gráficas lineales
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GRAFICAS LINEALES-LINEALIZACIÓN
OBJETIVOS
1. Realizar linealización de gráficos por el método de cambios de variables. 2. Obtener experimentalmente la relación matemática, más adecuada, entre dos
cantidades o magnitudes físicas, a partir de una tabla de valores provenientes del procesamiento de los datos obtenidos en el laboratorio, los que serán graficados usando las respectivas escalas.
3. Comprobar las aproximaciones en el cálculo de la ecuación de la recta por el método grafico manual y el mínimo cuadrado.
LA IMPORTANCIA DE LOS GRÁFICOS EN LA FÍSICA
Usted va a encontrar que, frecuentemente en Física (en la ingeniería y en otras ramas técnicas del
conocimiento) el uso de gráficos es de gran utilidad para los siguientes propósitos:
a. Ilustrar la relación entre variables de un fenómeno, medidas en un proceso experimental, describiendo la naturaleza y el comportamiento del evento.
b. Calcular, basándose en las características de la gráfica, el valor de constantes físicas. c. Contrastar gráficos trazados utilizando valores medidos en un experimento, con gráficos
trazados utilizando valores obtenidos de la teoría que sirve de base para el mismo experimento.
d. Obtener la expresión matemática (ecuación) que relaciona las magnitudes representadas en los ejes coordenados (X-Y)
REGLAS GENERALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS
1. Identificar las variables independiente (causa) y dependiente (efecto) teniendo en
cuenta que:
a. En el eje de las ordenadas (eje Y) se representa la variable dependiente.
b. En el eje de las abscisas (eje X) se representa la variable independiente.
2. Trazar los ejes e indicar claramente en cada uno de ellos la magnitud física
representada con sus respectivas unidades.
Variable Dependiente (efecto)
V
X (cm)
Variable Independiente (causa)
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3. De acuerdo al rango de variación de la variable a representar, divida la longitud
correspondiente al eje en un determinado número de segmentos iguales, asignando a
cada división del eje un valor que puede ser:
En el caso de que los valores a representar son muy grandes o muy pequeños, expresar dichos
valores en una potencia de 10 e indicar en el extremo del eje la potencia de 10 utilizada.
Ejemplo:
Representar los siguientes valores sobre una recta de 8.0 cm. de longitud:
L (m.) 7.900 12.300 16.800 21.400 29.900 36.500
4. Identificar claramente cada uno de los puntos experimentales graficados. Las líneas
auxiliares utilizadas para la localización en el gráfico de los puntos experimentales
deben borrarse para obtener una fácil visualización del dibujo.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 x 103 (m)
7.9
12.3
16.8
21.4 29.9 36.5
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5. Unir los puntos experimentales por medio de una línea suavizada. Es decir una línea
sin cambios bruscos de curvatura.
INFORMACIÓN OBTENIDA A PARTIR DE UNA RECTA
En el supuesto que el gráfico de dos parámetros físicos medidos en el laboratorio fuese una
línea recta. ¿Qué clase de información se puede obtener de él?
Dos tipos de información:
20 40 l (cm) 60 80
1.0
2.0
T (s)
Línea no suavizada
(Incorrecta)
20 40 l (cm) 60 80
1.0
2.0
T (s)
Línea suavizada
(Correcta)
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a. Cualitativa: Podemos inmediatamente afirmar que entre las dos variables existe una
relación o proporción lineal, estos son los fenómenos más fáciles de analizar.
b. Cuantitativa: El siguiente paso del conocimiento consiste en determinar el valor de las
constantes que ligan a las dos variables. Este paso permite conocer la composición
exacta de la ecuación que gobierna el fenómeno estudiado. Vamos a verlo más en
detalle.
Si el gráfico de valores experimentales de dos magnitudes físicas v y t es una línea recta, la
ecuación que relaciona a las dos variables debe necesariamente tener la forma lineal:
v = at + b
Donde v cambia cuando t cambia, siendo a y b constantes. De esta manera la ecuación
responde a la forma
y = mx + c
Que es el modelo de la línea recta. Entonces a es el equivalente de la pendiente y b es la
intersección con el eje de las ordenadas v.
Por lo tanto, midiendo la pendiente del gráfico obtenemos directamente el valor de a (es decir, el
coeficiente de la variable independiente v, en la ecuación a obtener).
