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Actividad 1: Matemáticas en la vida real, ¿dónde? y

¿cómo?

Instrucciones:

Para asegurar una preparación integral, la Universidad Tec Milenio ofrece talleres

artísticos, deportivos y culturales.

1. Pregunta a tus familiares o amigos qué actividades extracurriculares les gustaría

practicar para desarrollar sus habilidades deportivas, culturales y artísticas: ¿baile,

tenis o practicar yoga?

2. Puedes elegir una, dos o tres opciones. Registra las respuestas con una línea por

cada persona que indique una actividad; por ejemplo, si siete mencionaron yoga: IIII

III.

3. Realiza el registro de los resultados del cuestionario en la siguiente tabla.

Actividad Número de alumnos suma

Baile

Tenis

Yoga

Baile y tenis

Baile y yoga

Tenis y

yoga

Baile, tenis

y yoga

Con los resultados obtenidos en la primera parte, realiza lo siguiente:

4. Para la administración es importante saber la cantidad de alumnos que llevarán uno,

dos o tres talleres para hacer la programación de horarios y grupos y poder dar

servicio a todos; también es importante conocer si hay alumnos a los que no les

gustaría llevar ningún taller, para entrevistarlos e invitarlos a participar, pues, como

mencionamos, estas actividades extracurriculares son importantes para una

preparación integral. ¿Qué estrategia puedes utilizar para responder las siguientes

preguntas y ayudarle a la administración a tener la información que necesita?

Cuántos de estos alumnos…

http://bbsistema.tecmilenio.edu.mx/bbcswebdav/institution/UTM/tetramestre/profesional/ma/ma13151/cel/tema1.htm#collapseAct



a. Llevarán clases de baile, clases de tenis pero no llevarán clases de yoga.

b. Llevarán clases de baile, pero no llevarán clases de tenis ni de yoga.

c. No llevarán clases de baile, pero llevarán clases de tenis y de yoga.

d. No llevarán clase de baile ni de tenis ni de yoga.

5. Para desarrollar tu habilidad en la búsqueda de información, busca en Internet

(Biblioteca Digital), periódicos o revistas, una gráfica que represente una situación

de la vida real. Copia y pega la gráfica en el siguiente espacio; incluye parte de la

información que representa la gráfica para que puedas dar respuesta a las

siguientes preguntas:

a. Describan brevemente la información que proporciona la gráfica, es decir, qué

se está analizando en esa situación; por ejemplo: “La gráfica proporciona la

población que hay en Monterrey cada año. Observamos que la población tiene

periodos en los que crece o que decrece. En el año 2000 fue donde hubo una

mayor población”, etcétera. Escriban toda la información que puedan observar

en la gráfica.

b. Identifiquen qué representan sus variables (esto lo pueden observar en los ejes:

eje X y eje Y):

x representa:_______________________

y representa:_______________________

a. Con base en la gráfica, escriban los valores que toma cada una de las variables:

Valores de x:_______________________

Valores de y:_______________________

a. Incluyan la fuente de donde obtuvieron la información, utilizando el formato

APA.

7. Integren los datos obtenidos.

8. Elaboren un reporte donde incluyan lo siguiente:

a. La información que surgió del análisis de la gráfica.

b. Reflexión acerca de cómo se puede utilizar este conocimiento en la vida diaria.



c. Elaboren una frase por equipo donde expongan la importancia de las

aportaciones que tienen los conjuntos y la función en la vida cotidiana.

d. Publiquen en su Twitter la frase que elaboraron y compártanla con sus

compañeros.

9. Completa la tabla escribiendo a qué tipo de función pertenece la gráfica. ¿Cómo es su

fórmula matemática? ¿Cuál es la característica que la define?

Gráfica Tipo de función, fórmula

matemática y

característica que la

define

a.

b.

c.

d.



e.

f.

10. Elabora un resumen con el proceso del concepto de límites y los dos tipos de límites

que aprendiste.

Actividad 2: Reconociendo las funciones

Instrucciones:

1. Responde las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál es la característica que define a cada una de las siguientes funciones?:

i. Lineal

ii. Exponencial

iii. Base a

iv. Base e

v. Trigonométrica

b. ¿Cómo son cada una sus ecuaciones?

c. ¿Qué datos ocupas para obtenerlas?

d. ¿Cómo obtienes esos datos?

e. Menciona una aplicación de las siguientes funciones:

i. Función lineal

ii. Función exponencial base a

iii. Función exponencial base e

iv. Funciones trigonométricas seno y coseno

2. Usen Skype, Google Docs o algún foro y reúnanse en parejas y comparen sus

respuestas.

