examen del segundo departamental fundamentos matematicos tipo b 2013

P

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son

Vil

la G

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zále

z

20

13

Fu

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en

tos

Ma

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cos

Fundamentos Matemáticos Primer Departamental

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPO:

[email protected]

Fundamentos Matemáticos

Fundamentos Matemáticos Página 2

Nombre: Calificación

Grupo: Fecha:10-04-2013


Instrucciones:

La realización de los ejercicios tiene un peso sobre la calificación del 60%

Problema 1

Traza la siguiente gráfica del sistema de ecuaciones y halle el conjunto solución si la hay

0

2

5

y x

y x

x

Solución

Gráfica del sistema de inecuaciones

Formas Alternativas

Soluciones



Soluciones Reales

Numero de soluciones reales 24

Problema 2

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por Gauss- Jordán

2 3 3

3 2 13

3 2 4

4 3 0

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

Solución

Solve the following system:

-w + 2 x - y + 3 z � -3

w + 3 x + 2 y - z � 13

-2 w + x - 3 y + z � -4

3 w - x + y + 4 z � 0

Choose an equation and a variable to solve for.

In the second equation, look to solve for w:

-w + 2 x - y + 3 z � -3

w + 3 x + 2 y - z � 13

-2 w + x - 3 y + z � -4

3 w - x + y + 4 z � 0

Solve for w.

Subtract 3 x + 2 y - z from both sides:

-w + 2 x - y + 3 z � -3

w � 13 - 3 x - 2 y + z

-2 w + x - 3 y + z � -4

3 w - x + y + 4 z � 0

Perform a substitution.

Substitute w � -3 x - 2 y + z + 13 into the first, third and fourth equations:

5 x + y + 2 z - 13 � -3

w � -3 x - 2 y + z + 13

-2 H-3 x - 2 y + z + 13L + x - 3 y + z � -4

3 H-3 x - 2 y + z + 13L - x + y + 4 z � 0

Expand the left hand side of the equation

x + z - 3 y - 2 H13 + z - 3 x - 2 yL � -4.

x - 3 y + z - 2 H13 - 3 x - 2 y + zL �

H6 x + 4 y - 2 z - 26L + x - 3 y + z � 7 x + y - z - 26:

5 x + y + 2 z - 13 � -3

w � -3 x - 2 y + z + 13

7 x + y - z - 26 � -4

3 H-3 x - 2 y + z + 13L - x + y + 4 z � 0


y - x + 3 H13 + z - 3 x - 2 yL + 4 z � 0.

y - x + 4 z + 3 H13 - 3 x - 2 y + zL �

H-9 x - 6 y + 3 z + 39L - x + y + 4 z � -10 x - 5 y + 7 z + 39:

5 x + y + 2 z - 13 � -3

w � -3 x - 2 y + z + 13

7 x + y - z - 26 � -4

-10 x - 5 y + 7 z + 39 � 0


In the third equation, look to solve for y:

5 x + y + 2 z - 13 � -3

w � -3 x - 2 y + z + 13

7 x + y - z - 26 � -4

-10 x - 5 y + 7 z + 39 � 0

Solve for y.

Subtract 7 x - z - 26 from both sides:

5 x + y + 2 z - 13 � -3

w � -3 x - 2 y + z + 13

y � 22 - 7 x + z

-10 x - 5 y + 7 z + 39 � 0


Substitute y � -7 x + z + 22 into the first and fourth equations:

-2 x + 3 z + 9 � -3

w � -3 x - 2 y + z + 13

y � -7 x + z + 22

-5 H-7 x + z + 22L - 10 x + 7 z + 39 � 0


39 - 10 x - 5 H22 + z - 7 xL + 7 z � 0.

39 - 10 x + 7 z - 5 H22 - 7 x + zL �

H35 x - 5 z - 110L - 10 x + 7 z + 39 � 25 x + 2 z - 71:

-2 x + 3 z + 9 � -3

w � -3 x - 2 y + z + 13

y � -7 x + z + 22

25 x + 2 z - 71 � 0


In the fourth equation, look to solve for x:

-2 x + 3 z + 9 � -3

w � -3 x - 2 y + z + 13

y � -7 x + z + 22

25 x + 2 z - 71 � 0

Isolate terms with x to the left hand side.

