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EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com

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GEOMETRÍA

1- Considera la recta r que pasa por los puntos A(1,0,-1) y B(-1,1,0).

a) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pase por C(-2,3,2).

b) Calcula la distancia entre r y s.

Andalucía - Junio 2014 – Opción A - Oficial

2- Sea r la recta definida por �� 2� � � � 32� � � � � � 1

a) Determina la ecuación general del plano que contiene a r y pasa por el origen de

coordenadas.

b) Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a r en el

punto (1,1,0).

Andalucía - Junio 2014 – Opción B - Oficial

3- Considera los puntos A(1,1,2) y B(1,-1,-2) y la recta r dada por

��

a) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa

por A y B.

b) Halla el punto de la recta r que está a la mínima distancia de A y B.

Andalucía - Septiembre 2014 – Opción A - Oficial

4- Sea r la recta que pasa por los puntos A(1,0,-1) y B(2,-1,3).

a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta r.

b) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y pasa por el origen de

coordenadas.


5- Sean los vectores u = (1,-1,3), v = (1,0,-1) y w = (λ,1,0).

a) Calcula los valores de λ que hacen que u, v y w sean ortogonales.

b) Calcula los valores de λ que hacen que u, v y w sean linealmente independientes.

c) Para λ = 1 escribe el vector r = (3,0,2) como combinación lineal de u, v y w.

Andalucía - Junio 2014 – Opción A – Reserva 1

6- Sea r la recta dada por �� 1 � ��

�� y sea s la recta dada por � � � � � 3 � 03� � � � 6 � 0

a) Determina la posición relativa de r y s.

b) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a s.

Andalucía - Junio 2014 – Opción B – Reserva 1


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7- Sean los vectores u =(1,-1,0), v = (0,1,2) y w = (1+α,2α,2-3α). Halla los valores de α en cada

uno de los siguientes casos:

a) u, v y w están en el mismo plano.

b) W es perpendicular a u y v.

c) El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores u, v y w es 1/6.


8- Considera el punto P(2,-2,0) y la recta r dada por �� 2 � 0� � � � 1 � 0

a) Determina la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r.

b) Calcula la distancia de P a r.


9- Sea r la recta que pasa por el punto (1,0,0) y tiene como vector director (a,2ª,1) y sea s la

recta dada por

��2� � � � �2�� 0

a) Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas.

b) Calcula, para a = 1, la distancia entre r y s.

Andalucía - Junio 2013 – Opción A – Oficial

10- Considera los puntos P(2,3,1) y Q(0,1,1).

a) Halla la ecuación del plano π respecto del cual P y Q son simétricos.

b) Calcula la distancia de P a π.

Andalucía - Junio 2013 – Opción B – Oficial

11- Considera el plano π de ecuación 2x+y+3z-6=0

a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los

ejes coordenados.

b) Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano π y los planos

coordenados.

Andalucía - Septiembre 2013 – Opción B – Oficial

12- Calcula la distancia entre las rectas � ≡ � � � � �� ≡ � � � � � � � � � !


13- Considera las rectas

" ≡ � � � � �# ≡ �� 2� � 1 �$ ≡ �� 1 � 2%� � 3%� � �1 � %

Halla la recta que corta a r y a s y es paralela a t.



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14- Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A(-1,0,3), B(2,-1,1) y C(3,2,-3).

a) Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.

b) Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal AC del paralelogramo.

c) Calcula las coordenadas del vértice D.


15- Considera los puntos A(1,2,3) y B(-1,0,4).

a) Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes

iguales.

b) Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A y es perpendicular al segmento

AB.


16- Considera los puntos A(1,2,1), B(-1,0,2) y C(3,2,0) y el plano π determinado por ellos.

a) Determina el rango de A según los valores del parámetro m.

b) Discute el sistema AX=B según los valores del parámetro m.

c) Resolver el sistema AX=B para m = 1.

Andalucía – Septiembre 2013 – Opción B – Reserva 3

17- Determina el punto de la recta " ≡ �� &

� � � � 1 que equidista de los planos:

'� ≡ � � � � 3� � 2 � 0�'� ≡ �� 4 � % � 3)� � 1 � %� � )

Andalucía – Septiembre 2013 – Opción A – Reserva 4

18- Considera los puntos A(0,5,3), B(-1,4,3), C(1,2,1) y D(2,3,1).

a) Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que ABCD es un rectángulo.

b) Calcula el área de dicho rectángulo.


