GUÍA DE ESTUDIO SOBRE FUNCIONES

Una función es una relación entre dos variables x e y, que se puede representar o

modelar por una ecuación de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Usualmente se escribe y = f(x).

Se llama variable dependiente a la variable “y”, ya que su valor depende de la variable “x”, que es la variable independiente.

y = f(x) es la expresión algebraica de una función.

Para representar una función, se construye una tabla de valores y se representan sus pares de valores como puntos en el sistema de coordenadas.

a).- Los valores de la variable independiente (x), se representan sobre el eje horizontal o eje de las abscisas.

b).- Los valores de la variable dependiente (y), se representan sobre el eje de las ordenadas.

Uniendo los puntos marcados, se obtiene una gráfica, que representa la relación entre las dos variables.

Evaluar una función y = f(x) es obtener el valor que la función le asocia a un valor determinado de x.

En una función, la imagen de un número equivale al resultado de evaluar el número en la función.

La pre-imagen de un número es el valor que se evaluó en la función para obtener dicho número.

El dominio de una función, que se expresa (Dom f), es el conjunto de todos los elementos para los cuales la función está definida, es decir, los valores que la variable independiente x puede tomar.

El recorrido de una función, que se expresa (Rgo f), es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y, es decir, todos los valores que son imagen de algún valor de la variable independiente x.

Dominio de una función

Prof. Pedro OlivarAsignatura: Matemática ISemestre: ICarrera: Ingeniería Civil

El dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente “x”Es el conjunto de partida de la función

Ejemplos:

1) Determine el dominio de la función f(x) = x

2 x+3 El denominador tiene que ser distinto de 0 2x + 3 = 0 → 2x = 3 → x = - 3/2, luego: como x = - 3/2 hace cero el denominador, entonces Dom f = R – {-3/2}

2) Determine el dominio de la función f(x) = √ x−2 Tomamos la cantidad Subradical ≥ que 0 x – 2 ≥ 0 → x ≥ 2, luego: Dom f = {x ∈ R / x ≥ 2}, Es decir, Dom f = [2, +∞]

Rango de una Función

El rango de una función es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función. Es decir, es el conjunto formado por todas las imágenes conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente “y”; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

Ejemplo: Si a la función f(x) = x2 y se le dan los valores a x = {1,2,3,...} entonces el rango será {1,4,9,...}, es decir, Rgo f = {1,4,9,...}

Estudio y representación gráfica de las funciones más usadas.

Se trata de conocer la forma de las curvas correspondientes a las funciones más comunes, para que cuando sea necesario graficarlas baste con una pequeña tabla de valores para conseguir una buena aproximación a la representación exacta.

Función constante

“Todos los elementos del dominio poseen la misma imagen”. Su expresión matemática tiene la forma f (x) = b (b constante). Dom f = R. Rango= { b }. Su representación es una recta horizontal que pasa por el punto (0, b ). La función no es inyectiva ni sobreyectiva

Función Identidad.

“Todo elemento del dominio es idéntico a su imagen”. Expresión matemática: f (x) = x Dom f = R. Rgo f = R. Su representación es una recta que forma 45° con la dirección positiva del eje x, y pasa por el origen. Puede deducirse fácilmente que esta función es biyectiva

Función Afín.

“Las imágenes se obtienen multiplicando a los elementos del dominio por una constante y sumando otra”. Expresión matemática: f (x) = a x + b Dom f = R. Rgo f = R. (sí a = 0, entonces el Rgo f = {b }). Su representación gráfica es una recta de pendiente a y ordenada en el origen b. las funciones constante e identidad, son casos particulares de la función afín, ya que pueden obtenerse para valores específicos de a y b. Es biyectiva salvo en el caso a=0

Función Potencia.

“Las imágenes se obtienen elevando a una potencia natural los elementos del dominio”.Expresión matemática: f (x) = xn (n ∈ N). Dom f = R. Rgo = ? (Depende del valor de n).

De cualquier forma pueden deducirse fácilmente que para n impar el rango es R y para n par es [0, +∞). La representación gráfica también depende de n, y veremos algunos casos.

