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I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO
GESTIÓN ACADÉMICA PLAN DE ASIGNATURA
GUÍA DIDÁCTICA
¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!
CÓDIGO: PA-01-01
VERSIÓN: 1.0
FECHA: 13-10-2011
PÁGINA: 1 de 9
Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado:9º
Periodo: 4º
Docente: Esp. Blanca Rozo Duración:
Área: Matemáticas
Asignatura: Matemáticas
ESTÁNDAR: Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de
sólidos.
Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Resuelve situaciones problemas a partir de razonamientos que involucran el
cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos
EJE(S) TEMÁTICO(S): ÁREA Y VOLUMEN” EL CÍRCULO : *REGIONES EN EL CÍRCULO *LONGITUD DE LA *CIRCUNFERENCIA *LONGITUD DE ARCO *ÁREA DEL CÍRCULO *ÁREAS EN EL CÍRCULO
CUERPOS GEOMÉTRICOS: *CLASIFICACIÓN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS *POLIEDROS *CUERPOS REDONDOS *OTROS CUERPOS *SÓLIDOS PLATÓNICOS
Un Matemático que no es también algo de poeta, nunca será un matemático completo. Karl Weierstrass.
ORIENTACIONES
1) Observaciones sobre el desarrollo de la guía 2)Lectura texto guía
(seguir correctamente las instrucciones dadas , 3)Explicación por parte del docente
atención y concentración durante las explicaciones, 4)Desarrollo del taller asignado en grupo o individual.
leer comprensivamente, orden y pulcritud 5)Socialización del trabajo desarrollado.
en el desarrollo de la guía ). 6) Se valorarán todos los momentos de la guía.
EXPLORACIÓN
Para los geómetras griegos, el estudio de los poliedros fue muy importante y conocieron la existencia de esos cinco
únicos sólidos regulares, cuyo descubrimiento atribuyeron algunos al propio Pitágoras y a los que Platón recurrió
incluso para explicar la creación del universo. Sin embargo, no consta que conocieran un importante resultado relativo
al número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo, observado ya por Descartes en 1640 y del que el
matemático suizo Leonhard Euler dio una famosa demostración en 1752. Euler demostró que, si se suma el número
de caras y el número de vértices de un poliedro convexo y, del valor obtenido, se resta entonces el número de aristas, et
resultado es siempre igual a 2. De este resultado, válido para todo poliedro convexo, se deduce fácilmente la existencia
de únicamente cinco poliedros regulares.
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CONCEPTUALIZACION
CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO
DEFINICIÓN Y ELEMENTOS
Circunferencia es el conjunto de todos los puntos que
están a una misma distancia (radio) del plano que
equidistan de un mismo punto llamado centro de la
circunferencia. El punto centro no pertenece a la
circunferencia. La circunferencia se nombra con la letra
del centro y un radio.
Círculo es la superficie plana limitada por una
circunferencia.
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA Y ÁREA
DEL CÍRCULO
LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA
EJEMPLO.
En este ejemplo conocemos la longitud del radio
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA = 2 x 2 x
3,14 = 12,56 m
Ejercicios
1º Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de
diámetro.
.
2º A partir del radio
2ºLa rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto
ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100
vueltas?
r = 90 : 100 = 0.9 m
L = 2 · π · 0.9 = 5.65 m
5.65 · 100 = 565 m
3ºAna se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del
centro de una plataforma que gira y su amiga Laura se ha
montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular
el camino recorrido por cada una cuando la plataforma ha
dado 50 vueltas.
CONSULTAR LOS ELEMENTOS DE
UN CIRCULO Y AREAS DE LAS
REGIONES DE UN CIRCULO.
1º A partir del diámetro
La longitud de una circunferencia
es igual a pi por el diámetro.
La longitud de una circunferencia
es igual a 2 pi por el radio.
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PERÍMETRO DEL CÍRCULO
El perímetro de un círculo es una circunferencia y su
ecuación es:
(en función del radio).
o
(en función del diámetro).
donde es el perímetro, es la constante matemática pi
( ), es el radio y es el
diámetro del círculo.
