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FIGURAS POLGONALES

Poligonal abierta Poligonal cerrada

1. DEFINICIN Y ELEMENTOS

Un polgono es una poligonal cerrada de modo que no existen dos lados que se corten.En un polgono se distinguen los siguientes elementos:

C REGIN POLIGONAL

Vrtices : A, B,... ados : AB , BC ,... !ngulos interiores : , ... B " !ngulos exteriores : , ... "iagonal : CE , DB

A E

2. INTERIOR Y EXTERIOR DE UN POLGONO

B# $ # %on puntos interiores al polgono:

P & ''''''''''''''''''''''''''''

A # ( C # %on puntos exteriores al polgono:''''''''''''''''''''''''''''

# ) # %on puntos que pertenecen alpolgono:

E * " + + + + + + + ''''''''''''''''''''''''''''

#

3. CLASIFICACIN:

A) POR EL NMERO DE LADOS

Nomb! N" #$%o& Nomb! N" #$%o&-ringulo ongonoCuadriltero "ecgonoPentgono Endecgono/exgono "odecgono/eptgono Pentadecgono0ct1gono 2cosgono

os dems polgonosno tienen nominaci1n

especial 3 se lesnombra por el n4mero

de lados que tiene

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') DE ACUERDO A SU REGIN

Po#(o*o Co*+!,o

'''''''''''''''' Po#(o*o C-*$+o

'''''''''''''''''

C) DE ACUERDO A SUS /NGULOS Y SUS LADOS

Polgono Equiltero

''''''''''''''''''''''''''''''''

PolgonoEquingulo

''''''''''''''''''''''''''''''''

Polgono *egular

''''''''''''''''''''''''''''''''

TRIANGULACIN DE POLGONOS

Como 3a sabes, un polgono puede ser di5idido en tringulos de tal manera que los ngulos interiores deltringulo 6ormen los ngulos interiores del polgono.as 6iguras 7A8, 7B8 3 7C8 lo demuestran: C

BA

a suma de los ngulos internos de un tringulo es 9; tringulos > x 9;< ? lados @ tringulos @ x 9;< lados = tringulos = x 9;< lados ? tringulos ? x 9;8 tringulos Dn > x 9; D9;

cantidad de ngulos n

: medida de unngulo interior

En la Figura mostradase Ha construido un

polgono de lados, a

partir de ? s

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TRI/NGULOS

1. DEFINICIN Es la 6igura geomtrica 6ormada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

2. ELEMENTOS%ea el tringulo ABC, sus elementos son:

2.1. LADOS DE UN TRI/NGULO%on cada uno de los segmentos que 6orman un tringulo. os lados del tringulo ABC son: ,AC,BC,AB

2.2. 89RTICES DE UN TRI/NGULO%on cada uno de los puntos donde se unen los lados 3 se representan mediante letras ma34sculas .os 5rtices del tringulo ABC son:A, B, C.

2.3. /NGULOS EN UN TRI/NGULO/a3 dos clases de ngulos:; /*4#o& I*6!o!&, son los que se encuentran dentro del tringulo.+ Un ngulo interior del tringulo ABC es: 78; /*4#o& E,6!o!& son los que se encuentran en el exterior del tringulo.+ Un ngulo exterior del tringulo ABC es: T?*4#o E@4#?6!o.>Cuando sus tres lados son de igual medida.

B

CA

c a

P

Q

b

CA

B

a a

a

= 60

CA

B

Regininterior

Reginexterior

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b).> T?*4#o I&-&!#!&.>Cuando dos de sus lados son de igual medida.

).> T?*4#o E&$#!*o.>Es aquel que tiene sus tres lados de di6erente medida.

3.2. POR LAS MEDIDAS DE SUS /NGULOSPueden ser:$).> T?*4#o R!6?*4#o.>Cuando uno de sus ngulos internos mide K; T?*4#o A46?*4#o.>Cuando cada uno de sus tres ngulos internos son agudos.

).> T?*4#o Ob64&?*4#o.>Cuando uno de sus ngulos internos es obtuso.

