(geometría)2015-04

4

2015

• Aptitud Académica

• Matemática

• Ciencias Naturales

• Cultura General

Preguntas propuestas

Geometría

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822

2

Relaciones métricas I

NIVEL BÁSICO

1. Se muestra un cuadrado ABCD cuyo lado mide 1. Halle BE.

A D

CB

E

A) 1 B) 2 C) 32

D) 3

3 E)

12

2. Si P, Q y B son puntos de tangencia y PQ=4, calcule AB.

O1O2

Q

P

B

A

A) 2,5 B) 3 C) 2D) 2,4 E) 3,5

3. Según el gráfico, P, Q y R son puntos de tan-gencia. Si MR=3 2, calcule AM.

A) 6

R

P

Q

A M

B) 18

C) 9

D) 3 2

E) 3

4. Del gráfico, E y R son puntos de tangencia, PH=2(EP) y LR=6. Calcule LP.

A) 2

E P

R

H

L

B) 6

C) 2

D) 6

E) 3

5. En un triángulo isósceles ABC, de base AC, AB=13 y longitud del circunradio de dicho triángulo.

A) 10 B) 12,1 C) 14,4D) 16,9 E) 19,6

6. En el gráfico mostrado, calcule ABAC

.

A

B

C

A) 1 B) 12

C) 13

D) 2

2 E)

33

7. En el gráfico mostrado, T es punto de tangen-

cia. Calcule ADDN

.

A D N

T

A) 12

B) 1 C) 2

D) 2 E) 23

Geometría


3

8. En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. Calcule a+b.

α

β

B C

A D

A) 30º B) 45º C) 60ºD) 75º E) 90º

NIVEL INTERMEDIO

9. Del gráfico mostrado, m mBE DE = , AB=a y BC=b. Halle CD (T es punto de tangencia).

D

E

C

BT

A

A) a – b

B) ab

C) aba b+

D) b a b

a( )+

E) a a b

b( )+

10. En el gráfico, AB=9, MN=2 y BM es mediana del T DBC. Calcule AD.

A B

N

C

MD

A) 3 5 B) 65 C) 2 10

D) 6 E) 7

11. En el gráfico, M es un punto de tangencia. Cal-cule x.

x

M

A) 60º B) 75º C) 90ºD) 106º E) 120º

12. En el gráfico mostrado, CD=3 y PC=4. Calcule CE (A y B son puntos de tangencia).

A

C

PE

B

D

A) 1 B) 1,2 C) 1,5D) 1,8 E) 2

Geometría


4

NIVEL AVANZADO

13. En el gráfico, H es punto de tangencia. Si OP=3, calcule PH.

H BA

P

O

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

14. En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia. Calcule x.

x

P

Q

A) 80º

B) 100º

C) 85º

D) 90º

E) 120º

15. En el gráfico, FD=DG, AE=4(EC) y PB=4.

Calcule PC.

θ

θF

P GC

E

BA

D

A) 3

B) 1

C) 4

D) 2

E) 3,2

Geometría


5

Relaciones métricas II

NIVEL BÁSICO

1. En la figura mostrada, AB=4 cm y BC=5 cm. Calcule la longitud (en cm) de EC.

ββ

L

B

A C

E

D

A) 3 B) 3,25 C) 3,75

D) 4 E) 4,5

2. Se tiene un triángulo RAB, tal que AB=4, AR=5 y BR=6. Calcule la longitud de la bisectriz interior relativa a AR.

A) 2 2 B) 3 2 C) 2 3

D) 3 3 E) 17

3. En el gráfico, AB=6; BC=5 y DF=4. Calcule EF.

F

AD EC

B

A) 5 B) 6 C) 3 5

D) 2 6 E) 4 7

4. Si QR=5 y TR=4, calcule UQ. (P, Q, R, S y T son puntos de tangencia).

Q

RS

T

PU

A) 169

B) 409

C) 649

D) 809

E) 309

5. Del gráfico, O es el centro del paralelogramo ABCD, CS=2(BS)=4 y DR=3. Calcule BD.

A

B S R C

D

O

A) 13 B) 15 C) 17

D) 19 E) 34

6. Se muestra una circunferencia inscrita en el triángulo SAR, AS=5, SR=7 y AR=8. Calcule AZ.

A R

Z

S

A) 153 B) 163 C) 1737

D) 1837

E) 1937

Geometría


6

7. En un trapecio ABCD, AD // BC, AD=16, BC=6,

AB=7 y CD=13. Calcule la longitud del seg-

mento que tiene por extremos los puntos me-

dios de las bases.