2.- ÁREA O SUPEFICIE DE UN CÍRCULO
Existen numerosas fórmulas para calcular el área de un
círculo. Un círculo de radio , tendrá un área:
; en función del radio (r).
o
; en función del diámetro (d), pues
o
; en función de la longitud de la circunferencia
máxima (C), pues la longitud de dicha circunferencia es:
1)EJEMPLO: Vamos a calcular el área de este círculo:
a) En función del radio
en función del radio (r).
Área del círculo = 3 x 3 x 3,14 = 28,26 m2
4ºLa longi tud de una c ircunferencia es 43.96
cm. ¿Cuál es el área del círculo?
ÁREA DEL CÍRCULO COMO SUPERFICIE
INTERIOR DEL POLÍGONO DE INFINITOS
LADOS.
El área de un círculo se deduce sabiendo que la superficie
interior de cualquier polígono regular es igual al producto
entre el apotema y el perímetro de este polígono, es decir:
.
Si se considera la circunferencia como el polígono regular
de infinitos lados, entonces el apotema coincide con el
radio de la circunferencia y el perímetro con la longitud de
la circunferencia. Por tanto el área interior es:
CÍRCULO DESPLEGADO PARA CONFORMAR
UN TRIÁNGULO.
Si en un círculo desplegamos todos sus anillos circulares,
y los consideramos como rectángulos, se forma un
triángulo rectángulo de altura r y base 2πr (siendo la
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longitud de la base la de la circunferencia perimetral).
El área A de este triángulo de altura r, será:
Semicírculo
Un semicírculo de radio r.
Se llama semicírculo a la mitad de un círculo.9 Es la
figura geométrica plana (bidimensional) delimitada por un
diámetro y la mitad de una circunferencia.
Su área es la mitad de la del círculo. El arco de un
semicírculo siempre mide 180°, por ser la mitad de los
360° de un círculo.
1) Calcula la longitud del arco de una circunferencia
correspondiente a un ángulo de 50º siendo 4 cm., el radio
de la circunferencia.
Solución:
A la longitud total de la circunferencia que es de:
La regla se tres será:
A 360º (toda la circunferencia) corresponden 25,12 cm.
a 50º corresponderá una longitud de……… x cm.
de donde,
2)Un arco de circunferencia mide 3,49 m. y el radio 5 m.
¿Cuál es el valor del ángulo?
Solución: Datos: arco 3,49 m = 3.14 r= 5 m Si a la longitud de toda la circunferencia corresponden 360º
a una longitud de 3,49 m corresponden xº
de donde:
LONGITUD DE ARCO
Longitud de un arco. Puede encontrarse mediante
integración de línea.
La longitud de un arco puede encontrarse de la manera
siguiente: si es la medida en grados de un arco,
( /360) da el porcentaje del círculo completo ocupado
por el arco. Entonces la longitud del arco es
( /360)(2 r) donde r es el radio del círculo.
El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo.
CUERPOS GEOMÉTRICOS
Corresponde a una figura geométrica tridimensional, es
decir, que se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y
alto. Debido a esta característica existen en el espacio pero
se hallan limitados por una o varias superficies.
Si todas las superficies que lo limitan son planas y de
contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro.
Un poliedro es la región del espacio limitada por
polígonos.
ELEMENTOS DE UN POLIEDRO
CARAS
Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos
que limitan al poliedro.
ARISTAS
Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del
poliedro. Dos caras tienen una arista en común.
VÉRTICES
Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de
las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo
vértice.
ÁNGULOS DIEDROS
Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y
tienen una arista en común.
paralelogramos.
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ÁNGULOS POLIÉDRICOS
Los ángulos poliédricos están formados por tres o más
caras del poliedro y tienen un vértice común.
DIAGONALES
Las diagonales de un poliedro son los segmentos que
unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.
RELACIÓN DE EULER
En todos los poliedros convexos se verifica siempre que:
Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2.