4. TEOREMAS BSICOS SOBRE TRINGULOS

=.9 a suma de las medidas de los ngulos interiores es 9; 90

< 90

< 90< 90

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a + b + c + d + e = 180a + b + c + d + e = 180

=.> a medida de un ngulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ngulos interiores no ad3acentes a l.

=.@ a suma de las medidas de los ngulos exteriores Duno por 5rtice es @; a > b & ca + c > b > a & ca + b > c > a & b

eb

cd

a

x

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PROBLEMAS RESUELTOS

9.+Calcula el 5alor de 7x8

So#4-* :

CM : !ngulo exterior

BM,AM :!ngulo 2nterior no ad3acente al CM

BMAMCM +=

@x J 3 J 9; I >x J 3 J =;< @x >x I =;< J 9;INSCRITOEs aquel ngulo cu3o 5rtice esta sobre la circun6erencia uno de sus lados la corta 3 el otro es tangente.

=. PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA

?.9.+ %iendo una recta tangente 3 A el punto de tangencia se tiene que 0A .

%i: 0A es radio.Entonces:

R

R

*

B

A

xx =

R

R

*

B

A

x

x =

x =>

x

B

C

A

x =x

B

C

OA L

A

/

*R

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?.>.+%i se traa dos cuerdas paralelas A" 3 BC, los arcos AB 3 C" son de igual medida.%i : A"VVBC

Entonces:

?.@.+%i un radio es perpendicular a una cuerda, el radio pasa por el punto medio de la cuerda 3 del arcocorrespondiente a la cuerda.

%i : BC0A Entonces:

?.=.+os segmentos tangentes traados desde de un punto B exterior a una circun6erencia son iguales.

BCAB =

?.?.+ El ngulo exterior 3 un arco 6ormado por dos tangentes son suplementarios.

?..+ %i traamos dos cuerdas de la misma longitud, entonces los arcos que subtienden cada una son iguales.

%i :C"AB =

Entonces:

m AB ImC"

?..+ as cuerdas que equidistan del centro son de igual medida.

%i: a I bEntonces:

BCAB =

)AB = )C1

CB

A

A

C

B

*2

C

A

B

x + = 180

CB

A

*

B

a b

A C

"i# A C %on

34nto% de tangencia

$ntonce%#

FCBF =

BA = AC

x B

C

A

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?..+ %i desde el 5rtice donde se unen las tangentes traamos un segmento que se une con el centro de lacircun6erencia, el segmento es una bisectri.

%i:BCAB = 3 son

-angentes.Entonces:

0B I Bisectri

?.K.+%iendo AB dimetro 3 P un punto cualquiera de la circun6erencia, entonces el ngulo de 5rtice P en el tringuloAPB es recto.

%i:

AB es di.metro

Entonces:

PROBLEMAS RESUELTOS

9.+Calcula 7x8.

So#4-*:708 por ser ngulo central se cumple:

>.+ Calcula 7x8.

So#4-*:7B8 por ser ngulo inscrito se cumple:

x< I>

9;;

.

IMPORTANTE:

Toda la circunferencia mide 360.

x = (0

A

9;;

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/REAS

TEMA: /REA DE UN TRI/NGULO

Un tringulo es una 6igura geomtrica que posee tres lados, que pueden ser rectas, cur5os o mixtos.

El rea de un tringulo se obtiene di5idiendo entre dos al producto de su base por su altura.

D!mo&6$-*:

A

C F E

B

H

"b

A I b H >

xA B CR S

Para realiar la demostraci1n de la 61rmula para Hallar el rea del tringulo Haremos uso de una

construcci1n auxiliar: por el 5rtice C, traaremos una paralela al segmento AB 3 por el 5rtice B,traaremos una lnea paralela al segmento AC . El punto donde se cortan estas dos lneas Dpunto deintersecci1n lo llamaremos E. Entonces se 6ormar el cuadriltero ABEC. Asimismo, traaremos las alturasC" 3 FB , perpendiculares a los segmentos AB 3 CE , respecti5amente.

