geometria media

Durante 1997 y 1998 hemos llevado adelante una experiencia de desarrollo curricular acer-ca de la problemática de la enseñanza de la geometría en los primeros años de la escuelamedia. Las reflexiones generadas a apartir de la experiencia se constituyeron en aportes parala elaboración de los programas de Matemática de primer y de segundo año de la Secretaríade Educación del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Este documento da cuenta deesa experiencia y fue reelaborado nutriéndose de las discusiones realizadas más reciente-mente con otros docentes, en el marco del proyecto de Actualización de Programas de NivelMedio. Consideramos que las reflexiones y experiencias que aquí se comunican permiteniluminar más las propuestas de enseñanza de las unidades de Geometría de los programas.

La experiencia que se detalla a partir del capítulo 3 se desarrolló en varias etapas. En unaprimera etapa se mantuvieron una serie de reuniones con un grupo de docentes donde seresolvieron y discutieron problemas de geometría y se reflexionó, a partir de esto, sobre lasposibilidades y las realidades del trabajo con geometría en los primeros años del secundario.

En una segunda etapa se trabajó con el grupo de docentes dos propuestas concretas, ela-boradas por el equipo a partir del trabajo en la primera etapa, para ser desarrolladas una enprimer año y otra en segundo. En esta etapa se discutieron y analizaron cuestiones meto-dológicas, de organización de la clase y relativas al rol docente.

En una tercera etapa, las propuestas elaboradas fueron implementadas en tres cursos de pri-mer año y tres de segundo año por sus respectivos docentes que participaban de esta expe-riencia, en diferentes escuelas medias públicas del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires.

Finalmente, esta experiencia se cerró con un encuentro de evaluación y síntesis de lo sucedido.

Introducción

DESARROLLO CURRICULAR EN GEOMETRÍA: UNA EXPERIENCIA EN 1ER Y 2DO AÑO. 1

Participar en un proyecto de esta naturaleza demanda de los docentes una disposición a revi-sar sus modalidades actuales de enseñanza, a analizar propuestas nuevas, a discutir sus fun-damentos y condiciones, a implementarlas efectivamente, a ofrecer sus clases como unespacio de observación y a participar de un análisis del trabajo realizado.

Por ello queremos agradecer públicamente a los siguientes docentes, que en el momento dela realización de esta experiencia se desempeñaban en las escuelas que se mencionan a con-tinuación:Ethel Walace y Lucrecia Moraubesky, del Liceo Nº1 "José F. Alcorta", D.E Nº 2.Ariel Pardo y Viviana Cepoliaro, del Colegio Manuel Belgrano (Nº 6) D.E. Nº 2.Susana Fernández y Mirta Tufani, del Colegio Manuel Belgrano (Nº 11) D.E. Nº 6.Delia Acciaresi y Germán Esmoris, del Colegio Fray Luis Beltrán (Nº 25) D.E. Nº 6.María Lusardi del C. N. Nº 3 D.E. Nº 2.Asimismo, agradecemos la colaboración de la Supervisora Elba Ancarola (que en esemomento se desempeñaba en la Región III).Y, muy particularmente, a los docentes que han ensayado las actividades con sus propiosalumnos:

Norma D´Auría de Lecuona - Escuela Técnica Nº 30 - 2º año Turno Mañana D. E. Nº 2Silvia Bulstein - Escuela Técnica Nº 30 - 1º año Turno Mañana D. E. Nº 2Graciela Bolettieri - Escuela Técnica Nº 29 - 1º año Turno Mañana D.E. Nº 6Mario Sordelli - Escuela Técnica Nº 29 - 1º año Turno Noche D.E. Nº 6Mónica Malirat - C. N. Nº 3 - 2º año Turno Mañana - D. E. Nº 2

El objetivo de este documento es compartir con todos los docentes del Sistema esta expe-riencia así como los elementos teóricos que guiaron a este equipo en la planificación y eldesarrollo de ella.En el Capítulo 1, presentamos a grandes rasgos un enfoque general sobre la escuela mediay la enseñanza de la Matemática.En el Capítulo 2, exponemos distintos aspectos de la problemática didáctica de la enseñan-za de la geometría.En el Capítulo 3, reseñamos las distintas etapas del trabajo en los sucesivos encuentros conel grupo de docentes. Incluimos en este capítulo el análisis de varios de los problemas tra-bajados: el problema del templo, el problema del triángulo isósceles, el problema de los pun-tos medios de los lados de un cuadrilátero, el problema del rectángulo.

GOBIERNO DE LA CIUDAD AUTÓNOMA DE BUENOS AIRES . SECRETARÍA DE EDUCACIÓN . DIRECCIÓN DE CURRÍCULA2

En el Capítulo 4, mostramos distintas alternativas de un trabajo que se llevó adelante enaulas de primer y segundo año.

En este documento no abordamos propuestas que apunten a la evaluación de los aprendi-zajes de los alumnos. Esto se debe a que las secuencias desarrolladas aquí pretenden orien-tar una línea de trabajo en la enseñanza de la geometría. Son propuestas que funcionancomo punto de partida, por lo que no es posible proporcionar sugerencias y/o ejemplos deinstrumentos de evaluación que serán abordadas, oportunamente, en documentos posteriores.


Nuestra propuesta y nuestras acciones se apoyan en una concepción de la enseñanza queubica a la escuela en su función de trasmisora de cultura. Compartimos entonces la posiciónque sostiene que una de las funciones de la escuela es trasmitir a los alumnos parte de la cul-tura de la humanidad, la presente y la pasada también.


LA ESCUELA MEDIAY LA ENSEÑANZA

DE LA MATEMÁTICA

Capí

tulo

1

MUCHAS VECES LOS ALUMNOS NOS CUESTIONAN ACERCA DEL PARA QUÉ APRENDER MATEMÁ-TICA Y LOS DOCENTES NOS CUESTIONAMOS ACERCA DE CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA. NOS

PARECE IMPORTANTE HACER EXPLÍCITA NUESTRA POSTURA ACERCA DE ESTAS CUESTIONES, QUE

SE REFLEJARÁ TAMBIÉN EN LAS PROPUESTAS QUE REALIZAMOS.

ACERCA DE LAS FUNCIONES DE LA ESCUELA MEDIA

Y, al mismo tiempo, estamos ubicados en una posición que sostiene que se aprende cons-truyendo los conocimientos; construcción que es entonces en alguna medida una re-cons-trucción, aunque los regímenes de construcción de conocimientos culturales y escolares sonbien diferentes.

La escuela media tiene la responsabilidad de ampliar el horizonte de los alumnos, formán-dolos como miembros activos de una cultura. Proveer herramientas, tanto para su desem-peño en la sociedad como para la continuación del estudio. Estamos afirmando con esto queadquirir cultura, formarse como miembro activo de esta cultura, coloca al individuo enmejores condiciones para desempeñarse en ella.

En particular consideramos que es en este momento de la escolaridad que los alumnos vandescubriendo sus habilidades y preferencias en relación con los conocimientos que van ser-vir de base para la toma de decisiones para su futuro. Cuanto mayor y mejor calidad deconocimiento tengan los alumnos, mejores serán las condiciones para esta toma de decisio-nes, tornándolas más seguras.

La enseñanza de la matemática en la escuela media participa de estos objetivos y desafíos.Podríamos plantear entonces como objetivo principal la trasmisión de algunos rasgos esen-ciales de la cultura matemática.

Hay tres aspectos diferentes que pueden identificarse al intentar esquematizar los rasgosfundamentales que definen esta cultura:

- los tipos de preguntas o de problemas que aborda,- los objetos que le son propios,- las formas de trabajo.

Problemas, objetos y formas de trabajo, se encuentran indisolublemente unidos en la cons-trucción del conocimiento matemático.


ACERCA DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

Desde el punto de vista de la escuela, estos tres aspectos nos llevan a considerar las siguien-tes cuestiones:

Con relación a los problemas: ¿cuáles son las preguntas o problemas que pueden ser plan-teados en los diferentes niveles escolares? ¿Qué características deberían cumplir para favo-recer el aprendizaje? A grandes rasgos, podríamos decir que un problema debe ser, por unlado, comprensible y, por el otro, desafiante para los alumnos. Pero el enunciado de un pro-blema es sólo el punto de partida. Distintos tipos de interacciones, diferentes vínculos quepuedan establecer los alumnos con un problema, producirán aprendizajes diferentes. Sos-tenemos que el planteo y la resolución de los problemas así como la reflexión y la elabora-ción posterior, constituyen la actividad central en matemática donde los alumnos puedenconstruir los significados de los objetos y los procedimientos que aprenden. El problemapuede corresponder a la realidad conocida por el alumno ("vida cotidiana") o a una realidadno tan conocida aún por él; puede también corresponder a una problemática interna de lamatemática. El contexto en que se plantea un problema, no es una característica determi-nante a la hora de decidir si es o no un "buen problema" para el aprendizaje.1

Con relación a los objetos: la escuela considerará para su enseñanza aquellos que se handesignado como objetos a enseñar y que constituyen el contenido curricular. En ese senti-do, este documento no pretende avanzar en la definición de dichos contenidos, sino ilumi-nar las propuestas de enseñanza de las unidades de Geometría de los programas deMatemática de primer y de segundo año de la Secretaría de Educación del Gobierno de laCiudad de Buenos Aires.

Con relación a las formas de trabajo: sostenemos que son las prácticas que el alumnodesarrolle, las actividades que aprenda a realizar a propósito de cada contenido, los proble-mas que pueda resolver, las nuevas formas de escritura que incorpore para realizarlos, lasherramientas que despliegue para validar sus resultados, las que van a ir conformando suconocimiento de los distintos objetos involucrados.

La escuela debe proponerse introducir a los alumnos en prácticas de trabajo que se acerquena aquellas que son propias de la matemática, promoviendo avances en la comprensión de las


1 Para profundizar sobre el lugar del problema en el aprendizaje matemático se recomienda la lectura de RolandCharnay, "Aprender (por medio de) la resolución de problemas", C. Parra e I. Saiz (comps.), Didáctica de lasmatemática, Buenos Aires, Paidós, 1994.

características que rigen el desarrollo de esta ciencia. En particular, y muy privilegiadamen-te, se espera que los alumnos lleguen a comprender qué significa y cómo se juega en lamatemática, el establecimiento de la verdad.

Nuestra posición acerca de la enseñanza de la matemática se inscribe en los lineamientosgenerales expuestos para Primer y Segundo ciclo de la Educación Primaria en Matemática,Documento de trabajo nº1.2 En el anexo de este documento, reproducimos algunas pági-nas de ese documento que se recomienda leer antes de continuar con éste.


En el Pre Diseño Curricular para la Educación General Básica. Marco Gene-ral,3 aparecen formulados los própositos generales para la enseñanza de laMatemática en la Educación Primaria. Se señala en dicho documento:

"La escuela tiene la responsabilidad de:

Trabajar para generar una coherencia cada vez mayor en su proyecto de enseñanza dematemática en la EGB que permita a los alumnos tener una experiencia de continui-dad y evolución en sus aprendizajes. Buscar establecer, desde los inicios hasta el fin dela escolaridad obligatoria, las condiciones didácticas que favorecen que la matemáticacobre el sentido formativo que de ella se espera.

Afirmar y promover en toda la comunidad la convicción de que las matemáticas sonposibles de ser aprendidas por todos los alumnos bajo ciertas condiciones.

Trabajar para que los alumnos se sientan seguros de su capacidad de construir conoci-mientos matemáticos, desarrollen su autoestima y sean perseverantes en la búsqueda desoluciones.

PARA

SABE

RM

ÁS

2 MCBA, Secretaría de Educación, Dirección de Currículum. Matemática. Dcoumento de trabajo nº1. Actuali-zación curricular, 1995.3 GCBA, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula. Pre DiseñoCurricular para la Educación General Básica (Educación Primaria y Media según denominación vigente). MarcoGeneral, 1999, p. 145.

En el marco de estos propósitos generales enunciados para toda la escolaridad básica, pen-samos en algunos propósitos particulares para los primeros años de la escuela media. Con-sideramos entonces que debe ser un compromiso de la escuela, desarrollar una enseñanzade la matemática que tenga por objetivo lograr que los alumnos sean capaces de:

Modelizar o matematizar un problema. Con esto queremos decir básicamente des-arrollar la capacidad de seleccionar objetos y procedimientos matemáticos pertinentes parala resolución de un problema, sea éste intra o extra matemático.

Tratar con lo general (la generalización misma como proceso). Si bien los procesos deenunciación de leyes generales -por ejemplo sobre los números y las operaciones-, comen-zaron sin duda en la escuela primaria, consideramos como objetivo característico de estaetapa el tratamiento de conjuntos infinitos, la conjetura de propiedades para colecciones


Proyectar y llevar adelante una enseñanza que permita a los alumnos construir el sen-tido de los conocimientos matemáticos, es decir, que sean capaces tanto de utilizarlospara resolver problemas, como de identificarlos y relacionarlos en términos matemáticos.Dicha enseñanza define como central para la actividad matemática la resolución de pro-blemas y la reflexión sobre los conocimientos.

Brindar oportunidad a los alumnos de usar en el aula los conocimientos que poseen -sean éstos aprendidos en la escuela o no, sean éstos acertados, aproximados o erróneos,sean éstos expresados en lenguaje convencional o intuitivo- para ponerlos en juego en laproducción colectiva del conocimiento matemático.

Favorecer en el aula la identificación y la formulación tanto de los conocimientos váli-dos como de los erróneos, asumiendo que es fecundo para todos los alumnos trabajarsobre los aciertos y errores de algunos.

Proponer un tipo de trabajo en el aula que apunte a que los alumnos se apropien de las reglasdel trabajo intelectual, de las reglas sociales del debate y de la toma de decisiones pertinente.

Proveer a los alumnos nuevas y variadas oportunidades de volver a trabajar los aspec-tos en los que han enfrentado dificultades."

infinitas de objetos, la formulación precisa de las mismas y su validación a partir de los cono-cimientos que se poseen. Interesa tanto discutir la verdad o falsedad de una cierta propie-dad enunciada para un conjunto dado, como encontrar su dominio de validez, restringien-do, si fuera necesario, el conjunto original.

Comprender la precisión que se otorga en matemáticas a los enunciados, aun cuan-do éstos sean expresados en lenguaje natural. Por ejemplo, la palabra "nunca" tiene un sig-nificado en la vida diaria ("acá no llueve nunca") diferente del significado que adquiere enmatemática ("el producto de dos números impares nunca puede dar par"). Comprender estaprecisión del lenguaje permite avanzar en la construcción de una cierta racionalidad mate-mática y comenzar a apropiarse de un rasgo fundamental de esta "cultura". Queda a cargode la enseñanza el trabajo de los alumnos en esta dirección.

Formular enunciados en lenguaje simbólico y operar en dicho lenguaje. Un lenguajemás preciso y más simbólico debería aparecer como una herramienta adaptada tanto para latarea de modelización como para la de validación del trabajo.

Disponer de una variedad de formas de representación diferentes y elegir la másconveniente para cada instancia del trabajo.

Controlar la propia producción y poner en juego diferentes formas de validacióndel trabajo realizado.

Entrar en prácticas de argumentación, acercándose a la demostración deductiva, modode validación de las afirmaciones en la matemática.

Estos propósitos se encuentran muy relacionados entre sí y atraviesan los diferentes con-tenidos designados para enseñar. Todos ellos se logran trabajando en el aula, en el tiempode las clases, resolviendo distinto tipos de problemas; y también en el trabajo de los estu-diantes en la casa, en la resolución de la "tarea", en el tiempo de estudio sin la presenciadel profesor.

Si nos centramos en el trabajo en el aula, sostenemos que las intervenciones del docente(que no se agotan en la selección de buenos problemas o actividades) juegan un papel cen-tral en el proceso de aprendizaje de los alumnos.


Y el trabajo en el aula también incluye a otros: la interacción entre pares es una gran opor-tunidad para hacer avanzar los tiempos de aprendizaje.

