Ecuaciones lineales y sus

gráficas

Material para examen del 3 de febrero de 2015

Vocabulario

Variable

• Incógnita o desconocida de una ecuación.

• Mayormente representada por una letra.

Entero

• Cualquier número positivo, negativo o cero, sin incluir las fracciones ni decimales.

Ecuación

• Expresión matemática que contiene un signo de igualdad y una o más variables.

Coeficiente

• Número que se multiplica por la variable.

Constante

• Término que no tiene variable.

Variable dependiente

• Representa el rango de una función

• Por lo regular identificada por la letra y.

Variable independiente

• Variable que representa el dominio de una función.

• Mayormente representada por la x.

Tabla de valores

• Arreglo numérico entre el dominio y rango de una función

x y

1 -3

6 -2

9 -1

1 3

Eje de x

• Eje horizontal en el Plano Cartesiano

Eje de y

• Eje vertical en el Plano Cartesiano

Razón de cambio

Ejemplos y Ejercicios de práctica

Razón de cambio

• Te permite ver la relación entre dos cantidades que están cambiando.

• Cambio en y sobre el cambio en x.

• También conocido como tasa de cambio.

• Tasa de cambio = 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒=

Δ𝑦

Δ𝑥

Hallar una tasa de cambio

• Según los datos de la derecha, ¿es igual la tasa de cambio para cada par de días consecutivos? ¿Qué representa la tasa de cambio?

Costo de alquilar una computadora

Número de días

Costo

1 $60

2 $75

3 $90

4 $105

5 $120

Tasa de cambio = 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠

Hallar una tasa de cambio Costo de alquilar una computadora

Número de días

Costo

1 $60

2 $75

3 $90

4 $105

5 $120

Tasa de cambio = 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠

75 − 60

2 − 1=

15

1

90 − 75

3 − 2=

15

1

105 − 90

4 − 3=

15

1

120 − 105

5 − 4=

15

1

• La tasa de cambio para cada par de días consecutivos es 15

1. La tasa de cambio es la misma para todos los datos.

• La computadora cuesta $15 por cada día que se alquila, después del primer día.

Hallar una tasa de cambio

• Razonamiento crítico: – ¿Crees que hallar la tasa

de cambio solo para un par de días significa que la tasa de cambio es igual para todos los datos? Explica

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6

Co

sto

(d

óla

res)

Días

Hallar la tasa de cambio

usando una gráfica

• Altura del avión: La gráfica muestra la altura de un avión que va aterrizar.

• Halla la tasa de cambio y explica qué significa.

(60, 1000)

(180, 0) 0

200

400

600

800

1000

1200

0 50 100 150 200

Alt

ura

(p

ies)

Tiempo (segundos)

Avión aterrizando

Hallar la tasa de cambio

usando una gráfica

• Tasa de cambio:

•𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙=

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

•0−1000

180−60=

−1000

120=

−25

3= −8.33

• La tasa de cambio es −8.33. • Esto significa que el avión desciende 8.33

pies por segundo.

Ejercicios de práctica

• La tasa de cambio es constante en cada tabla y gráfica. Halla la tasa de cambio. Explica lo que significa la tasa de cambio para cada situación.

1. 2.

Tiempo (horas)

Temperatura (°F)

1 -2

4 7

7 16

10 25

13 34

Personas Costo

(dólares)

2 7.90

3 11.85

4 15.80

5 19.75

6 23.70

3. 4.

5. 6.

Hallar la pendiente

usando una gráfica

Pendiente

• La pendiente de la línea y = mx + b es la razón a la cual y está cambiando por unidad de cambio en x.

• Pendiente = 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙=

𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜

Halla la pendiente

usando una gráfica

• Pendiente = 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜

• =3−1

4−(−1)

• =2

5

• La pendiente de la

recta es 2

5.

(-1, 1)

(4, 3) Subir 2 unidades

Derecha 5 unidades

Halla la pendiente

usando una gráfica

• Pendiente = 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜

• =2−5

4−(−1)

• =−3

5= −

3

5

• La pendiente de la

recta es −3

5.

(-1, 5)

(4, 2)

Bajar 3 unidades

Derecha 5 unidades

Hallar la pendiente

dados dos puntos • Puedes usar dos puntos en cualquier

lugar de una recta para hallar su pendiente.

• Usa subíndices para distinguir entre los puntos.

• En el diagrama, 𝑥1, 𝑦1 son las coordenadas del punto P y (𝑥2, 𝑦2) son las coordenadas de Q.

• Para hallar la pendiente de la recta 𝑃𝑄 usamos la siguiente fórmula:

• Pendiente = 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜=

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1, donde

𝑥2 − 𝑥1 ≠ 0.

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑃(𝑥1, 𝑦1)

𝑄(𝑥2, 𝑦2)

Pendientes de rectas

O x

y

O

x

O x

y

O x

Una recta con pendiente positiva se inclina hacia arriba de izquierda a derecha.

Una recta con pendiente igual a cero es horizontal.

Una recta con pendiente negativa se inclina hacia abajo de izquierda a derecha.

y

y

Una recta con pendiente indefinida es vertical.

Halla la pendiente de cada

recta

1. 2.

(-2, 1)

(3, 4) (-3, 5)

(3, 1)

Halla la pendiente de cada

recta

3.

Halla la pendiente de cada

recta

4.

Halla la pendiente de la recta que

pasa por cada par de puntos

1. (3, 2), (5, 6)

2. (5, 6), (3, 2)

3. (1

2, 8), (1, -2)

4. (-4, 4), (2, -5)

5. (-2, 1), (1, -2)

6. (4, 12

3), (-2,

2

3)

7. (5, 0), (0, 2)

8. (0, 0), (3, 5)

• Pendiente:

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Reto matemático

• Halla la pendiente de todos los lados de la figura.

Reto matemático

• Cada par de puntos está sobre una recta con la pendiente dada. Halla x e y.

– 1. (2, 4), (x, 8); pendiente = -2

– 2. (4, 3), (x, 7); pendiente = 2

– 3. (x, 3), (2, 8); pendiente = −5

2

– 4. (-4, y), (2, 4y); pendiente = 6