UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMONFacultad de Arquitectura y Ciencias del Hábitat

Carrera Arquitectura

UNIDAD TEMÁTICA 4

CÁLCULO, DIMENSIONAMIENTO YGRAFICACIÓN DE LA VIGA P5 E6 GENERAL

Docente: Arq. Ronald Edwin Almaraz PintoAuxiliar: Univ. Dennis Ckristoffers Saavedra SarmientoEstudiante: Univ. Jacqueline R. Vargas DenenAsignatura: Estabilidades IIIGrupo: 02

Cochabamba – Bolivia.

EJERCICIO Nº 6

Diseñar la viga, determinando la cantidad de acero y su respectiva posición en cada punto de apoyo y entre tramos, además en corte longitudinal.

Con un hormigón de resistencia característica de 21 MPa. Acero B 500 S (calcular con 420 MPa), coeficiente de seguridad de materiales.

qu = 20 KN/mqu = 25 KN/m 62 KN

2.50A B C D

6.00 4.00 2.00 5.00

Encontrar todos los datos necesarios:

1. INERCIA:

Debido a que no existe alguna referencia con respecto a la inercia en los tramos de la estructura se tomará para los mismos con un valor de 1.

2. RIGIDEZ:

3. FACTOR DE DISTRIBUCIÓN

NUDO A:

FD A - VOLADO = 0

1

FD A - B = 1

NUDO B:

FD BA = = 0,500,17 + 0,17

1,00FD BC = = 0,50

0,17 + 0,17

0,17

0,17

NUDO C:

FD CB = = 0,450,17 + 0,20

1,00FD CD = = 0,55

0,20 + 0,170,20

0,17

I = 1

K AB = 1 = 0,17 K BC = 1 = 0,17

6,0 6,0

K CD = 1 = 0,20

5,0

NUDO D:

FD CD = 0

4. DETERMINACIÓN DE MOMENTOS

MF VOL-A = q * L2 = 25 KN * 2,5 (m) = 78,13 KNm

2 2

MF AB = q * L2 = 25 KN * 6,0 (m) = 75,00 KNm

12 12

MF BA = - 75,00 KNm

MF BC = P (KN) * b2 (m) * a (m) = (KNm)

L2 (m)

MF BC = 62 (KN) * 2 (m) * 4 (m) = 27,56 (KNm)

6 (m)

MF CB = P (KN) * a2 (m) * b (m) = (KNm)

L2 (m)

MF BC = 62 (KN) * 4 (m) * 2 (m) = 55,11 (KNm)6 (m)

MF CD = q * L2 = 20 KN * 5,0 (m) = 62,50 (KNm)

8 8

MF DC = - 62,50 (KNm)

NUDO D

TRAMO Volad-A AB BA BC CB CD DC

FD 0 1 0,50 0,50 0,46 0,54 0

MF -78,13 75,00 -75,00 27,56 -55,11 62,5 -62,50

Dist 1 0 3,13 23,72 23,72 -3,40 -3,99 62,50

Prop 1 0 11,86 1,57 -1,70 11,86 31,25 -1,995

Dist 2 0 -11,86 0,065 0,065 -19,83 -23,28 1,995

Prop 2 0 0,033 -5,93 -9,92 0,033 0,99 -11,64

Dist 3 0 -0,033 7,93 7,93 -0,47 0,55 11,64

-78,13 78,13 -47,65 47,65 -66,92 66,92 0

-15,85

A

0,033

C

-3,13 -47,44 7,39

11,86 -0,13 43,11

B

1,023

MAB = - M2 *q

MAB max = - 78,13 = 50,13 KNm2 * 25

M max P BC= ( 17,46 * 4,0 ) - 47,65 = 22,19 KNm

MCD max = - 66,92 = 33,51 KNm

2 * 20

R2

80,08

63,38

A B C D

62,5 KN 150 KN62 KN

100 KN78,13

62,5 75,0075,00 50,00 50,0020,67 41,33

30,48/L

5,08

19,27/L 66,92/L

13,38

80,0862,5 69,92 17,46 44,54 63,38 36,62

47,65 66,92

5,08 3,21 3,21 13,38

"M"

-

+

--

+ +

78,13

47,65

66,92

50,1322,19 33,51 KNm

3,20 3,17

X AB = 80,08KN/25 KNmX AB = 3,20m

X CD = 63,38 KN/20 KNmX CD = 3,17 m

"Q"