19- De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos: A(2,-1,0), B(-2,1,0) y

C(0,1,2).

a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es

perpendicular al plano que lo contiene.

b) Halla el área de dicho paralelogramo.

c) Calcula el vértice D.

Andalucía – Junio 2012 – Opción A – Oficial


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20- Sean r y s las rectas dadas por

" ≡ �� 6� � � � 3 # ≡ � � 1�1 � � � 16 � �2

a) Determina el punto de intersección de ambas rectas.

b) Calcula la ecuación general del plano que las contiene.


21- Sean los puntos A(0,0,1), B(1,0,-1), C(0,1,-2) y D(1,2,0).

a) Halla la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C.

b) Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios.

c) Calcula la distancia del punto D al plano π.

Andalucía – Septiembre 2012 – Opción A – Oficial

22- Halla el punto simétrico de P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por

� � � � � 0� � � � 2 � 0

Andalucía – Septiembre 2012 – Opción B – Oficial

23- El punto M(1,-1,0) es el centro de un paralelogramo y A(2,1,-1) y B(0,-2,3) son dos vértices

consecutivos del mismo.

a) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.

b) Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.

Andalucía – Junio 2012 – Opción A – Reserva 1

24- Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta r de ecuaciones

� 2� � 3� � 42� � 3� � � � 0

Andalucía – Junio 2012 – Opción B – Reserva 1

25- Dadas las rectas " ≡ ��* � &�+

, � ��-, �# ≡ ��

� � &�+�� -

��

a) Determina la posición relativa de las rectas r y s.



26- Los puntos A(1,1,5) y B(1,1,2) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice

C, consecutivo a B, está en la recta � � &�*��

� . Determina los vértices C y D.



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27- Se consideran los vectores u = (k,1,1), v = (2,1,-2) y w = (1,1,k), donde k es un número real.

a) Determina los valores de k para los que u, v y w son linealmente dependientes.

b) Determina los valores de k para los que v + w y v – w son ortogonales.

c) Para k = -1, determina aquellos vectores que son ortogonales a v y w y tienen módulo

1.


28- Encuentra los puntos de la recta " ≡ ��, � ��&

� � � � 3 cuya distancia al plano

' ≡ � � 2� � 2� � 1 vale cuatro unidades.


29- Determina el punto P de la recta " ≡ �� &�.

� � ��,� que equidista del origen de

coordenadas y del punto A(3,2,1).


30- Considera el punto P(1,0,2) y la recta r dada por las ecuaciones �2� � � � 4 � 0� � 2� � 8 � 0

a) Calcula la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r.

b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r.


31- Determina el punto simétrico del punto A(-3,1,6) respecto de la recta r de ecuaciones

� � 1 � &��

� .


32- Considera los puntos A(-1,k,3), B(k+1,0,2), C(1,2,0) y D(2,0,1).

a) ¿Existe algún valor de k para el que los vectores 01222223, 15222223�56222223 sean linealmente

dependientes?

b) Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de

volumen 1.


33- Dados el plano π de ecuación � � 2� � � � 0 y la recta r de ecuaciones

� 3� � � � 5� � � � 4� � �13

a) Halla el punto de intersección del plano π y la recta r.

b) Halla el punto simétrico del punto Q(1,-2,3) respecto del plano π.



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34- Considera los puntos A(1,0,2) y B(1,2,-1).

a) Halla un punto C de la recta de ecuación �� &

� � � que verifica que el triángulo de

vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B.

b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D, donde D es el punto de corte del

plano de ecuación 2x – y + 3z = 6 con el eje OX.


35- Considera los planos '�, '��'� dados respectivamente por las ecuaciones 3� � � � � � 4 � 0, � � 2� � � � 1 � 0�� 4 � 0

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,1,-1), es paralela al plano '� y corta

a la recta intersección de los planos '� y '�.


36- Dados los puntos A(1,0,0), B(0,0,1) y P(1,-1,1) y la recta �� 2 � 0� � 0

a) Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades.

b) Calcula el área del triángulo ABP.


37- Dados el punto P(1,1,-1) y la recta r de ecuaciones �� 1� � � � 0

a) Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P.

b) Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y + z = 0, que es

perpendicular a r y pasa por P.


38- Sea el punto P(2,3,-1) y la recta r dada por las ecuaciones � � � 1� � �2%� � %

a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P.

b) Calcula la distancia del punto P a la recta r y determina el punto simétrico de P

respecto de r.


