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GEOMETRA

NDICE

1. Elementos fundamentales

2. ngulos

3. Tringulos y cuadrilteros

4. reas y volmenes

5. Poliedros

ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRA

Conceptos fundamentales

Punto

Recta

Plano

Semirecta : porcin de recta limitada en un extremo por un punto

*

Semiplano : es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de sus rectas .

semiplano A

semiplano B

Segmento : porcin de recta comprendida entre dos de sus puntos , llamados extremos .

A* *B

Rectas paralelas : son aquellas que pertenecen al mismo plano y no tienen ningn punto en comn .

Rectas secantes : son rectas que se cortan y dividen por tanto al plano en cuatro regiones .

Un caso particular de rectas secantes son las perpendiculares , que dividen al plano en cuatro regiones iguales .

Mediatriz de un segmento : es la recta perpendicular trazada en su punto medio .

a* *b

Cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento .

ngulo : es una regin del plano limitada por dos semirectas , que se llaman lados , y que tienen un punto comn que se llama vrtice .

lado

vrtice *

lado

Clasificacin de los ngulos :

- recto : cuando los dos lados son perpendiculares

- agudo : la abertura de los lados es menor que un ngulo recto

- obtuso : la abertura de los lados es mayor que un ngulo recto

Bisectriz de un ngulo : es la semirecta que divide al ngulo en dos ngulos iguales .

Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ngulo .

Linea poligonal : es una figura formada por varios segmentos unidos por sus extremos .

B

D

C

A

Cuando el extremo del ltimo segmento coincide con el origen del primero , la linea poligonal se llama cerrada , y en caso de que no coincidan , abierta .

Polgono : es la regin del plano limitada por una lnea poligonal cerrada .

A

B

C

D

Los elementos de los polgonos son :

a) Lados : segmentos que limitan el polgono , AB , BC , CD , DA .

b) Permetro : suma de las longitudes de los lados .

c) Vrtices : Puntos donde se unen dos lados consecutivos , A , B , C , D . En todo polgono el n de lados y vrtices coincide .

d) Diagonales : son los segmentos que unen vrtices no consecutivos .

e) ngulos interiores : son los ngulos formados por lados consecutivos .

f) ngulos exteriores : son los ngulos formados por un lado y la prolongacin de otro consecutivo .

A ngulo interior = ABC

B ngulo exterior = CBF

F

C

Clasificacin de los polgonos :

a) Por el nmero de lados :

Tringulo

Cuadriltero

Pentgono

Hexgono

Heptgono

Octgono

Enegono

Decgono

b) Por su forma :

Equiltero : lados iguales

Equingulo : ngulos iguales

Regular : lados y ngulos iguales

Irregular : lados y ngulos desiguales

Un polgono se halla inscrito en una circunferencia cuando todos sus vrtices estn contenidos el ella . Se dice entonces que la circunferencia est circunscrita al polgono .

Un polgono se halla circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes ( tocan en un solo punto ) a la misma . Se dice entonces que la circunferencia est inscrita en el polgono .

Cuadriltero inscrito en la circunferencia Pentgono circunscrito a una circunferencia

o circunferencia circunscrita al cuadriltero o circunferencia inscrita en el pentgono .

TRINGULOS Y CUADRILTEROSTringulos . Clasificacin .

Como ya vimos los tringulos son poligonos de 3 lados y por lo tanto 3 ngulos . Se pueden clasificar :a) Por sus lados :

Equiltero , si tiene los tres lados iguales

Issceles , si tiene dos lados iguales

Escaleno , si tiene los tres lados diferentes

b) Por sus ngulos :

Rectngulo , si tiene un ngulo recto

Acutngulo , si sus tres ngulos son agudos

Obtusngulo , si tiene un ngulo obtuso

En los tringulos rectngulos el lado opuesto al ngulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados , catetos .

Propiedades del tringulo

1.En todo tringulo , un lado es menor que la suma de los otros dos , pero mayor que su diferencia .

b c

a

En la figura se observa que si a fuese mayor que b+c entonces no podramos juntar sus lados . Pero por otro lado a-b tampoco puede ser mayor que c para que se puedan unir .

