geometría algebraica -...

Geometra Algebraica

Fernando Sancho de Salas y Pedro Sancho de Salas

14-11-2012

ndice general

I lgebra Conmutativa 13

Introduccin 15

0. Grupos, anillos y mdulos 190.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

0.1.1. Grupos cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250.1.2. Grupo simtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260.1.3. Producto directo y semidirecto de grupos . . . . . . . . . . . . . . . 290.1.4. G-conjuntos. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

0.2. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370.2.1. Anillos. Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . 400.2.2. Cociente por un ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460.2.3. Ideales primos. Ideales maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480.2.4. Localizacin. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510.2.5. Operador de Euler. Polinomios ciclotmicos . . . . . . . . . . . . . . 540.2.6. Espectro primo de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590.2.7. Localizacin y espectro primo. Frmula de la fibra . . . . . . . . . 66

0.3. Mdulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710.3.1. Mdulos, submdulos y cocientes. Sistema de generadores . . . . . 720.3.2. Localizacin de mdulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760.3.3. Anillos y mdulos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810.3.4. Mdulos y anillos de longitud finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860.3.5. Clasificacin de los mdulos sobre dominios de ideales principales 91

0.4. Categoras. Funtor de homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1000.5. Producto tensorial de mdulos y lgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

0.5.1. lgebra tensorial, simtrica y exterior de un mdulo . . . . . . . . 1110.6. Mdulos planos y proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1190.7. Ideales de Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1240.8. Lmites proyectivos e inductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

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NDICE GENERAL NDICE GENERAL

0.9. Teorema de representabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1370.10.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

1. Races de un polinomio 1551.1. Extensiones de cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

1.1.1. Teorema de Kronecker. Cierre algebraico . . . . . . . . . . . . . . . 1561.1.2. Grado de trascendencia de una extensin de cuerpos . . . . . . . . 1591.1.3. Espectro primo y soluciones de un sistema de ecuaciones alge-

braicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.2. Teorema de las funciones simtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1621.3. Teorema fundamental del lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1641.4. Frmulas de Newton y Girard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1651.5. El discriminante de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1661.6. Teora de la eliminacin: Resultante de dos polinomios . . . . . . . . . . . 169

1.6.1. Mtodos de cmputo de la resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1731.6.2. Aplicaciones de la resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1761.6.3. Ejercicios y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

1.7. Exceso. Polinomios de Sturm. Separacin de races . . . . . . . . . . . . . 1811.7.1. Acotacin de las races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811.7.2. Exceso de una funcin racional real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811.7.3. Vueltas de una curva alrededor del origen. Teorema de DAlambert1831.7.4. Polinomios de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1861.7.5. Teorema de Budan-Fourier. Teorema de Descartes . . . . . . . . . 187

1.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

2. Teora de Galois 1952.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952.2. k-lgebras finitas triviales y racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992.3. k-lgebras finitas separables. Trivializacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

2.3.1. Cuerpos perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2072.3.2. Sublgebra separable maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2082.3.3. Mtrica de la traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

2.4. Extensiones de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2132.4.1. Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

2.5. Teorema de Galois categorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2162.6. Resolubilidad de las ecuaciones polinmicas por radicales . . . . . . . . . 221

2.6.1. Extensiones cclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212.6.2. Extensiones por radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2272.6.3. Grupo de Galois de las cbicas y las curticas . . . . . . . . . . . . 234

4


2.7. Extensiones por radicales cuadrticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2352.7.1. Construcciones con regla y comps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

2.8. Apndice: Grupos resolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2422.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

3. Variedades algebraicas 2553.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2553.2. Descomposicin primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

3.2.1. Una descomposicin primaria cannica . . . . . . . . . . . . . . . . 2653.3. Morfismos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2673.4. Teoremas de ascenso y descenso de ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2713.5. Teorema de los ceros de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2743.6. Dimensin en variedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2773.7. Variedades algebraicas lisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

3.7.1. Mdulo de las diferenciales de Khler y mdulo de derivaciones . 2813.7.2. Variedades lisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2893.7.3. Mdulo de diferenciales de una variedad en el punto genrico . . . 292

3.8. Variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2943.9. Apndice: Clculo tensorial diferencial valorado . . . . . . . . . . . . . . . 299

3.9.1. Derivada de Lie. Frmula de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2993.9.2. Clculo diferencial valorado. Identidades de Bianchi . . . . . . . . 3043.9.3. Mdulos de jets y operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . 309

3.10.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

4. lgebra local 3214.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3214.2. Teora de la dimensin local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

4.2.1. Cono tangente y espacio tangente en un punto . . . . . . . . . . . . 3224.2.2. Funcin de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3244.2.3. Teorema de Artin-Rees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3264.2.4. Dimensin en anillos locales noetherianos . . . . . . . . . . . . . . 328

4.3. Anillos locales regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.4. Complecin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

4.4.1. Topologa I-dica. Complecin I-dica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3374.4.2. Complecin y noetherianidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3404.4.3. Teorema de Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3424.4.4. Lema de Hensel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

4.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

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5. Anillos de enteros y anillos de curvas 3495.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3495.2. Anillos de valoracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3505.3. Anillos de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3525.4. Desingularizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

5.4.1. Finitud del morfismo de cierre entero . . . . . . . . . . . . . . . . . 3575.4.2. Cierre entero y anillos de valoracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3595.4.3. Variedad de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

5.5. Teora de Nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3665.5.1. Valores absolutos arquimedianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3665.5.2. Valores absolutos no arquimedianos y valoraciones . . . . . . . . . 3705.5.3. Producto de valores absolutos de una funcin . . . . . . . . . . . . 3715.5.4. Divisores afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3735.5.5. Divisores completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3775.5.6. Volumen de un paraleleppedo. Discriminante . . . . . . . . . . . . 3785.5.7. Teorema de Riemann-Roch dbil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3815.5.8. Finitud de la clase de ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3825.5.9. Invertibles de un anillo de enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3845.5.10. Nmero de ideales de norma acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . 3875.5.11. La funcin zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

5.6. Explosin a lo largo de un cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3945.7. Multiplicidad de un punto singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3985.8. Multiplicidad de interseccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015.9. Ramas analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

5.9.1. Polgono de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4045.10.Puntos cuspidales y contacto maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

5.10.1. Desingularizacin de curvas planas va el contacto maximal . . . 4065.11.Teoremas de Bzout y Max Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4105.12.Apndice: Revestimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

5.12.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4135.12.2. Teora de Galois de revestimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4145.12.3. El maravilloso automorfismo de Frbenius . . . . . . . . . . . . . . 4215.12.4. Revestimientos ramificados de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4245.12.5. Clculos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

5.13.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

6. lgebra Conmutativa Homolgica 4396.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4396.2. Mdulos diferenciales. Homologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

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6.3. Tores y Extens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4486.4. Complejo de Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4526.5. Teorema de Serre para los anillos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4566.6. Anillos de Cohen-Macaulay y Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4606.7. Criterios de platitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

6.7.1. Criterio local de platitud y consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . 4696.7.2. Platitud genrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

6.8. Morfismos lisos y formalmente lisos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4766.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

7. Desingularizacin de superficies 4857.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4857.2. Platitud normal en hipersuperficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4867.3. Contacto maximal para hipersuperficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4927.4. Exponente idealstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4957.5. Tangente estricto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

8. Bases de Grbner 5038.1. rdenes monomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5038.2. Bases de Grbner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5068.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

8.3.1. Teora de la eliminacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5108.3.2. Clculo de la funcin de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5128.3.3. Cierre proyectivo de una variedad afn . . . . . . . . . . . . . . . . . 5138.3.4. Deformacin plana de una variedad proyectiva a una variedad

proyectiva monomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5138.3.5. Clculo del espacio tangente en un punto . . . . . . . . . . . . . . . 5148.3.6. Expresin de un elemento como combinacin lineal de los gene-

radores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5158.3.7. Clculo del ncleo y de antimgenes de un morfismo entre mdu-

los finito generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5158.3.8. Clculo de la descomposicin primaria de un ideal . . . . . . . . . 5178.3.9. Clculo de extens y tores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

II Geometra Algebraica Global 521

9. Haces. Cohomologa de haces 5239.1. Haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5239.2. Imagen directa e inversa de haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

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9.3. Introduccin a la cohomologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5329.4. Cohomologa de haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5349.5. Cohomologa local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5399.6. Funtores derivados por la derecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

9.6.1. Funtores derivados por la izquierda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5449.6.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

9.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

10.Esquemas 54710.1.Espacios anillados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

10.1.1. Esquemas afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54910.2.Esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55310.3.Subesquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55410.4.Ejemplos de esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

10.4.1. Variedades algebraicas. Variedades proyectivas . . . . . . . . . . . 55610.4.2. Variedad de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55810.4.3. Recollement de esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

10.5.Un teorema de construccin local de esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . 56510.6.Apndice: Esquemas separados y propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56710.7.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575

11.Mdulos cuasicoherentes 57911.1.Mdulos cuasicoherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

11.1.1. Mdulos coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58311.1.2. Imagen directa e inversa de mdulos (cuasi)coherentes . . . . . . . 584

11.2.Divisores y haces de lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58611.3.Mdulos cuasicoherentes en esquemas proyectivos . . . . . . . . . . . . . . 593

11.3.1. Teorema de Bzout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59611.4.Apndice: Fibrados. Grassmannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

11.4.1. Morfismos afines y haces de lgebras cuasicoherentes . . . . . . . 59811.4.2. Mdulos y fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59911.4.3. Grassmannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

11.5.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

12.Cohomologa en esquemas 60512.1.Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60512.2.Cohomologa Cech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60512.3.Aciclicidad en esquemas afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60612.4.Cohomologa y cambios de base planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60912.5.Acotacin de la cohomologa por la dimensin. . . . . . . . . . . . . . . . . 612

8


12.6.Finitud de la cohomologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61312.6.1. Caracterizacin cohomolgica de la recta . . . . . . . . . . . . . . . 61312.6.2. Cohomologa de los morfismos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . 61512.6.3. Cohomologa de los haces coherentes en variedades proyectivas . 61712.6.4. Cohomologa de los haces coherentes en curvas . . . . . . . . . . . 621

12.7.Cohomologa local y extens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62312.8.Teorema de las funciones formales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62612.9.Transformaciones birracionales entre superficies . . . . . . . . . . . . . . 63312.10.Teoremas de Grauert y semicontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63712.11.Lema de Nakayama para funtores semiexactos . . . . . . . . . . . . . . . . 641

12.11.1.Aplicacin 1: Fibras de las imgenes directas superiores . . . . . . 64412.11.2.Aplicacin 2: Morfismos de Cohen-Macaulay y Gorenstein . . . . . 645