3. Cada integrante del equipo compartirá y explicará la función que le tocó estudiar.




4. Al finalizar la actividad, todos los integrantes del equipo serán capaces de

reconocer y plantear la ecuación matemática de las cuatro funciones de estudio.

5. Como evidencia de su aprendizaje, completen la información de la siguiente tabla:

Función Característica

que define

Ecuación Datos

que

necesitan

para

plantear

la

ecuación

Cómo se

obtienen

los

datos

Lineal

Exponencial

base a

Exponencial

base e

Trigonométricas

Responde a las siguientes preguntas:

1. ¿El cambio promedio y el cambio instantáneo representan lo mismo?

2. ¿El resultado del cambio promedio de una función y el cambio instantáneo son iguales?

3. ¿Qué se debe cumplir para poder decir que son iguales?

Actividad 3: Vamos a calcular el cambio

Instrucciones:

1. Responde lo siguiente:

Supón que hoy tienes 20 años, mides 1.70m y pesas 65kg, y que hace cinco años

medías 1.50m y tu peso era de 55kg.

a. ¿Cuánto cambió tu estatura en estos cinco años?

b. ¿Cuánto cambió tu peso en estos cinco años?

c. Si quieres saber cuánto cambiará tu peso a los 23 años, ¿cómo le harías para

obtenerlo? Calcula el valor.

d. Si quieres saber cuánto cambiará tu estatura a los 22 años, ¿cómo le harías para

obtenerlo? Calcula el valor.




e. ¿Existe una fórmula que te permita calcular el cambio en un instante en

particular?

La siguiente tabla muestra tu peso y estatura en los cinco años, de los 15 a los 20 años:

t 15 16 17 18 19 20

p 55 58 59 61 63 65

t 15 16 17 18 19 20

e 1.50 1.55 1.58 1.62 1.65 1.70

2. Responde a las preguntas de los incisos c y d con los resultados de la tabla, luego

contesta las siguientes:

a. ¿Cuánto cambió tu peso a los 23 años?

b. ¿Cuánto cambió tu estatura a los 22 años?

c. Los resultados obtenidos con los datos de la tabla, ¿coinciden con los

resultados obtenidos en los incisos c y d?

d. Si no coinciden, ¿a qué crees que se deba?

3. Responde a las siguientes preguntas:

a. ¿Cómo se le llama a la recta que pasa por dos puntos?

b. ¿Puedes obtener la pendiente de esa recta? En caso de que tu respuesta sea

afirmativa, ¿cómo?

c. ¿Cómo se le llama la recta que toca a la gráfica de una función en un punto?

d. Y si conoces solo un punto, ¿puedes obtener la pendiente de esa recta?

e. ¿Conoces alguna forma para obtener la pendiente de esa recta con un solo

punto? Si la respuesta es sí, describe cómo la obtienes.

4. Utiliza la definición de derivada para obtener la derivada de la función en el punto

indicado. Primero calcula la derivada en el punto indicado, y con los resultados

identifica la fórmula general para obtener la derivada de la función para cualquier

valor x.

5. En parejas (usen Skype, Google Docs, foro, etc.), resuelva un inciso de la tabla. Una

vez que estén seguros que su respuesta es correcta, compartan sus resultados en

el foro.

6. Expliquen cómo resolvieron el ejercicio y den la conclusión de la derivada de la

función en cualquier valor de x.

a. Obtener la derivada de en los puntos indicados:

Punto Procedimiento Resultado



(escrito como fracción)

de

x = 2

x = 3

x = 4

En general para cualquier x

7. Elaboren una presentación que dé respuesta a la parte 1 de la actividad. Debe incluir

la respuesta a las siguientes preguntas:

a. ¿Cómo se calcula la razón de cambio de una función en un punto en particular?

b. ¿En dónde se utiliza este concepto en la vida real?

c. En matemáticas, ¿cómo se le llama a la razón de cambio instantánea?

