04 geometría 2° i bim arcangel 2016
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
2/27
115 115 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
2°Sec - I Bim.
1 Líneas Geométricas
L1
L2
Es el conjunto de puntos ilimita dos
en sus extremos; es decir que no tiene
medida.
1. RECTA
Ejemplos:
Línea Recta AB
A
B
L
Línea Recta L
1.1 Tipos de Recta
1.1.1 Rectas Paralelas
1.1.2 Rectas Secantes
Son rectas que se intersecan en un
punto.
L1
L2
L1
L2
A
BSegmento AB
3 c m
PQ
1.1.2 Rectas Perpendiculares
Son rectas que forman un ángulo
de 90º.
Es una porción de recta que es
limitada en sus extremos.
2. SEGMENTO DE RECTA
Medida del segmento PQ
mPQ = PQ = 3 cm
Son rectas que no se intersecan en
ningún punto.
Ejemplos:
A B C D
Es un conjunto de puntos que tiene
origen y no tiene final.
3. RAYO O SEMIRRECTA
O
A
Rayo OA
AO
B
Rayo OA y Rayo OB
Indica cuántas rectas, segmentos yrayos ves en la siguiente figura:
B
O
A
C
F
D
E
Rectas : ________________
Segmentos : ________________
Rayos : ________________
Ejemplos:
Indica cuáles son los segmentos que
ves en los siguientes dibujos:
A B C
AB, BC y AC.
AB, BC, CD, AC, BD y AD.
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3/27
Geometría
116 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
Ejerc ic ios Propuest os
1) Relaciona correctamente.
a) Segmento AB
b) Rayo AB
c) Medida del segmento AB
d) Recta AB
( ) AB
( ) AB
( ) AB
( ) AB
2) Dibuja dos rectas paralelas quedisten 4 cm.
5) Dibuja un punto e indica cuánta srectas pasan por dicho punto.
6) Dibuja dos puntos e indicacuántas rectas pasan por esos dos
puntos.
11) D i b u j a d o s s e g m e n t o sperpendiculares que midan 4 y
3 cm.
12) Dibuja dos rectas secantes queformen un ángulo de 120°.
8) De la figura mostrada, indicacuántos segmentos hay.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 9 e) 10
A L C EI
9) De la figura mostrada, indicacuántos de los elementos
mencionados existen.
Rayos : … … … … …
Segmentos : … … …
Rectas : … … … … …
16) Ubica 4 puntos no colinealese indica cuántos segmentos se
forman al unir todos los puntos.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
13) D i b u j a d o s s e g m e n t o sperpendiculares, AB = 3
cm y BC = 4 cm. Utilizando
una regla graduada, indicaaproximadamente el valor de
AC.
a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm
d) 7 cm e) 8 cm
18) De la figura, indica cuántossegmentos existen.
a) 10
b) 18
c) 30
d) 35
e) 38
22) Indica cuántos segmentos hay enla siguiente palabra.
a) 15
b) 17
c) 18
d) 20
e) 21
24) D i b u j a d o s s e g m en t o sperpendiculares en uno de sus
extremos, de medidas 8 y 15 cm.
Calcula el menor recorrido para
ir de extremo a extremo.
a) 16 b) 17 c) 18
d) 20 e) 21
25) Imagínese una cajita de zapatose indica el número de segmentos
que pertenecen a la superficie.
a) 8 b) 10 c) 11
d) 12 e) 16
32) Según la f igura indica loverdadero.
a ) PQ = QR
b) PQ = 2QR
c) QR = 2PQ
d) PR = 2PQe) P Q + Q R = P R
P Q R
35) Calcula el perímetro de lasiguiente línea curva.
a) 9 b) 8 c) 16
d) 18 e) 15
2
4
3
37) Calcula el perímetro de lasiguiente línea mixta.
a) 3+ 16 b) 5+ 18 c) 16
d) 18 e) 4+ 14
2 44
6
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
4/27
117 117 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
2°Sec - I Bim.
Resoluc ión: Resoluc ión:
Resoluc ión: Resoluc ión:
Aho ra resuelve tú
31) Si una línea curva mide 36m, ¿cuántoscuadrados se pueden formar de lado 3m?
a) 1 b) 2 c) 4
d) 3 e) 5
23) Dibuja dos segmentos perpendiculares en unode sus extremos, de medidas 6 y 8 cm. Calcula
la distancia (aprox.) de los extremos.
a) 10 cm b) 9 cm c) 8 cm
d) 6 cm e) 2 cm
17) De la figura, indica cuántossegmentos existen.
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
36) Indica el perímetro de la siguientelínea curva.
a) 20 b) 16 c) 24
d) 32 e) 18
4 8
2
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
5/27
Geometría
118 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
3) Relaciona correctamente.
a) Rayo PQ
b) Medida del segmento PQ
c) Semirrecta PQ
d) Recta PQ
( ) PQ
( ) PQ
( ) PQ
( ) PQ
10) De la figura mostrada, indicacuántos de los elementos
mencionados existen.
Rayos : … … … … …
Segmentos : … … …
Rectas : … … … … …
7) De la figura mostrada, indicacuántos segmentos hay.
a) 1 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
A B C D
28) Indica cuántos segmentos tienela siguiente palabra.
a) 28 b) 38 c) 48
d) 52 e) 42
33) Según la f igura indica loverdadero.
a ) AB = BC = C D
b) BC = CD
c) AD - BC = AB + CD
d) AB + BC = AD
e) AC - BC = CD
A C DB
21) Indica cuántos segmentos hay enla siguiente palabra.
