia de una funcin con radicales,

asociada a un problema.

3.3 A partir de la regla de correspondencia de una funcin con radicales,

asociada a un problema.

3.4 Identificar el dominio y rango de una funcin con radicales, a partir de su

regla de correspondencia y de las condiciones del problema.

3.5 Interpretar los resultados de la tabla o de la grfica de una funcin con

radicales y obtendr conclusiones sobre el problema de correspondencia.

3.6 Resolver problemas sobre valores extremos, por medio de aproximaciones

numricas en las cuales se utilicen funciones con radicales.


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MATEMATICAS IV. UNIDAD 2

FUNCIONES CON RACIONALES

DURACIN 10 HRS.

EVALUACIN DIAGNSTICA

1. Define al conjunto de los nmeros racionales.

2. Realiza las siguientes operaciones:

a) () (1/2) = b) 3 (2/4) + 2/5 (3) = c) 7 (4/7) 3 (3/2) =

d) + 4/2 + 3/8 2/7 =

e) 12/3 + 3/16 4/12 4(3/8) =

3. Ubica los siguientes nmeros en la recta numrica.

Q = { 2/6, 6/8, 12/5, 3/9, 23/34, 9/7, 4/11}

4. Escribe como una razn:

a) La fraccin de das transcurridos en lo que va del mes?

b) La fraccin de meses completos que han transcurrido en lo que va del ao?

c) La fraccin de aos completos que han transcurrido en lo que va del siglo?

5. Cuntas horas del da duermes?___________Qu porcentaje del da ests

despierto?__________.

6. Qu nmero le corresponde al punto p, situado a la mitad de 1 y 0?_________,

A qu nmero racional equivale?_____________.

7. Cmo se obtiene 15/ 21 a partir de 5/7?________________________________,

_________________________________________________________________.

8. Si se han ledo 50 paginas de un libro de 230 paginas, qu parte del libro se ha

ledo?____________. Cunto falta por leer?.


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9. Un camin debe recorrer 239 2/4 Km para llegar a una ciudad. Si ha recorrido 173

3/8 Km. Cuntos Km le faltan para llegar?.

10. Encuentra las fracciones equivalentes completando lo que falta.

a) 5 / 3 =___ / -3 b) 6 / 7 = -6 / ___ c) 1 / 2 = - 1 / ___

d) x / 4 = 2 x / ___ e) 3 / ___ = 1 / 5 f) ___ / - 7 = 5 / - 35

11. Expresa los siguientes nmeros como el cociente de dos nmeros enteros:

a) 11 = ____ b) 12 = ___ c) 3 = ___ d) 0 = ___ e) 30 = ___ f) 23 = ____

12. Ubica los siguientes nmeros en la recta numrica: 1/7 , 2/3, 4/5, 1/2, 4/6, 25/ 17

13. Realiza las siguientes operaciones.

a) 7/2 + + 9/2 = b) 4/3 + 2/5 + 3/8 =

c) 8/3 3/5 = d) 34/ 23 5/3 =

e) 17/18 7/8 = f) 9/12 + 2/3 + 1/5 =

14. Obtn el m.c.d. (mximo comn divisor) de los siguientes nmeros.

a) 45, 90, 180 b) 12, 24, 36

c) 9, 6, 18 d) 15, 45, 90

e) 81, 162, 27 f) 4, 8, 12

15. Obtn el m.c.m. (mnimo comn mltiplo) de los siguientes nmeros.

a) 2,6,9 b) 3,9 12 c) 4, 8, 12 d) 3, 6, 9

e) 9, 12, 15 f) 8, 10, 12 g) 5, 10, 15 h) 10, 14, 18

16. Un camin debe recorrer 180 km para llegar a una ciudad. Ha recorrido 123

2/5 km. Cuntos Km. le faltan para llegar?

17. Realiza las siguientes operaciones:

a) (2/3) (3/5) = b) (- 2/8) (4/6) =

18. Grfica la siguiente funcin, f(x) = x + 3


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2.1.1 Situaciones que dan lugar a funciones racionales:

- Anlisis del tema por equipo.

- Discusin guiada.

- Resolucin de problemas por equipo mximo 4 alumnos.

- Duracin 2 hrs.