8. Completen la tabla que resume las fórmulas para derivar los diferentes tipos de

funciones que aprendieron en el módulo anterior; algunas de estas fórmulas surgen

de la parte 2 de la actividad; las restantes búsquenlas en Internet. No olviden incluir

la fuente consultada:

Nombre de la función

Ecuación Fórmula para derivar la función

Constante ,

donde C es una constante

Potencia

Logaritmo natural

Exponencial base e

Exponencial base a

Trigonométrica seno



Trigonométrica coseno

Resuelve los siguientes ejercicios y realiza un reporte del procedimiento de tu tarea.

1. Utiliza las fórmulas para obtener la derivada de las siguientes funciones:

a.

i. Forma general.

ii. ¿Qué fórmula vas a utilizar?

iii. ¿Cuál es f(x)?

iv. Obtén f’(x).

v. Al utilizar la fórmula la derivada queda expresada como y’ =

b.

i. Forma general.



iv. Obtén f’(x).


c.

i. Forma general.



iv. Obtén f’(x).


d.

i. Forma general.



iv. Obtén f’(x).


e.

i. Forma general.



iv. Obtén f’(x).


f.



i. Forma general.



iv. Obtén f’(x).


g.

i. Forma general.



iv. Obtén f’(x).


h.

i. Forma general.



iv. Obtén f’(x).


i.

i. Forma general.



iv. Obtén f’(x).


1.

i. Forma general.



iv. Obtén f’(x).


2. Realiza una búsqueda de información sobre lo que son las UDIs: ¿Para qué y cuándo

se crearon? ¿Con base en qué factores cambian su valor? ¿Cuáles son las ventajas y

desventajas de manejar una deuda en estas utilidades?

Aplica tus conocimientos



1. Indaga en algún periódico, institución bancaria o en Internet el valor de las UDIs durante

seis o siete días consecutivos. Deberán ser datos actuales.

2. Escribe en la siguiente tabla el valor de las UDIs en función del día:

Fecha t

(días)

V valor de los UDIs

(en pesos)

0

1

2

3

4

5

6

7

3. Tomando los datos de la tabla anterior (con todos los decimales de las UDIs), contesta lo

indicado en la siguiente tabla.

t

(días)

¿Cuál es el cambio promedio en el

valor de las UDIs en el intervalo

indicado?

¿Cuál es el factor de cambio para el

valor de las UDIs en el intervalo

indicado?

0 - 1

1 - 2

2 - 3

3 - 4

4 - 5

5 - 6

6 - 7

4. De acuerdo a los resultados obtenidos en la tabla anterior, contesta a la siguiente

pregunta:



a. ¿A qué tipo de función se ajusta más la función del valor de las UDIs? Justifica tu

respuesta.

5. Escribe la fórmula para el valor V de las UDIs como función del tiempo t.

____________________________________

6. Dibuja la gráfica de la función encontrada.

7. Tomando en cuenta lo que aprendiste, analiza la siguiente situación y contesta lo que se

pregunta. Para ello, toma los resultados obtenidos en la parte 2 de tu actividad.

José desea comprar una casa y le ofrecen la opción de manejar su crédito hipotecario en

UDIs. Para tomar la decisión necesita saber cuál es el valor de la UDI en este momento y cuál

va a ser el valor al final del plazo. Si José estará pagando 650 UDIs por mes,

a. ¿cuál va a ser su pago (en pesos) al inicio? Toma el primer valor de la tabla de la

parte 2 como el valor de la UDI al inicio del contrato (t = 0).

Normalmente, un crédito hipotecario tiene un plazo de 20 o 30 años. Si el plazo que eligió

José para pagar fue de 20 años,

b. ¿cuál va a ser su pago (en pesos) al final del plazo?

¿Le conviene a José tener una deuda en UDIs, o es mejor manejarla en pesos?

Reflexión



Con base en la búsqueda de información que realizaste y los conceptos vistos hasta el

momento, reflexiona sobre lo siguiente: ¿Piensas que el manejar una deuda hipotecaria en

UDIs resulte benéfico para el deudor? Tu respuesta debe ir acompañada de una opinión

personal sustentada en los resultados de tu investigación, la actividad y lo que aprendiste en

clase. Nota: tu aportación no deberá exceder de diez renglones.