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Reforc emos en casa
4) Dibuja t res rectas paralelas quese encuentren a una distancia de
1 cm una de ot ra.
14) D i b u j a d o s s e g me n t o sperpendiculares, PQ = 5cm y
QR = 12cm. Utilizando la regla,
indica el valor (aprox.) de PR.
a) 13 cm b) 15 cm c) 16 cm
d) 17 cm e) 18 cm
15) Ubica tres puntos no colinealese indica cuántos segmentos se
forman al unir todos los puntos.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
19) Dibuja 3 puntos colineales A,B y C, tal que AB = 3 cm y
BC = 1 cm.
20) D i b u ja c u a t r o p u n t o sconsecutivos: A, B, C y D, tal
que: AB = 1 cm, BC = 2 cm yCD = 1,5 cm.
27) Si una línea curva mide 25 m,¿cuánto medirá si la estiramos y
se convierte en una línea recta?
a) 50 m b) 30 m c) 35 m
d) 25 m e) 20 m
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
6/27
119 119 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
2°Sec - I Bim.
2 Operacionescon SegmentosI
En el capítulo ant erior estudiamos
las líneas geométricas y vimos que el
segmento es una de estas líneas. Re-
cordemos amigos que el segmento es
un concepto visto la clase anterior: esuna porción de recta limitada por dos
puntos llamados extremos.
Hemos tomado los puntos A y B de
la recta L, a esta porción de recta limi-
tada por dichos puntos la llamamos:
Segmento AB o segmento BA.
Se representa mediante la siguien-
te notación:
PQ : Segmento PQ o
QP : Segmento QP
P Q
La longitud o medida de un seg-mento es un número entero “positi-
vo”,
En los problemas que veremos la
clase de hoy lo representaremos de dos
maneras. Por ejemplo:
Si el segmento PQ tiene una longi-
tud de 5 cm, entonces:
I. m PQ = 5 cm II. PQ = 5 cm
A B
L
1. LONGITUD DE UN SEG-MENTO (MEDIDA)
P Q
5 cm
Notación
2. PUNTO MEDIO DEUN SEGMENTO
Es el punto que divide a un seg-
mento en dos segmentos parciales deigual longitud o medida. Vemos esto en
la figura.
A BM
Observación:Se dice también que “M” biseca al
segmento AB.
Veamos unos ejemplos para entendermejor lo expuesto hasta ahora.
Si AB = 3 y BC = 2, calcula“AC”.
Si AC = 8 y M es punto medio
de AC, calcula “AM”.
AM = MC, pero AM + MC = 8,
AM + AM = 8
2(AM) = 8
AM = 4
OJO: Si la figura es:
AC = AB + BCAB = AD - BDAC = AD - CDAD = AB + BC + CDC D = AD - ACBD = BC + CD
A B DC
“M” es el punto medio del segmento AB
mAM = mMB o AM = MB.
A M C
AC = AB + BC
AC = 3 + 2 AC = 5
A B C
Rpta.: d
1) En la figura mostrada:
AB = 2BC
CD = 8 AD = 20
Calcula BC.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 8
A B C D
Resolución:
AB = 2BC AB = 2x (x)
3x + 8 = 20
3x = 12
x = 4
A B C D2x x 8
20
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Geometría
120 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
Ejerc ic ios Propuest os
QP SR
2) Indica verdadero (V) o falso (F).
a ) PQ+ QS= QR ( )
b) PR + RS= PS ( )
c) PQ = QR ( )
d) PS - PQ= QS ( )
BA DC
4) Si AB= BC= 2 y “C” es punto
medio de AD, calcula AD.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 8 e) 10
QP SR
8) Si PR= QS= 7 y PS= 10, hallamQR.
a) 4 b) 4,5 c) 5d) 5,5 e) 6
BA DC
9) Si AC + BD= 12 y AD= 9, hallamBC.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
BA C
x-1 x
11) Calcula el valor de “x” si AC = 11.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
14) Se tiene los puntos colineales“P”, “Q”, “R” y “S”, tal que
P Q = 2, QR = 5 y P S= 11.
Calcula la distancia entre los
puntos medios de QR y RS.
a) 3 b) 4,5 c) 5
d) 6 e) 7
BA DC
10
15
x
8
15) Calcula “x”.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
A DB
2x+ y x+ 2y
C
x+ y
15) Si AD = 24, calcula CD.
a) 2 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
A DB
3x+ 2y x-y
C
x+ 4y
16) Si AD = 30, calcula “x+ y”.
a) 2 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
A DB
6 4
C
8
17) De la figura, calcula la distanciaentre los puntos medios de AB y
CD .
a) 10 b) 11 c) 12
d) 14 e) 16
A CB
2x 3x
13) Si AC = 15, calcula “x”.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 10 e) 15
BA DC
9
11
22) Calcula CD si AB = 6.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 9
18) Se tienen los puntos colineales “P”,“Q” y “R”, tal que PQ + QR = 11
y PQ - QR = 5. Halla mPQ.
a) 3 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
P Q S
x + 9
R
x y - 3
24) De la figura, calcula PR - QS.
a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6
25) Se tiene los puntos consecutivos
“A”, “ B”, “C ” y “D ”, tal que:
- = .