Pero esta interacción no se produce espontáneamente, requiere de una planificación docen-te y de un aprendizaje de los alumnos. Somos conscientes de la complejidad que encierraconducir estos momentos de interacción, donde necesariamente aparecerán diferencias ycontradicciones, donde la diversidad de los conocimientos y el compromiso de los alumnossalta a la vista y plantea dificultades adicionales en la gestión del docente. Pero estamos con-vencidos que la entrada a la cultura matemática que proponemos se realiza en el espaciocolectivo de la clase, con la participación activa de cada alumno.


ANTES DE COMENZAR A PLANTEAR ALGUNAS CUESTIONES REFERIDAS A LA ENSEÑANZA DE LA

GEOMETRÍA NOS PARECE INTERESANTE REFLEXIONAR SOBRE LOS MOTIVOS QUE NOS HAN LLE-VADO A ELEGIR ESTE TEMA COMO OBJETO CENTRAL DE ESTE DOCUMENTO. POR UN LADO,PENSAMOS QUE LA GEOMETRÍA ES LA GRAN AUSENTE EN LAS AULAS DESDE HACE UN TIEMPO.ESTA AUSENCIA IMPLICA, A NUESTRO ENTENDER, UNA PÉRDIDA MUY IMPORTANTE EN TANTO

QUE LA CONSIDERAMOS UN DOMINIO QUE FAVORECE EL DESARROLLO DE LA ARGUMENTACIÓN

DEDUCTIVA.

EN ESTE DOCUMENTO SE PROPONE CONTINUAR CON LA LÍNEA DE TRABAJO QUE HA DES-ARROLLADO EL EQUIPO DE MATEMÁTICA DE LA DIRECCIÓN DE CURRÍCULA PARA SEGUNDO

CICLO DE LA EDUCACIÓN PRIMARIA, QUE CULMINÓ CON LA ESCRITURA DE MATEMÁTICA.DOCUMENTO DE TRABAJO N° 5. LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN EL SEGUNDO CICLO,4CUYA LECTURA RECOMENDAMOS.


LA ENSEÑANZADE LA GEOMETRÍA

Capí

tulo

2

4 GCBA, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula. Matemática.Documento de trabajo nº5. La enseñanza de la geometría en el segundo ciclo. Actualización curricular, 1998.


LA PROBLEMÁTICA DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA HA SIDO CONSIDERADA EN LOS ÚLTI-MOS AÑOS COMO TEMA DE INTERÉS PARA NUMEROSOS INVESTIGADORES EN DIDÁCTICA DE LA

MATEMÁTICA. TENIENDO EN CUENTA ESTOS APORTES, NOSOTROS IDENTIFICAMOS A CONTINUA-CIÓN CIERTOS ASPECTOS QUE CONSIDERAMOS RELEVANTES PARA EL TRATAMIENTO DEL TEMA.

En principio, seleccionamos dos características de la geometría que jugarán un papel funda-mental para comprender el tipo de interacciones y de dificultades que aparecen en el traba-jo en el aula.

- Las relaciones complejas que la geometría establece con el espacio físico que nos rodea.- El uso, en geometría, de los diferentes registros de expresión.

LA RELACIÓN CON EL ESPACIO FÍSICO

La geometría se ha constituido en parte como una modelización del espacio físico. Se esta-blece entonces una particular relación entre este espacio físico -con los datos que provienende la percepción y la medición- y los objetos geométricos (figuras, cuerpos, etc.) que sonobjetos teóricos que obedecen a las reglas de la matemática (en su definición, sus reglas de"funcionamiento" y los modos de validación de sus propiedades).

Las figuras y los cuerpos son sin duda objetos geométricos considerados para la enseñanza,tanto en la escolaridad básica como en los primeros años de la escuela secundaria. En losdocumentos curriculares realizados para el nivel primario, se sostiene la importancia de untrabajo con las figuras, que avance más allá del uso de la percepción y la manipulación de losobjetos. Las actividades propuestas se centran en la construcción de figuras, promueven laanticipación por parte de los alumnos, permitiendo el establecimiento de relaciones entredistintos elementos de las figuras.

ASPECTOS DIDÁCTICOS DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

En los primeros años de la secundaria el trabajo con las figuras y los cuerpos continúa: seavanza en el establecimiento de relaciones más complejas (entre ellas, algunos teoremas clá-sicos de la geometría plana) así como en el desarrollo de la argumentación deductiva comoforma de trabajo en geometría.

Estamos hablando de un proceso y, para poder lograrlo, las situaciones que se presenten alos alumnos deben cumplir ciertas características: permitir que los saberes geométricos apa-rezcan como instrumentos en la resolución de problemas que no puedan ser resueltos desdela percepción o desde la medición.

O sea, estamos pensando que un problema geométrico debe reunir ciertas característicasque detallamos a continuación:

Para resolver el problema se ponen en juego las propiedades de los objetos geométricos.El problema pone en interacción al alumno con objetos que ya no pertenecen al espacio físico, sino a un espacio conceptualizado al cual las figuras-dibujos trazadas por estesujeto no hacen más que representar.La función que cumplen los dibujos en la resolución del problema no es la de permitirarribar a la respuesta por simple constatación sensorial.La validación de la respuesta dada al problema -es decir la decisión autónoma del alum-no acerca de la verdad o falsedad de su respuesta- no se establece empíricamente sinoque se apoya en las propiedades de los objetos geométricos. Las argumentaciones a par-tir de las propiedades conocidas de los cuerpos y las figuras producen un nuevo cono-cimiento sobre los mismos.

Lo que estamos afirmando es que son las características de los problemas planteados yuna cierta organización de la clase las que van a permitir enriquecer el trabajo en geome-tría. En particular, la exigencia de una argumentación podría apoyarse en la insuficiencia delo perceptivo y de la medición para llegar a la respuesta.


LOS DIFERENTES REGISTROS EN GEOMETRÍA

En la presentación y el tratamiento de la información en geometría se ponen en juego trestipos diferentes de registros:- El registro figurativo, ligado al sistema perceptivo visual (representación gráfica de figu-ras y dibujos en general).- El registro del lenguaje natural, con sus posibilidades de descripción y explicitación.- El registro del lenguaje simbólico -propio de la matemática- que adquiere característi-cas particulares en geometría y que incluye el recurso de las fórmulas.

Prestaremos especial atención al registro figurativo. Las representaciones gráficas, o sea losdibujos sobre el papel, constituyen una "parada intermedia" entre los objetos teóricos y losobjetos reales. El dibujo de un cuadrado sobre una hoja puede ser considerado tanto larepresentación gráfica del objeto geométrico "cuadrado" como la representación de unobjeto cuadrado del espacio físico.

La construcción de los objetos teóricos de la geometría se constituye apoyándose en la per-cepción, pero al mismo tiempo oponiéndose a los datos de la evidencia. Este juego de acuer-dos y desacuerdos parece ser propicio para su aprovechamiento didáctico.

Como docentes debemos tener en cuenta la importancia que nuestros alumnos asignan alregistro figurativo. En particular, en los casos de no congruencia entre la información dadaen diferentes registros, por ejemplo, un texto acompañado de un dibujo, es usual que los


Al respecto dice Dilma Fregona:

"La geometría no es sólo un conjunto de saberes sino un modo de relación con ciertosproblemas". Y más adelante: "Si se quiere llevar al alumno al dominio de los conoci-mientos geométricos es necesario poner de relieve el obstáculo que representa la evidenciadel dibujo".5

PARA

SABE

RM

ÁS

5 Fregona, D. y otros. El libro de la Matemática 7, Buenos Aires, Estrada, 1997.


estudiantes consideren como más importante los datos provenientes del dibujo. Lograr unarelación cuidadosa con las figuras que incluya una toma de conciencia acerca de la no con-cordancia entre la información en diferentes registros es un objetivo al cual apuntar, noparece ser un punto de partida a exigir.

La representación gráfica de una figura que acompañe un texto del estilo:"Para todo triángulo..." o "Dado un cuadrilátero..."será siempre el dibujo de un triángulo o cuadrilátero particular, que necesariamente incluyemás relaciones que las generales del enunciado. Parece necesario un trabajo, del cual la ense-ñanza se debe hacer cargo, para lograr que los alumnos aprendan a tratar el dibujo como unafigura general y no tengan en cuenta más que las relaciones dadas en el texto. En el capítu-lo 3 mostraremos un problema que, por sus características, colaboraría a hacer evolucionarel trabajo en este aspecto.

La representación gráfica de figuras en geometría es sin duda una herramienta poderosa enla resolución de problemas en general y, en particular, en la gestión de demostraciones. Aldecir esto le asignamos a los dibujos el papel de representación de los objetos geométricos(que son objetos teóricos), y reservamos a la enseñanza lograr que los alumnos comprendanla diferencia entre el objeto y su representación.

Entrar en el juego de la demostración supone entonces, poder validar las afirmaciones oconjeturas sin recurrir a la constatación empírica. Pero no estamos pensando en exigir inme-diatamente demostraciones tal como se entienden en matemática. Es un proceso largo quetendrá idas y vueltas y que debe ser provocado y "empujado hacia delante", desde las activi-dades que se proponen para realizar en el aula. ¿Cuánta precisión requerimos para aceptarcomo válida una demostración? Si bien parece legítimo tener en la mira que los alumnosvayan mejorando la calidad de sus argumentaciones, es necesario poder ver esto como unproceso y aceptar de entrada justificaciones incompletas, argumentaciones imprecisas, escri-turas "poco formales".

Por otro lado, una mayor formalización en las escrituras podría aparecer también al serviciode una mayor claridad en las definiciones de los objetos y de una mayor precisión en la for-mulación de los algoritmos de construcción.

La utilización del lenguaje simbólico en geometría incluye también el uso de códigos de mar-cas sobre las figuras, superponiéndose entonces con el registro figurativo. Por ejemplo:

significa que los dos lados marcados son iguales.

Una marca como la que sigue en un triángulo,

nos informa que ese ángulo es recto.

Estas marcas sobre las figuras dibujadas las transforman en un texto válido para la toma deinformación.Pero, ¿todos los alumnos de la clase comprenden el significado a estas marcas?Ahora bien, cuando un texto dice:

"Sea ABC un triángulo isósceles..."

¿Esta frase incluye el dato que AB y BC son los lados iguales?

Quizás para algunos docentes y alumnos sea así y para otros no. Esto puede pasar porqueaquí estamos hablando de convenciones. Algunas, como las de los dibujos de más arriba,son "universales" y otras, como la del triángulo isósceles, son más locales.6 Algunas hasta



pueden ser convenciones establecidas en el interior de una clase y sería quizás una marca deproducción de conocimiento que un grupo de estudiantes en una clase invente convencio-nes y escrituras.

Luego de esta breve reseña sobre algunas de las problemáticas que caracterizan la enseñan-za de la geometría, presentaremos, en el próximo capítulo, cuatro problemas y las discusio-nes mantenidas en torno a ellos por un grupo de docentes, que nos permitirán volver sobrealgunas de las nociones teóricas desarrolladas.

6 Como puede observarse en el desarrollo del segundo problema en el capítulo siguiente.


EL TRABAJOCON EL GRUPODE DOCENTES:

ANÁLISISDE PROBLEMAS

Capí

tulo

3

PARA LA PRIMERA ETAPA DEL TRABAJO, NUESTRO EQUIPO ELIGIÓ VARIOS PROBLEMAS DE GEO-METRÍA PARA SER TRABAJADOS POR LOS DOCENTES PARTICIPANTES. ESTOS PROBLEMAS FUERON

SELECCIONADOS TENIENDO EN CUENTA ALGUNAS DE LAS CARACTERÍSTICAS QUE HAN SIDO

DESCRIPTAS EN EL CAPÍTULO 2 DE ESTE DOCUMENTO. ASPECTOS RELEVANTES DE LA PROBLE-MÁTICA DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA SURGIERON A PARTIR DE LA RESOLUCIÓN, LA

DISCUSIÓN Y EL ANÁLISIS DIDÁCTICO DE LOS PROBLEMAS POR PARTE DEL GRUPO DOCENTE.

A CONTINUACIÓN SE ENUNCIAN LOS PROBLEMAS QUE TRABAJARON LOS DOCENTES Y LOS ANÁ-LISIS DESARROLLADOS EN TORNO A CADA UNO DE ELLOS. PODEMOS DISTINGUIR DIFERENTES

NIVELES DE ANÁLISIS :

- EL DE LOS CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS INVOLUCRADOS;- EL DE LOS GRADOS DE ACEPTACIÓN DE LAS DIFERENTES FORMAS DE VALIDACIÓN DE LAS RES-PUESTAS DADAS.;- EL DE LAS POSIBILIDADES DE SU FUNCIONAMIENTO DIDÁCTICO EN LAS AULAS.


PROBLEMA 1

PARA EL ALUMNO

En el análisis que desarrollan, los docentes anticipan diferentes procedimientos que podrí-an ser desplegados por los alumnos.

Algunos alumnos probablemente pinchen el compás de manera azarosa, "esperanzados" enque, al marcar la circunferencia, ésta coincida con el arco presentado. Este tipo de procederno pone en juego ninguna propiedad ni relación geométrica y seguramente ningún alumnopueda indicar cuál es el centro de la circunferencia si lo busca al "tanteo".

El grupo de docentes también plantea que, varios alumnos, pueden asignarle al dibujo pre-sentado "más datos" que los que el dibujo porta y considerarlo un cuarto de circunferencia.

A partir de esta interpretación, es posible que los alumnos tracen un segmento de un extre-mo hasta el otro del supuesto cuarto de círculo. A continuación dibujen una perpendiculara este segmento, de la misma longitud, por uno de los extremos:

El problema del templo

De un antiguo templo indígena se conserva sólo una parte. Este es uncroquis de lo que se conserva:

Se sabe que el templo era circular y que los indígenas habían guardadoun tesoro en el centro del templo. Marquen en el croquis la ubicacióndel tesoro.

El segmento AB es un diámetro y se marca el punto medio como ubicación del tesoro.

En torno a este procedimiento, el grupo de docentes observa que, para llevar adelante unaconstrucción como la detallada, se deberían tener disponibles ciertas propiedades (sobretriángulos isósceles, sobre ángulos inscriptos en semicírculos, sobre congruencias de trián-gulos) y, aún así, resultaría muy compleja su validación. Por todo esto concluyen que es pocoprobable que los alumnos desplieguen un procedimiento como el anteriormente descripto.

Se plantea también la posibilidad de que algunos alumnos, y muy particularmente los deescuelas técnicas, tracen "a ojo" dos tangentes al arco de circunferencia (práctica habitual entaller). Luego tracen una perpendicular a cada tangente en el punto de contacto con la cir-cunferencia. El punto donde se cruzan dichas perpendiculares, será indicado como el centro.


A B

C AC=CB

Finalmente, se plantea otra posible solución, ubicar tres puntos sobre el arco y trazar dossegmentos:

a continuación trazar las mediatrices correspondientes a dichos segmentos:

El punto donde se cruzan las mediatrices resulta el lugar donde se encuentra el tesoro.

Este procedimiento sería posible de ser desplegado por aquellos alumnos que tengan dis-ponible el concepto de circunferencia y círculo, las propiedades de las mediatrices y su modode construcción.

Resultó muy interesante la discusión sobre las diferencias y semejanzas entre los últimos dosprocedimientos de resolución (el que se basa en el trazado de las tangentes y el que se apoyaen el trazado de las mediatrices). Ambos procedimientos requieren de una planificación anti-cipada. Se basan en propiedades de ciertos elementos de las figuras para localizar el centro.Ambas construcciones conllevan un margen de error.


Sin embargo, el trazado de las tangentes por un punto se realiza "a ojo", considerandoimplícitamente como definición de tangente una recta con un sólo punto en común con lacircunferencia. No hay ningún instrumento de geometría que garantice el cumplimiento de tal propiedad. Resulta sumamente dificultoso distinguir cuál sería la tangente a una cir-cunferencia en un punto entre varias rectas de inclinaciones parecidas, por ejemplo:

¿Cómo distinguir, sin más recursos que "el ojo", cuál es la tangente al arco de circunferen-cia en el punto A?