12.12.Morfismos en espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64712.13.Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

12.13.1.Lema de Chow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65212.13.2.Cohomologa de los morfismos propios . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

12.14.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656

13.Teora de la dualidad en curvas 65913.1.Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65913.2.Teorema de Riemann-Roch dbil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66013.3.Teoremas de dualidad y Riemann-Roch fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . 66313.4.Dualizante de una curva lisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66513.5.Residuo y morfismo traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66713.6.Teorema de Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67313.7.Dualizante de curvas singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67413.8.Aplicaciones de la teora de dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

13.8.1. Teorema de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67713.8.2. Proyectividad de las curvas completas no singulares . . . . . . . . 68013.8.3. Curvas elpticas e hiperelpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68113.8.4. Curvas en P3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68713.8.5. Integracin por funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 691

13.9.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696

14.Teora de la dualidad 70114.1.Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70114.2.Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70214.3.Dualizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70514.4.Clculo del dualizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

9


14.5.Residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71814.6.Clculo del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

15.Sucesin Espectral 72515.1.Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72515.2.Tringulos exactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72515.3.Sucesin espectral de un objeto diferencial filtrado . . . . . . . . . . . . . 72615.4.Caso bigraduado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72915.5.Sucesin espectral asociada a un bicomplejo . . . . . . . . . . . . . . . . . 731

15.5.1. Sucesin espectral de hiperfuntores derivados . . . . . . . . . . . . 732

16.Teora K y Riemann-Roch 73716.1.Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73716.2.Teora K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738

16.2.1. Teora K de los fibrados proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74616.3.Graduado de la teora K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

16.3.1. Graduado K de un fibrado proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 75116.3.2. Deformacin al cono normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754

16.4.Clases de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75816.4.1. Clculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762

16.5.Teorema de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76416.5.1. Carcter de Chern. Clase de Todd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76516.5.2. Enunciado del teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76616.5.3. Demostracin del teorema de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . 76616.5.4. Riemann-Roch sin denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771

16.6.Clculos y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77316.6.1. Teora K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77316.6.2. Clases de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78216.6.3. Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789

17.Teora del descenso fielmente plano. 79517.1.Introduccin al problema del descenso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79517.2.Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79617.3.Haces en la topologa fielmente plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79717.4.Dato de construccin, condiciones de descenso. . . . . . . . . . . . . . . . . 80017.5.Cohomologa en la topologa fielmente plana . . . . . . . . . . . . . . . . . 80517.6.Clasificacin de construcciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80617.7.Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80717.8.Descenso en otras topologas: Extensiones de mdulos y de lgebras . . . 812

10


18.Esquema de Hilbert y de Picard 81918.1.Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81918.2.Esquema de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82118.3.Estratificacin plana de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82818.4.Estudio infinitesimal del esquema de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 83118.5.El esquema de homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83218.6.Cociente por una relacin de equivalencia plana . . . . . . . . . . . . . . . 83318.7.Esquema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835

18.7.1. Esquema de divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83518.7.2. Efectividad de la equivalencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837

18.8.Variedades abelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84218.9.Esquema simtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843

18.9.1. Dualizante de los esquemas simtricos . . . . . . . . . . . . . . . . 84518.9.2. Simtrico de una curva. Morfismo determinante . . . . . . . . . . . 847

18.10.Morfismo cannico de la variedad de divisores . . . . . . . . . . . . . . . . 85018.11.Codimensin de las variedades de divisores especiales . . . . . . . . . . . 85518.12.Teorema de estructura del morfismo de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . 85818.13.Teorema de Torelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863

19.Degeneracin de Hodge y Teorema de Anulacin 86719.1.Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86719.2.Frobenius e isomorfismo de Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86919.3.Teoremas de degeneracin y de anulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870

19.3.1. De la caracterstica p a la caracterstica 0 . . . . . . . . . . . . . . . 874

Bibliografa 877

ndice de trminos 881

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12

Parte I

lgebra Conmutativa

13

Introduccin

El presente manual est concebido como texto de referencia para los estudiantesdel Grado de Matemticas de la UEX, en las asignaturas de lgebra: lgebra Conmu-tativa, lgebra I, lgebra II y Teora de Nmeros. Incluye diversos temas de lgebray Geometra Algebraica para alumnos de mster y doctorado, y sirve tambin comomanual de apoyo a los profesores del rea de lgebra. Ha sido redactado a partirde los cursos que recibieron los autores en la Universidad de Salamanca, imparti-dos por nuestro padre el catedrtico Juan Bautista Sancho Guimer y su discpuloel catedrtico Cristbal Garca-Loygorri y Urzaiz, y a partir de la experiencia docen-te e investigadora en la Licenciatura y Grado en Matemticas de las universidadesde Extremadura y Salamanca. En las secciones sobre la descomposicin primaria deideales y sobre los teoremas fundamentales de la Teora de Nmeros hemos seguidounas notas del catedrtico Juan A. Navarro, en el captulo sobre la desingularizacinde superficies he seguido unas notas del catedrtico Juan B. Sancho.

El objetivo del manual es desarrollar de modo autocontenido los conocimientosbsicos en lgebra de todo graduado en Matemticas y, junto con un segundo manual,los conocimientos bsicos de un profesor en el rea de lgebra.

En toda disciplina matemtica concurren entrelazadamente diversos aspectos. Enprimer lugar se desarrolla una teora general, para la cual se introducen ciertas tcni-cas o herramientas y los clculos necesarios para que la teora sea efectiva. En segun-do lugar, por razones intelectuales y pedadgicas, la disciplina ha de desarrollarse demodo justificado, natural, gradual, sugerente, etc.

Hablemos con concisin. Podemos decir que este manual es un texto de GeometraAlgebraica. Se estudian las variedades algebraicas, es decir, las soluciones de los siste-mas de ecuaciones algebraicas. Se comienza con el estudio de las soluciones (races) deuna ecuacin polinmica p(x)= 0. Se calculan de modo aproximado las races y cundopueden obtenerse mediante races cuadradas, cbicas, etc., (captulos 1. y 2.). A con-tinuacin se estudia la variedad de soluciones de los sistemas algebraicos en variasvariables y aparecen los conceptos de dimensin, el concepto de multiplicidad de unpunto, funcin de Hilbert, de punto singular, y el problema de desingularizacin (cap-tulos 3.,4.,5. y 7.). Estamos hablando, pues, de invariantes asociados a las variedades

Introduccin

algebraicas, necesarios para su clasificacin. Para el clculo de las soluciones de lossistemas de ecuaciones, se introduce la teora de la eliminacin de variables (la teorade la resultante) y la teora de Grbner (captulos 1. y 8.); para la separacin de lasraces de un polinomio y el clculo de las vueltas alrededor del origen de una curva,la teora del exceso y los polinomios de Sturm; para el clculo de las races de un po-linomio por radicales, la resolvente de Lagrange; para la determinacin de los puntossingulares, el clculo diferencial; para la desingularizacin de curvas, la explosin enpuntos; para la desingularizacin de superficies, la explosin en puntos y curvas, etc.

Hasta ahora hemos hablado slo desde el punto de vista geomtrico. Dnde apa-rece el lgebra Conmutativa? Cada variedad algebraica X est determinada por suanillo de funciones complejas continuas algebraicas AX : la variedad algebraica X seidentifica esencialmente con el conjunto de los ideales primos de su anillo de funciones,Spec AX . Cada concepto geomtrico tiene su correspondiente concepto en lgebra Con-mutativa: la dimensin de una variedad es igual a la dimensin de Krull de su anillode funciones, la multiplicidad de un punto es igual a la multiplicidad del anillo de gr-menes de funciones en el punto, etc. Cada proceso geomtrico tiene su correspondienteproceso algebraico: cada morfismo entre variedades se corresponde con un morfismode anillos entre los anillos de funciones algebraicas; la restriccin a un abierto U Xcon el morfismo de anillos de localizacin AX AU := { f /g, f , g AX y g no se anulaen ningn punto de U}, f 7 f /1; la restriccin a un cerrado Y X con el morfismo deanillos de paso al cociente AX AY = { f , f AX : f = g si y slo si f g se anula en Y },f 7 f ; el producto directo de dos variedades se corresponde con el producto tensorialde sus respectivos anillos de funciones, etc.

Geometra Algebraica lgebra ConmutativaSpec A, espectro A, anillo conmutativop1(x1, . . . , xn)= = pr(x1, . . . , xn)= 0 C[x1, . . . , xn]/(p1, . . . , pr) : X Y : AY AX , ( f )= f Dimensin de X Dimensin de Krull de AXPunto no singular, x X Anillo local regular, AX ,xCono tangente a X en x Graduado de AX por el ideal mxExplosin en un punto x X Dilatado de AX por el ideal mx

Por otra parte, mltiples conceptos del Anlisis y de la Geometra Diferencial, sonalgebraicos: la diferencial de una funcin, su derivada, se tratar con el mdulo de lasdiferenciales de Khler, los desarrollos de Taylor de una funcin con la complecin delanillo de funciones.

En el captulo 6. introducimos la tcnica o herramienta fundamental para el estu-dio y clasificacin de distinto tipo de anillos y morfismos de anillos: el lgebra Homo-lgica.

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Introduccin

Va el lgebra Conmutativa, la Teora de Nmeros puede entenderse desde unpunta de vista geomtrico. Definiciones y teoremas del lgebra Conmutativa dan si-multneamente definiciones y teoremas en Geometra Algebraica y la Teora de N-meros. El anillo de los nmeros enteros Z est estrechamente relacionado con el anillode funciones algebraicas de la recta afn, el anillo de polinomios C[x]: ambos son ani-llos eucldeos. Los anillos de enteros estn relacionados con los anillos de funciones decurvas, ambos son anillos de dimensin de Krull 1 y el proceso de desingularizacin enambos consiste en obtener un anillo regular. Los nmeros primos pueden entendersecomo puntos de una curva.

Un lugar comn para los legos en Matemticas consiste en entender las Matem-ticas como una mera herramienta para la resolucin por clculo de ciertos problemasreales de otras disciplinas cientficas. De modo parejo, dentro del mundo matem-tico se entiende el lgebra como una herramienta para resolver problemas con unasignificacin real de otras reas de la Matemtica. Una misin primordial de la Ma-temtica y dentro de ella del lgebra es hacer un anlisis profundo de los conceptos yteoras conocidos, anlisis que supone una refundacin e iluminacin de stos. En estetexto queremos tambin mostrar cmo la Geometra Algebraica, el clculo diferencialtensorial de la Geometra Diferencial y la Fsica, la Teora de Nmeros, etc., hundensus races en el lgebra Conmutativa.