El rea del tringulo lo podremos Hallar por una di6erencia de reas:

AABCI AABEC ABCEW D9

AHora, si analiamos el cuadriltero ABEC, notamos que, como todos sus lados son paralelos dos a dos,entonces el cuadriltero ABEC es un paralelogramo. En consecuencia, si la longitud del segmento AB es7b8, por ser ABEC un paralelogramo, entonces la longitud del segmento CE tambin es 7b8.

Adems, como sabemos que el rea de un paralelogramo se obtiene multiplicando su base por su altura,entonces:AABECI b x H W D>

AHora, si analiamos los tringulos ABC 3 BCE, obser5amos que como los segmentos AB 3 CE tienenla misma longitud 7b8, 3 las alturas C" 3 BF tienen la misma longitud 7H8, entonces los tringulos ABC 3BCE son 6iguras equi5alentesN 3, como son 6iguras equi5alentes, por este moti5o tendrn reas iguales.

AABCI ABCEW D@%i reemplaamos las ecuaciones D> 3 D@ en la ecuaci1n D9, obtendremos:

ABCABC

BCEABECABC

AHxbA

AAA

=

=

Pasando AABCal lado iquierdo de la igualdad

AABCJ AABCI b x H

>AABCI b x H

"i5idiendo cada trmino de la igualdad entre >:

A I b H

>

xA B C ! r e a d e l - r i . n g u l o

Por lo que queda demostrada la 61rmula para Hallar el rea del tringulo.

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Esta 61rmula del rea del tringulo es aplicable a cualquier tipo de tringulo, el cual puede ser:

$) T?*4#o E&$#!*oAquel que no tiene lados iguales, es decir, la longitud de sus lados es di6erente.

ac

b) T?*4#o I&-&!#!&-iene dos lados iguales, 3 al tercero se le considera como la base del tringulo.

a a

) T?*4#o E@4#?6!o:Es aquel en el cual sus tres lados son iguales.

; X

; X ; X

NOTA:El rea del tringulo equiltero se puede Hallar directamente si se conoce s1lo la longitud de su lado 1 s1lola longitud de su altura, Haciendo uso de las siguientes 61rmulas:

A I @ =

l x>

A HI @ @

x>

1H

TEMA: /REA DE UN CUADRIL/TERO

Una 5e conocidos estos teoremas importantsimos, estamos en condiciones de de6inir D3 tambin de demostrarel rea de las principales 6iguras geomtricas. Empearemos por los cuadrilteros.

os cuadrilteros son 6iguras geomtricas que poseen cuatro lados. os cuadrilteros pueden ser:

*ectngulo. Cuadrado *ombo Paralelogramo -rapecio

A continuaci1n, pasaremos a detallar D3 en algunos casos demostrar el rea de cada uno de estos cuadrilteros.

1. /!$ %!# !6?*4#o

Un rectngulo es una 6igura geomtrica que posee = lados paralelos dos a dos, e interceptados baTo un ngulode K;X. os lados paralelos tienen igual longitud. El rea de cualquier rectngulo se obtiene multiplicando lalongitud de su base por la longitud de su altura.

A I B HY* E C - ! , ( U 0/

D!mo&6$-*: RAABC"I H x bS

B

A

C

"A

H

)

, P

&

/

B

A 9

b

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Para realiar la demostraci1n de que el rea del rectngulo ABC" es A I H x b, Haremos una construcci1n auxiliar:dibuTaremos un rectngulo )P& de altura 7/8 3 base 7B8, donde / I B I 9N es decir, tenemos un rectngulo delado unitario. Este rectngulo ser la unidad de rea, es decir A 9I 9. D1tese que como la base 3 altura soniguales, este rectngulo recibe el nombre de 7cuadrado8.

%abemos, por el Cuarto -eorema, que las reas de > rectngulos son proporcionales al producto de su base porsu altura respecti5a. Entonces:

Bx/

bxH

A

A

9

= W. D9

Pero sabemos que A9es uno, 3 que / I B I 9.Entonces reemplaando estos 5alores en la ecuaci1n D9.

bxHA = : !rea del rectngulo

Por lo que queda demostrada la 61rmula para Hallar el rea del rectngulo.2. /!$ %!# C4$%$%o

Un cuadrado es un tipo particular de rectngulo, donde la longitud del la base es igual a la longitud de la altura.El rea del cuadrado se obtiene ele5ando al cuadrado la longitud de la base, o ele5ando al cuadrado lalongitud de la altura. Es decir, multiplicando H x H 1 b x b.

