NOCIONES BÁSICAS DE GEOMETRÍA

1. Origen: Proclos, Herodoto, Eudemo de Rodas entre otros historiadores consignan en sus escritos que la Geometría tuvo sus orígenes en Egipto ya que periódicamente se necesitaba medir sus tierras, remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir diques paralelos para encauzar las aguas del río Nilo que al desbordarse causaba inundaciones que borraban sus fronteras.

Los conceptos geométricos que los antiguos egipcios idearon para explicar la naturaleza, nacieron y se usaron de manera práctica, pero fueron los griegos los que le dieron el carácter científico al incorporar demostraciones en base a razonamientos

2. Etimología: Proviene de dos voces griegas:Geo Tierra Metreín MedidaPor lo tanto etimológicamente Geometría significa “medida de la tierra” o “medición de tierra”.

3. Definición: La Geometría es la rama de la Matemática que estudia la medida de un lugar, esto es la medida, forma, extensión y propiedades de los cuerpos geométricos según sus puntos estén situados en el plano o en el espacio

4. División:4.1. Geometría plana o Planimetría: Estudia las figuras geométricas en 2D

(Dos dimensiones: largo y ancho), son figuras que tienen perímetro y área (como la superfície de una mesa). Son figuras planas El triángulo, cuadrado, rectángulo, círculo, etc.

4.2. Geometria del Espacio: Estudia los cuerpos geométricos espaciales o figuras en 3D (Tres dimensiones: largo, ancho y alto). Son figuras geométricas tridimensionales; Es decir tienen volumen y por lo tanto ocupan un espacio. Son cuerpos geométricos: La pirámide, cubo, paralelepípedo, cilindro, esfera, etc.

1

Nota:

2

5. Las Tres Geometrías

ESFÉRICA EUCLIDIANA HIPERBÓLICA

6. Conceptos primitivos o términos geométricos no definidos PUNTO RECTA PLANO

El espacio es el conjunto de todos los puntos

3

Se basa en los postulados de los Elementos de Euclides y en ella es válida la propiedad de que por un punto puede trazarse una sola paralela a una recta

Basado en la no existencia de

PARALELISMO

Rechaza la unicidad de la paralela a una

recta pasando por un punto exterior a ella.

Es el ente más pequeño en geometría. No tiene dimensiones, por lo tanto no existe en la naturaleza; pero sí en el pensamiento humano quien lo representa a través de una marca o “equis” pequeña. Se denota por una letra mayúscula de imprenta.

Es un conjunto infinito de puntos que siguen una misma dirección (sin huecos) y que es ilimitada en ambos sentidos.

Es una superficie “fina”, “llana”, “lisa”, sin espesor que se extiende en forma ilimitada en todas direcciones

Nota:

7. Puntos colineales Puntos coplanares

8. Precisiones Geométricas Figura Geométrica: Es el conjunto infinito de puntos que adopta una forma determinada. Generación de figuras geométrica: Un punto al desplazarse en el espacio genera una LÍNEA. Una línea al desplazarse en el espacio (no sobre sí misma), genera una

SUPERFICIE. Una superficie al desplazarse en el espacio (no sobre sí misma), genera un

SÓLIDO

Longitud Área Volumen

4

• Tres o más puntos son colineales cuando están en una misma recta.

• Puntos no colineales son aquellos que no están en la misma recta.

• Puntos coplanares son aquellos puntos que están en un mismo plano.

• Puntos no coplanares son aquellos que no están en un mismo plano.

•La medida de una línea limitada es un número real positivo único, llamado LONGITUD.