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Introduccin

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Captulo 0

Grupos, anillos y mdulos

0.1. Grupos

La estructura ms bsica y fundamental en lgebra es la estructura de grupo (ysemigrupo). Los anillos, los espacios vectoriales, los mdulos, etc. necesitan para sudefinicin de la nocin de grupo.

Demos una justificacin de carcter muy general para la introduccin de la teorade grupos, siguiendo a Felix Klein en su Erlanger Programm. Dar una teora (geom-trica) es dar una estructura, un espacio con cierta estructura. En esta teora es fun-damental el estudio del grupo de automorfismos de la estructura, es decir, de aquellasbiyecciones del espacio que respetan la estructura del espacio. Las nociones y objetosde este espacio, o de la teora, sern aqullos que queden invariantes por el grupo deautomorfismos recin mencionado. El estudio de las funciones, campos diferenciables,etc., que quedan invariantes por el grupo y el estudio de las relaciones que verificanstos, son todos los teoremas de la teora. Es pues el estudio de los grupos (y la teorade invariantes) un tpico fundamental en Matemticas.

En el clculo de las races de un polinomio, es conveniente conocer el grupo deaquellas permutaciones de las races, que respetan las relaciones algebraicas que ve-rifican stas. Ya veremos que las races de un polinomio se pueden obtener medianteradicales si y slo si el grupo de permutaciones mencionado es resoluble (nocin quems adelante explicaremos).

1. Definicin : Sea G un conjunto. Diremos que una aplicacin m : GG G (segui-remos las notaciones m(g, g) = g g = gg y diremos que m es una operacin) dotaa G de estructura de grupo si cumple las siguientes condiciones:

1. Propiedad asociativa: g (g g)= (g g) g, para todo g, g, g G.

Grupos, anillos y mdulos 0.1. Grupos

2. Existencia de elemento neutro: Existe un elemento de G, que denotamos por 1 ydenominamos elemento neutro, tal que 1 g = g 1= g, para todo g G.

3. Existencia de inversos: Para cada g G existe un elemento de G, que denotamospor g1 y denominamos inverso de g, tal que g g1 = g1 g = 1.

Si adems se cumple que gg = gg, para todo g, g G, diremos que G es un grupoabeliano o conmutativo; en cuyo caso, a menudo denotaremos la operacin del grupopor +, al elemento neutro por 0 y al inverso de cada g por g (y lo denominaremosopuesto de g).,

2. Ejemplos : El conjunto de los nmeros enteros con la suma, (Z,+), es un ejemplobsico de grupo conmutativo. El conjunto de todas las biyecciones de un conjunto Xen s mismo, con la operacin composicin de aplicaciones, (Biy X ,), es un grupo noconmutativo (cuando X contenga ms de dos elementos).

Si 1 y 1 son elementos neutros del grupo G entonces 1 = 1: 1 = 1 1 = 1. Si h y hson inversos de g G, entonces h = h: h = h 1= hgh = 1 h = h.3. Definicin : Sea (G, ) un grupo. Diremos que un subconjunto H G es un subgrupode G si cumple las siguientes condiciones:

1. Si h,h H entonces h h H.

2. 1 H.

3. Si h H entonces h1 H.

Si H es un subgrupo de G, entonces la operacin de G define en H una estructurade grupo. Recprocamente, si H es un subconjunto de un grupo G y la operacin de Gdefine en H una estructura de grupo entonces H es un subgrupo.

4. Proposicin: La interseccin de cualquier familia de subgrupos de un grupo es unsubgrupo.

5. Definicin : Dado un subconjunto X de un grupo G, llamaremos subgrupo genera-do por X y lo denotaremos X , al mnimo subgrupo de G que contiene a X , es decir, ala interseccin de todos los subgrupos de G que contienen a X .

Por ejemplo, el subgrupo de Z generado por n Z, es igual a n = {m n, m Z} =:nZ. El subgrupo de Z generado por n,n Z, es n,n = {mn+mn, m,m Z}.

Dado un nmero entero z Z, llamaremos valor absoluto de z y denotaremos |z|,al mximo entre z y z.

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6. Teorema de divisin de nmeros enteros : Sean n y d , 0 dos nmeros enteros.Existe una nica pareja de nmeros enteros c y r (denominados cociente y resto dedividir n por d), tales que 0 r < |d| y

n = c d+ r

Demostracin. Procedamos por induccin sobre |n|, para probar la existencia de c y r.Si |n| = 0, entonces c = 0 y r = 0. Podemos suponer que |n| > 0. El teorema es cierto

para d si y slo si lo es para d (slo hay que cambiar c por c), luego podemos suponerque d > 0.

Supongamos n > 0. Si n < d, entonces c = 0 y r = n. Si n d. Sea n = nd, luego|n| = nd < n = |n|. Por hiptesis de induccin existen c y r (cumpliendo 0 r < |d| =d) tales que n = cd+ r, luego n = (c+1)d+ r y hemos concluido.

Supongamos, ahora, n < 0. Sea n = n+d, luego |n| < |n|. Por hiptesis de induccinexisten c y r (cumpliendo 0 r < |d| = d) tales que n = cd+ r, luego n = (c1)d+ ry hemos concluido.

Veamos la unicidad de c y r. Sea n = cd+r = cd+r, cumpliendo c, c, r, r lo exigido.Podemos suponer r r. Entonces, (cc)d+(rr)= 0 y |cc||d| = |(cc)d| = rr r < |d|, luego c c = 0. Por tanto, c = c y r = n cd = r.

7. Teorema: Si H es un subgrupo del grupo (aditivo) de los nmeros enteros Z, enton-ces existe un nico nmero natural n tal que H = nZ.Demostracin. Si H = {0} entonces H = 0 Z.

Supongamos H , {0}. Existen naturales positivos en H, porque el opuesto de cadanmero entero de H pertenece a H. Sea n H el mnimo nmero natural no nulocontenido en H. Veamos que H = nZ: Obviamente, nZ H. Dado m H Z, existennmeros enteros c y r tales que

m = cn+ r, 0 r < n

Luego, r = m cn H, porque m,cn H. Por la definicin de n, se tiene que r = 0.Luego, m nZ, H nZ y H = nZ.

Por ltimo, demostremos la unicidad: observemos que si un nmero natural mpertenece a nZ, entonces m n. Por tanto, si mZ= nZ, m n y n m, luego m = n.

Si m nZ diremos que m es un mltiplo de n y que n es un divisor de m.Sea (G,+) un grupo abeliano y G1,G2 G dos subgrupos. Denotamos G1,G2 =

G1 +G2 y el lector puede comprobar que G1 +G2 = {g1 + g2, g1 G1 g2 G2}.

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Por la proposicin anterior, dados n,n Z, existe m N tal que nZ+ nZ = mZ.Observemos que n,n mZ, luego m es divisor de n y n. Si m N es divisor de n yn entonces m nZ+ nZ mZ, y m divide a m. Por tanto, m es el mximo comndivisor de n y n.

Por la proposicin anterior, dados n,n Z, existe m N tal que nZnZ= mZ. Ellector, puede comprobar que m es el mnimo comn mltiplo de n y n.8. Definicin : Diremos que una aplicacin f : G G entre dos grupos es un morfis-mo de grupos si para todo g, g G se cumple que

f (g g)= f (g) f (g)Diremos que f es un isomorfismo de grupos si f es biyectiva (en tal caso la aplica-

cin inversa f 1 es un isomorfismo de grupos). Diremos que es un epimorfismo (resp.monomorfismo) de grupos si f es epiyectiva (resp. inyectiva).

Si f : G G es un morfismo de grupos entonces f (1)= 1: f (1)= f (1 1)= f (1) f (1)y multiplicando por f (1)1 obtenemos 1 = f (1). Adems, f (g1) = f (g)1: 1 = f (1) =f (g g1)= f (g) f (g1) y multiplicando por f (g)1 obtenemos f (g)1 = f (g1).

Denotaremos Homgrp(G,G) al conjunto de todos los morfismos de grupos de G enG.9. Definicin : Sea f : G G un morfismo de grupos. Llamaremos ncleo de f y lodenotaremos Ker f , al subconjunto de G

Ker f := f 1(1)= {g G : f (g)= 1}Llamaremos imagen de f , que denotaremos Im f , a la imagen de la aplicacin f , esdecir,

Im f := { f (g) G, g G}10. Proposicin: Ker f es un subgrupo de G e Im f es un subgrupo de G. En general,la antimagen por un morfismo de grupos de un subgrupo es subgrupo y la imagen deun subgrupo es subgrupo.

Dado un morfismo de grupos f : G G y g G, calculemos el conjunto de elemen-tos g G tales que f (g)= f (g): f (g)= f (g) si y slo si 1= f (g)1 f (g)= f (g1 g), esdecir, si y slo si g1 g Ker f , que equivale a decir que g gKer f := {gh, h Ker f }.11. Proposicin: Un morfismo de grupos f : G G es inyectivo si y slo si Ker f = {1}.

Si identificamos los elementos de G cuando tengan la misma imagen, obtenemosun conjunto biyectivo con la imagen. Es decir, si identificamos cada g G con los ele-mentos de g Ker f obtenemos un conjunto que es biyectivo con Im f .

Sea H G un subgrupo. Dado g G, denotamos gH := {gh G, h H}. Sean g, g G.

22


Si g gH entonces gH = gH: Sea h H, tal que g = gh. Entonces, gH = ghH =gH.

Si g gH, entonces gH gH =;, pues si z gH gH, entonces gH = zH = gH.Luego, dados g, g G, o gH = gH o bien gH gH =;.

12. Definicin : Sea H G un subgrupo. Llamaremos conjunto cociente de G por H,que denotaremos G/H, al conjunto

G/H := {gH | g G} =Not

{ g, g G : g = g si y slo si g g H (o equiv. gH = gH)}

Es decir, si en G identificamos cada g G con todos los elementos de gH G,obtenemos el conjunto G/H.13. Notacin : Se dice que g es congruente con g mdulo H y se denota g g mod H,cuando g = g en G/H, es decir, g gH (o g1 g H). Dado p Z y n,m Z, escribire-mos n m mod p si n m mod pZ, (es decir, si nm pZ).

La aplicacin G G/H, g 7 g, se denomina el morfismo de paso al cociente (porH).14. Definicin : Llamaremos orden de un conjunto X , que denotaremos |X |, al n-mero de elementos del conjunto. Si el conjunto tiene un nmero infinito de elementosdiremos que es de cardinal infinito.15. Ejemplo : Si n > 0, entonces Z/nZ es un conjunto de orden n, explcitamenteZ/nZ = {0, . . . ,n1}: Dado m Z/nZ, por el teorema de divisin de nmeros enteros,existen nmeros enteros nicos c y r, con 0 r < n, de modo que m = cn+ r. Por tanto,m es igual a un nico r {0, . . . ,n1}.16. Teorema de Lagrange: Sea G un grupo de orden finito. Si H es un subgrupo deG entonces

|G| = |G/H| |H|

Demostracin. G = gG/H g H y |gH| = |H| (porque la aplicacin H gH, h 7 gh esbiyectiva). Por tanto, |G| = |G/H| |H|.

