guÍa de Álgebra

7/11/2019 GUÍA DE ÁLGEBRA

http://slidepdf.com/reader/full/guia-de-algebra-55a0bb04758ab 1/147

lgebra

Área de Matemática y Estadística

Lima – Perú

2011



G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 2

GUÍA DE PRÁCTICAS DE ALGEBRA

© Derechos Reservados 2011

Prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier medio, sin autorización escrita del autor.

© Área de Matemática y EstadísticaSegunda Edición 2011

Diseño, Diagramación e Impresión

Universidad Científica del Sur

Panamericana Sur Km.19. Lima-Perú 610-6400

Tiraje 1500 ejemplares

IMPRESO EN PERÚ PRINTED PERU




Rector

Dr. Agustín Iza Stoll

Gerente General

MBA. Jaime Tamashiro Tamashiro

Vice-Rector de Investigación

Dr. José Amiel Perez

Coordinador de Ciencias Básicas

Alejandro Fukusaki Yoshizawa

Coordinadores de Área

Biología

Joyce Del Pino Robles

Ecología

Héctor Aponte Ubillús

Matemática y Estadística

Responsable: José Dávila Tapia• Matemática: Michaels Mejía Lagos

• Estadística: Alfredo Salinas Moreno

Química

Néstor Gomero Ostos

Física

Rodolfo Andrade Bambaren

Coordinadora Honoraria

María Pía Sirvent de Luca

Asistente de la Coordinación

Rocio Zuñiga Cabrera _________________

Reservados todos los derechos: ningún material de este manual puede ser reproducido sin autorizaciónexpresa por escrito de los autores. La autorización será en hoja aparte y firmada y adosada a este material.Todo compromiso suscrito a parte, no se refiere a este manual. Queda exento del compromiso, el fotocopiadointerno en una cantidad no mayor de 100, sólo para uso con fines educativos y sin lucro.




CONTENIDO

CAPITULO I: NUMEROS REALES

1.1 Números Reales

1.2 Intervalos

1.3 Operaciones con Intervalos

CAPITULO II: ECUACIONES, INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

2.1 Ecuaciones de Primer y Segundo Grado

2.2 Inecuaciones y Valor Absoluto

CAPITULO III: EXPONENTES, EXPONENCIALES Y LOGARITMOS

3.1 Teoría de Exponentes

3.2 Ecuaciones Exponenciales

3.3 El Numero E

3.4 Logaritmos

CAPITULO IV: GEOMETRIA ANALITICA

4.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas en el plano

4.2 La línea recta

4.3 Cónicas

4.3.1 La circunferencia

4.3.2La parábola

4.3.3L a elipse




CAPITULO V: MATRICES Y DETERMINANTES

5.1 Matrices

5.2 Operaciones con matrices

5.3 Tipos de matrices

5.4 Determinante de una matriz

5.5 Matriz inversa

5.6 Sistema de ecuaciones lineales

BIBLIOGRAFIA




1.1 Números Reales

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación

decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. Elconjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y

negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos

desarrollos en decimales nunca se repiten.

Ejemplos de números irracionales son:

2 = 1.4142135623730951…

π = 3.141592653589793…

e = 2.7182818284590452…

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como

mostrado aquí.

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces

el punto corresponde a b está a la derecha del punto que corresponde a a.

Ejemplos Resueltos

1. Si ( )OP 2x 1 x 11+ = − y 1 xREC 2y

3 y

− =

, hallar el valor de ( ) ( )OP x REC y+

Solución:

- Efectuamos las operaciones

( )OP 2x 1 x 11

2x 1 x 11

10 3x

10 x3

+ = −

− − = − = =

y

1 xREC 2y

3 y

6y 1 10REC

3 3y

3 10

6y 1 3y

10y51

− =

− =

=−

=




- Reemplazando ( ) ( ) ( ) ( )10 51 5310 10OP x REC y OP REC

3 51 3 10 30+ = + = − + =

2. Si ( )OP x 2= − y ( )( )REC OP y x= , hallar el valor de ( )( ) ( )( )OP REC y REC OP x+

Solución:

- Efectuamos la operación ( )OP x 21 x 2= − → =

- así como también ( )( ) ( ) 1REC OP y x REC y 2 y2

−= → − = → =

- reemplazando tenemos

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 31 1OP REC y REC OP x OP REC REC OP 2 22 2 2−+ = − + = + =

3. Si 5 x 1

3 2x 3

− −

es el elemento neutro aditivo en y { }32

ℜ − , hallar el valor de x

Solución:

- Efectuamos 5 x 10 x 1

3 2x 3

− = → = −

- luego el valor de x es 1.

4. Reducir 24256−−

Solución:

- Efectuamos de arriba hacia abajo 2 1 12 144 1256 256 256 4

4

− −−− −= = = =

5. Si 2

23x

−

y2

1x

2

+son inversos multiplicativos, hallar el valor de x

Solución:

- como son inversos multiplicativos, entonces el producto es 1:2

12 x 1

2 23

x

+× =

−

- resolviendo 2x x 2 x 21 1 x 2

3x 2 2x 3x 2

+ +× = → = → =

− −




Tema: Reales

1. Si 1 4 1

33 x 5 11

− − , { }x 5∈ ℜ − es el elemento neutro de la adición. Hallar el valor

de xRpta: 49

2. Si x 1x

31

5

−+

+es un elemento de ℜ , cuyo correspondiente opuesto aditivo es

x1

8

−

, calcular x

Rpta: -1/4

3. Si 3a11

11

2

−+

+

y 3a 111

12

3

− −+

+

son inversos aditivos, calcular el valor de “a”

Rpta: 4641 1

126 6−

4. Si 41

x 11

+ + y 3

1x 8

− + son elementos inversos multiplicativos. Hallar el

valor de xRpta: 13

5. Si ( )OP 6x 7− + y 19 1REC

3

− + −

son elementos inversos multiplicativos, hallar x.

Rpta: 13/6

6. Hallar el valor de x para el cual los elementos “a” y “b” serán opuestos,

siendox x

7 82 2a 2 2

− −= − y

x

2b 2= Rpta: 7

7. Simplificar en términos de “b”: ( ) ( ) ( ) ( )3 4 229 2 3 4k a ab ab a b b−= sabiendo que 2a y 7b

son recíprocos.Rpta: b-8

8. Calcular M y N si son elementos recíprocos y M 1 2x 71

3 3

− −= − ,

( )

N 1 4x 71

5 5 x 2

+ − −− =

+

Rpta: M = 13 y N = 1/13




9. Si x

4

y ( )3z son elementos de R opuestos, simplificar en términos de:

( ) ( ) ( )E 2 x z 3 4x z 5 2x 2z= + + + + − Rpta: 293x/12

10. Simplificar ( )4 12

K OP 2x 5 REC OP REC7x 3 x 1

= + + + − −

Rpta: (-x-17)/311. Hallar el elemento reciproco del opuesto de la expresión siguiente:

1 1 1 1E 1 REC ......

2 6 18 54

= + + + + + ∞

Rpta: -1/2

12. Resolver ( ) ( )1

3OP x 1 x 5REC x16 64

−− +=

Rpta: -1/12

13. Resolver el sistema de ecuaciones:( ) ( ) ( )

( ) ( )

OP 2x 5 REC y OP 5

12OP x 2 3REC 4y REC

7

+ + = − + + =

Rpta: x = 22/7 y = 7/44

14. Si1

1x

x 2 x26 5 91

3

−

−

− − −

es el elemento neutro de la adición, hallar el valor de x

Rpta: -21/5

15. Si x 9 7

2 8

− −

es un elemento de R, cuyo reciproco es 1 14 2x x 5 x 1

8 5 4 4

− − − − +

.

Calcular el valor de xRpta: 4,7 o -3,4

16. Si los elementos de R: 1 2x2

3

− +

y 1 3x2x 7

7

− + −

son inversos aditivos,

obtener un valor para x.Rpta: 5

17. Hallar el valor de x que permita que los elementos 3x 52x

6

− +

y

13x 2 4 x

23 2

−− − − +

sean inversos multiplicativos.

Rpta: 1/6




18. Si los elementos de R: 7a

11

11

2

++

y 7a 1

11

12

3

−

++

son opuestos, hallar “a”

Rpta: 1/13

19. Hallar el valor de x si los elementos x 2 2 xREC REC

6 x 2

+ − + + y

2

2

4 xREC OP

x

−

son inversos aditivos.Rpta: 8

20. Si ( )

( )

OP x 5a

REC 3

+= y ( )

( )

OP 3x 2b

REC 6

+= . Hallar el valor de x si: el opuesto de “a” mas

el reciproco de “1/b” es igual a 5.

Rpta: -8/15

1.2 Intervalos

Ciertos subconjuntos del conjunto de los números reales, llamados intervalos, seencuentran frecuentemente, por lo que tenemos una notación compacta pararepresentarlos.

Los puntos a y b del intervalo cerrado [a, b] se llaman sus puntos extremos.

Los Intervalos abiertos no tienen puntos extremos, y cada intervalo semiabiertotiene un solo punto extremo; por ejemplo (-1, 3] tiene 3 como su punto extremo.

Tipos de Intervalos




1.3 Operaciones con Intervalos

Con los intervalos pueden efectuarse las operaciones siguientes:

i) ii) iii) iv)

Ejemplos

Efectuar las operaciones , , AUB A B A B y B A− −I para cada par de

intervalos dados.

1) [ [ ] ]2, y 3, 4 A B= +∞ = −

Solución

Respuestas

] [

[ ]] [

] [

3,

2,44,

3,2

AUB

A B

A B

B A

= − +∞

=− = +∞

− = −

I

Tema: Operaciones con intervalos

1.- Si: [ ]31,4∈ x hallar el intervalo que contiene a 11+− x

RPT

2.- Si: 7,3∈ x hallar el intervalo que contiene a 13 +− x

RPT




3.- Hallar el intervalo de los valores reales que permite el opuesto de laexpresión: 1

5

3+

− x sea menor o igual que 14

RPT ∈ ∞, 25 4.- Si: ( ) 11303211 <++−<− xOP , obtener a y b sabiendo que: ( ) b xOP a <++< 874

RPT 33 77

5.- Si 9,74

1∈

+ x Hallar el intervalo que contiene a: 56 + x

RPT

6 5 ∈ 167,215

6.- Si [ )8,53

52 ∈−

+ x Hallar el intervalo al cual pertenece:21

++

x

x

RPT ∈ ,

7.- Si

−−∈

−−2

1,

4

3

4

32 x Hallar el valor de a y b si: [ ]ba x

,5

211∈

+−

RPT

,

8.- Si [ ]0,75

27−∈

−− x Hallar el valor de m y n si: [ ]nm x ,814 ∈+−

RPT 25, 95 9.- Si 9,7−∈ x demostrar que: ] [206,501142 −∈−+ x x

RPT 14 1 ∈ 50,206 10.- Si [ ) ( ]6,28,2 −== B A obtener ( )̀ B A −

RPT ∞, 6 ∪ 8,∞ 11.- Si ( ]4,05,3 == B A obtener ( ) ` B B A −∪

RPT 0,4 12.- Si 9,26,6 −=−= F E obtener ( ) ( ) F E F E −∪∩

RPT

6,6




13.- Si a y b pertenecen a R, hallar la condición necesaria y suficiente para que

se verifique:ba

ba

ba

ba

++

>−− 3333

RPT La condición necesaria ysuficiente es de tener a y b losmismos signos

14.-Sean 0,0,0 ≥≥≥ cba elementos de R demostrar que: bcacabcba ++≥++ 222

RPT bcacabcba ++≥++ 222

15.- Demostrar que si [ ]7

11

3

3214,2 ≤

++

≤−⇒−∈x

x

RPT7

11

3

321 ≤

++

≤− x

x

16.- Si: [ ]55,21∈ x hallar el intervalo que contiene a 1703 +− x

RPT 17,107 17.- Si 11,1

4

1∈

+ x Hallar el intervalo que contiene a: 3913 − x

RPT 0,520




2.1 Ecuaciones de Primer y Segundo Grado

Ecuaciones de Primer Grado

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que sedenominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras(incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.

Ejemplo:

3 x – 2 = 10 Es una ecuación de primer grado que se verifica para x = 4

x2 – x – 6 = 0 Es una ecuación que se verifica para x = 3 y x = - 2

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES:

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a sus características, siendo las principales:

1.- Según el grado:

Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc.

Ejemplo:

2x + 8 = 16 Es una ecuación de primer grado

x2 + 9x + 14 = 0 Es una ecuación de segundo grado

2.- Según sus coeficientes:

Pueden ser numéricos o literales:

Ejemplo:

10x – 6= 4x +19 Es una ecuación numérica

ax+ b = c Es una ecuación literal con coeficientes: a, b y c

3.- Según sus incógnitas:

Pueden ser de una, dos, tres o más incógnitas.

Ejemplo:

3x + 8= 4x – 12 Es una ecuación con una incógnita; x

x + y = 10 Es una ecuación con dos incógnitas; x e y




x – 2y +3z = 12 Es una ecuación con tres incógnitas x, y, z

4.- Según sus soluciones:

Pueden ser compatibles o incompatibles.Compatibles: Son aquellas que tienen por lo menos una solución.

Determinada: Tiene un numero finito de soluciones

Indeterminada: T|iene un numero infinito de soluciones

Incompatibles: Son aquellas que no tienen solución.

Ejemplos:

2x + 8 = x – 7

x = – 15

Luego la ecuación es compatible y determinada porque tiene una solución.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Resolver: ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x 215142659910 ++−=−−−

2. Hallar “x”:( )

815

324

133

12 +=

+−

− x x

x x

3 Resolver: b-a,2222 sibaa xbb xa −++=+

4. Hallar los valores de a y b, para que la ecuación

a x + 3 = 5 x – 2 b, sea compatible indeterminada.

5. Resolver la siguiente ecuación: 014

312

212

3 2 =−

+=−

−+ x

x x x

6. Hallar “x” en : ( ) ( ) 1a,11 ≠++=−+ siaa xa xa

7. Resolver:( )

( )( ) a x

a

a xa x

aa

a x

a

+=

+−

−−

−

− 2121

8. Indicar el conjunto solución de:( )

36

332

993

2

2

+−

+−+

=−+ x

x

x

x

x




9. Resolver: ( )( ) ( ) 913233 2 −=−−−+ x x x x

10. Resolver:( ) ( )

22

2

ba

ba

ba

ax

ba

ba

ba

ax

ba

xba

−

++

−

=

+

−−

+

+

−

+

11. Hallar “a”, para que la ecuación sea incompatible: a xaax 3852 +−=−+

12. Hallar “x” en: 1055

55=

−−+−++ x x

x x

Ecuaciones de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado es una ecuación que puede reducirse a la formageneral: 02 =++ cbxax con 0≠a

Ejemplos: 0523 2 =+− x x , 5,2,3 =−== cba ; 0432 =−− x x

4,3,1 −=−== cba

Las soluciones de la ecuación son los valores de x que al sustituirlos verifican laigualdad

Ejemplo: en la ecuación 0652 =+− x x

el valor 4= x no es solución porque 26201664542 =+−=+⋅−

el valor 2= x si es solución porque 0610462522 =+−=+⋅−

Ejercicios:

1. Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en forma general identificandolos coeficientes a b y c

a) 0532 2 =−+− x x b) 143 2 −= x x c) 031 2 =+− x x

a) 2432 x x −= e) ( ) 212 =− x x f) )12(3)2( +=− x x x x

g) 15432 2 +−=− x x x h) ( ) 132 2 +=− x x i) ( )( ) 3232 =−− x x

(Soluciones: a) a b c= − = = −2 3 5, , b) a b c= = − =3 4 1, , c) a b c= − = =3 1 1, ,

d) a b c= = − =4 3 2, , e) a b c= = − = −2 2 2, , f) a b c= = =5 5 0, , g) a b c= = − =4 7 4, ,

h) a b c= = − =9 13 3, , i) a b c= − = = −2 7 9, ,




2. Decir en cada ecuación si los valores que se proponen son solución o no dela ecuación

a) 01072 =+− x x ; 5,3,2,0 =−=== x x x x

b) 0252 2 =+− x x ; 3,2,2/1,1 =−=== x x x x

c) 2 3 5 02 x− − = ; x x x= − = = = −1 1 2 2, , ,

(Sol: a) no, si, no si b) no, si, no, no c) si, no, no, no )

3. En la ecuación x c2 5 0− + = , una solución es 3. ¿Cuánto vale c?(Sol: c = 6 )

4. En la ecuación x bx2 15 0+ + = , una solución es 5 ¿Cuánto vale b?(Sol: b = −8 )

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS

Si en la ecuación ax bx c2 0+ + = alguno de los coeficientes b o c es nulo, sedice que es una ecuación incompleta y se pueden resolver directamente

a) si b c= =

0 entonces la ecuación queda ax

2

0=

y la solución es x=

0 b) si b = 0 entonces la ecuación queda ax c2 0+ = ; ejemplo 3 12 02 − = ;

3 122 x = ; x2 12

34= = ; x = ± = ±4 2

c) si c = 0 entonces la ecuación queda bx2 0+ = ; Ejemplo 3 12 02 x− = se saca factor común x; ( ) x x3 12 0− = ; primer factor cero 0 segundo

factor cero 3 12 0 x − = ; 3 12= ; x = =12

34 ; 4

Ejercicios:5. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas

a) x2 0− = b) 2 02 = c) x 2 9 0− =

d) 4 9 02 x − = e) x2 2 0+ = f) 8 16 02 x+ = g) 3 4 282 2 x− = + h) x x2 9 0− = i) 2 1 0− =

j) x 2 6 10− = k)1 4 82− = − x l) x2 11 0+ = m) ( )( ) x x− + + =5 1 5 0 n) ( )( )3 2 3 2 77 x x− + =

(Sol: a) x x= =0 1, b) = 0 c) x = ±3 d) = ±3 2/ e) x x= = −0 2, f) x x= = −0 2,




g) x = ±4 h) x x= =0 9, i) = ±1 j) x = ±4 k) = ±3 2/ l) x x= = −0 11, m)

x x= =0 4, n) x = ±3

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN COMPLETA

La ecuación de segundo grado ax bx c2 0+ + = se dice que está completacuando todos los coeficientes son distintos de cero. En este caso las soluciones se

obtienen aplicando la fórmula: xb b ac

a=

− ± −2 4

2

El valor del radicando de b ac2 4− permite saber el número de soluciones sin

necesidad de hallarlas. D b ac= −2 4 se llama discriminante.