•El ÁREA es un número positivo e indica la medida de una superficie

•La medida del espacio que encierra un sólido, se expresa por un número positivo llamado VOLUMEN

9. El Lenguaje de la Geometría CONGRUENCIA ( ): Dos figuras geométricas se dice que son congruentes cuando tiene la misma forma y el mismo tamaño; es decir sus elementos correspondientes son congruentes

SEMEJANZA (): Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero tamaño diferente; es decir sus ángulos congruentes y sus lados proporcionales

Al dividir la medida de cada lado de la figura grande por la medida correspondiente de la figura pequeña se obtiene una constante llamada razón de semejanza

EQUIVALENCIA (): Dos figuras son equivalentes si tienen la misma área (o el mismo volumen), no interesa la forma ni el tamaño

10.Proposiciones Matemáticas Proposición: Es un enunciado que puede ser Verdadero o Falso; pero no ambas a la vez. Ejemplo: El triángulo no tiene diagonales. Son proposiciones geométricas a) Axioma : Proposición evidente por sí misma, cuya verdad debe ser aceptada sin

discusión. No necesita demostración.b)Postulado : Proposición que se admite sin demostración, no es tan evidente

como el axioma y en muchas veces es materia de refutación.c) Teorema : Proposición que para ser aceptada como verdadera requiere previa

demostración, mediante un proceso lógico. Tiene estructura condicional (p → q); se distinguen dos partes:Hipótesis: Lo que se supone conocido (antecedente)Tesis: Lo que se quiere demostrar (consecuente)

d)Corolario : Proposición que se deduce como consecuencia de un teorema. Es un teorema de otro teorema, que nace como un caso particular.

e)Lema : Teorema de poca importancia que facilita la demostración de otros teoremas.

f) Escolio : Anotación u observación que se hace a un teorema para afianzar o esclarecer su alcance

5

Área del rectángulo =

Área del triángulo

11. La Geometría de EuclidesEuclides (matemático y geómetra griego 325 a.C – 265a.C conocido como “El Padre de la Geometría”) construye su argumentación basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todos los demás) que Él llamó

postulados. Los cinco famosos postulados de Euclides son:I. Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.II. Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una

recta ilimitada en la misma dirección.III. Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio

cualquiera.IV. Todos los ángulos rectos son iguales.V. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela. Este último, al parecer no satisfacía al propio Euclides, ha sido el más controvertido y dio pie en los siglos XVIII y XIX al nacimiento de las Geometrías no euclidianas.

Ejemplificación de las Proposiciones Matemáticas AXIOMAS:

6

Por un punto pasan infinitas rectas

A una recta pertenecen infinitos puntos, también existen infinitos puntos que no pertenecen a ella

AB

L2

A

BC

A B

C

DE

LÍNEAS Y SEGMENTOS1. LÍNEA : Extensión considerada en una sola dimensión “la longitud”. Puede ser:

a. Línea Recta : Es la extensión alineada en una misma dirección.

a) Línea Curva : Es aquella que no es recta en ninguna de sus posiciones.

b) Línea Quebrada o Poligonal: Es aquella que está constituida por dos o más porciones de rectas que siguen direcciones diferentes.

c) Línea Mixta : Es aquella que está compuesta por porciones de rectas y curvas.

7

Características: Dos puntos bastan para determinarla Es ilimitada en sus dos sentidos

Se dice que una recta es VERTICAL cuando sigue la dirección de la plomada.

Se dice que una recta es HORIZONTAL cuando al interceptarse con una vertical forman 4 ángulos rectos.

Características:Cambia de dirección constantemente

L1: es recta verticalL2: es recta horizontal

Una recta es inclinada si no es vertical ni horizontal

Nota:L3: es recta inclinada

L3

Características:Cambia de dirección periódicamente

Características:Al tomar dos porciones en dos, tiene

un punto en común

B

L1

L2

QL1

L2

L1

L2

L2 L1

L1

L2 L2 L1

P Q

A B

P Q

2. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

La recta L1 es PARALELA a la recta L2 se escribirá: Dos rectas secantes son perpendiculares si al cortarse forman cuatro

ángulos rectos.