17. Observacin : Subrayemos que el teorema de Lagrange nos dice que el orden detodo subgrupo de un grupo finito divide al orden del grupo.18. Definicin : Se dice que un subgrupo H G es normal (en G) cuando gH g1 H,para todo g G, es decir, si ghg1 H, para todo g G y h H.

Si G es un grupo conmutativo, todo subgrupo de G es normal en G.Si H es normal y tomamos g1 G, tendremos g1H g H, luego H gH g1.

Como g1H g H entonces gH g1 = H (para todo g G). Por tanto, gH = H g, para

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todo g G, y recprocamente si un subgrupo cumple esta condicin el subgrupo esnormal.19. Teorema: Sea H G un subgrupo y : G G/H la aplicacin de paso al cociente.H es un subgrupo normal de G si y slo si existe en G/H una (nica) estructura degrupo, de modo que sea un morfismo de grupos.

Demostracin. Supongamos que H es normal en G. Definamos en G/H la operacing g := gg, que est bien definida porque gH gH = ggHH = ggH. La propiedadasociativa se cumple de modo obvio, 1 es el elemento neutro y g1 es el inverso deg G/H. Luego, G/H es grupo. Adems, : G G/H es morfismo de grupos, pues(g g)= gg = g g =(g) (g).

Recprocamente, si es un morfismo de grupos, entonces g g = (g) (g) =(gg)= gg. Por tanto, la operacin en G/H est determinada. Adems, dados h H yg G, tenemos que h g = 1 g = g, luego hg gH, para todo h H, es decir, H g gH.Por tanto, g1H g H, para todo g G. Tomando g1 G, gH g1 H y H es normalen G.

20. Propiedad universal del grupo cociente : Sea H G un subgrupo normal y : G G/H el morfismo de paso al cociente. Un morfismo de grupos f : G G facto-riza a travs de si y slo si H Ker f , es decir, existe un (nico) morfismo de grupos : G/H G de modo que el diagrama

Gf //

!!

G

G/H


0.1.1. Grupos cclicos22. Definicin : Diremos que un grupo G es cclico si est generado por uno de suselementos, es decir, existe g G de modo que G = g.23. Proposicin: Si G es un grupo de orden un nmero primo, entonces G es cclico.

Demostracin. Por el teorema de Lagrange no puede haber ms subgrupos de G queG y el trivial {1}. Por tanto, el subgrupo generado por cualquier elemento distinto de 1es igual a G.

24. Notacin : Sea G un grupo y g G. Si n > 0, se define gn := g n g; si n < 0, sedefine gn := g1n g1; y g0 := 1.

Si escribimos el grupo G con notaciones aditivas (en vez de escribimos +), escribi-remos n g, en vez de gn (como es natural).25. Proposicin: Un grupo G es cclico si y slo si es isomorfo a Z/nZ, para algn unnmero natural n.

Demostracin. Z/nZ es un grupo (aditivo) cclico, generado por 1.Supongamos que G = g es cclico. Sea f : Z G, el morfismo definido por f (n) =

gn. Es fcil comprobar que f es un morfismo de grupos. Im f es un subgrupo de G, quecontiene a g, luego Im f =G y f es epiyectivo. Ker f es un subgrupo de Z, luego existen N tal que Ker f = nZ. Por el teorema de isomorfa Z/nZ'G.

Z/nZ es un grupo conmutativo, pues es cociente de Z que es conmutativo. Por tanto,todo grupo cclico es conmutativo.26. Definicin : Llamaremos orden de un elemento g G de un grupo, al orden delsubgrupo g de G que genera.

En la proposicin anterior hemos dado el isomorfismo Z/nZ ' g, m 7 gm. Portanto, si n > 0, el orden de g es igual a |g| = |Z/nZ| = n, g = {1, g1, . . . , gn1} y nes el mnimo nmero natural positivo tal que gn = 1, adems, si gm = 1, entonces mes un mltiplo del orden de g. Si n = 0, entonces el orden de g es |g| = |Z| = yg = {. . . , gm, . . . ,1, g1, . . . , gm, . . .} (cumpliendo gi , g j, para todo i, j Z, i , j).27. Si G es un grupo de orden m


29. Proposicin : Sea 0 , n Z. Entonces, m Z/nZ es un generador si y slo si elmximo comn divisor de m y n es 1 (m y n son primos entre s).

Demostracin. Consideremos el epimorfismo natural : Z Z/nZ, (z) = z. Es claroque 1(m) = mZ+nZ= rZ, donde r es el mximo comn divisor de m y n. Por otraparte, m es un generador de Z/nZ, es decir, m = Z/nZ, si y slo 1(m) = Z. Portanto, m es un generador de Z/nZ si y slo si r = 1.

As pues, si G = g es un grupo cclico de orden n > 0, entonces gm es un generadorde G si y slo si m y n son primos entre s.

0.1.2. Grupo simtricoEl grupo simtrico Sn es el grupo de todas las biyecciones (o permutaciones) de

un conjunto de n elementos en s mismo, con la operacin composicin de aplicaciones.Comentario: Una biyeccin entre dos conjuntos : X Y , puede entenderse como

una identificacin de X con Y : a x X lo llamamos (x) en Y . Dada una aplicacinf : X X , que aplica x en f (x), tenemos la correspondiente aplicacin en Y : la queaplica (x) en ( f (x)), es decir, la aplicacin f 1 : Y Y . As el grupo de laspermutaciones de X se identifica con el grupo de las permutaciones de Y (va la iden-tificacin de X con Y ). Con mayor precisin, el morfismo

Biy X BiyY , 7 1

es un isomorfismo de grupos (como el lector puede comprobar).Si Y es un conjunto de orden n, entonces Y es biyectivo con {1, . . . ,n}=: X y BiyY =

Biy X =: Sn. El nmero de permutaciones de n elementos es n!, luego |Sn| = n!.30. Definicin : Dados r puntos distintos x1, . . . , xr X , con r > 1, la permutacin defi-nida por (xi) := xi+1, para todo i < r; (xr) := x1; y (x) := x, para todo x {x1, . . . , xr}, ladenotaremos (x1, . . . , xr) := Biy X . Diremos que (x1, . . . , xr) es un ciclo y observemosque es de orden r. Si r = 2, diremos que el ciclo es una transposicin. Diremos que dosciclos (x1, . . . , xr), (x1, . . . , x

r) de Biy X son disjuntos si xi , x

j para todo i, j.

31. Lema : Si = (x1, . . . , xr) y = (x1, . . . , xr) son disjuntos, entonces conmutan, esdecir, = .Demostracin. Para x {x1, . . . , xr}, ( )(x) = (x) = ( )(x). Para x {x1, . . . , xr},()(x)=(x)= ( )(x). Para x {xi, xj}i, j, ()(x)= x = ( )(x).

De otro modo (siguiendo el comentario anterior): 1 = ((x1), . . . ,(xr)) =(x1, . . . , xr)= y hemos concluido.

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32. Teorema : Toda permutacin Sn, distinta de la identidad, es igual a un pro-ducto de ciclos disjuntos, de modo nico salvo el orden de los factores.

Demostracin. Sea x X , tal que (x) , x. Sea r el mnimo nmero natural positivotal que r(x) = x (tal nmero existe porque el orden de , que divide al orden de Sn,es finito). Para todo 0 s < s < r, se cumple que s(x) , s(x): pues componiendo cons son distintos, pues s

s(x) , x, porque 0 < s s < r. Sea 1 = (x,(x), . . . ,r1(x)).Entonces, como 1 y coinciden sobre {x,(x), . . . ,r1(x)} y 1 es la identidad sobreX\{x,(x), . . . ,r1(x)}, se cumple que 11 deja fijos a {x,(x), . . . ,r1(x)} y a los quedejaba fijos . Reiterando el proceso obtenemos ciclos disjuntos 1, . . . ,s tales que1s 11 = Id. Luego, =1 s.

Sea otra descomposicin = 1 t en producto de ciclos disjuntos. Reordenando,podemos suponer que 1(x) , x. Es decir, x aparece en el ciclo 1 (y en 1). Luego,1(x)=(x)=1(x). Obviamente, 1(x)=(x)=1(x) aparece en ciclo de 1 y en el de1. Luego, 21(x) = 2(x) = 21(x). As sucesivamente, i1(x) = i(x) = 2i (x), para todo i.Por tanto, 1 = 1 y 2 s = 2 t. Reiterando el argumento concluimos que,despus de reordenar los factores, 2, . . . ,s coinciden con 2, . . . ,t.

33. Definicin : Sea Sn una permutacin distinta de la identidad. Sea =1 s una descomposicin en producto de ciclos disjuntos y di el orden de i. Reordenandopodemos suponer que d1 d2 ds. Diremos que d1, . . . ,ds es la forma de .34. Definicin : Dado un elemento g G, diremos que el morfismo g : G G, g(g) :=ggg1, es la conjugacin en G por g. Diremos que h,h G son conjugados si y slo siexiste g G, de modo que g(h)= h.35. Teorema: La condicin necesaria y suficiente para que , Sn sean conjugadases que tengan la misma forma.

Demostracin. Sea = (x11, . . . , x1d1) (xs1, , xsds) una descomposicin en productode ciclos disjuntos y Sn. Entonces,

1 = ((x11), . . . ,(x1d1)) ((xs1), ,(xsds))

que tiene la misma forma. Sea = (x11, . . . , x1d1) (xs1, , xsds). Si es cualquier

permutacin que cumpla (xi j)= xi j, para todo i, j, entonces 1 =. 36. Proposicin : Si d1, . . . ,ds es la forma de Sn, entonces el orden de es elmnimo comn mltiplo de d1, . . . ,ds.

Demostracin. Escribamos = 1 s como producto de ciclos disjuntos. Entonces,n =n1 ns y ni es disjunta con nj , para i , j. Luego, n = Id si y slo si n1 = =

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ns = Id. Por tanto, el orden de es el mnimo comn mltiplo de los rdenes de i (queson di).

37. Proposicin: Todo permutacin Sn es producto de transposiciones.Demostracin. Como toda permutacin es producto de ciclos, basta probar que todociclo es producto de transposiciones. Sea, pues, un ciclo (x1, . . . , xr) Sn. Obviamente,(x1, x2)(x1, . . . , xr)= (x2, . . . , xr), luego(x1, . . . , xr)= (x1, x2)(x2, . . . , xr)= (x1, x2)(x2, x3)(x3, . . . , xr)= = (x1, x2)(x2, x3) (xr1, xr)

Signo de una permutacin.