"

D!mo&6$-*:Puesto que conocemos que el rea del rectngulo es:

A I H x b

Z como Hemos dicHo, en un cuadrado: H I b I >xA == !rea del Cuadrado

Ob&.El rea del cuadrado tambin puede obtenerse as:

"onde " es la diagonal del cuadrado >

"

A

>

=

3. /!$ %!# P$$#!#o$moUn paralelogramo es una 6igura de = lados, donde sus lados son paralelos dos a dos, pero donde el ngulo deintersecci1n de los lados es distinto a K;X.

El rea de un paralelogramo se obtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su alturaN es decir,igual que el rea del rectngulo, puesto que el paralelogramo es un tipo de rectngulo al cual se le Han inclinadodos lados.

D!mo&6$-*:

HxbA A B C " =

A

H

C

"E F

B

Primero, debemos notar que tanto los segmentos BC3A" tienen la misma longitud, as como lossegmentos .C"3AB Para demostrar que el rea del paralelogramo es A I b x H Haremos unaconstrucci1n auxiliar: prolongaremos el segmento AB 3 traaremos las perpendiculares BE3CF .Entonces se 6ormarn los tringulos rectngulos ABE 3 C"F 3 el cuadriltero EBCF.AHora, Hallaremos el rea del paralelogramo ABC" mediante el uso de suma 3 di6erencia de reas.

Entonces: AABC"I AEBCFJ AABE AC"FWD9

AHora, analicemos el cuadriltero EBCF: obser5amos que los segmentos CF3EB son paralelos 3sabamos que los segmentos A"3BC eran paralelos, 3 como el ngulo de intersecci1n de los lados es

K;X, entonces el cuadriltero EBCF es un rectngulo.Entonces: AEBCFI EBxBC I b x H W D>

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AHora, analicemos los tringulos rectngulos ABE 3 C"F: como los segmentos C"3AB son iguales 3 losngulos interiores de los tringulos son iguales, entonces los dos tringulos son idnticos, D6igurasequi5alentes, por lo que tendrn la misma rea.

Entonces: AABEI AC"FW D@

%i reemplaamos las ecuaciones D> 3 D@ en la ecuaci1n D9, obtendremos:

HxbAABC" = !rea del Paralelogramo

Por lo que queda demostrada la 61rmula para Hallar el rea del paralelogramo.

No6$&:a. Un tringulo rectngulo es aquel que tiene un ngulo de K;X como ngulo interior.b. %e dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano son PA*AE0% si, por ms que

extendamos dicHas rectas o segmentos, estas dos nunca, se cortarn. Un eTemplo de rectas paralelas sonlas lneas Horiontales de un cuaderno cuadriculado.c. %e dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano son PE*PE"2CUA*E% si

dicHas rectas o segmentos se cortan en un ngulo de K;X. Un eTemplo de rectas o segmentos se cortan enun ngulo de K;X. Un eTemplo de rectas perpendiculares sera el cruce de una lnea Horiontal de uncuaderno cuadriculado con una lnea 5ertical del mismo,

d. Cada 5e que Hablemos de la altura se considerar que la altura es perpendicular a la base de la 6iguraanaliada.

@

=

A

A A

d

% i l a d i a g o n a l ) P e s 7 d 8 3l a d i a g o n a l , & e s 7 " 8

E n t o n c e s

A I " d >

x

,

No6$:

A9I A>I A@I A=si el rombo es simtrico

=. /!$ %!# T$7!o

Un trapecio es un cuadriltero que posee dos lados paralelos conocidos como base ma3or Del lado ms grande 3base menor Del lado ms peque[o 3 dos lados no paralelos.

El rea de un trapecio se obtiene sumando la base ma3or con la base menor di5idiendo el resultado entre dos3, 6inalmente, multiplicando este resultado por la longitud de la altura del trapecio.