+

++

-

80,08

-- -

62,50 69,92

17,46

44,54

63,38

36,62

142,

58 K

n

87,3

8 K

n

107,

92 K

n

36,6

2 K

n

3,20

3,17

1,832,80

Predimensionado de la Viga

h = 6,0 = 0,6 0,60 cm10

b = 0,6 = 0,3

2 0,25 cm

b = 0,6 = 0,2

3Resistencia de diseño del hormigón y del acero

Resistencia de diseño del hormigón:

FCD=

Fck=

21 MPa= 14,00 MPa

C 1,5

Resistencia de diseño del Acero:

FYD=

Fyk=

420 MPa= 365,22 MPa

S 1,15

Determinar altura útil:

d = h - rec - 0,6 - as 60 cm. - 2,5 cm. - 0,6 cm. - 1,2 cm. 56,3 cm.2

= =2

Ecuación simplificada de Moran; Determinar el momento reducido (u)

(Para el momento negativo en el apoyo "A")

µ = Mu (Kn. m) * 1000

b(cm

) *d2

(cm) * Fcd(Mpa

)

µ=

78,13 (Kn. m) * 1000

25(cm

) *56,3

(cm) * 14(Mpa

)

µ = 0,070

Como µ 0,296; no necesita armadura de compresión, por la cual se debe diseñar con armadura de flexiono conocido comúnmente como armadura simple, se debe determinar

la cuantía mecánica W.

0,6

0,25cm

cm

W = 0,07 ( 0,07 + 1 )

W = 0,075

As=

W * b (cm) * d (cm) * FCD (Mpa)= cm2

FYD (Mpa)

As=

0,075 * 25 cm. * 56,3 cm. * 14 MPa = 4,067 cm2365,22 (Mpa)

Para poder determinar la cantidad de barras, se deberá proceder a tener en cuenta la distancia entre barras de acuerdo al reglamento. Y de esta manera determinar la cantidad específica de barras si perjudicar el paso del hormigón.

Número de barras: NºB = AsÁrea deter.

NºB = As =4,06

7 cm2 = 3,599 4 12 mm

Armadura Flexión Simple

u≤0.296≥

W = µ (

Distancia entre barras a) La distancia libre, horizontal y vertical, entre dos barras aisladas consecutivas de la armadura principal debe ser igual o mayor a los tres valores siguientes:

Dos centímetros salvo en viguetas y losas alveolares pretensadas donde se tomara 1.5 cm.

El diámetro de la barra más larga (Ø mayor) ⇛ Ø12mm = 1.2 cm ⇛Ø16mm = 1.6cm ⇛Ø20mm = 2cm

1.25 veces el tamaño máximo del árido. Siendo 38 mm ⇛3.8cm*1.25 = 4.75 cm

Área 16 mm 1,13 cm2

Separación entre barras = b- 2 rec -2Øest - Área n barras/numero espacios

Separación entre barras = 25 cm- 2(2,5)- 2 (0.6cm) –2(1.2 cm)/3Separación entre barras = 25 cm - 1.2cm – 3,2/1Separación entre barras = 4,87 cm

Verificando la cuantía mínima.

En las losas apoyadas sobre el terreno, se dispondrá en la cara inferior la mitad de esta armadura (8) cuantía mínima correspondiente a la cara de tracción. Se recomienda colocar en la cara opuesta una armadura mínima igual al 30% de la indicada en la tabla.

La cuantía mínima correspondiente será:

AS MIN = ᵱ * a * b

As min = 0,0033 * 60 cm. * 25 cm. = 4,95 cm2

NºB = As min = 4,95 cm2 = 4,38 5 12 mm

Área 16 mm 1,13 cm2

La cuantía mínima correspondiente a la cara de tracción será:

As min tracción = 30% * As min

Nº BARRAS

4,87 cm

r =2,5 cm

n: separación espacios

25 cm

CUANTIAS GEOMÉTRICAS MINIMAS EN TANTO POR MIL, REFERIDAS A LA SECCION TOTAL DEL HORMIGON

Tipo de elementoestructural

Clase de acerofyk = 400 N/mm2 fyk = 500 N/mm2

Pilares 0.004 0.004Losas (1) 0.002 0.0018Vigas (2) 0.0033 0.0028Muros (3) Armadura

horizontal 0.004 0.0032Armaduravertical

0.0012 0.0009

As min tracción = 30% * 4,95 cm2

As min tracción = 1,49 cm2

La respuesta será: “De manera que el acero de cálculo (As) es menor al de Acero cuantía mínima de manera que se asume la cuantía mínima”.