Cada permutacin Sn = Biy({1,2, . . . ,n}) define una biyeccin del anillo de poli-nomios en n variables con coeficientes nmeros racionales, Q[x1, . . . , xn]: Q[x1, . . . , xn]Q[x1, . . . , xn], p(x1, . . . , xn) 7 p(x1, . . . , xn) := p(x(1), . . . , x(n)).

Sea (x1, . . . , xn) :=i< j(xix j) Q[x1, . . . , xn]. Sea Sn = Biy({1,2, . . . ,n}). Es fcilcomprobar que (x1, . . . , xn) = (x(1), . . . , x(n))=(x1, . . . , xn).38. Definicin : Llamaremos signo de una permutacin Sn, que denotaremossign(), al nmero entero 1 1 tal que (x(1), . . . , x(n))= sign() (x1, . . . , xn).39. Proposicin: Consideremos el grupo (multiplicativo) {1,1}. El morfismo natural

sign: Sn {1,1}, 7 sign()es un morfismo de grupos.

Demostracin. sign() = = () = (sign()) = sign() sign() . Luego,sign() sign()= sign( ).

Es fcil ver que sign(Id)= 1 y que sign((1,2))=1.Evidentemente, sign es un epimorfismo (para n > 1).

40. Definicin : Llamaremos subgrupo alternado de Sn, que denotaremos An, al n-cleo del morfismo sign, es decir, al subgrupo (normal) de Sn formado por las permuta-ciones de signo positivo.

Por el teorema de isomorfa Sn/An ' {1,1} ' Z/2Z. Por el teorema de Lagrange,|An| = |Sn|/2= n!/2 (n > 1).

Observemos que el signo es invariante por conjugaciones, es decir,

sign(1)= sign() sign() sign()1 = sign()En particular, el signo de toda transposicin es 1, porque todas son conjugadas de latransposicin (1,2).

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41. Proposicin: Si la forma de una permutacin Sn es d1, . . . ,dr, entonces

sign()= (1)d11 (1)dr1 = (1)d1++drr.

Demostracin. Si = (x1, . . . , xr) es un ciclo, entonces (x1, . . . , xr)= (x1, x2)(x2, x3) (xr1, xr)es producto de r1 transposiciones. Como el morfismo sign es un morfismo de grupos,sign()= (1)r1.

En general, = 1 r, donde i es un ciclo de orden di. Por tanto, sign() =sign(1) sign(r)= (1)d11 (1)dr1.

0.1.3. Producto directo y semidirecto de grupos

42. Definicin : Dados dos grupos G1,G2 se define el producto directo de ellos al con-junto producto cartesiano de ambos, G1G2, con la operacin de grupo definida por lafrmula:

(g1, g2) (g1, g2) := (g1 g1, g2 g2)43. Ejemplo : Ms adelante (subseccin 0.3.5), probaremos que los grupos abelianosgenerados por un nmero finito de elementos son isomorfos a un producto directo degrupos cclicos.

44. Notacin : Dados dos subgrupos H,H G, denotamos HH := {hh G, con h Hy h H}.45. Proposicin: Sean H,H G dos subgrupos normales. Supongamos HH = {1}.Entonces, los elementos de H conmutan con los de H y HH es un subgrupo de Gisomorfo a HH.

Demostracin. Dados h H y h H, se tiene que (hhh1)h1 = h(hh1h1) H H = {1}, luego hh = hh. Ahora ya, la aplicacin

m : HH G, m((h,h)) := hh

es un morfismo de grupos inyectivo. Luego, HH ' Imm = HH.

46. Definicin : Sea H G un subgrupo. Llamaremos normalizador de H en G, quedenotaremos N(H) (o NG(H)), al subgrupo de G definido por

N(H) := {g G : gH g1 = H}

El normalizador de H en G es el mximo subgrupo de G en el que H es normal.

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47. Proposicin : Sean H,H G dos subgrupos. Supongamos H H = {1} y queH N(H). Entonces, HH es un subgrupo de G y la aplicacin

m : HH H H, m(h,h) := hh

es biyectiva. Denotaremos, HoH = HH.

Demostracin. Dados h1h1 HH y h2h2 HH, entonces (h1(h1h2h11)) (h1h2) HH. Dado hh HH (hh)1 = (h1h1h) h1 HH. Adems, 1 HH. Por tanto,HH es un subgrupo de G.

Veamos que m es inyectiva: Si m((h1,h1))= m((h2,h2)), entonces h1h1 = h2h2. Porlo tanto, h12 h1 = h2h11 HH = {1}, y h1 = h2 y h1 = h2. Obviamente, m es epiyec-tiva.

Observemos en la proposicin anterior que aunque HH es biyectivo con HoH,no es isomorfo como grupo, pues (h1h1)(h2h2)= (h1(h1h2h11))(h1h2), que no coincideen general con (h1h2) (h1h2).48. Ejercicio : Sean G y G dos grupos y : G Autgrp(G) un morfismo de grupos.Consideremos las aplicaciones i1 : G Biy(GG), i1(g) est definida por i1(g)(g1, g) :=(gg1, g) y i2 : G Biy(G G), i2(g) est definida por i2(g)(g, g1) := ((g)(g), gg1).Probar que i1 e i2 son morfismos inyectivos de grupos. Si identificamos G y G con susimgenes por i1 e i2 respectivamente, probar que GG = {1} y que G N(G). Probarque ggg1 = (g)(g) y que por tanto (g1 g1) (g2 g2) = (g1(g1)(g2)) (g1 g2). Se diceque GoG es el producto semidirecto de los grupos G y G.49. Ejercicio : Sea G Autgr(G), g 7 Id, para todo g G, el morfismo trivial.Probar que GoG =GG.50. Grupo de afinidades de Rn: Sea G = Rn (con la operacin +) y G = Gln(R) elgrupo de las matrices de orden n invertibles (con la operacin componer matrices).Consideremos G como subgrupo de Biy(Rn) va el morfismo inyectivo G Biy(Rn), e 7Te, donde Te(e) := e+ e. Consideremos G como subgrupo de Biy(Rn) va la inclusinobvia. Entonces, G G = {Id} y G N(G). Al producto semidirecto Rn oGln(R), se ledenomina grupo de afinidades de Rn.51. El grupo didrico Dn: Se denomina grupo didrico Dn (n > 2) al grupo formadopor todas las isometras del plano que dejan estable el polgono regular de n-lados (laoperacin de Dn es la composicin de isometras).

Puede demostrarse que Dn est generado por el giro g de 2/n radianes y una sime-tra (del polgono). Adems, se tiene que g = {Id} y g1 = g1. Por tanto, g esnormal en Dn, y por la proposicin 0.1.47, Dn = go =Z/nZoZ/2Z, explcitamente

30


Z/nZoZ/2Z' Dn, (r, s) 7 gr s

Las isometras del plano que dejan estable un polgono regular de n-lados estn de-terminadas por cmo permutan los vrtices. Por tanto, si numeramos consecutivamentelos vrtices del polgono regular con los nmeros 1, . . . ,n, tenemos un morfismo inyec-tivo Dn , Sn, de modo que g se corresponde con la permutacin (1,2, . . . ,n) y con lapermutacin que asigna i 7 n i, para todo 1 i < n.52. Ejercicio : Sea n 2, An Sn y Z/2Z= (1,2) Sn. Probar que Sn = AnoZ/2Z.

0.1.4. G-conjuntos. Teoremas de SylowSea G un grupo.

53. Definicin : Llamaremos G-conjunto a cada pareja (X ,) constituida por un con-junto X y una representacin de G como transformaciones de X , es decir, un morfis-mo de grupos : G Biy X .

Para no abusar de la notacin, cuando no haya posibilidad de confusin, escribire-mos X en vez de (X ,) y para cada g G y x X escribiremos g x, o simplemente gx,en vez de (g)(x), que denominaremos transformado de x por g.

Observemos que para todo G-conjunto X se cumple

1. 1 x = x, para todo x X .

2. g (g x)= (g g) x, para todo x X y g, g G.

Es fcil ver que dotar a un conjunto X de estructura de G-conjunto, equivale a daruna aplicacin : GX X , tal que si denotamos ((g, x))= gx, entonces se verificanlas dos condiciones 1. y 2. anteriores.54. Ejemplos : G es naturalmente G-conjunto de los siguientes modos:

1. Operando por la izquierda: Se define g x := g x, para cada g, x G, donde indica la operacin de G en G como G-conjunto.

2. Operando por la derecha: Se define g x := x g1, para cada g, x G.

3. Operando por conjugacin: Se define g x := g x g1, para cada g, x G.

Sea H G un subgrupo. El cociente G/H es un G-conjunto con la accin g g := gg,para cada g G y g G/H.

31


Si X es un G-conjunto y tenemos una biyeccin : X Y (es decir, identificamosX con Y ), entonces Y es de modo natural un G-conjunto: g y :=(g 1(y)) (es decir,si g transforma x en gx, entonces g transforma (x) en (gx)).55. Teorema de Cayley: Todo grupo es de modo cannico un grupo de transforma-ciones de un conjunto. Con precisin, el morfismo

: G BiyGdefinido por (g)(g) := gg, es un morfismo de grupos inyectivo.Demostracin. (g1 g2)(g) = g1 g2 g = (g1)((g2)(g)), para todo g G y g1, g2 G.Luego, (g1 g2) = (g1) (g2) y es un morfismo de grupos. Adems, si (g) = Id,entonces g = (g)(1)= 1, luego es inyectivo. 56. Definicin : Sea X un G-conjunto. Diremos que G opera transitivamente sobre Xsi para toda pareja x, x X existe un g G de modo que x = gx. Diremos que un sub-grupo de permutaciones G Sn = Biy{1, . . . ,n} es transitivo si opera transitivamenteen {1, . . . ,n}.

Por tanto, si G es un grupo finito de orden n, entonces G es isomorfo a un subgrupotransitivo de Sn.57. Definicin : Dados dos G-conjuntos X ,Y diremos que una aplicacin f : X Y esun morfismo de G-conjuntos, cuando conmute con la accin de G, es decir,

f (g x)= g f (x)para todo g G y x X . Al conjunto de los morfismos de G-conjuntos de X en Y lodenotaremos:

HomG(X ,Y )

(en el caso de que haya alguna ambigedad escribiremos HomGcon j(X ,Y )).Diremos que f es isomorfismo de G-conjuntos, cuando sea un morfismo biyectivo. Si

f : X X es un isomorfismo de G-conjuntos, entonces diremos que es un automorfismode X como G-conjunto.58. Observacin : Se comprueba fcilmente las siguientes propiedades:

1. La composicin de morfismos de G-conjuntos es morfismo de G-conjuntos, esdecir: si X ,Y , Z son G-conjuntos y f : X Y y h : Y Z son morfismos de G-conjuntos, entonces la composicin h f : X Z es morfismo de G-conjuntos.