39- Considera los planos π1 y π2 dados respectivamente por las ecuaciones

8�, �, �9 � 8�2,0,79 � %81,�2,09 � )80,1,�19�2� � � � � � 5 � 0

Determina los puntos de la recta r definida por � � � � 1 � �� que equidistan de π1 y π2.



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40- Dada la recta r definida por �� &��

� � �� 3 y la recta s definida por � � � 12� � � � �2

a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r.

b) Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r.


41- Dada la recta r definida por ��;� � &�;

�� y la recta s definida por � � � 2� � �5� � %

a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas.



42- Considera las rectas r y s de ecuaciones

� � 1 � � � 1 � �� 2� � �1� � � � 1

a) Determina su punto de corte.

b) Halla el ángulo que forman r y s.

c) Determina la ecuación del plano que contiene a r y s.


43- Los puntos P(2,0,0) y Q(-1,12,4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice S

pertenece a la recta r de ecuación

�4� � 3� � 33� � 0

a) Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que

pasa por P y S.

b) Comprueba si el triángulo es rectángulo.

Andalucía – Junio 2010 – Opción B – Oficial

44- Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta r de ecuaciones �� 2� � 11 � 02� � � � 19 � 0 y

que contiene a la recta s definida por � � � 1 � 5%� � �2 � 3%� � 2 � 2% .


45- Considera los planos π1, π2 y π3 dados respectiivamente por las ecuaciones � � � � 1,�� 0�� 81 � �9� � �� 1

a) ¿Cuánto ha de valer a para que no tengan ningún punto en común?

b) Para a = 0, determina la posición relativa de los planos.



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46- Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano

6x+3y+2z=6 con los ejes coordenados.


47- Sean los puntos A(1,1,1), B(-1,2,0), C(2,1,2) y D(t,-2,2)

a) Determina el valor de t para que A, B, C y D estén en el mismo plano.

b) Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B, que

contenga al punto C.


48- Considera los puntos A(1,0,2), B(-1,2,4) y la recta r definida por � � 22 � � � 1 � � � 13

a) Determina la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan de A y de B.

b) Halla la ecuación del plano paralelo a r y que contiene los puntos A y B.


49- Considera los puntos A(1,1,1), B(0,-2,2), C(-1,0,2) y D(2,-1,2).

a) Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D.

b) Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que

contiene a los puntos A, B y C.


50- Considera los puntos A(1,2,1) y B(-1,0,3).

a) Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento AB en tres partes

iguales.

b) Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A.


51- Considera el plano π definido por 2x – y + nz = 0 y la recta dada por

� � 1= � �4 � � � 12

a) Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano π.

b) Calcula m y n para que la recta r esté contenida en el plano π.


52- Halla el punto simétrico de P(1,1,1) respecto de la recta r de ecuación � � 12 � �3 � � � 1�1



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53- Sean los puntos A(2,λ,λ), B(-λ,2,0) y C(0,λ,λ-1).

a) ¿Existe algún valor de % ∈ ? para el que los puntos A, B y C estén alineados? Justifica

la respuesta.

b) Para λ=1 halla la ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices A, B y C.

Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano.


54- Se considera la recta r definida por � � � 1� � 1� � % � 2 y la recta s definida por @ � � )� � ) � 1� � �1 . Halla

la ecuación de la recta perpendicular común a r y s.

Andalucía - Junio 2009 – Opción A - Oficial

55- Considera la recta definida por �� 2� � � � 0 y la recta s que pasa por los puntos A(2,1,0) y

B(1,0,-1)

a) Estudia la posición relativa de ambas rectas.

b) Determina un punto C de la recta r tal que los segmentos 50 y 51 sean

perpendiculares.


56- Considera el punto P(1,0,0), la recta r definida por � � 3 � &� � ��

�� y la recta s definida

por (x,y,z) = (1,1,0) + λ(-1,2,0).

a) Estudia la posición relativa de r y s.

b) Halla la ecuación del plano que pasando por P es paralelo a r y s.

Andalucía - Septiembre 2009 – Opción A - Oficial

57- Considera la recta definida por

� � � � � 3 � 0� � � � � � 1 � 0

Y la recta s definida por

� 2� � 1 � 0� � 2� � 3 � 0

a) Determina la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.

b) ¿Existe algún plano que contenga a r y sea perpendicular a s? Razona la respuesta.

Andalucía - Septiembre 2009 – Opción B - Oficial

58- Considera el punto A(1,-2,1) y la recta definida por las ecuaciones � � � � � 22� � � � � � 7

a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A.

b) Calcula la distancia del punto A a la recta r.