Funciones algebraica.

Las funciones algebraicas son aquellas que se pueden representar con un nmero

finito de operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicacin, divisin y races.

Resuelve la siguiente funcin, para los valores dados del dominio.

F(x) = 2 x / 3 ; -2 < x < 4.

Un ejemplo:

Para obtener las grficas se consideran nicamente los valores de x para los cuales

la funcin est definida y es real.

Responde SI o NO:

Las funciones racionales son algebraicas?

1. Un fabricante de juguetes tiene gastos fijos de $ 20,000 anuales y costos directos

(mano de obra y materia prima) de $ 50 por juguete. Escribe una expresin G(x), el

costo promedio por unidad. Si la compaa produce x juguetes cada ao. Obtngase

la grfica de G(x) y analcese la figura.


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2. Una lata debe contener10 pulgadas cbicas. Escribe una frmula para f(r), el

rea total de superficie en trminos del radio r. Obtn la grfica de f(r) y tiliza esta

para obtener el radio de la lata que necesita menos material para ser producida.

3. Encuentra una formula para f(x) si f es una funcin racional cuya grfica pasa por

(2, 5) y tiene exactamente dos asntotas, y = 2x + 3 y x = 3.

4. Dnde cruza la grfica de f(x) = (x3 + x2 2x + 1) / (x3 + 2x2 2) a su asintota

horizontal?

Contesta SI o NO.

1. La razn f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son funciones, expresa una funcin

racional?

2. Las funciones que se representan as siempre son continuas?

3. Para los valores en que Q(x) = 0, es decir, los ceros del denominador. La funcin

es discontinua?

4. Los ceros del denominador indican discontinuidad en la funcin y en la grfica

representan asntotas?

Una funcin f es racional s, para toda x en su dominio f(x) = g(x) / h(x) en donde g(x)

y h(x) son polinomios.


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Las funciones que se representan en esta forma son siempre continuas a excepcin

de un nmero finito de valores de la variable independiente; en particular, aquellos

valores para los cuales Q(x) = 0, es decir, los ceros de Q(x). Estos ceros se deben

excluir del dominio de f(x) con el objeto de que la razn o cociente P(x) / Q(x) tenga

un significado. Con esta restriccin el rango es un subconjunto de los nmeros

reales, el comportamiento de la grfica se desarrolla en un entorno de discontinuidad

formado por estos puntos.

Las expresiones racionales se suman, multiplican, restan, y dividen usando las

mismas reglas que se utilizan para los nmeros racionales. El resultado es siempre

una expresin racional.

Mnima Expresin.

Una expresin racional est en su mnima expresin si el numerador y el

denominador no tienen un factor comn (excepto el 1). Por ejemplo x / (x 2) est en

su mnima expresin. Para reducir expresiones racionales hay que factorizar al

numerador y al denominador y agrupar y dividir (o cancelar) los factores comunes.

Reduce las siguientes expresiones racionales:

a) x + 6 / x2 36

b) y2 + y / 5y + 5

c) (x + 2)3 / x2 4

d) zx2 + 4xyz + 4y2z / x2 + 3xy + 2y2


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Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios ms simples;

factorizarlo sobre los enteros es escribirlo como producto de polinomios conn

coeficientes enteros.

He aqu cinco ejemplo:

X2 2ax = x(x 2a) factor comn

4x2 25 = (2x + 5) (2x 5) Diferencia de cuadrados

6x2 + x 15 = (2x 3) (3x + 5) Ensayo y error

x2 + 14x + 49 = (x + 7)2 Cuadrado perfecto

x3 + 1000 = (x + 10) (x2 10x + 100) Suma de cubos


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2.1.2 Nocin de intervalo en la recta real.

- Discusin del tema

- Investigacin en la biblioteca

- Exposicin frente al pizarrn

- Lluvia de ideas

- Duracin 2 hrs.

Los nmeros reales y la recta numrica.

Supongamos que M denota el conjunto de los nmeros enteros

M = {0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, . . ., -n, n,. . .}

Y que N es el conjunto de los puntos P de una recta l, es decir,

N = {P / P es un punto de la recta l}

Con el objeto de establecer una correspondencia de M con un subconjunto de N,

primero se elige cualquier punto P0 de N, al que denominamos origen de

coordenadas.

