guÍa “trabajo en casa” (semanas del 13 area / …

INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO NACIONAL DE PROMOCIÓN SOCIAL

Creada mediante decreto 000255 de 01 de julio de 2003 Educación Preescolar – Básica- Media Técnica y Académico

San Vicente del Caguán

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GUÍA “TRABAJO EN CASA” (Semanas del 13 Octubre al 04 Diciembre)

AREA / ASIGNATURA: TRIGONOMETRIA GRADO: DECIMO PERIODO: IV

DOCENTE CORREO CELULAR

LUIS ALBERTO SAPUYES [email protected] 3208353988

MODO DE ENTREGA

FECHA DE ENTREGA

Cada estudiante entregara los trabajos por el medio que ha acordado con el docente (WhatsApp o Teams) Al finalizar la semana.

ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.

COMPETENCIA: Aplica las funciones trigonométricas y la trigonometría analítica en la solución de problemas del contexto utilizando triángulos rectángulos.

TEMA Y CONTENIDO SEMANA (19 al 30 de Octubre)

LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA

La circunferencia unitaria es el conjunto de puntos del plano

que están a la misma distancia (llamada radio) de un punto fijo

(llamado centro) y tiene la particularidad que su centro está en

el origen de coordenadas (0,0) y su radio es una unidad (r=1).

El punto P pertenece a la circunferencia unitaria y las coordenadas x,y corresponden a las medidas de los catetos del triángulo rectángulo ORP.

Si aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo ORP, se tiene que:

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia unitaria es:

Todos los puntos P que cumplen esta igualdad pertenecen a la circunferencia unitaria.

EJEMPLO 1:




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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS

A partir de las anteriores expresiones se puede observar que para t que pertenece a los números reales.

csc t = 𝟏

𝒚=

𝟏

𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝒄𝒐𝒏 𝒔𝒆𝒏 𝒕 ≠ 𝟎 sen t =

𝟏

𝒄𝒔𝒄= 𝒄𝒐𝒏 𝒄𝒔𝒄 𝒕 ≠ 𝟎

sec t = 𝒓

𝒙=

𝟏

𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒄𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝒕 ≠ 𝟎 cos t =

𝟏

𝒔𝒆𝒄 𝒕= 𝒄𝒐𝒏 𝒔𝒆𝒄 𝒕 ≠ 𝟎

tan t = 𝒚

𝒙=

𝒔𝒆𝒏 𝒕

𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒄𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝒕 ≠ 𝟎

ctan t = 𝒙

𝒚=

𝒄𝒐𝒔 𝒕

𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝒄𝒐𝒏 𝒔𝒆𝒏 𝒕 ≠ 𝟎

EJEMPLO 2:




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ACTIVIDAD A DESARROLLAR

1. Verificar si el punto de coordenadas dadas pertenece a la circunferencia unitaria. Luego

determinar el cuadrante en el que se ubica.

a. (√2

2,

√2

2) b. (

−3

5,

4

5) c. (

−12

13,

−5

13) d. (

−1

4,

√15

4)

2. Hallar el valor de X de cada punto, si este pertenece la circunferencia unitaria.

a. (𝑋,−√2

2) 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

b. (𝑋,−12

13) 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Se valora la responsabilidad, dedicación y participación en el desarrollo de las actividades.

Presentación y contenido del trabajo.

PROFUNDIZACIÓN

1. El punto ( x , y ) pertenece a la circunferencia unitaria, determinar en cada caso sus coordenadas

( x, y).

𝑎. (𝑋,−1

3) 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑏. (3

5 , 𝑦) 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑐. (2

3 , −𝑦) 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑑. (− 𝑥 ,5

7 ) 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

2. Determinar las funciones trigonométricas del punto dado perteneciente a la circunferencia

unitaria de un ángulo θ.

a. (3

5,

−4

5) 𝑏. (

3

5,

4

5) 𝑐. (

2

3,

√5

3)

b. 𝑑. (1

2,

√3

2) 𝑒. (

−1

2,

√3

2)




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TEMA Y CONTENIDO SEMANA ( 03 al 13 de noviembre )

VALORES DE LAS RAZONES O FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS DE 30° 45° Y 60°

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA EL ANGULO DE 30° Y 60°

Si cogemos un triángulo equilátero ABC, que como recordarás tiene todos sus lados (l) y sus ángulos iguales (60º), y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triángulos rectángulos.

Descomposición de un triángulo equilátero

Al dividir por su altura un triángulo equilátero ABC como el de la figura obtendremos un triángulo rectángulo en el que los vértices A y B tendrán 30º y 60º respectivamente. Si conocemos el valor de los lados l, podemos calcular el valor de la altura por medio del teorema de Pitágoras:

A partir de esta figura y aplicando la definición de seno, coseno y tangente de cualquier ángulo agudo podemos obtener las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º

https://www.fisicalab.com/apartado/razones-trigonometricas-angulos-agudos#contenidos

https://www.fisicalab.com/apartado/razones-trigonometricas-angulos-agudos#contenidos




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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA EL ANGULO DE 45°

Para determinar las razones trigonométricas de un ángulo de 45º tomaremos un cuadrado de lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triángulos isósceles. Recuerda que un triángulo isósceles tiene dos ángulos de 45º y uno de 90º.

