prueba matematicas cdi, comunidad madrid - geometrÍa · 2015. 2. 2. · prueba geometrÍa cdi 2015...
TRANSCRIPT
PRUEBA GEOMETRÍA CDI 2015
Portal Fuenterrebollo
1. Una cruz compuesta por cinco cuadrados iguales está inscrita enun cuadrado. Si el área de la cruz es de 25 cm2.¿Cuál es, en cm2, el área del cuadrado?
Solución:
La cruz se descompone en 5 cuadrados iguales, cada uno de 225 5 cm5
El cuadrado se compone de 8 de esos cuadrados, luego su área es 2x8 5 40 cm
2. Si el hexágono grande de la figura mide 180 cm2 de área, ¿cuáles el área del hexágono central es, en cm2:
Solución:
El hexágono grande está formado por 7hexágonos pequeños y 6 rombos, donde3 rombos equivalen a una hexágonopequeño. En definitiva, por 9 hexágonospequeños.
El área del hexágono central será: 2180 20 cm8
3. Dos hormigas caminan alrededor del reloj de la torre de la Puerta del Sol, ensentidos contrarios y a velocidades diferentes, cada una mantiene su ritmoconstantemente. La primera vez que se encontraron fue en la marca de las 3; y lasegunda vez en la marca de las 10. Cuando se volvieron a ver dijeron: "Paramos cuandonos hayamos cruzado 100 veces en total". ¿En qué marca se pararon?
Solución:
La hormiga que camina en sentido de las agujas del relojavanza siete horas y la otra retrocediendo cinco horas.
Después de 99 encuentros, después del primero, hanpasado x99 7 693 horas avanzando. Dividiendo por 12horas, dan un resto de 9 horas avanzando.
Como el primer encuentro fue a las 3, el encuentro 100será a las 12
4. Como se ve en la figura hemos rodeado un hexágonoregular por triángulos equiláteros, y luego aprovechando suscentros hemos dibujado una flor de seis pétalos. Si el área deun triángulo es de 3 cm2, ¿cuál es, en cm2, el área de la flor?
Solución:
La flor de seis pétalos esta formada por 14triángulos equiláteros:
La parte interior de la flor es un hexágonoformado por 6 triángulos.
Los pétalos de la flor constan de 24cuadriláteros. Cada tres cuadriláterosforman un triángulo.
Los pétalos de la flor quedan formados por 24 83
triángulos.
El área de la flor será: 2x14 3 42 cm
5. ¿Qué fracción de la superficie del cuadrado está sombreada?
Solución:
La región sombreada es 716
del total.
6. Dividimos un hexágono regular en tres hexágonos regularesiguales y tres rombos iguales, como se muestra en la figura. Si elárea del hexágono regular grande es 360 cm2, ¿cuál es el área decada rombo, en cm2?
Solución:
El hexágono regular pequeño se puededescomponer en tres rombos (como losrombos de las esquinas)
El hexágono regular grande se puede formar con doce de los mencionados rombos. En
consecuencia, el área de cada rombo es: 2360 30 cm12
7. Cada vértice de la estrella de la figura es el punto medio decada uno de los lados del cuadrado grande. ¿Qué fracción del áreadel cuadrado cubre la estrella?
Solución:
La estrella se descompone en cuatrotriángulos rectángulos, iguales dos a dos.
Los triángulos A tienen de base l / 2 yde altura l / 4
Los triángulos B tienen de base l / 4 y de altura l / 2
El área de los cuatro triángulos es la misma. En consecuencia, la suma de los cuatro
triángulos rectángulos es
2 2
2 2xx x x x
l l l ll l2 4 8 84 4 4 4
2 2 2 16 4
La fracción del área del cuadrado que cubre la estrella es 14
8. El área del triángulo equilátero ABC de la figura es3 . Si doblamos la figura por el segmento BC, el
vértice A coincide con el centro del cuadrado MNPQ.
¿Cuál es el área del cuadrado MNPQ?
Solución:
Altura del triángulo equilátero:
2 222 2 33ll lh l l l
2 4 4 2
2 2triángulo
xx x x
4 33 31Área l l l 3 l2 2 4
3
4
El Área del cuadrado es 2l 4
9. Encima de un triángulo equilátero de lado 3 cm, colocamos uncírculo de 1 cm de radio, haciendo coincidir los centros de ambasfiguras. ¿Cuánto mide el perímetro o borde la figura resultante?
Solución:
Se ve una parte de la circunferencia que equivale a 180º, es
decir, un perímetro 2 12
Al ser triángulos equiláteros, cada lado mide 1 cm.
La parte que se ve en cada lado del triángulo grande es de 2 cm.
El borde de la figura resultante es de cm6 + π
10. El punto O es el centro de un círculo de radio 1, OA y OC sonradios y OABC es un cuadrado. ¿Cuál es el área, en unidadescuadradas, de la región sombreada?