A este punto le corresponde de M al entero 0.

El punto P0 toma el punto medio de la recta l, uno de esos lados se escoge como

positivo y el otro como negativo. En el segmento positivo se marca una longitud a la

que se llama unidad, con origen en el punto P0.Al punto en que termina el segmento

unidad le corresponde el entero 1 de M y representa el rango en N; si le llamamos P 1

tendremos:

1 P1.

El valor absoluto de la unidad longitud se coloca sobre la recta tantas veces como

nmeros se requieran.


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As establecemos la correspondencia entre el conjunto de los nmeros y los puntos

de la recta numrica.

Ahora podemos ampliar el dominio de esta funcin manteniendo la misma longitud

de la unidad de distancia y el mismo punto donde acaba la unidad, considerando el

conjunto de nmeros racionales R.

R = { r = p/q / p, q M y q 0}

A cada nmero racional le corresponde un punto de la grfica de tal manera que:

r Pr ; r R ; Pr N

Segn esto la distancia entre dos puntos se da por:Distancia Pa Pb = /b a/.

Veamos ahora cmo se localiza el punto de l que corresponde a un nmero real

irracional que, como sabemos, se puede expresar como una fraccin decimal no

peridica infinita. Por ejemplo al valor = 3.14159265. . ., le corresponde el punto P :

Se divide el segmento donde debe ubicarse el valor hasta el decimal que se desea.

Postulado

A cada uno de los puntos Px de la recta le corresponde un nmero real nico x y

recprocamente: a cada uno de los nmeros reales x le corresponde un solo punto P x

de la recta.

Cuando se lleva a cabo esta correspondencia a la recta l se le llama eje coordenado

y al nmero x se le denomina coordenada del punto. El nmero real x y el rango Px

son diferentes, sin embargo es comn referirse al punto x y no al punto Px cuya

coordenada es x.


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Una recta se convierte en eje coordenado cuando a cada uno de los puntos de la

recta se le relaciona con un nmero. La recta l con coordenadas se denomina recta

real o eje real.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 recta l

Ejercicios:1. Cules son las coordenadas de los siguientes puntos:

a) El punto est a de distancia de 1 y 3

b) El punto est localizado a 1/5 de distancia de 0 a 10.

Intervalos y desigualdades.

Ya que todo nmero real es positivo, negativo o cero, se puede enunciar ms

formalmente la relacin de orden.

Sean a y b dos nmeros reales. Se dice que a es menor que b (a < b) si y solo si (b

a) es un nmero positivo. Cuando a < b entonces b es mayor que a (b > a).

Ciertos conjuntos de nmeros en el eje real se denominan intervalos, y su definicin

requiere el uso del simbolismo anterior.

Intervalo de una variable, es el conjunto de valores del dominio comprendidos entre

dos de ellos que se llaman extremos del intervalo.

(a, b) = {x / a < x < b}


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Intervalo abierto es el conjunto de todos los nmeros que se encuentran entre a y

b.

Amplitud del intervalo cuyos valores extremos son a y b, siendo a < b, es la

diferencia b a.

Intervalos cerrados son los que comprenden todos los nmeros que se encuentran

entre a y b, incluyendo a sus extremos.

[a, b] = {x / a x b}.

Utilizando estos conceptos, es posible describir intervalos del eje real que son

abiertos por un extremo y cerrados por el otro. Los intervalos de este tipo incluyen un

extremo y excluyen el otro. De tal manera que se dan dos posibilidades:

[a, b) = {x / a x < b} y (a, b] = {x / a < x b}

llamados abierto a la derecha y abierto a la izquierda, respectivamente.

Los intervalos, siendo conjuntos, estn sujetos a las leyes de operaciones, donde el

conjunto universal U es el eje real.

Ejemplos:

1. Consideremos el intervalo abierto (2, 5) y el intervalo cerrado [3, 7]. L a unin de

estos intervalos resulta del intervalo abierto por un extremo y cerrado por el otro:

(2, 5) U [3, 7] = (2, 7].

[ 3 x 7 ]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

( 2 < x < 5 )


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2. Consideremos la interseccin de los intervalos [2, 4] y (0, 5). Su interseccin est

formada solamente por las x comunes a los intervalos. Es abierto por un extremo y

cerrado por el otro (0, 4].