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59- Considera la recta r definida por

� � � �12� � � � 2

Y la recta s definida por

�� 4 � 3%� � 3 � %� � 5 � 4%

Halla la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.


60- Considera el punto P(1,0,-2), la recta r definida por �� 2� � 1 � 0� � � � 2 � 0 y el plano π de

ecuación 2x+y+3z-1=0.

a) Halla la ecuación del plano que pasa por P, es paralelo a r y es perpendicular a π.

b) Halla la ecuación de la recta que pasa por P, corta a r y es paralela a π.


61- Considera el plano π de ecuación 3x -2y -2z = 7 y la recta r definida por � � 22 � � � 11 � � � 22

a) Determina la ecuación del plano paralelo a π que contiene a r.

b) Halla la ecuación del plano ortogonal a π que contiene a r.


62- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,1,-1), es paralela al plano de

ecuación x-y+z=1 y corta al eje Z.

Andalucía - Septiembre 2009 – Opción A – Reserva 3

63- Sea la recta r definida por �3� � 2� � 03� � � � 0

a) Determina la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el punto P(1,1,1).

b) Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 4 unidades.

Andalucía - Septiembre 2009 – Opción B – Reserva 3

64- Sean la recta r definida por � � � � �2� � � � �3 y la recta s definida por � � � 12� � � � �2


b) Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r.


65- Sea el punto P(2,3,-1) y la recta r definida por � � � � � 2� � 1� � 2� � 4� � 1

a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r.

b) Halla el punto de r que está más cerca de P.



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66- Dada la recta r definida por � � 12 � � � 13 � � � 21

a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r.

b) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r.


67- Dados los puntos A(2,1,1) y B(0,0,1), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del

triángulo de vértices A, B y C es 2.


68- Sea la recta s dada por �� 12� � � � 3

a) Halla la ecuación del plano π1 que es paralelo a la recta s y que contiene a la recta r,

dada por x-1=-y+2=z-3.

b) Estudia la posición relativa de la recta s y el plano π2 de ecuación x+y=3 y deduce la

distancia entre ambos.

Andalucía - Septiembre 2008 – Opción A – Oficial

69- Dados los puntos A(1,1,0), B(1,1,2) y C(1,-1,1).

a) Comprueba que no están alineados y calcula el área del triángulo que determinan.

b) Halla la ecuación del plano que contiene a A y es perpendicular a la recta determinada

por B y C.


70- Los puntos A(-2,3,1), B(2,-1,3) y C(0,1,-2) son vértices consecutivos del paralelogramo

ABCD.

a) Halla las coordenadas del vértice D.

b) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a la diagonal AC.

c) Halla la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo.


71- Sea r la recta dada por �2� � � �=� � 2� � � � � � �= y el plano definido por x + my –z = 1.

a) ¿Existe algún valor de m para el que π y r son paralelos?

b) ¿Para qué valor de m está la recta contenida en el plano?

c) ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m = 0?


72- Considera la recta r definida por � � � 03� � � � 3 y la recta s definida por �2� � � � 3� � 0


b) Halla la ecuación general de un plano que contiene a s y es paralelo a r.



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73- Sea la recta r definida por � � � 1� � � � 0 y sean los planos π1, de ecuación x+y+z=0, y π2, de

ecuación y+z=0. Halla la recta contenida en el plano π1, que es paralela al plano π2 y que

corta a la recta r.


74- Se sabe que los planos de ecuaciones x+2y+bz = 1, 2x+y+bz=0, 3x+3y-2z=1 se cortan en

una recta r.

a) Calcula el valor de b.

b) Halla unas ecuaciones paramétricas de r.


75- Dados los puntos A(2,1,-1) y B(-2,3,1) y la recta r definida por las ecuaciones

�� 13� � 2� � �5

Halla las coordenadas de un punto de la recta r que equidiste de los puntos A y B.


76- Se considera la recta r definida por mx = y = z+2 (m≠0) y la recta s definida por � � 44 � � � 1 � �2

a) Halla el valor de m para el que r y s son perpendiculares.

b) Deduce razonadamente si existe algún valor de m para el que r y s son paralelas.


77- Considera los puntos A(2,0,1), B(-1,1,2), C(2,2,1) y D(3,1,0).

a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k.

b) Para k = 0, halla la matriz inversa de A.


78- Considera los planos de ecuaciones x – y +z = 0 y x + y – z = 2.

a) Determina la recta que pasa por el punto A(1,2,3) y no corta a ninguno de los planos

dados.

b) Determina los puntos que equidistan de A(1,2,3) y B(2,1,0) y pertenecen a la recta

intersección de los planos dados.