Descomposición de un cuadrado

Al dividir un cuadrado de lado l por su diagonal obtenemos dos triángulos isósceles cuya hipotenusa se puede obtener por medio del teorema de Pitágoras.




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Si aplicamos las definiciones de las distintas razones trigonométricas sobre el anterior triángulo isósceles obtenemos que:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES




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EJEMPLO 1:

Conociendo las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

a. sen 1470 b) cos 405º c) tan 13π/3

a) sen 1470º : Si tenemos en cuenta que el ángulo tiene más de 360º, podemos reducirlo al primer

giro:

Por lo tanto, 1470º es equivalente a 30º. Dado que conocemos el seno 30°

b) cos 405º : De igual forma que el apartado anterior podemos reducir el ángulo:

Teniendo en cuenta esto, se cumple que cos 405º = cos 45º. Conociendo el coseno de 45°

c) tan 13π/3 : En primer lugar vamos a convertir el ángulo en radianes a grados sexagesimales.

Reduciendo los 780º al primer giro:

Teniendo en cuenta esto, se cumple que tan 780º = tan 60º. Conociendo la tangente de 60°

https://www.fisicalab.com/apartado/angulos#reduccion-angulo-primer-giro

https://www.fisicalab.com/apartado/angulos#reduccion-angulo-primer-giro




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EJEMPLO 2: determinar el valor de las siguientes expresiones.

a) sen 30° + sen 60°

b) tan 𝝅/3 + sec 𝝅/6

c) cot 90° - cot 30°

d) csc 60° - cos 30°

SOLUCIÓN:

a. sen 30° + sen 60°= 𝟏

𝟐+

√𝟑

𝟐=

𝟏+√𝟑

𝟐

b. tan 𝝅/3 + sec 𝝅/6= tan 60° + sec 30° = √𝟑 + 𝟐√𝟑

𝟑=

𝟓√𝟑

𝟑

c. cot 90° - cot 30°= 0 - √𝟑 = − √𝟑

d. csc 60° - cos 30°= 𝟐√𝟑

𝟑−

√𝟑

𝟐=

𝟒√𝟑

− 𝟑√𝟑

𝟔 =

√𝟑

𝟔


1. Hallar el valor de la expresión: 𝑠𝑒𝑛 Π/4

cos Π/4

2. Determina el valor de la expresión: sen 30° + (tanΠ/4)𝑠𝑒𝑐 Π/3

3. Encontrar el valor de las siguientes expresiones

a. tanΠ

3+ 𝑠𝑒𝑛

Π

6

b. 2cos 30° + 5 senΠ

6

c. csec de 60° - cos 30°

d. sen2 𝜋/2 + cos2 𝜋/3

4. Hallar el valor de a en el siguiente triángulo




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Se valora la responsabilidad, dedicación durante el desarrollo de las actividades. Puntualidad en la entrega del trabajo. Se tiene en cuenta su interés y participación activa durante las clases virtuales.

PROFUNDIZACION

1. Realizar las siguientes operaciones.

a. 𝒔𝒆𝒏 𝝅/𝟑 +𝒕𝒂𝒏𝝅/𝟑

𝒔𝒆𝒄𝝅/𝟔 −𝒄𝒐𝒔𝝅/𝟐

b. 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎°+𝒕𝒂𝒏𝝅/𝟔

𝒔𝒆𝒄𝟒𝟓° −𝒔𝒆𝒏𝟗𝟎°

c. Sen 𝝅

𝟔 . 𝒄𝒐𝒔

𝝅

𝟑+ 𝒄𝒕𝒂𝒏

𝝅

𝟒

d. 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟔𝟎°−𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟒𝟓°

𝒕𝒂𝒏𝝅/𝟑 +𝒄𝒕𝒂𝒏𝟑𝟎°

e. 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟔𝟎°+𝒄𝒐𝒔𝟐𝝅/𝟒 (𝒄𝒕𝒂𝒏𝟑𝟒𝟓°)

𝒄𝒔𝒆𝒄𝟐𝝅/𝟔 −𝒔𝒆𝒄𝝅/𝟑

TEMAS Y CONTENIDOS SEMANA (17 al 20 noviembre)

GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA

Para realizar las gráficas de las funciones trigonométrica se debe tener en cuenta las siguientes

condiciones.

1. Solo se realiza la gráfica entre cero y 2𝝅 ( 0° a 360°)

2. En el eje X del plano cartesiano se ubican ángulos de 30° en 30° teniendo en cuenta la

circunferencia unitaria.