Las desigualdades

-2 x 4 y 0 < x < 5

deben satisfacerse y se verifica:

0 < x y x 4

lo que indica que la interseccin es un intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la

derecha.

[ -2 x 4 ]

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

( 0 < x < 5 )

1. Obtn la interseccin de los dos intervalos cerrados [2, 3] y [3, 4]

2. Obtn la unin de los intervalos [2, 5] y [10, 12]

3. Obtn la interseccin de los intervalos [2, 5] y [10, 12]


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Ahora consideremos el intervalo abierto (a, b). El complemento de este intervalo, en

smbolos (a, b) , es la unin de dos conjuntos

(a, b) = {x / x a} U { x / x b}.

El conjunto {x / x b} es un intervalo que no tiene extremo a la derecha. Se utiliza el

smbolo (infinito) para sealar la inexistencia del extremo derecho y se expresa el

intervalo por medio de:

[b, ) = {x / x b}

Empleando el smbolo - para indicar la inexistencia del extremo izquierdo en el

intervalo definido por medio de {x / x a} da:

(- , a] = {x / x a}.

El smbolo no representa un nmero real. Se aplica una terminologa y notacin

similar al intervalo (- , a], abierto a la izquierda o [b, ) abierto a la derecha. Con

estos convenios:

(a, b)= (- , a] U [b, ).

Si un intervalo es un conjunto vaco, su complemento es el eje real;

R = (- , )


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Ejercicios:

1. Localiza el o los intervalos que corresponden a:

a) (2, 4] U [3, 6].

b) (2, 4) U )3, 6).

c) (-, 3).

d) (- , 4) U (3, )

e) (- , 4] [3, ).

Muchos de los smbolos anteriores se pueden utilizar para especificar conjuntos ms

complejos de puntos del eje real.

a) Si A = {x / x 4 0} demuestra que x 4 0 equivale a x 4, y que el intervalo

resultado es [4, ), ilstralo en la recta.

b) Si B = { x / x | x 4 |= 1} . Recordando las propiedades de los valores absolutos |x

- 4| = 1 equivale a x 4 = 1 o x 4 = - 1 ; de aqu que x = 5 x = 3. Por lo que :

B = {x / |x - 4| = 1} = {3, 5}

Observa que el resultado no es un intervalo sino un par de puntos cuyas

coordenadas estn en 3 y 5.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

c) C = {x / |x - 4| 1}. La condicin x 4 1 equivale a las desigualdades

simultneas:-1 x 4 1

Segn el teorema (i) de esta seccin se puede sumar 4 a los dos miembros y resulta

3 x 5


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Este par de desigualdades especifica el conjunto {x / 3 x 5} o el intervalo [3, 5].

Realiza la grfica.

d) D = {x / (x 4) / (x 1) > 0}. Para simplificar la condicin (x 4) / (x 1) > 0, se

necesita que x 4 y x 1 sean ambos positivos o negativos. El primer caso x 4 > 0

por lo tanto x > 4 es parte de la respuesta; en el segundo caso, cuando x 1 es

negativo, entonces x < 1 , pero x 4 tambin es negativo; de aqu que x < 1 es el

resto de la respuesta. Al combinar las dos soluciones:

{x / x 1 / x 1} = {x / x < 1} U { x / x > 4}

e) Obtn la grfica del intervalo.

f) A travs de una factorizacin obtn el intervalo de E = {x / x2 5x + 6 = 0}

Es un intervalo o dos puntos?

g) F = {x / x2 - 5x + 6 < 0}. Considerando de nuevo la factorizacin:

x2 5x + 6 = (x 2) (x 3) < 0.

Para que el producto sea negativo, los dos factores deben ser de signos opuestos:

Caso 1. Las desigualdades (x 2) > 0 y (x 3) < 0 equivalen a x > 2 y x < 3, o

simplemente , a 2 < x < 3 . El conjunto {x / 2 < x < 3} es el intervalo abierto (2, 3). Fig

1.


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Caso 2. Las desigualdades (x 2) < 0 y (x 3) > 0, requiere que sea tal que:

x < 2 y x > 3,

lo que es imposibles; de aqu que la solucin es la obtenida en el caso 1.