Actividad 4: Vamos a obtener el volumen máximo

Instrucciones:

1. Utiliza una hoja de máquina tamaño carta, recorta un cuadrado de cada lado y

construye una caja sin tapa doblando los lados hacia arriba; tú decides las medidas

del cuadrado a recortar. Una vez que tengas la caja, utiliza una regla para que midas

las dimensiones de la caja y obtengas el volumen que se encierra.

Escribe tus respuestas:

Largo = ________________

Ancho=________________

Altura=_________________

Volumen=_______________

2. A través del foro comparte tu respuesta con tus compañeros y responde a las

siguientes preguntas:

a. ¿El resultado del volumen coincide para todos? ________

b. Si la respuesta es no, reflexiona: ¿A qué crees que se deba?

c. Escriban los resultados obtenidos por cada integrante del equipo:

Nombre del alumno

Resultado del volumen de la caja

d. Respondan a las siguientes preguntas.

¿Qué observan? ¿Cuántos resultados coinciden?

________________________________________




¿Cuál es el mayor volumen obtenido en el grupo?

________________________________________

¿Por qué hay resultado diferentes si el tamaño de la hoja es el mismo?

________________________________________

3. De forma individual resuelve el problema anterior utilizando los conceptos

matemáticos de optimización

4. A partir de un hoja de máquina tamañocarta - A4 cuyas medidas son

aproximadamente 21cm de ancho y 30cm de largo, se desea construir una caja

rectangular sin tapa recortando un cuadrado de cada esquina de "x"cm.

Obtener las dimensiones de la caja: ancho, largo y alto para que la caja encierre un

volumen máximo.

5. Responde a las siguientes preguntas:

a. Cuánto va a medir el ancho de la caja al recortarle los cuadrados en cada

esquina:___________

b. Cuánto va a medir el largo de la caja al recortarle los cuadrados en cada

esquina:___________

c. Con los resultados anteriores, plantear la ecuación matemática para el volumen

de la caja en función de "x"

V(x) = _____________________

d. Obtener los puntos críticos de la función volumen

e. Utilizar el criterio de la primera derivada para obtener el valor de "x" con el cual

el volumen es máximo

f. Dar la respuesta al problema:

Dimensiones de la caja con volumen máximo:

Ancho: ___________

Largo: ____________

Alto: ____________

Reflexión final:

6. Compara los resultados matemáticos con la información de la tabla en el inciso c,

¿alguno de los integrantes del equipo obtuvo el volumen máximo?, ¿fue el mismo

valor para todos?, ¿a qué creen que se deba lo anterior?

Deben responder a las preguntas planteadas, pues son evidencia de comprensión del proceso

de solución.

Ejercicio I. Utiliza las fórmulas básicas para resolver las siguientes integrales indefinidas.



1. 2.

3. 4.

5. 6.

En las siguientes integrales primero transforma la función del integrando para que quede como

una función potencia y después integra.

7.

8.

Ejercicio II. Utiliza las propiedades y fórmulas básicas para resolver las siguientes integrales

1.

2.

3.

Ejercicio III. Resuelve las siguientes integrales compuestas

1.

2.

3.



Ejercicio IV. Resuelve con integración por partes, responde a las preguntas planteadas

1. Resuelve la integral

Primero debes determinar la fórmula o método que vas utilizar, para ello observa el integrando

y contesta a la siguiente pregunta:

¿Cumple con alguno de los casos para aplicar la técnica de integración por partes?,

¿Con cuál?

Si la integral se resuelve por medio de integración por partes, entonces utiliza las siglas LATE

para seleccionar u y dv.

u = _____________ dv = _____________

deriva u Integra dv

du = ____________ v = _____________

Por último utiliza la fórmula para integrar por partes.




¿Cumple con alguno de los casos para aplicar la técnica de integración por partes?, ¿con

cuál?



u = _____________ dv = _____________

deriva u Integra dv

du = ____________ v = _____________





¿Cumple con alguno de los casos para aplicar la técnica de integración por partes?, ¿con

cuál?





u = _____________ dv = _____________

deriva u Integra dv

du = ____________ v = _____________


Actividad 5: ¿Integral compuesta o por partes

Instrucciones:

1. Lee el tema de integración por partes y responde a las siguientes preguntas

a. ¿Cuándo se utiliza el método de integración por partes?

b. ¿Cuál es la fórmula para integrar por partes?

c. ¿Cómo decides la selección de "u" y "dv" en el método de integración por

partes?

d. Describe brevemente el proceso de solución en una integral que ya identificaste

que se debe resolver con integración por partes:

2. En el foro comparte los resultados de la parte individual con tu equipo para estar

seguros que todos comprenden el tema. Si las respuestas son diferentes lleguen a

un consenso de las respuestas correctas para que avancen en la solución de los

ejercicios.