Para As min 4,95 cm2 Según la tabla de valores el acero requerido es de:2 12 Que es equivalente a 2,26 cm2

2 16 Que es equivalente a 4,02 cm2

Que es mayor al hallado en el cálculo: 6,28 cm2

6, 28 es mayor a As min 4,95

PARA LOS MOMENTOS RESTANTES:

(Para el momento negativo en el apoyo "B")

25 * 60 cm.

M U = 47,65 KN/m

F ck = 21 MPa

F yk = 420 MPa

SECCION DE

d = h - rec - 0,6 - as 60cm

.- 2,5 cm. - 0,6 cm. - 1,2 cm. 56,3 cm.

2

µb * d2 * Fcd 25 cm. * 56 cm2 * 14,0 MPa

µ = 0,0430 0,3

KN/m* 1000 = 0,0430

ALTURA ÚTIL:

= =2

=MU * 1000 =

47,65

W = µ ( µ + 1 ) = 0 ( 0,043 + 1 ) = 0,04

AS W * b * d2 * FCD 0,045 * 25 cm. * 56 cm. * 14 MPa

AS MIN

= r * a * b = 0 * 25 cm. * 60 cm. = 4,95 cm2

Nº AS 2,42 cm2

F 1,13 cm2

Nº AS 4,95 cm2

F 1,13 cm2

ARMADURA SIMPLE

5 BARRAS DE 12 mm.BARRAS = = = 4,38

BARRAS = = = 2,14

= = = 2,417 cm2

FYD 365,22 MPa

(Para el momento negativo en el apoyo "C")25 * 60 cm.

M U = 66,92 KN/m

F ck = 21 MPa

F yk = 420 MPa

SECCION DE

(Para el momento positivo tramo A- B)25 * 60 cm.

MU = 50,13 KN/m

Fck = 21 MPa

Fyk = 420 MPa

SECCION DE

µb * d2 * Fcd 25 cm. * 56 cm2 * 14,0 MPa

µ = 0,0603 0,3

W = µ ( µ + 1 ) = 0 ( 0,060 + 1 ) = 0,06

AS W * b * d2 * FCD 0,064 * 25 cm. * 56,3 cm. * 14 MPa

AS MIN

= r * a * b = 0 * 25 cm. * 60 cm. = 4,95 cm2

Nº AS 3,45 cm2

F 1,13 cm2

Nº AS 4,95 cm2

F 1,13 cm2

ARMADURA SIMPLE

5 BARRAS DE 12 mm.BARRAS = = = 4,38

BARRAS = = = 3,05

= = = 3,451 cm2

FYD 365,22 MPa

KN/m* 1000 = 0,060=

MU * 1000 =66,92

µb * d2 * Fcd 25 cm. * 56 cm2 * 14,0 MPa

µ = 0,0452 0,3

W = µ ( µ + 1 ) = 0 ( 0,045 + 1 ) = 0,05

AS W * b * d2 * FCD 0,047 * 25 cm. * 56,3 cm. * 14 MPa

AS MIN

= r * a * b = 0 * 25 cm. * 60 cm. = 4,95 cm2

Nº AS 2,55 cm2

F 1,13 cm2

Nº AS 4,95 cm2

F 1,13 cm2

ARMADURA SIMPLE

5 BARRAS DE 12 mm.BARRAS = = = 4,38

BARRAS = = = 2,25

= = = 2,548 cm2

FYD 365,22 MPa

KN/m* 1000 = 0,045=

MU * 1000 =50,13

(Para el momento positivo tramo B- C)25 * 60 cm.

MU = 22,19 KN/m

Fck = 21 MPa

Fyk = 420 MPa

SECCION DE

(Para el momento positivo tramo C-D)

µb * d2 * Fcd 25 cm. * 56 cm2 * 14,0 MPa

µ = 0,0200 0,3

W = µ ( µ + 1 ) = 0 ( 0,020 + 1 ) = 0,02

AS W * b * d2 * FCD 0,020 * 25 cm. * 56,3 cm. * 14 MPa

AS MIN

= r * a * b = 0 * 25 cm. * 60 cm. = 4,95 cm2

Nº AS 1,10 cm2

F 1,13 cm2

Nº AS 4,95 cm2

F 1,13 cm2

ARMADURA SIMPLE

5 BARRAS DE 12 mm.BARRAS = = = 4,38

BARRAS = = = 0,97

= = = 1,101 cm2

FYD 365,22 MPa

KN/m* 1000 = 0,020=

MU * 1000 =22,19

25 * 60 cm.