2.La suma de los ngulos interiores de un tringulo es 180.

a c b

a b

Los lados alternos internos a las paralelas son iguales .

Como por otro lado un ngulo llano mide 180 tenemos que a + b + c = 180

3.Un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los dos ngulos interiores no adyacentes .

b

180-a=b+c a c

a

Rectas y puntos notables de un tringulo

Mediatrices : son las rectas perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados .

Las tres mediatrices de un tringulo se cortan en un punto que se llama circuncentro que equidista de los vrtices del tringulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia circunscrita al tringulo .

Bisectrices : son las semirectas que dividen en dos partes iguales los ngulos interiores al tringulo .

Las tres bisectrices de un tringulo se cortan en un punto llamado incentro que equidista de los lados del tringulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia inscrita al tringulo .

Alturas : son los segmentos perpendiculares a un lado o a su prolongacin , trazados desde el vrtice opuesto .

Las tres alturas de un tringulo se cortan en un punto llamado ortocentro .

Medianas : son los segmentos que unen un vrtice con el punto medio del lado opuesto.

Las tres medianas de un tringulo se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad .

Teorema de Pitgoras

'' En un tringulo rectngulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa ''

b a a2 = b2 + c2 c

Cuadrilteros . Clasificacin .Los cuadrilteros como su propio nombre indica son aquellos polgonos de cuatro lados y por lo tanto cuatro ngulos . Se clasifican segun el paralelismo de sus lados en :

1.Trapezoides son los que no tienen ningn lado paralelo a otro .

2.Trapecios son los cuadrilteros con dos lados paralelos .

Los trapecios se pueden clasificar en :

- Trapecio rectngulo , es el que tiene dos ngulos rectos

- Trapecio issceles , es el que tiene los lados no paralelos iguales

- Trapecio escaleno , sin ninguna propiedad especfica 3.Paralelogramos son aquellos cuadrilteros que tienen los lados paralelos dos a dos

y por lo tanto los ngulos opuestos (no adyacentes) son iguales y los lados opuestos son iguales .

Los paralelogramos se pueden clasificar en :

- Rectngulo , es el paralelogramo que tiene los 4 ngulos iguales

(rectos) , pero los lados adyacentes no son iguales .

- Cuadrado , es el que tiene los 4 lados y 4 ngulos iguales .

- Rombo , es el que tiene los 4 lados iguales , y los ngulos opuestos iguales .

- Romboide , cuando no es niguno de los anteriores .

REAS Y VOLMENES

reas de figuras planas

Cuadrado Rectngulo Tringulo

l h h

l b b

A = l l A = b h A =

P = 4l P = 2b + 2h P = ( lados

Trapecio Rombo Romboide

b

D

h d h a

B l b A =

A =

A = b h

P = ( lados P = 4l P = 2b + 2a

Polgono regular Crculo Sector circular

n

r

A =

=

A = ( r2 A =

P = 6l P = 2(r A =

Nota : en el caso del hexgono regular , se puede calcular el rea como la suma de 6 tringulos equilteros , en los demas polgonos regulares se podr calcular como la suma de tringulos issceles .

Poliedros . Clasificacin Un poliedro es un cuerpo geomtrico que est limitado por cuatro o ms polgonos . Los polgonos que limitan al poliedro se llaman caras del poliedro , y los lados y vrtices de las caras son las aristas y vrtices del poliedro respectivamente .

Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polgonos regulares iguales y concurren el mismo nmero de ellas en cada vrtice .

Solo existen 5 poliedros regulares que son :

Tetraedro Octaedro Cubo

(4 triangulos equilteros) (8 tringulos equilteros) (6 cuadrados)

Dodecaedro Icosaedro

(12 pentgonos regulares) (20 tringulos equilteros)

Dentro de los poliedros podemos distinguir dos casos especiales :

1) Prismas : son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases , y sus otras caras laterales son paralelogramos . Logicamente tendr tantas caras laterales como lados tenga la base .