En la discriminante: D b ac= −2 4

si D es positivo, tiene dos soluciones (signo +, signo -)

si D es cero, tiene una solución (solución doble)

si D es negativo, no tiene soluciones

Ejemplo: x

2

3 2 0− + =

en esta ecuación a b c= = − =

1 3 2, , y aplicando lafórmula

( ) ( ) x =

− − ± − − ⋅ ⋅

⋅=

± −=

±=

3 3 4 1 2

2 1

3 9 8

2

3 1

2

2

22

4

2

131 ==

+= x 1

2

2

2

132 ==

−= x

6. Calculando el discriminante, indicar el número de soluciones de lassiguientes ecuaciones:a) x2 7 3 0− + = b) x x2 16 64 0− + = c) x x2 6 13 0− + =

d) 2 14 49 0− + = e) 3 5 2 02 x x− + = f) 2 45 02 x x− − =

g) x x2 2 0+ + = h) 4 12 9 02 x x− + = i) x2 8 25 0− + =

j) x− + =2 7 02 k) x− + =5 3 02 l) 8 3 02+ + = x

Sol: a)2 b)1 c)0 d)1 e)2 f)2 g)0 h)1 i)0 j)2 k)2 l)0




7. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) 2 8 15 0− + = b) 2 9 1 02 x x− − = c) 4 12 9 02 x x− + =

d) x2

8 25 0− + = e) 4 12 9 02

+ + = f) 3 2 1 02

x − − = g) x x2 7 3 0+ + = h) 3 6 12 02 − − = i) 3 10 3 02 x − + =

j) 2 5 2 02 x− + = k) 6 5 1 02 x− + = l) 6 7 2 02 x − + =

Sol: a) 3,5 b)9 90

4

±c)

3

2d)no tiene e) −

3

2f)1

1

3,− g)

− ±7 37

2h)

6 180

6

±

i) 31

3, j) 2

1

2, k)

1

2

1

3, l)

2

3

1

2,

8. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 11 21 2 2 x x+ = b) ( )( )3 1 2 3 6 x x x− + = − c) 21 100 212 x− = + −

d) 2 1 12 2 x x x− = − − e) ( ) x − =2 32

f) ( ) ( )5 3 11 4 1 12

x x− − + =

g) ( )( )4 1 2 2 12 x x− + = h) xx x2

2

1

3

2

3− = − i) x

x2 3 1

2

2

3−

+=

Sol: a) 73

2

,− b) 0 c)11 d) −12

3

, e)4 12

2

±f) 3

1

25

,− g)17

4

,− h) −2

3

1

2

,

i) no tiene

Tema: Ecuaciones de segundo grado

I. Hallar el valor de la incógnita en cada una de las ecuaciones:

1) ( ) ( )( ) 222

742

3 =−−−− nnnn

2)9

216

3

1

62

1 aaa −+=−+

3) 162

1

4

3+=

−−

+ ccc




4)3

13

315

2

7

33 +=−+

www

5) ( )14

16112

1713 ++=++− uuu

6)10

7

5

16

2

1=

−+−

+ x x

7)9

72

3

142

6

5

5

74 +−=

+−

−−

+ nnnn

8) ( ) ( )10

1710

135

12 +=−−+ z z z

9)2

3

5

584

2

54

5

7

2

5−

−+=

−+−

x x x x

II. Halla el valor de la incógnita en cada una de las ecuaciones:

1) 22

95

3

2

2

5

x x =+

2)10

3

3u17u10

10u8u32

2

=++

−+

3)( ) ( )92

1

94

11

−=

−+

x x x

4) ( ) 402212

41

53 2

2

−− −=+−+−+ nnn

nn

nn

5)( )( )24

12

24 ++−

+=

+ x x x

x

x

x

6)2

15

2

3

1

212 +

++

=+

++

+d d d

d

d d d




7)( )( )22

15

2

3

2

1

−+−

=−

−+ aa

a

aa

8)24

13

22

11

−++

−−=

−++

−+

x x

x x x x

9) y

y

y y y 6

731

3

1

4

9

3

8

2

7 −=−+−

10)( ) 3t3

6

1t

2

1t

12 −

=+

+−

11)( )

6527

25

312

2 +++=

++

+−

ww

ww

w

w

w

w

12)126

77352

43

58

32

762

2

−++−

=−−

−++

x

x x

x

x

x

x

II. Resolver los siguientes problemas:

1. Dividir 196 en tres partes tales que la segunda sea el doble de la primera y lasuma de las dos primeras exceda a la tercera en 20.

2. La edad de A es triple que la de B y hace 5 años era el cuádruplo de la de B.Hallar las edades actuales.

3. Un comerciante adquiere 50 trajes y 35 pares de zapatos par 16000 soles. Cadatraje costó el doble de lo que costó cada par de zapatos más 50 soles. Hallar el precio de un traje y de un par de zapatos.

4. 6 personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales periodosde ellas desistieron del negocio y entonces cada una de las restantes tuvo que poner 2000 soles más. Cuál era el valor de la casa?

5. La suma de dos números es 108 y el doble del mayor excede al triple delmenor en 156. Hallar los números.

6. El largo de un buque, que es 461 pies, excede en 11 pies a 9 veces el ancho,Hallar el ancho.




7. Tenía $85. Gasté cierta suma y lo que me queda es el cuádruplo de lo quegasté. ¿Cuánto gasté?

8. Hace 12 años la edad de A era el doble de la de B y dentro de 12 años, la edadde A será 68 años menos que el triplo de la de B. Hallar las edades actuales.

9. Tengo $1.85 en monedas de 10 y 5 centavos. Si en total tengo 22 monedas,¿cuántas son de 10 centavos y cuántas de 5 centavos?

10.Si a un número se resta 24 y la diferencia se multiplica por 12, el resultado esel mismo que si al número se resta 27 y la diferencia se multiplica por 24. Hallar el número.

11.Un hacendado compró 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos más par elmismo precio, cada caballo le habría costado $10 menos. ¿Cuánto le costó cadacaballo?

12. El exceso del triplo de un número sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre elnúmero. Hallar el número.

13.Hallar t res números enteros consecutivos, tales que el duplo del menor más eltriplo del mediano más el cuádruplo del mayor equivalga a 740.

14.Un hombre ha recorrido 150 kilómetros. En auto recorrió una distancia tripleque a caballo y a pie, 20 kilómetros menos que a caballo. ¿Cuántos kilómetrosrecorrió de cada modo?

15.Un hombre deja una herencia de 16500 soles para repartir entre 3 hijos y 2hijas, y manda que cada hija reciba 2000 más que cada hijo. Hallar la parte decada hijo y de cada hija.

16.La diferencia de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 31.

Hallar los números.

17.La edad de A es el triple de la de B, y la de B 5 veces la de C. B tiene 12 añosmás que C. ¿Qué edad tiene cada uno?

18. Dentro de 5 años la edad de A será el triple de la de B, y 15 años después laedad de A será el duplo de la de B. Hallar las edades actuales.

19. El martes gané el doble de lo que gané el lunes; el miércoles el doble de lo

que gané el martes; e l jueves el doble de lo que gané el miércoles; el viernes $30




menos que el jueves y el sábado $10 más que el viernes. Si en los 6 días heganado $911, ¿cuánto gané cada día?

20.Hallar dos números cuya diferencia es 18 y cuya suma es el triplo de sudiferencia.

21. Entre A y B tienen $36. Si A perdiera $16, lo que tiene B seria el triple de loque le quedaría a A. ¿Cuánto tiene cada uno?

22. A tiene el triplo de lo que tiene B, y B el doble de lo de C. Si A pierde $1 y B pierde $3, la diferencia de lo que les queda a A y a B es el doble de lo que tendríaC si ganara $20. ¿Cuánto tiene cada uno?

23.5 personas han comprado una tienda contribuyendo por partes iguales. Sihubiera habido 2 socios mis, cada uno hubiera pagado 800 dólares menos.¿Cuánto costó la tienda?

24.Un hombre compró dos caballos, pagando por ambos $120. Si el caballo peor hubiera costado $15 más, el mejor habría costado doble que él. ¿Cuánto costócada caballo?

25. A y B empiezan a jugar con 80 dólares cada uno. ¿Cuánto ha perdido A si B

tiene ahora el triplo de lo que tiene A?

26. A y B empiezan a jugar teniendo A doble dinero que B. A pierde $400 yentonces B tiene el doble de lo que tiene A. ¿Con cuánto empezó a jugar cadauno?

27.Compré cuádruple número de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5caballos más y 5 vacas más tendría triple número de caballos que de vacas.¿Cuántos caballos y cuántas vacas compré?

28. En cada día, de lunes a jueves, gané $6 más que lo que gané el día anterior. Siel jueves gané el cuádruplo de lo que gané el lunes, ¿cuánto gané cada día?

29. Tenía cierta suma de dinero. Ahorré una suma igual a lo que tenía y gasté 50soles; luego ahorré una suma igual al doble de lo que me quedaba y gasté 390soles. Si ahora no tengo nada, ¿Cuánto tenia al principio?

30.Una sala tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6 m y elancho se aumenta en 4 m, la superficie de la sala no varía. Hallar las dimensiones

de la sala.




31.Hace 5 años la edad de un padre era tres veces la de su hijo y dentro de 5 añosserá el doble. ¿Qué edades tienen ahora el padre y el hijo?

32. Dentro de 4 años la edad de A será el triple de la de B, y hace 2 años era elquíntuplo. Hallar las edades actuales.

2.2 Inecuaciones y Valor Absoluto

Desigualdad

Se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicasunidas por uno de los cuatro signos de desigualdad, ≥≤>< , , ,

Por ejemplo:( ) ( ) 841 ; 02x1x ; 1064 <+≥−⋅−<+ , etc. ...

Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, así, enlos ejemplos:La primera es falsa, la segunda depende del valor que le demos a x, y la tercera esverdadera.Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan inecuaciones.

Propiedades de las desigualdadesSe denominan también transformaciones de equivalencia.Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una mismaexpresión o cantidad, la desigualdad no varía:

c bca ba +<+⇒<

Transposición: consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una mismacantidad, pero de modo que uno de los términos de uno de los miembrosdesaparezca del mismo y aparezca en el otro miembro:

4342143421iónTransposicOrigen bca bc b bac ba −>⇒−>−+⇒>+

Producto: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por unacantidad positiva, la desigualdad no varía, pero si la cantidad es negativa,entonces cambia el sentido de la desigualdad:

ba ba −>−⇒< , al multiplicar por una cantidad negativa cambia el sentido dela desigualdad.

c bca0c , ba ⋅>⋅⇒>> , si la cantidad es positiva se conserva el sentido

original de la desigualdad.




Simplificación: si se dividen los dos miembros de una desigualdad por unacantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no varía:

bac

c b

c

ca0cy,c bca ≥⇒/

/⋅≥/

/⋅⇒>⋅≥⋅

⇒

−≥⇒/−

⋅/≥

/−

⋅/−⇒⋅≤⋅−⇒≤−

−≥⇒≤−−≥⇒≤−

ba7

b7

7

a7 b7a7 ba

3232queya, ba ba, si el divisor es

negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.

2.2.1 Inecuaciones

Son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cualquiera de losmiembros, o en ambos, una o más variables, o incógnitas.Una inecuación se verifica solo para algunos valores de las variables.Los valores numéricos para los cuales se verifica la desigualdad son lassoluciones de la misma, resolver una inecuación consiste en hallar los valoresnuméricos para los cuales la desigualdad es verdadera.Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas soluciones.Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios deequivalencia:Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuación una misma cantidad o

expresión algebraica, la inecuación que resulta es equivalente a la dada

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por unamisma cantidad positiva y no nula, la inecuación que resulta es equivalente a ladada

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por unamisma cantidad negativa, la inecuación que resulta es de sentido contrario a ladada

Ejemplos:

x235x5x35x2x5x32x ≤⇒+−−≤+−−⇒−≤− , es una inecuaciónequivalente a la primera.

−⋅>

+⋅⇒−>+

3

4x261x

2

36

3

4x21x

2

3, operando nos queda,

8x126x9 −>+ , que es equivalente a la dada, y por último

68x9x128x126x9+<−⇒+−<−−

, y de ahí pasaríamos a otrasinecuaciones equivalentes hasta llegar a la solución, en este caso




3

14x14x3 <⇒< , que es la solución, es decir, todos los valores de la variable

menores que catorce tercios.

Inecuaciones de primer grado: son aquellas en las que las variables queintervienen están elevadas a un exponente igual a la unidad.Inecuaciones de primer grado con una incógnita, tienen por expresión general

; 0<+ bax y todas sus equivalentes: 0 bax ; 0 bax ; 0 bax ≥+>+≤+ .Ejemplos:

1.-

∞−∈∀⇒≤⇒≤−

99

109,

99

109010999 x x x

2.-

∞∈∀⇒>⇒>− ,17

15

x17

15

x015x17 , es decir, se cumple para todovalor de la variable estrictamente mayor que quince diecisieteavos.

Método analítico:

Para resolver una inecuación de primer grado, lo primero que hay que hacer esllegar a obtener la expresión general de una inecuación de 1er grado del apartadoanterior aplicando los principios de equivalencia y los fundamentos del cálculoen general:

Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedad distributiva del producto respecto a la suma

Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos miembros a comúndenominador.

Reducir términos semejantes en ambos miembros

Pasar a un miembro los términos que contengan la variable y al otro los que no lacontengan, y volver a reducir términos

Despejar la variable. (Volver a aplicar los principios de equivalencia de modoque la variable quede aislada en el 1er miembro y con coeficiente la unidad.

Si al aplicar los principios de equivalencia debemos dividir o multiplicar por unacantidad negativa tener presente que cambia el sentido de la desigualdad, así:

351x42431536x378x46315x378x4636 ≤⇒−−≥−−⇒−≥− ya quehemos tenido que multiplicar por –1 ambos miembros por ser éstos negativos,luego proseguiríamos de modo normal.




-∞ 3 -∞ 14/3

Ejemplos:1.- ( )3,x3x9x372xx42x7x4 ∞−∈∀⇒<⇒<⇒+<−⇒+<− , lasolución son todos los valores de la variable menores estrictamente que 3.

2.- 68x12x96 8x126 6x934x21x23 −−>−⇒−>+⇒−>+ , como nos

queda la variable negativa debemos multiplicar ambos miembros por –1, así

∞−∈∀⇒<⇒<⇒−>−

3

14,x

3

14x14x314x3 , la solución son todos

los valores de la variable estrictamente menores que catorce tercios.

Modo de dar las soluciones:

Por intervalos, como en los ejemplos anteriores. Gráficamente, por surepresentación en la recta real.En los casos anteriores sería:

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita

Son aquellos en los que la única variable que interviene en todas las ecuacionesestá elevada a un exponente igual a la unidad.Sistemas de dos ecuaciones, tienen por expresión general:

<

<

22

11

b xa

b xay todas sus equivalentes

>

<

22

11

bxa

bxa,

≥

≤

22

11

bxa

bxa, etc. ...

Técnicas de resolución:

No existe más que un modo de resolverlos, independientemente del número deinecuaciones que compongan el sistema, se resuelve cada inecuación por separado, y al final se busca la solución en la intersección de todas ellas, es decir,el intervalo de solución común a todas.Ejemplos:




1.-x 2 1 x 1

2x 5 x 4 x 9

+ > > − ⇒

− ≤ + ≤ , los intervalos de solución son ( )1,− ∞ para la

primera y( ]

,9−∞ para la segunda. Luego la solución común a ambas está en la

intersección de ambos, es decir, en ( ]1,9− , gráficamente tal vez se vea mejor.

2.- Sea x el largo de un rectángulo de 3 cm. de ancho, el lado de un triánguloequilátero y el lado de un cuadrado. Determinar su valor para que el perímetro derectángulo sea superior al del triángulo e inferior al del cuadrado.

El planteamiento nos lleva a 3x 2x 6 4x< + < . Esta es una inecuación de primer grado que no podemos resolver directamente. Debemos pasar al sistema

3x 2x 6 x 6

2x 6 4x x 3

< + < ⇒

+ < > , la primera tiene por solución el intervalo ( ),6−∞ , y

la segunda ( )3,∞ , luego la solución común es la intersección de ambos, es decir

( )3,6 . Ver la solución gráfica.

9

1−

6

3




a. Ecuaciones con valor absoluto

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Se entiende el valor absoluto de un número real x, y se representa x, a:

x si x es positivox = 0 si x es cero

-x si x es negativo

Así, por ejemplo: 7 = 7, 5 = 5, π - 3 = π - 3 ( ya que π - 3 es positivo ),π - 6 = - ( π - 6 ) ( ya que π – 6 es negativo ).

De la definición de valor absoluto se desprende que para un valor absoluto p ( p > 0 ) se tiene:

Expresión Equivale a Gráficamentex = p x = ± p - p 0 p

•• x < p - p < x < p - p 0 p

οο x > p X > p

o bienX < -p

- p 0 p

οο

Como muestra razonaremos cual es el significado de la expresión x < p. Paraello distinguimos dos casos: cuando x es positivo y cuando x es negativo.

a) Si x es positivo, x < p equivale a x < p

b) Si x es negativo, x < p equivale a - x < p, o lo que es lo mismo, x > - p.

En definitiva se tiene - p < x < p.

Desde un punto de vista geométrico, x p indica que la distancia de x al origen esinferior a p; o sea, pertenece al intervalo ( -p, p ). En resumen :

d( 0,x ) < p ⇔ x < p ⇔ x ∈ ( -p, p )




Para Resolver ecuaciones con valor absoluto, se elimina las barras del valor absoluto igualando por la derecha e izquierda el valor positivo y negativo delsegundo miembro de la ecuación dada.

ECUACIONES DE LA FORMA: c b xa =+

La solución de las ecuaciones de la forma: c, b xa =+ se basa en la

tercera propiedad, es decir, para que se cumpla, es necesario que:

=+

=+

c- b xa

ó

c b xa

EJERCICIOS:1.- Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

1) 5 1 -x2 =

2) 6 4 6 -x3

2 =+

3) 28 8 -x3 -x12 =

4) 2 - 12

x5

4

x

9

x=++

5) 2 - x- 3

1 -x

4

3 -x=+

6) 8 - x- 7

x5 -

3

x4 =

7) ( ) 46 x15 - 49 -x92 =

8) ( ) ( ) 12 5 -x27 - x2 - 55 =

9) x7 - 198 114 -x17 =

10) ( ) 3 5 x5 3 =++




ECUACIONES DE LA FORMA: b a =

Cuando se resuelva una ecuación con valor absoluto con una expresión con valor absoluto en ambos lados del signo igual, las dos expresiones deben tener el

mismo valor absoluto. Por lo tanto, las expresiones deben ser iguales entre sí oser opuestas entre sí.

=

=

⇒=

y-x

ó

y x

:quecumplese yxSí

EJERCICIOS:1.- Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones con valor absoluto

1) 4 -x2 1 -x = 2) 4 -x2 2 -x4 =

3) 5 x3 5 -x3 +=

4) 9 -x4 1 x2 =+

5) 3 2

1 8 -x2 +=

6) 3 -x2 1 2 x2 3 =+

7) 5 2

1 2 -x

4

3 +=

8) x- 4 2

6 -x15 =

9) 5 -x7 9 x5 =+

10) 5 -x6 9 x5 =+

2.2.2 Inecuaciones en valor absoluto:

Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por elvalor absoluto de la misma.Expresión general: | | , o todas sus equivalentes | | , o| |

, etc.…




Método de resolución:

Aplicamos la definición de valor absoluto de una cantidad y pasamos a unsistema de dos ecuaciones cuya solución es la solución de la inecuación.

ax b c+ ≤ por definición( )

ax b c ax b c

ax b c ax b c

+ ≤ + ≤⇒

− + ≤ + ≥ − , recuerda que al

multiplicar los dos miembros de una desigualdad por una cantidad, negativa,cambia el sentido de la desigualdad.Ejemplos:

1.-

( )

3x

2x 1 2 2x 3 22x 1 2

2x 1 2 2x 1 2 1x2

<− < < − < ⇒ ⇒ ⇒

− − < − > − − >

, para la

primera la solución es el intervalo ( )3, 2−∞ y para la segunda ( )1 ,2− ∞ , la

solución de la inecuación inicial será la intersección de ambos, es decir, el

intervalo1 3

,2 2

−

.

