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Departamento de Física y Química Teórica
Facultad de Química, UNAM
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Tabla de contenido
Práctica 1. Ley de Hooke y movimiento armónico simple ........................................................................... 2
Práctica 2. El péndulo simple ................................................................................................................................... 4
Práctica 3. Fenómenos ondulatorios en una cuba de ondas ....................................................................... 8
Práctica 4. Leyes de reflexión y refracción de la luz .................................................................................... 11
Práctica 5. Índice de refracción de líquidos .................................................................................................... 13
Práctica 6. Interferencia de Young ..................................................................................................................... 16
Práctica 7. La polarización de la luz ................................................................................................................... 19
Prácticas optativas .................................................................................................................................................... 22
Optativa 1. Determinación de la constante de Planck ................................................................................ 22
Optativa 2. Óptica sin lentes .................................................................................................................................. 24
Taller de simetría ....................................................................................................................................................... 26
I. Grupos puntuales, elementos y operaciones de simetría ...................................................................... 26
Taller de simetría molecular ................................................................................................................................. 32
II. Algunas implicaciones de la simetría ........................................................................................................... 32
Taller de simetría molecular ................................................................................................................................. 37
III. Tablas de caracteres .......................................................................................................................................... 37
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Práctica 1. Ley de Hooke y movimiento armónico simple
Fuente: Manual de prácticas para fundamentos de espectroscopía. Proyecto PAPIME PE10110.
Editor: Ivonne Rosales Chávez
Introducción
Algunos materiales se estiran cuando se les aplica una fuerza, tal es el caso de un resorte o de
una liga; sin embargo, no en todos los materiales elásticos el estiramiento es proporcional a la
fuerza. Cuando la proporcionalidad se cumple para un material, el movimiento, puede
describirse clásicamente como un oscilador armónico simple, cuya ecuación puede expresarse
como:
d2x
dt2+
k
mx = 0 (Ec. 1)
donde la literal k corresponde a la constante de restitución del resorte y m a la masa acoplada
al mismo. Debido al ángulo de fase 𝜙, la solución a esta ecuación puede expresarse en términos
de funciones seno o coseno.
x = xm cos(ωt + ϕ) (Ec. 2)
Cuyo término xm es la máxima amplitud de desplazamiento u oscilación, 𝜔 es la frecuencia
angular igual a 𝜔 = √k/m. Dado que esta función se repite después de un lapso de tiempo 2π
/𝜔 definido como el periodo T en el que realiza una oscilación, éste puede definirse como:
𝑇 =2π
ω= 2π√
m
k (Ec. 3)
Por lo que éste depende de la masa acoplada al resorte.
Cabe mencionar que las vibraciones de las moléculas al analizarse por espectroscopía infrarroja
pueden describirse a través de un movimiento armónico simple. En el caso más simple de una
molécula diatómica, ésta se puede modelar como dos masas (una de mayor peso que la otra)
unidas por un resorte cuya oscilación será generada por una perturbación en el sistema.
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Procedimiento
Establezca un sistema como el que se muestra en la figura 1, a fin de efectuar las mediciones de
elongación del resorte producida por cada masa acoplada (De acuerdo a la ley de Hooke) y
periodo de oscilación del mismo utilizando 10
diferentes masas. Consideré una amplitud de oscilación
pequeña para minimizar los efectos de torsión del
resorte durante su elongación. Recuerde que esta dicha
fuerza adicional produce efectos que no se han
considerado en la deducción del movimiento armónico
simple (Ec. 2).
Utilice al menos, 10 masas distintas para efectuar la
medición de la elongación y posteriormente periodo de
oscilación del resorte. Para la medición del periodo de
oscilación del resorte realice al menos, 15 mediciones
del periodo para asociar al periodo una incertidumbre
tipo A con la estadística suficiente.
Tratamiento de datos
Realizar una gráfica de fuerza F (N) versus elongación x (cm) y determinar la constante de
restitución mediante un ajuste de mínimos cuadrados.
Construir una gráfica de período T(s) versus masa m (Kg) y determinar si es una relación
lineal o no. Analizar la dependencia descrita en la teoría. Establezcer el mecanismo por el
cual puede linearizarse la gráfica. Una vez que se ha linealizado la gráfica, realizar un ajuste
por mínimos cuadrados a fin de obtener la constante de fuerza.