A) 5 B) 5 2 C) 2 7

D) 3 7 E) 2 21

8. Se muestra un cuadrado ABCD, los cuadrantes

y una semicircunferencia de centro O. Si

AB=m y MN=n, halle OE (E es punto medio

de MN).

A O D

BM

E

N

C

A) mn B) mnm n+ C)

m n2 2

2−

D) 2

2

2 2m n− E) 2mn

NIVEL INTERMEDIO

9. En un triángulo ABC, AB=2, BC= 5 y AC= 6.

Halle la longitud de la altura relativa a AC.

A) 2236

B) 2136

C) 22312

D) 4266

E) 42612

10. En un triángulo ABC, se traza la altura BH, que

interseca a la circunferencia inscrita en M y N.

Si AB=15, AC=14 y BC=13, halle MN.

A) 2 5

B) 3 6

C) 2 15

D) 2 17

E) 4 3

11. En un cuadrado ABCD se inscribe una circun-

ferencia, la cual es intersectada en P por el

arco BD con centro en C. (P más cercano a

B); además, AB=4. Halle OM si M es el punto

medio de CP y O es el centro de la circunfe-

rencia.

A) 1 B) 2

2 C)

12

D) 2 E) 24

12. Del gráfico, P, Q y T son puntos de tangencia. Si

PQ=5, TA=8 y TB=2, calcule TQ.

A T

BQ

P

A) 54

B) 165

C) 3

D) 132

E) 41

Geometría


7

NIVEL AVANZADO

13. En la figura, M, N, S y T son puntos de tangencia. Si R · r=4, calcule (BS)2 – (AT)2.

TS

M

NR

BAO

r

A) 4 B) 8 C) 12D) 16 E) 2

14. En el gráfico, MN // AC, AC=9 y BC2 – AB2=72. Calcule HP.

A H P C

NM

B

A) 1B) 2C) 2D) 2 2E) 4

15. Según el gráfico, E y F son puntos de tangencia, EA=a y OF=b. Calcule PH.

H

E

F

BP

OA

A) a b2 2+

B) a

a b

2

2 22 −

C) 2 2

2 2

b

a b+

D) 2

2

2 2b a−

E) 2 2 2a b−

Geometría


8

Relaciones métricas III

NIVEL BÁSICO

1. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. El teorema de Marlen solo se aplica en el cuadrado y rectángulo.

II. El teorema de Ptolomeo puede aplicarse en todo cuadrilátero.

III. El teorema de Euler solo se aplica en trapecios.

A) VVV B) VFV C) VFFD) VVF E) FVV

2. Se tiene un cuadrilátero inscriptible ABCD, (AB)(CD)=m y (BC)(AD)=n. Halle (AC)(BD).

A) mn B) 2mn C) m+n

D) mnm n+

E) ( )mnm n

2

+

3. En el gráfico mostrado, 3(BC)=4(AB) y

2(CD)=3(AD). Halle AEEC

.

E

D

A

B

C

A) 1 B) 2 C) 23

D) 34

E) 12

4. Se tiene un triángulo equilátero ABC. La cir-cunferencia inscrita es tangente a AB, BC y AC en M, N y P, respectivamente. Se ubica D en BC , tal que AM=2 y AP=4. Halle AN.

A) 2 B) 3 C) 2 3

D) 6 E) 6 3

5. Si AB // MN, indique la relación correcta entre

AB, BC, BM y BN.