La recta L1 es PERPENDICULAR a la recta L2 se escribirá:

3. SEGMENTO : Porción de recta comprendida entre dos puntos, llamados extremos.

Notación: Se lee: Segmento de recta PQ

Representación geométrica:

Medida o longitud de un segmento: PQ ℝ

El segmento PQ comprende los extremos P y Q y todo su interior.Es la menor distancia posible entre dos puntos

3.1. Segmentos congruentes: Se dice que es congruente a si AB=PQ

8

Rectas Secantes Rectas Coincidentes Rectas Paralelas

Las dos rectas tienen un punto en común

Las rectas tienen todos sus puntos comunes

Las rectas no tienen puntos en común

Nota:

Nota:

AC

D

AB = PQLos segmentos tienen medidas iguales

3.2. Punto medio de un segmento: Es el punto que divide a un segmento en dos segmentos congruentes

3.3. Segmento bisector: Es otro segmento que pasa por el punto medio del

segmento.

3.4. Mediatriz de un segmento: Es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio y lo divide en dos partes congruentes.

3.5. Segmentos consecutivos: Son los que tienen un extremo en común y que pertenecen a la misma recta.

Segmentos consecutivos no colineales: son los que tienen un extremo en común; pero, no pertenecen a la misma recta. (se ve en los vectores)

3.6. Relación de segmentos:Si se cumple que:

3.7. Operaciones con segmentos:

Adición:

Sustracción:

9

P QMPM = MQ =“M” es punto medio de

P QMP QM

P QM Segmento bisector

P QM

AE = AB + BC + CD + DE

AB = AC – BCBC = AC – AB

AB = 2n

BC = 3n

Nota:

Nota:

O º

B

A

1º

1 vuelta 360

180º 0º; 360º

90º

270º

1º1º1º

Se divide en 360 partes congruentes

O

A° B’ C’’X 60 X 60

÷ 60 ÷ 60

X 3600

÷ 3600

Producto: n( ) es hallar un segmento múltiplo de (n ℕ )

División: es dividir un segmento en “n” partes congruentes

ÁNGULOS EN EL PLANO1. Ángulo : Figura geométrica formada por la unión de dos rayos que tienen el

mismo origen. Los rayos se llaman lados del ángulo y su origen el vértice.

Sistema Sexagesimal o Inglés: (S). Su Unidad de medida angular es el Grado Sexagesimal (1°), que es la 360 ava parte del ángulo de una vuelta.

Sea = A° B’ C’’= A°+ B’+ C’’, para conversiones dentro del sistema sexagesimal su factor de conversión es:

10

Elementos:

Lados : O⃗A y O⃗BVértice : “O”Notación:∠ AOB

o∠BOA

m∢AOB: α ℝ

La medida de un ángulo geométrico es un número real y positivo comprendido entre 0 y 360.

Para su medida, en geometría, se usa el Sistema Sexagesimal.

El transportador es el instrumento de medición de ángulos.

Alfa

beto

G

riego

Alpha Α α Lambda Λ λBeta Β β Rho Ρ ρ

Gamma Γ γ SIgma Σ σDelta Δ δ Phi Φ φEta Η η Psi Ψ ψ

Theta Θ θ Omega Ω ω

NOTACIÓN EQUIVALENCIASUn Grado Sexagesimal: 1°Un Minuto Sexagesimal: 1’Un Segundo Sexagesimal: 1” 1 vuelta = 360º

1°=∠1vuelta360

1° <> 60’1’ <> 60’’1° <> 3600”

O º

B

A

º M

º

º º º

º

También:

A° B’ C’’= A°+ B’+ C’’ =

(A+ B60

+ C3600 )

°

2. Bisectriz de un ángulo: Es el rayo que partiendo del vértice de un ángulo, lo divide en dos ángulos congruentes.

O⃗M biseca al ángulo AOB, entonces

m∢AOM=m∢MOB=m∢ AOB2

3. Clasificación:3.1. Según su medida

Ángulo Nulo

Ángulo cuya medida es igual a 0º, sus lados están sobrepuestos (los dos lados son coincidentes)

