IntroducciónÁlgebra vectorial

Manteniendo el criterio de no desarrollar una teoría completa ni rigurosa de álgebra vectorial se desarrollarán las definiciones y propiedades necesarias para encarar su aplicación a la geometría analítica en el espacio. La metodología a seguir será la misma que se utilizó para la geometría analítica en el plano. Varias de las propiedades ó definiciones dadas admitirán una extensión de simple comprensión al tratamiento en tres dimensiones.

Sistemas de ejes de referenciaConvenciones y nomenclatura

Se utilizará el sistema de referencias X, Y, Z.El sistema de la figura corresponde a una terna derecha.

GRAFICO P1

Convencionalmente, un observador ubicado en la dirección y sentido del semieje positivo de las Z, observa la circulación del eje X hacia el eje Y en sentido contrario a las agujas del reloj.Los versores de las direcciones de las direcciones de los semiejes positivos X, Y, Z los denominaremos i, j, k (con sombrerito) respectivamente.Estos versores constituyen una base ortonormal del conjunto de los vectores del espacio. Todo vector del espacio vectorial tridimensional puede obtenerse como combinación lineal de los vectores que integran la base.

Vector posición de un punto

Todo punto P del espacio tiene asociado un vector cuyo origen es el origen de las coordenadas y cuyo extremo es dicho punto.Ejemplo: en la figura se representa el vector posición asociado al punto A(2;4;3)

GRAFICO P2

Este vector lo podemos expresar como suma de tres vectores de direcciones de los ejes coordenados. Los denominaremos vectores componentes.

GRAFICO P3

Los vectores componentes de vector posición OA de la figura son a, b y c

AO = a + b + c

Esta igualdad se comprueba geométricamente en la figura: La suma vectorial a + b está representada en el plano X, Y. Si al vector a + b se le suma vectorialmente el c se obtiene el vector posición del punto A.Los vectores componentes a, b y c se pueden expresar en función de los versores i, j y k:

a = 2ib = 4jc = 3k

Resulta entonces OA = 2i + 4j + 3k

Los números reales (escalares) 2, 4 y 3 que afectan a los versores los denominaremos “componentes” del vector OA

Se observa la siguiente propiedad:“Las componentes del vector posición de un punto coinciden con las coordenadas de dicho punto.”Esta propiedad es una extensión al espacio de la analizada para la geometría en el plano.

En general, para un punto P(X;Y;Z) del espacio, su vector posición OP podrá expresarse analíticamente por la expresión:

OP = Xi + Yj + Zk

Vector definido por dos puntos del espacio.

GRAFICO P4

El vector definido por los dos puntos A y B lo podemos expresar como diferencia de los vectores posición OB y OA

AB = OB - OA

P6

Producto escalar de dos vectores

La definición y las propiedades del producto escalar de dos vectores en el plano se extienden al tratamiento en tres dimensiones.Recordemos la definición:

Dados dos vectores y denominamos producto escalar x al número real obtenido al multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo comprendido por los vectores.

x = | |.| | cos

Expresión de cálculo en función de las componentes

Si los vectores están dados analíticamente por:

Puede demostrarse la siguiente expresión para el cálculo del producto escalar en función de las componentes de los vectores:

Aplicación: Las expresiones de la definición y de cálculo del producto escalar pueden utilizarse de la misma forma que se analizó en dos dimensiones para el cálculo del ángulo entre dos vectores en el espacio:

La expresión final de cálculo del ángulo en función de las componentes será:

Esta expresión será utilizada para diversos problemas de geometría analítica: Cálculo del ángulo entre dos planos, entre dos rectas en el espacio y entre una recta y un plano.Recuérdese que los vectores y , si los consideramos como vectores libres y no tienen un origen común, para definir el ángulo que determinan los trasladamos paralelamente a si mismos, llevándolos a un origen común.El ángulo adoptado, será el menor del que definen los vectores, su valor está limitado entre 0° y 180°.

GRAFICO P7

P8

El plano en el espacioContinuando la introducción, recordaremos algunos postulados y propiedades de la geometría elemental que formaran la base para el desarrollo analítico posterior.

- A una recta la contienen infinitos planos.

- Una recta y un punto exterior a la misma determinan un plano al cual pertenecen.