2. La identidad es morfismo de G-conjuntos: si X es un G-conjunto, entonces laaplicacin IdX : X X definida por la frmula IdX (x) = x, es morfismo de G-conjuntos.

32


3. La inversa de isomorfismos de G-conjuntos es morfismo de G-conjuntos: si f : X Y es un isomorfismo de G-conjuntos, entonces f 1 : Y X es morfismo de G-conjuntos.

De aqu se obtiene inmediatamente el siguiente teorema.

59. Teorema: Si X es un G-conjunto y denotamos AutG(X ) al conjunto de los isomor-fismos de G-conjuntos, entonces AutG(X ) es grupo con la composicin de aplicaciones.60. Ejercicio : Sea G un grupo y consideremos G como G-conjunto operando por laizquierda. Probar que G AutG(G), g 7 Rg, Rg(g) := g g1, es una biyeccin.

Sean X e Y dos G-conjuntos. Entonces, X Y es G-conjunto: g (x, y) := (gx, gy).Obviamente, X

Y es G-conjunto. Hom(X ,Y ) es G-conjunto: (g f )(x) := g f (g1 x),

para todo f Hom(X ,Y ).61. Definicin : Sea X un G-conjunto y x X . Llamaremos rbita de x, que denota-remos Ox o G x, al conjunto

G x := {g x, g G} X

Llamaremos subgrupo de isotropa de x, que denotaremos Ix, al subgrupo de G defi-nido por

Ix := {g G : g x = x}62. Proposicin: La rbita de x es un G-conjunto isomorfo a G/Ix. Explcitamente, laaplicacin

G/Ix G x, g 7 g xes un isomorfismo de G-conjuntos.

Demostracin. Al lector.

63. Proposicin: Sea X un G-conjunto, x X y x = g x. Entonces,

Ix = g Ix g1

Demostracin. Al lector.

Si x G x entonces G x =G x: Obviamente, G x G G x =G x. Por otra parte,x = g x, para cierto g G, luego, x = g1 x G x. Por tanto, G x G x y G x =G x.

Si x Gx, entonces (Gx)(Gx)=;: Si z (Gx)(Gx), entonces Gx =Gz =Gx.Luego, x G x y llegamos a contradiccin.

Por tanto, las rbitas de dos puntos o son iguales o disjuntas.

33


64. Definicin : Sea X un G-conjunto. Llamaremos conjunto cociente de X por laaccin de G en X , que denotaremos X /G, al conjunto

X /G := {x, x X : x = x si y slo si x G x (o equivalentemente G x =G x)}

X /G es igual al conjunto de las rbitas de X . Es decir, si en X identificamos todoslos puntos de cada rbita obtenemos el conjunto cociente.

Con mayor generalidad, sea un conjunto X con una relacin de equivalencia (porejemplo, si X es un G-conjunto, podemos definir x x si G x =G x). Se define

X /:= {x, x X : x = x si y slo si x x}

Es decir, si en X identificamos cada x X con sus equivalentes, obtenemos el conjuntocociente por , X /.65. Definicin : Sea X un G-conjunto. Diremos que x X es invariante por G si g x = x, para todo g G. Denotaremos XG al subconjunto de X formado por todos losinvariantes por G, es decir,

XG = {x X : g x = x para todo g G}

66. Definicin : Sea p N un nmero primo y G un grupo finito. Diremos que G esun p-grupo cuando |G| = pn, con n > 0.67. Frmula de clases : Sea G un grupo finito y X un G-conjunto finito. Entonces,

|X | = |XG |+ xX /G,xXG

|G|/|Ix|

Adems, si G es un p-grupo, entonces

|X | |XG |mod p

Demostracin. X =xX /G G x = XG xX /G,xXG G x. Como G x 'G/Ix, entonces, porel teorema de Lagrange

|X | = |XG |+ xX /G,xXG

|G|/|Ix|

Si G es un p-grupo, por el teorema de Lagrange |G/Ix| = pi (e i = 0 si y slo si x XG).Luego,

|X | |XG | mod p

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68. Definicin : Dado un grupo G, llamaremos centro Z(G) de G al subconjunto deG formado por los elementos z G que conmutan con todos los de G, es decir, zg = gz(para todo g G). De otro modo Z(G) es el ncleo del morfismo c : G Biy(G) definidopor la accin de G en G por conjugacin (i.e. c(g)(g) := ggg1).69. Proposicin: Si G es un p-grupo, entonces su centro es no trivial (i.e. |Z(G)| > 1).Demostracin. Por la frmula de clases |Z(G)| = |GG | = |G|mod p = 0mod p, como 1 Z(G) se concluye que |Z(G)| p > 1. 70. Proposicin: Si G es un grupo tal que G/Z(G) es cclico, entonces G es abeliano.

Demostracin. Sea G/Z(G) =< g >, siendo g la clase de g G. Obviamente, se tieneque G =< g > Z(G), luego g Z(G) (pues conmuta con < g > y con Z(G)), luego < g >Z(G) y G = Z(G). 71. Corolario: Todo grupo de orden p2 (con p primo) es abeliano.

Demostracin. Z(G) G es no trivial, luego G/Z(G) es de orden 1 o p. En cualquiercaso es cclico y, por la proposicin anterior G es abeliano.

72. Teorema de Cauchy: Si G es un grupo de orden mltiplo de un nmero primo p,entonces contiene un subgrupo de orden p.

Demostracin. Tenemos que probar que existe un morfismo de grupos no trivial deZ/pZ en G.

Sean G y G dos grupos y X = Hom1(G,G) el conjunto de las aplicaciones f de Gen G, tales que f (1) = 1. Definamos la operacin de G en X , (g1 f )(g2) := f (g2 g1) f (g1)1, para f X y g1, g2 G, que dota a X de estructura de G-conjunto. Se tieneque

Hom1(G,G)G =Homgrp(G,G)

Observemos que |X | = |G||G|1. Si p es un nmero primo, G es un grupo de ordenmltiplo de p y G =Z/pZ, entonces por la frmula de clases

|Homgrp(Z/pZ,G)| = |XZ/pZ| |X | mod p 0 mod p

Luego, |Homgrp(Z/pZ,G)| > 1.

73. Proposicin: Sea X un G-conjunto, H G un subgrupo y consideremos G/H comoG-conjunto de modo natural: g g = gg. Entonces,

HomG(G/H, X )= X H , f 7 f (1)

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74. Proposicin: Sea H G un subgrupo finito. Consideremos G/H como H-conjuntocon la operacin h g := hg. Entonces se cumple que

(G/H)H = { g G/H : H g = g}= { g G/H : H g gH}= { g G/H : H gH g1}= { g G/H : H = gH g1}= { g G/H : g NG(H)}= NG(H)/H

75. Definicin : Sea G un grupo de orden pn m, p primo, n > 0 y (p,m) = 1. A lossubgrupos de G de orden pn se les denomina p-subgrupos de Sylow.

76. Primer teorema de Sylow : Si G es un grupo de orden mltiplo de un nmeroprimo p, entonces contiene p-subgrupos de Sylow.

Demostracin. Escribamos |G| = pn m, n > 0 y (p,m) = 1 Sabemos por el teoremade Cauchy que G contiene subgrupos de orden p. Basta probar que si G contieneun subgrupo H de orden pi, con i < n, entonces H est incluido un subgrupo H deG (y es normal en H) de orden pi+1. Consideremos la accin de H en G/H: h g =hg. Entonces, (G/H)H = NG(H)/H y por la frmula de clases |NG(H)/H| = |(G/H)H | |G/H|mod p = 0mod p. Luego, |NG(H)/H| es un p-grupo y por el teorema de Cauchyexiste un subgrupo Z NG(H)/H de orden p. Sea : NG(H) NG(H)/H el morfismode paso al cociente. Entonces, H := 1(Z) NG(H) es un subgrupo que contiene a1(1)= H (y H es normal en l) y tal que H/H = Z. Luego, H es el subgrupo de ordenpi+1 buscado.

77. Segundo teorema de Sylow : Sea G un grupo de orden mltiplo de un nmeroprimo p. Entonces, todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados entre s.

Demostracin. Sean H,H dos subgrupos de un grupo G. Observemos que H gH g1 Hg gH HgH gH g (G/H)H .

Sean H,H G dos p-subgrupos de Sylow. Basta probar que (G/H)H , ;. Por lafrmula de clases |(G/H)H | |G/H|mod p , 0mod p y hemos terminado.

78. Corolario : Sea G un grupo de orden finito mltiplo de un nmero primo p y Hun psubgrupo de Sylow. G contiene un nico p-subgrupo de Sylow si y slo si H es unsubgrupo normal.

79. Tercer teorema de Sylow : Sea G un grupo de orden pn m, con p primo, n > 0y (p,m) = 1. Entonces, el nmero de p-subgrupos de Sylow de G es divisor de m ycongruente con 1 mdulo p.

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Grupos, anillos y mdulos 0.2. Anillos

Demostracin. Sea H un p-subgrupo de Sylow y X el conjunto de los conjugados deH. Por el segundo teorema de Sylow, el nmero de p-subgrupos de Sylow de G es iguala |X |. Consideremos la accin de G en X , g H = gHg1, para g G y H X . Elsubgrupo de isotropa de H X , es igual NG(H) y X es igual a la rbita de H, luegoX =G/NG(H). Por lo tanto,

m = |G/H| = |G|/|H| = (|G|/|NG(H)|) (|NG(H)|/|H|)= |X | |NG(H)/H|y |X | divide a m.

H opera en X porque es un subgrupo de G. Por la frmula de clases |X | |X H |mod p.Ya slo nos falta probar que |X H | = 1. Si H X H entonces h H h1 = H, paratodo h H, luego hH = Hh, para todo h H y H H = H H. Por tanto, H Hes un subgrupo de G, H es normal en H H y (H H)/H ' H/(H H). Entonces,|H H| = |H| |H/(H H)| y H H es un p-grupo, que ha de coincidir con H. En con-clusin, H = H y |X H | = 1.

0.2. AnillosDesde un punto de vista aritmtico, los anillos son las estructuras que recogen las

operaciones de suma y producto, como las que tenemos en Z. Ahora bien, los anillospueden entenderse geomtricamente como anillos de funciones continuas de un espa-cio.

Intentemos justificar la introduccin de los anillos desde un punto de vista geom-trico.