B C

NM

A

A) (AB)(BC)=(BM)(BN)

B) (AB)(BN)=(BM)(BC)

C) AB+BN=BM+BC

D) (AB)2+(BN)2=(BM)2+(BC)2

E) (AB)2+(BC)2=(BM)2+(BN)2

6. El cuadrilátero ABCD es inscriptible, AB=a,

BC=b, CD=c y AD=d, halle CEBD

.

α+θ

α+2θ

α

E B C

A

D

A) ad bcab cd

++

B) abcd

C) acbd

D) ac bdab cd

++

E) a cb d

++

Geometría


9

7. Sea ABCD un cuadrilátero bicéntrico. M, N, P y Q son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita, con AB, BC, CD y AD, respectivamente, tal que (MN)2+(NP)2+(PQ)2+(MQ)2=32. Ha-lle el inradio del cuadrilátero ABCD.

A) 1 B) 2 C) 4D) 2 E) 2 2

8. Se tiene un heptágono regular ABCDEFG. Si

AC=a, AD=b y 1 1 15a b

+ = , calcule la longitud

del lado del heptágono.

A) 6 B) 5 C) 10

D) 15

E) 110

NIVEL INTERMEDIO

9. Si (AB)2+(AC)2=32, (AN)2+(MD)2=24, halle la longitud del segmento que tiene por

extremos los puntos medios de AC y MD.

N

MB

A D

C

A) 1 B) 2 C) 3D) 2 E) 4

10. Se muestra una circunferencia inscrita en el T ABC: equilátero, MN+NP=K. Halle DN.

A) K2

A

D

C

P

BNM

B) K

C) K 3

D) K 2

2

E) K 32

11. Se tiene un triángulo ABC, AB=6, BC=8, ade-más, mS BIO=90º. Halle AC. (I y O son incentro y circuncentro del T ABC, respectivamente).

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

12. Se muestra un rectángulo ABCD, en que CE=6. Calcule (BO)2+(OD)2.

α

α

A E

O

D

B C

A) 6B) 12C) 24D) 36E) 72

NIVEL AVANZADO

13. Según el gráfico, T y Q son puntos de tangencia, CE=3, BP=5 y AL=4. Calcule x.

x

A Q

CB

L

EP

T

A) 37º B) 53º C) 53º/2D) 30º E) 45º

Geometría


10

14. En un triángulo ABC, AB=a, BC=b y mS ABC=2a, la bisectriz del S ABC interseca a la circunferencia circunscrita en D. Halle BD.

A) ab sena

B) ab cosa

C) ab

a b+( )cosα

D) a b+2cosα

E) a b+2senα

15. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero, T es punto de tangencia y NL=12. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de BL y CN.

A) 4

CLA

N T

B

B) 6 C) 8D) 2 E) 3

Geometría


11

Áreas de regiones triangulares

NIVEL BÁSICO

1. En el gráfico mostrado, AB es diámetro, R=2 y mAT = 30º. Halle el área de la región sombrea-

da (T y M son puntos de tangencia).

T R

M BA

A) 4 3 B) 6 C) 6 3

D) 12 E) 12 3

2. En la región interior de una región equilátera

se ubica un punto cuyas distancias hacia los

lados del equilátero miden 1; 2 y 3. Halle el

área de dicha región equilátera.

A) 6 B) 6 3 C) 12

D) 12 3 E) 36

3. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 12,

halle el área de la región BMN (T: punto de

tangencia).

T

N

M DA

CB

A) 30 B) 40 C) 60

D) 80 E) 90

4. Se muestran las regiones regulares ABCD y

ANU, AB=3. Halle el área de la región ANU.

A D

B

N

C

U

A) 3 2+

B) 3 23+

C) 2 3 3 2

3+( )

D) 3 3 3 22

+( )

E) 3 3 2

3+( )

5. Si O es el centro del cuadrado ABCD, AB=m y DL=n, halle el área de la región BOL.

B C

A D L

O

A) mn B) mn2

C) mn 2

2

D) 2mn E) mn4

Geometría


12

6. Si las medianas de una región triangular miden

9; 12 y 15, halle el área de dicha región.