2.- Resolver: 5

2 1 2 5 ⇒ 2 1 2 52 1 2 5 ⇒

2 1 2 5 02 1 2 5 0

2 1 2 5 0 ⇒3 11 2 0 ⇒ .. 2, 11 3

2 1 2 5 0 ⇒ 7 9 2 0 ⇒ . . 9 7 , 2 RPT:




Inecuaciones factorizadas o de grado mayor que 1

Son inecuaciones en las que la variable está elevada a un exponente mayor que launidad.Expresión general: son todas del tipo 02 <++ cbxax , o bien cualquier otro polinomio de grado mayor y distinta desigualdad, por ejemplo mayor que u otra.Método de resolución: descomponer factorialmente el polinomio, aplicandoRuffini, completando cuadrados, etc. el método que consideres más apropiado oque mejor te resulte.

Ejemplos:

1.- 22x 3 5x< − , pasamos todos los términos a un único miembro, el que más te

interese, en este caso lo haremos al primero, así:22x 5x 3 0+ − < , ahora descomponemos el polinomio que nos resulte, en estecaso

( ) ( )12

2

1x5 25 24 12x 5x 3 0 x x x 32 24 x 3

=− ± + + − = ⇒ = = ⇒ − ⋅ +

= −

, y

pasamos a la inecuación 12 3 0, que podemos leer como,

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?. Digo dos ya que el signo del

factor 2 es siempre el mismo y positivo, no va a influir en el resultado final. Larespuesta es cuando ambos tienen signos contrarios. ¿Cómo averiguar el signo deun binomio?.Una expresión de primer grado en x no es más que la ecuación de una recta, en

este caso se trata de dos rectas 1

1r y x

2≡ = − , y 2r y x 3≡ = + . Sabemos, o

deberíamos saber que si la pendiente de la recta es positiva ésta toma valores po-sitivos a la derecha del punto de corte con el eje de abscisas, y negativos a suizquierda. En nuestro caso ambas tienen pendiente positiva, ¿Porqué?. Porque el

coeficiente de la x es precisamente la pendiente de la recta y ambos son positivos.Los puntos de corte con el eje de abscisas son los valores de x que hacen que y =

0, en nuestro caso son 12 y 3− , luego ( )1x 2− toma valores positivos a la

derecha de 12 y ( )x 3+ a la derecha de 3− , así:

Luego la solución será el intervalo indicado, donde el signo del producto esnegativo.

Como la desigualdad es estricta, el intervalo será abierto ( )1

3, 2−

.




2.- 3 2 2 3 2x 2x x 2x x x 2x 0− ≤ − + ⇒ − − ≤ , descomponiendo factorialmente

( ) ( ) ( )3 2 2x x 2x x x x 2 x x 1 x 2− − = ⋅ − − = ⋅ + ⋅ − , y pasamos a la

inecuación ( ) ( )x x 1 x 2 0⋅ + ⋅ − ≤ . En este caso tenemos tres factores, y por lo

tanto, tres rectas a estudio. Haciendo lo mismo de antes:

Ahora la solución, además de los intervalos, por no ser una desigualdad estricta,debemos incluir los extremos de los mismos, así, la solución será

( ] [ ], 1 0, 2−∞ − ∪ .

3− 12

1

x 2−

— — +

x 3+ — + +

Producto + — +

No es solución Solución No es solución

1− 0 2

x — — + +

x 1+ — + + +

x 2− — — — +

Producto — + — +

Solución No es solución Solución No es solución




Inecuaciones fraccionarias:

Son inecuaciones en las que tenemos una fracción algebraica formando parte dela misma.

Expresión general: son del tipo 0, o todas sus equivalentes 0, o 0, etc. … y de grados mayores que uno.

Método de resolución: descomponer factorialmente los polinomios numerador ydenominador, aplicando Ruffini, completando cuadrados, etc. el método queconsideres más apropiado o que mejor te resulte. Una vez descompuestos nuncasimplificar ya que podríamos perder soluciones. Posteriormente se procede comocon las inecuaciones de grado mayor que uno, ya que se trata en el fondo de

averiguar el signo final que va a tener un cociente de productos de binomios.

Ejemplos:

1.-( )

x 20

x x 1

+>

⋅ −, en este caso ya tenemos el numerador y el denominador

descompuesto en factores, solo hay que construir la tabla de los signos, así:Al tratarse de una desigualdad estricta no se incluyen los límites o extremos de

los intervalos en la misma, así pues la solución será ( ) ( )2,0 1,− ∪ ∞ .

2− 0 1

x — — + +

x 2+ — + + +

x 1− — — — +

Producto — + — +

No es solución Solución No es solución Solución




2.-x 1 x 1

1 1 0x 1 x 1

+ +< ⇒ − <

− −, ojo, si pasamos multiplicando el denominador al

otro miembro estaríamos cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la

inecuación x 1 x 1+ < − y compara los resultados. Para nuestro caso, operandox 1 x 1 x 1 2

1 0 0x 1 x 1 x 1

+ + − +− < ⇒ = <

− − −, y todo se reduce a averiguar cuál es

el signo del denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en ( ),1−∞ .

3.- Debemos andar con mucho cuidado a la hora de crear la tabla de signos,fijarnos bien en la pendiente real de las rectas, así, sea la inecuación

( ) ( )

( )

2 x 1 1 x1 x0 0

x 1 x 1

+ ⋅ −−≥ ⇒ ≥

+ +, recuerda, no simplificar.

Como el segundo factor del numerador tiene la pendiente negativa cambian lossignos respecto al punto de corte, así en este caso es todo al revés de antes, a laderecha negativa y a la izquierda positiva. La solución, por tratarse de una

desigualdad no estricta, es ( ],1−∞ .

1− 1

x 1+

— + +

x 1+ — + +

1 x− + + —

Producto + + —

Solución Solución No es solución

1

- +




EJERCICIOS

1.-. Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado:

a) ⇒+<− x52x3 b) ⇒−>+ x32x1

c) ( ) ⇒>−⋅ 63x32

d) ( ) ( ) ⇒+⋅<−⋅ x32x233

e) ( ) ( ) ( ) ⇒+⋅>−⋅++⋅ 2x21x33x2

f) ⇒−≤

+

−

−x34

x

2

8x4

5

3x3

g) ( ) ⇒+

≥+⋅3

x8x32

h) ⇒+−

≤−+

43

x51x3

2

1x

i) ⇒≤

−

+2

1x

3x2

j) ( )( )

⇒−⋅

++⋅≤−+

3

x142x3

15

3

3

1

4

1x3

k) ⇒−

−≥−

+

−

3

21

2

5x3

x

2

13

3

x3

l) ( ) ( ) ⇒−⋅−≤−

−−⋅+−−

3x2x

2

32

x2

3xx

4

2x3




2.- Resolver las siguientes inecuaciones de grado mayor que uno o fraccionarias:

a) ⇒<++− 08x3x5 2

b) ⇒<+− 0102x101x25 2

c) ( ) ⇒>+⋅ 2x25xx

d) ⇒≥−

+0

4x

5x2

e) ⇒≤−

−−0

2x3

6x5

f) ( ) ( ) ⇒+>−⋅− 11xx4x81

g) ( ) ⇒>− 91x 2

h) ( ) ⇒+−≥+−⋅ 3x21x2 22

i) ( ) ( ) ⇒≥+⋅− 01x9x2

j) ( ) ( ) ⇒≤−⋅− 09xx1 22

k)( ) ( ) ( )

( ) ( )⇒≥

+⋅+−⋅−⋅−

01x3x

x12x4x

l) ⇒≤+

−4

3x

4x2

m) ⇒≥

+

−⋅

−

−+

+

+0

2

x

3

1x

2

x

3

1x2

2

2x32

n) ⇒≤+− 0x6x5x 23

o) ( ) ) ⇒>+−⋅− 03x4x1x 2

p) ( ) ( ) ⇒≤+⋅− 01x1x 22

q) ⇒<+−− 04x4xx 23




r) ⇒≥+

−0

3x

1x2

s) ( ) ( ) ( ) ⇒>−⋅−⋅− 02x1x1x 23

t) ⇒≥−

−0

1x

9x2

u)( ) ( )

( ) ( ) ( )⇒≤

+⋅−⋅+

−−⋅−0

1xx529x

8x2x1x32

2

v)( ) ⇒≤

−

−⋅+ 0x4

5

2

x3x

w)( ) ( ) ( )

( ) ( )⇒≥

+⋅+

−⋅−⋅−0

1x3x

x12x4x

x) ⇒≤+−

+−0

xx6

2x3x2

2

y) ( ) ( )( ) ( )

⇒≥+⋅−+⋅−⋅ 05x4x3x1xx

2

z)( ) ( )

( ) ( )⇒≤

+⋅−

⋅+⋅−0

1xx2

x3x3x

3.- Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado

a) ( x - 2 )2 > (x + 2)⋅ ( x - 2) + 8 R. ] - ∞ , 0 [

b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8 R. ] - ∞ , 7/2 [

c) 3 - ( x - 6) ≤ 4x - 5 R. [ 14/5 , + ∞ [

d) 3x - 5 - x - 6 < 14 12

R. ] - ∞ , 21/8 [




e) 1 9 R. ] -67/10 , + ∞ [

4.- Resolver las siguientes inecuaciones de segundo grado

a) x2 ≥ 16 R. IR - ] -4 , 4[

b) 9x2 < 25 R. ] - 5/3 , 5/3 [

c) 36 > ( x - 1) R. ] - 5 , 7 [

d) (x + 5)2

≤ ( x + 4 )2

+ ( x - 3 )2

R. IR - ] 0 , 8 [

e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6) R. ] - 2 , 6 [

f) x2 - 3x > 3x - 9 R. IR - 3

g) 4 ( x - 1) > x2 + 9 R. ∅

h) 2x2 + 25 ≤ x ( x + 10 ) R. 5

i) 1 - 2x ≤ (x + 5)2

- 2(x + 1) R. IR

j) 3 > x ( 2x + 1) R. ] -3/2 , 1 [

k) x ( x + 1) ≥ 15(1 - x2 ) R. IR - ] -1 , 15/16 [

l) ( x - 2 ) 2 > 0 R. IR - 2

m) ( x - 2)2 ≥ 0 R. IR

n) ( x - 2)2 < 0 R. ∅

o) ( x - 2)2 ≤ 0 R. 2




5.- Resolver las siguientes inecuaciones con variable en el denominador

1) 01 >−

x

R. IR - [ 0 , 1 ]

2) 03

6<

−

+

x

x

R. IR - [ -6 , 3 ]

3) 025

≥−−

x

R. [ 5 , 10 ]

4) 2512 >+− x x R. ] -

∞, -5 [

5) 25

1>

+

− x

R. ] -11 , -5 [

6) 03

1≤

−

R. ] - ∞ , 3 [

7) 011 ≥

+− x R. IR - [ -1 , 1 [

8) 21

>−

x

R. ] - 1/2 , 0 [

9)13 +

≤− x

x x

R. ] - ∞ , -1 [ ∪ [ 0. 5[

3.10) x x

x >++

322

R. IR - [ - 2/3 , 3 ]

11) 13

2

+≥−

x x

R. IR - ]-3/2 , 3 ]

12) 06

42

≥+

−

x

x

R. ] - 6, -2 ] ∪ [ 2 , +∞ [




13) 0)3)(6)(1(

)7)(1(>

+−−

−+

x x x

x x

R. ] -3, -1 [ ∪ ] 1 , 6 [ ∪ ] 7 , + ∞ [

14) 142

≤ R. IR - ] -2 , 2 [

15) 05

12

<−

+ x

R. ] - ∞ , 5 [

16) )1

1(2)3(3 x

x −≥+ R. ] -2 , -1/3 ] ∪ ] 0, + ∞ [

17) x

x5

4 <− R. ] - ∞ , -1 [ ∪ ] 0. 5 [

18) 815

≥+ x

x R. ] 0 , 3 [ ∪ [5 , + ∞ [

19) 112

≥+

x

x

R. ] 0 , + ∞ [

20) )1(531

3 +>

− x

x

R. ] - ∞ , -3 [ ∪ ] 0 , 1/5 [

21) 012

<−

x

R. ] - ∞ , - 1[ ∪ ] 0 , 1 [

22)

x

x84

120 −>+ R. ] -12 , -7 [ ∪ ] 0 , + ∞ [

23) 1025

<+ x

x R. ] - ∞ , 0 [

24) 69

2 −≥+ x x R. ] 0 , + ∞ [ ∪ -3




25) 21

2

1+>+

x x

R. ] -1 /2 , 0 [ ∪ ] 2 , + ∞ [

6.- Resuelva las siguientes inecuaciones:

a) 4x - 1 = 5 R. {-1 , 3/2 }

b) 23

2 =−x

R. { 0 , 12 }

c) 15

1=

−

+

x

x

R. { 2 }

d) 21

32=

−

− x

x

R. { 5/4 }

e) 414

3=−

x

R. { -4 , 20/3 }

f) 33

4 =− x x R. { -1/2 , 2/5 }

g) 0413 =+− x R. { ∅ }

7.- Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

a) 2x - 1 > 3 R. IR - [ -1 , 2 ]

b) 22

3 ≤−x

R. [ 2 , 10 ]

c) 52

1

5≥−

x

R. IR - ] -45/2 , 55/2 [




d) 13

1 <−x

R. ] 0 , 6 [

e) x - 3 > -1 R. ] - ∞ , +∞ [

f) 3 - 2x < 0 R. ∅

g) 13

12≤

+

− x

x

R. [ - 2/3 , 4 ]

h) 3 - 2x < x + 4 R. ] - 1/3 , 7 [

i) 221 >

−+

x x R. ] 1 , 2 [ ∪ ] 2 , 5 [

j) 253

≥+

x

x

R. ] - ∞ , - 5 ] ∪ [-1 , 0 [ ∪ ] 0 , + ∞ [

k) 37

13<

+

− x

x

R. ] - 10/3 , + ∞ [

l) 321

12>

+

−

x

x

R. ] - 1 , -1/2 [ ∪ ] -1/2 , -1/4 [

m) 452 +≥+ x x R. IR - ] -3 , -1 [

n)2

1

1

53≥

−

− x

x

R. ] - ∞ , 1 [ ∪ ] 1 , 11/7 ] ∪ [ 9/5 , + ∞[

o)3

1

5

3<

− x

x

R. IR - [ -9/2 , 9/8 ]




3.1 Teoría de Exponente

POTENCIACIÓN

DEFINICION

1. x x x xn .......= Donde:

“n” factores { }0 N −∈n

2. Producto de bases iguales:

nmnm x x x +=. R ∈∀ x

3. Cocientes de bases iguales:

nm

n

m

x x −= ( )0x R ≠∈∀ x

4. Exponente nulo:

10 = x 0≠∀ x

5. Potencia de potencia:

( ) ( )mnmnnm

x x x ==

6. Potencia de un producto

( ) nnn y x y x .. = x, y ∈ R

7. Potencia de un cociente:

n

nn

y

x

y

x=

0≠∀ y

8. Potencia de un exponente:

pn pn mm x x =

9. Exponente negativo:

0yx;donde yx

0yx;donde yx

0x 1

x

0x 1

1

n-

1

≠

=

≠=

≠∀=

≠∀=

−

−

nn

n

x

y

x

y

x

x x

LEYES DE SIGNOS

( ) ( )

( ) ( ) −=+=+

+=+=+impar impar

par par

-

-

Exponente

Potencia

Base

n X P =




RADICACIÓN

DEFINICION

1. Exponente fraccionario:m

nn mn

m

x x x ==

2. Raíz de un Producto:

nnn y x xy =

3. Raíz de un cociente:

n

n

n

y

x

y

x= y ≠ 0

nn

x

y

y

x=− x ≠ 0

4. Raíz de raíz

mnpm n

p

x x =

5. Radicales sucesivos:

mnp

c

mn

b

m

a

m n p cba z y x z y x ..=

( )mnp c pbanm n p cba x x x x ++=

6. Auxiliares:

n r mnn r m baba .. =

mnn m aa =1

LEYES DE SIGNOS

reales No=−

−=−

+=+

+=+

PAR

IMPAR

IMPAR

PAR

Índice

Y X R =

RaízCantidad Subradical




EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Simplificar:)15(5

1535−

+−+k

k k

Resolución:

Aplicando propiedad de la potenciación tenemos:

)15.5(5

5.535.5−

−k

k k

, luego factorizando el término común k 5

)15.5(5

)535.(5−−

k

k , y simplificando nos queda .1205125535 Rpta=−=−

2.- Calcule: 35,0)649(5,0)

94(1

−+−

Resolución:


3

2

1

)9

64(

9

41

3

2

1

)64

9(2

1

)9

4(1

+−=

−+−

.27333)38

31

(3

964

32

1 Rpta==+=

+−




3.- Simplificar: 0,0,31

23

2.2)(≠≠

−

− y x si

y x

x xy

Resolución:


.3

1

)3(31

23

231

23

2.22 Rpta x x

y x

y

y x

x y x=

−−=

−

=

−

−

4.- Al simplificar la expresión3 32.3 x x x , el exponente final es:

Resolución:

Aplicando propiedad de la radicación tenemos:

1225

123418

41

.31

.23

2.3.23

.3.22

.23

x x x x =

++

==

Por lo tanto el exponente final es .12

25 Rpta

5.- Calcule:45.133.1110

36.95.412.615

Resolución:

Descomponiendo las bases de cada una de las potencias en sus factores primos yaplicando propiedad de la potenciación tenemos:

.1155.133.112

155.133.112

45.133.115.112

32.33.95.43.82.65.6345.133.11)5.2(

3)2.3.(95.4)3.22.(6)5.3(

Rpta=

==




6.- Calcule: 22

)8(2

)32(

2)16(

2)64(

x x x

x x

+

+

Resolución:

Descomponiendo las bases de cada una de las potencias a la base común 2, luegoaplicando propiedad de la potenciación y radicación y simplificando, tenemos:

=

+

+=

+

+ 2

)1222(

232

)1222(

24222

)32(2

)52(

2)42(

2)62(

x x x

x x x

x x

x x

Rpta x

x x x 2

2

2

22 2

2 ==

7.-Simplificar:)22(3642

)12(6)12(4)32(252−++

−−+−+−+

y y

y y y y

Resolución:


.51

25

5

916

381632

)942.(2

)3324252.(2

,)222(23.2242.2

)12.2(3.2)2.2(22)32.2(252.2

Rpta y

y

do factorizanluego y y

y y y y

==+

−−−

=+

−−−

=

−+

−−−−

8.- Calcule: ∞++++ ......2222

Resolución:

Sea ∞++++= ......2222 E , luego elevando al cuadrado en ambos lados,

se tiene:




E E

E m M

nñ m m m m m M

2

......222222

2

→ →

9.- Simplificar: x x x

x x x3

)5.(1)125(

1 125.1)625(

−+

+ −+

Resolución:Descomponiendo las bases de cada una de las potencias a la base común 5, luegoaplicando propiedad de la potenciación y radicación y simplificando, tenemos:

.53

3

5

3 323553325

3553325

15.445

3

5.335

1

12

5.4453

)5.(1)35(

1 125.1)45(

Rpta x

x

x x x x x

x x

x

x x

x

x x

x

x

x x

x x

x x x

=

=−−+=++=

+−+

=−+

+−

+=

−+

+ −+

Tema: Teoría de Exponente

1.- Simplificar:( )1

13

55

55−

++ −=

n

nn

E

2.- Simplificar:

31

53

31

211

3

27

−

−

−−

=ba

ba E




3.- Simplificar: ( ) ( ) 44244 2112 −

−−−− −−−−

= x x x E

4.- Simplificar:

124927125

−−

−−

= E

5.- Simplificar:

( )13

1 272

64

1

−−− −

−

= E

6.- Calcular:

5,0123

10

23

4

5

23,0

+

+

+

=−−−−−

E

7.- Calcular:

111 432

625

1

27

1

64

1−−− −−−

+

+

= E

8.- Calcular:41311

3946

5310

651215

××

×××= E

9.- Calcular: z y x

z y x z y x

z x z y y x E ++

+++++++

×××=

22 532257545

10.- Calcular:2

22

22

832

1664n

nn

nn

N +

+=

11.- Si K424242= x Calcular: K+++= x x x E

12.- Simplificar: x x x y y y E K=

13.- Simplificar: ( )11

1 122

+− −

=

− x

x

x x x x E




14.- Simplificar:( ) ( ) ( )

( )24

1135

2362

2624222−+

−+++

+

−−−=

x x

x x x x

E

15.- Simplificar: n

nn

n nn

M 31

1 11

5125

56252

−+

+ −+

×=

16.- Simplificar:n

n

n

B3

3

1381

33 3512

=

+

3.2 Ecuaciones Exponenciales

Tema: Ecuaciones Exponenciales

1.- Resolver:1234 +− = x x aa

a) x = 1 b) x = 3 c) x = 5 d) x = 4 e)x = 6

2.- Resolver:125

15 72 =− x

a) x = 1 b) x = 2 c) x = 3 d) x = -2 e) x =6

3.- Resolver: ( ) ( )35452 +− = xbb

a) x = 5 b) x = 8 c) x = 7 d) x = 1 e)x = 4

4.- Resolver: 1. 715 =−+ x x aa

a) x = -5 b) x -2 c) x = -5 d) x = 1 e) x =9

5.- Resolver: 0- 1023 =− aa x

a) x = 2 b) x -2 c) x = 4 d) x = 6 e) x =7




6.- Calcula el valor de “x”, si: 32 279 −+ = x x

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

7.- Encontrar la solución de: 17 3 =+ x

a) x = -2 b) x -0 c) x = -2 d) x = - 3 e)x = - 4

8.- Calcula el valor de “x” en: 9622 21 ==+ ++ x x

a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

9.- Halla el valor de “x” , sabiendo que: 43

1681 −

+

=

x

x

a) 1 b) 2 c) -1 d) -6 e) 3

10.- Resolver: ( ) 452 8125,0 +− = x x

a) x= 16− b) x= 15− c) x= 12− d) x= 13+ e) x = 13−

11.- Halla el valor de “x” en: 176222 532 =+=+ +++ x x x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12.- Resolver: 3212 =++ x x

a) x = 1 b) x = 2 c) x = 3 d) x = 4 e) x = 5

13.- Halla el valor de “X” en: 8299 223 ==+− x

a) 2/5 b) 1/3 c) 3/2 d) 2/3 e) 3/5

14.- Halla el valor de “X” en: 66

233

721 +

+

+= x

x

x

x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) - 3

15. Si: ( )( ) x""devalor elhallar ,25615 15 =− − x x

a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 3




16.- Calcula el valor de “x” en: 84444 21 =++ −− x x x

a) 2 b) 3 c) -2 d) -3 e) 4

17.- Hallar el valor de “x” en: 42 1623

=+ x

a) 1 b) 2 c) -1 d) 3 e) –2

18.- Resolver: 313 625125 +− = x x

a) x = 2 b) x = 3 c) x = 4 d) x = 5 e) x = -3

19.- Hallar el valor de “x” en: ( ) 5333 825,0 −− = x x

a) 2 b) 3 c) 1 d) -2 e) –3

20.- Si:( )

n""devalor elhalla,108.16

12.443

2

34

=

n

a) 2 b) 2 c) 3 d) -2 e) –3

3.3 El numero℮

En Matemáticas existen algunos números que son muy famosos. Ya conocemosel número y el número áureo ; vamos a hablar del número℮, que debe sunombre al matemático alemán Leonard Euler.El número℮ es un número irracional, y se obtiene a partir de la expresión

1

haciendo “n” cada vez más grande. Lo anterior supone que,

aumentando suficientemente el valor que sustituyamos por n en la fórmula, másdecimales del número e obtendremos:

1 1´01 =2'704813...1 1´001 =2'716023...1 1´00001 =2'718280...

℮ = 2'718281828459045.....




El número℮ es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Se lo suele llamar el número de Euler por ser su inventor elmatemático Leonhard Euler.El número es muy importante por ser la base para las funciones exponenciales, y por ello se ha sugerido que Euler llamara e por significar "exponencial".℮ es también la base de los logaritmos naturales o neperianos (inventados por John Napier).El número℮ tiene numerosas aplicaciones en todas las ramas de la ciencia, laeconomía, etc. Un ejemplo es el siguiente: El número ℮ en la Naturaleza.La tasa de natalidad y mortalidad de cualquier especie animal o vegetal encondiciones naturales de equilibrio suelen permanecer estables. Por eso, como side una tasa de interés financiero se tratara, las poblaciones tienden a crecer de

acuerdo con un modelo que incluye el número e en su formulación: er

Donde N población inicial, r coeficiente de crecimiento y t el tiempo en años.El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debeelevar la base

3.4 Logaritmos

Se denomina el logaritmo de un número “N” real, positivo y diferente de launidad, en base “b”, al exponente “x” al cual hay que elevar la base para obtener el número “N”.

N xb x N Log b =→= , también se cumple que: N N Log bb =

Ejemplos:

252)5(?¿2255 == Porque Porqué Log

92)13(?¿2)9(13=−−−=− Porque Porqué Log

10003)10(?¿3)1000(

10

== Porque Porqué Log

Nota: Cuando no se indique la base “b”, se asume que ésta es 10.

Ejemplo:

),15( Log se lee: el Logaritmo de 15 en base 10 ó simplemente Logaritmo de 15.




PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1.- LOGARITMO DE UN PRODUCTO:

Es igual a la suma de logaritmos de cada uno de sus factores.

)()()( N Log bM Log bMN Log b +=

Ejemplos:

)5(8)3(8)5)(3(8 Log Log Log +=

)4()()4)(( Log p Log z p Log +=

2.- LOGARITMO DE UN COCIENTE:

Es igual a la diferencia del logaritmo del numerador y el logaritmo deldenominador.

)()()( N Log bM Log bM

Log b −=

Ejemplos:

)9(5)7(5)97

(5 Log Log Log −=

)()6()6

( u Log k Log k u Log k −=

3.- LOGARITMO DE UNA POTENCIA:

Es igual al exponente multiplicado por el logaritmo del número (base de la potencia).

)()( M Log bnnM Log b =

Ejemplos:

)8(733)8(7 Log Log =

)8()8( Log c p p Log c =




4.- LOGARTITMO DE UNA RAIZ:

)(1

M Log bn

n M Log b =

Ejemplos:

)4(9313 49 Log Log =

)(717 m Log um Log u =

5.- LOGARITMO DE LA BASE:1=b Log b

Ejemplos:

155 = Log , 1= z Log

6.- LOGARITMO DE LA UNIDAD:

01 = Log b

Ejemplos

0125 = Log 01 = Log w

OTRAS PROPIEDADES:

7.- )()( n M Log n bnM Log nbM Log b ==

Ejemplo:

)7 9(7 35)9(5393 Log Log Log ==

8.- )(1

)( M Log bnM Log nb =




9.- )()( M Log bn

p pM Log nb =

Ejemplo:

)12(73

1)12(37 Log Log =

)9(54

77)9(45 Log Log =

CAMBIO DE BASE:

Se utiliza cuando se quiere calcular el logaritmo de un número “N” en base “b”,tomando como referencia la nueva base “a”.

b Log a

N Log a N Log b =

COLOGARITMO:

El cologaritmo de un número en base “b” es el logaritmo de la inversa delnúmero, en dicha base.

)()1

( N Log b Log b N CoLog b −==

ANTILOGARITMO:

El antilogaritmo es el número que da origen al logaritmo, así tenemos:

N xb x AntiLog b ==)(

Nota: N N Log bb N Log b AntiLog b ==

)()((

ECUACIONES LOGARÍTMICAS:

Son ecuaciones que presentan la incógnita como argumento.

Ejemplos:

a) Log(x)=2 b) Log (3x-1)=Log(x+2)




EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Calcule “x” en: 01)(72 =− x Log

Despejando y acomodando se tiene:

2

1)(7 = x Log , luego por definición de logaritmo se cumple:

.721

7 Rpta x x =→=

2.- Calcule “y” en: 012)16(3 =− Log

y


4)16( = Log y, luego por definición de logaritmo se cumple:

.2424164 Rpta y y y =→=→=

3.- Calcule “z” en: 016)(24 =− z Log


4)(2 = z Log , luego por definición de logaritmo se cumple que:

.4224)2( Rpta z z z =→=→=

4.- Calcule “w” en: )2(327)3(34

510

)7(99)3(55

Log Log Log Log Log w ++−+=

Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:

.17893)2(339

)2(3)33(4573 Rpta Log Log

w =+=+=++−+=




5.- Calcule el logaritmo de 32 en base 3 22


.4

155.

43

5)2(2

3

41

)32(342)32(312.2)32(3 22

Rpta

Log Log Log Log

==

===

6.- Calcule el logaritmo de 7 3 en base 4 33


.35

4)3(3

4571

)3(4537171)3(413.3)7 3(4 33

Rpta Log

Log Log Log

==

==

7.- Calcule: 279)7343(49)53125(25 Log Log Log ++


.623

29

23

47

411

23

)7(722

7

)5(522

11

)3(323

)277(27)2115(25

)33(23)217.37(27)215.55(25

Rpta Log Log

Log Log Log

Log Log Log

=+=++=++

=++

=++

8.- Calcule: )25(6).64(7).36(25).49(16 Log Log Log Log


.6)5(. 6)6(5).2(. 7)7(2.2.6.4

2

)5(62).2(76).6(522

).7(242

2)5(6.6)2(7.2)6(.2)7(42 25

Rpta Log Log Log Log

Log Log Log Log

Log Log Log Log

=

=

=




9.- Resolver: )252818(21

2)( Log Log Log x Log −++=


.484825

12.100

25

12100

25

122

225

1442)

225

8.18(.

2

12)(

Rpta x Log Log Log Log

Log Log Log x Log

=→∴==+

=+=+=+=

10.- Resolver: 1)2()3(6 =−−+ x Log x Log


1)23

(6 =−+

x

x Log , luego por definición de logaritmo se cumple que

.3155

1263)2(6362

3

Rpta x x

x x x x x

x

=→=

−=+→−=+→=−+

11.- Resolver: )12(2)2( −= x Log x Log


2)12()2( −= x Log x Log , como las bases son iguales, por lo tanto los argumentos

también serán iguales:

014426214424222)12(2 =+−→+−=→−= x x x x x x x

Factorizando con aspa simple, se tiene:

1880)18)(8( ==→=−− xo x x x

Con x=8, reemplazando en la ecuación inicial, no cumple porque se tendría quesacar el logaritmo a un número negativo absurdo Log Log ),4()128( −=−

Por lo tanto: .18 Rpta=




12.- Resolver: 2)2

()64()3(x

Log Log x Log =−


2)2

()64

3(

x Log

x Log = , como la base son iguales, por lo tanto los argumentos

también serán iguales:

.164

644

2

64

3 Rpta x x

x x=→=→=

13.- Resolver: 141)2,1(7 +−=−+ x Log Log x Log


)12()2,1)(10(147

)2,1log(1014.7

)2,1(1147

Log Log x x Log

Log x x Log

Log x Log x Log

==++

+=++

+=+++

Como las bases son iguales, por lo tanto los argumentos también serán iguales, y

elevando al cuadrado, tenemos:

04621214498212144)14)(7( =−+→=++=++ x x x x x x

Factorizando, 2230)2)(23( =−=→=−+ xo x x x

Con x= - 23, reemplazando en la ecuación inicial, no cumple

porque se tendríaabsurdo Log Log

absurdo Log Log

,16723

,91423

−=+−

−=+−

Por lo tanto: .2 Rpta x =




14.- Resolver: )25(5).27(3)()()( Log Log x Log x Log

x Log =+


06)(2))((

2)5(5.3)3(3)()().(

=−+

=+

x Log x Log

Log Log x Log x Log x Log

Factorizando con aspa simple, se tiene:

2)(3)(0)2)()(3)(( =−=→=−+ x Log o x Log x Log x Log

Por lo tanto, se tiene .2

103

10 Rptas xo x =

−

=

15.- Resolver: )())((

))310(( x xCoLog x AntiLog CoLog

Log Log =

Aplicando propiedad de logaritmo y la definición de cologaritmo y antilogaritmo,se tiene:

.3

1)()

3

1()(.

1)31

(

1

)()10(

)

3

1(

)()10(

)31)10((

Rpta x x Log Log x Log x

Log

x x Log x Log

Log

x x Log xCoLog

Log Log

=→=→−=−

−=−→−=

Tema: Logaritmos

1.- Calcule “x” en: 01)3(4 =− x Log

A) 4110 B) 2110 C) 4310 D) 10 E) 4510

2.- Calcule “y” en: 03)(42 =− y Log

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

3.- Calcule “z” en: )3(2)6(3)( Log Log z Log −=

A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24




4.- Calcule el logaritmo de 4/9 en base8

33

A)32

− B)21

− C)52

− D)31

− E)72

−

5.- Calcule el logaritmo de 64 en base 3 2

A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21

6.- De qué número el logaritmo en base 22 es 8.

A) 82 B) 102 C) 122 D) 142 E) 162

7.- Determine la base del logaritmo del número 32 si su resultado es 0,5.

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

8.- Calcule: )51(7).9(

21).49(5).2(3 Log Log Log Log

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

9.- Calcule “x”, en: 4)16(7).7(3).3( = Log Log Log x

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

10.- Calcule “x”, en:)100(

)()()()(

Log

c Log b Log a Log x Log

−−=

A)ac

b B)ab

c C)b

ac D)bc

a E)c

ab

11.- Si 4)(2 = y Log , calcule “x” en: 6)2

2.(2 = y

x Log

A)321 B)

161 C)

81 D)

41 E)

21




12.- Resolver: )3()27()(3 x Log Log x Log =+

A) 3 B)

3

1 C)6

1 D)91 E)

27

1

13.- Resolver: 1)12()1( =−−+ x Log x Log

A)19

33 B)19

22 C)19

11 D)19

9 E)9

1

14.- Resolver: )2(4)16()(3 x Log Log x Log =+

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

15.- Resolver: 25)(16)(8)(4)(2 =+++ x Log x Log x Log x Log

A) 42 B) 62 C) 82 D) 102 E) 122

16.- Si 12)().()().()().( =++ b Log ac Log ba Log cb Log ac Log ba Log c

Calcule: 2)(2)(2)( c Log ab Log ca Log b ++

A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60

CLAVE DE RESPUESTAS

1 C 9 B

2 B 10 D

3 E 11 D

4 A 12 B

5 D 13 C

6 C 14 A

7 A 15 E

8 B 16 B




4.1 Sistema de coordenadas cartesianas en el plano

Par ordenado

Es un conjunto formado por dos elementos distinguibles como primero ysegundo. Se denota por ),( ba

Propiedad

Dos pares ordenados ),( ba y ),( d c son iguales y lo denotamos por

),(),( d cba =

si y solo si ca = y d b =

Producto Cartesiano R ×R

Si R es el conjunto de los números reales, el producto R ×R se denomina

producto cartesiano y se define como R ×R= { } R y R x y x ∈∧∈= /),(

Plano cartesiano

Es la representación geométrica del producto cartesiano.

Está formado por dos rectas perpendiculares, una horizontal denominada eje delas abscisas y otra vertical denominada eje de las ordenadas. Dividen al plano encuatro cuadrantes denotamos en orden contrario al movimiento de las manecillasde un reloj.

“A cada punto P del plano le corresponde un único par ordenado ),( y x y

viceversa”.

Las coordenadas del punto P son y x e . A x se le denomina abscisa del puntoP y la componente y se denomina ordenada del punto P.




Propiedades

1. ),(),( rbrabar =

2. ),(),(),( d bcad cba ++=+

Distancia entre dos puntos

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo formado se tiene que ladistancia entre los puntos P y Q está dada por:

y

x

IC

IVCIIIC

IIC P ),( y x= •

1 x 2 x

2 y

1 y

Q

12 x x −

12 y y −

),( 22 y x

),( 11 y x P

x

y




División de un segmento en una razón dada

Dado un segmento AB se desea determinar las coordenadas de un punto P, demodo que los segmentos determinados estén en una razón dada.

