giraldod1_d3
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Analisis de convergencia para problemas tipo
(f0
)
1 de octubre de 2014
sean (u(t), p(t)) ∈ V ×Q y (uk(t), p
k(t)) ∈ V
k×Q
klas soluciones de (8) y (12) respectiva-
mente. Restando (12) de (8), obtenemos la siguiente ecuacion del error:
d
dt(u(t)− u
k(t), v) + a (u(t)− u
k(t), v) + b (v, p(t)− p
k(t)) = 0; ∀v ∈ V
k
b (u(t)− uk(t), q) = 0 ∀q ∈ Q
k
(1)
ANALISIS I
Lema 0.1 Supongamos que la forma bilineal a es elıptica en V . Sean (u(t), p(t)) ∈ V × Q y(u
k(t), p
k(t)) las soluciones de (8) y (12) respectivamente.
SeaK
k:= {v
k∈ V
k: b(v
k, q
k) = 0, ∀q
k∈ Q
k}
Si∂u
∂t∈ t2((0, T ), H)] y
∂uk
∂t∈ t2((0, T ), H) son acotadas, entonces la siguiente estimacion
del error se verifica:
maxt∈[0, T ]
‖u(t)− uk(t)‖2+α
(∫ T
0
‖u(t)− uk(t)‖
)2
≤∥∥u0 − u0,k
∥∥2V
+c
(∫ T
0
‖u(t)− πu(t)‖2) 1
2
+ . . .
. . .+ c
(∫ T
0
‖u(t)− πu(t)|2V
)+
∫ T
0
|b(πu(t)− uk(t), p(t))| (2)
donde π : V + → Kk es un operador.
1
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Dem!
En primer lugar, notese que de la elipticidad de a en V y de la ecuacion del error (1),obtenemos:
1
2
d
dt‖u(t)− uk(t)‖2 + α‖u(t)− uk(t)‖2
V≤ . . .
. . . ≤(∂
∂t(u(t)− u
k(t)), u(t)− u
k(t))
)+ a (u(t)− u
k(t), u(t)− u
k(t)) = . . .
. . . =
(∂
∂t(u(t)− u
k(t))
)+ a (u(t)− u
k(t), u(t)− πu(t))− b (πu(t)− u
k(t), p(t)− p
k(t)) = . . .
. . . =
(∂
∂t(u(t)− u
k(t))
)+ a (u(t)− u
k(t), u(t)− πu(t))− b (πu(t)− u
k(t), p(t)) , (πu(t) ∈ K
k) ≤ . . .
. . . ≤‖ ∂
∂t(u)‖‖u(t)− πu(t)‖+c‖u(t)− u
k(t)‖
V‖u(t)− πu(t)‖
V+ |b(πu(t)− u
k(t), p(t))| ≤ . . .
. . . ≤ c‖u(t)− πu(t)‖+1
2α‖u(t)− u
k(t)‖2
V+C
2α‖u(t)− πu(t)‖2
V+b(πu(t)− u
k(t), p(t))
Ası:
d
dt‖u(t)−uk(t)‖2+‖u(t)−uk(t)‖2
V≤ c‖u(t)−πu(t)‖+‖u(t)−πu(t)‖2
V+2 |b(πu(t)− u
k(t), p(t))|
Integrando esta ultima desigualdad en [0, T ], se obtiene la estimacion deseada.
Observaciones
1. La constante c del 1 termino del lado derecho de la desigualdad anterior, depende de la
cota de las derivadas∂u
∂ty∂uk∂t
en t2((0, T ), H).
2. La hipotesis de regularidad adicional sobre∂u
∂ty∂u
k
∂tno es muy fuerte si f ∈ t2((0, T ), H)].
3. Si solo se tiene∂u
∂t∈ t2((0, T ), V ′) y
∂uk
∂t∈ t2((0, T ), V ′), se obtiene un resultado similar,
pero con ‖.‖V
en lugar de ‖.‖ en el 2 termino del lado derecho de la estimacion.
2