divisiÓn algebraica

1 División Alg- C. Notables

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División Alg- C. Notables

División Algebraica

1. Calcular “a + b + c”; si 𝑥3 − 3𝑥2 −

𝑥 + 3 divide en forma exacta al

polinomio:

𝑥5 − 2𝑥4 − 6𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

A) 12 B) 14 C) 7 D) 9

E) 15

2. Si el polinomio:

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥7 + 𝑏𝑥5 − 1

es divisible por el polinomio:

𝐹(𝑥) = 𝑚𝑥5 + 𝑛𝑥4 + 𝑐𝑥3 − 𝑥 − 1

Calcular: 𝑎𝑏 + 𝑚𝑛 + 𝑐

A) 1 B) 2 C) 3 D)

4 E) 5

3. ¿Cuál es la suma de los

coeficientes de aquel polinomio

P(x) mónico de tercer grado

divisible separadamente por

(𝑥 + 2) y (𝑥 + 1) que carece

de término cuadrático?

A) 2 B) -5 C) -4 D) 8

E) -3

4. Halle un polinomio cuadrado

perfecto de segundo grado y de

coeficientes enteros tal que su

término lineal es 6x.

A) 2𝑥2 + 5𝑥 − 6 B) 3𝑥2 +

9𝑥 + 12

C) 9𝑥2 + 6𝑥 + 1 D) 5𝑥2 +

𝑥 + 4

E) 8𝑥2 + 𝑥 − 13

5. Dado un polinomio P(x), tal que:

I. 𝑃(𝑥) − 2 es divisible por

(𝑥 − 2)

II. 𝑃(𝑥) + 2 es divisible por

(𝑥 + 2)

Calcule el resto de dividir P(x)

entre 𝑥2 − 4.

A) x – 1 B) 2 C) x D)

– x E) 1

6. Al dividir P(x) entre (𝑥 − 1) se

obtuvo como resto 2. ¿Qué resto

se obtendrá al dividir

(𝑃(𝑥))10entre (𝑥 + 1)?

A) 120 B) 2000 C)

1123 D) 1024 E)

1450

7. Al dividir un polinomio P(x) entre

(𝑥 − 5) se obtiene como resto 10

y un cociente cuya suma de

coeficientes es 2. Encontrar el

residuo de dividir dicho

polinomio por (𝑥 − 1).

A) 2 B) 8 C) 10 D)

18 E) 12

8. Halle un polinomio mónico

cuadrático que sea divisible por

(𝑥 + 2) y que tenga por suma de

coeficientes a: - 4

A) 𝑥2 + 𝑥 − 6

B) 2𝑥2 − 𝑥 − 6

C) 𝑥2 + 𝑥 + 6

D) 𝑥2 + 𝑥 − 5

E) 𝑥2 − 𝑥 − 5

3


9. Al dividir P(x) entre (𝑥 + 1); (𝑥 +

2) 𝑦 (𝑥 − 3) separadamente se

obtuvo el mismo residuo 4.

Indicar el residuo de dividir P(x)

entre (𝑥3 − 7𝑥 − 6).

A) 12 B) 16 C) 2 D)

4 E) 0

10. Si al dividir P(x) entre (𝑥2 + 1) el

residuo es (𝑥 + 3) indicar el

residuo de dividir 𝑃2(𝑥) entre

(𝑥2 + 1).

A) 3𝑥 + 4 B) 6𝑥 + 8 C)

3𝑥 − 4

D) 𝑥 + 3 E) 𝑥2 + 3

11. Mostrar el polinomio de segundo

grado P(x) tal que: P(0) = 1; que

sea divisible por (𝑥 + 1) y

que al dividirlo entre (2𝑥 + 1) el

resto sea -1.