En cambio, en el segundo procedimiento, se trazan dos segmentos. Cada uno de ellos seconstruye a partir de dos puntos del arco de circunferencia (y para trazar un segmento bas-tan dos puntos). Este procedimiento se apoya en propiedades de ciertos elementos geomé-tricos (en este caso de la mediatriz) y se utilizan instrumentos que, en buena medida,"garantizan" la construcción. Son las propiedades las que validan anticipadamente que elpunto que se hallará, al finalizar la construcción, será el centro.

Al finalizar el trabajo en torno al "Problema del templo", se destacaron ciertos aspectos queya han sido explicitados en el Capítulo 2:

- En este problema, los dibujos son tanto representaciones gráficas del espacio físico (eltemplo) como de objetos geométricos (el arco de circunferencia).

- La resolución requiere del uso de propiedades de los objetos geométricos y producen unaacción sobre la representación gráfica.


A A A

- Al dar el croquis como dato, no se aborda la complejidad de la relación entre el espaciofísico y los dibujos o figuras que los representan.

Comentaremos, en primer lugar, el trabajo realizado con el grupo de docentes para luegoconsiderar algunos aspectos generales del análisis didáctico del mismo.

El primer aspecto que se destaca en este problema está vinculado a las convenciones.Algunos de los docentes que han discutido este problema sostienen que ABC isósceles indi-ca que AB = BC y AC es el "desigual".

Quienes consideran esta convención, directamente resuelven apoyados en el triángulo deldibujo:


PROBLEMA 2

PARA EL ALUMNO

El problema del triángulo

Dado un triángulo isósceles ABC, alargar el lado AB hasta un punto Qde manera que B sea punto medio del segmento AQ.¿El triángulo BCQ resulta isósceles?

A

B

C

Como AB = BC y B es punto medio de AQ, entonces AB = BQ. De esto se deduce que:CB = AB = BQ luego, CB = BQ o sea que BQC es isósceles.

Otros docentes, en cambio, consideran que no existe tal convención e intentan resolver elproblema planteando las distintas posibilidades para la ubicación de los vértices. Para empe-zar, como caso particular, analizan qué sucede si ABC es equilátero, teniendo en cuenta queen este caso, la posición de los vértices no influye.

1. Si el triángulo ABC es equilátero:

Al ser ABC triángulo equilátero, se verifica que: AB = BC = CA. Como B es punto mediode AQ, también se verifica que AB = BQ. En consecuencia, CB = BQ con lo cual QBC esisósceles.

Otro caso particular analizado es el siguiente:


A C

B

Q

C

BQ

A

2. El triángulo ABC es isósceles y tiene un ángulo recto.El dibujo correspondiente al recto en B sería:

Bajo la condición adicional de que el triángulo tenga ángulo recto se llega a que la respues-ta al problema es afirmativa sólo si el vértice B corresponde al ángulo recto.

Otro caso analizado:

3. Si el triángulo ABC es isósceles en B:Este caso es equivalente al desarrollado por quienes consideran la convención.

Por último, se han considerado los siguientes casos:4. Si el triángulo ABC es isósceles en C


Q

CB

A

C

QAB

En este caso, se afirma que la respuesta es negativa. El triángulo BQC no es isósceles puesBQ ≠ BC ya que BA ≠ BC pues no es equilátero (caso ya considerado), además, BQ ≠ QCpues B es el ángulo mayor al que se opone el lado mayor.

5. Si el triángulo ABC es isósceles en A:

En este último caso, los profesores afirman que BQC no es isósceles por razones equiva-lentes al caso anterior.

El desarrollo de este problema nos ha permitido reflexionar con los docentes en torno alrol de las convenciones en la enseñanza de la geometría, problemática que ya fue planteadaen el Capítulo 2 de este documento.Es interesante analizar que existe una estrecha relación entre la utilización de las conven-ciones, los datos del problema y su solución. El presupuesto de ciertas convenciones noespecificadas condiciona las respuestas planteadas.No estamos queriendo decir que no es lícito que existan convenciones, sino que es necesa-rio que en caso de existir, se expliciten.

Los profesores manifiestan que es en su formación donde se instalan determinadas con-venciones universales o locales que luego pasan a las aulas, sin que se establezcan claramen-te los motivos de las mismas, sin que se determinen cuáles son locales o cuáles universales.Esto conduce a la discusión sobre el uso habitual de ciertos símbolos: los triangulitos dibu-jados sobre tres letras (para indicar triángulo), los angulitos (para indicar ángulos), las mar-cas sobre los segmentos (para indicar que miden lo mismo), etc., son un conjunto de


C

Q

A

B

elementos que forman parte de un "lenguaje" y que transmiten información. Es tarea de laescuela que los alumnos aprendan a "leerlos".

Esto resulta aún más evidente en el caso en el que un problema es presentado con un textoy una figura o dibujo. Generalmente, como ya se dijo, los alumnos le asignan al dibujo datosque no se presentan en el enunciado. Por el contrario, cuando el dibujo aporta ciertas "mar-cas" que son datos, los alumnos, en general, no las consideran.

El problema que hemos analizado nos ha permitido entonces poner de relieve la problemá-tica de las convenciones. Si consideramos que en el enunciado no se establece cuáles son loslados iguales del triángulo isósceles, en la resolución del problema aparecen otras cuestionesinteresantes de explotar y que son características de la actividad matemática: la cuestión dela generalización y, estrechamente vinculada con ésta, la de la exhaustividad de los casos con-siderados. Por ejemplo, en el análisis expuesto, si bien se han considerado todos los casosposibles, éstos no son disjuntos: la consideración del triángulo rectángulo isósceles en B noes necesaria puesto que dicho análisis está incluido en el considerado como "convenciónhabitual". Nos parece interesante, entonces, el vínculo que se establece entre la cuestión dela exhaustividad y la economía de los procedimientos utilizados para establecerla (como unade las características del pensamiento matemático).

¿Qué podría suceder en el aula? Si en el curso existe la convención de que al decir triángu-lo isósceles ABC, se sabe cuáles son los lados iguales, y queremos explotar el problema encuanto a la problemática de la exhaustividad y el análisis de casos, tendremos que modificarel enunciado. Por ejemplo, una versión podría ser:

En un triángulo isósceles se prolonga un lado A en un segmento A' de longitud igual al seg-mento A. Se une luego el extremo libre de A' con el vértice opuesto a A y se obtiene otrotriángulo, uno de cuyos lados es A'. ¿Resulta isósceles este triángulo?

Esta formulación implica entonces la consideración de las cuestiones que hemos identifica-do como interesantes para trabajar con los alumnos.

¿Qué podemos prever como trabajo de los alumnos? En principio podemos pensar, comolo han planteado los profesores con los que estuvimos trabajando, que los alumnos consi-derarán casos particulares, descuidando la problemática de una clasificación exhaustiva.


Puede que algunos analicen el caso del triángulo equilátero, que otros consideren un trián-gulo rectángulo isósceles.También podría suceder que los alumnos no consideren triángulos particulares, sino unoisósceles genérico, pero que no tengan en cuenta el análisis en función de cada uno de suslados.

Por otro lado, podría suceder que algunos alumnos consideren un triángulo isósceles (noequilátero) y analicen las diferentes situaciones que se presentan, según el lado que se con-sidere alargar. En este caso, dependiendo de la definición que se ha adoptado de triánguloisósceles, podría faltar la consideración particular de ser equilátero.

La puesta en común de los diferentes resultados obtenidos puede ser un lugar interesantepara confrontar las diferentes clasificaciones adoptadas, tanto con relación a la exhaustivi-dad como a la economía de los casos considerados.

En el caso en que no se disponga de ninguna convención, el problema puede plantearse talcomo se lo ha presentado a los docentes participantes de esta experiencia.

Por ejemplo, los alumnos podrían plantear: ¿Por qué se considera como lados iguales a loslados AB y BC y no a los lados AB y AC?

En este caso, la clasificación estaría dada por las diferentes ubicaciones de los vértices y nopor el hecho de alargar cada uno de los lados del triángulo considerado.

Una observación final. Pensemos en cualquiera de los casos planteados, por ejemplo la con-sideración de un triángulo equilátero: ¿Qué garantiza que los alumnos no midan con la reglala longitud de los lados para decidir si el triángulo que construyen es o no isósceles? En rea-lidad, nada. Pero como nos interesa que el alumno se apoye en propiedades y realice algúntipo de razonamiento anticipatorio, estamos pensando que este problema tendría que serplanteado una vez que el alumno se encuentre de alguna manera dentro un cierto "juegodeductivo". Con esto queremos decir que por lo menos, ya se ha discutido con los alumnosque en geometría medir sobre un dibujo nos permite sospechar de un resultado o estable-cer una conjetura, pero que esto no es suficiente para determinar su validez.


En la primera parte se les daría a los alumnos el siguiente enunciado:

Pensamos este problema para un momento de la escolaridad donde las propiedades básicasde los triángulos y cuadriláteros ya han sido estudiadas. Podría ser en algún momento delsegundo año actual.La pregunta que formulamos a los docentes fue la siguiente:

¿Cuáles podrían ser los procedimientos que pongan en juego los alumnos?, ¿cuáles los erro-res posibles?

Los docentes anticiparon que casi todos los alumnos se "lanzarían" a hacer dibujos. Y queprobablemente se oirían distintas respuestas: "¡Es un rombo!", "¡Es un paralelogramo!","¡Es un rectángulo!".En los intentos de justificación de cada una de las respuestas aparecerían diferentes "datos"tomados del dibujo particular de cada uno.Aquí se podrían anticipar conflictos si en los dibujos de los otros chicos no pasa lo mismoque en el propio !!!


PROBLEMA 3

El siguiente problema fue trabajado en dos partes. En la primera setrató de poner en juego nuevamente la complejidad de la relación entreel texto y la figura en el trabajo en geometría. La segunda parte, quesurgió como consecuencia del trabajo con la primera, se refiere a larelación entre propiedades necesarias y propiedades suficientes.

PARA EL ALUMNO

Sea ABCD un cuadrilátero cualquiera; E, F, G y H los puntos mediosde cada uno de sus lados. ¿Qué clase de cuadrilátero es EFGH?

El problema de los puntos medios de los lados de un cuadrilátero

Hicimos entonces una reflexión con los docentes: el establecimiento de ese conflicto severía fomentado por un primer momento de trabajo individual y un segundo momento detrabajo en pequeños grupos.Para sacar a la luz que los resultados particulares obtenidos tuvieron en cuenta más datosque los del enunciado, se ve como posible analizar, a partir de uno de los dibujos, cómo sellega a la conclusión. En la validación de esta conclusión aparecerían los datos "de más".

¿Era ese un dato del problema? Es una pregunta crucial. Se ve la importancia de hacer explí-cita la relación entre el dibujo y el texto verbal. Se podría pedir que algún alumno vuelva a leerel enunciado y dejar bien claro que el enunciado contiene todos los datos que se pueden usar.Aparece entonces claramente un primer objetivo del problema: Que los alumnos tomenconciencia de que el dibujo hecho por ellos puede traer consigo datos extras que no estabanen el enunciado. Deben aprender a desprenderse de esos datos extras para dar sus respues-tas y para argumentar.

Se anticipa que, luego de este trabajo, algún alumno realizará un dibujo suficientementegeneral.

Al unir los puntos medios aparece una figura que parece un paralelogramo.Si todo el mundo adopta entonces el dibujo "general", el problema ha cambiado. Probable-mente los alumnos afirmen que se obtiene un paralelogramo, hay que plantear ahora la nece-sidad de justificar esta afirmación.

Antes de entrar en esta segunda parte de nuestro análisis destaquemos que hemos llegado apunto importante: la toma de conciencia de una dificultad fundamental en geometría: una


31

figura que acompaña a un texto, salvo expresas indicaciones, no puede ser considerada comoproveedora de más datos que los que trae el texto.

Sabemos que esta toma de conciencia será difícil de lograr y que probablemente la dificul-tad reaparezca cuando ya creíamos que todos la habían superado.Hay muchas idas y vueltas entre las constataciones sobre el dibujo y la lectura del enuncia-do. Esas son las marchas y contramarchas usuales en el aprendizaje cuando se trata deenfrentar y franquear dificultades que se han estado fortaleciendo por prácticas de muchosaños. Estas prácticas se refieren tanto a la vida corriente del alumno, donde sin duda losdatos de la percepción son datos válidos para la toma de decisiones, como a las tareas esco-lares en el área de geometría

Si revisamos los libros de texto del ciclo primario y de los primeros años del secundario,veremos que muchos problemas de geometría contienen consignas como ésta:"Observá en el dibujo... ¿que conclusión sacás?"

Un problema como el que estamos analizando favorece otro tipo de interacción con losdibujos y permite, fundamentalmente sacar a la luz la dificultad que conlleva la aprehensióna la figura dibujada.

Planteamos a los docentes que si se quisiera trabajar más fuertemente sobre esta problemá-tica podría darse el enunciado así:

DESARROLLO CURRICULAR EN GEOMETRÍA: UNA EXPERIENCIA EN 1ER Y 2DO AÑO.

El hecho de que el dibujo sea dado por el profesor acompañando el texto refuerza todavíamás la convicción de los chicos de que los datos que él contiene pueden ser tomados comoválidos para resolver el problema. Será en la gestión de clase que esta validez debe ser pues-ta en duda.

Finalmente, es el docente el encargado de dejar bien en claro la función de un dibujo queacompaña a un texto, con las excepciones hechas para los dibujos que incluyen marcas espe-cíficas que sí pueden ser consideradas como datos válidos.

Hemos hablado sobre las marcas y las convenciones en el segundo encuentro con el pro-blema del triángulo isósceles. El rol de la figura dibujada, correspondiente a un problema esbien complejo, en ella se "observan" generalmente:

- los datos del problema (en nuestro ejemplo que ABCD es un cuadrilátero y E, F, G y Hson los puntos medios de los lados);


PARA EL ALUMNO

Sea ABCD un cuadrilátero cualquiera; E, F, G y H los puntos mediosde cada uno de sus lados. ¿Qué clase de cuadrilátero es EFGH?

A

BC

H

D

E

F

G


- las conclusiones a las que se quiere arribar (en nuestro ejemplo que EFGH es un para-lelogramo);

- otros datos -a menudo usados implícitamente- y otras consecuencias debidas a la particu-laridad de cada dibujo.

Desentrañar esta complejidad es un proceso del cual la enseñanza debe sin duda hacersecargo. No es un conocimiento que nuestros alumnos ya deberían tener y, en ese sentido, nose puede imputar su ausencia a un déficit en los aprendizajes anteriores.

Ahora volvamos al problema.El docente en su aula podría preguntar cómo es que se obtuvieron los puntos H, E, F y G,fomentando que se recupere que son los puntos medios.

Hay que volver a leer el enunciado cada vez, ahora que se ha tomado distancia de lo que"muestra" el dibujo.

Algún alumno recuerda una propiedad relacionada a la recta que une los puntos medios delos lados de un triángulo. ¿Pero cuál es el triángulo aquí?El que se obtiene si dibujamos una diagonal del cuadrilátero ABCD. A partir de aquí las rela-ciones ocultas en el enunciado del problema comienzan a hacerse visibles. Es este elemen-to que no aparecía explícitamente en el enunciado, una diagonal, el que permite descubrirestas relaciones.

Todos los docentes creen que los alumnos serían capaces de arribar a la justificación de quelos lados opuestos del cuadrilátero EFGH son paralelos e iguales pues ambos son paralelosy mitades de la diagonal AC.La pregunta "lanzada" en el inicio estaría entonces contestada.Podemos afirmar ahora que la percepción del dibujo que acompaña al texto de un proble-ma introduce errores en la búsqueda de una respuesta. Quizás en parte sea así, pero tambiénes cierto que el dibujo es el apoyo sobre el cual establecemos una hipótesis de cuál es la res-puesta correcta. Y es, en parte, también un apoyo en la búsqueda de las razones de esa con-clusión. Se trata de mostrar el valor de verdad de esta hipótesis a partir de las propiedadesde los objetos en cuanto objetos geométricos y no de los dibujos particulares que represen-tan esos objetos.

Volviendo al problema, los casos particulares que aparecieron al principio, dan pie para con-tinuar con otro problema, con objetivos diferentes al primero.Entramos así en una segunda parte de la situación que lleva a clasificaciones "inusuales" decuadriláteros.