Si (AC)(AB)= 16, calcula BC.
a) 16 b) 8 c) 4
d) 2 e) 1
1
AB
1
AC
1
BC
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
8/27
121 121 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
2°Sec - I Bim.
Resoluc ión: Resoluc ión:
Resoluc ión: Resoluc ión:
Aho ra resuelve tú
BA DC
13) Si AB= 4, BC= 5 y CD = 6,calcula la distancia entre los
puntos medios de AB y CD.
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
QP SR
6
9
x
5
16) Calcula “x”.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
14) Si AD = 23, calcula “x”.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 9 e) 12
DB
3x x-2
C
x
A
17) Se tienen los puntos colinealesA, B y C, tal que AB + BC = 5
y AB - BC = 3. Halla m BC.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
9/27
Geometría
122 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
Reforcemos en casa
QP R
x 2x+ 5
12) Calcular “x” si PR= 20.
a) 5 b) 6 c) 8
d) 10 e) 15
A DB
5 3
C
7
18) Calcula la distancia entre lospuntos medios de AB y CD.
a) 9 b) 10 c) 12d) 16 e) 18
A CB
12) D e l a fi gu ra , A B = x AC = x + 3, calcula BC.
a) 2 b) x + 2 c) 3
d) x + 1 e) 2x + 3
BA DC
13
20
10
21) Calcula BC.
a) 2 b) 3 c) 6
d) 7 e) 10
1) De la figura mostrada, indicaverdadero (V) o falso (F).
a ) AB+ BC= AC ( )
b) AB . BC= AC ( )c) AB - AC= BC ( )
d) AC - BC= AC ( )
BA C
BA DC
3) Si AB= 3, BC= 5 y AD= 10,calcula CD .
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 8
BA DC
7) Si AC= BD= 5 y AD= 8, hallamBC.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
OJ LE
10) Si JE + OL= 28 y JL= 22, hallamOE.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
A B DC
19) Calcula AC, si AB= 5, BD= 12y “C” es punto medio de BD.
a) 7 b) 9 c) 10
d) 11 e) 13
A B D
2 - x 6 + 3x
C
1 - 2x
21) De la figura, calcula AD.
a) 7 b) 8 c) 9
d) 8 - x e) 6 + x
P Q S
3 - x
R
x - 1
22) Si “Q” es punto medio de PR,calcular QS.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 - x e) 6 + x
A B E
x - 2y
D
y + 1
C
8 - x y
23) De la figura, calcula AC + CE.
a) 10 b) 9 c) 8
d) 7 e) 6
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
10/27
123 123 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
2°Sec - I Bim.
3 Operacionescon SegmentosI I
En los problemas del día de hoy nostoparemos con situaciones como la si-guiente: 2mAB = 3mCD … Y ahora!!!… ¿ qué hacemos?
Pues bien, ahora sí presta muchísimaatención.Una manera sencilla de resolver esteproblema es la siguiente: Igualemos eseenunciado al Mínimo Común Múltiplo(MCM) de los coeficientes de las longi-tudes de los segmentos, es decir:2mAB= 3mCD= MCM (2, 3)= 6a… pero eso sí, siempre se igualará a lresultado del MCM de los coeficien-tes pero multiplicado por un escalarcualquiera, en nuestro caso pusimos elescalar “a”, de esta manera podremostrabajar las longitudes de los segmentos
AB y C D con coeficientes enteros.
1. PRODUCTO DE UN ESCA-LAR Y LA LONGITUD DEUN SEGMENTO
Bueno muchachos, ant es de em-
pezar este capítulo tenemos que saberla definición de la palabrita “escalar”.
Un escalar es simplemente un número
entero o fraccionario que para nuestro
tema de hoy lo utilizaremos para ser
coeficiente de la longitud de un seg-
mento, el cual también es un número.
Veamos lo expuesto gráficamente:
x
P Q
Si k < 1kx
A B
Si k > 1
kxC D
mAB es una frac-
ción de mPQ.
mCD es un múltiplo
de mPQ.
AB
BC
2
3
El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza
El número áureo aparece en las proporciones queguardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro
cuerpo, etc.
Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzadodel Partenón griego.
En la figura se puede comprobar que AB/CD =. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el
número áureo, por ejemplo: AC/AD = y CD/CA= . Hay un precedente a la cultura griega donde tam-
bién apareció el número de oro. En la gran pirámidede Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres
triángulos que forman la pirámide y el lado es 2. Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un
pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el
número áureo. En un pentágono regular está basada laconstrucción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia
Menor.Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de
crédito, en nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de tabaco. Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos
y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci, que sirvió para ilustrarel libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.
En dicho libro se describen cuáles han de ser las proporciones de las cons-trucciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el q ue
las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo seanproporciones áureas. Estirando manos y pies, y haciendo
centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cua-
drado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, enun cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos
de los dedos de ambas manos cuando los brazos estánextendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco.
Resulta que el cociente entre la altura del hombre (ladodel cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la
mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
* Si = y
AB + BC = 15, calcula BC - AB.
2mAB = 6a mAB = 3a 3mCD = 6a mCD = 2a
Se emplea este método para evitar el hecho de tener que traba jar con coeficientes
fraccionarios.
Veamos unos ejemplos antes de empezar con los ejercicios:
* Si 3m AB = 5m CD y
AB + CD = 16, calcula AB.