A I b J B /x- * A P E C 2 0

>

>

b

b m

>

D o * % ! :

b : b a s e m e n o r B : b a s e m a 3 o r b m : b a s e m e d i a/ : a l t u r a

No6$:

ABEABE"ABC

C"FABEEBCFABC"

AAHxbA

AAAA

+=

+=

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A esta semisuma Dsuma di5idida entre > de la base ma3or 3 la base menor se le conoce como BA%E )E"2A.a base media 5iene a ser un segmento que se encuentra a la misma distancia de la base ma3or 3 la basemenor D/>N es decir se encuentra en el 7medio8 de las > bases, adems es paralela a ellas.

>

Bbbm

+=

Por lo que el rea del trapecio tambin se puede 6ormular as:

A-*APEC20I bmx / .

TEMA: /REA DE SUPERFICIES CIRCULARES

A continuaci1n detallaremos como obtener el rea de super6icies circulares. a base es el rea del crculo,as que aprndete bien la 61rmula para su rea 3 las dems te sern 6ciles.

1. /!$ %!# C(4#oUn crculo es una 6igura geomtrica que tiene la particularidad de que la distancia que existe entre sucentro D; 3 sus extremos es siempre constanteN a dicHa distancia se le conoce con el nombre de *A"20Dr.

B

A0

rr

r

F i g u r a 2

Ob&!+$o*!&a /a3 que tener cuidado de no con6undir crculo con circun6erencia. a circun6erencia es la lnea que

delimita el rea circular, es decir, el borde del crculoN en cambio, el crculo abarca la circun6erencia 3todo el espacio Drea que sta encierra.

b Cuando dos radios 6orman parte de una misma recta, es decir son colineales Dcomo en el caso de losradios 0B30A , al segmento que 5a desde un extremo a otro de la circun6erencia pasando por sucentro Dsegmento AB se le denomina "2!)E-*0 D".

" I >r

c a longitud de la circun6erencia D se puede obtener as: I >r 1 I "

El rea de un crculo es proporcional al cuadrado del radio del crculo. a constante de proporcionalidad es unn4mero irracional que recibe la notaci1n de la letra griega Dpi.

I @.9=9?K>W 9=.@Es decir, el rea de un crculo se puede calcular as:

>rA = !rea del Crculo

a demostraci1n de sta 61rmula la deTaremos pendiente, pues es necesario conocer conceptos de)atemtica %uperior, espec6icamente en el campo de mites de 6unciones, tema que Dgeneralmente seaborda en cursos de !lgebra Uni5ersitaria. Por este moti5o, consideraremos como 5lida 7a priori8 esta61rmula.

SOLIDOS

PRISMAS

P$$#!#!77!%o o !6o!%o

)b.$.$bC2A

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5 3er)etro 7 de a ba%e

2.2b2$%

8 $b

A: rea -otal": diagonal

V: 5olumen

P&m$ R!6o

A LI . H

A T I %'$&!J A L

V I %'$&!. H

CILINDROS

lamado tambin cilindro de re5oluci1n es el s1lido generado por una regi1n rectangular que gira una 5ueltacompleta alrededor de uno de sus lados.

I. FRMULAS PRINCIPALES PARA UN CILINDRO CIRCULAR RECTO

1. ?!$ %! #$ &47!5! #$6!$# SL)

"L= 'Rg

= gRect:ng4ogenerador

R $;e degiro

Rect:ng4ogenerador g

R

g

R

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2. ?!$ %! #$ &47!5! 6o6$#ST)

3. 8o#4m!* 8)

PIR/MIDES

Es el poliedro limitado por una regi1n poligonal llamada base 3 en su parte limitada por regiones triangularesconsecuti5as que tienen un 5rtice com4n, el cual a su 5e es el 5rtice de la pirmide.

En toda pirmide la perpendicular traada desde su 5rtice al plano de la base se denomina altura.

Una pirmide se denomina seg4n el polgono de su baseN es decir si su base es un tringulo cuadriltero opentgono, entonces la pirmide de denominar triangular, cuadrangular o pentagonal respecti5amente.

%e cumple:

"onde: V : Volumen de la pirmide% : !rea de la base DABC"E/ : longitud de la altura

CONO CIRCULAR RECTO

%e denomina cono circular recto al s1lido generado por una regi1n triangular rectangular que gira una 5ueltacompleta alrededor de uno de sus catetos.