Los docentes anticiparon que los alumnos probablemente se restringirían a considerar loscasos típicos que ya habían aparecido: rombo para que dé rectángulo y rectángulo para quedé rombo. Cuadrado para cuadrado.Pero fue muy interesante lo que produjeron los mismos docentes analizando el problema.Un grupo, minoritario, encaró las respuestas a partir de las propiedades que debían cumplirlas bases medias del cuadrilátero ABCD.Otro grupo estableció las condiciones sobre las diagonales del cuadrilátero de partida.Llegamos así a las siguientes conclusiones:

"Para obtener un rombo se necesita que el cuadrilátero ABCD tenga:


PARA EL ALUMNO

¿Cómo debería ser el cuadrilátero ABCD para que el cuadriláteroEFGH obtenido uniendo los puntos medios de sus lados, resulte unrombo?, ¿y un rectángulo?, ¿y un cuadrado?

- las diagonales iguales (de la misma medida),- las bases medias perpendiculares y cortándose en su punto medio."

La primera propiedad resultó ser mucho más eficaz a la hora de hacer un dibujo del corres-pondiente cuadrilátero.Nuevamente apareció aquí un cierto obstáculo de "figura típica": era difícil dibujar un cua-drilátero que cumpliera la propiedad y no fuera rectángulo. Grupalmente se pudo avanzar ylograr dibujos generales, o sea dibujos de cuadriláteros con sus dos diagonales iguales peroque no se cortaran en su punto medio.Por ejemplo :

Como consecuencia de todo este trabajo realizado resultó que las dos condiciones mencio-nadas arriba son equivalentes y surgió la idea de definir una nueva familia de cuadriláteros:"los equidiagonales". De esta familia se obtuvo:- una definición,- una definición equivalente, y- un teorema: todos los miembros de la familia cumplen con la condición que al unir lospuntos medios de sus lados se obtiene un rombo.

Los docentes encontraron que podía resultar de mucho valor en el aprendizaje este tipo detrabajo que incluye definiciones y teoremas ad-hoc, aunque reconocieron que está muy lejosde sus prácticas habituales.

El mismo análisis se efectuó sobre las condiciones del cuadrilátero de partida para obtenerfinalmente un rectángulo.


En este caso las dos definiciones equivalentes que resultaron son:- ABCD tiene sus dos diagonales perpendiculares.- ABCD tiene las bases medias iguales y se cortan en su punto medio.

La familia de estos cuadriláteros contiene todos los rombos pero también otros cuadriláte-ros como el siguiente:

El nombre propuesto para esta familia fue "rectidiagonales". Nuevamente se tienen de ellosdos definiciones equivalentes y un teorema: "Todos los cuadriláteros rectidiagonales verifi-can que si se unen los puntos medios de sus lados se obtiene un rectángulo".

El caso del cuadrado no fue analizado por ser muy similar al anterior.De esta segunda parte hay tres cuestiones importantes para destacar:

- Una concierne a ciertas características del trabajo en matemática en general y en geome-tría en particular, como es entender la diferencia entre condiciones necesarias y condicionessuficientes.

- Una segunda es de carácter más didáctico y tiene que ver con el obstáculo que representadisponer en principio solamente de las figuras más usuales.

- La tercera tiene que ver con el tipo de práctica que se instala. El relato que hicimos mos-traría una clase que "está haciendo matemática". Al respecto quisiéramos recuperar


la opinión de los docentes participantes: todos encontraron de mucho valor en el aprendi-zaje este tipo de trabajo que incluye conjeturas y discusiones entre pares, la formulación dedefiniciones y el establecimiento de teoremas a cuyo enunciado se arriba después de haber-lo demostrado.Todos manifestaron que no era imposible trabajar en la instalación de este funcionamientoen sus cursos a partir de problemas como este, pero reconocieron que está muy lejos de susprácticas habituales y de las propuestas de los libros de texto.

Los docentes participantes reconocen la riqueza del trabajo que podría generarse a partir dela resolución de los problemas propuestos al mismo tiempo que plantean dificultades parallevarlos a cabo en las aulas en las condiciones actuales.Teniendo en cuenta esta opinión, seleccionamos un cuarto problema que, conjuntamentecon una determinada organización de la clase, permitiera poner en evidencia los límites deciertos recursos con que los alumnos cuentan (en este caso, la medición) dando lugar a labúsqueda de otros recursos para arribar a la respuesta. Nos interesa que el alumno comien-ce a desplegar argumentaciones basadas en propiedades (argumentaciones deductivas),como un recurso para la construcción y la validación de nuevos conocimientos geométricos.

Sabemos que la "entrada" a esta forma de trabajo en geometría es un proceso que no se con-sigue con el desarrollo de un único problema. El ejemplo que presentaremos a continuaciónestá pensado como parte de este largo proceso que debería ir desarrollándose durante losprimeros años de la escuela media.

37DESARROLLO CURRICULAR EN GEOMETRÍA: UNA EXPERIENCIA EN 1ER Y 2DO AÑO.

10 cmD K A

P J I

C L B

Para la resolución de esta actividad se propone la siguiente organización de la clase:

Primera etapa: los alumnos trabajan en forma individual.Segunda etapa: cuando todos los alumnos tienen alguna respuesta, el profesor proponeque se reúnan en grupos de 4 y discutan el problema para arribar a una solución en con-junto. Por otro lado, y teniendo en cuenta que tendrán que exponer y defender ante los otrosgrupos su propuesta, tendrán que elaborar una justificación del trabajo que han realizado.Tercera etapa: un representante de cada grupo expone en el pizarrón sus resultados y seorganiza un debate sobre ellos.Cuarta etapa: se realiza un balance final y se identifica aquello que se pretende que seaprenda a través de la actividad.


PROBLEMA 4

PARA EL ALUMNO

El problema del rectángulo

Dado el rectángulo ABCD con AD = 10 cm y AB = 6 cm

Trazar la diagonal AC y marcar sobre ella un punto P a 9 cm de A.Trazar una paralela al lado AD que pase por P, llamar I al punto en quecorta a AB y J al punto en que corta a CD. También por P trazar unaparalela al lado AB, llamar K al punto en que corta a AD y L al puntoen que corta a BC.¿Cuál de los dos rectángulos IBLP o KPJD tiene área mayor?

Como este problema ha sido trabajado en los cursos que hemos observado, un análisis deta-llado se encontrará en el próximo capítulo.En el análisis didáctico de esta actividad, desarrollado por el grupo de docentes participan-tes, se han anticipado los siguientes procedimientos de los alumnos:

- Algunos optarán por trabajar sobre la base de las ecuaciones con la finalidad de determi-nar las medidas de la base y la altura del rectángulo IBLP, las medidas de la base y la alturadel rectángulo PJDK, calcular las áreas respectivas y luego comparar.Este procedimiento fue desarrollado por algunos docentes, quienes advierten sobre lo engo-rroso que es. Como consecuencia de esto, anticipan que es probable que aquellos que ingre-sen por este camino lo abandonen rápidamente.

- Otros podrían reproducir el dibujo respetando las medidas que allí aparecen. Luego medi-rían con una regla la longitud de los lados del rectángulo PJDK y la longitud de los lados delrectángulo IBLP, para calcular las áreas y compararlas.Este procedimiento deja de lado el hecho de que las medidas encontradas en el dibujo usan-do la regla son aproximadas. A su vez, las medidas planteadas determinan que las longitu-des de los lados de los rectángulos que se deben comparar sean irracionales, con lo cual, elerror de medición está garantizado.

- Una tercera posibilidad es la puesta en funcionamiento de las propiedades de los objetosgeométricos: la diagonal divide al rectángulo en dos triángulos que tienen la misma superfi-cie (son congruentes), por lo tanto,el triángulo ACD tiene la misma superficie que el triángulo ABC. El triángulo APK tiene lamisma superficie que el triángulo API y el triángulo PCJ tiene la misma superficie que eltriángulo PCL.Entonces, por resta de superficies, el rectángulo BLPI debe tener la misma superficie que elrectángulo PJDK.

En el análisis de los diferentes procedimientos, aparece un comentario interesante de aque-llos profesores que han pensado en el primero de los procedimientos: manifiestan la difi-cultad que tienen los alumnos en el trabajo algebraico como obstáculo para resolver,mediante esta herramienta, un problema de geometría.


A partir de las reflexiones con los docentes en torno de los problemas planteados, nuestroequipo elaboró dos propuestas de trabajo que presentamos en el Capítulo 4 que fueron ana-lizadas con los docentes en la segunda etapa del trabajo.

En esta etapa también se discutieron y analizaron cuestiones metodológicas, de organizaciónde la clase y relativas al rol docente. Estas reflexiones se enriquecieron con la lectura de losartículos que aparecen en el anexo de este documento.



Capí

tulo

4

EL TRABAJOCON EL GRUPODE ALUMNOS

Como hemos señalado en los capítulos anteriores, estamos persiguiendo a largo plazo, lainstalación de la argumentación, la validación de los resultados y la demostración comoprácticas propias del trabajo en matemática. En particular hemos elegido geometría ten-diendo a instalar dichas prácticas como las necesarias o las más adecuadas para la resoluciónde los diferentes problemas que se plantean.Entendiendo esto como proceso y ubicados en la realidad actual de las aulas, hemos dise-ñado dos actividades, una de construcción de triángulos para primer año, que apunta alaprendizaje de los "criterios de igualdad de triángulos" y, para segundo año, el problema delrectángulo, que ya enunciamos en el Capítulo 3. La ubicación de cada una de estas activida-des para primer y segundo año respectivamente es bastante relativa, y depende en gran partede los conocimientos y prácticas habituales de los alumnos.

ELECCIÓN DE ACTIVIDADES Y PUESTA EN OBRA

La actividad propuesta para segundo año, el problema del rectángulo, permite poner en evi-dencia los límites de ciertos recursos con que los alumnos cuentan para decidir la validez deuna proposición. En este caso se trata de enfrentar a los alumnos con los límites del recur-so a "la medida sobre el dibujo". Previendo que a partir de la utilización de este recurso losalumnos obtendrán resultados diferentes, se instala la duda y la puesta en debate de las dis-tintas decisiones tomadas, situación que permitiría generar un espacio de discusión en el cualla producción de razones o argumentos puede tener cabida.Para primer año, sin embargo, pensamos que era necesario comenzar "más atrás". La acti-vidad propuesta consiste en la construcción de triángulos a partir de datos que se hacen pre-sentes. Estas construcciones ponen en juego relaciones entre lados, entre ángulos, y entrelados y ángulos de los triángulos. A partir de los diferentes juegos de datos, los alumnosdeberán decidir si es posible construir o no un triángulo, analizar si la construcción es únicao si puede haber más de un triángulo que verifique esas condiciones.Hemos optado por esta actividad teniendo en cuenta los siguientes criterios:Por un lado, queríamos que la actividad que tuvieran que desplegar los alumnos no estu-viera muy distante de sus experiencias en la escuela primaria. Aunque pretendíamos un avan-ce en la complejidad de las relaciones que se ponen en juego, se esperaba una actividad cuyosingredientes básicos fueran las manipulaciones con los dibujos y la búsqueda de algunasargumentaciones que justifiquen ya sea las construcciones realizadas como la imposibilidadde llevarlas a cabo con los datos presentados. No esperábamos que los alumnos desarrolla-ran demostraciones de las distintas afirmaciones generales a las que irían arribando.Por otro lado, tuvimos en cuenta la necesidad de construcción de un conocimiento nuevo:los criterios de igualdad de triángulos. Para poder desplegar algún tipo de razonamientodeductivo es necesario disponer de conocimientos sobre los cuales sustentar dicho razona-miento. Para este año de la escolaridad, los "criterios de igualdad de triángulos" constituyenun conocimiento esencial para avanzar en el tipo de prácticas que pretendemos instalar.Necesitamos basarnos en algunas propiedades conocidas de los objetos geométricos parapoder argumentar a partir de ellas y obtener nuevos resultados. Nosotros no estamos plan-teando en esta etapa un comienzo a partir del establecimiento de axiomas. Preferimos plan-tear esta tarea de construcción, entendiendo que la misma favorece la puesta en juego-implícita o explícita- de relaciones entre los elementos de un triángulo.Antes de comenzar con el análisis de las dos actividades, queremos presentar algunas refle-xiones de orden más general:


- La entrada en la argumentación deductiva es compleja y se hace necesario entenderla comoun proceso. Esto lleva implícito que ninguna actividad sola puede garantizar esta entrada ymenos aún para la totalidad de la clase.- Las actividades que presentamos no pretenden ser un modelo garantizador de la entradaen estas prácticas. Diríamos más bien que se trata de actividades que favorecen el desplie-gue de las mismas.- Hay prácticas previas instaladas en las clases que en principio podrían tener mayor "status"para los alumnos que argumentar a partir de propiedades. Es necesario tener en cuenta esteaspecto como constitutivo de la complejidad de la entrada en la demostración.- No estamos pensando introducir en este ciclo la estructura de un sistema axiomáticodeductivo. Sostenemos que es posible una iniciación a las prácticas de argumentación deduc-tiva sin la explicitación de qué es un estructura axiomática (aspecto que sí podría ser intere-sante tratar en los años superiores, con una reflexión acerca del trabajo ya hecho).

Dado que el objetivo de este documento es brindar apoyo tanto para la implementaciónefectiva de las actividades propuestas como para la selección y adaptación de otras activida-des, creemos importante explicitar en nuestro análisis:

- los objetivos,- la organización de la clase,- la relación entre ciertas variables de los problemas (tanto en su enunciado como en la orga-nización prevista) y los objetivos a los que se apunta,- los procedimientos esperados de los alumnos, posibles errores y dificultades, y algunas for-mas de intervención docente,- el desarrollo de la puesta en común.

PRIMERA PARTE

OBJETIVOS

A través de los problemas 1, 2 y 3 se pretende establecer condiciones relacionadas con loslados de un triángulo de manera tal que sea posible construirlo. A su vez, se busca analizar


ACTIVIDAD PARA PRIMER AÑO: CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS

tales condiciones estableciendo en qué casos la construcción es única, en qué casos hayvarios triángulos y en qué casos la construcción no se puede realizar.En el contexto de estos problemas, el compás aparece como un instrumento adecuado paraalcanzar los objetivos.

ORGANIZACIÓN DE LA CLASE

Para la resolución de todos los problemas se propone que los alumnos trabajen en parejas.Mientras esto ocurre, el docente reproduce de manera aproximada (a escala) en el pizarrónlos datos de tal forma que en el momento de la puesta en común puedan estar disponiblesy sean utilizados por los alumnos para mostrar los resultados obtenidos.Durante la etapa de resolución, sería conveniente que el profesor observe las diferentes pro-ducciones de las parejas y pueda estar al tanto de las posibles respuestas que se discutirán enla puesta en común.


PROBLEMA 1

PARA EL ALUMNO

Dados los segmentos a y b

a b

Construyan, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual a a yotro lado igual a b. ¿Se pueden construir dos distintos? ¿Por qué?

DESARROLLO PREVISTO

Es esperable que los alumnos construyan más de un triángulo que cumpla las condicionesplanteadas (utilizando para ello la regla o la escuadra y apelando casi exclusivamente a lamedida) pero que sean acutángulos o bien rectángulos. En este caso será interesante que eldocente proponga como otra posibilidad uno obtusángulo. Luego podrá preguntar cuántostriángulos diferentes se podrían armar.

No es esperable que los alumnos recurran al compás para realizar la construcción. Es muyprobable que dibujen alguno de los segmentos en la misma posición que están dados en elenunciado. En este punto, es conveniente que el docente explicite y deje bien en claro que,cuando trabajamos en geometría, diremos que dos segmentos son iguales cuando se puedensuperponer (de manera que coincidan). Esta idea servirá para analizar diferentes construc-ciones y discutir las distintas posibilidades.

Por otro lado, el docente podría presentar (luego de este análisis) una figura como esta:

b b b

a

A partir de este dibujo se podría reflexionar con los alumnos en torno a cuál es la figura quedescriben los diferentes extremos del segmento b. Se espera que los alumnos reconozcan lacircunferencia y es entonces la oportunidad para introducir el compás como un instrumen-to que permite, entre otras cosas, trasladar segmentos.