04 Geometría 2°I Bim Arcangel 2016.indd 123 11/02/2016 05:15:47 p.m.Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
11/27
Geometría
124 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
Ejerc ic io s Propuest os
10) Del gráfico, calcula CD.
a) 12 b) 15 c) 18
d) 20 e) 25
A C D
31
B
7 3a 5a
4) De la la figura, QS = 8. HallamPS.
a) 9 b) 10 c) 12
d) 16 e) 18
P Q R S
5k 3k k
2) Se tienen los puntos consecutivos
P, Q y R, tal que = .
Si PR = 27, calcula PQ.
a) 12 b) 13 c) 15
d) 18 e) 24
PQ
QR
4
5
P
8) Si PQ = 2 y = , calcula
PR.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
QR
PR
1
3
Q R
P
6) Si 4(PQ) = 7(RS), QR = 6 y “Q”es punto medio de PS, calcula
PS.
a) 7 b) 14 c) 21
d) 28 e) 35
R SQ
12) De la figura:si 3(PQ) = 4(QR) = 24, calcula
“x”.
a) 10 b) 12 c) 13
d) 14 e) 18
A Q C
x
A B C
13) Si 2 (AB) + 3 (BC)= 36 y
= , calcula AC.
a) 7 b) 14 c) 18
d) 36 e) 43
ABBC 34
P Q R
14) Si 2(PQ)-QR= 9 y PQ= 2(QR),
calcula PQ.
a) 6 b) 8 c) 9
d) 12 e) 16
17) Se tienen los puntos consecutivosP, Q, R y S, tal que
2( PQ ) = 6( Q R) = R S. S i
PS = 30, calcula PQ.
a) 6 b) 9 c) 10
d) 12 e) 15
19) Se tienen los puntos colinealesA, B y C, tal que
7(BC) = 4(AC) = 28, calcula
AB.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 7 e) 14
A B DC
BC
CD21) De la figura, = y
= , además AD = 16.
Calcula AB.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3
4
CD
AD
1
2
23) Se tiene los puntos consecutivosP, Q, R y S tal que
= , donde “R” es punto
medio de PS y PS = 30. Calcula
QR.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 12
PQ
RS
2
5
24) Se tienen los puntos consecuti-vos T, R, I, G, O y S t al que
TR = 2(RI) = 3(IG) = 4(GO) =
OS. Si TS = 74, calcula RG.
a) 10 b) 16 c) 20
d) 32 e) 30
P Q R
20m
26) En la figura, calcula QR siPQ + 2QR = 80m.
a) 20 m b) 30 m c) 24 m
d) 32 m e) 40 m
A DB C
30) Calcula ACsi AC= CD= 2BC y AD= 60 m.
a) 10 m b) 20 m c) 30 m
d) 40 m e) 50 m
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
12/27
125 125 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
2°Sec - I Bim.
Resoluc ión: Resoluc ión:
Resoluc ión: Resoluc ión:
Aho ra resuelve tú
A C DB
15) Si 3(CD) = 5(BC), AB = 1 y “C”es punto medio de AD, calcula
AD.
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
A CB
27) Halla AB si AB = 2(BC) y AC + BC = 40m.
a) 20 m b) 10 m c) 30 m
d) 15 m e) 24 m
A DB C
29) Calcula CDsi AB= BC= 2CD y AC= 30 m.
a) 4 m b) 5 m c) 6 m
d) 7 m e) 9 m
A CB M
45) Halla BM, siendo M puntomedio de AC, AC = 20 m y
AB = 8 m.
a) 1 m b) 3 m c) 4 m
d) 2 m e) 5 m
04 Geometría 2°I Bim Arcangel 2016.indd 125 11/02/2016 05:15:48 p.m.Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
13/27
Geometría
126 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
Reforc emos en casa
5) De la la figura, AL = 2(IC) yCE = 2(LI). Si AE = 9, halla
m LC.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
A L C EI
1) Se tienen los puntos consecutivos
A, B y C, t al que = .
Si AC = 10, calcula BC.
a) 3 b) 4 c) 6
d) 8 e) 9
AB
BC
2
3
3) De la la figura, AC = 15. HallamBD.
a) 27 b) 25 c) 22
d) 21 e) 18
A B C D
2x 3x 4x
9) Del gráfico, calcula BC.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
A C D
20
B
5k 3k 4
7) Si BC = 4 y = , calcula
AC.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 9 e) 10
AB
AC
3
5
A B C
11) De la la figura: si 2(AB) = 3(BC) = 6, calcula
“x”.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 8 e) 9
A B C
x
16) Se tienen los puntos consecutivosA, B, C y D, ta l que
3(AB) = 2 (BC) = CD.
Si AD = 22, calcula BC.
a) 6 b) 5 c) 3
d) 2 e) 1
18) Se tienen los puntos colinealesP, Q y R, tal que
5(PQ) = 3(QR) = 30, calcula
QR - PQ.
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
PQ
QR20) De la figura, = y
= , además PS = 12.