Si P divide al segmento AB en dos segmentos AP y PB tales que r PB

AP =

Se demuestra que las coordenadas del punto P son:

212

212 )()(),( y y x xQ P d −+−= 2

122

12 )()(),( y y x xQ P d −+−=

1 x 2 x

2 y

1 y

B

),( 11 y x A

y

),( p p y x P •

1,1

21 −≠+

+= r

r

xr x x p 1,

121 −≠

+

+= r

r

yr y y p




Propiedad del punto medio

Si M es el punto medio del segmento AB, la razón es r = 1, y sus coordenadasson:

Tema: Ecuación de la recta

1. Determine la distancia entre los puntos:a. )4;1(y)7;3(−

b. )9;0(y)3;5( −−

c. )3;4(y)9;4( −−−−

d. )4;(y)7;3( baba −−−

2. Si la distancia entre los puntos )3,1( +− aa y )1;3( −a es 6u, calcule losvalores de a.

3. Calcule el perímetro de los triángulos de vértices:a. )4;1(y)1,2(,)7;3( −−

b. )9;0(y)0;2(,)3;5( −−

4. Calcule el área de la región triangular cuyos vértices son:

a. )4;0(y)0;0(,)7;3(

b. )0;5(y)5;0(,)0;3(

c. )5;1(y)7;6(,)2;5( −−

5. Calcule el área de la región poligonal cuyos vértices son:a. )3;0(y)1;1(),0;0(,)1;4( −

b. )0;3(y)3;2(,)3;0(,)0;2( −−−

221 x x

xM

+=

221 y y

yM

+=




c. )5;1(y)3;1(),5;3(),4;1(,)2;2( −−−−−

6. Si los puntos )7;3(y)1;1(,);2( −−− a son colineales, calcule el valor de a.

7. Determine el valor de a, de modo que el punto )1,3( −aa esté en la recta que pasa por los puntos )3;1(y)4;3( −−−

8. Determine las coordenadas del punto medio de los segmentos que unen los puntos:

a. )2,9(y)6;3( −−−

b. )9;1(y)3;5( −−−

c. )4;3(y)7;3( ++−+− aaaa

9. Determine las coordenadas de los puntos de trisección del segmento que unelos puntos:

a. )3;1(y)7;9(

b. )8;2(y)0;2( −−

c. )1;5(y)9;1( −−−−

10. Determine la longitud de la mediana BM y las coordenadas del baricentro enel triángulo ABC de vértices:

a. )9;2(y)5;1(),3;4( −−−− C B A

b. )7;2(y)1;4(),1;2( −−−− C B A

c. )7;0(y)7;2(,)1;0( B A

4.2 La línea recta

Ángulo de inclinación de una recta

Definición: Si L es una recta en el plano R ×R, se define el ángulo de inclinacióncomo el ángulo que forma el eje x positivo y la recta L moviéndose en sentidoantihorario.

Si θ es el ángulo de inclinación de la recta L, entonces:

º180º0 ≤≤ θ




Nota: Una recta es horizontal si su ángulo de inclinación mide 0º ó 180º

Una recta es vertical cuando su ángulo de inclinación es 90º.

Pendiente de una recta

Se define la pendiente de una recta no vertical, a la tangente del ángulo deinclinación. A la pendiente se le denota por la letra m. Luego

Nota: Las rectas verticales tienen ángulo de inclinación º90=θ y como la

º90tan no está definida, se concluye que las rectas verticales no tienen pendiente.

Rectas paralelas y rectas perpendiculares

Sean 21 y L L son dos rectas de pendientes 21 m ym :

a. Si 21 y L L son paralelas ( 21 // L L ), entonces

b. Si 21 y L L son perpendiculares ( 21 L L ⊥ ) y ninguna de ellas es vertical,

entonces

θ

y

x

L

θ tan=m

21 mm =

121 −=⋅mm




ECUACIONES DE LA RECTA

a. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos P y Q

Siendo ),( y x un punto genérico igualamos pendientes:

De donde la ecuación de la recta es:

b. Ecuación de la recta que pasa por un punto P y tiene una pendiente m

)( 112

121 x x

x x

y y y y −−−=−

),( 11 y x P

),( 22 y xQ

•

•

),( y x •

x

y L

),( 11 y x P •

),( y x •

x

y L




Siendo ),( y x un punto genérico igualamos pendientes: m x x

y y=

−

−

1

1

De donde la ecuación de la recta es:

c. Ecuación de la recta de pendiente y ordenada en el origen conocidas

De la ecuación anterior sea ),0( b el punto del eje y por donde para la recta L de

pendiente m. Reemplazando en la ecuación anterior:

)0( −=− xmb y , de donde

d. Ecuación simétrica de la recta

Si las intersecciones con los ejes x e y son los puntos )0,(a y ),0( b

respectivamente, siendo 0≠a y 0≠b , reemplazando en la ecuación de la rectadada en (a) se tiene:

)0(0

0−

−−

=− xa

bb y , de donde x

a

bb y −=−

Entonces la ecuación de la recta se puede expresar como sigue:

)( 11 x xm y y −=−

b xm y +=

),0( b P •

),( y x •

x

y L




e. Ecuación general de la recta

De la ecuación de la recta dada en (a):

Trasponiendo términos: ))(())(( 112112 x x y y y y x x −−=−−

Efectuando operaciones indicadas:

1121211212 )()()()( x y y x y y y x x y x x −−−=−−−

1121121212 )()()()( x y y y x x x y y y x x −−−=−−−

Sean las diferencias A x x =− 12 , B y y =−− )( 12 y

C x y y y x x =−−− 112112 )()(

Entonces la ecuación general de la recta se expresa como:

1=+ b

y

a

x

),0( b P •

)0,(aQ•

x

y

L

12

12

1

1

x x

y y

x x

y y

−

−=

−

−

C By Ax =+




Ejercicios

1. Determine las ecuación de la recta en su forma punto-pendiente:)(

11

x xm y y −=− , si se sabe que pasa por el punto (2;5) y tiene un ángulo de

inclinación de 45º y grafíquela.

2. Determine las ecuación de la recta en su forma pendiente y ordenada en elorigen: bmx y += , si se sabe que pasa por los puntos (3;- 4) y (4; 6) ygrafíquela.

3. Determine la ecuación simétrica de la recta: 1=+b

y

a

x, si se sabe que pasa

por los puntos (-3;8) y (6;-4).

4. Determine la forma general de la ecuación de la recta: 0=++ C By Ax ,sabiendo que pasa por los puntos (4;-1) y (3;6).

5. Determine cuáles de las siguientes rectas son paralelasa. L1: 3 x + 2 y = 6 b. L2: 4 x + 3 y = 8 c. L3: 6 x + 4 y = 10

d. L4: 9 x + 6 y = 18

6. Determine cuáles de las siguientes rectas son perpendiculares:a. L1: 3 x + 2 y = 5

b. L2: 4 x - 6 y = 7 c. L3: 7 x + 4 y = 9 d. L4: 6 x + 9 y = 1

7. Determine la ecuación de la recta L que es paralela a la recta que pasa por los puntos A(2;-3) y B(4;5).

8. Determine la ecuación de la recta L que es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(3;-1) y B(2;7).

9. Determine la ecuación de la recta L que pasa por el punto (-4; 6) y por la intersección de las rectas 1043:1 =+ y x L y 0357:2 =+− x y L .

10. Determine la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas043:1 =− y x L y 14:2 =+ y x L y forma con los ejes coordenados un

triángulo de área 24 2u .




11. Determine la medida del ángulo que forma la recta que pasa por los puntos(3,2) y (-2;1), con la recta 623 =− y x .

12.

Determine la ecuación de la altura BH de un trIángulo de vértices A(2;1), B(0;4) y C (5;0).

13. Determine la ecuación de la mediana BM de un trIángulo de vértices A(0;0), B(3;4) y C (5;1).

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

14. Una empresa ACÚSTICA se especializa en la producción y venta de guitarras

y afirma que sus costos e ingresos mensuales en dólares, siguen un modelo lineal.El precio de venta de cada guitarra es de $ 60 y el costo de producción varíade acuerdo a la tabla mostrada.

Costo mensual en dólares 2100 3180

Número de guitarras 50 80

a. Determine la ecuación del costo de producción. b. Calcule el ingreso para el volumen mínimo de producción.c. Determine el punto de equilibrio.d. En un mismo plano cartesiano trace la gráfica del ingreso, costo y utilidad einterprete los puntos de intersección de las rectas con los ejes y el punto deintersección de las rectas de costo e ingreso.

15. BITBYTE una firma fabricante de calculadoras, planea vencer una nueva

calculadora graficadora. Durante el primer año, los costos fijos para establecer lanueva línea de producción son $ 100 000. Los costos variables para producir cadacalculadora se estima en $20. El Departamento de Ventas proyecta que puedenvenderse 150 000 calculadoras durante el primer año cada una.a. Formule la ecuación del costo total para producir las q calculadoras.

b. Formule la ecuación de ingreso para la venta de las q calculadoras.c. Formula la ecuación de la utilidad a partir de la producción y venta de las q calculadoras producidas.d. ¿Cuál es la utilidad o pérdida que tendrá la firma si se presentan las ventas

esperadas de 150 000 calculadoras?




e. ¿Cuántas calculadoras debe vender la firma con el fin de llegar al punto deequilibrio?

16. Un fabricante de Gamarra tiene costos fijos por $ 2 800 para producir casacasde cuero para exportación. El costo unitario de producción es $18 y son vendidasa $ 32 cada una.a. Exprese el costo de la empresa en términos de la cantidad q de casacas producidas. b. Exprese el ingreso de la empresa en términos de la cantidad q de casacasvendidas.c. Determine la cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio.En un mismo plano cartesiano trace la gráfica del costo, ingreso y utilidad,indicando las zonas de pérdida y ganancia

17. La cafetería de la universidad ha determinado que con la producción y ventade 80 unidades de empanadas no gana ni pierde.En la tabla se puede apreciar el comportamiento del costo total C

Con la información proporcionada, determine:

a. La ecuación del costo total. b. El punto de equilibrio.c. El precio de veta unitario y la ecuación lineal del ingreso.d. La ecuación de la utilidad y su gráfica.

18. Una compañía que repara fotocopiadoras comerciales, cobra por un serviciouna cantidad fija más una tarifa por hora. Si un cliente tiene una factura de $150

por un servicio de una hora y $280 por un servicio de tres horas, determine unaecuación lineal que describa el precio del servicio en términos de x que es elnúmero de horas del servicio.

19. En 1988, las acciones de una compañía de biotecnología se cotizaron en $30 por acción. En 1998, la compañía empezó a tener problemas y el precio de lasacciones cayó a $10 por acción. Dibuje una recta que muestra la relación entre el precio por acción y el año en que se comerció, con años en el eje x y el precio enel eje y.Encuentre una interpretación para la pendiente.

Costo en soles 35 62 89 107

Número de empanadas 10 28 46 58




20. Un fabricante utiliza 100 Kg de material para hacer los productos a Y B, querequieren de 4 y 2 Kg de material por unidad, respectivamente. Si x e y denotanel número de unidades producidas de A y B, respectivamente, determine unaecuación lineal que describa todos los posibles niveles de producción de los dos productos.

4.3 Cónicas

4.3.1 La circunferencia

Definición:

La circunferencia es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un

mismo plano de modo que su distancia a un punto fijo denominado centro O essiempre la misma. Esta distancia se denomina radio.

Ecuación de la circunferencia:

Empleando un sistema de coordenadas podemos determinar la ecuación de lacircunferencia.

Aplicando la fórmula de la distancia: r OP =

•

•

P

O

r

x

y P

O

r

(h,k )

( x, y)




r k yh x =−+− 22 )()(

De donde se obtiene:

Si el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas, entonces:

Haciendo la expansión de los términos en la ecuación ordinaria obtenemos:

022 22222 =−++−−+ r k hkyhx y x

Si hacemos Dh =− 2 , E k =− 2 y F r k h =−+ 222

Se obtiene:

Ejercicios

1. Determine el centro y el radio de la circunferencia de ecuación

0124622 =−+−+ y x y x

2. Determine el centro y el radio de la circunferencia de ecuación

0116822 =−−++ y x y x

3. Determine si las circunferencias de ecuaciones:

01264:C 22

1=−−++ y x y x y

222 )()( r k yh x =−+− Ecuación Ordinaria de la Circunferencia

222 r y x =+ Ecuación Canónica de la Circunferencia

022 =++++ F Ey Dx y x Ecuación General de la Circunferencia




030610:C 222 =+−−+ y x y x

a. Son tangentes, secantes o exteriores.

b. Calcule la distancia entre sus centros.

4. Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente a los dos ejescoordenados y pasa por el punto (1;2).

5. Determine si la recta de ecuación: 3x - 4y = 25 , y la circunferencia de

ecuación: 252y2x =+ , son tangentes.

6. Si la ecuación 02m4ymx2y2x =++−+ , donde m>3, representa una

circunferencia de radio 1, ¿en qué cuadrante se encuentra su centro?

7. Determine la ecuación de una de las rectas tangentes a la circunferencia deecuación: que son perpendiculares a la recta L1 : x - 2y + 9 = 0

8. Determine las ecuaciones de la rectas tangentes a la circunferencia de

ecuación: 04y2x2y2x:C =+−+ , que son perpendiculares a la recta L1 : x-2y+9= 0

9. Determine la ecuación de la circunferencia de menor radio y que es tangente ala recta 3x + 4y =1, y a los ejes coordenados

10. Determine la ecuación de la circunferencia tangente a 0443 =−− y x , en(0,–1) y que pasa por el punto (–2,–9)

4.3.2 La Parabola

Definición:

La parábola es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un mismo

plano de modo que su distancia una recta fija d l denominada recta directriz es

igual a la distancia a un punto fijo denominado foco F del mismo plano pero queno pertenece a la recta directriz.




De la definición:

Propiedades:

1. La distancia del vértice a la recta directriz es igual a la distancia delvértice

al foco:

d l

Eje focal

P •

• F Foco

p

p

Parábola

Recta directriz: d l

V•

L

R

PF l P d d =),(

p F V d l V d d == ),(),(




2. Se denomina lado recto al segmento de recta perpendicular a la recta

directriz y que pasa por el foco:

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

Empleando un sistema de coordenadas podemos determinar la ecuación de la parábola.

Veremos el caso en el que el eje focal es paralelo a uno de los ejes.

Primer caso: Cuando el eje focal es paralelo al eje y

PF l P d d =),(

Por definición de la parábola:

22 ))(()()( pk yh x pk y +−+−=−− , de donde:

p LR 4=

)(4)( 2 k y ph x −=−

Eje focal

•

•

F(h,k+p)

p

p

Parábola

V•

y

xO

(h,k)

P(x,y)

d l : y = k-p

FE

….Ecuación estándar de la parábola




Segundo caso: Cuando el eje focal es paralelo al eje

Por definición de la parábola:

22 )())(()( k y ph x ph x −++−=−− , de donde:

…Ecuación estándar de la parábola

Casos especiales:

Si el vértice de la parábola es el origen de coordenadas y el eje focal coincidecon el eje y, entonces:

PF l P d d =),(

Eje focal

•

•

F(h+p,k)

p

Parábola

•

xO

V(h,k)

P x,

d l : x = h-p

FE

)(4)( 2 h x pk y −=−




NOTA 1: Si p<0, la parábola se abre hacia abajo

Si el vértice de la parábola es el origen de coordenadas y el eje focal coincidecon el eje x, entonces:

NOTA 2: Si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda.

•

•

F(0,p)

p

p

Parábola

•

y

x

O

V(0,0)

P(x,y)

d l : y = –p

FE

py x 42 =

• •

F(p,0)

p p

Parábola

•

OV(0,0)

P(x,y)

d l : x = -p

x

y

FE

px y 42 =




Ejercicios:

1. Haga un esbozo de la gráfica de la parábola determinando sus elementos principales (vértice, foco, longitud de lado recto, ecuación del eje focal y laecuación de la recta directriz)a. x y 82 =

b. x y 122 −=

c. )3(82 −= x y

d. )1(122 +−= x y

e. )3(8)4( 2 −=+ x y

2. Haga un esbozo de la gráfica de la parábola determinando sus elementos principales vértice, foco, longitud de lado recto, ecuación del eje focal y laecuación de la recta directriz).

a. y x 82 =

b. y x 162 −=

c. )1(82 −= y x

d. )1(122 +−= y x

e. )2(12)5( 2 −=− x x

3. Determine los elementos principales de la parábola definida por lasecuaciones:

a. 028482 =+−− y x y

b. 011262 =−−+ y x y

b. 020842 =+−+ y x x

c. 017862 =+++ y x x




4. Determine la ecuación de la parábola descrita a continuación:Foco en (-3; 4) y recta directriz y = 2.

Determine la longitud del lado recto y trace la gráfica de la parábola.

Determine la ecuación de la recta tangente en el punto (1; 7)

5. Determine el mínimo valor de y , siendo 33122 2 +−= x x y

6. Determine el máximo valor de y , siendo 2265,10 x x y −+=

7. Una compañía de marketing estima que n meses después de la introduccióndel nuevo producto de un cliente, y miles de familias lo usarán, donde

)12(9

8nn y −= , 120 ≤≤ n . Estime el número máximo de familias que usarán

el producto.

8. Un fabricante vende n unidades de cierto producto, sus ingresos I en miles desoles y sus costos totales C en miles de soles son:

n I 8= y nnC 640 2 −+= . Determine su máxima utilidad

9. Un espejo en forma de paraboloide de revolución será usado para concentrar los rayos en su foco, creando una fuente calorífica. Si el espejo es de 20 pies dediámetro en su abertura y de 6 pies de profundidad. ¿A cuántos pies del vérticedel paraboloide se concentrará la fuente de calor?

10. Se va a construir un arco parabólico decorativo en la puerta de la UCSUR,tendrá una altura de 12m y una base de 8m, tal como se muestra en la figura.

a) ¿Cuál será la ecuación de dicho arco?

b) ¿A qué altura estará el arco en un punto a 2m del extremo derecho de la base?

-4 4

8

x

y




11. Una antena parabólica tiene forma de un paraboloide de revolución. Lasseñales que emanan desde un satélite llegan a la superficie de la antena y sonreflejadas a un solo punto donde está colocado el receptor. Si el disco de laantena mide 8 pies de diámetro en su abertura y 3 pies de profundidad en su centro. ¿En qué posición debe de estar colocado el receptor?

12. Los cables que sostienen un puente colgante adquieren forma parabólica.Las torres que sostienen los cables están separados 600 pies y son de 80 pies dealtura. Si los cables tocan la superficie de la carretera a la mitad de la distanciaentre las torres. ¿Cuál es la longitud del cable en un punto situado a 150 piesdesde el punto medio?

13. Determine la ecuación de una parábola de eje focal paralelo al eje y,sabiendo que su foco y su vértice son los extremos de un diámetro de la

circunferencia 0218622 =+−++ y x y x . Se sabe además que la ordenadadel foco es mayor que 4. Grafique.

4.3.3 La Elipse

Definición

Se define la elipse como el conjunto de todos puntos P tales que la suma de lasdistancias a dos puntos fijos 1 F y 2 F denominados focos es siempre constante.

•

•

•

1 F

2 F

P

1V

2V 1 B

2 B • •

• •

1dl

2dl

O

F E N E




Por definición:

Nomenclatura:

1. P punto cualquiera de la elipse

2. 1 F y 2 F focos de la elipse

3. 1V y 2V vértices de la elipse

4. 1 B y 2 B covértices de la elipse

5. c F F d 2),( 21 = …distancia entre los focos

6. O centro de la elipse

7. aV V d 2),( 21 = … distancia entre los vértices

8. b B Bd 2),( 21 = … distancia entre los covértices

9. 21V V …eje mayor

10. F E … eje focal

11. 21 B B …eje menor

12. N E …eje normal

11. 2d1d y l l …rectas directrices

Excentricidad

Existe un número denominado excentricidad al que denotaremos por e tal paratodo punto P de la elipse se cumple que:

a F P d F P d 2),(),( 21 =+

),( ),(),( ),(2d

2

1d

1l P d F P d

l P d F P d e ==

10 << e




ECUACIÓN DE LA ELIPSE

Empleando un sistema de coordenadas podemos determinar la ecuación de laelipse. Veremos el caso en el que el eje focal es paralelo a uno de los ejes.