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79- Considera los puntos A(0,3,-1) y B(0,1,5).

a) Calcula los valores de x sabiendo que el triángulo ABC de vértices A(0,3,-1), B(0,1,5) y

C(x,4,3) tiene un ángulo recto en C.

b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos (0,1,5) y (3,4,3) y es paralelo a la

recta definida por las ecuaciones �� 02� � � � 3 .


80- a) Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos A(1,2,1) y B(-1,0,3) en tres

partes iguales.

b) Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto

medio.


81- Considera los vectores A23 � 81,1,=9, B3 � 80,=,�19�C223 � 81,2=, 09. a) Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado.

b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = -2.


82- Sea r la recta definida por �� &�D

, � �. y s la recta definida por

�� &��

� � �� .

a) Halla k sabiendo que las rectas r y s se cortan en un punto.

b) Determina la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s.


83- Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación x + 2y + 3z – 1 = 0 que

corta perpendicularmente a la recta definida por �� 2� � 4� � 2� � 3 en el punto (2,1,-1).


84- Considera la recta r definida por ��E � &

, � �� y el plano π de ecuación 2x-y+βz=0.

Determina α y β en cada uno de los siguientes casos.

a) La recta r es perpendicular al plano π.

b) La recta r está contenida en el plano π.


85- Calcula la distancia del punto P(1,-3,7) a su punto simétrico respecto de la recta definida

por �3� � � � � � 2 � 0� � � � � � 6 � 0 .



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86- a) Encuentra la ecuación de la recta r que pasa por el origen de coordenadas y es paralela

a los planos π1 de ecuación � � � � � � 3√3 y π2 de ecuación –x+y+z=2.

b) Halla la distancia de la recta r al plano π1.


87- Considera el punto P(1,0,-2) y la recta r definida por � 2� � � � 52� � � � 4� � 7

a) Determina la recta perpendicular a r que pasa por P.

b) Halla la distancia entre el punto P y su simétrico Q respecto de la recta r.


88- Considera el plano π de ecuación 2x+2y-z+6=0 y el punto P(1,0,-1).

a) Calcula los valores de λ para los que el determinante de A – 2I es cero.

b) Calcula la matriz inversa de A – 2I para λ=-2.


89- Considera el plano π de ecuación 2x+2y-z-6=0 y la recta r definida por � � 12 � � � 1�1 � �2

a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los

ejes de coordenadas.

b) Calcula, razonadamente, la distancia de la recta r al plano π.


90- Considera el plano π de ecuación 2x+y-z+2=0 y la recta r de ecuación ��.�� *

G .

a) Halla la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m.

b) Para m = -3 halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al

plano π.

c) Para m = -3 halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano

π.


91- Considera el punto P(3,2,0) y la recta r de ecuaciones �� 3 � 0� � 2� � 1 � 0

a) Halla la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r.

b) Determina las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r.


92- Determina los puntos de la recta r de ecuaciones @ � � 0� � 1 � �� que equidistan del plano π

de ecuación x+z=1 y del plano π’ de ecuación y-z=3.

Andalucía - Septiembre 2006 – Opción A – Oficial


46

93- Considera los puntos A(1,0,-2) y B(-2,3,1).

a) Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales.

b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C, donde C es un punto de la recta de

ecuación –x=y-1=z. ¿Depende el resultado de la elección concreta del punto C?


94- Sean u=(x,2,0), v=(x,-2,1) y w=(2,-x,-4x) tres vectores de ?�.

a) Determina los valores de x para los que los vectores son linealmente independientes.

b) Halla los valores de x para los que los vectores son ortogonales dos a dos.


95- Sea r la recta r de ecuación � � � � � $� � 1 � 2$� � 4 � $ y s la recta de ecuación �� &��

� � ��

a) Calcula el valor de a sabiendo que las rectas r y s se cortan.

b) Calcula el punto de corte.


96- Halla un punto A de la recta r de ecuación x=y=z y un punto B de la recta s de ecuación

� � &��

� de forma que la distancia entre A y B sea mínima.


97- Sea r la ecuación ��.� � &��

�� , y s la recta dada por � 3� � 2� � � � 2�� 2� � 3� � 2

a) Determina la posición relativa de ambas rectas.

b) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s.


98- Considera la recta r de ecuaciones � � � � � � � 1� � 2� � 3� � 0

a) Determina la ecuación del plano que contiene a la recta r y no corta al eje OZ.

b) Calcula la proyección ortogonal del punto A(1,2,1) sobre la recta r.