MU = 33,51 KN/m

Fck = 21 MPa

Fyk = 420 MPa

SECCION DE

La respuesta será: “De manera que el acero de cálculo

(As) es menor al de Acero cuantía mínima, se asume el de cuantía mínima para todos los tramos”. Realizando la combinación.

Para As min 4,95 cm2 Según la tabla de valores el acero requerido es de:2 12 Que es equivalente a 2,26 cm2

2 16 Que es equivalente a 4,02 cm2

Que es mayor al hallado en el cálculo: 6,28 cm2

ARMADURA TRASVERSAL

1.- Separación de estribo

No es aconsejable adoptar, valores mayores a 30 cm.

2.- Diámetro del estribo

El diámetro de los cercos y estribos no debe ser inferior a la cuarta parte del diámetro correspondiente a la barra longitudinal más gruesa, y en ningún caso será inferior a 6 mm.

Diámetro estribo = max ≥ 6 mm4

µb * d2 * Fcd 25 cm. * 56 cm2 * 14,0 MPa

µ = 0,0302 0,3

W = µ ( µ + 1 ) = 0 ( 0,030 + 1 ) = 0,03

AS W * b * d2 * FCD 0,031 * 25 cm. * 56,3 cm. * 14 MPa

AS MIN

= r * a * b = 0 * 25 cm. * 60 cm. = 4,95 cm2

Nº AS 1,68 cm2

F 1,13 cm2

Nº AS 4,95 cm2

F 1,13 cm2

ARMADURA SIMPLE

5 BARRAS DE 12 mm.BARRAS = = = 4,38

BARRAS = = = 1,49

= = = 1,679 cm2

FYD 365,22 MPa

KN/m* 1000 = 0,030=

MU * 1000 =33,51

3.- Ecuaciones de diseño

Vou = 0,3 * FCD * b W * d = (Kn)

10

Vou ≥ Vu ; si no cumple cambiar de sección

Vcu = 0,16 * * b W * d = (Kn)

10

Vu > Vcu ; armadura constructiva 6 c/30

Vsu = Vu -Vcu =

(Kn)

ST = A90º * Fyd * 0.9 d =(cm)

Vsu * 10

Nomenclatura:

Vu = esfuerzo cortante últimoVcu = esfuerzo cortante que absorbe el HºVsu = esfuerzo cortante que absorbe el AºVou = esfuerzo cortante comparativo

St = separación de estribosd = Altura útil

Fcd = resistencia de diseño del hormigónFyd = resistencia de diseño del Aº

Calculando Armadura longitudinal:

√FCD

+

+

+

-

80,08

- - -

62,50 69,92

17,46

44,54

63,38

36,62

0,83 0,83 0,83

1,06 1,06 1,06

0,93 0,93 0,93 0,67 0,67 0,67

1,33 1,33 1,33

1,67

0,61 0,61 0,61

1,06 1,06 1,06

41,75

20,75

53,05

26,53

46,45

23,22

42,39

21,19

24,41

12,21

Como es procedimiento es largo, comenzaremos por la cortante de mayor valor.

Utilizando el momento negativo mayor de la viga que es 80,08 KN , obtenemos un Vu de 76,33 KN.

80,08 = Vu Vu = 76,33 KN

3,2 3,05

Calcular la separación de estribos de la viga, bajo el siguiente cortante último Vu = 76,33 Kn, sección de viga 25X60, resistencia característica del hormigón de 21 MPa, resistencia característica del acero de 420 S.

Vu = 76,33 Kn Sección: 25 cm * 60 cm fck = 21 MPa fYk = 420 S MPa

a) Resistencia de diseño del hormigón y del acero

Resistencia de diseño del hormigón:

FCD=

Fck=

21 MPa= 14,00 MPa

C 1,5

Resistencia de diseño del Acero:

FYD=

Fyk=

420 MPa= 365,22 MPa

S 1,15

Altura útil:

d = h- rec – Ø est. - ØAs/2 = 60cm-2.5cm-0.6cm-1.2cm/2 = 56.3cm.

b) Esfuerzo cortante comparativo

Vou = 0,3 * FCD * b W * d = (Kn)

10

Vou = 0,3 * 14 Mpa * 25 cm * 56,3 cm2 = (Kn)

10

COLUMNA: 30*30 (cm)