V
T
b
v = at + b
T
Va
t (s)
V (m/s)
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Por otro lado, extrapolando la curva, hasta interceptar el eje de las ordenadas, hallamos el valor
numérico de la intercepción, o término constante b de la ecuación.
Suponiendo que encontramos a = 10 m/s2 y b = 5 m/s , la ecuación buscada sería:
5 t 10 V +=
Algunas veces la recta pasa por el origen y el término constante bno existe; además, la pendiente
m = a puede ser una simplificación de varios parámetros, de los cuales uno es desconocido y
necesita ser despejado. En este caso, el objetivo del gráfico es hallar la pendiente para poder
despejar de ella alguna otra constante buscada.
Método de Mínimos Cuadrados
Supongamos que hemos medido un conjunto de pares de datos (xi, yi) en una experiencia, por
ejemplo, la posición de un móvil en ciertos instantes de tiempo. Ahora queremos obtener una
función y = f(x) que se ajuste lo mejor posible a los valores experimentales. Se pueden ensayar
muchas funciones, rectas, polinomios, funciones potenciales o logarítmicas. Una vez establecido la
función a ajustar se determina sus parámetros. Debemos recordar que la función más sencilla es la
función lineal y = ax + b. El procedimiento de ajustar los datos experimentales a una línea recta se
denomina Regresión Lineal.
Regresión Lineal
Las observaciones (mediciones) se dispondrán en dos columnas, de modo que en cada fila se
registre la abscisa x y su correspondiente ordenada y. La importancia de las distribuciones
bidimensionales radica en investigar cómo influye una variable sobre la otra. Esta puede ser una
dependencia causa efecto, por ejemplo, a mayor altura de caída (causa), mayor es la rapidez de
impacto con el suelo (efecto). O bien, el aumento de la masa de un sistema sometido a una fuerza
constante, da lugar a una disminución de la aceleración del mismo.
Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para representar la distribución
bidimensional, obtendremos un conjunto de puntos conocido como el diagrama de dispersión,
cuyo análisis permite estudiar cualitativamente, la relación entre ambas variables tal como se ve
en la figura. El siguiente paso, es la determinación de la dependencia funcional entre las dos
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variables x e y que mejor ajusta a la distribución bidimensional. Se denomina regresión lineal
cuando la función es lineal, es decir, requiere la determinación de dos parámetros: la pendiente y
la ordenada en el origen de la recta de regresión, y = ax + b.
La regresión nos permite además, determinar el grado de dependencia de las series de valores X e
Y, prediciendo el valor Y estimado que se obtendría para un valor X que no esté en la distribución.
Vamos a determinar la ecuación de la recta que mejor ajusta a los datos representados en la
figura. Además se denomina error ei a la diferencia yi-y, entre el valor medido yi, y el valor
ajustado y= axi+b, tal como se ve en la figura inferior. El criterio de ajuste se toma como aquél en
el que la desviación cuadrática media sea mínima, es decir, la suma debe de ser mínima
∑
∑( ( ))
( )
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Los extremos de una función: máximo o mínimo se obtienen cuando las derivadas de s respecto de
a y de b sean nulas. Lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas del que se
despeja a y b.
∑ (∑ )(∑ )
∑ (∑ )
∑
(∑ )(∑ )
∑
(∑ )
( )
∑ (∑ )
( )
Entonces la ecuación y = ax + b donde a corresponde la pendiente y b la intercepción en el eje y.
El coeficiente de correlación es otra técnica de estudiar la distribución bidimensional, que nos
indica la intensidad o grado de dependencia entre las variables X e Y. El coeficiente de correlación
r es un número que se obtiene mediante la fórmula.
√( )( )
( )
El signo de r es igual al signo de la pendiente de la recta de regresión lineal.
El coeficiente de correlación puede valer cualquier número comprendido entre -1 y +1.
• Cuando r es cercano a 1, significa que hay una fuerte relación lineal positiva entre x y y.
•Cuando r es cercano a-1, significa que hay una fuerte relación lineal negativa entre x y y.
•Cuando r es cercano a-1, significa que hay una poca relación lineal entre x y y.
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Ejemplo:
Dado los siguientes datos experimentales de Voltaje dado en Volts y Corriente en Ampere se
pretende realizar la gráfica voltaje (V) vs corriente (I) y además determinar la pendiente con su
respectiva incertidumbre.