99- Considera los puntos A(2,1,2) y B(0,4,1) y la recta r de ecuación � � � � 2 � ��

a) Determina un punto C de la recta r que equidiste de los puntos A y B.

b) Calcula el área del triángulo de vértices ABC.


100- Halla la ecuación de un plano que sea paralelo al plano π ecuación x+y+z=1 y forme

con los ejes de coordenadas un triángulo de área 18√3.



47

101- Sea la recta r de ecuación �� &��

� � �� y el plano π de ecuación x-y+z+1=0. Calcula

el área del triángulo, de vértices ABC, siendo A el punto de corte de la recta r y el plano π,

B el punto (2,1,2) de la recta r y C la proyección ortogonal del punto B sobre el plano π.


102- Halla las ecuaciones paramétricas de una recta sabiendo que corta a la recta r de

ecuación x = y = z, es paralela al plano π de ecuación 3x+2y-z=4 y pasa por el punto

A(1,2,-1).


103- Considera el punto P(2,0,1) y la recta " ≡ �� 2� � 6� � 2

a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a r.

b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r.


104- Sean los vectores B3� � 80,1,09, B3� � 82,1, �19�B3� � 82,3, �19 a) ¿Son los vectores B3�, B3� y B3� linealmente dependientes?

b) ¿Para qué valores de a el vector (4,a+3,-2) puede expresarse como combinación lineal

de los vectores B3�, B3� y B3�?

c) Calcula un vector unitario y perpendicular a B3� y B3�.


105- Considera un plano ' ≡ � � � �=� � 3 y la recta " ≡ � � � � 1 � �� .

a) Halla m para que r y π sean paralelos.

b) Halla m para que r y π sean perpendiculares.

c) ¿Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano π?

Andalucía – Septiembre 2005 – Opción A- Oficial

106- Sean los planos '� ≡ 2� � � � � � 5 � 0 y '� ≡ � � 2� � � � 2 � 0.

a) Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que está en el plano π1 y que su

proyección ortogonal sobre el plano π2 es el punto (1,0,-3).

b) Calcula el punto simétrico de P respecto del plano π2.

Andalucía – Septiembre 2005 – Opción B- Oficial

107- Sea el punto P(1,0,-3) y la recta " ≡ �2� � � � 1 � 0� � � � 0

a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r.

b) Calcula las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r.

Andalucía – Junio 2005 – Opción A- Reserva 1


48

108- Se sabe que los puntos A(m,o,1), B(0,1,2), C(1,2,3) y D(7,2,1) están en un mismo plano.

a) Halla m y calcula la ecuación de dicho plano.

b) ¿Están los puntos B, C y D alineados?

Andalucía – Junio 2005 – Opción B - Reserva 1

109- Se sabe que las rectas

" ≡ �� 3 � 0� � 2� � 2 � 0 �# ≡ �� 6� � 6 � 0� � 2� � 2 � 0

Son paralelas.

a) Calcula a.

b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s.

Andalucía – Junio 2005 – Opción A - Reserva 2

110- Considera las rectas " ≡ �� 2 � 0� � � � 1 � 0�# ≡ �� 1 � �

�.

a) Halla la ecuación del plano π que contiene a s y es paralelo a r.

b) Calcula la distancia de la recta r al plano π.

Andalucía – Junio 2005 – Opción B - Reserva 2

111- Considera el punto A(0,-3,1), el plano ' ≡ 2� � 2� � 3� � 0 y la recta

" ≡ � � 3 � � � ��

a) Determina la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r.

b) Determina la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r.

Andalucía – Septiembre 2005 – Opción A - Reserva 3

112- Se sabe que las rectas

" ≡ � � � 1 � $� � �1 � $� � H � $ �# ≡ �� 36� � 2� � 2

Están contenidas en un mismo plano.

a) Calcula b.

b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s.

Andalucía – Septiembre 2005 – Opción B - Reserva 3

113- Calcula la distancia entre las rectas

" ≡ � � � 6 � %� � 1 � 2%� � 5 � 7% �# ≡ �2� � 3� � 1 � 03� � � � 2 � 0

114- Sean A(-3,4,0), B(3,6,3) y C(-1,2,1) los vértices de un triángulo.

a) Halla la ecuación del plano π que contiene al triángulo.

b) Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen de

coordenadas.

c) Calcula el área del triángulo ABC.