Calcula QR.
a) 1 b) 2 c) 4
d) 5 e) 6
1
3
QR
PS
1
2
P Q SR
A B C
12m
25) En la figura, calcula BCsi AB + 2(BC) = 30m.
a) 6m b) 7m c) 8m
d) 9m e) 10m
A DB C
28) Calcula BC si AB = BC = 3CDy AD = 35 m.
a) 5 m b) 10 m c) 15 m
d) 20 m e) 18 m
A CB M
46) Halla BM, siendo M punto mediode AC, AC = 36 m y BC = 20 m.
a) 5 m b) 4 m c) 1 m
d) 3 m e) 2 m
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
14/27
127 127 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
2°Sec - I Bim.
4 ÁngulosI
1. CONCEPTO
Es la unión de dos rayos en el que
se determina un punto común llamado
vértice.
O
E
A
B
I
Donde :
OA : Rayo
OB : Rayo
I : Punto perteneciente a la
región interna del ángulo.
E : Punto perteneciente a la
región externa del ángulo.
O : Vértice del ángulo.
m
AO B =
(Medida del ángulo AOB).
A
B
30ºO
m
AOB =
m
BOA =
Unidades:
: en grados sexagesimales.
* Aprendamos a leer los ángulos:
Notación
m
COD =
m
DOC =
O D
C
110º
2. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es el rayo que divide el ángulo en
dos partes iguales.
Sea la figura:
O
B
P
A
1º = 1 grado sexagesimal
1º < > 60’
1’ = 1 minuto sexagesimal
1’ < > 60’’
1’’ = 1 segundo sexagesimal
1º < > 3600’’
Calcula 15º /2 en grados y minutos.
= 7º + .
= 7º 30'
= 7º + =
< > 7º 30'
Ejemplos:
152
12
12
60'1
7º +60'
2
15º
2
Si OP es bisectriz del AOB, enton-
ces: m AO P = m POB =
3. CLASIFICACIÓN DE LOSÁNGULOS
Ángulo Agudo
Según sus medidas, los ángulos se
clasifican en:
0º < < 90º
90º < < 180º
Ángulo Obtuso
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
15/27
Geometría
128 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
= 90º
Ángulo Recto
= 360º
Observamos algunos ejemplos de
ángulos agudos y obtusos.
* Ángulos Agudos 6º, 15º, 18º, 35º, 80º, 86º
* Ángulos Obtusos 100º, 108º, 118º, 120º, 158º, 170º
Da dos los siguientes ángulos, indica los
tipos de ángulo que son:
14º : … … … … … … … … … … … …
115º: … … … … … … … … … … … …
156º: … … … … … … … … … … … …
78º : … … … … … … … … … … … …
180º: … … … … … … … … … … … …
89,9º: … … … … … … … … … … … …
360º: … … … … … … … … … … … …
48º : … … … … … … … … … … … …
Utilizando el transportador, mide los
siguientes ángulos:
Ángulo Llano
Ángulo de una vuelta
=
=
=
=
= 180º
Rpta.: c
1) Calcular en grados y minutos.
a) 7º30' b) 9º30' c) 11º30'
d) 13º30' e) 25º
Resolución:
2) Calcula "x".
a) 50º b) 60º c) 70º
d) 80º e) 85º
Resolución:
Rpta.: b
= 11,5 11º30'
3x + 90 = 180
x = 30
46º
4
46º
4
x 2x
x 2x
GRAN ESFINGE DE GIZA
La Gran Esfinge de Giza es ungran monumento en la margenoccidental del río Nilo. La ca-beza es una representación delrey Kefrén y el cuerpo es el deun león. Fue construida durantela Cuarta Dinastía (2723 a.C - 2563 a.C).
Dimensiones Longitud: 73 metros Ancho: 20 metros Altura: 14 metros
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
16/27
129 129 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
2°Sec - I Bim.
2) Indica verdadero (V) o falso (F),según corresponda.
a) 93º es agudo. ( )
b) 125º es agudo. ( )
c) 180º es agudo. ( )
d) 80º es agudo. ( )
3) Indica qué tipo de ángulos son:
a) 105º … .… … … … … .....
b) 138º … .… … … … … .....
c) 1º … .… … … … … .....
d) 89º … .… … … … … .....
Utilizando el transportador
mide aproximadamente los
siguientes ángulos:
8)
=
9)
=
10)
=
16) Calcula en grados y minutos.
a) 3º10’ b) 3º15’ c) 3º20’
d) 3º30’ e) 3º50’
7º
2
17) Calcula en grados y minutos.
a) 11º75’ d) 11º30’
b) 11º60’ e) 11º15’
c) 11º50’
45º
4
* G rafica aproximadamente lossiguientes ángulos:
20 ) Halla "x".
a) 160º b) 150º c) 45ºd) 100º e) 135º
45ºx
23) = 60º
24) = 105º
25) = 175º
30º - 2x
2x - 70º
S
Q
R
P
12) Si PQ es bisectriz del SPR ,calcula x.
a) 5º b) 6º c) 10º
d) 20º e) 25º
A
O B
28) Utilizando compás y regla trazala bisectriz del siguiente ángulo.
A
O B
29) Ut ilizando compás y regla trazala bisectriz del siguiente ángulo.