Ángulos ConvexoÁngulo cuya medida es mayor a 0 º y menor a 180 º ( 0º < <

180º)Ángulo Agudo Ángulo Recto Ángulo Obtuso

Los lados son perpendiculares

Ángulo LlanoÁngulo cuya medida es igual a 180º

11

= 0º

= 180º

0º < < 90º

90º < < 180º

= 90º

º

º

ºº

º º

O

C

A

B

α°

β° θ°

φ°δ°

Ángulo No Convexo o Cóncavo

Ángulo cuya medida es mayor a 180º

( 180º < < 360º)

Ángulo Completo Ángulo cuya medida es igual a 0º, sus rayos están sobrepuestos

3.2. Según sus característicasComplementarios Suplementarios

Son dos ángulos que suman 90°. Se dice que uno de ellos es el complemento del otro.

Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°. Se dice que uno de ellos es el suplemento del otro.

+ = 90º + = 180º

C = 90º – = S=180º – =

CCCCC…C = A SSSS…S = B

3.3. Según la posición de sus ladosÁngulos consecutivos

Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común con su inmediato.

∢ AOB y ∢BOCSon consecutivos.O⃗B lado comúnO: vértice común

Ángulos formados a un mismo lado de la recta

Ángulos formados alrededor de un punto

α + β + θ + φ + δ =360°

12

= 360º

“n” vecesA = si “n” es parA= C si “n” es impar “n” veces

B = si “n” es parB= S si “n” es impar

L2 L1 L3

Los ángulos adyacentes o par lineal son suplementarios

Ángulos opuestos por el vérticeSon dos ángulos tales que los lados de uno son los rayos opuestos de los lados del otro ángulo.Son congruentes.

4. Ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante

Es recta secante

Ángulos externos:∠1 ; ∠2 ; ∠7 ;∠8

Ángulos internos: ∠3 ;

∠4 ; ∠5 ;∠6

Ángulos Correspondientes: son congruentes

Se ubican a un solo lado de la secante, uno fuera y otro dentro de las paralelas.

∠1 y ∠5 ∠1 ∠5

∠3 y ∠7 ∠3 ∠7

∠2 y ∠6 ∠2 ∠6∠4 y ∠8 ∠4 ∠8

13

Ángulos alternos: son congruentesSe ubican a uno y otro lado de la secante

Internos(entre las paralelas)

∠3 y ∠6 ∠3 ∠6∠4 y ∠5 ∠4 ∠5

Externos(fuera de las paralelas)

∠1 y ∠8 ∠1 ∠8∠2

y ∠7 ∠2 ∠7

Ángulos conjugados: son suplementariosSe ubican a un solo lado de la secante

Internos(entre las paralelas)

∠3 y ∠5 ∠3 + ∠5= 180°∠4 y ∠6 ∠4 +∠6 = 180°

Externos(fuera de las paralelas)

∠1 y ∠7 ∠1 + ∠7= 180º∠2 y∠8 ∠2 + ∠8= 180°

α=β y γ=δ

L1

L2

x

y

z

L1

L2

x

14

xº = º+ ºxº + y º + z º = º + º + º

A

B

C

E D

Lado

Ángulo exterior

Ángulo interior

Vértice

Diagonal

POLÍGONOS1. Definición: Polígono es una línea poligonal cerrada; es decir es la figura

geométrica que se obtiene de intersecar por sus extremos un conjunto finito de segmentos de rectas coplanares no colineales.

2. Región poligonal: Porción de plano que queda al interior de un polígono

En un polígono se cumple que:

Nº lados = Nº vértices = Nº ángulos internos

3. Clasificación:3.1. De acuerdo a la medida de sus elementos

Polígono Convexo: Cuando todos sus ángulos internos son convexos (0º<<180º) o cuando una recta secante los corta como máximo en dos puntos

Polígono No Convexo o Cóncavo: Cuando al menos uno de sus ángulos internos es cóncavo (180º<<360º) o cuando una recta secante los corta en más de dos puntos.