"T= 'R5g+R7

= R2g

=9@

"

At4ra

Ba%e

?rtice oc@%3ide

Ari%ta atera

Cara atera

Ari%ta b:%ica

A

B

C

$

A

B

* A

B

gg

R*

gg

R

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I. FRMULAS '/SICAS

1. ?!$ %! #$ &47!5! #$6!$# SL)

2. /!$ %! #$ &47!5! 6o6$# ST)

3. 8o#4m!* %!# o*o 8)

En un cono se cumple que:

TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS

D!5*-*: %on procesos de 5ariaci1n o mo5imiento de los puntos del plano de 6orma que se

establece una relaci1n entre los elementos origen 3 los elementos trans6ormados. "iremos que un par

de puntos son Hom1logos cuando se obtengan el uno del otro mediante la aplicaci1n de una

trans6ormaci1n en su plano.Pueden ser de dos tipos :

T$*&5om$-* %!6$:%e conser5an el sentido en el plano orientado.

"L= Rg

"T= R5g+R7

=9@

R2

g2= 2+ R2

g

R

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T$*&5om$-* *+!&$:Cuando los sentidos del original 3 el Hom1logo son

contrarios.

-ambin las podemos clasi6icar en 6unci1n al aspecto de la 6igura Hom1loga en:

1. ISOM9TRICAS :%on aquellas que conser5an las dimensiones 3 los ngulos entre la 6igura

original 3 la trans6ormada.

-*A%AC2\

(2*0

%2)E-*]A

ISOMRFICAS O CONFORMES: %on aquellas trans6ormaciones que conser5an la 6orma, es

decir, los ngulos de la 6igura original 3 la trans6ormada son iguales 3 las longitudes son proporcionales

/0)0-EC2A

%E)E^AOA

ANAMRFICAS: %on aquellas en las que cambia la 6orma entre la original 3 la trans6ormada

IN8ERSINEn las siguientes lecciones estudiaremos ms detenidamente cada uno de estos tipos.

En geometra, las trans6ormaciones isomtricas son trans6ormaciones de 6iguras en el plano que se

realian sin 5ariar las dimensiones ni el rea de las mismasN la 6igura inicial 3 la 6inal son semeTantes

3 geomtricamente congruentes.

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a palabra isometra tiene su origen en el griego isoDigual o mismo 3 m!"i#Dmedir, una de6inici1n

cercana esi$%#& m'i'#.

%e clasi6ican en :

1. Traslacin: a traslaci1n es una isometra que realia un cambio de posici1n, es el

cambio de lugar, determinada por un 5ector.

%e llama traslaci1n de 5ector a la isometra que a cada punto Adel plano le Hace corresponder

un punto Adel mismo plano tal que AAes igual a UD5ector gua.

as translaciones estn marcadas por tres elementos :

> L$ %!-*, si es Horiontal, 5ertical, oblicua, etc...

> E# &!*6%o, si es derecHa, iquierda, arriba o abaTo.

> L$ m$*64%, que se re6iere a cuanto se despla1 la 6igura en una unidad de medida.

2. Giro:Una rotaci1n, en geometra, es un mo5imiento de cambio de orientaci1n de un

cuerpo, de 6orma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia

constante de un punto 6iTo, 3 posee las siguientes caractersticas :

+ U* 74*6odenominado centro de rotaci1n.

+ U* ?*4#o.

+ U* &!*6%ode rotaci1n.

Estas trans6ormaciones pueden ser positi5as o negati5as dependiendo del sentido de giro. Para

el primer caso debe ser un giro en sentido contrario a las manecillas del reloT, 3 ser negati5o el

giro cuando sea en sentido de las manecillas.

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3. Sm!6($ :Es la correspondencia exacta en la disposici1n regular de las partes o

puntos de un cuerpo o 6igura con relaci1n a un punto Dcentro, una recta DeTe o un plano.

%e denominan:!*6$#3 $,$#.

