guia 2 angulos en general

ESCUELA NORMAL SUPERIOR “SAGRADO CORAZÓN”ARANZAZU - CALDAS

DECIMO

TRABAJEMOS LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN ANGULOS EN GENERAL

LOGRO: Aplica Diseña estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos

INDICADORES DE LOGRO:1. Toma decisiones sobre las unidades y las escalas apropiadas para las situaciones

problema que implican la medida.2. Analiza la precisión, la exactitud y el error aproximado en situaciones de medida

donde se involucren conceptos 3. Aplica las razones trigonométricas en la solución de problemas.4. Identifica en qué momento un problema dado puede resolverse en la ley de seno o

del coseno.5. Trasforma las medidas de un ángulo de un sistema de medida a otro.6. Aplica el concepto de funciones complementarias y ángulos de referencia en la

circunferencia unitaria

MOTIVACION Y EXPLORACION DE IDEAS PREVIAS:

A. Toma el geoplano circular ubica los siguientes ángulos: 0o, 10o, 20o, 45o, 50o , 60o, 90o. Teniendo en cuenta cada dato obtén lo dado en la siguiente tabla: ( toma la circunferencia como si fuera de 1 cm de radio)

Angulo X (cm) Y (cm) X/y (cm) y/ x (cm) 1/x ( cm )

1/y (cm)

0

10

20

45

50

60

90

Ahora compara los datos de la tabla anterior hallando lo siguiente en la calculadora

Angulo Seno Coseno Tangente cotangente

secante

cosecante

0

10

20

45

50

60

90

Alvaro Hernán Jaramillo Jaramillo


DECIMO

De acuerdo con lo anterior decide si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas. Justifica tu respuesta.

Las razones trigonométricas se pueden hallar en el plano cartesiano. La razón del seno se puede relacionar con el eje x. La razón del coseno se puede relacionar con la función de la cosecante. La secante es la razón entre el radio de la circunferencia(hipotenusa) y el eje x.

B. Ahora ubica los siguientes ángulos en el geoplano circular: 45o, 135o, 225o,, 315o, luego recolecta los siguientes datos:


secante cosecante

45

135

225

315

¿Qué puedes concluir de los datos obtenidos anteriormente? ¿Por qué crees que sucede esto? Explica el por qué algunos datos son negativos y otros positivos. Propón otro conjunto de ángulos donde suceda lo mismo.

CONSTRUCCIÓN Y ENRIQUECIMIENTO DEL CONOCIMIENTO:

A. gráfica un ángulo 50 grados que rote con las manecillas del reloj, otro que gire 50 grados al contrario del giro de las manecillas del reloj. ¿Terminaron en el mismo lado? ¿Qué ángulos debes rotar: uno al contrario de las manecillas del reloj y otro en la dirección de las mismas, para que tengan el mismo lado final?

B. En el geoplano circular gráfica los siguientes ángulo: 30o, 390o, 750o. ¿Qué tienen en particular estos ángulos? ¿Crees que existen otros ángulos de este tipo?, ¿Cuáles? .Este tipo de ángulos son llamados coterminales.

C. Ubica en geoplano circular el ángulo 90o, luego mide el arco que forma el ángulo y divídelo con la medida del radio. Este dato obtenido ya no es en grados sino en radianes, otro sistema de medición de ángulos.

D. Ahora calcula el valor en radianes de un ángulo de 360o, 180O, 270O.

E. Compara los datos anteriores con las siguientes expresiones: Л / 2, 3*Л/ 2, 2*Л . Recuerda que Л es equivalente a 3.14 aproximadamente. ¿Qué conclusión puedes obtener?, ¿Se puede concluir qué un ángulo de 90 grados es equivalente a 1.5 radianes o a Л / 2 radianes?

Analiza el siguiente esquema


ANGULO

ANGULO POSITIVO

Si la rotación se realiza en el mismo sentido de las manecillas del reloj.

Un ángulo se considera en posición normal, cuando, en un plano cartesiano, el ángulo tiene su vértice sobre el origen y su lado inicial esta sobre el eje x.

Desde el punto de vista de la geometría un ángulo se define como la unión de dos rayos o semirrectas, con un origen común. Las semirrectas se denominan lados y el origen de denomina vértice del ángulo.

En el contexto de la trigonometría, un ángulo se define como la rotación de una semirrecta sobre su origen. En posición inicial, esta semirrecta recibe el nombre de lado inicial y, en posición final, recibe el nombre de lado final.

ANGULO NEGATIVO

Se denomina así cuando el lado inicial del ángulo rota en sentido contrario de las manecillas del reloj

ANGULOS DE REFERENCIA

ANGULOS COTERMINALES

Son aquellos ángulos donde le tamaño de la rotación no tiene restricción; así, dos ángulos distintos en posición normal, pueden tener el mismo lado final.