Andalucía – Septiembre 2005 – Opción B - Reserva 4


49

115- Sean los puntos A(1,2,1), B(2,3,1), C(0,5,3) y D(-1,4,3).

a) Prueba que los cuatro puntos están en el mismo plano. Halla la ecuación de dicho

plano.

b) Demuestra que el polígono de vértices consecutivos ABCD es un rectángulo.

c) Calcula el área de dicho rectángulo.

Andalucía – Junio 2004 – Opción A - Oficial

116- Dados los vectores A23 � 82,1,09�B3 � 8�1,0,19, halla un vector unitario C223 que sea

coplanario con A23 y B3 y ortogonal a B3. Andalucía – Junio 2004 – Opción B - Oficial

117- Se sabe que el triángulo ABC es rectángulo en el vértice C, que pertenece a la recta

intersección de los planos y+z=1 e y-3z+3=0. Y que sus otros dos vértices son A(2,0,1) y

B(0,-3,0). Halla C y el área del triángulo ABC.

Andalucía – Septiembre 2004 – Opción A - Oficial

118- Halla la perpendicular común a las rectas

" ≡ �� 1� � 1� � I �# ≡ � � � J� � J � 1� � �1

Andalucía – Septiembre 2004 – Opción B - Oficial

119- Considera las rectas

" ≡ �� 2�# ≡ �� 1� � 3

Halla la ecuación de una recta que corte a r y s y sea perpendicular al plano z=0.


120- Sean los puntos A(1,0,-1) y B(2,-1,3).

a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y por B.

b) Calcula el área del paralelogramo de vértices consecutivos ABCD sabiendo que la

recta determinada por los vértices C y D pasa por el origen de coordenadas.


121- Halla la distancia entre las rectas

" ≡ � � � 0� � 1 � � � 2�3 �# ≡ �� 1 � 1 � �� 0



50

122- Considera los puntos P(6,-1,-10), Q(0,2,2) y R, que es el punto de intersección del plano ' ≡ 2� � %� � � � 2 � 0 y la recta

" ≡ �� 1 � 0� � 1

Determina λ sabiendo que los puntos P, Q y R están alineados.


123- Considera el plano ' ≡ 2� � � � � � 7 � 0 y la recta # ≡ � � � 1 � %� � 1 � %� � 1 � 3%.

a) Halla la ecuación de un plano perpendicular a π y que contenga a la recta r.

b) ¿Hay algún plano paralelo a π que contenga a la recta r? En caso afirmativo determina

sus ecuaciones.


124- Las rectas

" ≡ � � � � � 2 � 02� � 2� � � � 4 � 0�# ≡ � � � � � 6 � 0� � � � � � 6 � 0

Contienen dos lados de un cuadrado.

a) Calcula el área del cuadrado.

b) Halla la ecuación del plano que contiene al cuadrado.


125- Calcula el área del triángulo de vértices A(0,0,1), B(0,1,0) y C, siendo C la proyección

ortogonal del punto A(1,1,1) sobre el plano x+y+z=1.


126- Considera el punto A(0,1,-1), la recta " ≡ �� 2� � � � 02� � � � �4 y el plano

' ≡ � � 2� � � � 2

Halla la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r.


127- Considera los vectores A23 � 81,1,19, B3 � 82,2, �9�C223 � 82,0,09. a) Halla los valores de a para los que los vectores A23, B3�C223 son linealmente

independientes.

b) Determina los valores de a para los que los vectores A23 � B3�A23 � C223 son ortogonales.



51

128- Sabiendo que las rectas

� ≡ � � � � ��# ≡ �� 1 � )� � 3 � )� � �)

Se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s respectivamente, que están a mínima distancia.


129- Determina el punto P de la recta " ≡ �� &��

� � �� que equidista de los planos

'� ≡ � � � � � � 3 � 0�'� ≡ �� 3 � %� � �% � )� � �6 � )

Andalucía – Junio 2004 – Opción B – Oficial

130- Se sabe que los puntos A(1,0,-1), B(3,2,1) y C(-7,1,5) son vértices consecutivos de un

paralelogramo ABCD.

a) Calcula las coordenadas del punto D.

b) Halla el área del paralelogramo.


131- Los puntos A(1,1,0) y B(2,2,1) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD.

Además, se sabe que los vértices C y D están contenidos en una recta que pasa por el

origen de coordenadas. Halla C y D.