Si algún alumno hubiese utilizado el compás, conviene retomar tal construcción eviden-ciando que los triángulos quedan determinados al marcar la circunferencia con centro en unextremo del segmento a y con radio igual a la medida del segmento b.

Podría ocurrir que algún alumno tome como centro de la circunferencia el otro extremo delsegmento a, obteniendo una serie de triángulos que resultarán simétricos a los ya construidos.


Es la oportunidad para que el docente explicite que, en geometría, dos triángulos son igualessi se pueden superponer.

Si ningún alumno hace esta construcción de los simétricos, es conveniente que el docenteproponga esta reflexión.

DESARROLLO PREVISTO

En este caso, luego de que cada pareja resuelve el problema, se les propondrá reunirse conotra pareja para que acuerden una respuesta común entre los cuatro. La consigna para estenuevo grupo será:

- Acordar una respuesta en común.- Proponer argumentos para convencer a los otros si es posible o no construir dos triángu-los distintos.

Dados los segmentos a, b y c

a b c

Construyan, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual a a, otrolado igual a b y el otro lado igual a c. ¿Pueden construir dos distintos?¿Por qué?


PROBLEMA 2

PARA EL ALUMNO

Se espera que los alumnos, al trabajar en parejas, realicen distintas construcciones, dudandode la posibilidad de que los triángulos construidos sean iguales ya que se encuentran en dife-rentes "posiciones", producto de comenzar cada construcción con un segmento distinto:

En los casos en que los alumnos sostengan que son iguales, y que por lo tanto la construc-ción es única, no es esperable que realicen una demostración matemática, puesto que estorequeriría apoyarse en axiomas y teoremas que no están disponibles. Se piensa en admitirargumentaciones provisorias. Alguna de dichas argumentaciones se apoyará en dibujoscomo el siguiente:

Se podrá discutir con los alumnos la igualdad de todos los triángulos dibujados, haciendo notarla simetría que hay entre ellos (apelando en algunos casos a la transitividad de la igualdad).

De todas formas, esta argumentación será incompleta (y por eso hemos dicho provisoria)por el hecho de apelar intuitivamente a la simetría.



a b c

Construyan, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual a a, otrolado igual a b y el otro lado igual a c. ¿Se pueden construir dos trián-gulos distintos? ¿Por qué?


PROBLEMA 3PARA EL ALUMNO

DESARROLLO PREVISTO

En la resolución del Problema 3 se espera que los alumnos recurran al compás como ins-trumento para trasladar los segmentos que aparecen como datos del problema. De no serasí, el docente podrá sugerirlo al comienzo de la resolución, recordando los problemas ante-riores.

De las diferentes argumentaciones presentadas por los alumnos, se discutirá cuáles soncorrectas y cuáles no. De las correctas se analizará el diferente grado de precisión (por ejem-plo, los alumnos pueden decir: no se puede hacer la construcción porque "los lados no cie-rran", "los lados no alcanzan", "los lados no se juntan"). Esto es un tanto subjetivo y laintención es que la clase, colectivamente, avance hacia los grados de precisión que se consi-deran en matemática.

Podría suceder que algún alumno se aproxime a la desigualdad triangular (será consideradoun aporte valioso) pero si ninguno lo hace, no es el objetivo de este problema arribar a ella.

Al finalizar estos tres problemas, el docente se hará cargo de establecer algunas conclusio-nes. Es importante que, en primer lugar, señale que la tarea que se ha realizado consistió en:"dada una colección de datos para construir triángulos, discutir si se obtenía un único trián-gulo, más de uno o ninguno".

Para generalizar las conclusiones obtenidas, se construirá un cuadro como el siguiente (queel docente podrá tener preparado en papel afiche):

Dada una colección de datos para construir un triángulo, pueden aparecer las siguientes situaciones:

Este cuadro se irá completando con la participación de los alumnos. En este momento, eldocente deberá discutir con los alumnos si las conclusiones que se van anotando dependende los datos particulares presentados o no (por ejemplo, puede preguntar "si doy dos ladoscualesquiera, y no específicamente aquellos del problema 1, ¿siempre se puede construir másde un triángulo?").

Luego de estos análisis sobre la base de los problemas 1, 2 y 3, el cuadro se verá así:


Datos a partir de los cualesno se puede construir untriángulo

Datos a partir de los cualesse puede construir un trián-gulo

Datos a partir de los cuales sepueden construir varios trián-gulos distintos


SEGUNDA PARTE

OBJETIVOS

Los problemas 4, 5 y 6 buscan movilizar las concepciones de los alumnos en relación conla idea de ángulos interiores de los triángulos y establecer condiciones sobre dichos ángulosque permitan construir varios triángulos o hagan imposible su construcción.Por otro lado, los problemas 7 y 8 buscan poner en evidencia que también es posible "com-binar" condiciones sobre lados y ángulos para construir un único triángulo.


Para la presentación de los problemas de esta segunda parte se debe prever que los alumnosdispongan de compás, escuadra y transportador.

Los alumnos continúan trabajando en parejas. El docente aclara que tendrán aproximada-mente 30 minutos para resolver los problemas 4, 5 y 6, que luego serán discutidos y anali-zados para posteriormente resolver los problemas 7 y 8.


Datos a partir de los cualesno se puede construir untriángulo

Tres lados "que no cierran".


Tres lados "que cierran".


Dos lados.


PROBLEMA 4

PARA EL ALUMNO

Dados los ángulos A y B

A

B

Construyan, si es posible, un triángulo que tenga un ángulo igual a A yotro ángulo igual a B¿Pueden construir dos distintos? ¿Por qué?¿Será cierto que dados dos ángulos, siempre es posible construir untriángulo?

PROBLEMA 5Construyan, si es posible, un triángulo cuyos ángulos midan 30º, 45º y 75º¿Pueden construir dos distintos?

PROBLEMA 6Construyan, si es posible, un triángulo cuyos ángulos midan 30º, 45º y105º¿Pueden construir dos distintos? ¿Por qué?

DESARROLLO PREVISTO

En relación con el problema 4, se espera que los alumnos realicen las construcciones y luegopuedan compararlas arribando a la conclusión de que es posible construir varios triángulosdistintos si se conocen las medidas de dos de sus ángulos.

La puesta en común puede ser la oportunidad para hacer explícito este hecho.

Con relación a la pregunta: "¿será cierto que, dados dos ángulos, siempre es posible cons-truir una triángulo?", esperamos que los alumnos puedan arribar a la condición de que, siesos ángulos suman menos que 180º, la construcción será siempre posible. En tanto que sila suma de los dos ángulos es mayor que 180º, la construcción será imposible. Pueden apo-yarse en construcciones como la siguiente:

100º 90º

En este caso, el triángulo no "cierra".

Suponemos que las justificaciones que den los alumnos se apoyarán mayormente en dibu-jos, pero no descartamos que algún alumno recuerde la propiedad de la suma de los ángu-los interiores de un triángulo.

En relación con el problema 5, es posible que algunos alumnos hagan la construcción, ubi-cando los ángulos de 30º y 45º, logren "cerrar" el triángulo, pero no controlen que el tercerángulo no mide lo que corresponde según los datos del problema, o sea 75º. En este punto,en la puesta en común se debe evidenciar esta omisión y destacar la falta de control de lamedida del tercer ángulo.

También es posible que algunos alumnos recuperen la propiedad de la suma de los ángulosinteriores de un triángulo, argumentando mediante dicha propiedad la imposibilidad de laconstrucción.

En relación con el problema 6, suponemos que todos los alumnos van realizar la construc-ción. Algunos sin ningún tipo de control en cuanto a la suma de los ángulos interiores, y otrosanticipando que, como la suma es 180º, no habrá problemas como en los casos anteriores.Estas construcciones serán confrontadas, seleccionando el docente aquellas que evidencien


las diferencias. Esta confrontación es necesaria ya que suponemos que varios alumnos anti-ciparán la existencia de un único triángulo.

No se espera introducir en este problema la noción de semejanza, ni hablar de triángulossemejantes. Sí en cambio se espera que el trabajo permita identificar la posibilidad de cons-truir infinitos triángulos, conociendo la medida de sus tres ángulos (siempre que la suma deéstos sea 180º).

Dado el segmento a y los ángulos A y B

Ángulo A Ángulo B

construyan, si es posible, un triángulo en el cual uno de sus lados seaigual al segmento a y los ángulos adyacentes (o sea los que están apo-yados en los extremos del segmento) sean iguales a los ángulos A y B.¿Pueden construir dos triángulos distintos?

53

PROBLEMA 7

PARA EL ALUMNO

DESARROLLO CURRICULAR EN GEOMETRÍA: UNA EXPERIENCIA EN 1ER Y 2DO AÑO.


PROBLEMA 8

PARA EL ALUMNO

Dados los segmentos a y b a by el ángulo A

A

construyan, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual al seg-mento a, otro lado igual segmento b y el ángulo que se forma entreestos dos lados sea igual al ángulo A.¿Pueden construir dos triángulos distintos?

DESARROLLO PREVISTO

Con relación al problema 7, resulta muy probable que los alumnos realicen la siguiente cons-trucción:Ubiquen en primer término el lado:

A continuación intenten dibujar los dos ángulos adyacentes:

A B

Por último, prolonguen las semirrectas que conforman los ángulos hasta cerrar el triángulo.Si varios realizan el mismo tipo de construcción, resulta evidente que los triángulos son igua-les. No sería tan evidente que son iguales, si se invierte la ubicación de los ángulos A y B.En este punto hay que retomar lo analizado en el problema 1 (en la clase anterior), en rela-ción con la simetría que hay entre ambos triángulos.

Por otro lado, es posible que algún alumno retome las condiciones sobre las medidas de losdos ángulos para garantizar que la construcción sea posible (problemas 4 y 5). En estepunto, restaría discutir con los alumnos la unicidad de la construcción.

Con relación al problema 8 la única dificultad esperable se presentaría en el caso en que hayadibujos en los que las posiciones de los segmentos aparecen invertidas. En este caso, habríaque retomar una vez más el problema 1, comparar varias de las construcciones de los alum-nos y poner en discusión si los triángulos son iguales o no. Se espera concluir que son igua-les por rotaciones o simetrías.

Finalizada esta segunda parte, se vuelve al cuadro iniciado en la clase anterior, en el cual seagregarán las conclusiones resultantes de estos problemas.

La intención es que el docente pida a los alumnos que, sobre la base del trabajo realizado,confeccionen una lista de datos determinando, para cada caso, en qué columna lo ubicarían,llegando a este nuevo cuadro:



Datos a partir de los cualesno se pueden construir trián-gulos


Dos ángulos que suman másque 180º.



Un lado y dos ángulos quesumen menos que 180º.


Dos lados.

Dos ángulos que sumenmenos que 180º.

TERCERA PARTE

OBJETIVOS

- Incorporar la altura entre los datos que se presentan para la construcción de un triángulo.- Movilizar las concepciones de altura de un triángulos disponibles en los alumnos y avan-zar en su conceptualización.- Analizar diferentes condiciones sobre los datos del problema para determinar la posibili-dad o no de construir un triángulo. En este caso en particular, aparece la altura como undato relevante.


En todos los problemas de esta parte, los alumnos trabajan en parejas y se prevé una pues-ta en común en la cual se discutirán las soluciones a las que se han arribado.

Dado los segmentos a y b

a

bConstruyan, si es posible, un triángulo con un lado igual al segmento ay la altura correspondiente a dicho lado igual al segmento b. ¿Cuántostriángulos diferentes podrían construir?

PROBLEMA 9

PARA EL ALUMNO

Tres ángulos que no suman180º.

Dos lados y el ángulo com-prendido entre ellos.

Tres ángulos que sumen180º.

DESARROLLO PREVISTO

En este problema aparece por primera vez la altura. Es probable que algunos chicos norecuerden bien el concepto de altura y surjan preguntas desde el comienzo.Sería conveniente que el docente plantee las preguntas a toda la clase de manera de poderrecuperar una definición en conjunto.

Suponemos que, aun recuperado este concepto, algunos alumnos pueden objetar que falta"el dato de donde va la altura". Pensamos que esta problemática es de naturaleza distinta ala anterior, y que, si bien antes propusimos una intervención docente precisa para poderavanzar en la situación (es decir, la recuperación de la noción de altura de un triángulo),ahora proponemos una intervención más abierta que permita al alumno introducirse dentrode la problemática. Por ejemplo, el docente podría plantear que, en primer lugar, intentenrealizar la construcción con los datos que se tienen, y que si piensan que son insuficientes,expliquen por qué.Anticipamos que algunos alumnos ubicarán la altura en algún lugar del lado b y dibujarán eltriángulo, sin cuestionarse la posibilidad de haberla ubicado en otro punto, proponiendoentonces una respuesta única. Hemos elegido la puesta en común como la instancia adecuadapara discutir esta cuestión, puesto que suponemos que las diferentes parejas habrán obteni-do triángulos diferentes.De esta manera, se podrá discutir la variedad de triángulos construidos por los alumnos yponer en duda la cuestión de la unicidad.También pensamos que sería probable que aparecieran solamente triángulos acutángulos.En este caso, pensamos que el docente podrá preguntar explícitamente si es posible cons-truir con estos datos algún triángulo recto y alguno obtusángulo. La idea es que en el piza-rrón aparezcan dibujos de diferentes tipos:

b b b

a a a

57DESARROLLO CURRICULAR EN GEOMETRÍA: UNA EXPERIENCIA EN 1ER Y 2DO AÑO.


Una vez discutida la cuestión de la unicidad, resta la pregunta de cuántos triángulos dife-rentes se pueden construir. Suponemos que los alumnos contestarán "muchos" y quizá algu-nos digan "infinitos"; también la puesta en común nos parece adecuada para cerrar estadiscusión.Será de mucha utilidad para el problema siguiente, que los alumnos comprendan que al tenerun lado y la altura que le corresponde, queda determinada una recta a la cual debe pertene-cer el vértice opuesto a dicho lado. Es conveniente que esta recta quede dibujada a partir dela discusión de la cantidad posible de soluciones.

a

A continuación, se reparte el enunciado de los problemas 10 y 11 a los alumnos y se les pideque justifiquen los resultados obtenidos en cada uno de ellos. Estas justificaciones serán pre-sentadas en la puesta en común que se desarrollará al finalizar la resolución de ambos pro-blemas.

DESARROLLO PREVISTO

Si los alumnos utilizan la recta que determina la altura y que fue dibujada en el problemaanterior, podríamos esperar que apareciese un dibujo como el siguiente:

b

c

a


PROBLEMA 10

PARA EL ALUMNO


a

c

b

Construyan si es posible un triángulo con un lado igual a a, la altura correspondiente a este lado igual a b y otro lado igual a c.¿Pueden construir dos triángulos distintos?

A partir del análisis de esta figura podrá determinarse la no existencia del triángulo por elhecho de que la recta y la circunferencia determinada por el lado b no se cortan.Podría suceder que los alumnos no trazaran la recta que determina la altura. Inclusive, podríasuceder que persistiera la cuestión de ubicar la altura en un punto determinado del ladodado. En este último caso, el docente puede apelar a las conclusiones del problema anteriorpara remover esta concepción.

Aunque no se trace explícitamente la recta, podría suceder que algunos alumnos utilicen una"idea similar", dibujando el lado a, dibujando luego el lado b (suponiendo que a y b deter-minan un ángulo cualquiera) y utilizando una escuadra, la vayan desplazando de tal maneraque su cateto menor se encuentre siempre sobre el lado a. Luego podrían ir variando el ángu-lo que forman a y b, para diferentes posiciones de la escuadra. En todos los casos, verifica-rán que la altura no se interseca con el lado b y entonces no se puede construir el triángulo.También podría suceder que los alumnos, teniendo en cuenta el trabajo desarrollado a pro-pósito del problema anterior, no fijaran la posición de la altura, pero sí la posición del seg-mento b, utilizando implícitamente un dato que no figura en el problema (la amplitud delángulo determinado por los segmentos a y b). En este caso, los alumnos arribarán a la noexistencia del triángulo pero sin desplegar un análisis exhaustivo de las posibilidades. Pen-samos que la puesta en común puede ser un lugar adecuado para identificar esta dificultady someterla a discusión. Se trata aquí, más que de discutir si la respuesta es correcta o no, deanalizar la pertinencia de los medios que les han permitido a los alumnos arribar a la con-clusión.