Son aquellos ángulos agudos positivos que tienen iguales valores que otros ángulos dados.

MEDCION DE ANGULOS

SISTEMA SEXAGESIMAL

SISTEMA CICLICO

En este sistema el ángulo se mide en grados.. El ángulo generado por una rotación completa de uno de sus lados, se denomina ángulo de giro. La medida de un ángulo giro es de 360 grado.

El grado sexagesimal (1 o) se define como 1 / 360 parte de la rotación total.

En este sistema el ángulo se mide en radianes. El ángulo generado por la rotación se calcula dividiendo la longitud del arco sobre el radio de la circunferencia, así:

Θ = longitud arco / radio

Para pasar de un sistema a otro se utiliza las siguientes conversiones: Para pasar de grado a radianes se multiplica el ángulo por:Л / 180 Para pasar de radianes a grados se multiplica por:

180 / Л


DECIMO

F. Con ayuda del transportador construye una circunferencia de radio igual 1 cm y llena la siguiente tabla de valores.



DECIMO

TABLA 1

Dado lo anterior el lado Terminal de θ = 3*Л / 2 interseca a la circunferencia unitaria en (o, 1), por tanto:

Cos (3*Л / 2) = cos 270o = 0, dado que en este ángulo el eje x es 0.

Hay algunas funciones que no están definidas en algunos ángulos. ¿Cuáles son los ángulos y de qué funciones? , ¿Por qué crees que sucede esto? Demuestra la anterior hipótesis.

G. Dado que los eje x y Y toman cierto signo de acuerdo con su ubicación las razones trigonométricas también las toman en el plano cartesiano y al ser ubicadas en él reciben el nombre de funciones circulares. De acuerdo con tus conceptos trata de llenar la siguiente tabla con los signos de las funciones circulares de acuerdo con su ubicación:

TABLA 2

Como vimos en la guía pasada, cuando las funciones se definen en términos de un triángulo rectángulo son llamada razones trigonométricas; ellas sólo son definidas cuando el ángulo es agudo.



Cosecante

secante

0

90

180

270

360


Cosecante

secante

0 < θ < 90

90< θ < 180 Positivo ó >0

180 < θ < 270

Negativo ó <0

270 < θ < 360


DECIMO

En el ejercicio anterior se elaboró una circunferencia cuyo radio es = 1 cm. Y es llamado la circunferencia unitaria.

En ella se definen cada una de las funciones trigonométricas así:

Seno θ = Y / r Coseno θ = X / r Tangente θ = Y/X Cotangente θ = X/Y Secante θ = r /X Cosecante θ = r / Y

APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO:A. El siguiente dibujo , representa el sistema que tiene un pequeño pueblo para sacar

agua del río:

¿Cuál es el ángulo de inclinación que tiene cada uno de los baldes? Uno de los habitantes del municipio asegura que el ángulo de la pala Nº 8 tiene

igual seno que el ángulo de la pala Nº 2. Explica con procedimientos dicha afirmación.

El molino da 30 vueltas por minutos. De lo anterior se puede concluir que:

a. El molino da 3 vueltas por segundo.b. Cuando el molino ha girado un ángulo de 10620 o ha transcurrido 55

segundo y medio.c. El molino en un minuto ha rotado un ángulo que es coterminal con 180o

d. El molino da 2 vueltas por minuto.

En los últimos años la población del pueblo ha crecido y por esto el agua que surte el molino ya no es suficiente .Para superar esta situación se propone duplicar el número de baldes que hay en el molino. Algunos habitantes hacen las siguientes propuestas:

I. Colocar un balde cada 15 o

II. Duplicar la distancia del centro del molino a cada cable.



DECIMO

III. Colocar un balde cada 60o

IV. Disminuir la distancia del centro del molino a cada balde, a su mitad.

Discute con tus compañeros ¿cuál de las siguientes proposiciones es viable y por qué?, ¿Argumentar por qué las demás no sirven para dar solución a la situación?

En un pueblo vecino se va a construir un sistema similar, pero para logara una mayor eficiencia se necesita, duplicar la distancia del centro del molino al cada cable.¿Se puede afirmar que el tamaño del nuevo molino será mayor que el del molino inicial?, ¿en qué proporción quedaría el nuevo tamaño del molino con respecto al inicial?

Se desea reforzar la estructura del molino, para esto se colocan varillas en forma perpendicular, desde el punto donde se une cada balde con le molino hasta el eje principal. Elabora una gráfica en el plano cartesiano que representa las longitudes de dichas varillas.