Primer caso: Cuando el eje focal es paralelo al eje x

Donde:

a es la longitud del semieje mayor

b es la longitud del semieje menor

222 cba =+ es la relación pitagórica entre a, b y c

F1 y F2 son los focos de la elipse

a

ce = es la excentricidad de la elipse, con 0< e <1

a

b

LR

22

= es la longitud del lado recto

O es el centro de la elipse de coordenadas (h, k)

Por definición:

Siendo P un punto de la elipse se tiene que: d(F1,P)+D(F2,P)=2a

de donde:

1)()(

2

2

2

2

=−

+−

b

k y

a

h x Forma estándar de la elipse

y

x

a

b

F1• •

F2

cEje focal

P•

O

L

R




Si el centro es (0; 0) se obtiene la ecuación canónica de la elipse

Expandiendo la fórmula anterior obtenemos:

con A > 0 y B > 0… es la ecuacióngeneral de la elipse.

Análogamente si el eje focal es paralelo al eje y, obtenemos:

1)()(

2

2

2

2

=−

+−

b

h x

a

k y

y

x

a

b

F1 • •

F2

c

Eje focal

P•

O

•

12

2

2

2

=+b

y

a

x

022 =++++ F DyCx By Ax




Si el centro es (0; 0) se obtiene la ecuación canónica de la elipse

Ejercicios:

1. Haga un esbozo de la gráfica de la elipse determinando sus elementos principales (vértice, foco, longitud de lado recto, ecuación del eje focal y laecuación de la recta directriz).

a. 3694 22 =+ y x

b. 3649 22 =+ y x

c. 36)2(9)1(4 22 =−+− y x

d. 36)3(4)2(9 22 =+++ y x

2. Haga un esbozo de la gráfica de la elipse determinando sus elementos

principales (vértice, foco, longitud de lado recto, ecuación del eje focal y laecuación de la recta directriz).

a. 0201694 22 =−++ x y x

b. 032849 22 =−−+ y y x

c. 02318894 22 =−+−+ y x y x

d. 0241664 22 =+−++ y x y x

3. Determine la gráfica de la ecuación 0436y8x29y24x =++−+ .Determine además la ecuación general de la parábola cuyo foco está en eltercer cuadrante y que pasa por un vértice y los extremos del eje menor de lacónica dada.

12

2

2

2

=+b

x

a

y




4. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación

08x-2y24x =+ , en el punto )2;1( − .Grafique la curva y la rectamencionada.

5. Determine la ecuación de la elipse cuyos dos focos son los puntos (-2; 0),(2;0) y su excentricidad es 2/3.

6. Los focos de una elipse son F1(0;-6) , F2(0;6) y la ecuación de una rectatangente es L: 5 x + 3 y -50 = 0. Determine la ecuación de la elipse y suexcentricidad.

7. Determine la ecuación de la elipse cuyos focos son las intersecciones de la

circunferencia C: 0202422 =−−−+ y x y x con la recta L: 05 =− x y

uno de los extremos de su eje menor está sobre la recta 01332:1 =−− y x L

8. Un satélite es un punto de órbita elíptica alrededor de la Tierra. El radioterrestre mide 6000 km aproximadamente y su centro se localiza en uno de losfocos de la órbita.

a. Utilice la información dada en la figura, para obtener una ecuación de laórbita.

b. Si el satélite está en el punto P de la órbita, ¿a qué altura se encuentrasobre la superficie de la Tierra?

4 4 34 4 21km2000

4 4 4 4 4 34 4 4 4 4 21km00010

F1•

P•

O




5.1 Matrices

Una matriz es un conjunto de números reales escritos en filas y columnas.

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

21

22221

11211

es una matriz de m filas y n columnas, o bien de orden m x n. Cada elemento de

una matriz A se nota con dos subíndices, (aij); el primero indica la fila, elsegundo la columna en que está colocado el elemento.

De forma abreviada, una matriz se nota así: A = (aij)

Una matriz de orden 1 x n se llama matriz fila.

Una matriz de orden m x 1 se llama matriz columna.

Una matriz de orden n x n se llama matriz cuadrada.

Dos matrices A = (aij) y B = (bij) son iguales si tienen el mismo orden y aij= bij∀ i, j (son iguales ele-mento a elemento).

5.2 Operaciones con matrices

Suma y resta

Sólo se pueden

restar

sumar matrices del mismo orden. Para ello se

tanres

sumanlos

elementos que ocupan las mismas posiciones. Es decir:

A = (aij) B = (bij) A + B = (aij + bij)

−=

−=

032

641

410

132 B A




−−

−=

−−−

−−−−−=−

−=

+++

−−++=+

422

511

043120

)6(14312;

442

773

043120

614312 B A B A

Producto

Producto de una matriz por un número

Para multiplicar una matriz A por un número α, se multiplican todos loselementos de la matriz por el número. Es decir:

A = (aij) α.A = (α . aij)

−

=⋅−

=1230

3963

410

132 A A

Producto de dos matrices

Para multiplicar las matrices A y B ha de cumplirse que el número de columnasde la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B. Es decir, si A es deorden mxn, para que el producto AxB sea posible, B debe ser de orden nxp, y lamatriz producto resulta de orden mxp. Más breve:

A mxn . B nxp = C mxp

¿Cómo se multiplican?

El elemento cij de la matriz producto resulta de multiplicar la fila "i" de la matriz

A por la columna "j" de la matriz B, elemento a elemento y, luego, se suman los productos así obtenidos. Brevemente:

c a bijk

n

ik kj= ∑ ⋅=1

Ejemplo: Multiplicar las matrices

−=

−

=53

46

43

01

12

B A

−

−

=

⋅+−⋅⋅+⋅

⋅+−⋅⋅+⋅

⋅−+−⋅⋅−+⋅

=⋅

830

46

139

54)4(33463

50)4(13061

5)1()4(23)1(62

B A




Señalar que el producto de matrices no es conmutativo. Es decir, en general A⋅B≠B⋅A. Si A⋅B=B⋅A se dice que las matrices A y B conmutan.

5.3 Tipos de matricesExiste una tipología abundante de matrices. Nos vamos a referir aquí sólo a lasmás usuales.

Matriz traspuesta

La matriz traspuesta de una da A, notado At o A' es la que se obtiene cambiando

filas por columnas. Es decir, si Amxn=(aij) Atnxm=(a ji)

Ejemplo:

−=

−

=401

312

43

01

12t

A A

Matriz adjuntaMatriz adjunta de una matriz cuadrada es la que se obtiene sustituyendo cadaelemento por su adjunto. Se nota por Aad.

Matriz simétrica: (sólo matrices cuadradas).

Una matriz A se dice simétrica cuando AT = A; aij = a ji ∀ i ≠ j

Ejemplo:

−

−

−

=

013

142

321

A

Matriz antisimetrica: (sólo matrices cuadradas).

Una matriz B se dice antisimétrica cuando BT = -B; bii =- b ji ∀ i ≠ j

Ejemplo:

−−

−

−

=

222

201

211

A




Matriz triangular superior: Una matriz triangular superior es una matrizcuadrada de la forma:

ji si0

...00

............

0 ...22211211

>=

= ij

mn

n

n

a

a

aaaaa

A

Análogamente se define TRIANGULAR INFERIOR.

Diagonal principal de una matriz cuadrada:

=

nn21

22221

11211

a...

............

...a

...a

mm

n

n

aa

aa

aa

A Son los elementos donde n es igual a m

Diagonal secundaria de una matriz cuadrada:

A=

−

−

−

bbnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

,1,2n1

21n2,2221

1n1,11211

...a

.................

a...

a...

Matriz diagonal :

Una matriz cuadrada se dice DIAGONAL si es son nulos todos los elementos queno estén en la diagonal principal; es decir:

A= jia

a

a

a

ij

bb

≠=

si0

0...00

.................

00...0

00...0

,

22

11




Matriz identidad o unidad :

Matriz cuadrada tal que aij = 1 ∀ i = j, aij = 0 ∀ i ≠ j, es decir son nulos todos los

elementos que no están en la diagonal principal y los elementos de la diagonal principal son todos 1.

I=

10...00

.................

00...10

00...01

5.4 Determinante de una matriz

Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada (orden n x n)formado por la suma de n! productos. En cada producto interviene un elementode cada fila y un elemento de cada columna. Veamos en concreto cómo sedesarrolla un determinante de 2º orden.

Aa aa a

a a a a= = −11 12

21 2211 22 12 21

Ejemplo: la matriz −= 5712 A tiene de determinante

A =−

= ⋅ − − ⋅ = + =2 17 5

2 5 1 7 10 7 17( )

Los determinantes de tercer orden se desarrollan mediante la llamada regla deSarrus:

a a a

a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

11 12 13

21 22 2331 32 33

11 22 33 21 32 13 12 23 31 13 22 31 23 32 11 12 21 33= + + − − −

En esquema+ -




Ejemplo:

Menor y adjunto

Dada una matriz cuadrada, se llama menor complementario del elemento aij al

determinante que resulta de suprimir en la matriz la fila "i" y la columna "j" enlas que está el elemento en cuestión.

Se designa Mij o por αij.

Ejemplo, en la matriz A=4 3 2

6 1 3

3 7 411

1 3

7 4 313 2

1 3 234 3

3 7

−

−

= =−

=−

M M M etc.

Y se llama adjunto del elemento aij al menor con signo + si la suma de

subíndices fila y columna es par, o con signo - si dicha suma es impar. Se designaAij. Es decir:

Aij = (-1)i+jMij

Así, en la matriz anterior A A A111 3

7 4 313 2

1 3 234 3

3 7= + = +

−= −

−

5.5 Matriz Inversa

Dada una matriz cuadrada A de orden n se llama MATRIZ INVERSA DE A y sedenota por A-1 a la matriz que verifica A⋅A-1=In

NOTA: Si |A| ≠ 0 ⇔ A posee matriz inversa (además se dice que A esinversible o regular).

Si |A| = 0 ⇔ A no posee matriz inversa (se dice que A es singular).

1217284627841646)3(473)3(12)3(3)3(276414

473

316

234

=+−+++=⋅⋅−−⋅⋅−−⋅⋅−−⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅=

−

−




Métodos de cálculo de la matriz inversa

a) Método de adjuntos:( )

A

A A

t ad =−1

b) Método de Gauss: veamos un ejemplo

Ejemplo: Calcular la inversa de

=

210

121

011

A

Método de la adjunta

Lo haremos primero por el método clásico, el que viene indicado por ladefinición: la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante.

Primero, calculamos el determinante; si el determinante es nulo, no existe matrizinversa; si no es nulo, seguimos:

1210004

210

121

011

=−−−++== A ; calculamos ahora la matriz adjunta, sustituyendo

cada elemento por su adjunto; calculamos primero los adjuntos:

11221

111)01(

10

01101

12

01

1)01(10

11202

20

012)02(

21

01

10110

212)02(

20

11314

21

12

333231

232221

131211

=−==−=−−=−==−==

−=−−=−==−==−=−−=−=

=−==−=−−=−==−==

A A A

A A A

A A A

Luego formamos la matriz adjunta:

−

−−

−

=

111

122

123

ad A y finalmente hacemos la

inversa, trasponiendo la matriz adjunta y dividida por el determinante:

−

−−

−

=

−

−−

−

⋅=−

111

122

123

111

122

123

1

11 A




Método de Gauss:

−

−−

−

≈

−

−−

≈−

−≈−≈

111100

122010

123001

111100

122010

001011

111100011110

001011

100210011110

001011

100210010121

001011

Es conveniente, se haga por el método que se haga, comprobar la inversa(multiplicada por la directa tiene que dar la identidad).

=⋅

−

−−

−

100

010

001

210

121

011

111

122

123

5.6 Sistema de ecuaciones lineales

Regla de Cramer para dos variables.

D

D x

x= D

D y

y=

Aplicación de la regla de Cramer en la solución de sistemas de dos ecuacioneslineales.

Utiliza la regla de Cramer para resolver el sistema:

=+−=−175

432 y x y x

Primero coloca las variables X y Y tomando los coeficientes de las variablesasí:




=+

−=−

1 7 5

4 3 2

y x

y x

−=7532

D

( )( ) ( )( ) 291514357275

32=+=−−=

−= D

Segundo coloca los números que se encuentran después del igual ( en azul) y los

coeficientes de las variables de y para encontrar x D

=+

−=−

1 7 5

4 3 2

y x

y x

−−= 71 34 x D

( )( ) ( )( ) 25328317471

34−=+−=−−−=

−−= x D

Tercero coloca los coeficientes de las variables de x luego los números que se

encuentran después del igual ( en azul) y D

=+

−=−

1 7 5

4 3 2

y x

y x

−=

15

42 y D

Hallar el determinante D

Hallar el determinante x D

Hallar el determinante y D




( )( ) ( )( ) 22202451215

42=+=−−=

−= y D

Colocamos nuestras respuestas en el orden indicado así =

Mis respuestas son:

[ ]

[ ]

[ ] 22

25

29

=

−=

=

y

x

D

D

D

29

25−==

D

D x

x 29

22==

D

D y

y

EJERCICIOS

1. Resuelve los siguientes ejercicios utilizando la regla de Cramer.

1)

=−

−=+

42

543

y x

y x2)

=−

=+

82

232

y x

y x3)

4)

=−

=+

2473

1652

y x

y x5)

−=+

=+

473

1354

x

y x6)

=−

=+

82

232

y x

y x

Regla de Cramer (Regla general)

D

D x

D

D x

D

D x

xn

n

x x === ..., 22

11

Uso de la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales.

=+

=+−

=−

052

13

32

z x

z y

z x

Hallar la determinante D

( ) ( )( ) ( )( )[ ] [ ] 94512251152

211

502

310

201

−=+−=−−−=

−−=−

−

= D

=−

=+

2473

1652

y x

y x




Hallar la determinante x D

( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ] 1501512053150231

500

311

203

−=−−=−−−=

−−=

−

−

= x D

Hallar la determinante y D

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] 27225292051

213323051131

23

250

31

1502 310

231

=+=++−

=−−+−=

−

+

+=

−

= y D

Hallar la determinante z

D

( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ] 66013201102

311

002

110301

=−−=−−=

−=

−= z D

Respuesta:

3

2

9

6,3

9

27,

3

5

9

15−=

−==−=

−===

−

−==

D

D z

D

D y

D

D x

z y x

Método de Gauss-Jordan:

Consiste en transformar la matriz aumentada en una escalonada reducida (oescalonada).




EJERCICIOS

1.- Utiliza la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas.

=−+

=+−=−+

12

7320

z y x

z y x

z y x

=−−

−=++=++

22

1342

z y x

z y x

z y x

=++

=+−

−=−+

12223

52

184

z y x

z y x

z y x

=++

=+−

−=−+

024

522

2

z y x

z y x

z y x

=+

=−

=+−

3

22

145

z y

y x

z y x

Tema: Adición de Matrices

1.- Dadas las matrices

−

−=

+

−−=

−

−=

14

52

21

25,

23

12C y

X

X Y B

Y

Y X A Hallar A + C

sabiendo de que A = B .

2.- Si

−−=

−=

3

2

3

4

1

1

1

5

0

2

3

7 B y A hallar A-B


−

−=

−−=

−=

34

21

21

32,

43

18C y B A Hallar X

en la ecuación ( ) ( )[ ] AC B x A x +−+=+ 242

3

4.- Resolver El sistema de ecuaciones: x-2y = A ; 2x+3y = B ; x ; y pertenecen a

los reales por los reales donde:

−

=

−=

87

812,

47

36 B A




5.- Sean las matrices:

−

−−

=

+=

−

−=

01

23

2

43

42,

3

2C y

y B

y x

x y x A Si A = B ,

Hallar A + 3C


=

−

−=

−=

510

111

14

72,

12

53C y B A Resolver

la ecuación ( ) ( )[ ] C x B A B x ++−=+ 232


−

−

=

−

=

−

−

= 12

37

54

32

,22

53

C y B A Resolver

las ecuaciones siguientes:

a) 3(x-2A) = 5(B-C) + 2(x-A-B)

b) 3(x-A+B) = 2 (x-2(B+C)) - (x+C)

8.- Si

−

−

−

=

−

−

−

=

−

−

=

10141

6512

736

191

248

576

;

638

417

213

C y B A resolver

la ecuación:

2(x-2C)=3x-C-2 (A +2B-x)

9.- Resolver el siguiente sistema: 2x+3y=A ; 5x-2y=B donde x ; y pertenecen a

los reales por los reales donde:

=

−

−=

2321

4016,

616

35 B A




Tema: Multiplicación de Matrices

1.- Si

−=

=23

12

41

2132

B y A Hallar AB ; BA.

2.- Si

−=

−

=

−

=1

5

1

1

2

4

15

12

9

0

6

3

,

0

2

3

1

4

1

C y B A . Hallar la matriz:

C B A D

−= 3

1

2

3.- Sea la matriz

−=

x senx

senx x B

cos

cossi A = B2 Hallar el valor de

3

2;2211

π = x paraaa

4.- Dados las matrices

−=

−−=

−

−=

212

541

163

41

22

31,

2

3

1

5

1

2

C y B A si E

= ABC, hallar: 322311 eeeS ++=

5.-Sean las matrices:

−

−

−

−

−

−

−=

−

=

−

−

−

=

0

1

2

1

1

1

5

2

1

2

3

2

2

1

0

1

1

1

2

1

4

1

2

1

;

134

312

231

C y B A mostrar que

AB=AC, que puede concluir de esta igualdad.

6.- Hallar la matriz

==∈ ×

2821

775/ 2

2222 A yak A




7.- La traza de una matriz cuadrada A se define como: ( ) ( )∑=

=n

i

iia ATr 1

(suma de

los elementos de la diagonal principal), si

+=

−= ii

i B y

i A 1

21

42

1hallar

la Tr(A+B) ; Tr(AB); Tr(BA).

8.- Hallar la matriz P=ABCD, donde:

−

−=

−

−

=

−

=

−

−=

0

2

1

1

2

1

0

1

0

1

2

1

0

2

1

3

0

1

0

4

1

1

3

0

1

1

2

;0

0

2

1

1

0

0

1

1

0;

1

1

0

2

1

1

D yC B A


−

−

=

−

−

=

−

−=

−=

241

332

012

1

2

4

0

1

6

2

1

4

1

0

3

;2

1

4

10

6

2

8

3;

43

12 D yC B A Si

P=ABCD Hallar la suma: 231312 22 p p pS −+=

10.- Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos cuadrados son iguales a lamatriz nula.