PROBLEMA 11

PARA EL ALUMNO

Igual que el problema 10, pero ahora se cambia el segmento c por este

c´

¿Pueden construir más de un triángulo con estos tres datos?

DESARROLLO PREVISTO

Es importante tener presente que la puesta en común del problema anterior se realiza con-juntamente con la de este problema. Por lo tanto, las únicas discusiones en torno al proble-ma 10 han sido las que se desplegaron dentro de cada una de las parejas.

Suponemos que la mayoría de las parejas arriban a una única solución. Un camino posiblepuede verse en el siguiente dibujo:

c´ b

a

Si existen grupos que encontraron más de una solución, ambas propuestas podrán con-frontarse en la puesta en común.

Es probable que aquellos que hayan arribado a una solución única no hayan empleado elcompás para hallar la intersección del lado b y la altura. Si éste es el caso de toda la clase, eldocente podría sugerir su utilización.

Finalmente debería aparecer en el pizarrón un dibujo como el siguiente, con los dos trián-gulos marcados:

Es la oportunidad de discutir si son o no iguales, apoyándose en argumentos que trascien-dan lo visual.

Es importante que como síntesis, al finalizar ambos problemas, el docente plantee la siguien-te cuestión a los alumnos:

"A partir de lo trabajado con estos dos problemas, dado un lado y la altura correspondien-te a ese lado, ¿qué condiciones debe cumplir el otro lado para que no exista un triángulo?



Datos a partir de los cualesno se puede construir untriángulo.



Datos a partir de los cualesse puede construir un trián-gulo.


Un lado y dos ángulos quesuman menos que 180º.

Datos a partir de los cuales sepueden construir varios trián-gulos distintos.

Dos lados.

Dos ángulos que sumanmenos que 180º.


Un lado, la altura correspon-diente a dicho lado y otrolado de longitud menor quela altura.


Tres ángulos que suman 180º.

Un lado y la altura corres-pondiente a dicho lado. (Hayinfinitos.)

¿Y para que hayan dos triángulos? ¿Habrá alguna condición para el otro lado para que exis-ta un único triángulo? ¿Cuál?”

Se espera que los alumnos puedan establecer las siguientes condiciones sobre el otro lado:- menor que la altura, para la primera pregunta,- mayor que la altura, para la segunda pregunta,- igual a la altura, para la tercera.En este último caso, se preguntará a los alumnos qué tipo de triángulo resulta.A partir de las conclusiones obtenidas, se solicita a los alumnos continuar completando elcuadro que se comenzó a llenar con la primera parte de la propuesta y se continuó con lasegunda.


Un lado, la altura correspon-diente a dicho lado y otro

DESARROLLO PREVISTO

Una posible forma de encarar este problema es dibujando el lado a, el ángulo adyacente aeste lado, y luego, con la ayuda de la escuadra, ir desplazándola a lo largo del lado a hastaque el extremo de la altura, indicada sobre la escuadra, se encuentre con el lado del ángulodibujado.


lado de longitud mayor que laaltura. (Hay sólo dos.)

PROBLEMA 12

PARA EL ALUMNO

Dados los segmentos a y b y el ángulo C

a C

b

Construyan si es posible un triángulo con un lado igual a a, la alturacorrespondiente a ese lado igual a b y un ángulo adyacente al lado aigual al ángulo C.

C a

También podrían dibujar el lado a, luego trazar la recta que determina la altura y, por últi-mo, dibujar el ángulo adyacente al lado a. El punto de intersección de la recta con el ladodel ángulo determinará un vértice del triángulo.

b

Podría suceder que aparecieran dos triángulos, según se ubique el ángulo a derecha o aizquierda del lado a. En este caso, habría que apelar a la simetría (recurso ya utilizado en pro-blemas anteriores).En caso de que esta cuestión no surgiera en la clase, pensamos que sería conveniente que eldocente la plantee explícitamente, es decir, si todos los grupos ubicaron el ángulo en unmismo extremo del segmento a, el docente puede proponer ubicarlo en el otro extremo yanalizar qué sucedería en este caso.


ccb

b

aa

c

a

A partir de este análisis, se arribará a la conclusión de que existe un solo triángulo.Observemos que las condiciones establecidas en este problema podrán permitirnos cons-truir un criterio de igualdad de triángulos que no se encuentra entre los habituales.

Finalizado este análisis se pedirá a los alumnos agregar en el cuadro la información obteni-da a partir del trabajo con este último problema.


Hasta este punto llegamos con la actividad en las tres clases de primer año donde fue imple-mentada. Pensamos sin embargo que sería necesario continuar con otra actividad que per-


Un lado, la altura correspon-diente a dicho lado y otrolado igual a la altura.

Datos a partir de los cualesno se puede construir untriángulo.



Datos a partir de los cualesse puede construir un trián-gulo.


Un lado y dos ángulos quesuman menos que 180º.

Datos a partir de los cuales sepueden construir varios trián-gulos distintos.

Dos lados.

Dos ángulos que sumanmenos que 180º.


Un lado, la altura correspon-diente a dicho lado y otrolado menor que la altura.


Tres ángulos que suman180º.

Un lado y la altura corres-pondiente a dicho lado.

Un lado, la altura correspon-diente a dicho lado y unángulo adyacente al ladodado.

Un lado, la altura correspon-diente a dicho lado y otrolado mayor que la altura.

mita poner en juego los datos de la tabla como herramienta útil en la resolución de otrosproblemas. En particular, nuestra propuesta es construir a partir de ella, los criterios tradi-cionales de igualdad de triángulos. Este trabajo debería incluir un nivel de discusión y expli-citación acerca de qué significa "un criterio de igualdad" y un nivel de información acercade cuáles son los más usuales y que llevan, por lo tanto, ese nombre (el criterio construidocon la altura, se deduce de la tabla pero quedaría fuera de este grupo).

Como actividades tendiendo a lograr este objetivo -la construcción de los criterios a partirde la tabla- pensamos, por ejemplo, en las siguientes:

ACTIVIDAD 1a) El profesor tiene dibujado en una hoja de tamaño A4 un triángulo e informa a los alum-nos el valor de uno de sus ángulos. La consigna de trabajo es la siguiente:

Los alumnos tienen que pedir por escrito al profesor otros dos datos del triángulo de talforma que con los tres datos puedan dibujar un triángulo igual al que tiene el docente.El profesor envía la información solicitada también por escrito en los mismos papeles entre-gados por los alumnos.Cuando un grupo finaliza el dibujo, llama al docente para verificar si los triángulos coinci-den. El docente entregará el dibujo que él tiene, los alumnos superponen los triángulos yrealizan la verificación. El docente permanece con el grupo y retira su hoja. (La hoja no tieneque permanecer durante mucho tiempo en manos de los alumnos y solo pueden utilizarla parasuperponerla con la de ellos, es decir, no pueden tomar datos sobre la hoja del docente.)En caso de no coincidir se les dice a los alumnos que pueden pedir nuevamente dos datospor escrito y el juego vuelve a comenzar (se usan estos nuevos datos más el que dio el docen-te y no los anteriormente pedidos).

b) La misma actividad que en a) pero ahora el docente tiene otro triángulo y da como datoinicial uno de sus lados.

En las puestas en común es importante que se expongan los datos que se han pedido en lasdiferentes instancias, es decir, tanto los datos que no permitieron llegar a la construcciónpedida como los que sí lo permitieron.


ACTIVIDAD 2a) La misma actividad que en a) del problema anterior, con otro triángulo, pero dando comodatos un lado y la altura correspondiente a dicho lado. Los alumnos tienen que pedir ahoraun solo dato.b) Igual que la anterior, con otro triángulo y el docente da dos ángulos como datos. Losalumnos deben pedir un dato más.

En la puesta en común se destacaría el hecho de que hay ciertos conjuntos de datos para loscuales, todos los triángulos que tengan esos mismos datos, resultan iguales.

Algunas imágenes de la puesta en el aula de la actividad de primer año: construc-ción de triángulosEn la puesta en el aula de las actividades relacionadas con la congruencia de triángulos inte-resa destacar las siguientes cuestiones:- Hubo dificultad en la lectura de los enunciados y en consecuencia en la interpretación delas consignas. A partir de las dificultades, se trabajó con los docentes en una nueva formu-lación de cada enunciado.- Un obstáculo que se presentó fue el concepto de ángulo, escasamente disponible en loschicos. Hubo que revisar tanto la noción de ángulo como la manipulación necesaria paramedirlos y trasladarlos con transportador. En algunos casos, hubo que trabajar en la dife-rencia entre un ángulo y su medida: algunos alumnos afirmaban que, en un semiplano, habíasolamente 179 ángulos distintos.- Es notorio que en varios casos los alumnos dibujan triángulos a partir de los tres lados,pero sostienen muy fuertemente que si empiezan el dibujo con un segmento diferente cadavez, los triángulos obtenidos van a resultar diferentes. Esto se pudo remover pragmática-mente: una vez realizados ambos dibujos, giran la hoja hasta poder colocarlos en la mismaposición, y esto los convence, aunque no significa que la concepción haya sido movida. Fuemás dificultoso apelar a las simetrías para justificar la unicidad.- En el problema de dibujar dos triángulos dados dos ángulos, muchos alumnos producíanuna sola solución. La única variante que presentaban era cambiar la ubicación de los ángu-los. Elegían la longitud de uno de los lados al azar pero, en una segunda construcción, eselado elegido al azar medía lo mismo que en la primera construcción. Este fenómeno de "ele-gir" uno de los elementos (dentro de los infinitos posibles) para iniciar la construcción ycontestar que dicha construcción es única aparece en casi todos los grupos observados. Esproducto de la intervención docente el poder mover estas ideas.


- Cuando uno de los datos para la construcción es la altura correspondiente a uno de loslados, muchos alumnos ubican la altura en algunos puntos determinados de ese segmento,en particular en su punto medio. Casi ningún alumno dibuja un triángulo cuya altura seaexterior al mismo.

En cuanto a la gestión de la clase cabe destacar que los alumnos aceptaron rápidamenteel trabajo en parejas, pero en muchos casos el trabajo no se hizo entre los dos: cada unohacía lo suyo, o uno hacía y el otro miraba. Requería de intervenciones externas para quetrabajaran como equipo y, si a alguno le surgía una duda, inmediatamente recurría al docen-te; no aceptaban permanecer en un estado de duda ni consultar a su compañero. Removeresta modalidad requiere evidentemente de las explícitas intervenciones del docente y de untrabajo mucho más extenso que el que puede hacerse en tres clases.

En general, aparece como dificultosa la tarea de coordinar a los alumnos haciéndolos entraren el terreno del debate de ideas. A su vez, en algunos casos, resultó difícil para el docentereconocer que hay errores que aportan a la discusión. Producto de la ansiedad, muchasveces "nos anticipamos" a las respuestas de los alumnos. En ocasiones, "no hacemos pasar"a los que lo hacen mal, ya que no "soportamos" no dar la respuesta correcta cuando vemoserrores en el trabajo. En consecuencia, en las puestas en común, estos errores ya han sidoaclarados en los pequeños grupos y el debate que se busca generar es menos intenso. Estodo un proceso lograr que las "puestas en común" sean una instancia fructífera para elaprendizaje de los alumnos.

Con relación a los tipos de respuesta que admitían los problemas que fueron planteados,es posible distinguir:

- Aquellos para los cuales la respuesta es "no se puede construir". Dentro de éstos, algunospueden validarse totalmente a partir de la construcción, es decir que la validación pragmáti-ca es suficiente para dar respuesta al problema, por ejemplo, el problema 10. Hay otros paralos cuales el dibujo no es suficiente y hay que apelar a algún tipo de propiedad para validar(por ejemplo, el problema 5 en el cual siempre se puede pensar que habría otro triángulo"más grande", imposible de dibujar, etcétera).Se observó que para algunos alumnos comenzó a aparecer la interesante distinción entre "nome sale la construcción" y "no hay triángulo".


- Los problemas en los cuales la respuesta es "hay un solo triángulo". En estos casos, la vali-dación de la unicidad es más compleja. En la mayor parte de los casos, la confirmación dela unicidad recayó en el docente, por ejemplo, el problema 2. En este caso, podría habersearribado a la validez del trabajo a través de simetrías, rotaciones, etc., pero no ha aparecidoen ninguno de los cursos observados.

- En los casos donde hay más de un triángulo a dibujar, la validación es pragmática, es decir"muestran" que hay otro, sin necesidad de argumentar por qué este otro es distinto al ante-rior (quedan en el plano del dibujo: "no ves que son diferentes"). En el problema 1 los alum-nos llegan a decir que hay infinitos triángulos, por una reflexión que trasciende los dibujoshechos y se instala en el plano de los dibujos posibles de hacer.

Con relación a la validación, se percibe que, a medida que se fue avanzando en la resolu-ción de los problemas, los alumnos fueron desarrollando cada vez más argumentacionespara apoyar sus respuestas. Hay que destacar que en líneas generales no hubo resistencia delos alumnos en aceptar este requerimiento de argumentaciones, a través de las cuales podí-an tener confirmación sobre la validez de sus resultados particulares. Es claro que la valida-ción desplegada ha sido bastante especial (en general mas bien pragmática), pero aun dentrode este tipo de validación resulta interesante distinguir dos tipos:

- Las que se apoyan exclusivamente en conocimientos anteriores, por ejemplo: "no va apoder armar un triángulo porque la suma de los ángulos no es 180º" (teniendo en cuentaque la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo es un conocimientoque los alumnos ya poseían). En este tipo de argumentaciones, los alumnos encontraban quesus conocimientos "antiguos" de geometría podían servir para responder problemas actua-les.

- Las que se construyen a través de la situación misma: se infieren enunciados generales apartir de la manipulación de casos particulares. Estos enunciados son en general formula-dos por los alumnos con una cierta imprecisión, no solamente porque los alumnos "no seexpresan correctamente", sino porque tal imprecisión del lenguaje es muestra de una con-ceptualización en proceso de construcción; por ejemplo, teniendo en cuenta que los alum-nos no conocían la propiedad triangular, han producido, a propósito del problema 3,sentencias cómo: "no es posible dibujarlo porque los lados no llegan a juntarse" …. o "esteno se puede armar porque los lados que no son la base tienen que sumar más que el que es


la base". Esta última sería una enunciación parcial de la propiedad triangular; parcial, pues-to que no se plantea la cuestión de que la base podría ser cualquiera de los tres lados. En lasdistintas clases donde se realizó la experiencia, se arribaron a distintas formulaciones de estacondición de compatibilidad, con mayor o menor intervención docente. Pero en todos loscasos se proyectó volver más adelante a trabajar explícitamente sobre la propiedad triangu-lar, la cual no era claramente el objeto de esta secuencia.Ahora bien, además de las precisiones o imprecisiones en esta formulación, el argumento delos alumnos se sustenta sobre un conocimiento que surge a partir de la manipulación conlos dibujos a la que obliga el problema.

Es necesario recordar aquí que el objetivo de esta actividad es la producción de los criteriosde igualdad de triángulos, vía la construcción, pero que a más largo plazo, se pretenderá ins-talar las argumentaciones basadas en las propiedades de las figuras, como la forma de tra-bajo privilegiada en geometría. Llegar a esta instancia requiere además que los alumnosacepten reglas que irá enunciando el docente. Y requiere también el conocimiento de pro-piedades que sirvan como base de las argumentaciones. La actividad que se acaba de anali-zar permite la producción de nuevas propiedades, que no entran al aula por enunciación deldocente sino a partir de un trabajo manipulativo de cada alumno y de un debate colectivo.Es una práctica que deberá ir evolucionando hacia aquella que se quiere instalar.

En este caso, hemos elegido una actividad que junto con una organización determinada dela clase, permitiera poner en evidencia los límites del recurso a la medida para la resolucióndel problema planteado (resolución que incluirá la discusión sobre los procedimientosempleados por los alumnos).