3. En la siguiente tabla identifiquen si la integral se resuelve con integración por

partes o con fórmula compuesta, deben justificar su respuesta; si es por partes

indiquen quién es u, du, dv y v. Compartan resultados por medio del foro.

Integral ¿Fórmula

compuesta o

integración por

partes?

Justifica la

respuesta anterior

Si es por partes,

contesten lo siguiente:

1.

u =____________

du =___________ dv =

__________

v = ___________

2.

u = ___________

du =___________ dv =

__________

v = ___________




3.

u = ___________

du =___________ dv =

__________

v = ___________

4.

u = ___________

du =___________ dv =

__________

v = ___________

4. En equipo resuelvan los siguientes ejercicios, deben responder a las preguntas

planteadas, pues es el proceso de reflexión al resolver el problema:

a. Resuelvan la integral

Primero deben determinar la fórmula o método que van utilizar, para ello

observen el integrando y contesten a la siguiente pregunta:

¿Cumple con alguno de los casos para aplicar la técnica de integración por

partes?, ¿con cuál?

Si la integral se resuelve por medio de integración por partes, entonces utilicen

las siglas LATE para seleccionar u y determinar dv.

u = _____________ dv = _____________

deriva u Integra dv

du = ____________ v = _____________

Por último utilicen la fórmula para integrar por partes y den la respuesta de la

integral:

b. Resuelvan la integral

Primero deben determinar la fórmula o método que van utilizar, para ello

observen el integrando y contesten a la siguiente pregunta:

¿Cumple con alguno de los casos para aplicar la técnica de integración por

partes?, ¿con cuál?

Si la integral se resuelve por medio de integración por partes, entonces utilicen

las siglas LATE para seleccionar u y determinar dv.

u = _____________ dv = _____________

deriva u Integra dv

du = ____________ v = _____________



Por último utilicen la fórmula para integrar por partes y den la respuesta de la

integral:

Responde las siguientes preguntas y realiza las siguientes actividades.

Ejercicios:

I. Utiliza sustitución trigonométrica para resolver la integral

1.

Dibuja el triángulo que vas a utilizar: Encuentra las sustituciones: x= _____________________ dx=_____________________

= _____________________________

Utiliza las sustituciones para cambiar la integral a una integral con funciones trigonométricas:

¿Cómo queda expresada la integral? ______________________________

Resuélvela con las fórmulas anteriores:

F( x ) = _____________________________________________

1.

Dibuja el triángulo que vas a utilizar:

Encuentra las sustituciones:

x= _____________________

dx=_____________________

= _____________________________

Utiliza las sustituciones para cambiar la integral a una integral con funciones trigonométricas:



F( x ) = _____________________________________________



II. Utiliza el método de fracciones parciales para resolver las siguientes integrales

1.

1º Factoriza el denominador para identificar qué tipo de factores son:___________________

2º Escribe la función como la suma de fracciones parciales.

3º Encuentra el valor de las constantes A, B, C, D, etc. y resuelve la integral.

Nota: si el grado de los polinomios P y Q son iguales o se cumple que grado P > grado Q,

entonces de debe efectuar la división de polinomio y después utilizar fracciones parciales, por

ejemplo: 2. Efectúa la división de polinomio

1º Factoriza el denominador para identificar qué tipo de factores son:___________________

2º Escribe la función como la suma de fracciones parciales

3º Encuentra el valor de las constantes A, B, C, D, etc. y resuelve la integral.

Actividad 6: Otras técnicas para integrar

Instrucciones:

Lee el tema de integración por sustitución trigonométrica e integración por fracciones parciales

y responde a las siguientes preguntas

1. ¿Cuándo se utiliza el método de integración por sustitución trigonométrica?

_______________________________

2. Describe brevemente el proceso de solución en una integral que ya identificaste que

se debe resolver con integración por sustitución trigonométrica:

_______________________________________________________

_______________________________________________________

3. ¿Cuándo se utiliza el método de integración por fracciones parciales?