11.- Halla a, b, c y d para que satisfagan la ecuación:

=

4

6

8

6

9

0

1

1

0100

0010

1100

0201

2941

d cba

12.- Si

−

=

−−

−

3

5

1

013

102

120

z

y

x

calcular: x+y+z




13.- Si

−−=

− b

ad

c

b

a

0

17

5

5

11

1100

0030

2103

0211

1

1

2

2Hallar el valor de

S= a+b+c+d

14.- Si

−=

34

31 A Hallar

y

xtal que:

=

=

y

x

y

x A 3

15.- Demostrar que A(B+C)=AB+AC

16.- Dada la matriz

=2332 A Hallar el valor de A 42 −

17.- Comprobar que las identidades algebraicas

( ) ( )( ) 22222 2 B A B A B A y B AB A B A −=−+++=+ no son cierta para

las matrices:

=

−=

21

01

20

11 B y A

18.- Si

−=

−=

==

01

12

21

10;

10

0122 BA y AB B A Hallar: a)

( )2 B A + y b) ( )( ) B A B A −+

19.- Sea ( ) 22,715

24

815

23 y xy x y x f y B y A +−=

−

−=

−

−=

a) Verificar que A y B conmuten

b) Evaluar: ( ) B A f ,


=

=

=

041

162

173

9

7

8

3

1

0;

43

12C y B A Si P=ABC,

hallar la suma de 231112 p p pS ++=




21.- Si

−=

121

211

312

A hallar la matriz 23 2 AM −=

Tema: Multiplicación de Matrices

1.- Hallar el valor del polinomio f(A) de la matriz:

=

30

12 A si

( ) 43 2 −= x x f

2.- Establecerse la matriz

−

−−

−

=

421

421

421

A es idempotente.

3.- Determinar si la matriz

−−−

=

312

625

311

A es nilpotente.

4.- Determinar si la matriz

−

−−

=

032

142

263

A es involutiva.

5.- Si A y B son matrices involutivas y

−

−==

534

212

063

BA AB hallar la

traza de la matriz ( )2 B A x +=

6.- Dada la matriz

=

2154

5102

424

A hallar la matriz triangular inferior B, tal

que: BB

T

=A.




7.- Determinar si existe, la inversa de la matriz

−=

321

021

001

A

8.- Hallar el polinomio f(A) de la matriz A.

a)

−=+−=

31

21;13)( 2 A x x x f

b)

−

−

−

=+−=

253

142

321

;523)( 2 A x x x f

c)

−=−++=

42

11;328)( 23 A x x x x f

d)

−=+−−=

13

32;423)( 23 A x x x x f

9.- Sean:

−=

=+−=

43

21

02

13;3)( 2 B y A x x x f evaluar

)( B A f +

12.- determinar si

−

−

=

111

100

111

A es inversible si así lo fuera, calcular su

inversa.

13.- Hallar A-1 para la matriz

=

412

254

123

A




14.- Resolver la ecuación matricial AXB=C sabiendo que:

=

=

−

−=

109

1614

87

65;

25

13C y B A

15.- Resolver las ecuaciones matriciales:

a) AX=B ; si

=

=

95

53;

43

21 B A

b) XA=B ;

−

−=

−

−=

65

21;

45

23 B A

c) AX=B ;

−

=

−

−

−

=

8710

7210

031

;

012

423

321

B A

d) XA=B ;

−

−

−

=

−

−−=

0152

095

038

;

125

231

135

B A

Tema: Determinantes por menores complementarios y inversa por laadjunta

1.- Calcular los siguientes determinantes de orden tres: por menorescomplementarios

101

678111

322

645131

543

513123

502

111321

−

−−−




2.- Calcular los siguientes determinantes de orden cuatro:

3513

1242

2232

2101

5042

4323

2123

4232

−

−

−

−

−

−

3.- Define la matriz inversa de una matriz regular y determina por uno de los

procedimientos la matriz inversa de la matriz A: A =

769

813

524

4.-Siendo

=

0 1 1

1 0 11 1 1

A , calcula su matriz inversa y su determinante.

5.-Sea 1 1 12 1 11 1 2 Determinar su inversa

6.- Dadas 2 1 10 1 04 2 2 0 1 11 2 31 0 1 Determinar la inversa de cada

una de las matrices, si existe.

7.- .Dada

1 4 01 2 15 3 3

, determinar su inversa




Vector de origen P y extremo Q

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

(2,6)

(6,10)

PQ

P=

Q=

(0,0)

(4,4)

4

4

O

=R

6.1 Vectores el plano

Un Vector es un segmento orientado. A los puntos P y Q que definen el vector se les llama respectivamente: “origen” y “extremo” del vector.

Todo vector se caracteriza por:

Módulo: que es la distancia del punto P al Q.

Dirección: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela).

Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a (cada dirección tienedos sentidos de recorrido).

Se definen las coordenadas de un vector en el plano como:

Dos números (a,b) que sirven para pasar desde el punto P(origen) al puntoQ(extremo) del vector dado.

• “a” las unidades que me he de desplazar sobre el eje X(hacia la derecha si a es positivo y hacia la izquierda si a es negativo).

• “b” las unidades que me he de desplazar sobre el eje Y

(hacia arriba si b es positivo y hacia abajo si b es negativo).Cuando dos vectores tienen la misma dirección, sentido y módulo se dice que son“iguales”. En tal caso tienen las mismas coordenadas.

Habitualmente al vector de origen P y extremo Q se le nombra→

PQ .




Observa como el vector, de origen P y extremo Q, tiene de coordenadas:

(a, b) = (6-2, 10-6) = (4,4). Las mismas coordenadas que el vector de origen O yextremo R, ambos vectores son “iguales” pues tienen mismo módulo, direccióny sentido.

El módulo del vector es: 66.53244 22 ≈=+= →

PQ(Pitágoras).

Vector fijo.

Es un segmento orientado. Lo representamos por v por o AB . El punto A es el

origen y el punto B el extremo. Mientras no preste confusión el vector v podemos expresarlo simplemente por v.

Vectores equipolentes:

Son aquellos que tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismosentido.

v

A

B




Vector libre.

Es el conjunto formado por un vector fijo y todos los vectores equipolentes a él.

Vector nulo

Es aquel cuyas componentes son todas iguales a cero, lo representaremos por

( )0,0,0,...,0Θ =

6.2 Operaciones con vectores

Resta de Vectores:

Restar dos vectores geométricamente implica "trazar" un tercer vector desde elextremo del primero hasta el extremo del segundo. Aritméticamente restamos lascomponentes verticales y horizontales entre sí.

A = (7, 2)

B = (5, 4)

A - B = (7, 2) - (5, 4) = (7 - 5, 2 - 4) = (2, - 2)

Suma de Vectores

Si tenemos dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero (llamado en física:resultante). Hay autores que indican que una magnitud es vectorial si se los puedesumar mediante en método del paralelogramo.

Método del paralelogramo: es un método geométrico en el cual trazamos dossegmentos paralelos a la dirección de cada vector, por los extremos de losmismos. Uniendo la intersección de los vectores y de los segmentos paralelos(puntos en color) obtendremos el vector suma.




Analíticamente, se suman las componentes.

A = (0, 5)

B = (5, 4)

A + B = (0,5) + (5,4) = (0 + 5, 5 + 4) = (5, 9)

Propiedades:

1. A + B = C (al sumar dos vectores se obtiene otro vector - ley decomposición interna)

2. a. A = a ( x1 , x2) = (a x1 , a x2) (para a Î R) [el producto de un vector yun escalar da otro vector]

3. (- 1) . A = - A (opuesto) A- 1 = 1 / A (inverso)4. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)5. A + B = B + A (propiedad conmutativa)6. a . (A + B) = a . A + a . B (para a Î R) (propiedad distributiva)7. A (a + b) = A . a + A . b (para a Î R, b Î R)8. A + 0 = 0 + A = A [0 representa el vector nulo (0, 0) que es neutro en

suma]9. A + (- A) = 010. 1 . A = A (1 es neutro en producto)

11. 0 . A = 0 (0 es absorvente en el producto)Los vectores que se encuentren en el plano pertenecerán a R 2 y se llamarán"pares"; mientras los que se ubiquen en el espacio de tres dimensiones pertenecerán a R 3 (llamándose ternas), si hay cuatro dimensiones pertenecerán aR 4, así sucesivamente




Operaciones con Vectores en el plano

Dados los vectores→

PQ y →

RS del plano podemos definir las operaciones:

1. Producto de un número k por un vector (→

PQ , por ejemplo).

Se escribe →

PQk , y si →

PQ tiene de coordenadas (a, b)

el vector →

PQk tiene por coordenadas: (ka, kb).

Observa el ejemplo gráfico:

El vector → PQ tiene por coordenadas (2,4) (resta de Q menos P).

Pues bien, en este caso, el vector: →

PQ2 es un vector cuyas coordenadas se

obtienen así: →

PQ2 = 2(2,4) = (4,8).

Observa además que:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

(3,2)

(5,6)

PQ

2.PQ

-1.PQ

(3,2)

(7,10)

2.PQ

-1PQ




→

PQ2 tiene la misma dirección y sentido que→

PQ , (su módulo es doble). Sin

embargo: →

− PQ1 = (-2,-4) es un vector que: tiene la misma dirección pero

sentido opuesto a →

PQ (módulos iguales).

2. Suma de dos vectores y se escribe: →

PQ +→

RS

Si las coordenadas de →

PQ y →

S son (a, b) y (c, d) respectivamente

Las del vector: →

PQ +→

RS son (a+c, b+d).

Observa el ejemplo gráfico:

Las coordenadas de los vectores son:

→

PQ :(2,2) (se resta Q menos P) y →

RS :(2,-4) (se resta S menos R).

Su suma:

→

PQ +

→

S es un vector que se puede obtener de dos formas:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

(1,2)

(3,4)

(3,6)

(5,2)

PQ

RS

PQ+RS




Analíticamente: según hemos dicho es: →

PQ +→

RS = (2,2)+ (2,-4)= (4,-2).

Geométricamente: mediante la regla del paralelogramo: si colocamos los

vectores con el mismo origen, [(0,0) en este caso], que son dos vectores “iguales”

(mismo módulo, dirección y sentido) a los dados→

PQ y→

RS

(en el gráfico son: punteado en rojo para→

PQ y en verde para →

RS ), tendremos

que la suma de esos dos vectores →

PQ +→

RS es igual a la diagonal del

paralelogramo que los tiene por lados).

El opuesto de un vector →

PQ no es más que el producto del número k = -1 por

dicho vector, es decir: k →

PQ . es opuesto a →

PQ si k = -1.

Habitualmente el opuesto de →

PQ se escribe: →

− PQ

Ahora se puede afirmar que la resta de dos vectores es la suma de uno de ellos

con el opuesto del otro, por tanto si un vector es→

PQ y otro →

RS entonces la resta

de ambos [que se escribe así: →

PQ -→

RS ]

es la suma de →

PQ y el opuesto de→

RS , o sea, tendremos que:

→

PQ - →

S =→

PQ + ][→

− RS

Ejemplo 1.-

Dados los vectores = →

u →

B y = →

v →

C siendo las coordenadas de los puntos

( ) ( ) ( )2,65,43,1 −=== C B A . Calcula:

a) Coordenadas de →

u y →

v b) Representa + →

u →

v e indica sus coordenadas.

c) Representa →

u3 , →

− u2 y →

v0 e indica sus coordenadas




d) Representa: → →

− vu 43 y calcula sus coordenadas.

Solución.-

a)( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )→ →

→ →

=−=−−=

==−=

v BC

u AB

7,25,42,6

2,33,15,4

b) ( ) ( ) ( )→ → → →

+=−=−+=+ vu BC AB 5,57,22,3

c) ( ) ( ) ( )0,00,4,62,6,93 =−−=−=→ → →

vuu




Observa como el vector →

− u2 es el

opuesto del

→

u2 , o sea: → →

−=

− uu 22.1

d) → → → →

−+=− vuvu 4343

( ) ( ) ( ) ( ) ( )34,128,86,97,242,33 =−−=−−

Ejemplo 2.-

Sean los vectores: →

u )8,5(− →

v ( )10,41 −− y →

w ( )6,3

a) Calcula las coordenadas de → → →

+− wvu 1023




b) Calcula el valor de x e y para que se cumpla: → → →

=+ vw yu x

a) ( )104,971023 =+−

→ → →

wvu

b) → → →

=+ vw yu x igualando las coordenadas de esos vectores obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10,416,38,510,416,38,5 −−=+−⇒−−=+− y y x x y x por tanto:

−=+

−=+−

1068

4135

y x

y x

Resolviendo este sistema por reducción obtenemos: x = 4 y = -7.

Finalmente comprobamos que se cumple: 4.(-5,8)+ -7(3,6) = (-41,-10)

Hemos visto que los vectores con origen en el (0,0) y extremo en un puntocualquiera R, tienen por coordenadas (a, b) las mismas que las del punto R.

Así por ejemplo en el gráfico de la pagina 1 el punto R = (4,4) y el vector con

origen en (0,0) y extremo en R tiene por coordenadas (a, b) = (4, 4).

Este resultado nos va a permitir calcular las coordenadas de distintos puntos a losque se puede llegar mediante un recorrido vectorial.

Ejemplo 3.-

Calcula coordenadas del punto medio del segmento de extremos A = (1, 4)B = (9, 8).

Observa el siguiente gráfico:

punto medio de un segmento

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2

2

4

6

8

x

y

(1,4)

(9,8)

A=

B=

OA

OB

M

OM




división en cinco partes iguales

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

2

4

6

8

10

12

x

y

(1,2)

(16,12)B=

A

P1

P2

P3

P4

Recordemos que las coordenadas del vector ( ) ( ) ( )4,84,18,9 =−= →

AB

Observa en el gráfico como se puede llegar al punto M mediante un “recorrido”

vectorial: ( ) ( ) )6,5(4,821

4,121

=+=+=+=→ → → → →

ABOA AM OAOM

Hay ya establecida una fórmula para el cálculo del punto medio de un segmento

de extremos: ( ) ( )2211 ,, y x B y x A ==

Si ( )mm

y xM ,= es el punto medio de ( ) ( )2211 ,, y x B y y x A ==

entonces:

( )

++=

2,

2, 2121 y y x x y x

mm

en este caso sería, como ya hemos visto: ( ) ( )6,52

84,

2

91, =

++=

mmy x

Ejemplo 4.-

Calcula las coordenadas de los cuatro puntos que dividen al segmento deextremos:

A = (1,2) y B = (16,12), en cinco partes iguales.

Observa sobre el gráfico que a los puntos pedidos les hemos llamado:

4321 ,,, P P P P




El vector

( ) ( ) ( )10,152,112,16 =−= →

AB y ( ) ( )2,310,155

1

5

1==

→

AB

Como podemos ver en el gráfico tendremos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6,74,62,15

24,42,32,1

5

121 =+=+==+=+=

→ → → → → →

AB ABOP AB ABOP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10,138,122,15

4

8,106,92,15

343 =+=+==+=+=

→ → → → → →

AB ABOP AB ABOP

Recuerda que las coordenadas de los puntos 4321 ,,, P P P P coinciden con las

coordenadas de los vectores → → → →

4321 ,,, OP OP OP OP respectivamente.

6.3 Vector unitario

Es aquel vector cuya norma es igual a la unidad. Es decir si A es un vector,decimos que es unitario si y sólo si 1 A = .

Ejemplo: Pruebe si el vector 3 4

,5 5

A =

es un vector unitario.

2 23 4 9 16 25

1 15 5 25 25 25

A = + = + = = =

por lo tanto A es un vector unitario.




α

A = (a1 ,a2 )

x

y

o

Angulo directores y cosenos directores

β

1cosa

Aα =

2cosa

A

β =

6.3.1 Vector unitario en la dirección de otro vector:

es aquel vector unitario que define la dirección del vector dado, el cual vienedado por el cociente entre el vector y su norma. Es decir, si A es un vector sedefine el vector unitario en la dirección de A como:

AU =

Ejemplo: Hallar el vector unitario en la dirección del vector ( )3, 2,4 . A = −

( ) ( )3, 2, 4 3, 2, 4 3 2 4

, ,9 4 16 29 29 29 29 AU

− − −

= = = + +

6.4 Ángulos directores de un vector dado:

Son los ángulos que forma el vector con cada uno de los ejes del sistema dereferencia.

Cosenos directores: son los cosenos de los ángulos directores de un vector dado.

Según vimos en la definición de vector unitario en la dirección de otro vector tenemos que:

( )1 2 1 2,

, A

a a a aU

A A A

= = =

podemos ver que las

componentes de este vector son justamente los cosenos directores del vector A,




por lo tanto tenemos que: ( )cos , cos AU α β = lo cual verifica el por que el

vector unitario en la dirección de otro vector representa la dirección del vector

dado. Generalizando tenemos que si( )1 2 3

, , ,...,n

a a a a= sus cosenos

directores son:

11cos

aα = , 32

2 3cos , cos , ... , cos nn

a aa

A Aα α α = = = .

6.5 Vectores opuestos:

Dos vectores son opuestos cuando sus componentes correspondientes son

opuestas. Es decir, si ( )1 2 3, , ,..., n A a a a a= su opuesto será

( )1 2 3, , ,..., na a a a− = − − − − .

6.6 Vectores paralelos o asociados o ligados:

Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección, o sea, cuando suscomponentes correspondientes mantienen una misma proporcionalidad. Es decir

A y B son paralelos si y sólo si A BU U = o nB= .

Ejemplo:

Pruebe si ( )1,2 A = y ( )4,8 B = son paralelos.

Para probar tenemos que nB= ( ) ( ) ( )1,2 4,8 4 ,8n n n= = luego 1 = 4n por

tanto n = ¼

También tenemos que 2 = 8n por tanto n = 2/8 = ¼. Luego son paralelos.

De otra forma podemos decir que: BU U =

( ) ( )1,2 1,2 1 2,

1 4 5 5 5 AU

= = = +

( ) ( ) ( ) ( )4,8 4,8 4,8 4,8 4 8 1 2, ,

16 64 80 16 5 4 5 4 5 4 5 5 5 BU

= = = = = =

+ ×




Luego A BU U = por lo tanto son paralelos.

Ejemplo:

Hallar un vector paralelo a ( )3,4, 7 A = − cuya segunda componente sea igual a

12.

Tenemos que // A B nA⇒ = si ( )1 3,12,b b= entonces

( ) ( )1 3,12, 3,4, 7b b n= −

12 = 4n luego n = 12/4 = 3 por lo tanto

1 33 3 9 y 3 7 21b b= × = = × − = − por lo tanto el vector ( )9,12, 21 B = − .

6.7 Producto Escalar entre dos Vectores:

Es la función operacional que asocia a dos vectores de un mismo sistema dereferencia a un escalar que viene definido por la sumatoria de los productos delas componentes correspondientes de los vectores dados. Es decir, sean

( )1 2 3, , ,..., n A a a a a= y ( )1 2 3 3, , ,..., B b b b b= dos vectores se define el producto

escalar A∗ como:

A∗1

n

i

i

A B a b=

= ∑

A∗ 1 1 2 2 3 3 ... n n A B a b a b a b a b= + + + +

Ejemplo: Hallar el producto escalar entre ( )2,3, 4 A = − y ( )2,5, 1 B = − − .

A∗ 22 35 41 4 15 4 7

Ejemplo: Hallar el producto escalar entre ( )2,1,4, 7 A = − y ( )3,1,0,5 B = .