Presentamos a continuación el enunciado del problema, tal como ha sido entregado a losalumnos y la organización de la clase.


ACTIVIDAD PARA SEGUNDO AÑO: EL PROBLEMA DEL RECTÁNGULO7

7 El problema ha sido extraído del artículo "Mesure et Demonstration. Un exemple d¨activité en classede Quatrième", por Bernard Clapponi, aparecido en la Revista Petit X, nº 17, Paris: 1988, pp. 29-48.


Primera etapa: los alumnos trabajan en forma individual.Segunda etapa: cuando todos los alumnos tienen alguna respuesta, el profesor proponeque se reúnan en grupos de 4 y discutan el problema para arribar a una solución en con-junto. Por otro lado, y teniendo en cuenta que tendrán que exponer y defender ante los otrosgrupos su propuesta, tendrán que elaborar una justificación del trabajo que han realizado.Tercera etapa: un representante de cada grupo expone en el pizarrón sus resultados y seorganiza un debate.Cuarta etapa: se realiza un balance final y se identifica aquello que se pretende que seaprenda a través de la actividad.


10 cmD K A

P J I

C L B

PROBLEMA 4

PARA EL ALUMNO

El problema del rectángulo

Dado el rectángulo ABCD con AD = 10 cm y AB = 6 cm

Trazar la diagonal AC y marcar sobre ella un punto P a 9 cm de A.Trazar una paralela al lado AD que pase por P, llamar I al punto en quecorta a AB y J al punto en que corta a CD. También por P trazar unaparalela al lado AB, llamar K al punto en que corta a AD y L al puntoen que corta a BC.¿Cuál de los dos rectángulos IBLP o KPJD tiene área mayor?

¿Por qué hemos elegido esta formulación del problema y esta organización de la clase?Como esperamos que la mayoría de los alumnos resuelva el problema a través de la medi-ción de los lados de cada rectángulo y del cálculo de las áreas, hemos hecho algunas elec-ciones intencionales de tal forma que los resultados obtenidos por cada alumno fuerandivergentes. Esto provocaría, en primer lugar, contradicciones dentro de cada uno de losgrupos y luego entre los diferentes grupos que conforman la clase. Las medidas elegidaspara los lados del rectángulo ABCD son tales que, los lados de los rectángulos cuyas áreasse deben comparar resultan números irracionales. Esto conduce a mayores imprecisionesen las mediciones efectuadas por los alumnos.Por otro lado, si bien hubiera sido posible proponer un enunciado sin medidas, quisimos evi-tarlo puesto que supusimos que la diversidad de dibujos que hubieran surgido en estas con-diciones no permitiría la evidencia de una contradicción, ya que los alumnos podrían atribuirla diferencia entre los resultados obtenidos al hecho de haber dibujado rectángulos diferen-tes. Asimismo, decidimos que el enunciado contenga el dibujo presentado para evitar quesurgieran dibujos "en apariencia" diferentes en función de la ubicación de las letras en losvértices del rectángulo (lo cual nos hubiera llevado a la necesidad de discutir la congruenciade las figuras, discusión que no aportaría demasiado a los objetivos planteados). La hoja quese presenta a los alumnos y sobre la cual deben trabajar, no es cuadriculada para evitar laelección del "cuadradito" como unidad de medida.

Con relación a la formulación de la pregunta, Arsac y otros, expresan:

"La cuestión podría haberse planteado así: Comparar las áreas de los rectángulos IBLP yKPJD. En este caso, un consenso en favor de la igualdad de las áreas correría el riesgo deestablecerse en la clase sin ningún tipo de debate. Es en efecto, la respuesta usual a este tipode pregunta en los problemas de matemática."8

La organización de la clase adquiere asimismo un lugar esencial para el establecimiento decondiciones que nos permitan aproximarnos al objetivo deseado. Un primer conflicto debeaparecer en cada grupo, con relación a la confrontación de respuestas diferentes, ya que nosinteresa empezar a cuestionar la "exactitud de la medida" e ir modificando esta concepciónde los alumnos por la idea de que toda medición es aproximada. Por esta razón hemos pen-


8 G. Arsac y otros. "Initiation au raisonnement déductif au college", en Presses universitaires, Lyon, 1992.

sado una instancia de trabajo individual para que cada uno llegue al grupo con una respues-ta al problema.

Hasta este momento del desarrollo de la actividad, el docente no se posiciona ni a favor nien contra de las decisiones individuales o grupales. Por supuesto que el docente está activoy participa de todas las cuestiones que no comprometan el desarrollo del debate posterior.Es decir, si algún grupo llega a la instancia del debate con la confirmación del docente deque su resultado es correcto, tal debate no cumplirá la función para el cual fue previsto.

¿Qué esperábamos que sucediera en la clase? Como ya dijimos, pensamos que la estrategiamayoritaria de la clase será la de medir con la regla la longitud de los lados del rectángulodado y calcular las dos áreas a partir de los valores obtenidos. Suponemos que cada alumnoobtendrá valores diferentes para los lados y por lo tanto, para las áreas. De esta manera, apa-recerán en la clase algunos alumnos que dirán que el rectángulo IBLP tiene mayor área queel KPJD o viceversa, o en algunos casos, puede haber alumnos que lleguen a la conclusiónde que las áreas son iguales.

¿Y cómo podrán actuar los alumnos de un grupo frente a la contradicción que se les ha plan-teado? Hemos pensado diferentes posibilidades. Una sería que un integrante mida nueva-mente bajo la atenta mirada del resto: ¡aparece una nueva medida que no es igual a ningunade las anteriores! Otra puede ser que cada integrante vuelva a medir su dibujo "con mayor"precisión.

También podría suceder que un grupo decida en función de lo que dice un determinadoalumno, puesto que éste siempre se destaca en la clase de matemática. Y aquí es donde pen-samos que el docente debe intervenir: debe tratarse de una discusión en la cual no preva-lezca la fuerza de convicción de una persona, o el status que ésta tiene en la clase sino lasrazones sobre las cuales se sustenta la decisión.

También podría suceder que los integrantes de un grupo no se pusieran de acuerdo y, eneste caso, pensamos que el docente debería permitir que el grupo se presente con diferen-tes resultados en la puesta en común.

Otro caso sería que algunos de los integrantes de un grupo o todo el grupo en conjunto pro-duzca una prueba.


Tener previsto ciertos comportamientos de los alumnos permitirá al docente anticipar posi-bles intervenciones para que la situación evolucione hacia los objetivos planteados. Esto per-mite controlar parte de la incertidumbre que puede generar en el docente este tipo detrabajo, aunque no hay que perder de vista que siempre hay "imprevistos" en las clases y quemuchas decisiones tendrán que tomarse sobre la marcha.

En el momento de la puesta en común puede suceder:- que todos los grupos se apoyen en las medidas,- que haya aparecido algún tipo de prueba en alguno de los grupos.En el primer caso tendremos seguramente un conflicto por tener cada grupo resultadosdiferentes. Y aquí el rol del docente es fundamental: discutirá con los alumnos la imposibi-lidad de tomar una decisión basándose en la medición, puesto que toda medida es aproxi-mada, y pedirá buscar otros recursos para resolver el problema presentado, volviendo atrabajar en los grupos ya conformados. Dentro de este primer caso, también podría sucederque toda la clase se haya puesto de acuerdo en que uno de los rectángulos es mayor que otro.En este caso, será el profesor el que genere un conflicto. Podría directamente plantear algocomo lo que sigue."En otro curso que hemos trabajado con este problema, un grupo respondió así:'Las áreas son iguales porque:- el área del triángulo ACB es igual al área del triángulo ADC .- el área del triángulo API es igual al área del triángulo APK- el área del triángulo PCL es igual al área del triángulo PJC.Entonces, restando las áreas nos queda que los dos rectángulos tienen la misma área.'¿Qué opinan de esta conclusión? "

De esta manera es el docente el que introduce en la discusión un recurso diferente al pro-puesto por los alumnos -la "argumentación deductiva"-. En principio, el recurso es nuevo yla conclusión a la que permite arribar también. En el segundo de los casos, es decir si laprueba ha aparecido en alguno de los grupos, la discusión se planteará entre este grupo y elresto de la clase.En ambos casos el debate girará no sólo en torno de las respuestas obtenidas sino tambiénen relación con la diferencia entre los procedimientos empleados para arribar a la decisión.Es esta una discusión que el profesor debe conducir activamente.


ALGUNAS IMÁGENES DE LA PUESTA EN EL AULA DE LA ACTIVIDAD DE SEGUNDO AÑO:

EL PROBLEMA DEL RECTÁNGULO

Al principio del trabajo algunos grupos se preguntan si hay que medir con la regla o "calcu-lar" por Pitágoras si deben buscar alguna otra cosa... Otros preguntan si hay que resolverlogeométricamente. El docente devuelve a los alumnos la responsabilidad de la resolución res-pondiendo que tienen que resolverlo de la manera que ellos crean que se puede arribar a unarespuesta correcta.

En un grupo, uno de sus integrantes dice que las áreas son iguales por resta de superficies.El docente colabora pidiéndole que explique qué quiere decir esto y le recuerda luego quedeberá defender esta propuesta frente a sus compañeros en el pizarrón. Entonces, ayudadopor otros compañeros, logra justificar en parte su afirmación.

En un equipo, tres alumnos llegan midiendo a la misma respuesta y el cuarto no. Decidenvolver a medir "entre todos". Toman nuevamente la regla y miden sobre el dibujo del chicoque tenía la respuesta diferente. En la nueva medición obtienen valores diferentes nueva-mente. Gran confusión, vuelven a medir. No llegan a ninguna conclusión.

Hay dos chicas de otro equipo que dicen que son iguales porque uno es más largo y másfino pero el otro es más corto pero más gordo. Se compensa. No pueden avanzar en la jus-tificación y se quedan con esto. El docente les pregunta si les parece éste un argumento fuer-te para defender su propuesta ante los otros. Dicen que no, vuelven a la búsqueda de otrasrazones pero no las encuentran, a pesar de estar convencidas de que las áreas son iguales.

Con esta variedad de trabajo en los grupos, se llega a la puesta en común donde entre todosse discute acerca de los límites de la medición y la posibilidad de arribar a la respuesta conuna argumentación.

Algo diferente aconteció en una escuela industrial.Por ejemplo en un grupo, todos han medido y llegaron a resultados diferentes. Uno de susintegrantes dijo: "hay problemas con las medidas, hay que hacerlo analíticamente, con tri-gonometría" (hay que tener en cuenta que se trata de un segundo año de una escuela indus-trial y que el tema que se había trabajado antes de esta experiencia es trigonometría). Frente


a la pregunta del docente de porqué hay que resolverlo analíticamente responde: "porquepor 1 mm puede cambiar el resultado" y un compañero de grupo dice: "para usar los datosque me da el problema, para algo me los dan".También dijeron que tanto con medidas como con trigonometría se podía resolver. Lohacen de las dos formas para verificar porque con trigonometría es más exacto.

Siguiendo con esa escuela industrial, otro grupo, a partir de medidas desiguales -pero nece-sariamente próximas- concluyó que las áreas debían ser iguales "porque siempre hay errorde medición". Hay aquí una utilización de la medición más próxima al uso científico y dis-tante del plano pragmático en el que se encuentra el resto de la clase.En el momento en que el grupo produjo esa afirmación un miembro de nuestro equipointervino planteándole a éste la necesidad de encontrar una argumentación más sólida paradefender su resultado de igualdad de las áreas en el debate colectivo. Frente a esta interven-ción el grupo elabora una argumentación deductiva basada en la igualdad de los triángulosen que queda dividido el rectángulo a partir de su diagonal.

En el momento del debate, este grupo fundamenta que las áreas son iguales apoyándosesucesivamente en los dos argumentos que ellos habían encontrado. Esto provoca un recha-zo generalizado, sobre todo por parte de los alumnos más fuertes en matemática, que si bienaceptan la declaración acerca de los errores en la medición, no consideran que la argumen-tación deductiva sea suficiente para arribar a una respuesta: "Ustedes lo pensaron con lacabeza, pero analíticamente (refiriéndose a las cuentas), matemáticamente, no da" -dijo unalumno asumiendo la representación de la mayoría-. La clase acepta que las áreas sean igua-les pero exige al grupo que llegue a esto midiendo sobre el dibujo. Para estos alumnos deescuela técnica, con hábitos muy arraigados en mediciones y cálculos, la incertidumbre pro-vocada por resultados diferentes se resuelve afinando la medición y no lleva a un cuestiona-miento de ésta en tanto práctica para decidir sobre la validez de una relación.

El episodio que acabamos de relatar muestra parte de la complejidad inherente a la intro-ducción de un tipo de práctica diferente en el aula. La demostración deductiva debe seraceptada como práctica "superior" en relación con otras como la medición o la simpleobservación, pero esto no puede lograrse con una sola actividad, ni con todos los alumnosal mismo tiempo. Tampoco podrá ser comprendido si los alumnos se ven obligados a acep-tarlo por imposición del docente.


Hasta aquí el relato de las dos actividades y algunas instancias de su puesta en las aulas. Sonsolo un pequeño trazo que puede ser parte del camino a recorrer en el intento de instalar enlas aulas la práctica de la argumentación deductiva, como forma privilegiada para validar lasafirmaciones en matemática.


¿Por qué enseñar matemática?9

En principio podríamos suponer que la respuesta a esta pregunta resulta evidente, peroencontramos diversas perspectivas y repuestas posibles.

Muchas veces aparece como una respuesta a esta pregunta que en el nivel inicial hay queenseñar matemática para preparar a los niños para la escuela primaria y, en la escuela pri-maria hay que enseñar matemática para poder utilizarla en la escuela media y así sucesiva-mente. Pero considerar que aprender matemática sirve para seguir aprendiendo matemáticano parece ser una verdadera respuesta sino una delegación del sentido al final de la escola-ridad.

La matemática se ha vuelto una herramienta imprescindible para comprender la realidad ydesenvolverse en ella. Sabemos que la sociedad actual está impregnada de matemática. Essuficiente leer un diario para observar que se necesita un caudal importante de conocimien-tos matemáticos para entender la información que aparece en el mismo e interpretarla críti-camente. Algunos conceptos matemáticos son ya necesarios para cualquier ciudadano parasaber leer e interpretar las facturas de servicios o los recibos de sueldo, para poder viajar enmedios de transporte públicos y encontrar una dirección.

Por otra parte, el conjunto de disciplinas científicas que utilizan modelos matemáticos parala descripción de fenómenos y procesos que ocurren en su interior, es cada vez más amplio.Físicos, químicos, economistas, sociólogos, historiadores, psicólogos necesitan utilizar capí-


Anexo

9 Extraído de Matemática. Documento de trabajo nº1, Actualización curricular. MCBA, Secretaría de EducaciónDirección de Currículum, 1995.

tulos enteros de la matemática para explicar determinados comportamientos, organizar lainformación, etcétera.

Sin embargo, tampoco consideramos que es suficiente considerar que hay que enseñar mate-mática sólo porque ésta es necesaria, útil. Además de los aspectos puramente instrumenta-les creemos que existen otras razones.

La escuela es la institución primordial de socialización de los niños. Es el lugar por excelen-cia en el que se interroga sobre el mundo, en el que se aprende a conocerlo para actuar enél y sobre él. Para interrogarse sobre el mundo, nos interrogamos sobre los saberes. Laescuela tiene la función social de hacer que los niños y los jóvenes se apropien de una partedel conocimiento que la humanidad ha producido y produce. Las matemáticas forman parteimportante de la cultura que la humanidad ha construido durante siglos. Este patrimoniocultural, o por lo menos un recorte de él debe ser apropiado por los alumnos. Dicha apro-piación por parte de todos los niños contribuye a la conservación y distribución de dichoconocimiento.

Por otro lado, la complejidad de las comunicaciones entre los miembros de una sociedadactual implica el dominio de ciertas experiencias matemáticas. Es decir que actualmente lasmatemáticas constituyen un bien social, muchos de sus conceptos y vocabulario formanparte del lenguaje básico necesario para establecer una comunicación con los otros, y sin sudominio gran parte de los mensajes no pueden ser comprendidos.