LOS POLIEDROS SE CLASIFICAN EN REGULARES
E IRREGULARES
Poliedros regulares, son aquellos cuyas caras son todas
polígonos regulares, congruentes entre sí (de igual
medida) y cuyos ángulos poliedros son iguales. Existen
solamente 5 poliedros regulares: Tetraedro, Hexaedro,
Octaedro, Dodecaedro,Icosaedro.
POLIEDROS REGULARES
VOLUMEN Y AREA VOLUMEN Y AREA DEL
DEL TETRAEDRO CUBO
CUBO
Área = Área =
VOLUMEN Y AREA DE VOLUMEN Y
AREA DEL
OCTAEDRO DODECAEDRO
Área = Área =
VOLUMEN Y ÁREA DEL ICOSAEDRO
POLIEDROS IRREGULARES: Son aquellos que no tienen sus caras como polígonos
regulares ni sus ángulos poliedros iguales.
Elementos de un prisma
Altura de un prisma es la distancia entre las bases.
Los lados de las bases constituyen las aristas básicas y los
lados de las caras laterales las aristas laterales, éstas son
iguales y paralelas entre sí.
ÁREA Y VOLUMEN DEL PRISMA
Área lateral = Perímetro base · Altura
Área Total = Área lateral +2 . Área base
PIRÁMIDES Poliedros cuya base es un polígono cualquiera y cuyas
caras laterales son triángulos con un vértice común, que es
el vértice de la pirámide.
Elementos de una pirámide
La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la
base, que une la base con el vértice.
La apotema de la pirámide es la altura de cualquiera de
sus caras laterales.
Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas
que concurren en el vértice, aristas laterales.
Área lateral = N · Área Triángulo
Á Total = A Lateral + A Base
Base = Polígono Regular..
32aA26aA
232 aA 2510253 aA
Área =
Volumen =
235 aA
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PRISMA es un poliedro que tienen dos caras paralelas
e iguales llamadas bases y sus caras laterales son
CILINDRO
Es el cuerpo engendrado por un rectángulo que gira
alrededor de uno de sus lados.
ELEMENTOS DEL CILINDRO
EJE
Es El lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo.
GENERATRIZ
Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el
cilindro.
BASES
Son los círculos que engendran los lados perpendiculares
al eje.
ALTURA
Es la distancia entre las dos bases, esta distancia es igual a
la generatriz.
ÁREA Y VOLUMEN DEL CILINDRO
Base = Círculo, Circunferencia
Á. Total = A. Lateral + 2· A. Base
Volumen = A. Base · Altura
CONO
Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un
triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
ELEMENTOS DEL CONO
Eje
Es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo.
Base
Es el círculo que forma el otro cateto.
Generatriz
Es la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Altura
Es la distancia del vértice a la base.
CONO
Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un
triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
Elementos del cono
Eje
Es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo.
Base
Es el círculo que forma el otro cateto.
Generatriz
Es la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Altura
Es la distancia del vértice a la base.
La longitud de la circunferencia, 2Πr, es igual a la
longitud del arco del sector 2Πgn/360.
2Πr = 2Πgn/360, de donde n=360r/g.
Luego el área lateral es A L=Πrg
y el área total es:
Á.Total = A.Lateral + A.Base Base = Círculo, Circunferencia
A Base= Π r2 A Lateral = Π·r·g
Volumen = A.Base · Altura / 3 V=Π·r2·h / 3
ESFERA
I. El área de una esfera
.
El volumen de una esfera
fórmula siguiente: V = r3.
2·. rBaseA
hrALateral
···2
)·(··2
··2···2 2
hrr
rhrATotal
2rrgAToral
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ORTOEDRO
Área del ortoedro
A= 2 a.b + 2 b.c + 2 c.a
Volumen del ortoedro
V= a · b · c
EJEMPLOS
1.-Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm
de arista.
=
= V = √ x 53 = 18.04 cm
3
12
2.-Calcula la al tura de un prisma que tiene como
área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.
3) Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y
el volumen de un cubo de 5 cm de arista.
4)Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm
de arista.
=
=
ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN
Vamos a calcular el área de este círculo:
REALIZA UN DIBUJO PARA CADA EJERCICIO
2)Un arco de circunferencia mide 3,49 m. y el radio 5 m.