15

Elementos:El polígono ABCDEVértices: A; B; C; D; ELados: AB ; BC ; CD ; DE ; EA

Diagonal: BEÁngulo interno: Ángulo Externo:

Nota:

Nota:

Polígono Irregular: Cuando el polígono tiene al menos un lado o un ángulo no congruente a los demás.

3.2. De acuerdo al número de lados

Los polígonos que no tiene denominación especial se les nombra por su número de lados. Así:

Polígono de 13 ladosPolígono de 50 lados.

16

Nota:

Nota:

Polígono Equiángulo Polígono Equilátero Polígono RegularTodos sus ángulos interiores son congruentes.

Todos sus lados son congruentes

Todos sus lados y ángulos interiores son congruentes.

NOMBRE Nº DE LADOS

NOMBRE Nº DE LADOS

Triángulo 3 Eneágono o Nonágono 9Cuadrilátero 4 Decágono 10Pentágono 5 Endecágono 11Exágono 6 Dodecágono 12Heptágono 7 Pentadecágono 15Octágono 8 Icoságono 20

.

L

Polígono Estrellado: Es el polígono cruzado cuyos vértices se obtienen por la intersección de las prolongaciones de los lados de un polígono convexo.

Se obtiene de dividir a la circunferencia en “n” partes congruentes y uniendo de “k en k” hasta llegar al punto de partida según las divisiones dadas.

4. Perímetro de un polígono: Es igual a la suma de las longitudes de sus lados o la longitud de la línea poligonal que lo limita.

2 P=nL

5. Propiedades de los polígonos

Si “n” es el número de lados de un polígono convexo, se cumple que:

i.

ii. Suma de las medidas de los ángulos internos: .Σ∢i = 180º (n – 2)

iii. Suma de las medidas de sus ángulos externos: Σ∢e = 360º

iv. Suma de ángulos internos y externos: Σ∢i + Σ∢e = 180º n

17

Nº lados = Nº vértices = Nº interiores = n

Donde:2P: perímetron: número de ladosL: medida de un lado

2P = (15 + 25+ 30 +15 + 20 +10) m2P = 115 m

El perímetro de un polígono regular de “n” lados es igual al producto de “n” por la medida de uno de sus lados

A

Nota:

v. Número total de diagonales que pueden trazarse en un polígono de “n”

lados es: D=

n( n−3 )2

vi. Diagonales trazadas desde un vértice: d1V = n – 3

vii. Número total de diagonales medias:

Dm=n (n−1 )2

viii. Diagonales trazadas desde “v” vértices consecutivos: Dv=n .v−

( v+1 ) ( v+2 )2

ix. Diagonales medias trazadas desde un solo vértices: dMV = n – 1

En Polígonos Regulares y Equiángulos

x. Medida de un ángulo interno: ∠ i=

180 °(n−2)n

xi. Medida de un ángulo externo: ∠e=360 °

n

xii. Suma de las medidas de los ángulos centrales: Σ c∢ = 360º

xiii. Medida de un ángulo central: ∠c=360 °

n

Otras propiedades importantes:

xiv. En todo polígono, el número de diagonales medias trazados desde “k”

puntos medios consecutivos: ¿DM (n,k )=n.k−

k (k+1 )2

xv. Si en un polígono de “n” lados se trazan todas las diagonales desde un vértice el polígono queda dividido en (n –2) triángulos:

18Nº triángulos = n –2

Si desde uno de los lados se trazan segmentos hacia todos los vértices, el polígono de “n” lados queda dividido en (n–1) triángulos.

xvi. La suma de los ángulos en las puntas de un polígono

estrellado de “n” vértices es: ∑∠ ie=180 º (n−4 )