A∗ 23 11 40 75 6 1 0 35 28

Ejemplo: Hallar el valor de " " x tal que el producto escalar entre

( )2, 3,4 A x= − y ( )3,4, x= − sea igual a 7.




A∗ 7 → 2, 3,4 3,4, 7

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 3 4 4 7

6 4 12 4 78 16 7

8 23

23

8

x x

x x

x

x

x

− + − + =

− + − + =− =

=

=

6.8 Producto vectorial de Dos Vectores

El producto exterior de dos vectores ),( 11 ba y ),( 22 ba es el vector:

),0,0(),(),( 1221221 babababa −=×

Este producto también es conocido como producto cruz o como productovectorial.

‡ Es importante resaltar que el vector resultante está en la tercera dimensión.

Ejemplos

• )8,0,0())4)(1()2)(2(,0,0()2,1()4,2( −=−−=−×

• )8,0,0())2)(2()4)(1(,0,0()4,2()2,1( =−−=×−

• )1,0,0())0)(0()1)(1(,0,0()1,0()0,1( =−=×=× ji (éste vector se conocecomo k )

El producto exterior tiene una propiedad conmutativa de carácter especial:

),(),(),(),( 11222211 babababa ×−=×

Finalmente, si se tienen dos vectores A y B en coordenadas polares, entonces lamagnitud del producto vectorial se define como:

θ senBABA =×

En ésta ecuación, A es la magnitud del vector A, B es la magnitud del vector

B y θ es el ángulo entre ambos vectores.




La dirección del vector resultante está determinada por la regla de la manoderecha. En la regla de la mano derecha el dedo índice apunta en la dirección delvector A y el dedo pulgar apunta en la dirección del vector B, luego la direccióndel vector resultante se obtiene de la dirección del dedo pulgar cuando se cierra eldedo índice. Si el dedo pulgar apunta arriba, entonces la dirección es positiva, deotro modo negativa.

Ejemplo

Calcular el producto vectorial de los vectores que se muestran en la figura .

La magnitud del producto vectorial es:

55.353)45sen()25)(20( ==× BA

De acuerdo a la regla de la mano derecha, la dirección del vector resultante esnegativa.

El vector resultante en coordenadas rectangulares es:

)55.353,0,0( −=× BA .

6.9 Vectores Ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando el producto escalar entreellos es igual a cero.

Sean A y B dos vectores, decimos que A y B son ortogonales si y sólo si




Si A y B son ortogonales podemos ver en la grafica que: B A B+ = −‖ ‖ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

2 ∗ ‖ ‖ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

2 ∗

de donde tenemos que: ∗ 2 ∗

4 ∗ 0, por lo tanto ∗ 0 LQQD

Ejemplo: Pruebe si ( )4,3, 5 A = − y ( )2,4,4 B = son ortogonales.

Para que sean ortogonales se debe cumplir que ∗ 0 por tanto 4,3,5 ∗2,4,4 8 12 20 0 luego los vectores A y B son ortogonales.

Ejemplo: Determine el valor de x tal que ( )2,1, 3 A = − y ( ),5, 2 B x x= −

sean ortogonales.

∗ 0 ⇒ 2,1,3 ∗ , 5, 2 0

2 5 3 6 0

11 0

11

B- B

A

A - B A + B




Tema: Vectores

Noción de vector y características de un vector

1. Un vector fijo tiene su origen en el punto A(1,-4) y sus coordenadascartesianas son (3,2). Halla las coordenadas de su extremo y calcula elmódulo del vector.

2. La base de un triángulo isósceles mide 4cm y está situada sobre el eje delas x, con su punto medio en el origen de coordenadas. La altura deltriángulo sobre dicha base es de 10cm. Calcula:a) Las coordenadas de los vértices del triángulo. b) Las coordenadas de los puntos medios de los lados del triánguloc) Las coordenadas de los vectores que unen el origen con los otros dos

puntos medios.3. Un triángulo tiene vértices en A(1,2); B(-2,-1) y C(4,-3). El triángulo se

traslada sin rotar de forma que el punto A recae sobre A’(0,0). Calculalas coordenadas de los puntos B’ y C’ sobre los que recaen B y C,respectivamente.

4. Tres vértices consecutivos de un rectángulo son los puntos decoordenadas (1,1); (6,6) y (3,9). Halla las coordenadas del cuarto vértice.

5. El vector vr

tiene coordenadas (4,-5). ¿cuáles serán las coordenadas deun vector w

r

que tenga la misma dirección y el mismo módulo, pero sentido contrario?

6. Si A(2,3), B(-2,6), C(10, 4). ¿Cuáles son las coordenadas del punto D si B y CD son equipolentes?

7. Sean P (-2,4) y Q (3, -5). Calcula las coordenadas del punto R, que seencuentra siguiendo la misma línea recta que une P y Q, pero a dobledistancia de P que el punto Q. ¿Cuál es esa distancia?

8. Calcula las coordenadas del punto H, que está situado en el segmentoMN a una distancia de M igual a un tercio de la longitud del segmento.M(-4,7); N(11,-5)

9. Los lados de un rectángulo miden a y b respectivamente. Situamos dichorectángulo en el primer cuadrante de unos ejes coordenados, de formaque sus lados se sitúan sobre los ejes y su vértice inferior izquierdocoincide con el origen de coordenadas.a) Escribe las coordenadas de los 4 vértices del rectángulo. b) Escribe las coordenadas del vector que representa el desplazamiento

desde la esquina inferior izquierda a la esquina superior derecha.c) Halla las coordenadas del centro del rectángulo

10. Repite el ejercicio anterior, pero situando el rectángulo de forma que suslados sean paralelos a los ejes, y que el centro del rectángulo se sitúesobre el origen de coordenadas.

11. Dos puntos opuestos de un hexágono regular tienen coordenadas L(2,13)y L’(4,5). ¿Cuáles son las coordenadas del centro del hexágono?




12. Un vector tiene por extremos los puntos A(2,3) y B(8,6). Calcula lascoordenadas de los puntos que lo dividen en 4 partes iguales.

13. Dados los vectores libres vr

= (3,1); wr

= (-2,0) y ur

= (-1,5), calcula

analíticamente y representa gráficamente los siguientes vectores:a) vr + wr b) vr + wr +ur c) 2ur - wr d) ur -

2

1( v

r- w

r)

14. Halla el módulo de los vectores siguientes:

xr

= 3 ir

+ 4 jr

; yr

= 5 ir

–12 jr

; xr

+ yr

; xr

– yr

15. Halla el producto escalar vr

. wr

en los siguientes casos:

a) vr = 4; 6=wr ; Θ = 450

b) )3,1(=vr

; )4,34( −=wr

c) vr

=3; wr

=(2, 5 ); Θ = 600

d) )1,1(=vr

; )0,2(−=wr

16. Calcula:a) (5 i

v+ 2 j

r).(7 i

v- 3 j

r)

b) -3jr

.(-2 iv

+ 11 jr

)

c) (34 iv

- 7856 jr

). iv

17. Dados los siguientes pares de vectores calcula sus módulos, su producto

escalar y el ángulo que forman (para el ángulo, usa una calculadora)a) (3,4) , (-8,6) b) (3,-1) , (2,6)

c) (3,5) , (1,-6) d) (2,-3) ,

−2

1,

3

1

e)

−+

−

2

2,2

2

1 ,

2

2,2

2

1

f) (3 2 ,-3) , ( 2− ,2)




18. Determina el valor de k para que vr

. wr

sea igual a:a) 4; siendo v

r= (k,1) , w

r= (2,-3)

b) –2; siendo v

r

= (k,2) , w

r

= (3,k)

19. Determina el valor de k para que det(vr

, wr

) sea igual a:a) 4; siendo v

r= (k,1) , w

r= (2,-3)

b) –2; siendo vr

= (k,2) , wr

= (3,k)

20. Calcula k para que z v

= 3 ir

+ 4 jr

; yr

= k ir

–2 jr

a) Sean perpendiculares

b) sean paralelos

c) formen 450.

21. Calcula el valor de k para que los vectores 1,3 y )k ,12− formen120º

22. Sean los vectores vr

= (3,y) y wr

= (x,5). Calcula x e y de manera que

ambos vectores sean perpendiculares y 13=wr

23. Calcula el ángulo formado por los vectores ( )13,13 +− y

( )13,31 +− 24. Calcula los ángulos internos del triángulo de vértices A = (6,0) ; B =

(3,5) ; C = (-1,1).25. Dados z

v= (-1,k) e y

r= (2,2). ¿Hay algún valor de k tal que el ángulo

entre z v

e yr

sea de 300? ¡Piensa representando gráficamente!

26. Dados los vectores vr

= (1,5) y wr

= (3,-1), halla un vector z r

de manera

que se verifique: z r .vr = 1 y z r es ortogonal a wr .27. Sabiendo que v

ry w

rson unitarios (de módulo 1), demuestra que v

r+ w

r

es ortogonal a vr

- wr

.28. Comprueba que el vector que une los puntos medios de los lados AC y

BC del triángulo A(3,5), B(-1,-1) y C(6,0) es paralelo al lado AB y demódulo su mitad.




O

Q

P

a

Tema: Operaciones con vectores, vectores ortogonales, perpendiculares,paralelos y modulo de un vector

1. Un vector que va de R (3,5) a S(x,y) Representa al mismo vector que va deS(x,y) a T(8,1). Hallar S(x,y)

2. En la figura adjunta se tiene: 3 xOP = y y xOQ2= . Si

→→

= ba , siendo

).6,19( 23 xy yb ++=

→

Hallar el valor de x + y

3. Dados: ),4,3( −=→

a )1,8( −=→

b y ),5,2(−=→

c hallar el vector →

v si:

a. →→→→

+−= cbav 23

b. )(2

1

4

→→→→

−−=cbav

c. →→→→

+−= cbav 3)(2

4. Hallar el vector →

x en las siguientes ecuaciones:

a) )5,3()3,1(52)2,0(3 −−=−+−→

x

b) )2,1(4)5,6(2)12,15( −=+−+−→

x 5. En las siguientes relaciones hallar, si existen, todos los números reales r y

sa. r(-2,3)-s(8,1)=(16,15) b. r(5,1)+s(-3,5)=(-2,8)c. r(-2,3)+s(4,-6)=(0,2)

6. Dados los vectores )22,53( +−−=→

y x xa y

)23,2( y x y xb −−−−=→

Hallar “x” e “y” de modo que:→→

= ba 43

7. Si )4,32( mnnma −−=→

y ),3,2( −=→

b hallar los valores de “m” y “n”

que hacen que:→→

= ba 5




O P

Q

a

8. El vector )2,3(=→

v es el vector de posición del segmento AB, cuyo punto

medio es C(3,1). Hallar las coordenadas de los extremos del segmento . AB

9. Sean los puntos P(5/2,5), Q(1/3, 13/4), R(-16/5, 7/2) y S(x,y). Si PQ y RS representan al mismo vector, calcular el valor de 30x+80y

10. Si )6,7( −=→

v el vector de posición del segmento B y

3,

3

5C el punto

de trisección más cercano de B, de dicho segmento. Hallar las coordenadas de Ay B.

11. Sean A(a,-2), B(2,4), C(8,-3) y D=(x,y)/y =2x+1. Si B =CD , hallar elvalor de a-x.

12. En la figura adjunta se tiene:3

xOP = y xOQ −= 6 Hallar

→

a , si

),9( 3 y y xyb −=

→

y→→

= ba

13. Hallar la magnitud del vector de extremos A(1,3) y B(-2,7)

14. Hallar la magnitud y dirección del vector )4,3(−=→

v

15. Expresar el vector )33,3( −=→

v en términos de su magnitud y de su ángulode dirección.16. Hallar un vector unitario que tiene la misma dirección y sentido del vector

)7,3(−=→

v 17. Hallar un vector de módulo 10, que tenga la misma dirección y sentidoopuesto al vector que va de S(4,2) a T(1,6)

18. En los ejercicios de la “a” a la “d”, se dan las coordenadas de los puntos A y

B. Expresar cada vector ABv =→

en términos de su magnitud y de su ángulo dedirección.a. A(-3,4) , B(-5,6)

b. )3,12( − A , )4,27( − B

c. )4,35( A , )5,48( B

d. )15,123( − A , )60,20( − B




e. Hallar un vector →

v cuya magnitud es igual a la del vector )3,4( −=→

a y

cuya dirección es la misma que la del vector )3,1(=→

b

f. Hallar un vector de modulo 10 que forma un ángulo de 37º con el eje X positivo. (Sug. Cos 37º=4/5)g. Hallar un vector de modulo 15 que forma un ángulo de 53º con el eje Y positivo. (Sug. Cos 53º =3/5)h. Hallar un vector que tenga la misma magnitud del vector que va de A(-2,3) aB(-5,4) y que tenga el sentido opuesto al vector que va de S (9,-1) a T(12,-7)

i. Hallar un vector →

v de longitud 36 que tiene la misma dirección de unvector que forma un ángulo de 30º con el sentido positivo del eje X

19. Dados los vectores )4,1(−=

→

a y )2,3(=

→

b , hallar

→→

+ ba y construir unagráfica que muestre las representaciones ordinarias correspondientes a losvectores.

20. Si )2,4(=→

a y )3,3(−=→

b , hallar la diferencia de→→

− ba y trazar una

gráfica que muestre la representación ordinaria de los tres vectores.

21. Sea→

x un vector tal que (3,-4)= )6,1( −+→

x . Si (3,-2) = t ),1,1(−+→

r x hallar

el valor de 3r + 6t.

22. Dados: )2,2(−=→

a , )2,3( −=→

b y )1,1(−=→

c , resolver la ecuación:

3→

a -

+

−→→→

acb 2232 +→→→

+= xc x 23 .

23. Mediante segmentos orientados demostrar la propiedad

).()(:3

→→→→→→

++=++ cbacba A

24. Sean )3,2(−=→

a y ).3,4( −=→

b Un segmento dirigido que representa a

−→→

ba6

1

3

2tiene por punto inicial S (5,-3/2); hallar el punto final.

24. Se tiene 2 (2,-3) +→

c = (3,-5) + (a,7) y→

c está sobre la recta L: y = x+2. Si A

(3,5) y B (-2,6), hallar el punto tal que . AB PC −=




O M

L

s

26. Los vectores→→

ba, y ,2 Rc ∈→

cumplen que:→→→

=+ cba 2 y .23→→→

=− cba

Siendo→

a un vector unitario, hallar la norma de→→

+ cb .

27. En la figura adjunta se tiene: xOM 2

5= y 2/27=OL Si

)44,2( 223 y x xa +=

→

y

−=

→

xy xyb3

4,

3

1 2 , Hallar x-y de modo que: 2

→→→

−

= ba s 2

3

1.

28. Sea el hexágono regular de lado a, mostrado en la figura. Al sumar

AE y DC AC BA ,, se obtiene un vector .→

s

29. En el triángulo ABC, M es un punto de AC tal que MC AM

2

3= Si la

horma del vector M es 2, hallar la norma del vector: BC BAv 32 +=→

B

A CM

B CD

EF

A




30. Determinar si los vectores dados son paralelos.

a. )1,4( −=→

a , )3,12(−=→

b

b. )6,3( −=

→

a , )2,1(=

→

b

31. Demostrar que si 2, Rba ∈→→

son vectores paralelos y θ ≠→

b entonces existe

un escalar r para el cual se tiene:→→

= br a

32. Demostrar que si:→

a | |→

b ,→

b | |→

c y→→

→≠ ab θ | |→

c

33. Demostrar que si→→→

+= cbd y→

b | |→

a , entonces:→

c | |→

a

34. Si→

a =(1-2m,1) y→

b (-7, m+2), determinar los valores de m, de modo que→a sea paralelo a

→b .

35. Si→

a =(1,18) lo expresamos como→

a =→

x +→

y , donde→

x | |→

b e→

y | |→

c . Si

)4,1(−=→

b y ),3,2( mmc =→

hallar el vector →

x .

36. Se tiene que:→

a = (m,2m),→

a -→

b =(2m,p) ,→

b | |→

a y la norma de→

a -→

b es 20.

Hallar la norma de→

b

37. El vector

→

a = (3,0) se descompone en dos vectores

→

b y

→

c paralelos a losvectores

− r r

2

3,2 y ( ) p p 3,− respectivamente, donde r ≠ 0 y p ≠ 0. Hallar la

longitud de→

b y→

c

38. Dados los vectores ),2,2( aa =→

),,6( nb =→

).3,( ncc =→

Si→

a | |→

b | |→

c ,calcular el valor de an+c

39. Si )20,5( −=→

b y )3,12(=c ; Hallar | |→

1v | | . | |→

2v | | , siendo→

1v | |→

b ,→

2v | |→

c y→

1v +→

2v = (-7 , 4 ).




Tema: Producto vectorial

1.- Si

3 2 , 2 1 , 2 2.

Hallar:→→→

×

× cba ;

××

→→→

cba

2.- Determinar el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores 2 6 3 4 3 3.- Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por

( ) ( )→→→→→

×=−== vuw yvu 0,1,2;3,2,1

4. -Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por

( ) ( ) ( )4,1,22,7,1;1,1,3 −==−=→→→

c yba

5.- Calcular el valor de m para que sean coplanares

( ) ( ) ( )1,5,43,,1;1,3,2 −−==−=→→→

w ymvu

6.- Dados→→→→→→→→

++−=+−= k jivk jiu 23;2 comprobar que los vectores→→

× vu y→→

× uv son opuestos y hallar su modulo

7.- Hallar el área del paralelogramo que forman los vectores

( ) ( )2,4,1;2,1,7 −=−=→→

ba

8.- Hallar un vector perpendicular a ( ) ( )0,3,1;1,3,2 −==→→

vu y que seanunitarios

8.- Hallar un vector ortogonal a ( ) ( )1,0,2;0,1,1 =−=→→

vu y cuyo modulo sea

24




9.- Calcular el volumen del paralelepipedo definido por

( ) ( ) ( )1,6,02,4,7;1,5,3 ==−=→→→

w yvu

10.- Hallar el valor de “x” para que los vectores

( ) ( ) ( ) xw yvu ,14,12,4,7;1,5,3 ==−=→→→

sean coplanares (el volumendeterminado por ellos sea cero)

11.- Hallar el producto vectorial de ( ) ( )2,1,4;6,7,3 −=−=→→

vu

12.- Hallar el área del triangulo determinado por los vectores

( ) ( )2,1,4;6,7,3 −=−=

→→

vu




REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

• FIGUEROA GARCIA RICARDO, Vectores y Matrices . Lima America1998

• MACHADO BEJAR NILTON, Algebra, Lima – Peru, EdicionesCPUNALM 1994

• SWOKOWSKI, EARL W. (1998). Cálculo con Geometría Analítica. México. Editorial Iberoamericana.

• LEHMANN CHARLES H. (1980). Geometría Analítica. México.Editorial Limusa

• LEITHOL, LOUIS. (1996). El Cálculo con Geometría Analítica. México.Harla.

• FIGUEROA GARCIA RICARDO, Matemática Basica I . Lima America

1988

guÍa de Álgebra

Documents