Números ComplejosIsrael Ortega

Juan Pablo ChambaFabián Andrés Ochoa

Números ComplejosUn numero complejo es cualquier numero que puede escribirse en la forma

a + bi,

Donde a y b son números reales. El numero real a es la parte real, el numero real b es la parte imaginaria y a + bi es la forma estándar

= -1

Dos números complejos son iguales si, y solo si sus partes reales e imaginarias son iguales. Por ejemplo

X + yi = 2 + 5i si, solo si x = 2 y y= 5

Operaciones con números complejos Si a + bi y c + di son dos números complejos entonces:

• Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + ( b + d)i• Resta: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + ( b - d)i• Producto por escalar: r(a, b) = (ra, rb)• Multiplicacion: (a,b) . (c,d) = (ac – bd,ad + bc)• Division: = =

Ejercicios:• (7 – 3i) + (4 + 5i) donde z1= 7-3i z2= 4+5i• (2 – i) - (8 + 3i) donde z1= 2- i z2 = 8 + 3i• (2 + 3i) . (5- i ) donde z1= 2 + 3i z2 = 5-i• donde z1 = 5 + i z2= 2-3i

Representación Gráfica de Números Complejos

Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar como puntos de una recta, (la recta de los números reales).

Pero, a los Números Complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los números complejos). Esto se debe a que un número complejo en forma binómica queda determinado por un par de números reales: su parte real, y su parte imaginaria, . De esta manera, el par representa las coordenadas de un punto del plano. Podemos destacar que esta interpretación de los números complejos (considerarlos puntos en un plano) se debe a Gauss y a Hamilton.

Y es precisamente en ese plano que podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos, donde al eje X, lo llamaremos eje real, y al eje Y, eje imaginario.

Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (x,y). Cuando representamos un número complejo de esta forma decimos que está en forma cartesiana.También se suele representar al número complejo mediante un vector de origen y extremo .Veamos algunos ejemplos concretos:

Actividad 

 Dados los siguientes números complejos: z1 =–1+2i ;  z2 =–2–3i; 

z3 =4–1i ;  z4 =–5 ;  z5 =3i;

   Represéntalos en el plano complejo:

Solución

Valor Absoluto de un Número Complejo

• También llamado módulo de un número complejo. El módulo de un número complejo z = x + yi, denotado como |z|, se define como (x2+y2)1/2.

• Es la distancia entre el origen y el punto que representa al número complejo.

Ejemplos:El valor absoluto de 3 + 4i  (32 + 42)1/2 = 5.Calcular los siguientes ejemplos:• Valor absoluto de 5 + 6i• Valor absoluto de 2 + 8i

Notación de Euler

En 1748 Leonhard Euler propuso la siguiente formula;

Equivalencia en forma polar a exponencial;

Z = |Z|

Z = |Z|

Operaciones en forma exponencial de Euler;

sean para: Z1 = |Z1| Z2 = |Z2|

• Multiplicación:• División:• Potenciación

Ejemplos:

1 2