3. Para hallar el valor de y se toma la respectiva medida de la línea trigonométrica.

4. Se realiza una tabla de valores para la respectiva función trigonométrica.

5. Se construye la gráfica ubicando los puntos en el plano cartesiano y luego se une esos puntos

por medio de una línea curva.




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GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO

Tabla de valores

X 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°

sen x 0 0,5 0,86 1 0,86 0,5 0 -0,5 -0,86 -1 -0,86 -0,5 0

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO Tabla de valores

X 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°

cos x 1 0,86 0,5 0 -0,5 -0,86 -1 -0,86 -0,5 0 0,5 0,86 1




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1. Realizar la tabla de valores y la gráfica de las funciones tangente (tan), cotangente (ctan),

secante (sec) y cosecante (csec).


Se valora la responsabilidad, dedicación y participación en el desarrollo de las clases.

Presentación, orden y puntualidad en la entrega del trabajo.

Se tiene en cuenta su interés en la consulta y organización del contenido.

PROFUNDIZACION

1. Realizar la gráfica de: a. 2senx

b. Sen2x

TEMAS Y CONTENIDOS SEMANA (23 noviembre al 04 de diciembre)

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo rectángulo consiste en determinar la medida de sus 3 lados, sus 3 ángulos, el

perímetro y el área.

En la solución de triángulos rectángulos se presentan dos casos: 1. Se conocen las medidas de unos de sus lados y de un ángulo agudo 2. Se conocen las medidas de los dos lados.

También se debe tener en cuenta el ángulo de elevación y el ángulo de depresión. Cuando un objeto es observado, la recta imaginaria que se forma entre el observador y el objeto se denomina línea visual. La línea visual, forma con la horizontal imaginaria, que se traza desde los ojos del observador, un ángulo que varía dependiendo de la ubicación del objeto con respecto al observador.

Si el objeto está a un nivel más alto que el observador, el ángulo se denomina de elevación.




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Si el objeto está a un nivel más bajo que el observador, el ángulo se denomina de depresión.

EJEMPLO 1: Resolver el triángulo rectángulo XYZ, en el cual el ángulo Z= 90° x= 2cm y el ángulo Y= 28° Solución:

Como se conoce la medida de dos de los ángulos es posible hallar la medida del tercero, así: X + Y + Z = 180° X + 28° + 90° = 180° X + 118° = 180° X = 180° - 118° X = 62° Para hallar la medida del lado y, se plantea la siguiente razón:

tan28° = 𝒚

𝟐, entonces y= 2tan28°; y= 2(0,531709431)= 1,06

Luego, se halla la medida del lado z mediante la razón:

cos28° = 𝟐

𝒛 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒛 =

𝟐

𝒄𝒐𝒔𝟐𝟖°=

𝟐

𝟎,𝟖𝟖𝟐𝟗𝟒𝟕𝟓𝟗𝟐= 𝟐, 𝟐𝟕 𝒄𝒎

Hallamos el:

Perímetro: P= x + y + z = 2cm + 1,06cm + 2,27cm = 5,33 cm

El área: A = 𝒃 . 𝒉

𝟐 =

𝟐𝒄𝒎 . 𝟏,𝟎𝟔𝒄𝒎

𝟐=

𝟐,𝟏𝟐𝒄𝒎.𝒄𝒎

𝟐= 𝟏. 𝟎𝟔 cm2




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Así, los elementos del triángulo XYZ son:

x= 2cm X= 62° P= 5,33cm

y= 1,06cm Y= 28° A= 1,06 cm2

z= 2,26cm Z= 90°

EJEMPLO 2. Resolver el triángulo rectángulo MNP

Se halla la medida del lado m utilizando el teorema de

Pitágoras.

m2= n2 + p2 = 32 + 22 = 9 + 4 = 13

m= √13 = 3,61

A partir de la información de la figura se tiene.

tan p = 2

3 = 0,66 entonces p = tan-1 0,66 = 33°

Se halla la medida del ángulo N así:

M + N + P = 180°

90° + N + 33° = 180°

123° + N = 180° entonces N= 180° - 123° = 57°

El perímetro es igual P= 3cm + 2cm + 3,61cm = 8,61 cm

El área es igual A = b . h = 3cm . 2cm = 6cm2 = 3cm2

2 2 2

ACTIVIDADES A DESARROLLAR

a. Solucionar los siguientes triángulos rectángulos.




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CRITERIOS DE EVALUACION

Se valora la responsabilidad, dedicación y participación

Presentación, orden y contenido del trabajo.

Se tiene en cuenta la puntualidad en la entrega de talleres.

ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACION

1. Resolver los siguientes triángulos rectángulos y encontrar el perímetro y el área.

2. Hallar el área de la región sombreada.




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3. Resolver el triángulo PQS, representado en la gráfica.

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