Voltaje (V) 0.015 0.028 0.029 0.037 0.041 0.045
Corriente (I) 0.0068 0.0078 0.0085 0.0091 0.0095 0.00104
Observamos que los valores a representar son muy pequeños, por lo cual se expresa dichos
valores en una potencia de 10 e indicamosla potencia de 10 utilizada.
Voltaje (V)
x10 -3
15 28 29 37 41 45
Corriente (I)
x10-3
6.8 7.8 8.5 9.1 9.5 10.4
En la gráfica procedemos a rotularse los ejes con el nombre asignadoa la cantidad a representar y sus unidades, se asigna la variable corriente (en el eje horizontal) y el variable voltaje (en el eje vertical) en este caso la unidad será miliVolts (mV) y la corriente miliAmpere (mA) Recordar que usted debe verificar cual es el mínimo y máximo valor a registrar en los respectivos ejes de esta manera usted puede considerar una escala adecuada, observe que en la siguiente grafica en el eje horizontal la escala va incrementando de forma sucesiva cada diez cuadros y al registrar los puntos experimentales existe un espacio no ocupado. Este espacio es un desperdicio debido a que se puede ajustar la escala de tal forma que se maximice el uso del papel. Recordar que pueden ser diferentes las escalas vertical y horizontal; además no necesariamente el origen de la gráfica debe ser el punto (0,0)
Voltaje (V)
x10 -3
15 28 29 37 41 45
Corriente (I)
x10-3
6.8 7.8 8.5 9.1 9.5 10.4
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Si ajustamos la escala ahora recuerde que los puntosexperimentales no deben unirse con líneasquebradas ni deben dibujarse rectas desde los ejeshasta el lugar donde hay que situar cada puntoexperimental, para eso ya contamos con el propioentramado del papel gráfico.
Para trazar la línea recta de ajuste se emplearáuna regla y dicha línea se trazará dejando a un lado y a otro el mismo número de puntos experimentales. Vale mencionar que en nuestro ejemplo se observa que la recta no pasa por ningún punto pero si fuese posible usted también puede trazar la recta de tal forma que pase por la mayor cantidad de puntos cumpliendo que el número de puntos experimentales que estén fuera de la recta por encima y debajo sean iguales. Además para cálculos más precisos existe el método de mínimos cuadrados.
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En el ajuste lineal de nuestro ejemplo tenemos que obtener la relación entre el voltaje y la corriente, la cual tendrá la formaV=mI+b algo análogo a la ecuación de una recta y=mx+bdonde m corresponde a la pendiente y b la intersección con respecto a la vertical. Para el cálculo de la pendiente se recomienda escoger dos puntos que pertenezcan a la recta pero que no sean los puntos experimentales, en este caso se considera: Punto P1= (7.3, 20) Punto P2= (10, 43) El valor medido de la pendiente es
( )
( ) [ ]
[ ] [
] ( )
Para determinar la incertidumbre de la pendiente vale mencionar lo siguiente:
Si consideramos que se trabaja en una hoja milimetrada entonces la incertidumbre en cada eje corresponde a la mínima división, en este caso
( )
=
= [ ]
( )
=
= [ ]
Si estamos trabajando en una hoja de cuadro mayor a la milimetrada es recomendable qué
En nuestro ejemplo consideramos que se trabaja en una hoja milimetrada por lo cual de manera
general el cálculo de la pendiente se será:
(( ) ( ))
(( ) ( ))
( ) [ ]
( )[ ] ( )
( )
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Es decir para determinar se necesita expresar nuestra función m,entonces:
( )
( )
| [ ]
| |
[ ]
|
| [ ]
| |
[( )
( )]
|
| [ ]
|
| [ ]
| |
[( )
( )]
| |
[
]
| |
[ ]
|
Reemplazando:
|
| |
|
|
| |
|
( ) [
]
( )[ ]
Si usamos el método de mínimo cuadrados para la tabla de datos experimentales presentados
anteriormente
Voltaje (V)
x10 -3
15 28 29 37 41 45
Corriente (I)
x10-3
6.8 7.8 8.5 9.1 9.5 10.4
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Por lo cual usando la ecuación (3.1) la pendiente en este caso es:
∑