En el dibujo 1 cm. equivale a 1m del molino real. Para que los ángulos formados por los segmentos que van del centro a cada balde tengan la misma medida, en le dibujo y en le molino real, se necesita que:

a. En el dibujo los ángulos sean 100 veces más pequeños que en el molino.b. En el dibujo los ángulos sean 100 veces más grandes que en el molino.c. En el dibujo en ángulo de 1o equivalga a un ángulo de 100o en el molino.d. En el dibujo y en el molino los ángulos tengan la misma abertura.

¿El molino al girar esta recorriendo ángulos negativos o positivos El momento de iniciar el movimiento del molino la pala numero 3 ha dado tres

cuartos de rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj, después de uno instantes giro nuevamente siete medios, al volver a observar la pala se encontraba a diez tercios del último movimiento. Hasta ese momento, ¿cuál es el ángulo en radianes que ha recorrido dicha pala?

B. Observa la siguiente figura:

¿cómo cambia el valor del seno del ángulo cuyo vértice es A, con relación a la medida del lado opuesto?

¿cómo cambia el valor del coseno de este ángulo?



DECIMO

C. Con la ayuda de la tabla 2 busco en cada caso un ángulo que satisfaga la condición.

a. Sen θ < 0 y tan θ > 0 b. Sen θ < 0 y Cos θ < 0 c. Sen θ > 0 y cot θ < 0

d. Tan θ > 0 y cot θ > 0 e. SEC θ > 0 y Sen θ < 0 f. cos θ < 0 y Sen θ < 0

D. Con ayuda de la tabla n 1 hallo el valor de cada una de las siguientes expresiones, sin utilizar calculadora.

a) Sen 90 + csc 90 b. tan 180 – cos 90 + 4*sen 90 c. 3 * sen Л – 1/3 tan 360 + 1/5

b) Sen 3*Л/2 + cos 2*Л – 1/5 sen Л/2 e. 3 *senЛ+sen Л/2 + 4 cos 0 – 3 cos Л

c) ¿qué ángulos tendrían que tener cada una de las funciones trigonométricas para que al sumarlas su valor sea 0?, ¿para que sea 2?, ¿para que su resultado sea indefinido?

E. ¿por qué no es posible determinar un ángulo cuyo seno y cosecante sena de signos contrarios?

Escribo parejas de funciones para las cuales lo anterior también sea cierto?

Analio y determino el signo de las funciones trigonométricas de algunos números reales. Verifico las respuestas con ayuda de la calculadora en MODE RAD.

-Sen (3) - Cos (2) - Tan (3/2) - cos ( 5 ) - Tan (2)

Verifico si algunas de las siguientes ecuaciones tiene solución en la calculadora. Determino el por qué algunas de ellas no tiene solución:

Ecuación Cos θ= 0.8

Sen θ= 0.8

Cos θ= 1.1

Sen θ= 1.1

Cos θ= -0.9

Sen θ= -0.9

Cos θ= -1.1

(Θ)

Valor del ángulo en

grados

EVALUACIÓN Y COMUNICACIÓN DEL CONOCIMIENTO:

Seleccione la respuesta correcta según corresponda:



DECIMO

El minutero de un reloj mide 15 cm de largo. Los centímetros que se desplaza después de transcurrido un cuarto de hora es:

a. 15 Л/12cm b. 15 Л/2cm c. 12 Л/15cm d. 2 Л/15cm

La curva de una vía de ferrocarril se va a trazar describiendo una porción de circunferencia. El radio que debería usarse si la trayectoria cambia de dirección 30 grados en una distancia de 120 metros es:

a. 720 m. b. 6Л/120m c. 720/ m. d. 120Л/6m

Una llanta de 40 cm de radio va rodando sobre una superficie plana desde un aposición A hasta una posición B . La distancia que recorre la llanta , para llegar hasta la posición B, si ha dado 22 vueltas , es:

a. 22Л/40cm b. 880Лcm c.44Л/40cm d. 1760Лcm

H. responde las preguntas 1 y 2 de acuerdo con la siguiente información.

En un recipiente de forma cónica de 1 metro de radio y 2 metros de altura se vierte agua a una velocidad constante como se ilustra en la figura:

1. En el instante en que el radio de la superficie del agua es 0.25 metros , dicha superficie , ¿a qué distancia se encuentra de la tapa del tanque? Propón un procedimiento para dar solución.

2. Si el volumen de un cono es igual a V= 1/3 *h** r2 , donde h es altura, r es radio , indica la cantidad de agua que hace falta para llenar el tanque cuando el nivel del agua en el tanque alcanza una altura de 1 metro.


guia 2 angulos en general

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