132- Considera el plano ' ≡ � � 2� � 1 � 0 y la recta " ≡ � � � 3� � � � 0� � � � �� 2 � 0.

a) Halla el valor de a sabiendo que la recta está contenida en el plano.

b) Calcula el ángulo formado por el plano π y la recta # ≡ � � � 3� � � � 0� � � � � � 2 � 0.


133- Halla la ecuación de una circunferencia que pase por el punto (-1,-8) y sea tangente a

los ejes coordenados.


134- Considera el punto P(-2,3,0) y la recta " ≡ � � � � � � � 2 � 02� � 2� � � � 1 � 0.

a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a la recta r.

b) Determina el punto de r más próximo a P.



52

135- Considera una recta r y un plano π cuyas ecuaciones son, respectivamente:

�� $� � $� � 08$ ∈ ?9�� I� � I� � J 8I, J ∈ ?9 a) Estudia la posición relativa de la recta y el plano.

b) Dados los puntos B(4,4,4) y C(0,0,0), halla un punto A en la recta r de manera que el

triángulo formado por los puntos A, B y C sea rectángulo en B.


136- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,1,-1), es paralela al plano 3� � � � � � 4 y corta a la recta intersección de los planos:

� � � � 4�� 2� � � � 1


137- Considera la recta " ≡ �� 1� � 2 y el plano ' ≡ � � 2� � � � 0.

a) Calcula el haz de planos que contienen a la recta r.

b) Halla el plano que contiene a r y corta al plano π en una recta paralela al plano z=0.


138- Se sabe que el plano π corta a los semiejes positivos de coordenadas en los puntos A, B

y C, siendo las longitudes de los segmentos OA, OB y OC de 4 unidades, donde O es el

origen de coordenadas.

a) Halla la ecuación del plano π.

b) Calcula el área del triángulo ABC.

c) Obtén un plano paralelo al plano π que diste 4 unidades del origen de coordenadas.


139- Halla la perpendicular común a las rectas

" ≡ �� 1 � I� � I� � �I �# ≡ � � � J� � 2 � 2J� � 0


140- Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano

' ≡ �� 2 � � � 1 y es paralela a la recta " ≡ � 3� � � � 4 � 04� � 3� � � � 1 � 0.


141- Calcula el área del triángulo de vértices A(1,1,2), B(1,0,-1) y C(1,-3,2).



53

142- Los puntos A(1,0,2) y B(-1,0,-2) son vértices opuestos de un cuadrado.

a) Calcula el área del cuadrado.

b) Calcula el plano perpendicular al segmento de extremos A y B que pasa por su punto

medio.


143- Considera el plano ' ≡ � � � � 2� � 3 y el punto A(-1,-4,2).

a) Halla la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por A.

b) Halla el punto simétrico de A respecto de π.


144- Considera los puntos A(1,-3,2), B(1,1,2) y C(1,1,-1).

a) ¿Pueden ser A, B y C vértices consecutivos de un rectángulo? Justifica la respuesta.

b) Halla, si es posible, las coordenadas de un punto D para que el paralelogramo ABCD

sea un rectángulo.


145- Considera los puntos A(1,1,1), B(2,2,2), C(1,1,0) y D(1,0,0)

a) Halla la ecuación del plano que contiene a los puntos A y B y no corta a la recta

determinada por C y D.

b) Halla las ecuaciones de la recta determinada por los puntos medios de los segmentos

AB y CD.


146- Considera los puntos A(1,-1,2), B(1,3,0) y C(0,0,1). Halla el punto simétrico de A

respecto de la recta que pasa por B y C.


147- Sea π el plano de ecuación 3x-y+2z-4=0

a) Halla la ecuación del plano π1 que es paralelo a π y pasa por el punto P(1,-2,2).

b) Halla la ecuación del plano π2 perpendicular a ambos que contiene a la recta

" ≡ � � � � � � � 12� � � � 4� � 1


148- Halla el punto de la recta " ≡ �� 3� � � � 1� � � � �1 que está más cercano al punto P(1,-1,0)


149- Considera la recta r y el plano π siguientes

" ≡ � � � � � � � 0� � �� 1 � 0 ' ≡ 2� � � � H

a) Determina a y b sabiendo que r está contenida en π.

b) Halla la ecuación de un plano que contenga a r y sea perpendicular a π.


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150- Determina la recta que no corta al plano de ecuación x-y+z=7 y cuyo punto más

cercano al origen es (1,2,3).


151- Sabiendo que las rectas

" ≡ �� 1� � � � 2 �# ≡ �� 2� � � � �2� � � � �

Se cortan, determina a y el punto de corte.


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