Subtract 2 z - 71 from both sides:

-2 x + 3 z + 9 � -3

w � -3 x - 2 y + z + 13

y � -7 x + z + 22

25 x � 71 - 2 z

Solve for x.

Divide both sides by 25:

-2 x + 3 z + 9 � -3

w � -3 x - 2 y + z + 13

y � -7 x + z + 22

x �

71

25-

2 z

25


Substitute x �

71

25

-

2 z

25

into the first equation:

3 z - 2 I 71

25-

2 z

25M + 9 � -3

w � -3 x - 2 y + z + 13

y � -7 x + z + 22

x �

71

25-

2 z

25


9 - 2

71

25

-

2 z

25

+ 3 z � -3.

9 - 2

71

25

-

2 z

25

+ 3 z � 3 z +

4 z

25

-

142

25

+ 9 �

79 z

25

+

83

25

:

79 z

25+

83

25� -3

w � -3 x - 2 y + z + 13

y � -7 x + z + 22

x �

71

25-

2 z

25


In the first equation, look to solve for z:

79 z

25+

83

25� -3

w � -3 x - 2 y + z + 13

y � -7 x + z + 22

x �

71

25-

2 z

25

Isolate terms with z to the left hand side.

Subtract

83

25

from both sides:

79 z

25� -

158

25

w � -3 x - 2 y + z + 13

y � -7 x + z + 22

x �

71

25-

2 z

25

Solve for z.

Multiply both sides by

25

79

:

z � -2

w � -3 x - 2 y + z + 13

y � -7 x + z + 22

x �

71

25-

2 z

25

Perform a back substitution.

Substitute z � -2 into the second, third and fourth equations:

z � -2

w � -3 x - 2 y + 11

y � 20 - 7 x

x � 3


Substitute x � 3 into the second and third equations:

z � -2

w � 2 - 2 y

y � -1

x � 3


Substitute y � -1 into the second equation:

z � -2

w � 4

y � -1

x � 3

Sort results.

Collect results in alphabetical order:

Answer:

w � 4

x � 3

y � -1

z � -2


-w + 2 x - y + 3 z � -3

w + 3 x + 2 y - z � 13

-2 w + x - 3 y + z � -4

3 w - x + y + 4 z � 0

Express the system in matrix form:

-1 2 -1 3

1 3 2 -1

-2 1 -3 1

3 -1 1 4

w

x

y

z

=

-3

13

-4

0

Write the system in augmented matrix form and use Gaussian elimination:

-1 2 -1 3 -3

1 3 2 -1 13

-2 1 -3 1 -4

3 -1 1 4 0

Swap row 1 with row 4:

3 -1 1 4 0

1 3 2 -1 13

-2 1 -3 1 -4

-1 2 -1 3 -3

Subtract

1

3

´ Hrow 1L from row 2:

3 -1 1 4 0

010

3

5

3-

7

313

-2 1 -3 1 -4

-1 2 -1 3 -3

Multiply row 2 by 3:

3 -1 1 4 0

0 10 5 -7 39

-2 1 -3 1 -4

-1 2 -1 3 -3

Add

2

3

´ Hrow 1L to row 3:

3 -1 1 4 0

0 10 5 -7 39

01

3-

7

3

11

3-4

-1 2 -1 3 -3


3 -1 1 4 0

0 10 5 -7 39

0 1 -7 11 -12

-1 2 -1 3 -3

Add

1

3

´ Hrow 1L to row 4:

3 -1 1 4 0

0 10 5 -7 39

0 1 -7 11 -12

05

3-

2

3

13

3-3


3 -1 1 4 0

0 10 5 -7 39

0 1 -7 11 -12

0 5 -2 13 -9

Subtract

1

10


3 -1 1 4 0

0 10 5 -7 39

0 0 -15

2

117

10-

159

10

0 5 -2 13 -9

Multiply row 3 by

10

3

:

3 -1 1 4 0

0 10 5 -7 39

0 0 -25 39 -53

0 5 -2 13 -9

Subtract

1

2


3 -1 1 4 0

0 10 5 -7 39

0 0 -25 39 -53

0 0 -9

2

33

2-

57

2

Multiply row 4 by

2

3

:

3 -1 1 4 0

0 10 5 -7 39

0 0 -25 39 -53

0 0 -3 11 -19

Subtract

3

25


3 -1 1 4 0

0 10 5 -7 39

0 0 -25 39 -53

0 0 0158

25-

316

25

Multiply row 4 by

25

158

:

3 -1 1 4 0

0 10 5 -7 39

0 0 -25 39 -53

0 0 0 1 -2

Subtract 39 ´ Hrow 4L from row 3:

3 -1 1 4 0

0 10 5 -7 39

0 0 -25 0 25

0 0 0 1 -2

Divide row 3 by -25:

3 -1 1 4 0

0 10 5 -7 39

0 0 1 0 -1

0 0 0 1 -2


3 -1 1 4 0

0 10 0 -7 44

0 0 1 0 -1

0 0 0 1 -2

Add 7 ´ Hrow 4L to row 2:

3 -1 1 4 0

0 10 0 0 30

0 0 1 0 -1

0 0 0 1 -2

Divide row 2 by 10:

3 -1 1 4 0

0 1 0 0 3

0 0 1 0 -1

0 0 0 1 -2

Add row 2 to row 1:

3 0 1 4 3

0 1 0 0 3

0 0 1 0 -1

0 0 0 1 -2

Subtract row 3 from row 1:

3 0 0 4 4

0 1 0 0 3

0 0 1 0 -1

0 0 0 1 -2


3 0 0 0 12

0 1 0 0 3

0 0 1 0 -1

0 0 0 1 -2

Divide row 1 by 3:

1 0 0 0 4

0 1 0 0 3

0 0 1 0 -1

0 0 0 1 -2

Collect results:

Answer:

w � 4

x � 3

y � -1

z � -2


-w + 2 x - y + 3 z � -3 Hequation 1L

w + 3 x + 2 y - z � 13 Hequation 2L

-2 w + x - 3 y + z � -4 Hequation 3L

3 w - x + y + 4 z � 0 Hequation 4L

Swap equation 1 with equation 4:


w + 3 x + 2 y - z � 13 Hequation 2L

-H2 wL + x - 3 y + z � -4 Hequation 3L

-w + 2 x - y + 3 z � -3 Hequation 4L

Subtract

1

3

´ Hequation 1L from equation 2:


0 w +10 x

3+

5 y

3-

7 z

3� 13 Hequation 2L


-w + 2 x - y + 3 z � -3 Hequation 4L

Multiply equation 2 by 3:


0 w +10 x + 5 y - 7 z � 39 Hequation 2L


-w + 2 x - y + 3 z � -3 Hequation 4L

Add

2

3

´ Hequation 1L to equation 3:


0 w +10 x + 5 y - 7 z � 39 Hequation 2L

0 w +x

3-

7 y

3+

11 z

3� -4 Hequation 3L

-w + 2 x - y + 3 z � -3 Hequation 4L



0 w +10 x + 5 y - 7 z � 39 Hequation 2L

0 w +x - 7 y + 11 z � -12 Hequation 3L

-w + 2 x - y + 3 z � -3 Hequation 4L

Add

1

3

´ Hequation 1L to equation 4:


0 w +10 x + 5 y - 7 z � 39 Hequation 2L

0 w +x - 7 y + 11 z � -12 Hequation 3L

0 w +5 x

3-

2 y

3+

13 z

3� -3 Hequation 4L



0 w +10 x + 5 y - 7 z � 39 Hequation 2L

0 w +x - 7 y + 11 z � -12 Hequation 3L

0 w +5 x - 2 y + 13 z � -9 Hequation 4L

Subtract

1

10



0 w +10 x + 5 y - 7 z � 39 Hequation 2L

0 w +0 x -

15 y

2+

117 z

10� -

159

10Hequation 3L

0 w +5 x - 2 y + 13 z � -9 Hequation 4L

Multiply equation 3 by

10

3

:


0 w +10 x + 5 y - 7 z � 39 Hequation 2L

0 w +0 x - 25 y + 39 z � -53 Hequation 3L

0 w +5 x - 2 y + 13 z � -9 Hequation 4L

Subtract

1

2



0 w +10 x + 5 y - 7 z � 39 Hequation 2L

0 w +0 x - 25 y + 39 z � -53 Hequation 3L

0 w +0 x -

9 y

2+

33 z

2� -

57

2Hequation 4L


2

3

:


0 w +10 x + 5 y - 7 z � 39 Hequation 2L

0 w +0 x - 25 y + 39 z � -53 Hequation 3L

0 w +0 x - 3 y + 11 z � -19 Hequation 4L

Subtract

3

25



0 w +10 x + 5 y - 7 z � 39 Hequation 2L

0 w +0 x - 25 y + 39 z � -53 Hequation 3L

0 w +0 x +0 y +158 z

25� -

316

25Hequation 4L


25

158

:


0 w +10 x + 5 y - 7 z � 39 Hequation 2L

0 w +0 x - 25 y + 39 z � -53 Hequation 3L

0 w +0 x +0 y +z � -2 Hequation 4L

Subtract 39 ´ Hequation 4L from equation 3:


0 w +10 x + 5 y - 7 z � 39 Hequation 2L

0 w +0 x - 25 y +0 z � 25 Hequation 3L


Divide equation 3 by -25:


0 w +10 x + 5 y - 7 z � 39 Hequation 2L

0 w +0 x +y +0 z � -1 Hequation 3L




0 w +10 x + 0 y - 7 z � 44 Hequation 2L



Add 7 ´ Hequation 4L to equation 2:


0 w +10 x +0 y +0 z � 30 Hequation 2L



Divide equation 2 by 10:


0 w +x +0 y +0 z � 3 Hequation 2L



Add equation 2 to equation 1:

3 w + 0 x +y + 4 z � 3 Hequation 1L




Subtract equation 3 from equation 1:

3 w + 0 x +0 y +4 z � 4 Hequation 1L





3 w +0 x +0 y +0 z � 12 Hequation 1L




Divide equation 1 by 3:

w +0 x +0 y +0 z � 4 Hequation 1L




Collect results:

Answer:

w � 4

x � 3

y � -1

z � -2



Problema 3

Resuelva por fracciones parciales lo siguiente

3 2

2

4 4 4 2

2 1

x x x

x x

Solución

Realizando primero la división polinomica tenemos

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

3

2 2 2

2

2

2

2 2 2

2

1 ( 1) ( 1)1 1 1

2 ( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1)1 1

2 ( 1)( 2 1) ( 2 1)

( 2 1)( 1) ( 2 1

2

)

22 2

x x A B C D

x x xx x x

x x A x x B x C x x D x

x xx x

x x A x x x B x x

C x x x D x x

Ax AxAAx x Ax BA Bxx x

2

2

2

2

3

2

3

2

2 ( ) ( ) ( 2 2 )

2 2

B

C D

x x x A C x A B C D x A

Cx

Cx CCx

B C D

A B

x DCx

x

x x

C

D

D

Tendríamos 2 ecuaciones las cuales son las siguientes

0

2

2 2 1

0

A C

A B C D

A B C D

A B C D

Por lo tanto



1 3 1 1, , ,

2 4 2 4A B C D

La descomposición en fracciones parciales seria la siguiente

2

2 2 2 2

2 1 3 1 1

2 1 2( 1) 4( 1)1 1 4 1

x x

x x xx x x

Problema 4

Resuelva por Cramer el siguiente sistema ecuaciones

3 0

5 3

2 1

x y

y z

x z

Solución

Calculando el

1 3 0

0 1 5 29

2 0 1

Calculando el determinante 1

0 3 0

3 1 5 6

1 0 1

Ahora calculamos el valor de la variable x

1

0 3 0

3 1 5

1 0 1 6 6

1 3 0 29 29

0 1 5

2 0 1

x




1 0 0

0 3 5 2

2 1 1

Ahora calculamos el valor de la variable y

2

1 0 0

0 3 5

2 1 1 2 2

1 3 0 29 29

0 1 5

2 0 1

y


1 3 0

0 1 3 19

2 0 1

Ahora calculamos el valor de la variable z

3

1 3 0

0 1 3

2 0 1 17 17

1 3 0 29 29

0 1 5

2 0 1

z

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