19

Región triangular

A

B

C

RP

a

b

c

yºa

B

c

xº zºA b C

º

º

º

a

B

c

A bCb

a

B

c

A Cb

a

B

c

A Cb

CATETO

CATETO

A

B

C

c

b

a

TRIÁNGULOS1. Triángulo: Es el menor polígono y se forma por tres segmentos de recta que

unen tres puntos no colineales.Notación: ABC (Las tres letras mayúsculas que llevan sus vértices) y se lee

triángulo ABC El punto P es exterior al ABC El punto R es interior al ABC La medida de los lados del triángulo se designan por

la letra minúscula del vértice opuesto a dicho lado: BC = a, AC = b, AB = c

2. Elementos:

3 Lados: AB , AC ,BC

c, b, a3 Vértices: A, B, C3 Ángulos Internos: xº, yº, zº3 Ángulos Externos: º, º, ºPerímetro (2p): 2p = a + b + c

Semiperímetro (p): p=a+b+c

2

3. Clasificación:

LAD

OS

Equilátero Isósceles Escaleno

a = b = c a = c a b c

ÁNG

ULO

S

Rectángulo OblicuánguloAcutángulo Obtusángulo

Un ángulo recto 3 ángulos agudos Un ángulo obtuso

20

A

B C

c b

a

B

A H C

B

H A C CA

B

H

B

C

O

A O

O

RECTÁNGULO

4. Naturaleza de un triángulo: permite conocer el tipo de triángulo según sus ángulos

Siendo a > b > c entonces Si a2> b2> c2 Es triángulo ObtusánguloSi a2< b2+c2 Es triángulo AcutánguloSi a2= b2+c2 Es triángulo Rectángulo

5. Líneas y Puntos notables: Las líneas notables son aquellas que cumplen funciones específicas en el triángulo, dichas líneas son: Altura, Mediana, Mediatriz, Bisectriz interior, Bisectriz exterior. Los Puntos Notables son Ortocentro, Baricentro, Circuncentro, Incentro y Excentro

I) ALTURA (h): Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice del triángulo a la recta que contiene al lado opuesto. En cada una de las siguientes figuras, el segmento BH es una altura del triángulo ABC.

ORTOCENTRO: Es el punto de concurrencia de las alturas de un triángulo. El ortocentro es un punto que puede estar en el interior del triángulo, fuera de él o en el vértice del ángulo recto, según los triángulos sean Acutángulos, Obtusángulos y Rectángulos respectivamente. Este punto tiene la propiedad de dividir a cada altura en dos segmentos cuyo producto es una constante.

O: ORTOCENTRO

21

ACUTÁNGULO

OBTUSÁNGULO

PA C

B

MC

NG

B

P

A

A

B

C

m

CC

C

II) MEDIANA (M): Es un segmento que une un vértice y el punto medio del lado opuesto. En la figura M es el punto medio de AC, BP se llama mediana.

BARICENTRO (G): Llamado también centro de gravedad, gravicentro o centroide, es el punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo.El Baricentro, siempre es un punto interior al triángulo, divide a cada mediana en dos segmentos que están en la relación de 1 a 3 y 2 a 3 de la mediana.

BG = 2 (GM)AG = 2 (GN)CG = 2 (GP)

III) MEDIATRIZ (m): Es una recta perpendicular a un lado del triángulo en su punto medio, dicha recta se encuentra en el mismo plano que contiene al triángulo

CIRCUNCENTRO (C): Es el punto de concurrencia de las mediatrices de los lados de un triángulo. El circuncentro es un punto que puede estar en el interior del triángulo, fuera de él o en el punto medio de la hipotenusa, según los triángulos sean Acutángulos, Obtusángulos y Rectángulos respectivamente. Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (Circunferencia circunscrita, es la que pasa por los vértices del triángulo) y equidistan de sus vértices.

ACUTÁNGULO OBTUSÁNGULO RECTÁNGULO

22

B

AD x B

B

C A

I

B

CA

I

B

A C F

BF: Segmento de Bisectriz Exterior

IV) BISECTRIZ INTERIOR (b). Es el rayo que partiendo del vértice de un triángulo, divide al ángulo interior en dos ángulos congruentes.

BX: Bisectriz InteriorBD: Segmento de bisectriz interior.