38) Calcula “” .
a) 50º b) 40º c) 80º
d) 60º e) 30º
100°
Calcula x.
a) 100º b) 110º c) 105º
d) 125º e) 115º
O
x
40°
Calcula si OC es bisectriz del
BOD.
a) 50º b) 40º c) 30º
d) 35º e) 45º
B
50°
C
OA D
65°
Ejerc ic ios Propuest os
04 Geometría 2°I Bim Arcangel 2016.indd 129 11/02/2016 05:15:48 p.m.Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
17/27
Geometría
130 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
39) Calcula “” .
a) 10º b) 18º c) 12º
d) 16º e) 20º
2 3
Calcula si OB es bisectriz del
AOC.
a) 60º b) 50º c) 55º
d) 65º e) 75º
B
50°
C
OA D
Halla “” .
a) 40º b) 30º c) 50º
d) 60º e) 70º
B C
OA D
100°
120°
Resoluc ión: Resoluc ión:
Resoluc ión: Resoluc ión:
Aho ra resuelve tú
A
B
CO
Halla m
BOC
si m
AOB = 2m
BOC y m
AOC = 72°.
a) 20º
b) 28º
c) 30º
d) 36º
e) 24º
04 Geometría 2°I Bim Arcangel 2016.indd 130 11/02/2016 05:15:48 p.m.Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
18/27
131 131 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
2°Sec - I Bim.
5)
Utilizando el transportador
mide aproximadamente los
siguientes ángulos:
6)
7)
=
=
=
1) Indica verdadero (V) o falso (F),según corresponda.
a) Un ángulo agudo es menor
que 90º. ( )
b) Un ángulo llano tiene como
medida 360º. ( )
c) Un ángulo es obtuso cuando
es igual a 180º. ( )
d) Un ángulo recto tiene como
medida 90º . ( )
4) Indica qué tipo de ángulos son:
a) 66º . ..… … … .… ..........
b) 360º . ..… … … .… ..........
c) 180º . ..… … … .… ..........
d) 179º . ..… … … .… ..........
26) Utilizando un transportadormide un ángulo de 100º.
27) Utilizando un transportadormide un ángulo de 130º.
* G rafica aproximadamente lossiguientes ángulos:
P
O Q
30) Ut ilizando compás y regla trazala bisectriz del siguiente ángulo.
Ox3x - 20º
A
B
C
11) Si OB es bisectriz del AOC,calcula x.
a) 5º b) 10º c) 15º
d) 20º e) 30º
15) Calcula en grados y minutos.
a) 6º b) 6º10’ c) 6º12’
d) 6º20’ e) 6º25’
31º
5
18) Calcula en grados y minutos.
a) 17º d) 16º15’
b) 16º45’ e) 16º10’
c) 16º30’
67º
4
40) Halla “x”.
a) 20º b) 40º c) 60º
d) 50º e) 30º
2x x60°
Halla .
a) 10º b) 12º c) 15º
d) 18º e) 16º
4
Calcula m BOC
si m
AOC = 3m
BOC.
a) 30º b) 36º c) 40º
d) 48º e) 45º
BC
OA
Calcula .
a) 50º b) 70º c) 65º
d) 75º e) 60º
O
140°
110°
Reforc emos en casa
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
19/27
Geometría
132 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
5 ÁngulosI I
1. ÁNGULOS COMPLEMEN-TARIOS
No ta
Complemento de x = 90º - x
Cuando observamos en los
problemas la notación: “com-
plemento de x” , la vamos a
interpretar como la diferencia
entre 90º y el ángulo x.
= 90º
2. ÁNGULOS SUPLEMENTARI-OS
Suplemento de x = 180º - x
+ = 180º
No ta
Cuando observamos en los
problemas la notación: “su-
plemento de x”, la vamos a
interpretar como la diferen- cia entre 180º y el ángulo x.
3. ÁNGULOS CONSECUTIVOSO ADYACENTES
{ , } : ángulos consecutivos
Lado
Común
3. ÁNGULOS OPUESTOS POREL VÉRTICE
=
=
Veamos algunas aplicaciones acerca del
tema de hoy:
Complemento de 70º =
=Suplemento de 120º =
=
Complemento de 42º =
=
Suplemento de 135º =
=
Suplemento del Complemento de
40º
SC(40º)
=
Complemento del Complemento de
60º
CC(60º)
=
Siendo:
C(x)
= Complemento de x
S(x)
= Suplemento de x
C CC C … C(x)
= x
CCC … C(x)
= C(x)
= 90º - x
SSSS … S(x)
= x
SSSS … S(x)
= S(x)
= 180º - x
2n veces
2n+1 veces
2n veces
2n+1 veces
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
20/27
133 133 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
2°Sec - I Bim.
2x
20º
2) Del gráfico, calcula x.
a) 15º b) 20º c) 25º
d) 30º e) 35º
6) Si dos ángulos son complemen-tarios y uno es el triple del otro,
calcula el mayor de los ángulos.
a) 22,5º b) 45º c) 67,5º
d) 75º e) 90º
7) Si la diferencia de dos ángulossuplementarios es 20º, calcula el
menor de los ángulos.
a) 60º b) 70º c) 80º d) 90º e) 100º
Ejerc ic ios Propuest os
11) Calcula x.
a) 16º b) 18º c) 21º
d) 24º e) 26º
3x - 42º
x
13) Calcula: CCC C(48º)
a) 52º b) 48º c) 42º
d) 60º e) 30º
14) Calcula: SSSS(100º)
a) 108º b) 100º c) 80º
d) 60º e) 30º
90º
180º
180º
90º 180º
90º
18) Calcula: E =
a) d)
b) e)
c)
SSS()
CCCC ()
20) Calcula x.
a) 30º b) 40º c) 50º
d) 60º e) 80º
110º
x20º 30º
21) Del gráfico, calcula x.
a) 60º b) 70º c) 80º
d) 90º e) 100º
x
4
3+ 25º
32) Dos ángulos son complementariosy están en la relación de 4 a 5.