Solución:
Área región sombreada: cuadrado circulo1A Área Área4
Área región sombreada: 2 21A 2 . 1 14 4
11. Cada uno de los lados de este octógono regular mide 2 cm.¿Cuál es la diferencia entre el área de la región sombreada y elárea de la región sin sombrear?
Solución:
Los triángulos rectángulos isósceles (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8) soniguales. Los rectángulos A, B, C y D son iguales.
En consecuencia, la región sombreada y no sombreada son igualesy tienen el mismo área.
La diferencia entre las dos áreas es 0
12. P y Q son los puntos medios de los lados del cuadrado deperímetro 4 cm.
Calcular entre qué cantidades está comprendida el área delrectángulo sombreado de la figura
Solución:
Para calcular el área del rectángulo sombreado basta hallar ladiferencia entre el área del cuadrado y el área de los cuatrorectángulos (iguales dos a dos).
El triángulo grande y pequeño son semejantes por tener susángulos iguales.
La hipotenusa del triángulo grande QBC; 2 51BQ 1 cm
2 2
Para hallar AP se establece una relación de equivalencia:
5 1BQ BP 2 2
1BC AP AP
con lo que, 1AP cm5
.
En consecuencia, 22
1 1 1 1 1 1AB cm2 4 5 205 2 5
(mitad de AP )
El área del triángulo pequeño BPA: 21 1 1 1. . cm2 202 5 5
El área del triángulo grande BCQ : 21 1 1. 1 . cm2 2 4
El área del rectángulo: 21 1 6 6 4 21 2 1 2 1 cm20 4 20 10 10 5
Siendo 2 6, 4 3 2 75 16 8 5 16
13. El diámetro del semicírculo grande y el radio del cuadrantemiden ambos 2 cm. ¿Cuál es, en cm, el radio del semicírculopequeño?
Solución:
El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en elsegmento que une sus centros, formando el triángulo rectánguloCBA, siendo los tres vértices (C, A, B) los centros de las trescircunferencias.
CA x 1 AB 1 BC 2 x
Aplicando el teorema de Pitágoras:
2 2 2(1 x) 1 (2 x) 1 2x 2x 1 24 x 24x x3
14. En la figura se muestra un cuadrado de lado 1 y cuatrosemicírculos iguales mutuamente tangentes. ¿Cuál es el área de la parterayada?
Solución:
El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en elsegmento que une sus centros, formando un triángulo rectángulo.Todos los vértices son centros de circunferencias.
El diámetro formado al unir los centros de dos circunferencias:
2 21 1 1 1 1 1d2 2 4 4 2 2
El radio de una semicircunferencia: 1r2 2
El área de la zona rayada se obtendrá restando al área del círculo el área de doscírculos, es decir:
2
1 11 2. . 1 2 . . 18 42 2
15. Muchas catedrales góticas tienen ventanas como la de la figura:varios círculos iguales, tangentes dos a dos y un círculo grandetangente exterior a todos. En la figura hay cuatro círculos pequeños.¿Cuál es el cociente entre la suma de las áreas de los cuatropequeños y el área del grande?
Solución:
Para calcular el radio del círculo grande, partimos del supuesto queel radio de cada círculo pequeño es 1.
El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en elsegmento que une sus centros, formando un triángulo rectángulo.
La hipotenusa del triángulo rectángulo formado mide 2 y cada cateto mide 1 x , por elteorema de Pitágoras se tiene:
2 2 2 2 22 (1 x) (1 x) 4 2(1 x) 2 (1 x) x 2 1
El radio de la circunferencia grande: 2 1 2 2 1
Área del círculo grande: 2
1 2 1 2 2 2 3 2 2
Área de 4 círculos pequeños: 2 24 . 1 . 4
El cociente solicitado:
4
3 2 2
4 3 2 2 4 3 2 24 4 3 2 29 83 2 2 3 2 2 3 2 2
16. Si el hexágono de la figura tiene 2 dm de lado, ¿cuál es, en dm2,el área de la estrella central?
Solución:
Los ángulos de un hexágono suman 720º, por tanto, los seissectores circulares blancos forman dos circunferencias de radio 1dm. En consecuencia, el área de la estrella central es el área delhexágono regular de 2 dm de lado menos el área de dos círculos deradio 1 dm.
Área hexágono (6 triángulos equiláteros): 2
6 .3
226 3 dm
Área dos círculos: 2 22 1 2 dm
Área estrella: 26 3 2 dm
17. Calcular el área de la zona sombreada sabiendo que ABCD es uncuadrado de lado 1 y los triángulos ACE y ACF son equiláteros.
Solución:
Diagonal del cuadrado: 2 2AC 1 1 2
Semidiagonal: 2
AH2
Como los triángulos ACE y ACF son equiláteros, el lado es 2
La altura 2
2 2 2 6 3HF 2 22 4 4 2
El área de cada uno de los triángulos: xbase altura 1Área 22 2
3
2
32
El área de la zona sombreada es el área de los dos triángulos menos el área delcuadrado:
sombreadaÁrea 2 x3
221 3 1
Portal Fuenterrebollo