Los prismas se clasifican en :

a) Rectos y oblicuos . Un prisma es recto cuando el ngulo entre las caras laterales y las bases es recto , en caso contrario se dice que el prisma es oblicuo .

b) Regulares e irregulares . Un prisma es regular cuando es recto y sus bases son polgonos regulares , en caso contrario se dice que el prisma es irregular .

c) Por el nmero de lados de sus bases :

-Triangulares , si sus bases son tringulos

- Cuadrangulares , si sus bases son cuadrilteros

- Pentagonales , ....etc.

Uno de los prismas cuadrangulares ms importante es el paraleleppedo que tiene por bases dos paralelogramos , es decir , todas sus caras ( 6 ) son paralelogramos . Dentro de los paraleleppedos podemos encontrar algunos casos importantes como son el cubo ( todas sus caras son cuadrados ) , ortoedro ( todas sus caras son rectngulos ) , romboedro ( todas sus caras son rombos ) y romboidedro (todas sus caras son romboides ) .

Veamos algunos ejemplos de prismas :

Prisma recto pentagonal irregular . Prisma oblicuo cuadrangular(base cuadrada)

o tambin paraleleppedo oblicuo

Prisma recto triangular irregular . Prisma cuadrangular(base rectangular)

regular(recto) o paraleleppedo recto .

Nota : no olvidar que si un prisma es regular entonces es recto y si es oblicuo es irregular y por tanto no es necesario decirlo .Nota : La mejor forma de nombrarlos es : prisma recto de base pentagonal irregular , prisma oblicuo de base cuadrada , prisma recto de base triangular irregular y prisma recto de base rectangular .

2) Pirmides : son poliedros en los que una de sus caras ( llamada base ) es un polgono y las otras caras laterales son tringulos que tienen un vrtice comn .

Las pirmides se clasifican en :

a) Rectas y oblicuas . Una pirmide es recta cuando el pie de su altura coincide con el centro de su base , o lo que es lo mismo , cuando las caras laterales no son tringulos escalenos . En caso contrario tendremos un pirmide oblicua .

b) Regulares e irregulares . Una pirmide es regular cuando es recta y su base es un polgono regular . En caso contrario ser irregular .

c) Por el nmero de lados de su base :

- Triangular

- Cuadrangular

- Pentagonal , ....etc.

Si una pirmide es cortada por un plano paralelo a la base obtendremos lo que se llama tronco de pirmide .

Veamos algunos ejemplos de pirmides :

Pirmide hexagonal regular Pirmide cuadrangular Tronco de pirmide

(base cuadrada) oblicua

Nota : la mejor forma de nombrarlos es : pirmide recta de base hexagonal regular , pirmide oblicua de base cuadrada

Cuerpos redondos o de revolucin

Un cuerpo redondo se obtiene al girar un recinto plano alrededor de un eje situado en el mismo plano , de modo que cada punto del recinto describe una circunferencia al dar una vuelta completa .

Si un rectngulo gira sobre un lado describe un cilindro .

g

Si un tringulo rectngulo gira sobre un cateto describe un cono .

g

Si un semicrculo gira sobre su dimetro describe una circunferencia .

reas laterales y volmenes de los poliedros y cuerpos redondos Vprisma = rea de la base altura = B h

Vcilindro = rea de la base altura = B h = (r2 hVpirmide = 1/3 rea de la base altura =

Vcono = 1/3 rea de la base altura =

=

Vesfera =

Si la figura geomtrica no es recta , si no que es oblicua , las frmulas siguen siendo vlidas siempre y cuando se tenga claro cual es la altura de la figura que se est estudiando y no se confunde con alguna de las medidas de las reas laterales .

Logicamente tambin es necesario recordar cuales son las reas de las figuras planas ms importantes , para poder calcular la base de la figura geomtrica .

Para poder calcular el volmen de un tronco de pirmide o cono deberamos calcular el volumen de la pirmide o cono mayor , menos el menor .

A prisma = 2Abase + (AlateralesA pirmide = Abase + (AlateralesA tronco de pirmide = Amayor + Amenor + (AlateralesA cilindro = 2(r2 + 2(rh (en este caso h = g)

A esfera = 4(r2A cono = (r2 + (rg ya que r

g 2(r 360--------2(g

n--------2(r

n

n = 3602(r/2(g = 360r/g

rea sector circular = (R2n/360 = (g2360r/360g = (rg

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a l

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