Fig 1

Definicin de vecindad o entorno de un intervalo.Supongamos que x0 es un punto fijo sobre el eje real y r un nmero positivo. Un

entorno de x0 de radio r significa un intervalo abierto de centro x0 y longitud 2r. Esta

nocin se expresa simblicamente as (N significa entorno):

N (x0; r) = (x0 r, x0 + r).

X0 r < x < x0 + r

( )

X0 - r X0 X0 + r

Fig 2

En la fig 2 ,se observa que la desigualdad

X0 r < x < x0 + r

Es una representacin de este conjunto utilizando una notacin de desigualdad;

ahora, al aplicar la ley aditiva (teorema 1) sumando x0 a todos los trminos

-r < x x0 < r.

De esta manera la desigualdad se expresa, en notacin del valor absoluto as:


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| x x0 | < r,

y el intervalo abierto (x0 r, x0 + r) y el conjunto {x / | x x0| < r} son representaciones

del mismo conjunto sobre el eje real. Para simplificar la notacin basta expresar que

N (x0; r) y |x x0| < r identifican el mismo intervalo abierto:

N (x0; r) = | x x0 | < r.

Ejemplos:

a) Supongamos que x0 = 2 y r = 1 . Sustituyendo se tiene:

N (2; 1) = | x 2 | < 1

Que representa un entorno de x0 = 2 con radio r = 1

N(2;1)

0 1 2 3 4 5 6

Ahora demostraremos que cada intervalo abierto (a, b) forma un entorno y por lo

tanto, puede expresarse por medio de la notacin de valor absoluto. Para un

intervalo abierto dado(a, b), observemos que la longitud de (a, b) es b a que nos

da:

2r = (b a) y r = (b a) / 2

y como el punto medio de (a, b) es el promedio de los extremos, resulta que:

x0 = a + b / 2.

El intervalo abierto (a, b) viene dado por:

(a + b) / 2 (b a) / 2 < x < (a + b) / 2 + (b a) / 2

que es de la forma x0 r < x < x + r, que es equivalente a:

x (a + b) / 2 < (b a) / 2,


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y, por lo tanto, el intervalo abierto (a, b) se puede expresar en la notacin de entorno

en la forma:

(a, b) = N (a + b) / 2; (b a) / 2 = x (a + b) / 2 < (b a) / 2

b) Sea en intervalo abierto (-1, 4). Fig 3. El radio r = (4 (- 1) / 2 = 5 / 2 y el punto

medio x0 = (-1 + 4) / 2 = 3 / 2.

N(3/2; 5/2)

( )

l l l l l l l l l l l l

- 2 - 1 0 1 3/2 2 3 4 5 6 7 8

As (-1, 4) y | x 3/2 |< 5/2 son representaciones del entorno:

N (3/2; 5/2).

c) Graficar con el entorno N(2; 3). Ya que por definicin:

N(2;3) = (2 3, 2 + 3) = (-1, 5),

Se tiene solamente que graficar el intervalo abierto (-1, 5).

N (2; 3)

( )

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Intervalo infinito. Si el dominio de una variable es todos los nmeros reales y se

considera el intervalo formado por los nmeros mayores que uno dado, o el formado

por los nmeros menores que uno dado, se tienen intervalos infinitos.

Si comprenden a los nmeros dados se llaman cerrados, en caso contrario abiertos


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Problemas:

1. Traza las grficas de los siguientes conjuntos de nmeros.

a) [2, 3] U (3, 4]. b) [3, 5] [4, 5].

c) [-1, 1] (0, ) d) (-1, 5) (-5, 1).

2. Trazar los siguientes conjuntos de nmeros y describirlos utilizando:

i) la notacin de intervalo y ii) la de valores absolutos.

a) A = {x / x + 2 3}

b) B = {x / x 3 x < -1}.

c) C = {x / (x 2) (x + 1)(x + 3) > 0}

d) D = {x / (x 1) / (x + 1) > 0}.

e) E = {x / x 0}

3. Grfica los siguientes intervalos abiertos y descrbelos utilizando:

i) la notacin del entorno

ii) la de valores absolutos.

a) (1,1) b) (-5, 1) U (-1, 5) c) (x, x + 1) d) (x 1, x + 1)

4. Grfica los entornos y descrbelos empleando la notacin de intervalo.

a) N(0; ).

b) N(p;q).

c) N(x; x + 1); x > - 1.

d) N(n; 1/n); n = entero positivo.