INCENTRO (I): Es el punto de concurrencia de las bisectrices interiores. El Incentro, siempre es un punto interior al triángulo. Este punto tiene la propiedad de ser al centro de la circunferencia inscrita al triángulo (circunferencia inscrita es la que toca a los lados del triángulo, interiormente en tres puntos) y equidistar de los 3 lados.

En todo triángulo se puede trazar una bisectriz interior y otra exterior.

V) BISECTRIZ EXTERIOR: Es el rayo que partiendo del vértice de un triángulo, divide al ángulo exterior en dos ángulos de igual medida.

23

B E

A C

B

AP Q C R

EXCENTRO (E): Es el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores, con la bisectriz interior del tercer ángulo del triángulo.

E: Excentro relativo al lado BC

El Excentro es siempre, un punto exterior al triángulo. Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia exinscrita al triángulo (circunferencia exinscrita es la que toca a un lado y a las prolongaciones de los otros dos lados en tres puntos respectivamente) y equidistar de un lado y de las prolongaciones de los otros dos.

Todo triángulo tiene 3 excentros, cada uno de ellos relativo a uno de los lados del triángulo.

CEVIANA: Es el segmento que une un vértice de un triángulo con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. Desde un vértice se puede trazar infinitas cevianas. Por lo tanto la ceviana no es línea notable. El nombre de ceviana se debe en honor al matemático italiano CEVA en 1678.

BP, BQ, BR: Cevianas

5. RECTA DE EULER: En todo triángulo no equilátero, el Ortocentro (O), el Baricentro (G) y el Circuncentro (C) están alineados y la recta que contiene estos tres puntos se llama Recta de Euler.

Se cumple que la distancia del Ortocentro (O) al Baricentro (G) es el doble que la del Baricentro (G) al Circuncentro (C), esto es, el segmento HG es el doble que del segmento GC.

24

B

A

C

O O G

E

C

RECTA DE EULER

x

B

A C

y

z

A

B C

c b

a

Distancia (O, G) = 2.distancia (G,C) OG = 2GC

En un triángulo equilátero, el Baricentro, el Ortocentro, el Circuncentro y el Incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.

En todo triángulo isósceles el Circuncentro, Baricentro, Incentro, Ortocentro y el Excentro relativa a la base se encuentran en la misma línea recta

6. Triángulo Órtico o Pedal: Es el triángulo que se forma al unir los pies de las tres alturas de un triángulo

7. Propiedades:

i. En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos internos es igual a 180º.

+ + = 180º

ii. En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.

x+

iii. En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores (uno por vértice) es igual a 360º.

x+ y + z = 360ºiv. En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo y a menor lado se

opone menor ángulo.

25

Nota:

TRIÁNGULO ÓRTICO del

ABC

a

B

c

A CN

h

a

B

c

A CN

hBN es

A

B C

c b

a

Si a > b > c > > Si c < b < a < <

v. En un triángulo isósceles a lados congruentes se oponen ángulos congruentes

Si a=c =

vi. En un triángulo isósceles la bisectriz que parte del vértice opuesto a la base ( o lado no congruente) es a su vez ALTURA, MEDIANA Y MEDIATRZ

Altura Bisectriz Mediana Mediatriz

vii. Teorema de la existencia de un triánguloEn todo triángulo la longitud de uno de sus lados es menor que la suma de los otros dos lados pero mayor que su diferencia

b – c < a < b + c a – c < b < a + ca – b < c < a + b

ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES

i) Ángulo formado por dos bisectrices interiores de un triángulo es igual a un recto más la mitad del tercer ángulo

ii) Ángulo formado por dos bisectrices exteriores de un triángulo es igual

26

y

x

x + y =+

x

x =+ +

x

y

x + y =+

y

x

x + y =+

a un recto menos la mitad del tercer ángulo

iii) El ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior de dos ángulos de un triángulo es igual a la mitad del tercer ángulo

iv) El ángulo agudo formado por la altura y la bisectriz trazadas desde un mismo vértice es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los otros dos ángulos.

OTRAS PROPIEDADES

x + y =+

8.27

28

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