Graficación

Principios de graficación

En algunas oportunidades tenemos que graficar una función que es casi igual a las que ya sabemos graficar, llamadas básicas, sólo que estas presentan elementos adicionales en su estructura o ecuación, a continuación presentaremos a partir de una tabla, procedimientos o técnicas para graficarlas.

)(xfy =

Traslaciones

2xy =

22 += xy

Si un numero real se suma al miembro derecho de una función , la grafica de la nueva función es la grafica de trasladada verticalmente hacia arriba (si ) o hacia abajo ( si ).

c0>c 0>cfcxfy += )(

cxfy += )(Traslación vertical hacia abajo

Traslaciones verticales

cxfy −= )(Traslaciones verticales hacia abajo

2xy =32 −= xy

2xy =( )22−= xy

Si un numero real se suma al argumento de una función , la grafica de la nueva función Es la grafica de trasladada horizontalmente hacia la izquierda (si ) o hacia la derecha ( si ).

fxc ( ) ( )cxfxg +=0>c 0<cf

Traslaciones Horizontales

Traslación horizontal hacia la derecha

traslaciones horizontales

2xy =( )23+= xy

Traslación horizontal hacia la izquierda

Compresiones y alargamientos Cuando el miembro derecho de una función se multiplica por un numero positivo , la grafica de la nueva función es una versión comprimida verticalmente ( ) o alargada ( ) de la grafica

( )xfy = k( )xkfy = 10 << k 1>k

( )xfy =

( ) xxf =( ) xxf 3=

Compresiones y alargamientos Cuando el miembro derecho de una función se multiplica por un numero positivo , la grafica de la nueva función es una versión comprimida verticalmente ( ) o alargada ( ) de la grafica

( )xfy = k( )xkfy = 10 << k 1>k

( )xfy =

( ) xxf = ( ) xxf21

=

Compresión horizontal

( ) xxf =

( ) xxf 2=

( ) xxf 2=

Reflexiones

Cuando el miembro derecho de una función se multiplica por , la grafica de la nueva función es la reflexión respecto al eje de la grafica

( )xfy =( )xfy −= ( )xfy =

1−x

( ) 2xxf −=Grafique la función

-2 4 -4

-1 1 -1

0 0 0

1 1 -1

2 4 -4

2xy = 2xy −=x

( )1,1

( )4,2

( )4,2 −

( )1,1 −( )1,1−−

( )4,2 −−

Reflexión respecto al eje . x

( ) xxf −=

Cuando se conoce la grafica de la función , la grafica de la nueva función es la reflexión respecto al eje de la grafica de la función ( )xfy =

( )xfy = ( )xfy −=y

Reflexión respecto al eje . y

( ) xxf =

Efecto del valor absoluto ( )( )

<−≥

=0,

0,)(

xsixfxsixf

xf

( ) xxf =

xy =xy −=

y

x

Efecto del valor absoluto

( ) 12 −= xxf

y

x

( ) 12 −= xxf

( )

<−−≥−

=0,1

0,1)( 2

2

xsixxsix

xf

y

x

( ) ( )213 −−= xxf( )

<−−≥−

=0,1

0,1)( 2

2

xsixxsix

xf

( ) ( )21−= xxf

( ) ( )21−−= xxf

y

x

y

x

( ) ( )213 −−= xxf

y

x

( ) ( )213 −−= xxf

( )xxf 21log)( 3 −=Determine el dominio de

Como el logaritmo es definido por los números reales positivos,

21021 <⇒>− xx

El dominio de es ( )xxf 21log)( 8 −=

∞−=

<

21,

21xx

Cortes con los ejes

Eje x( ) xx 213 021log 0

3 −=⇔=−0=x

Eje y

( )xy 21log3 −= ( )0.21log3 −=y

0=yasíntotas

021 =− x21

=x

( )xxf 21log)( 3 −=Graficar

1>b

y

x

21

=x

Recuerde que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Como el logaritmo es de base 3, y , la función es creciente.

( )xxf 21log)( 3 −= Como podemos ver, hay una reflexión con el eje

y

x

Ahora es decreciente

Finalmente, la grafica de la función

y

x

y

Cortes con los ejes 0=x 0=y

Asíntotas

21

=x

( )xxf 21log)( 3 −=

trigonométricas

( )xseny =Función seno

fPara la función se tiene que senxy =

•Dominio: todos los números reales: ( ) RfDom =

•Rango: 11 ≤≤− y

π2

senxxsen −=− )(

•Periodo:

•Simétrica con respecto al origen:

Función Coseno

( )xy cos=Para la función definida se tiene que xy cos=f

Dominio: todos los números reales ( ) RfDom =

11 ≤≤− yrango

xx cos)cos( =−

•Periodo: π2

•Simétrica con respecto al eje y

Simétrica impar

Simétrica par

( )xy tan=Función tangente

xy tan=Para la función definida se tiene que f

Dominio : donde es cualquier entero Rango: Periodo: Asíntotas: Simétrica respecto al origen:

ππ kx +≠2

k

R

π

ππ kx +=2

xx tan)tan( −=−

Función impar

Dominio: Rango: Periodo: Asíntotas: Simétrica respecto al origen:

( )xctgy =Función cotangente

Para la función definida se tiene que ( )xctgy =

( ) { entero ,/ nnxRxfDom π≠∈=

R

π

ππ kx +=

f

( )xctgxctg −=− )(

Función impar

Función cosecante

Para la función definida se tiene que f

Dominio Rango Periodo Asíntotas Simétrica respecto al origen:

π2

ππ kx +=

Funciones trigonométricas recíprocas

( )xy csc=

( ) { entero ,/ nnxRxfDom π≠∈=

( )xy csc=

xx csc)csc( −=−

( ] [ )∞−∞− ,11,

Función impar

Función secante ( )xy sec=

xy sec=Para la función definida se tiene que

( ) { impar entero ,2

/ nnxRxfDom π≠∈=

f

( ] [ )∞−∞− ,11,

xx sec)sec( =−

Dominio: Rango: Periodo: Asíntotas: Simétrica respecto al origen

π2

ππ kx +=2

Función par

Signos de las funciones trigonométricas

P(x) en el cuadrante I II III IV

)(xsen

)(cos x

( )( )xxsenx

cos)(tan =

( )( )xsenxx cos)(cot =

( )xsenx 1)(csc =

( )xx

cos1)(sec =

+=++

+=++

+=+1

+=+1

+

+ −+ −

− − +

−=−+

+=−− −=

+−

−=+−

+=−− −=

−+

+=+1

−=−1

−=−1

−=−1

−=−1 +=

+1