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Matemática C. E.” Daniel Alcides Carrión “
Lic. William R. LUQUILLAS PIO
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FORMACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (ℝ)
La unión de los conjuntos de números racionales e irracionales recibe el nombre de conjunto de números reales. Al conjunto de los números reales se representa así: ℝ Es decir ℚ ∪ I = ℝ: Gráficamente Citemos algunos elementos del conjunto R:
R = {0,4; 2 ; 1,57; 3 ; 1 ; 5−−−− ; π; e; 32−−−− ; 0,45;
0; 3 8−−−− ; -2,56; 47 ; ...}
� NOTASNOTASNOTASNOTAS
I. Aún existe números que no están dentro de R
como por ejemplo: 3 8−−−− = ? (no tiene solución en R) 3 8−−−− = ? (no tiene solución en R) 3 25−−−− = ? (no tiene solución en R) En general n a = ? (no tiene solución en R) donde: n : par a : número negativo
� LOS NÚMEROS REALES EN LA RECTA
NUMÉRICA
El CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES está dado por la unión del CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES con el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES. Es decir: R =
Q ∪ I Cada uno de estos conjuntos pueden ser representados en la recta numérica.
Para los números naturales (N): Para los números enteros (Z): Para los números racionales (Q):
Si en la recta numérica donde hemos ubicado a los números racionales, ubicamos también a los números irracionales (con aproximación al décimo), tendremos entonces representados a los NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA. Así:
ℕ ℤ ℚ
I
ℝ
0 1 2 3 4 5 ...
0 -1 -2 -3 -4 -5 +1 +2 +3 +4 +5 ... ...
0 -1 -2 -3 -4 -5 +1 +2 +3 +4 +5 .......
.......
10/3 3/2 0,5 -5/2
0 -1 -2 -3 -4 -5 +1 +2 +3 +4 +5 ....... .......
0,5
- 2 2 3
5/2 3/2 10/3
Matemática C. E.” Daniel Alcides Carrión “
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Comentarios alrededor de la RECTA NUMÉRICA para ℝ : ♦ Si sólo ubicamos a los NATURALES o a los
ENTEROS en la RECTA NUMÉRICA, no a todos
los puntos les corresponde un número ℕ o ℤ. ♦ Si ubicamos a los RACIONALES o a los
IRRACIONALES o a los REALES en la RECTA NUMÉRICA, cada uno de sus infinitos puntos están asociados con cada uno de los infinitos
números ℚ, I o ℝ.
♦ Los números ℕ, ℤ, ℚ, I, ℝ situados a la derecha del CERO siempre son POSITIVOS. Los que se sitúan a la izquierda del CERO siempre son NEGATIVOS. Así: Si a es un número real a > 0, significa que el número a es positivo. a < 0, significa que el número a es negativo.
♦ Los conjuntos ℕ, ℤ, ℚ, I, ℝ representados en la recta numérica están ordenados de menor a mayor de izquierda a derecha, a lo largo de toda la recta. Por eso decimos que el conjunto R es ORDENADO. Es decir:
♦ Entre dos números reales, por más cerca que se
encuentren el uno del otro en la recta numérica, siempre hay otro número real. Esto nos permite afirmar que entre dos números reales existen otros infinitos números reales; por lo tanto decimos que el conjunto R es DENSO.
♦ Todo número real tiene un punto asociado a él en la recta numérica; por eso decimos que el conjunto R es COMPLETO.
� COMPARACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Si tenemos dos números reales, siempre es posible saber cuál de ellos es mayor. Para esto bastará con ubicarlos en la recta numérica y tomar el de la izquierda como el menor de ambos números. Así:
Si no los ubicamos en la recta numérica, es posible comparar dos números reales considerando lo siguiente: � Si los dos números reales son de signo distinto,
será mayor el de signo positivo.
Ejemplos: (1) -1,5404 < 2 (2) 7 > 11−−−−
� Si los dos números reales son del mismo signo,
será conveniente expresarlos como decimales, para establecer el número real mayor, para ello deberá obtenerse una misma cantidad de cifras en la parte decimal y luego ignorando la coma decimal se les compara como si fueran números enteros. Ejemplos: (1) 5 > 3 porque 2,2360679... > 1,7320508
(2) Comparar 37
−−−− y 5
Escribiendo en decimales: 37
−−−− = -2,3333...
5 = -2,6457513 Entonces –2,333... > -2,6457513..., ya que : -2,3 > -2,6
• Completa el siguiente cuadro con > o < según corresponda
Número real a
> ó < Número real b
2 5
π 10
0,3 0,33
-7,55 -7,56
20,05 20,5
22 0,70
3,2 -3,2
0,42356 0,42456
0 -1/2 -6 +1
2 10
a
0
b a < b
Ejercicios de aplicación
Matemática C. E.” Daniel Alcides Carrión “
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Número real a
> ó < Número real b
-7,563 -7,463
– 2 2
0,72 0,7272
-6,1515
-6,15
4,5 4,51
-5,21 -5,2
1/3 – 0,33
A. Ubicar aproximadamente los siguientes números
reales en la recta numérica.
1. π ; 5,2 ; 7,1 ; -6,2
2. 7/2 ; 1/5 ; 0,5 ; 3,1 ; -1,6
3. 4,2 ; -0,1 ; -1 ; 0 ; -3
4. 1,6 ; 13 ; 3− ; 1,4 ; -8
B. Resuelve los siguientes problemas
5. Señalar las afirmaciones correctas:
I. ℚ ∪ Ι = ℝ III. ℕ ⊂ ℤ
II. ℤ ⊂ ℚ IV . ℚ ∩ I = φ
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) II y III e) Todas
6. El número real que le sigue a 1 es: a) 1,1 b) 1,00001 c) 2 d) 1,01 e) Indeterminable
7. ¿Cuál de los siguientes gráficos es correcto?
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo IV e) I y IV
8. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?
a) –72 es número entero
b) –0,0775 es número real c) 3,7 es número racional
d) 51/2 es racional e) 2 : 2 tiene como resultado irracional
9. Señalar las afirmaciones incorrectas:
I. 3 es irracional porque lleva raíz.
II. ℤ ∩ ℕ = ℕ
III. ℚ ∪ I = ℝ
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III
10. ¿Cuál es el número real que antecede a 6? a) 5 b) 5,9 c) 5,99 d) 5,999 e) Indeterminable
11. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? I. A todos los puntos de la recta numérica en
N les corresponde un número. II. A todos los puntos de la recta numérica en
Z les corresponde un número. III. A todos los puntos de la recta numérica en
R les corresponde un número racional. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) Ninguna
ℕ ℤ ℤ
ℚ
ℤ
ℚ
ℝ ℚ I
IV III
I II
TAREA DOMICILIARIA
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12. Dar un número real comprendido entre 71 y
21
a) 91 b)
289 c)
111
d) 53 e)
54
13. Señalar la afirmación correcta:
I. El conjunto R es denso
II. El conjunto R es ordenado
III. El conjunto R es completo
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) I y III e) Todas son correctas
14. Señalar la afirmación correcta:
I. 11 es irracional.
II. π es un número no racional
III. 36 es un número irracional
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) I y II e) I y III
15. Marcar Verdadero (V) o Falso (F)
� 5 ∈ ℝ ( )
� 21
−−−− ∈ ℚ ( )
� 3,2 ∈ I ( )
� -1,6 ∈ ℝ ( )
� ℝ ⊃ Z ( )
� ℕ ⊂ ℚ ( )
� ℚ ⊂ ℝ ( )