_______________________________

4. Describe brevemente el proceso de solución en una integral que ya identificaste que

se debe resolver con integración por fracciones parciales:

_______________________________________________________

_______________________________________________________

Trabaja con tu equipo para resolver la siguiente actividad:




1º A través del foro comparen los resultados de la parte individual para estar seguros

que todos comprenden el tema. Si las respuestas son diferentes lleguen a un consenso

de las respuestas correctas para que avancen en la solución de los ejercicios en

equipo.

2º Reflexión: respondan a las siguientes preguntas planteadas con respecto a la

integral dada, compartan los resultados por medio del foro:

a. La integral ¿se puede resolver con fórmulas compuestas?_________

Justifiquen su respuesta, intenten resolverla, y si la respuesta es no, escriban por qué

no se puede.

___________________________________________________

___________________________________________________

b. La integral ¿Se puede resolver con integración por partes?_________


no se puede.

___________________________________________________

___________________________________________________

3º Respondan a las siguientes preguntas planteadas con respecto a la integral dada,

compartan los resultados por medio del foro:

a. La integral ¿Se puede resolver con fórmulas compuestas?________


no se puede.

___________________________________________________

___________________________________________________

b. La integral ¿Se puede resolver con integración por partes?________


no se puede.

___________________________________________________

___________________________________________________



Reporte final: esta es la parte que enviarás a tu profesor

1. ¿Con qué método o fórmula se resuelve la integral ?

Resuélvela dando respuesta a las preguntas planteadas:

Dibuja el triángulo que vas a utilizar:

Encuentra las sustituciones:

x= _____________________

dx=_____________________

= _____________________________

Utiliza las sustituciones para cambiar la integral a una integral con funciones

trigonométricas:



2. ¿Con qué método o fórmula se resuelve la integral ?

Resuélvela dando respuesta a las preguntas planteadas.

1º Factoriza el denominador:_________________________

¿Qué tipo de factores son?______________________________

2º Escribe como queda expresada la suma de fracciones parciales

3º Utilizando álgebra, encuentra el valor de las constantes A, B, C, etc. y resuelve la

integral.

1. Responde a las siguientes preguntas

¿Qué representan los resultados de las siguientes integrales?

a.

b.

c. Sugerencia: puedes utilizar alguna representación gráfica o numérica para que

comprendas mejor su significado.



3. Obtener el valor de la integral definida usando el teorema fundamental del cálculo.

Responde a las preguntas planteadas.

a.

¿Se puede obtener la antiderivada con las fórmulas anteriores? (básica, compuesta o por

partes), ¿con qué fórmula se resuelve la integral?

3. Aplicar la fórmula y obtener F(x)

4. Aplicar el teorema fundamental para obtener el valor de la integral definida.












Búsqueda de información sobre modelo logístico:

Parte 1

Suponiendo que la población mundial sigue un modelo logístico, busca información de la



ecuación diferencial que representa la razón de cambio de esta población y responde a las

preguntas (utiliza Biblioteca Digital para asegurar que son fuentes confiables. Incluye las

fuentes consultadas):

1. ¿Para qué se utiliza el modelo logístico?

_______________________________________________

2. Escribe la ecuación logística e indica lo que representan sus variables:

Ecuación:________________________________

Variables:

________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

Parte 2

a. Busca información en Internet para profundizar más en las investigaciones de Frank

Fenner, escribe un resumen de tu lectura.

_________________________________________________

_________________________________________________

_________________________________________________

_________________________________________________

b. ¿Cuál es la máxima población que la tierra puede alimentar con una agricultura de alta

tecnología? ___________________

c. ¿Cuál es la población mundial en el año 2000? __________________

d. ¿Cuál es la población mundial en el año 2010? __________________

Parte 3

Para determinar la veracidad de la afirmación de Frank Fenner toma en cuenta los resultados

anteriores, parte 1 y 2. Resuelve el siguiente problema:

Si la población mundial sigue un modelo logístico, plantear y resolver la ecuación que la

representa y utilizarla para determinar: ¿Dentro de cuántos años la población mundial será de

29,000 millones de personas?

Reflexión:

¿Dentro de cuántos años la población será de 29,000 millones de personas?

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