¿Cuál es el valor del ángulo?
¿Qué longitud de arco corresponden a 30º en una
circunferencia de 8 cm., de radio?
3.-Las dimensiones de un paralelepípedo rectángulo son
4 m y 3 m de base y 7 m de altura. Halla el área lateral en
m2
5.-. Halla el área lateral en m2 de un prisma triangular que
tiene de base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden
3 m y 4 m y la hipotenusa 5 m. Su altura es 6 m.
6.-. Halla el volumen de un prisma cuya altura mide 5 m y
la base es un rombo cuyas diagonales miden 6 m y 8 m.
7.-. Calcula el volumen de un prisma pentagonal de 27 m2
de base y 72 m de altura.
8.- Halla el volumen en m3 de un prisma triangular que
tiene de base un triángulo rectángulo cuyos catetos
miden 3 y 4 metros y la altura es de 6 m.
9-. Halla el área lateral en m2 de un prisma triangular de
2,24 m de alto y cuya base tiene 3,75 m de perímetro
10.-Calcula el área y el volumen de un cilindro de base
0,5 m y altura 2,75 m.
11.- Calcula el área de una esfera de 10 cm. de diámetro.
15.- Si el volumen de un cubo es 512 cm3 , encuentra su
área total y la dimensión de su arista.
16.- Calcula el volumen de un cilindro de altura 10 cm. y
de radio basal 2 cm.
17.- Calcula el área total y el volumen de un
paralelepípedo de aristas 2 cm., 5 cm. y 8 cm.
18.- Determina el área total y el volumen de un cubo:
a) de arista 2 cm.
b) en que el área de una de sus caras es 36 cm .
c) en que el perímetro de una cara es 36 cm.
19.- Calcula el volumen de:
a) un cilindro de altura 9 m. Y de diámetro basal 2 m.
b)
20.- ¿Cuál es la arista de un cubo cuya área total es de 54
cm2?.
21.- Determina el volumen de un cubo donde la suma de
sus aristas es 72 cm.
22.- Encuentra las dimensiones de la base de un
paralelepípedo rectangular de 720 cm3 y 15 cm. de
altura, si el largo de la base es el triple del ancho.
23.- Si las dimensiones de un paralelepípedo son 4 cm., 5
cm. y 6 cm. Determina la medida de las diagonales de las
tres caras diferentes.
24.- Determina la medida de la generatriz de un cono
recto, si el radio de la base es 3 cm. Y su altura es 4 cm..
25.- Calcula el volumen de un cono recto si su generatriz
mide 12 cm. y el radio basal es igual a cm.
32aA
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12.- Calcula el área de una esfera de 25 cm. de radio.
13.- 2 , determina su
diámetro
14.- Encuentra el perímetro de un círculo máximo de una 2
26.-Calcula el área y el volumen de un ortoedro de
dimensiones 2,2 cm., 4 cm. y 5 cm. respectivamente.
Calcula también la longitud de la diagonales marcadas.
SOCIALIZACIÓN
1) Puesta en común del trabajo desarrollado. 2) Retroalimentación de posibles dudas.
3) Evaluación escrita del tema visto. 4)Se evalúa la participación activa de todos los estudiantes.
5) Revisión de corrrecciones. 6) Revisión del trabajo desarrollado
COMPROMISO
1.-Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el
volumen de un cubo de 6 cm de arista.
2.-Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una
habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500
mm de alto.
Calcular el el volumen de una esfera inscrita en un
cilindro de 2 m de altura.
3.-Calcular la diagonal de un ortoedro de 10 cm de largo,
4 cm de ancho y 5 cm de alto.
4.- Calcula el área lateral , e l área total y el
volumen de un prisma cuya base es un rombo de de
diagonales 12 y 18 cm.
ELABORÓ REVISÓ APROBÓ
NOMBRES
Esp. BLANCA ROZO
LIC.YAIRA LICETH
RINCON
CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico
DD
06
MM
08
AAAA
2012 DD MM AAAA DD MM AAAA
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