Analisis de convergencia para problemas tipo

(f0

)

1 de octubre de 2014

sean (u(t), p(t)) ∈ V ×Q y (uk(t), p

k(t)) ∈ V

k×Q

klas soluciones de (8) y (12) respectiva-

mente. Restando (12) de (8), obtenemos la siguiente ecuacion del error:

d

dt(u(t)− u

k(t), v) + a (u(t)− u

k(t), v) + b (v, p(t)− p

k(t)) = 0; ∀v ∈ V

k

b (u(t)− uk(t), q) = 0 ∀q ∈ Q

k

(1)

ANALISIS I

Lema 0.1 Supongamos que la forma bilineal a es elıptica en V . Sean (u(t), p(t)) ∈ V × Q y(u

k(t), p

k(t)) las soluciones de (8) y (12) respectivamente.

SeaK

k:= {v

k∈ V

k: b(v

k, q

k) = 0, ∀q

k∈ Q

k}

Si∂u

∂t∈ t2((0, T ), H)] y

∂uk

∂t∈ t2((0, T ), H) son acotadas, entonces la siguiente estimacion

del error se verifica:

maxt∈[0, T ]

‖u(t)− uk(t)‖2+α

(∫ T

0

‖u(t)− uk(t)‖

)2

≤∥∥u0 − u0,k

∥∥2V

+c

(∫ T

0

‖u(t)− πu(t)‖2) 1

2

+ . . .

. . .+ c

(∫ T

0

‖u(t)− πu(t)|2V

)+

∫ T

0

|b(πu(t)− uk(t), p(t))| (2)

donde π : V + → Kk es un operador.

1

Dem!

En primer lugar, notese que de la elipticidad de a en V y de la ecuacion del error (1),obtenemos:

1

2

d

dt‖u(t)− uk(t)‖2 + α‖u(t)− uk(t)‖2

V≤ . . .

. . . ≤(∂

∂t(u(t)− u

k(t)), u(t)− u

k(t))

)+ a (u(t)− u

k(t), u(t)− u

k(t)) = . . .

. . . =

(∂

∂t(u(t)− u

k(t))

)+ a (u(t)− u

k(t), u(t)− πu(t))− b (πu(t)− u

k(t), p(t)− p

k(t)) = . . .

. . . =

(∂

∂t(u(t)− u

k(t))

)+ a (u(t)− u

k(t), u(t)− πu(t))− b (πu(t)− u

k(t), p(t)) , (πu(t) ∈ K

k) ≤ . . .

. . . ≤‖ ∂

∂t(u)‖‖u(t)− πu(t)‖+c‖u(t)− u

k(t)‖

V‖u(t)− πu(t)‖

V+ |b(πu(t)− u

k(t), p(t))| ≤ . . .

. . . ≤ c‖u(t)− πu(t)‖+1

2α‖u(t)− u

k(t)‖2

V+C

2α‖u(t)− πu(t)‖2

V+b(πu(t)− u

k(t), p(t))

Ası:

d

dt‖u(t)−uk(t)‖2+‖u(t)−uk(t)‖2

V≤ c‖u(t)−πu(t)‖+‖u(t)−πu(t)‖2

V+2 |b(πu(t)− u

k(t), p(t))|

Integrando esta ultima desigualdad en [0, T ], se obtiene la estimacion deseada.

Observaciones

1. La constante c del 1 termino del lado derecho de la desigualdad anterior, depende de la

cota de las derivadas∂u

∂ty∂uk∂t

en t2((0, T ), H).

2. La hipotesis de regularidad adicional sobre∂u

∂ty∂u

k

∂tno es muy fuerte si f ∈ t2((0, T ), H)].

3. Si solo se tiene∂u

∂t∈ t2((0, T ), V ′) y

∂uk

∂t∈ t2((0, T ), V ′), se obtiene un resultado similar,

pero con ‖.‖V

en lugar de ‖.‖ en el 2 termino del lado derecho de la estimacion.

2