Calcula el menor de ellos.
a) 30º b) 60º c) 40º d) 50º e) 70º
34) Dos ángulos son suplementariosy están en la relación de 2 a 3.
Calcula el mayor de los ángulos.
a) 72º b) 36º c) 144º
d) 136º e) 108º
Q
S
R
P
T
24) Si m PQR= 60º, m PQT= 40º y QS es bisectriz del PQT, halla
m SQT.
a) 10º b) 20º c) 30º
d) 40º e) 50º
26) Calcula la diferencia entreel complemento de 20º y el
suplemento de 150º.
a) 10º b) 20º c) 30º
d) 50º e) 40º
2 3
80º
41) Halla el suplemento de .
a) 80º b) 160º c) 20º
d) 40º e) 100º
42) Calcula el complemento de x siOC es bisectriz de BOD.
a) 80º b) 160º c) 20º
d) 40º e) 100º
A O D
C
B
2x 20º
47) El complemento y el suplementode un ángulo están en relación
de 1 a 10. Calcula la medida de
dicho ángulo.
a) 10º b) 30º c) 80º
d) 40º e) 60º
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-
8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
21/27
Geometría
134 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
Aho ra resuelve tú
Resoluc ión: Resoluc ión:
Resoluc ión: Resoluc ión:
9) Si la diferencia de dos ánguloscomplementarios es 10º, calcula
el mayor de los ángulos.
a) 40º b) 50º c) 60º
d) 70º e) 80º
90º
180º 90º
90º 90º
180º
17) Calcula E =
a) d)
b) e)
c)
CCCC()
SS()
33) Dos ángulos son suplementariosy uno de ellos es el triple del otro.
Halla el mayor de ellos.
a) 120º b) 150º c) 160º
d) 135º e) 110º
4
39) Halla el complemento de .
a) 18º b) 36º c) 72º
d) 24º e) 30º
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
22/27
135 135 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
2°Sec - I Bim.
Reforc emos en casa
1) Del gráfico, calcula x.
a) 5º b) 10º c) 18º
d) 22º e) 40º
x
4x
= 40º
3) Del gráfico, calcula si y soncomplementarios.
a) 60º b) 50º c) 40º
d) 30º e) 20º
4) Del gráfico, calcula si y sonsuplementarios ( = 50º).
a) 40º b) 60º c) 130º
d) 150º e) 160º
5) Si dos ángulos son complemen-tarios y uno es el doble del otro,
calcula el menor de los ángulos.
a) 30º b) 40º c) 60º
d) 80º e) 150º
8) Si la diferencia de dos ángulossuplementarios es 100º, calcula
el mayor de los ángulos.
a) 100º b) 110º c) 120º
d) 130º e) 140º
80º5x
12) Calcula x.
a) 14º b) 16º c) 18º
d) 20º e) 25º
15) Calcula: CCCCCCC(35º)
a) 35º b) 45º c) 55º
d) 65º e) 75º
16) Calcula: SSSSSSS(75º)
a) 75º b) 85º c) 95º
d) 105º e) 115º
60ºx
20º
19) Calcula x.
a) 20º b) 30º c) 40º
d) 50º e) 60º
22) Del gráfico, calcula x.
a) 33º b) 66º c) 114º
d) 147º e) 150º
2
x
99º -
25) Halla la diferencia entre els u p l e m e n t o de 6 0 º y el
complemento de 70º.
a) 80º b) 90º c) 110º
d) 100º e) 120º
x10º
O
P
C
A
23) Si m AO C = 80º y OP esbisectriz del AOC, calcula x.
a) 15º b) 30º c) 40º
d) 65º e) 70º
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
23/27
Geometría
136 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
6 RectasParalelas
Ángulos formados pordos rectas paralelas yuna recta secante
Exteriores: 1, 2, 7, 8
Interiores: 3, 4, 5, 6
Alternos Internos: (3;6),(4;5)
Alternos Externos: (1;8),(2;7)Correspondientes: (1,5),(3,7),(4,8),(2,6)
Conjugados Interiores: (3,5),(4,6)
Conjugados Exteriores: (1,7),(2,8)
1 2
3 4
5 6
7 8
L1
L2
PROPIEDADES:
=
=
+ =180°
+ =180°
Ejemplos:
Resolución:
Si L1 //L
2, calcula + 2° .
a) 10° b) 15° c) 20°
d) 22° e) 25°
5= 100°
= 20° + 2° = 22°
Resolución:
x= 60°
80° L1
L2
2
x L1
L2
60°
Si L1 //L
2, calcula x.
a) 30° b) 40° c) 50°
d) 60° e) 70°
80°x L1
L22
100°
5
L1
L2
2= 80°
= 40°
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
24/27
137 137 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
2°Sec - I Bim.
Ejerc ic ios Propuest os
2) Si L1 //L
2, ca lcula ‘‘x’’.
a) 15° b) 20° c) 25°
d) 40° e) 50°
100o
4x
L2
L1
5) Si L1 //L
2, ca lcula ‘‘x’’.
a) 30° b) 35° c) 40°
d) 70° e) 140°
L2
L1
2x
140o
7) Si L1 //L2, ca lcula ‘‘x’’.
a) 16° b) 32° c) 80°
d) 100° e) 148°
x
148o
L2
L1
9) Si L1 //L
2, ca lcula ‘‘x’’.