A) 𝑥2 + 𝑥 − 1 B) 2𝑥2 −

𝑥 − 1

C) 2𝑥2 − 3𝑥 − 1 D) 2𝑥2 +

𝑥 − 1

E) 6𝑥2 + 7𝑥 + 1

12. Si: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥5 + 3𝑥4 + 𝛼𝑥3 + 3𝑥2 −2𝑥 − (𝑎 + 5) es divisible por:

𝑔(𝑥) = 𝑥4 − 𝑏𝑥3 + 2𝑥2 +𝑏𝑥 − 𝛽

además 𝑔(𝑥) es divisible por ℎ(𝑥), donde:

ℎ(𝑥) = (𝑥2 − 1)(𝑥2 + 𝜆) Calcule el valor de (𝛼 + 𝛽). A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 13. Determine un polinomio de

quinto grado que sea divisible

entre 2𝑥4 − 3 y que al dividirlo

separadamente por (𝑥 +

1) 𝑦 (𝑥 − 2) los restos obtenidos

sean, respectivamente 7 y 232.

A) (2𝑥4 − 3)(5𝑥 − 2) B)

(2𝑥4 + 3)(6𝑥 − 2)

C) (𝑥4 − 5)(2𝑥 − 2) D) (2𝑥4 +

3)(6𝑥 + 2)

E) (𝑥4 + 3)(𝑥 + 1)

14. Un polinomio P(x) disminuido en

5 es divisible por (𝑥 + 5) y

aumentando en 5 es divisible por

(𝑥 − 5). Cuál es el residuo de

dividir:

𝑃(𝑥) ÷ (𝑥2 − 25)

A) 0 B) x – 2 C) 3x D)

– x E) x

15. El cociente de dividir un

polinomio P(x) de tercer grado

entre (2𝑥 − 1) es (𝑥2 + 2𝑥 − 3) y

el resto de dividirlo entre (2𝑥 +

1) es 1. Determinar el resto de

dividir P(x) entre (2𝑥 − 1).

A) –7 B) –6,5 C) –7,5 D)

–8 E) F.D.

16. Si:

𝑃(𝑥) = 𝑥7 − 5𝑥4 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

es divisible por:

𝐹(𝑥) = (𝑥2 − 1)(𝑥 − 3)

Calcular: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

A) 5 B) – 5 C) 4 D)

– 4 E) 3

17. Un polinomio mónico P(x) de

tercer grado es divisible

separadamente por (𝑥 + 2) y

(𝑥 − 1) y al dividirlo por (𝑥 − 3)

origina un resto igual a 20.

Determine su término

independiente.

A) 7 B) 10 C) 12 D)

14 E) 20

18. Encontrar un polinomio P(x) de

3° grado que sea divisible en

4


forma separada por (𝑥 +

2) 𝑦 (𝑥 + 1), sabiendo además

que la suma de sus coeficientes

es 24 y que su término

independiente es 2.

A) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 10𝑥2 + 9𝑥 + 2

B) 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 − 10𝑥2 + 7𝑥 − 2

C) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 11𝑥2 + 12𝑥 − 4

D) 𝑃(𝑥) = 5𝑥3 + 10𝑥2 + 2𝑥 + 2

E) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 14𝑥2 + 7𝑥 + 21


2° grado, que sea divisible en

forma separada por (𝑥 −

2) 𝑦 (𝑥 + 1) cuya suma de

coeficientes es – 6.

A) 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 + 5

B) 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 − 3𝑥 − 6

C) 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 + 12

D) 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 − 2𝑥 − 5

E) 𝑃(𝑥) = 4𝑥2 − 2𝑥 + 11


tercer grado sabiendo que al

dividirlo separadamente por (𝑥 +

3); (𝑥 + 2) 𝑦 (𝑥 + 1) se obtiene el

mismo residuo 8 y al dividirlo por

(𝑥 + 4) se obtiene como residuo

20.

A) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 𝑥2 − 22𝑥 + 5

B) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 11𝑥2 − 5𝑥 + 12

C) 𝑃(𝑥) = −3𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 + 1

D) 𝑃(𝑥) = −2𝑥3 − 12𝑥2 − 22𝑥 −

4

E) 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 12𝑥2 − 2𝑥 + 5

21. Un polinomio P(x) de cuarto

grado es divisible

separadamente por (𝑥2 + 1) y

(𝑥2 + 2𝑥 + 2) si se divide P(x)

entre (𝑥3 − 1) el residuo es

6𝑥2 + 6𝑥 + 8, luego el término

independiente de x en P(x) es:

A) 1 B) 2 C) 3 D)

4 E) 5

22. Un polinomio P(x) mónico y de

segundo grado al ser dividido

entre (𝑥 − 3) da como resultado

un cierto cociente Q(x) y un resto

12. Si se divide P(x) entre el

mismo cociente aumentado en

4, la división resulta ser exacta.

Halle el resto de dividir P(x) entre

(𝑥 − 5).

A) 15 B) 20 C) 25 D)

30 E) 35

23. Los polinomios:

𝑃(𝑥) = 3𝑥6 − 𝑥5 − 9𝑥4 − 14𝑥3

− 11𝑥2 − 3𝑥 − 1

𝑄(𝑥) = 3𝑥5 + 8𝑥4 + 9𝑥3 + 15𝑥2 +

10𝑥 + 9

Son divisibles por 𝑥2 + 𝑥 + 1.

Halle el resto de dividir [𝑓(𝑥)𝑃(𝑥) +

𝑔(𝑥)𝑄(𝑥)] entre 𝑥2 + 𝑥 + 1,

sabiendo que 𝑓(𝑥); 𝑔(𝑥) son

polinomios no constantes.

A) 0 B) 2 C) 3 D)

6 E) 7

Cocientes Notables

24. Simplificar:

(𝑥44+𝑥33+𝑥22+𝑥11+1

𝑥4+𝑥3+𝑥2+𝑥+1) (

𝑥10+𝑥9+⋯+𝑥+1

𝑥50+𝑥45+⋯+𝑥5+1)

A) 1 B) 2 C) 3 D)

4 E) 5

25. Calcular “m” para que la división

notable:

𝑥4𝑚+4 − 𝑦5𝑚

𝑥𝑚+1 − 𝑦2𝑚−3

Origine un cociente notable.

A) 1 B) 2 C) 3 D)

4 E) 5

5


26. El desarrollo de la división

notable:

𝑥2𝑚 − 𝑦3𝑛

𝑥3 − 𝑦2

Origina un C – N de 30 términos.

Halle: m – n

A) 15 B) 20

C) 25

D) 35 E) 30

27. Hallar el tercer término de del

cociente notable originado por:

𝑎𝑛 − 𝑏5𝑛−18

𝑎2 − 𝑏9

A) 𝑎10𝑏16 B) −𝑎10𝑏18

C) 𝑎30𝑏18

D) 𝑎15𝑏6 E) 𝑎32𝑏20

28. ¿Cuál es el cuarto término del C

– N de:

𝑥4𝑛+5 + 𝑦4𝑛−6

𝑥𝑛−4 + 𝑦𝑛−5?

A) 𝑥21𝑦6 B) −𝑥21𝑦5

C) 𝑥22𝑦6

D) −𝑥10𝑦6 E) −𝑥21𝑦6

29. Determinar el grado absoluto del

sexto término del cociente

notable al dividir:

𝑥42 + 𝑦63

𝑥2 + 𝑦3

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

E) 7

30. Calcular “a.b” sabiendo que el

tercer término del C – N de:

𝑥𝑎+𝑏 − 𝑦𝑎+𝑏

𝑥𝑎−𝑏 + 𝑦𝑎−𝑏

es 𝑥60𝑦40.

A) 600 B) – 2400

C) 4200 D) 35 E)

3500

31. Halle el valor numérico del

término central en el desarrollo

de:

(𝑎 + 𝑏)4𝑝 − (𝑎 − 𝑏)4𝑝

𝑎𝑏𝑝

siendo 𝑎 = 2√7 𝑦 𝑏 = 3√3,

además

𝑝 = 𝑎2 + 𝑏2

A) 5 B) 6 C) 7 D)