Cuando n = 1. f (x) = x , es la función identidad ya estudiada. 2. Cuando n = 2. f (x) = x2 , es la función potencial de segundo grado, y su

gráfica es una parábola. No es inyectiva pues f (-2) = f (2). 3. Cuando n = 3. f (x) = x3 , es la función cúbica o función potencial de tercer

grado, y su gráfica se muestra en el gráfico siguiente: Es biyectiva.

Función Polinómica.

“Toda función cuya regla de correspondencia entre los elementos del dominio (x) y sus imágenes (f (x)) sea de la forma P ¿ es una función polinómica”. En la definición anterior se debe tomar en cuenta:

n es un entero positivo. a i, i = 0, 1, 2, ...,n son constantes reales. a i, i = 0, 1, 2,...,n se les denomina coeficientes del polinomio y al entero positivo n,

se le llama grado del polinomio (por supuesto an≠ 0 ). Dom f = R.

Observaciones:

Son funciones Polinómicas todas las funciones estudiadas hasta ahora (constante, identidad, afín y potencial), de donde puede deducirse que la representación gráfica y el rango de una función polinómica dependen de su grado y de sus coeficientes.

Entre las funciones Polinómicas conviene destacar la de segundo grado (cuadrática) , por ser de particular importancia se estudia aparte.

Función Cuadrática o Trinomio de Segundo grado.

“Es una función cuadrática aquella cuya regla de correspondencia entre los elementos del dominio y las imágenes es de la forma f ( x )=a x2+bx+c , donde a ,b y c son constantes reales y a ≠ 0”.

Raíces del trinomio de segundo grado.

Las raíces del trinomio f ( x )=a x2+bx+c son los valores de x que hacen que f (x) = 0.

Por lo tanto, dichas raíces se obtienen resolviendo la ecuación: a x2+bx+c=0 Cuyo resultado son las raíces buscadas:

X1=−b−√b2−4 ac

2 a y X2=

−b+√b2−4 ac2a

Esta fórmula conocida popularmente como “la resolvente cuadrática” puede deducirse usando la técnica de completación de cuadrados.

Representación Gráfica de una función polinómica de 2° grado.

Sea f ( x )=a x2+bx+c , donde a ,b y c son constantesi) x1 y x2son las raíces del polinomio.ii) El discriminante ∆=b2−4. a . c .

La gráfica de la función dependerá de los signos de a y de∆. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Las funciones cuadráticas son funciones Polinómicas.

Ejemplo:

f (x)=x2 Representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).

Función racional

Una función racional es el cociente de dos funciones Polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).

Función Valor Absoluto o módulo.

Denominamos función valor absoluto de x, a la función que asigna a cada número real x el número no negativo |x| (valor absoluto de x), que se define mediante:

Su representación gráfica consiste de una línea quebrada formada por las rectas y=x e y=−x , de acuerdo a la definición, la gráfica será: la parte correspondiente a la recta y=xsituada en el primer cuadrante y la parte correspondiente a la recta y=− x en el segundo cuadrante.

Dom f: R Rango: R+¿ ¿

U0

Desigualdades de valor absoluto

Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro.

Desigualdades de valor absoluto (<):

La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.

Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es: Sol = (−4 , 4 )

Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.

Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.

Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.

La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.

En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b, entonces a < b y a > - b .

Ejemplo 1:

Resuelva y grafique.

|x – 7| < 3

Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta.

x – 7 < 3 Y x – 7 > –3

–3 < x – 7 < 3

Sume 7 en cada expresión.

-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7

4 < x <10

La gráfica se vería así:

Desigualdades de valor absoluto (>):

La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.

Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es: Sol = (−∞ ,−4 )∪(4 ,+∞)

Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.

Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.

Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.

En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b, entonces a > b ó a < - b .

Ejemplo 2:

Resuelva y grafique.

Separe en dos desigualdades.

Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.

La gráfica se vería así:

Así, x ≤ - 6 ó x ≥ 2. El conjunto solución es: Sol = ¿