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 60°
L2
L1
3x
60o
11) Si L1 //L
2, ca lcula ‘‘x’’.
a) 20° b) 40° c) 50°
d) 60° e) 80°
3x
160° -x
L2
L1
13) Si L1 //L2, ca lcula ‘‘x’’.
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
L2
L1
5x + 10°
3x - 70°
16) Halla si L1 //L
2.
a) 30° b) 32° c) 26°
d) 20° e) 25°
L2
L1
130o
2
21) Halla si L1 //L
2.
a) 30° b) 36° c) 40°
d) 32° e) 48°
L2
L13+ 20°
40°
22) Halla si L1 //L
2//L
3.
a) 120° b) 100° c) 110°
d) 130° e) 140°
4x
L2
L1
5x
L3
27) Halla x si L1 //L2.
a) 130° b) 150° c) 140°
d) 160° e) 120°
L2
L1 70°
x30°
28) Halla si L1 //L
2.
a) 30° b) 20° c) 35°
d) 45° e) 50°
L170°
L2
100°
29) Si L1 //L
2//L
3, calcula “x” .
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 60°
L2
L1 100
o
L3
60o
x
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
25/27
Geometría
138 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
31) Si L1 //L
2, calcula “x” .
a) 60° b) 80° c) 90°
d) 100° e) 120°
L2
L1
80o
x
20o
33) Si L1 //L
2//L
3, calcula “ x”.
a) 42,5° b) 67,5° c) 105°
d) 112,5° e) 125°
L2
L1
L3
3
x
5
35) Si L1 //L
2//L
3, calcula “x”.
a) 18° b) 28° c) 38°
d) 52° e) 60°
150o
L2
L1
58o
L3
x
42) Halla si L1 //L
2.
a) 90° b) 80° c) 100°
d) 95° e) 85°
L1
L2
40°130°
43) Halla x si L1 //L
2.
a) 26° b) 24° c) 32°
d) 36° e) 40°
L1
L2
60°
x
84°
49) Halla x si L1 // L
2 y además
AB= B C.
a) 40° b) 30° c) 35°
d) 45° e) 50°
L1
L2
45°
A C
x
B
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26/27
139 139 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”
2°Sec - I Bim.
Aho ra resuelve tú
Resoluc ión: Resoluc ión:
Resoluc ión: Resoluc ión:
25) Halla si L1 //L
2.
a) 10°
b) 18°
c) 20°
d) 24°
e) 36°
L1
L2 50°
150°
1) Si L1 //L
2, ca lcula ‘‘x’’.
a) 10°
b) 20°
c) 30°
d) 40°
e) 80°
2x
40o
L2
L1
12) Si L1 //L
2, ca lcula ‘‘x’’.
a) 30°
b) 40°
c) 50°
d) 60°
e) 80°
140° - x
L2
L1
2x - 40°
14) Si L1 //L
2, ca lcula ‘‘x’’.
a) 50°
b) 30°
c) 20°
d) 10°
e) 5°
L2
L1
6x + 50°
100o
04 Geometría 2°I Bim Arcangel 2016.indd 139 11/02/2016 05:15:49 p.m.Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
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8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016
27/27
Geometría
140 “M arcandola difercia envalores hoy ysiempre”
Reforc emos en casa
3) Si L1 //L
2, ca lcula ‘‘x’’.
a) 50° b) 55° c) 60°
d) 65° e) 70°
L2
L1
x
110o
4) Si L1 //L
2, ca lcula ‘‘x’’.
a) 10° b) 15° c) 30°
d) 40° e) 60°
6) Si L1 //L
2, ca lcula ‘‘x’’.
a) 12° b) 16° c) 18°
d) 20° e) 24°
L2
L1
5x
80o
8) Si L1 //L2, ca lcula ‘‘x’’.
a) 9° b) 35° c) 45°
d) 105° e) 135°
L2
L1
5x
135o
L2
L1
2x
120o
10) Si L1 //L
2, ca lcula ‘‘x’’.
a) 5° b) 10° c) 15°
d) 12° e) 7,5°
L2
L1
8x
120o
20) Halla si L1 //L
2.
a) 25° b) 20° c) 24°
d) 18° e) 30°
L2
L1
6
30o
7
L2
L1
3
L3
23) Halla si L1 //L2//L3.
a) 36° b) 45° c) 48°
d) 50° e) 54°
26) Halla si L1 //L
2.
a) 40° b) 32° c) 36°
d) 45° e) 30°
L1
L2 40°
170°
30) Si L1 //L
2//L
3, calcula “x” .
a) 40° b) 50° c) 60°d) 70° e) 80°
L2
L1 120
o
L3
70o
x
8
x
2
L2
L1
L3
34) Si L1 //L
2//L
3, calcula “x”.
a) 60° b) 80° c) 138°
d) 144° e) 166°
32) Si L1 //L
2, calcula “x” .
a) 40° b) 50° c) 90°d) 130° e) 140°
L2
L1
70o
x
60o
50) Halla si L1 //L
2.
a) 32° b) 36° c) 54°
d) 27° e) 30°
L1
L2
54°