$)Sm!6($ !*6$#es una trans6ormaci1n en la que a cada punto se le asocia otro punto,

que debe cumplir las siguientes condiciones :

>El punto 3 su imagen estn a igual distancia de un punto llamado centro de simetra.

> El punto, su imagen 3 el centro de simetra pertenecan a una misma recta.

b)La simetra axial, en geometra, es una trans6ormaci1n respecto de un eTe de simetra,

en la cual, a cada punto de una 6igura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las

siguientes condiciones

>a distancia de un punto 3 su imagen al eTe de simetra, es la misma.

> El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eTe de simetra.

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ESFERA

Es el s1lido generado por un semicrculo que gira una 5uelta alrededor de su dimetro.

a super6icie que limita a la es6era se denomina super6icie es6rica.

/REA DE LA SUPERFICIE ESF9RICA

8OLUMEN DE LA ESFERA

" = (R2

==

@R

A

B

R

R

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MAPAS Y PLANOS

1> 4 &o* #o& m$7$&H

os mapas son representaciones planas de una parte o de la totalidad de la super6icie terrestre. Es unarepresentaci1n, es decir no es la realidad exacta. Es como una 6oto tu3a donde no eres t4 sino una

representaci1n plana de ti mismo Da

Cuntas 5eces Hemos dibuTado un mapa para 7decirle a un amigo como llegar a nuestra casa8 Hemos

dibuTado lo que 5emos. Pues bien, el mapa es eso 4*$ !7!&!*6$-* 7#$*$ %! #$ &47!5! om7#!6$

%! #$ 6!$ o %! &o#o 4*$ 7$6! %! !##$.

a representaci1n plana de la -ierra tiene una importante di6icultadN la -ierra es redonda Den realidad es un

o5oide, abultada en el centro 3 acHatada en los polos. Esta di6icultad se resol5i1 con largos a[os de trabaTo,

a tra5s de las pro3ecciones cartogr6icas.

Existen tres tipos bsicos de pro3ecciones: la cilndrica, la c1nica 3 la cenital o aimutal. 0bser5a 3 lee con

atenci1n las imgenes 3 las le3endas que se presentan a continuaci1n:

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Como puedes, 5er ninguna de las representaciones de la -ierra !& !,$6$. Por lo tanto, se utiliarn los

distintos tipos de pro3ecciones, dependiendo del obTeti5o que se persiga. Por eTemplo si quiero representar

de meTor 6orma mi pas tal 5e la pro3ecci1n aimutal ser la adecuada ms que la c1nica.

Pese a la di6icultad que presentan las pro3ecciones cartogr6icas, los mapas siguen siendo un mtodo de

extraordinaria importancia para representar a la -ierra, establecer lmites, conocer la dimensi1n de los

continentes 3 de los pases, apreciar la distribuci1n de los ocanos 3 los climas, entre mucHas otras cosas.

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2> Com7o*!*6!& %! #o& m$7$&

os mapas al ser una representaci1n, necesitan de elementos que a3uden a desci6rar lo que quieren

decir. Algunos de los componentes de los mapas son:

2.1> E&$#$

En palabras simples, la escala de los mapas es el n4mero de 5eces en que estos son 7acHicados8

para representar la realidad. Puesto que si te Has dado cuenta, una 6oto tu3a di6cilmente es de tama[o

natural, 3 muestra solo una parte de ti. Rte imaginas las di6icultades que tendramos si los mapas6ueran de tama[o naturalS.

-radicionalmente, los mapas Han sido clasi6icados seg4n su escala en planos, cartas 3 mapas. Un

plano tiene una escala de no ms de 9:>?.;;;. Una carta tiene una escala entre 9 : >?.;;; 3

9:>?;.;;;, 3 un mapa tiene una escala por sobre 9:>?;.;;;.

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+ a escala es una proporci1n matemtica entre el tama[o real 3 el representado en el mapa.

+ a escala es el n4mero de 5eces que la realidad Ha sido reducida.

Cuando lo que buscamos es representar con gran precisi1n lo que existe en un rea peque[a,

debemos usar escalas in6eriores a 9:>?.;;;. Por el contrario, si lo que interesa es representar amplias

onas utiliaremos escalas superiores a 9:>?;.;;;.