15 cm

15 cm

A90º = p D2 * 2

A90º = p 0,6 ² * 2 = 0,57

A90º = p D2 = 0,57

4

2

4

Vou = 591,2 KN

591,2 >

76,33 ; armadura constructiva

c) Esfuerzo cortante que absorbe el hormigón

Vcu = 0,16 * * b W * d = (Kn)

10

Vcu = 0,16 * * 25cm * 56,3 cm2 = (Kn)

10

Vcu = 84,26 KN

d) Esfuerzo cortante que absorbe el Acero

Vsu = Vu - Vcu

Vsu = 76,33 KN - 84,26 KN

Vsu = 7,93 KN

e) Separación de estribos

ST = A90º * Fyd * 0.9 d = (cm)

Vsu * 10

ST = 0,57 *365,22Mpa * 0.9 (56,3) =

(cm)

7,93 * 10

ST = 130,68 cm

Debido al espaciamiento mayor al mínimo de la normativa, la armadura transversal constructiva adoptada será: 6 c/ 30 (estribos de 6mm cada 30 cm).

PARA LAS CORTANTES RESTANTES:

Volado:

62,50 = Vu Vu = 58,75 KN

√FCD

√14Mpa

2,50 2,35591,2 > 58,75

Vsu = Vu - Vcu

Vsu = 58,75 KN - 84,26 KN

Vsu = 25,51 KN

ST = 0,57 *365,22Mpa * 0.9 (56,3) =

(cm)

42,36 * 10

ST = 24,46 cm

Tramo B-A

69,92 = Vu Vu = 66,17 KN

2,80 2,65591,2 > 66,17

Vsu = Vu - Vcu

Vsu = 66,17 KN - 84,26 KN

Vsu = 18,09 KN

ST = 0,57 * 365,22Mpa * 0.9 (56,3) = 57,29(cm)18,09 * 10

Asumimos: 6 c/ 30 Tramo C-D

63,38 = Vu Vu = 60,38 KN

3,17 3,02

591,2 > 60,38

Vsu = Vu - Vcu

Vsu = 60,38 KN - 84,26 KN

Vsu = 23,88 KN

ST = 0,57 * 365,22Mpa * 0.9 (56,3) = 43,40(cm)23,88 * 10

Asumimos: 6 c/ 30

Tramo D-C

36,62 = Vu Vu = 33,62 KN

1,83 1,68591,2 > 33,62

Vsu = Vu - Vcu

Vsu = 33,62 KN - 84,26 KN

Vsu = 50,64 KN

ST = 0,57 * 365,22Mpa * 0.9 (56,3) = 20,46(cm)50,64 * 10

Asumimos: 6 c/ 20

LONGITUDES DE ANCLAJE

En zonas sísmicas, las longitudes de anclaje deben aumentarse en 10 Ø.

La norma americana del ACI prescribe un valor de 30 cm como longitud mínima de anclaje por prolongación recta de barras corrugadas trabajando a tracción y 20 cm si trabaja a compresión.

Adoptaremos una longitud de 60 cm.

DIA

M.

PARC

IAL

TOTA

L(m

m)

ab

cd

ef

(m)

(m)

12

P112

0,2

19,3

50,

219

,75

39,5

22

P116

0,20

4,50

4,7

9,4

32

P216

4,00

48

42

P316

3,67

3,67

7,34

52

P412

0,25

19,3

50,

2519

,85

39,7

62

P416

4,55

4,55

9,1

72

P516

2,55

2,55

5,1

82

P616

3,68

0,25

3,93

7,86

975

P76

0,60

0,25

0,60

0,25

0,10

0,10

1,90

142,

50

PLA

NIL

LA D

E A

CER

OS

Nº

CA

NTID

AD

POSI

CIÓ

ND

IMEN

SIO

NES

(m

)O

BSER

VA

CIO

NES

a

ab

c

ab a a

ab

c

ab

a a

b

c

def

PLANO CONSTRUCTIVO

2

barr

as 1

2 m

m.

0,6

0,25

cm

2 ba

rras

16

mm

.

2 ba

rras

12

mm

.

0,6

0,25

cm 2 ba

rras

16

mm

.

2 ba

rras

12

mm

.

0,6

0,25

cm

2 ba

rras

16

mm

.

2 ba

rras

12

mm

.

0,6

0,25

cm 2 ba

rras

16

mm

.

2 ba

rras

12

mm

.

0,6

0,25

cm

2 ba

rras

16

mm

.

2 ba

rras

12

mm

.

0,6

0,25

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