N(; | |).


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2.1.3 Estudio del comportamiento analtico y grfico; local

y al infinito por medio del dominio y rango de las funcionesdel tipo:

F(x) = a / x + b + c . . . f(x) = a / (x + b)2 + c

f(x) = P(x) / Q (x); con P(x) y Q(x) lineales o

cuadrticas; a, b y c R

- Discusin del tema.

- Composicin del tema por equipo.

- Resolucin de problemas y ejercicios.

- Duracin 2 hrs.

Ayuda a desarrollar el siguiente ejemplo: f(x) = x / (x - 1)

Factoriza el denominador: f(x) = x / ( ) (x 1)

El dominio de esta funcin es el conjunto de los nmeros reales, con excepcin de:

x = 1.

En la grfica las coordenadas A(1,0) y B(-1,0), determinan los puntos por donde

deben ser trazadas las asntotas.


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Traza las asntotas en el plano cartesiano.

El dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales, con excepcin de:

x = 1, esta consideracin ayuda a definir las siguientes regiones:

- < x < - 1, -1 < x < 1, 1 < x < +

En base a estas regiones sabemos que:

En la regin uno:

f(x) = 0 cuando x - ,

f(x) = - cuando x - 1 por la izquierda.


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En la regin dos.

f(x) = + cuando x - 1 por la derecha.

f(x) = - cuando x + por la izquierda.

En la regin tres.

f(x) = + cuando x 1 por la derecha.

f(x) 0 cuando x +

En base a estas observaciones termina de construir la grfica.

Las rectas x = -1 y x = 1 separan las tres ramas de la grfica, por eso se dice que

son sus lmites naturales.

Observa que la separacin de la curva respecto de la recta tiende a cero; cuando un

punto se aleja indefinidamente del origen a lo largo de la curva y la separacin con la

recta tiende a cero, la recta se llama asntota. En el ejemplo anterior observa que el

eje x cumple con esta condicin y por eso tambin es una asntota.

En las funciones racionales siempre es conveniente encontrar y construir las

asntotas, para despus definir las regiones que nos indican la extensin del dominio

para finalmente utilizar esta informacin y determinar las ramas de la curva.

Si se desea graficar una funcin algebraica dada (recurdese que la funcin racional

tambin es algebraica), se deben tomar en cuenta las asntotas, ya sean verticales u


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horizontales las regiones que determinan en la grfica sus ramas, puntos aislados y

dems.

Determina la grfica de la funcin definida por:

f(x) = (x - 1)

Si x < 1 la funcin determinara un nmero imaginario; pero solo estamos

interesados en nmeros reales, por lo tanto x - 1 debe ser mayor o igual a 0, o sea

que x debe ser mayor o igual a 1. Esta restriccin se satisface para x menor o igual

a1 x mayor o igual a 1, as en el dominio excluiramos el intervalo abierto1 < x m, no hay asntotas horizontales.

x 1 x - 1

Ejemplo: Traza la grfica de la funcin f(x) = =x2 x 6 (x 3) (x + 2)


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Paso 1) Se factoriza numerador y denominador, las races del numerador sealan los

puntos donde la grfica corta al eje x, las races del denominador sealan el lugar por

donde pasan las asntotas verticales.

Para x = 1 el numerador se hace 0, por lo tanto 1 es una raz de la ecuacin.

Para x = - 2 y x = 3 el denominador se hace 0, por lo tanto por las coordenadas 2 y

3 del eje x pasan las asntotas verticales.

Las asntotas y races determinan varios intervalos a continuacin analizaremos cada

uno de ellos:

Cuando x

- 2

-

f(x)

- para el intervalo (- , - 2). Tercer cuadrante abajo de x

Cuando x - 2+ f(x) + para el intervalo (- 2, 1). Arriba del eje x.

Cuando x = 1 f(x) = 0 corta el eje x. Punto de inflexin.

Cuando x 3 - f(x) - para el i

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