(eneralmente, la escala se expresa a tra5s de una proporci1n:

1:1..

Esta escala quiere decir que un centmetro del mapa equi5ale a 9;;.;;; centmetros de la realidad.

Como Habitualmente no nos re6erimos a las distancias en centmetros, las escalas se con5ierten a

_il1metros. Por lo tanto, una escala 9:9;;.;;; signi6ica que 9 cm del mapa Den el papel corresponde a

9 _m de la realidad.

a escala tambin puede representarse gr6icamente a tra5s de una barra graduada que nos

proporciona la misma in6ormaci1n:

> C-mo &! #o$ &$b! #$ !&$#$ %! 4* m$7$H

Para lograr esta in6ormaci1n se requiere ocupar la 6ormula:

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2.2> T(64#o

/a3 algunos mapas que lo poseen. El ttulo es el nombre de lo que quiere representar el mapa. Por lo

general se encuentra en el centro superior del mapa 3 nos sit4a sobre la in6ormaci1n que nos quiere

entregar el mapa. Por eTemplo: )apa de la delincuencia de a %erena, es un mapa que nos

proporcionar in6ormaci1n acerca de los lugares ms peligrosos de la ciudad.

2.3> L!!*%$ o &mbo#o($

Es un recuadro por lo general ubicado al ladro derecHo de los mapas. Este recuadro nos explica cada

uno de los smbolos, colores, lneas, 6iguras que usamos en los mapas para representar la realidad.

2.T7o& %! !&$#$& %! M$7!o :

E&$#$ *$64$#: es la que tiene la relaci1n 99. En ella, las medidas del dibuTo son iguales a las

de la realidad. E&$#$ %! !%4-*: las medidas del dibuTo son menores que las reales, por eTemplo 9>.

E&$#$ %! $m7#$-*: en este caso las medidas del dibuTo son ma3ores que las realesN por

eTemplo, @>. Cada tipo de escala se adec4a a unas representaciones concretas. As, las

escalas de reducci1n se emplean para representar grandes obTetos o espacios en arquitectura,

ingeniera, dise[o, topogra6a o cartogra6a. as escalas de ampliaci1n, en la representaci1n

del dise[o de peque[os obTetos.

3> P#$*o&

E# 7#$*o !& 4* %b4Jo @4! !7!&!*6$ 4* #4$ +&6o %!&%! $b$ . Ese lugar puede ser una

Habitaci1n, una casa, una localidad...

%e utilia para para &64$*o& o!*6$*o&correctamente.

En !# 7#$*o %! #$ #o$#%$% se representan los elementos 6sicos que Ha3 en ella, por eTemplo, los

edi6icios, calles, plaas.

Cada elemento se representa por un &(mbo#o. %e suelen utiliar di6erentes o#o!& 3 smbolos para

representar las calles, casas, rboles. El signi6icado de estos colores 3 smbolos que se utilian se

explican en la #!!*%$.

3.1> C$%$ 7#$*o %!b! ##!+$ 4*$ !&$#$ 4*o& &(mbo#o&

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a !&$#$expresa el n4mero de 5eces que un elemento Ha sido reducido para representarlo en el

plano.

os smbolos nos indican los lugares representados. Estos smbolos se llaman &*o&

o*+!*o*$#!& porque son aceptados por todas las personas 3 signi6ican siempre lo mismo.

'I'LIOGRAFIA

Ra)n arn Crdoa 5'01'7 ate):tica 1 /i)a&Per@# r43o $ditoria-or)a

,-$ 5'01(7 R4tad e A3rendiza;e /i)a&Per@# ra3ic% Per@ "AC

$CAR 5'01(7 eo)etria 1! de )ao de '01.D de $CAR "itio Eeb#tt3#FFEEEed4carciecFecF3roFa33FdetaeG,='1!1!0

Ro;a% P4e)a3eD AHon%o ate)atica&3ri)ero de %ec4ndaria $ditoria "anarco%

"antianaD R$CR"*" ,IC,C*"D "itio Eebtt3%#FFEEE%antianaco))xFco)3artirF/"FebooJ%K3atinoFebooJ%Fate)atica%13dH

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