8 E) 9

32. Reduzca la expresión S:

𝑆 =𝑥78 − 𝑥76 + 𝑥74 − 𝑥72 + ⋯ + 𝑥2 − 1

𝑥38 − 𝑥36 + 𝑥34 − 𝑥32 + ⋯ +2

𝑥2 + 1

A) 𝑥40 − 1 B) 𝑥 − 1

C) 𝑥40

D) 𝑥38 − 1 E) 𝑥42

33. Calcular el grado absoluto del

sexto término del cociente

notable originado por:

𝑥𝑛−2 + 𝑦18

𝑥 + 𝑦2

A) 2 B) 10 C) 11 D)

12 E) 13

34. En el desarrollo de:

𝑥𝑎 + 𝑎27

𝑥15 − 𝑎9

hay un término de grado 24, la

diferencia de los exponentes de

“x” e “y” en ese término es:

A) 5 B) 6 C) 7 D)

8 E) 9

35. Si la división notable:

𝑥𝑛 − 𝑥−𝑛

𝑥 − 𝑥−1

Origina un cociente notable que

sólo tiene 15 términos enteros,

determinar la suma de los

valores que asume “n”.

A) 49 B) 59 C) 69 D)

79 E) 89

6


36. Determine el término de lugar

21 en el cociente notable de

dividir:

2𝑥 − 𝑥2

1 − √𝑥 − 120

A) 𝑥 + 1 B) 𝑥2 − 1

C) (𝑥 − 1)2

D) 𝑥 − 1 E) (𝑥 + 1)2

37. Calcular el valor numérico del

término central del C – N de

dividir:

(𝑥 + 1)𝑛 + (𝑥 − 1)𝑛

2𝑥; 𝑛 = 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

para x = 1

A) 2𝑛 B) 2𝑛+1 C) 2𝑛−1 D)

0 E) 2𝑛−2

38. Cuantifique al término central

del C – N de dividir:

(𝑥 + 1)20 − (𝑥 − 1)20

8𝑥(𝑥2 + 1)

para x = √3

A) 16 B) 32 C) 64 D)

28 E) 256

39. Si el tercer término del cociente

notable de:

1

2[(𝑥 + 2)𝑚 − 𝑥𝑚

𝑥 + 1]

tiene como valor numérico 212

para x = 2.

Calcular “m”

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9

E) 10

40. La siguiente división genera un

cociente notable.

16√43

− 8√2

√43

− √2

Calcule su término racional

A) 8 B) 12 C) 16 D) 18

E) A y C

41. En el cociente notable generado

por la división:

√𝑥35

− √𝑥3 35

√𝑥 − √𝑥3

¿Cuántos términos son

racionales enteros?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

E) 9

42. Si la división algebraica

(5𝑥 − 1)99 + (5𝑥 + 1)99

𝑥

Origina un cociente notable en

el cual un término tiene la forma

𝐴(25𝑥2 − 1)𝐵; calcule A + B.

A) 35 B) 32 C) 39 D)

23 E) 4

43. En la división notable exacta:

𝑥𝑎 − 𝑦𝑏

𝑥5 − 𝑦7

Calcular “a + b”, si el quinto

término de su cociente es:

𝑥𝑚𝑦𝑛, además: 𝑛 − 𝑚 = 3.

A) 120 B) 118

C) 124

D) 116 E) 128

44. Si la división:

(𝑥 + 𝑦)100 − (𝑥 − 𝑦)100

8𝑥𝑦(𝑥2 + 𝑦2)

genera un cociente notable,

calcule el valor numérico del

término central.

Para 𝑥 = 3 𝑒 𝑦 = 2√2

A) 1 B) 2 C) 3 D)

4 E) 5

45. Sabiendo que al dividir:

𝑥25𝑛− 𝑦25𝑛

𝑥3𝑛−1 + 𝑦3𝑛−1

7


se obtiene como segundo

término −𝑥16𝑦8, ¿De cuántos

términos estará compuesto su

cociente notable?

A) 2 B) 3 C) 4 D)

5 E) 6

ESCUELA DE TALENTOS CALLAO

Mat. Aldo Huayanay Flores

Publicado en Mayo

divisiÓn algebraica

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