A) 36 B) 54 C) 72

D) 84 E) 96

7. Si 2(BN)=3(MN), halle la razón de áreas de

las regiones ABM y BMC. (A, B son puntos de

tangencia).

MA

B

NN

C

A) 1 B) 1/2 C) 1/3

D) 2/3 E) 3/4

8. Según la figura, calcule la razón de las áreas de

las regiones sombreadas si CD=2(AB) y A es

punto de tangencia.

D

C

B

A

A) 1/2 B) 2/3 C) 1/4

D) 2/5 E) 1/8

NIVEL INTERMEDIO

9. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F)

de las siguientes proposiciones.

I. Si dos regiones son congruentes, entonces

sus áreas son iguales.

II. Si dos regiones son equivalentes, entonces

sus áreas son diferentes.

III. Si dos regiones son isoperimétricas, enton-

ces sus áreas son iguales.

A) VVV

B) VFF

C) VFV

D) VVF

E) FFF

10. En el gráfico mostrado, AB y AO son diámetros,

AO=OB=4. Halle el área de la región sombrea-

da (T es punto de tangencia).

T

A O B

A) 2 2

B) 3 2

C) 8 33

D) 16 23

E) 32 23

Geometría


13

11. Se muestra una circunferencia inscrita en el

t DNL, además, (AB)(BC)=26. Halle el área de

la región DNL si a+b=90º.

ββ

αα

LB

C

N

D

A

A) 6,5 B) 13 C) 13 2D) 26 E) 26 2

12. Halle el área de una región triangular cuyos

lados miden 2 ; 2 y 5.

A) 212

B) 313

C) 312

D) 314 E)

213

NIVEL AVANZADO

13. Calcule el área de una región triangular si las

longitudes de sus alturas son 5; 2 y 2 5 .

A) 2 5 B) 4 C) 4 5D) 3 5 E) 5

14. En un triángulo ABC, cuyo ortocentro y circun-

centro son H y O, respectivamente, tal que

BH=BO, AB=6 y BC=8, calcule el área de la

región ABC.

A) 6 3 B) 2 3 C) 3 3

D) 4 3 E) 12 3

15. Sobre los lados, AB y AC de un triángulo ABC

se ubican los puntos P y Q, respectivamente. Si

AQ=a y AC=b, y PC ∩ BQ={M}, calcule el área

de la región PMB en función de las áreas de las

regiones PMQ(S1) y BCM(S2).

A) S S1 2· ·a b

a b++

B) S S1 2· ·a b

a b−+

C) S S2 1· ·a b

b a−−

D) S S1 2

1

a b+

−

E) S S2 1· ·b a

b a−−

Geometría


14

Áreas de regiones cuadrangulares

NIVEL BÁSICO

1. Del gráfico mostrado, halle la razón de áreas

de las regiones ABC y BCED.

A EC

B

D

A) 1 B) 12

C) 13

D) 2

2 E) 2

2. Si el área de la región AEB es 20 m2, calcule el

área de la región EDC.

E

A

B C

D

A) 20 m2

B) 10 m2

C) 18 m2

D) 20 2 m2

E) 20 3 m2

3. Halle la relación entre S1, S2 y S3 si ABCD es un

trapecio y AE // CD.

B C

D

E

A

S2S2

S3S3

S1S1

A) SS S

12 32

=+

B) S S S2 1 3= ·

C) S S S2 1 3= +

D) S S S22

12

32= +

E) SS S

21 32

=+

4. Según el gráfico, mAMB = 135º y PQ=2 u. Cal-

cule el área de la región sombreada.

L

A

B

Q

N

P

M

A) 2 u2

B) 3 2 u2

C) 4 2 u2

D) 5 2 u2

E) 6 2 u2

Geometría


15

5. Se muestra un cuadrado ABCD en el que

CN=4 m. Halle el área de la región sombreada.

NN

A D

B C

A) 4 m2 B) 6 m2 C) 8 m2

D) 16 m2 E) 32 m2

6. Si ABCD es un rombo, C es punto de tangencia

y DP=10 m, calcule el área de la región ABCD.