Un fsico estudia el universo con unos instrumentos, que le van dando informa-cin, nmeros. Del mismo modo opera todo ser vivo. Es decir, el fsico cuenta con unasfunciones, con el lgebra definida por estas funciones. Desde un punto de vista kan-tiano y positivista, el punto de partida del conocimiento es este lgebra de funciones.El espacio se obtiene del anillo o lgebra de funciones.

Desde Descartes, imaginamos tres ejes de coordenadas y todo punto del espacioviene definido por tres coordenadas. Los puntos vienen determinados por los valoresde las funciones coordenadas en ellos. Adems los objetos del espacio, por ejemploun paraboloide, los solemos definir en implcitas. Dos objetos sern iguales si no lossabemos distinguir, es decir, con nuestra terminologa, si no existe una funcin quevalore distintamente en los dos objetos. Gauss, con la introduccin de las coordena-das curvilneas, permiti independizarnos de la eleccin arbitraria de las coordenadascartesianas.

Dependiendo de las funciones que consideremos como admisibles, el espacio serde una forma u otra. Por ejemplo, dado R3, si consideramos que cualquier aplicacin de

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conjuntos de R3 en R es una observacin o funcin admisible, estaremos considerandonuestro espacio como un conjunto discreto. Si consideramos slo las funciones con-tinuas, lo estaremos considerando como espacio topolgico. Si consideramos el anillogenerado algebraicamente por las tres coordenadas, lo consideraremos como espacioalgebraico.

En este ltimo caso, los objetos vienen definidos por el lugar geomtrico definidopor ecuaciones (compatibles) del tipo

p1(x1, x2, x3)= 0, . . . , pr(x1, x2, x3)= 0 ()Objetos que denominaremos subvariedades algebraicas. Como es obvio, si al sistemaanterior le aadimos una ecuacin del tipo

i f i pi(x1, x2, x3)= 0, sta es redundante.

El sistema de ecuaciones definido por los polinomios p1(x1, x2, x3), . . . , pr(x1, x2, x3) esequivalente al sistema definido por los polinomios del ideal (p1(x1, x2, x3), . . . , pr(x1, x2, x3)).Tenemos, pues, una correspondencia biunvoca entre los ideales y las subvariedades.Los puntos son las subvariedades ms pequeas, luego se correspondern con los idea-les maximales de C[x1, x2, x3] (nuestro anillo de funciones admisibles). Como vere-mos, las subvariedades irreducibles (es decir, las que no son unin de dos subvarieda-des propias) se corresponden con los ideales primos. As pues, el conjunto de los idealesprimos de C[x1, x2, x3] se corresponde con el conjunto de las subvariedades irreduciblesde C3.

Diremos que un polinomio p(x1, x2, x3) se anula en el lugar geomtrico definido porel sistema () cuando p(x1, x2, x3) I = (p1(x1, x2, x3), . . . , pr(x1, x2, x3)), es decir, cuandop(x1, x2, x3) pertenezca al ideal definido por el sistema de ecuaciones. Adems, dos po-linomios cualesquiera definirn la misma funcin algebraica sobre el lugar geomtricocuando difieran en un polinomio perteneciente al ideal. Es decir, el anillo de funcionesalgebraicas de la subvariedad algebraica definida por el sistema () es C[x1, x2, x3]/I.

El lugar geomtrico de un sistema de ecuaciones, como conjunto de soluciones delsistema, no recoge toda la informacin geomtrica deseable, pero que sin embargo, sque est en el anillo de funciones. Por ejemplo, si consideramos el sistema

x21 + x22 1= 0, x1 1= 0podramos decir que el lugar geomtrico definido es el punto (1,0). Sin embargo, dira-mos que el punto (1,0) est contado dos veces. Concepto, por ahora, impreciso. Ya ve-remos que este hecho est relacionado con la igualdad dimCC[x1, x2]/(x21+x221, x11)=2.

Aunque el anillo de funciones algebraicas reales del lugar geomtrico definido porun sistema de ecuaciones

p1(x1, x2, x3)= 0, . . . , pr(x1, x2, x3)= 0 ()

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es un concepto del todo claro, paradjicamente el propio lugar geomtrico no es unconcepto claro. Por ejemplo, si consideramos en el plano la ecuacin

x21 + x22 +1= 0, elipse imaginariapodemos decir que el lugar geomtrico definido es el vaco, si consideramos las solu-ciones sobre R (y no C). Sin embargo, podemos hablar del anillo de funciones algebrai-cas reales de la subvariedad definida por esta ecuacin, que es R[x1, x2]/(x21 + x22 +1).Adems, los ideales primos maximales de R[x1, x2]/(x21 + x22 +1) cumplen que al hacercociente por ellos obtenemos C, y se corresponden con las soluciones imaginarias de laecuacin, mdulo conjugacin (ya se ver).

La interseccin de variedades algebraicas es variedad algebraica. La GeometraAlgebraica, con los anillos, es el marco adecuado para el desarrollo de la Teora de laInterseccin.

En general, sea k un cuerpo, k el cierre algebraico de k y Autkal g(k) el conjunto delas conjugaciones de k (es decir, el conjunto de automorfismos de cuerpos : k k ta-les que ()=, para todo k). Sea I = (p1(x1, . . . , xn), . . . , pr(x1, . . . , xn)) k[x1, . . . , xn]y A = k[x1, . . . , xn]/I. Entonces, el lugar geomtrico de las soluciones, sobre k, del siste-ma de ecuaciones

p1(x1, . . . , xn) = 0

pr(x1, . . . , xn) = 0mdulo conjugaciones, se corresponde biunvocamente con el conjunto de ideales ma-ximales del anillo A. Explcitamente, a cada solucin (1, . . . ,n) kn (y sus con-jugadas) del sistema de ecuaciones le hacemos corresponder el ideal maximal m :={p(x1, . . . , xn) A, tales que p(1, . . . ,n)= 0}.

Con mayor generalidad, si K es un cuerpo algebraicamente cerrado que contie-ne a k, suficientemente grande, entonces el lugar geomtrico de las soluciones delsistema de ecuaciones anterior sobre K (mdulo conjugaciones de K), se correspondebiunvocamente con el conjunto de ideales primos de A.

En este captulo iniciaremos la comprensin geomtrica de cualquier anillo conmu-tativo A, asocindole un espacio cuyos puntos se corresponden con los ideales primosde A. Espacio que denotaremos por Spec A y denominaremos espectro primo de A.

La teora de ideales inicia el cumplimiento del sueo de Kronecker: la unificacinde la Aritmtica y la Geometra. Desde esta perspectiva los elementos de cualquieranillo conmutativo pueden entenderse como funciones sobre el espectro primo del ani-llo. As, por ejemplo, los nmeros enteros, los enteros de Gauss, etc., son verdaderasfunciones y les podemos aplicar intuiciones y recursos geomtricos. Los nmeros pri-mos podrn ser interpretados geomtricamente como los puntos o subvariedades irre-ducibles de un espacio, etc.

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Las dos operaciones o procesos bsicos estudiados en este captulo, sern la loca-lizacin y paso al cociente en anillos y mdulos. Estos dos procesos pueden ser enten-didos geomtricamente como los dos procesos de restriccin a abiertos y restriccina cerrados. Tambin estudiaremos el producto tensorial, que geomtricamente repre-senta el producto directo de variedades algebraicas.

0.2.1. Anillos. Dominios de ideales principalesComencemos con una revisin rpida de la definicin y propiedades elementales de

los anillos.1. Definicin : Un anillo A es un conjunto dotado con dos operaciones

A A + A, (a,a) 7 a+a, A AA, (a,a) 7 a a,que denominamos suma y producto1, tales que

1. A es un grupo abeliano con respecto a la suma (luego tiene un elemento neutro,que se denota por 0, y cada a A tiene un opuesto que se denota por a).

2. La multiplicacin es asociativa ((a b) c = a (b c)) y distributiva (a (b+ c) =a b+a c).Adems, slo consideraremos anillos conmutativos con unidad, es decir, verifi-cando

3. ab = ba, para todo a,b A.4. Existe un elemento 1 A tal que a1= 1a = a, para todo a A.

A lo largo del libro entenderemos anillo por anillo conmutativo con unidad.Observemos que a 0 = 0, porque a 0 = a (0+0) = a 0+a 0. Observemos tambin

que 1 a =a, porque 0= 0 a = (1+ (1)) a = a+ (1 a).2. Ejemplos : Z, el anillo de funciones reales continuas C(X ) de un espacio topolgicoX , los anillos de polinomios C[x1, . . . , xn].

Dado = (1, . . . ,n) Nn, denotamos x := x11 xnn y || := 1 + +n N. SeaA un anillo, se define el anillo de series formales en las variables x1, . . . , xn con coefi-cientes en A, que denotamos A[[x1, . . . , xn]], como

A[[x1, . . . , xn]] := {

||=0a x, a A},

1 Ser usual utilizar la notacin a a = aa.

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donde dadas s(x)=||=0 a x, t(x)=||=0 b x A[[x1, . . . , xn]], se defines(x)+ t(x) := ||=0(a+b) xs(x) t(x) := ||=0(+=a b) x

3. Definicin : Un subconjunto I A diremos que es un ideal de A si es un subgrupopara la suma y cumple que a i I, para todo a A y todo i I.

La interseccin de ideales es un ideal. Dado un subconjunto F A, denotaremospor (F) al ideal mnimo de A que contiene a F (que es la interseccin de todos los

ideales que contienen a F). Explcitamente (F) = {a A : a =n

i=0ai f i con f i F,ai A

y n N cualesquiera}. Dado a A, tambin notaremos (a) = aA. Dados dos ideales I1e I2 de A, llamaremos suma de los dos ideales, que denotaremos por I1 + I2, al idealde A definido por I1 + I2 := {i1 + i2 : i1 I1, i2 I2}, que es el mnimo ideal de A quecontiene a I1 y I2.4. Definicin : Un elemento a A, diremos que es un divisor de cero, si existe b A,no nulo tal que ab = 0. Diremos que un anillo es ntegro si el nico divisor de cero esel cero.

Z es un anillo ntegro. Si A es un anillo ntegro entonces el anillo de polinomioscon coeficientes en A, A[x] es un anillo ntegro.5. Definicin : Diremos que un anillo es un cuerpo si para cada a A no nulo, existeel inverso respecto de la multiplicacin, que denotaremos a1.

Los anillos Q, R y C son cuerpos.Los cuerpos son anillos ntegros: si a b = 0 y 0, a, entonces 0= a1 a b = b.

6. Definicin : Sea A un anillo. Diremos que un ideal I A es principal si est gene-rado, como A-mdulo, por un slo elemento, i.e., I = aA. Diremos que un anillo es undominio de ideales principales si es un anillo ntegro cuyos ideales son principales.