(∑ )(∑ )
∑ (∑ )
Procedemos a llenar la tabla con sus respectivas cifras significativas:
I (mA) V(mV) VI ( ) 6.8 15 10( ) 46
7.8 28 22( ) 61
8.5 29 25 ( ) 72
9.1 37 34 ( ) 83
9.5 41 39 ( ) 90
10.4 45 46.8 ( ) 108
∑ ∑ ∑ =176 ( ) ∑ ( )
∑
(∑ )(∑ )
∑ (∑ )
( )
( )( )
( )
[ ]
LINEALIZACION DE CURVAS
Desafortunadamente, existen fenómenos físicos en los cuales las dos variables principales no se
comportan linealmente. Los gráficos, por lo tanto, son curvas cuya pendiente por definición es
variable y no es fácil obtener información sobre las constantes que relacionan a las variables.En
este caso es necesario emplear alguna manera de convertir la curva en recta:
Si la gráfica obtenida es parabólica, asumir que debe ser de la formay = axn + b, donde n es
cualquier exponente, positivo o negativo, diferente a 1 y diferente de cero. (¿Por qué diferente de
1 y de cero?)En general, si al graficar y vs. X obtengo uno de los siguientes resultados:
x
y
n< 0
y
x 0 < n < 1
y
x n> 1
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La lineación se produce graficando y vs. xn, en vez de y vs. x,obteniéndose uno de los
siguientes resultados:
La lineación se produce porque al graficar y vs. xn, se genera un cambio de variable en que x es
sustituida por z = xn , tal que la ecuación:
y = axn + b se ha convertido en y = az + b,
Que es la ecuación de una recta. (Si el gráfico resulta ser una recta, no sólo permite calcular el
valor de a sino que, el valor asumido para n es correcto).El resto del trabajo para determinar
valores de a y bes ya conocido. A la tabla de valores a graficar se deberá agregarla columna de
valores z = xn.
z
y
y = az + b
xn
y
n< 0
y
xn
0 < n < 1
y
xn
n> 1
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REGLAS GENERALES PARA EL TRAZADO DE LA RECTA MÁS REPRESENTATIVA
Usted ha observado que aunque la relación y vs. x sea matemáticamente lineal, no siempre
todos los puntos experimentales están perfectamente alineados, quedando algunos al margen del
gráfico. Esto sucede porque todos los datos experimentales están sujetos a errores de medición.
Esto plantea el problema de cómo decidir cuál debe ser la posición más apropiada de la recta que
vamos a trazar. Hay métodos muy precisos como el criterio de Mínimos Cuadrados que se trató
en la sección de estadística. Sin embargo, las siguientes recomendaciones generales le serán útiles
para obtener un grado aceptable de exactitud en el trabajo de este curso:
a. Tome la mayor cantidad de puntos que le sea posible dentro del tiempo que se le asigna para el
trabajo. Menos de cinco puntos le darán resultados muy pobres. Sería convenienteobtener
por lo menos 10 puntos.
b. Es natural que algunos puntos no estén exactamente sobre la recta, pero si alguno de ellos
queda extraordinariamente lejos de la dirección seguida por los otros (dato aberrante),
entonces hay que despreciarlo porque evidencia un grave error de medida o de cálculo. Revise
ambos si tiene tiempo.
c. El número de puntos que quedan a un lado de la recta trazada debe ser, en lo posible, igual al
número de puntos que quedan al otro lado.
PRÁCTICA A REALIZAR
En la práctica se utiliza un péndulo simple.
Un péndulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de un
cordón de masa despreciable y no estirable. Si la masa se mueve a un lado de su posición de
equilibrio (vertical), oscilará alrededor de dicha posición.
Situaciones ordinarias, como una bola de demolición en el cable de una grúa o un niño en un
columpio pueden modelarse como péndulos simples.
La trayectoria de la masa puntual (llamada en ocasiones pesa o lenteja) no es una recta, sino el
arco de un círculo de radio L igual a la longitud del cordón (ver figura). Usamos como coordenada
la distancia x medida sobre el arco. Si el movimiento es armónico simple, la fuerza de restitución
debe ser directamente proporcional a x.