23ºAD

P

CB

A) 32 m2 B) 32 3 m2 C) 64 m2

D) 25 m2 E) 50 2 m2

7. Se tiene un triángulo equilátero ABC, en el que

se traza CH ⊥ AB, además se ubica M en AC y

N en la región exterior relativa a BC, tal que

MCNE es un cuadrado (H pertenece a ME).

Calcule la razón de áreas de las regiones ABC

y MCNE.

A) 32

B) 2 33

C) 4 33

D) 4 39

E) 3 38

8. En un paralelogramo ABCD se traza la diago-

nal AC y se ubica el punto medio M de AD. Si

BM ∩ AC={Q} y el área de la región paralelo-

grámica es 60 u2, calcule el área de la región

triangular AMQ.

A) 4 u2 B) 5 u2 C) 6 u2

D) 8 u2 E) 10 u2

NIVEL INTERMEDIO

9. Calcule el área de la región sombreada si el T ABC es equilátero y BP=4. (P es punto de tangencia).

P CA

B

A) 2 3 B) 4 3 C) 6 3D) 4 E) 8

10. En el gráfico mostrado, A y B son puntos de tangencia y AM=MN=5. Calcule el área de la región OBCD.

O

B

C

D

A M N

A) 7 B) 8 C) 11D) 12 E) 16

Geometría


16

11. Calcule la razón de áreas de la región cuadra-da ADIN y la región DIPL. (L y P son puntos de tangencia)

A) 2

L

D I

A N

P

B) 32

C) 43

D) 1615

E) 2512

12. Se sabe que P es punto de tangencia, y S1 y Sx son áreas de las regiones sombreadas. Calcule Sx si S1=10 m2. (ARQP es un cuadrado).

R

Q

PP

A D

CBB

SxSx

S1S1

A) 15 m2 B) 20 m2 C) 5 m2

D) 10 m2 E) 25 m2

NIVEL AVANZADO

13. Si ADEF es un romboide y S1, S2, S3 represen-tan a las áreas de las regiones sombreadas, in-dique la relación correcta. (AD= 2FC).

B

A45º

DD

F C

E

S1

S2S2 S3S3

A) S3=S1+S2

B) S2=S3+S1

C) (S2)2=(S1)2+(S3)2

D) (S3)2=(S1)(S2)

E) S S S3 2 1= +

14. En el gráfico, calcule el área de la región som-breada ABCD si O es punto medio de AC y

PC=2 5 2 3− u.

OO

DPA

B C

A) 3 u2 B) 4 u2 C) 2 3 u2

D) 8 u2 E) 4 3 u2

15. En el gráfico mostrado, ABCD y CDEF son rom-

boides, tal que el centro de este último perte-

nece a BN. Halle la razón de las áreas de las

regiones sombreadas.

B C F

A D E

N

A) 1 B) 2 C) 23

D) 2

2 E) 3

Anual UNI

01 - c

02 - c

03 - e

04 - d

05 - e

06 - a

07 - b

08 - b

09 - b

10 - b

11 - e

12 - d

13 - d

14 - d

15 - b

Relaciones métRicas iii

01 - d

02 - d

03 - C

04 - d

05 - e

06 - C

07 - b

08 - C

09 - b

10 - d

11 - d

12 - d

13 - e

14 - e

15 - C

ÁReas de Regiones tRiangulaRes

01 - a

02 - a

03 - c

04 - c

05 - d

06 - B

07 - d

08 - B

09 - B

10 - e

11 - e

12 - d

13 - a

14 - e

15 - a

ÁReas de Regiones cuadRangulaRes

01 - A

02 - B

03 - C

04 - D

05 - E

06 - D

07 - E

08 - D

09 - E

10 - C

11 - D

12 - C

13 - D

14 - E

15 - B

Relaciones métRicas ii

01 - D

02 - C

03 - D

04 - D

05 - D

06 - D

07 - B

08 - E

09 - D

10 - A

11 - C

12 - B

13 - B

14 - D

15 - D

Relaciones métRicas i

(geometría)2015-04

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