Z es un dominio de ideales principales: Si I Z es un ideal, en particular es unsubgrupo (aditivo), luego I = nZ.7. Definicin : Diremos que el grado de P(x)= anxn +an1xn1 + +a1x+a0 A[x],con an , 0 es n y denotaremos gr P(x)= n. Seguiremos la convencin: gr (0)=1.8. Observacin : Si A es un anillo ntegro, entonces el grado de polinomios es aditivo,es decir, se verifica la frmula

gr (P(x)Q(x))= gr (P(x))+ gr (Q(x)) .

para cada par de polinomios no nulos P(x),Q(x). Por tanto, si P(x) es mltiplo de Q(x),entonces gr P(x) grQ(x).

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9. Algoritmo de divisin en el anillo de polinomios: Sea A = k un cuerpo. Paracada par de polinomios no nulos P(x),Q(x) k[x], existen otros dos, C(x),R(x), quedenominaremos cociente y resto de dividir P(x) por Q(x), nicos con las condiciones:

1. P(x)= C(x) Q(x)+R(x).2. gr R(x)< gr (Q(x)).

Demostracin. Existencia: Si grQ(x)> grP(X ) entonces C(x)= 0 y R(x)= P(x). Supon-gamos grQ(x) = m n = grP(x) y escribamos P(x) = a0xn + . . .+ an y Q(x) = b0xm + + bm. Procedemos por induccin sobre grP(x). Si grP(x) = 0, entonces grQ(x) = 0 yC(x)= a0b0 y R(x)= 0. Sea, pues, grP(x)> 0. El polinomio P (x) := P(x)

a0b0

xnm Q(x) esde grado menor que el de P(x), luego por hiptesis de induccin, existen C(x) y R(x) ta-les que P (x)= C(x)Q(x)+R(x) y gr R(x)< gr (Q(x)). Entonces, C(x) := C(x)+ a0b0 xnmy R(x) := R(X ) cumplen lo exigido.

Unicidad: Al lector.

10. Definicin : Se dice que un polinomio P(x) = a0xn + a1xn1 + + an k[x], cona0 , 0 es mnico si a0 = 1.11. Proposicin : k[x] (y en general, todo anillo eucldeo) es un dominio de idealesprincipales.

Demostracin. Cada ideal no nulo de k[x] est generado por el polinomio (digamosmnico) de grado ms pequeo: Dado un ideal 0, I k[x], sea 0,Q(x) I el polinomiode grado ms pequeo. Dado P(x) I, por el algoritmo de divisin existen polinomiosC(x) y R(x) tales que P(x) = C(x) Q(x)+ R(x) y gr R(x) < gr (Q(x)). Como R(x) I,entonces R(x) = 0 e I = (Q(x)). Si Q(x) = a0xn + a1xn1 + + an k[x], con a0 , 0,entonces Q(x)= a10 Q(x) es mnico e I = (Q(x)).

El ideal p = (2, x1) del anillo Z[x1, . . . xn] no es principal porque un generador dep sera un divisor de 2 y stos son 1 y 2, que no generan p. En consecuencia, losanillos Z[x1, . . . , xn] no son dominios de ideales principales.

Anlogamente, si k es un cuerpo, el ideal (x1, x2) del anillo k[x1, . . . , xn] no es princi-pal, as que los anillos k[x1, . . . , xn] no son dominios de ideales principales (para n > 1).

Si A es un dominio de ideales principales, los elementos de A, salvo productos porinvertibles, se corresponden con los ideales de A. En stos anillos es vlida gran partede la teora elemental de la divisibilidad de nmeros enteros. En efecto, si a,b A,entonces aA+ bA = dA, siendo d el mximo comn divisor de a y b: Si c divide ay b entonces divide d y obviamente d divide a y b. Igualmente, el mnimo comnmltiplo de a y b es el generador del ideal aAbA. Por tanto, el mximo comn divisory el mnimo comn mltiplo de dos elementos de un dominio de ideales principales Asiempre existen y estn bien definidos salvo factores invertibles.

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12. Identidad de Bzout: Sea A un dominio de ideales principales y sean a,b A.Sea d el mximo comn divisor de a y b. Existen elementos , A tales que

d =a+b13. Observacin : El algoritmo de Euclides en k[x] (y en Z) nos da un algoritmopara calcular el mximo comn divisor de dos polinomios: Dados dos polinomios P,Qdenotemos R0 = P, R1 =Q y por recurrencia se define Ri+1 el resto de dividir Ri1 porRi. Entonces,

P = C1Q+R2Q = C2R2 +R3R2 = C3R3 +R4 Rr2 = Cr1Rr1 +Rr

siendo Rr el primero tal que Rr = 0. Entonces,m.c.d(P,Q)= m.c.d.(Q,R2)= = m.c.d.(Rr2,Rr1)= (Rr1)

Adems, el algoritmo de Euclides nos permite calcular (x), (x) tales que (x) P(x)+(x) Q(x)= m.c.d(P,Q): Sabemos expresar R2 como combinacin k[x]-lineal de P y Q,luego sabemos expresar R3 como combinacin lineal de P y Q, y as sucesivamentesabremos expresar Rr1 como combinacin lineal de P y Q.14. Definicin : Un elemento propio (no nulo ni invertible) de un anillo ntegro se diceque es irreducible si no descompone en producto de dos elementos propios. Se dice quedos elementos propios son primos entre s, si carecen de divisores propios comunes.15. Definicin : Los elementos irreducibles de Z se denominan nmeros primos.16. Lema de Euclides : Si un elemento irreducible de un dominio de ideales princi-pales divide a un producto divide algn factor.

Demostracin. Si a es irreducible y divide a bc, entonces si a no divide a b implicaque el mximo comn divisor de a y b es el 1. Por tanto, existen , A tales quea+b = 1. Luego ac+bc = c. De esta igualdad obtenemos que a divide a c. 17. Definicin : Se dice que un anillo A es noetheriano si todo ideal es finito generado.18. Proposicin : Un anillo A es noetheriano si y slo si toda cadena creciente deideales de A, I1 I2 In estabiliza, es decir, para n >> 0, In = Im, para todom n.Demostracin. Si A es noetheriano e I1 I2 In una cadena creciente deideales de A, consideremos el ideal J :=i I i = (a1, . . . ,ar). Para n >> 0, a1, . . . ,ar In,luego In J In, es decir, J = In y In = Im, para todo m n.

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Veamos el recproco. Sea I un ideal, si I , 0 sea 0 , a1 I y I1 := (a1), Si I1 , I,sea a2 I\I1 e I2 := (a1,a2). As sucesivamente vamos construyendo una cadena 0

,I1 ,

I2 ,

I3 , que por la propiedad exigida a A ha de ser finita. Luego, para n >> 0,

I = In = (a1, . . . ,an).

Evidentemente, los dominios de ideales principales son noetherianos. El teoremade la base de Hilbert afirmar que los anillos de polinomios k[x1, . . . , xn] son noetheria-nos.

19. Teorema de descomposicin en factores irreducibles: Todo elemento propioa A, de un anillo noetheriano ntegro, descompone en producto de factores irreduciblesa = p1 pn. Adems, si A es un dominio de ideales principales, la descomposicin esnica salvo orden y factores invertibles.

Demostracin. Empecemos probando que a todo elemento a A lo divide algn ele-mento irreducible: Si a no es irreducible entonces a = a1 b1, a1,b1 elementos propios.Si a1 no es irreducible, entonces a1 = a2 b2, con a2,b2 elementos propios. As sucesi-vamente, vamos obteniendo una cadena (a)

,(a1)

,(a2)

,. . . que ha de ser finita por

noetherianidad y terminar cuando an sea irreducible.Ahora ya, sea a1 irreducible que divide a a y escribamos a = a1 b1. Si b1 no es

irreducible sea a2 irreducible, que divide a b1 y escribamos a = a1 b1 = a1 a2 b2. Assucesivamente, vamos obteniendo la cadena (a)

,(b1)

,(b2)

,. . . que ha de ser finita

y terminar cuando bn sea irreducible. En tal caso a = a1 an1 bn es producto deirreducibles.

Veamos ahora la unicidad, cuando A es un dominio de ideales principales. Seana = p1 pn = q1 qm dos descomposiciones en factores irreducibles. Por el Lemade Euclides, q1 divide algn factor pi, luego coincide con l (salvo un factor inverti-ble). Pongamos p1 = q1 (salvo invertibles). Simplificando la igualdad original tenemosp2 pn = q2 qm (salvo invertibles). Razonando con q2 como hemos hecho antes conq1 llegamos a que q2 coincide con algn pi. Reiterando el argumento, obtendremosque las dos descomposiciones son iguales (salvo orden y factores invertibles).

20. Definicin : Un anillo ntegro se dice que es un dominio de factorizacin nicasi todo elemento propio (no nulo ni invertible) del anillo es producto de elementosirreducibles, de modo nico salvo orden y factores invertibles. DFU significar dominiode factorizacin nica.

21. Ejemplo : Los dominios de ideales principales son dominios de factorizacin ni-ca.

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Sea A un dominio de ideales principales, a,b A y escribamos a = u pn11 pnrr ,b = v pm11 pmrr , con u,v invertibles, ni,mi 0 y p1, . . . , pr irreducibles y primos en-tre s. Es fcil calcular el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo (salvoinvertibles):

m.c.d.(a,b)= pmn(n1,m1)1 pmn(nr ,mr)rm.c.m.(a,b)= pmax(n1,m1)1 pmax(nr ,mr)r

22. Definicin : Sea P(x) k[x] un polinomio y k. Se dice que es una raz deP(x) si P()= 0.23. Proposicin : Sea P(x) k[x] un polinomio y k. Entonces, es una raz deP(x) si y slo si P(x) es mltiplo de x.

Demostracin. Por el algoritmo de Euclides, existen C(x) k[x] y k, tales que P(x)=C(x)(x)+. Si es una raz de P(x) entonces 0= P()= y P(x) es mltiplo de x.El recproco es obvio.

El teorema fundamental del lgebra afirma que todo polinomio de grado mayor quecero con coeficientes complejos tiene al menos una raz compleja. Por tanto, si P(x) C[x] es irreducible entonces existe una raz C de P(x), luego P(x) = (x), paracierto C. Por lo tanto, por el teorema de descomposicin en factores irreducibles,dado Q[x] C[x], existen 1, . . . ,r C distintos de modo que

Q(x)= (x1)n1 (xr)nr

para cierto C.24. Proposicin : Sea P(x) = a0xn + a1xn1 + + an Z[x] un polinomio y a/b Q,con a,b Z sin factores primos que los dividan comunes. Si a/b es una raz de P(x),entonces a divide a an y b divide a a0.

Demostrac

geometría algebraica -...

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