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En la figura, representamos las fuerzas que actúan sobre la
masa en términos de componentes tangencial y radial. La
fuerza de restitución es la componente tangencial de la
fuerza total:
La fuerza de restitución se debe a la gravedad; la tensión T sólo
actúa para hacer que la masa puntual describa un arco. La
fuerza de restitución es proporcional no a sino a , así que
el movimiento no es armónico simple. Sin embargo, si el
ángulo es pequeño, , es casi igual a en radianes. Por
ejemplo, si (unos 6°), , una
diferencia de sólo 0.2%. Con esta aproximación, la ecuación
(3.4) se convierte en
La fuerza de restitución es entonces proporcional a la coordenada para desplazamientos
pequeños, y la constante de fuerza es
. La frecuencia angular de un péndulo simple con
amplitud pequeña es:
√
√
√
√
√
La dependencia de L y g en las ecuaciones es justo lo esperado. Un péndulo largo tiene un periodo
más largo que uno corto. Si aumenta g, aumenta la fuerza de restitución, causando un aumento de
la frecuencia y una disminución del periodo.
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Procedimiento de la Práctica
Una vez identificado el equipo que va utilizar en la práctica el cual consiste de una esfera atada a
una cuerda, un soporte universal y una nuez.
Registrar la longitud de la cuerda en la tabla del reporte
Separar el péndulo de una posición vertical un ángulo
pequeño y luego soltarlo.
Dejar oscilar libremente, debe verificar que el péndulo
oscila en un plano vertical (desde b hasta c) Cuando este
seguro que las oscilaciones son regulares, se presiona inicio
en el cronometro y se cuenta N oscilaciones cada vez que
regrese la masa al punto de máxima separación de
equilibrio (posición b).
Con el dato del tiempo t de las N oscilaciones se procede a
determinar el periodo T
( )
( )
Se repite los pasos anteriores para diferentes longitudes y además con el mismo número
de N oscilaciones.
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PREGUNTAS PARA LA PRUEBA DE ENTRADA
En la siguiente tabla se muestra los resultados obtenidos en una experiencia en que se trata de determinar la relación entre el alargamiento ( ) de un resorte y la fuerza (F) que se le aplica
X (metro) 0.10 0.18 0.26 0.35 0.48 0.60 0.72 0.80
F(N) 40 72 104 140 192 240 288 320
a) Grafique F vs. , en papel milimetrado y linealice de ser necesario
b) Hallar la pendiente y el intercepto
c) Determine la incertidumbre de la pendiente
d) Use el método de mínimo cuadrados para el cálculo de la pendiente y la intercepción con
la ordenada.
En la siguiente tabla se muestra los resultados obtenidos
S(cm.) 0 300 432 675 972 1200 1452 1728 2028 2352
t(s) 0 10 12 15 18 20 22 24 26 28
a) Grafique S vs. t y linealice de ser necesario
b) Hallar la pendiente y el intercepto
c) Determine la incertidumbre de la pendiente
d) Determine la ecuación empírica
e) Use el método de mínimo cuadrados para el cálculo de la pendiente y la intercepción con
la ordenada.
Dado las siguientes ecuaciones proceda a linealizar:
√
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REPORTE DE DATOS Y RESULTADOS
Práctica Linealización Fecha_________ Paralelo____ P.Entrada ____
Apellidos_____________________ Nombres____________________ Desempeño en clase ____
Informe Técnico ____
P.Sálida ____
Total ____
Objetivos de la práctica
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Durante cada observación proceda a registrar los datos en la siguiente tabla
Obs N oscilaciones Tiempo (s) Periodo Longitud L (m) √
1
2
3
4
5
6
7
8
1.-Con los datos obtenidos realice una gráfica T vs L en una hoja milimetrada, donde la
longitud de la cuerda es L que corresponde a la variable independiente y T (periodo) la
variable dependiente.
2.-De ser posible linealice la gráfica T vs L la misma que está dado por la expresión
√
y proceda a graficar en una hoja milimetrada.
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3.-Determine la pendiente de la gráfica y su respectiva incertidumbre (use el método de
cálculo diferencial), registre sus cálculos en el siguiente espacio.
4.- Determine el valor de la gravedad con su respectiva incertidumbre (use el método de
cálculo diferencial), registre sus cálculos en el siguiente espacio considere el valor de pi como
una constante igual 3.1416.
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5.- Calcule el valor de la pendiente a partir del método de mínimo cuadrados (use cifras
significativas).
6.- Determine el porcentaje de error de la pendiente entre el método mínimo cuadrado y la
gráfica de forma manual.