Una respuesta muy frecuente a la pregunta inicial es que hay que enseñar matemática por-que su aprendizaje contribuye a la formación y estructuración del pensamiento. Sabemosque la enseñanza de la matemática no tiene el monopolio ni del pensamiento racional ni dela lógica pero es un lugar privilegiado para su desarrollo.

Pero el simple hecho de enseñar matemática, ¿asegura que los alumnos desarrollen un pen-samiento matemático? Seguramente no.

La posibilidad de que los alumnos en la escuela desarrollen un pensamiento matemático estáligada a la concepción de qué es hacer matemática, y al modo en que esta sea enseñada. Con-sideramos que hacer matemática en la escuela implica desde los primeros aprendizajes poneren juego las ideas, escuchar a otros, ensayar y discutir soluciones, resolver problemas, apren-


der a plantearlos, buscar los datos necesarios para su solución, formular y comunicar susprocedimientos y resultados, argumentar a propósito de la validez de una solución, dar prue-ba de lo que se afirma, proponer ejemplos y contraejemplos, traducir de un lenguaje a otro,descubrir demostraciones e interpretar demostraciones hechas por otros. Es esta experien-cia viva de hacer matemática en la escuela la que puede permitir que los alumnos establez-can una relación personal con la matemática, acepten ser actores de una aventura intelectualen un terreno en el que importa tanto la imaginación, el ingenio y la curiosidad como elrigor, la precisión y el compromiso.

La enseñanza de las matemáticas propone no solamente la transmisión de conocimientosmatemáticos, sino, tratar de hacer que los alumnos entren en el juego matemático, en la cul-tura matemática. Si no se tiene en cuenta un enfoque didáctico que contemple esta concep-ción de qué es hacer matemática, difícilmente la transmisión de ciertos recortes delconocimiento matemático logre los fines formativos que se atribuyen a esta ciencia.

En síntesis, hay que enseñar matemática en la escuela porque ésta constituye:- Un bien instrumental necesario para comprender el mundo, operar sobre él y enriquecerlo.- Un bien formativo puesto que bajo ciertas condiciones didácticas contribuye al desarrollodel pensamiento lógico involucrado en la actividad matemática.- Un bien cultural que necesita ser mantenido ya que su construcción se ha convertido enun saber objetivado.- Un bien social ya que está incluido en las comunicaciones de la sociedad actual.

¿QUÉ CONCEPCIÓN DE MATEMÁTICA ORIENTA ESTE ENFOQUE?Numerosos matemáticos de renombre reconocen que los problemas son el corazón de laactividad matemática. También desde un punto de vista de la Didáctica de las Matemáticas,Brousseau señala: "Un alumno no hace matemática si no se plantea y no resuelve problemas".

La concepción de matemática que orienta este enfoque parte de analizar cómo se produceel conocimiento matemático.



10 R. Charnay. "Aprender (por medio de) la resolución de problemas" en C. Parra e I. Saiz (comps.), Didácticade Matemática, Buenos Aires, Paidós, 1993.

El conocimiento matemático ha progresado -y progresa actualmente- en su intento de darrespuesta a necesidades planteadas por la vida cotidiana, por otras ciencias o por la mismamatemática.

Los problemas han sido el motor de la ciencia matemática en la medida en que su resolu-ción ha permitido elaborar nuevos conceptos, relacionarlos con otros ya conocidos, modi-ficar viejas ideas, inventar procedimientos. Pero esta elaboración no se realiza sin dificultad.Los problemas a menudo ofrecen resistencia; las soluciones son casi siempre parciales.10

Aprender matemática en la escuela debe tener relación, aunque sea delicado precisar suslímites, con lo que ha sido y es para la humanidad hacer matemática.

Este planteamiento se apoya en la tesis de que el sujeto que aprende necesita construir porsí mismo sus conocimientos mediante un proceso adaptativo similar al que realizaron losproductores originales de los conocimientos que se quieren enseñar.

Esto implica considerar como centrales las siguientes ideas:- los conocimientos se producen como soluciones a problemas específicos que losseres humanos han enfrentado en un momento u otro;-son los problemas que le han dado origen (y los que se han planteado acontinuación) los que han dado sentido a la matemática producida.

Diversas concepciones de matemática orientan y subyacen a las prácticas de enseñanza. Paraalgunos la Matemática es un conjunto de definiciones, para otros poderosas estructuras. Sinduda la concepción de matemática que tiene un currículum, que tiene un docente intervie-ne en el modelo de enseñanza propuesto, deseado, realizado.

Somos conscientes de que aun quienes comparten una concepción de matemática que reco-noce en el problema la fuente, el motor y el criterio del aprendizaje, enfrentan dificultadespara poder llevar adelante una enseñanza coherente con la misma.

Es razonable que esto suceda porque no basta una concepción del área para enfrentar losmúltiples desafíos que se presentan día a día en las aulas al asumir la responsabilidad socialde que los niños aprendan.

¿QUÉ CONCEPCIÓN DE APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA ORIENTA ESTE ENFOQUE?Partimos de las siguientes ideas acerca de qué consideramos que es aprender:Como hipótesis sobre la adquisición de conocimientos, adoptamos la idea central de Piagetcon respecto a la formación de conocimientos según la cual "los conocimientos no proce-den ni de la sola experiencia de los objetos ni de una programación innata preformada delsujeto, sino de construcciones sucesivas con elaboraciones constantes de estructuras nue-vas". Si bien Piaget no se centró en las relaciones entre la enseñanza y el aprendizaje, a par-tir de esta concepción de aprendizaje numerosas investigaciones se han realizado sobre elaprendizaje en la escuela y, en particular, sobre el aprendizaje de la matemática.

Los conocimientos no se apilan, no se acumulan, sino que pasan de estados de equilibrio aestados de desequilibrio, en el transcurso de los cuales estos conocimientos anteriores soncuestionados. El pasaje de un estado de menor conocimiento a un estado de mayor conoci-miento es un proceso complejo que no reside en la acumulación de pequeños sectores desaber que se van sumando sino en verdaderas reestructuraciones.

Piaget ha subrayado el rol de la acción en la construcción de conocimientos. "Acción" debeser entendido no como manipulación de objetos sino como una acción con una finalidad,en un contexto de resolución de problemas. Las acciones que pueden cumplir ese rol sonaquellas que los sujetos emprenden para responder a una pregunta, a un problema que se lesha formulado o que se han planteado. La acción matemática consiste a menudo en la ela-boración de una estrategia, de un procedimiento que permite anticipar el resultado de unaacción no realizada todavía.

Las producciones del alumno son una información sobre su estado de saber. En particularciertas producciones erróneas no corresponden a una ausencia de saber, sino, más bien, auna manera de conocer a partir de la cual, y a veces en contra de su propia concepción, elalumno deberá construir el nuevo conocimiento.


La interacción social es un elemento importante en el aprendizaje. Se trata tanto de las rela-ciones maestro-alumnos, como de las relaciones alumnos-alumnos puestas en marcha en eldecir, expresar, convencer, cuestionar, ayudar, etc. En la concepción de aprendizaje que esta-mos considerando el docente tiene una responsabilidad muy importante pues no se tratasolo de que los alumnos actúen en la resolución de problemas sino de que el docente favo-rezca el análisis, la confrontación de ideas, la formulación de los saberes. Asimismo son deimportancia crucial en esta concepción de qué es aprender matemática, las relaciones entrelos alumnos, pues estamos concibiendo el quehacer matemático como una práctica social deargumentación, defensa, justificación, formulación y demostración que sólo tiene sentido enun contexto de trabajo con otros.

Aprender matemática es, desde nuestra perspectiva, construir el sentido de los conocimien-tos y la actividad matemática esencial es la resolución de problemas y la reflexión alrededorde los mismos.

Saber matemática reviste un doble aspecto:Por una parte es disponer de ciertas nociones, conocimientos, teoremas matemáticos pararesolver problemas, interpretar situaciones nuevas. En tal funcionamiento las nociones y losteoremas matemáticos tienen status de herramienta, de recurso. Los problemas para los cua-les un conocimiento es útil dan sentido a ese conocimiento.

Saber matemática es también identificar las nociones y los teoremas como elementos de uncorpus científica y socialmente reconocido. Es también formular definiciones, enunciar teo-remas y demostrarlos. En este caso, las nociones, los teoremas tienen status de objeto.

Una construcción que toma en cuenta el sentido de los conocimientos, necesita, a la vez,producir la articulación de esos conocimientos con el saber constituido.

¿QUÉ CONDICIONES PLANTEA A LA ENSEÑANZA ESTE ENFOQUE DEL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA?Constatamos a diario que muchos alumnos "saben" un montón de cosas, pero no "saben"utilizarlas en el momento adecuado. Es el caso, por ejemplo, del planteo de una ecuaciónpara un problema: muchas horas se dedican en el colegio a resolver ecuaciones, pero esos"conocimientos" no son reutilizados en instancias alejadas del momento de aprendizaje de


las ecuaciones. Esos conocimientos (reales, desde un cierto punto de vista) permanecenvacíos de sentido en tanto no han tomado el valor de herramientas para resolver problemas.

Predomina una enseñanza en la que los conocimientos son presentados, definidos paraluego, quizás, ser aplicados en problemas. Se enseña un vocabulario, se enseñan procedi-mientos fijos, algoritmos. Se proponen ejercicios.

En este proceso, es el sentido de los conocimientos lo que se sacrifica.

Para generar las condiciones que permitan construir el sentido de los conocimientos sedeben proponer a los alumnos situaciones en las cuales los conocimientos van a aparecercomo la solución óptima y posible de descubrir a los problemas que se plantean.

Es en la medida en que los conocimientos aparezcan como el producto de la propia activi-dad de los alumnos ante problemas de los que han podido apropiarse, que los conocimien-tos tendrán significado para ellos.

Construir el sentido del conocimiento es no solamente reconocer las situaciones para lascuales es útil sino también conocer los límites de utilización: bajo qué condiciones se cum-plen ciertas propiedades, en qué casos es necesario apelar a otra técnica o a otro concepto,cómo se relacionan entre sí los diversos conceptos, cuáles son las formas de representaciónmás útiles para tratar y obtener información, cómo se puede controlar la adecuación de larespuesta, cómo recomenzar desde el error.

LO QUE SE QUIERE LOGRAR

Desde este punto de vista, el primer paso para pensar la enseñanza consiste en establecercon claridad qué es lo que se quiere que los alumnos aprendan.

Puede ser que aprendan un concepto, un modo de representación, un procedimiento, unatécnica. Puede ser que el maestro quiera que los alumnos sean capaces de elaborar pregun-tas o de plantear problemas. Puede ser que quiera que aprendan a trabajar en grupo o a pre-sentar sus procedimientos a los demás. O quizás varios de estos objetivos relacionados.


Se trata, ante cualquiera de estos objetivos, de buscar cuáles son los problemas, las consig-nas, los medios, la organización de la clase etc., que pueden favorecer su logro.

¿Qué es un problema?Se entiende por problema toda situación que lleve a los alumnos a poner en juego los cono-cimientos de los que disponen pero que, a la vez, ofrece algún tipo de dificultad que tornainsuficientes dichos conocimientos y fuerza a la búsqueda de soluciones en la se producen nue-vos conocimientos modificando (enriqueciendo o rechazando) los conocimientos anteriores.

Estamos hablando de problemas que sirven para aprender. Esto es distinto de pensar losproblemas sólo como la ocasión para aplicar algo ya aprendido.

La resolución de problemas juega un rol fundamental en el aprendizaje. Los problemas favo-recen la construcción de nuevos aprendizajes y brindan ocasiones de empleo de los conoci-mientos anteriores.

Sin embargo, resolver problemas es sólo una parte del proyecto de enseñanza. Resulta cen-tral reflexionar sobre otros aspectos y referirnos al rol del maestro, absolutamente centralpara que el proyecto de enseñanza logre sus objetivos.


En la organización de los intercambios de los alumnos con los conocimientos podemosencontrar diferentes momentos de una clase o de un conjunto de clases destinadas a tratarun tema. Esta organización intenta instalar en el aula una dinámica de trabajo a partir de laresolución de problemas:

En una primera fase del trabajo el maestro expone la consigna, distribuye el material, pre-senta el problema a resolver.

Los alumnos se enfrentan a una situación en forma individual o en pequeños grupos inten-tando encontrar la solución al problema propuesto. Se trata de una actividad propia delalumno con una finalidad que debe quedar claramente establecida.


Los alumnos utilizarán diferentes procedimientos tendientes a encontrar la solución del pro-blema puesto que el camino de resolución no estaba fijado de antemano.

Las respuestas o soluciones podrán no ser las óptimas ni las convencionales. Incluirán erro-res y dudas en las acciones desarrolladas y probablemente no estén formuladas de un modocomprensible para toda la clase.

En una segunda fase del trabajo, lo producido por cada alumno o cada grupo será debatidopor toda la clase. Para ello deberán encontrar la forma de comunicar sus procedimientos demanera tal que puedan ser entendidos por sus compañeros. Dicha comunicación hace nece-saria una formulación lo más clara y precisa posible de lo realizado.

En la siguiente fase, se desarrolla la argumentación sobre el problema. Los alumnos realizanuna confrontación y comparación de sus procedimientos sobre los que deben justificar suvalidez. Dan pruebas y ejemplos de lo que afirman, como también permiten que otros seña-len los errores cometidos para poder corregirlos. Esta etapa de validación es central en esteproceso porque a través de ella las acciones realizadas pueden ser reformuladas para darmejor cuenta de la situación planteada por el problema; o puede mostrarse falsa, encontrar-se un contraejemplo que la invalide, con lo que será necesario desarrollar un nuevo proce-dimiento teniendo en cuenta los errores anteriores, que son concebidos como ensayos.

En una cuarta fase de trabajo con los alumnos en la resolución de problemas se destacan lascaracterísticas del mismo. El docente intenta resaltar el aprendizaje previsto en los objetivos.Se desprende a partir de las producciones de los alumnos lo que ellos deben retener.

"Cuando el alumno ha respondido a las situaciones propuestas, no sabe que ha "producido"un conocimiento que podrá utilizar en otras ocasiones. Para transformar sus respuestas yconocimientos en saber deberá, con la ayuda del docente, sacar del contexto del problemael saber que ha producido, para poder reconocer en lo que ha hecho algo que tenga carác-ter universal, un conocimiento cultural reutilizable.La toma en cuenta "oficial" por el alumno del objeto de conocimiento y por el maestro delaprendizaje del alumno es un fenómeno social muy importante y una fase esencial del pro-ceso didáctico: este doble reconocimiento es el objeto de la institucionalización."12


12 Brousseau, G. (1988) Op.cit FALTAN DATOS

El alumno trabaja ante una situación, que es nueva para él, utilizando lo que sabe. Al ir ven-ciendo los obstáculos que la sucesión de situaciones propone, produce nuevos conocimien-tos. Pero... ¿cómo puede saber el alumno que ha construido algo nuevo? El único que sabeque allí hay algo nuevo importante de ser recordado es el maestro.

En síntesis, el maestro organiza la presentación del trabajo de los alumnos, favorece el aná-lisis, las confrontaciones, provoca que se formule el saber de la clase cuidando que éste sevincule con lo que se ha realizado pero que a la vez sea reconocible, reutilizable, desprendi-do del contexto en el que apareció. Esta selección es responsabilidad del docente.

La institucionalización es una identificación del saber que puede ser usado en otras ocasio-nes, devuelve a los alumnos el producto de su trabajo pero también les señala lo que se haenseñado y que empezará a ser requerido por el docente.

Sin duda la enseñanza incluye muchos otros aspectos, por ejemplo, cómo asegurar en todoslos alumnos las adquisiciones, cómo trabajar con los alumnos que tienen dificultades, cómoprovocar vinculaciones entre unos conceptos y otros, cómo generar progresiones en plazosmás largos etcétera.

Además, en las líneas que anteceden no hemos querido más que esbozar una estrategia dereferencia para organizar un conjunto de clases que, sin duda, ha de ser particularizada aldecidir y realizar el plan de trabajo para cada uno de los contenidos.


geometria media

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