Comparar los métodos por los que se ha obtenido la constante de restitución del resorte y
comentar al respecto.
Referencias
1. Robert Resnick, David Halliday, Kenneth S. Krane. Physics. John Wiley & Sons, Inc. Volumen
1, Cuarta Edición. 1992. p. 318.
2. Paul A. Tipler. Física. Tomo I, Segunda Edición. Editorial Reverte, S.A. 1991, p. 379.
3. Joseph Christensen, An improved calculation of the mass for the resonant spring pendulum,
Am. J. Phys. 72 (6), June 2004, p. 818
4. Ernesto E. Galloni and Mario Kohen, Influence of the mass of the spring on its static and
dynamic effects, Am. J. Phys. 47 (12), December 1979, p. 1076
5. Eduardo E. Rodríguez, Gabriel A. Gesnouin, Effective Mass of an Oscillating Spring, The
Physics Teacher, Vol. 45, February 2007, p. 100
m
Figura 1. Sistema masa-resorte
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Práctica 2. El péndulo simple
Fuente: Manual de prácticas para fundamentos de espectroscopía. Proyecto PAPIME PE101106.
Editor: María Teresa Flores Martínez
Introducción
Un ejemplo importante del movimiento periódico es el del péndulo simple. Si el ángulo formado
por la cuerda con la vertical no es demasiado grande, el movimiento de la lenteja del péndulo
es armónico simple.
Figura 1. Conjunto de fuerzas que actúan en un péndulo simple.
Considérese un objeto de masa m situado en el extremo de una cuerda de longitud L, como se
ve en la figura 1. Las fuerzas que actúan sobre el objeto son la de la gravedad mg⃗ y la tensión
T⃗⃗ de la cuerda. La fuerza tangencial es −mg⃗ senθ y está en el sentido en el que disminuye el
ángulo . Sea s la longitud de arco medido desde el punto inferior del arco. La longitud del arco
está relacionada con el ángulo medido desde la vertical por:
s = Lθ (Ec. 1)
Donde la aceleración tangencial es d2s/dt2. La componente tangencial de ∑𝐹 = 𝑚𝑎 es ∑F =
−mg⃗ sen θ = md2s
dt2
O sea
d2s
dt2= −g⃗ senθ = −g⃗ sen (
s
L) (Ec. 2)
Si s « L, el ángulo = s/L es pequeño y puede aproximarse sen ⋍ . Utilizando sen(s/L) ⋍ s/L
en la ecuación (2) se obtiene:
5
d2s
dt2= −g⃗
s
L (Ec. 3)
Se ve que en el caso de ángulos pequeños para los cuales la aproximación sen ⋍ es válida, la
aceleración es proporcional al desplazamiento. El movimiento del péndulo es armónico simple
para desplazamientos pequeños. Si se escribe 2 en lugar de g/L, la ecuación (3) se transforma
en:
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2= −𝜔2𝑠 (Ec. 4)
La solución de esta ecuación es:
s = s0 cos(ωt + φ) (Ec. 5)
En donde s0 es el desplazamiento máximo medido a lo largo del arco de circunferencia. El
periodo del movimiento es
T = 2π
ω= 2π√
L
g (Ec. 6)
El movimiento de un péndulo simple es armónico simple sólo si el desplazamiento angular es
pequeño de modo que sen ⋍ . El movimiento de un péndulo simple en el caso de ángulos
grandes no es armónico simple. Sin embargo, el movimiento es periódico aunque el periodo ya
no sea independiente de la amplitud, como en el caso del movimiento armónico simple.
Cuando se tienen ángulos de oscilación grandes se sabe que sen <. La fuerza que acelera a la
masa hacia el equilibrio tiene por valor mg⃗ senθ; este valor es menor que mg⃗ cosθ, que
produciría el movimiento armónico simple. Así pues la aceleración con ángulos grandes es
menor que la que se presentaría en el caso del movimiento armónico simple y el periodo resulta
ligeramente más largo. Omitiendo los detalles matemáticos y considerando ángulos de
oscilación grandes, el periodo puede expresarse como:
T = T0 [1 +1
22sen2 (
θ0
2) + ⋯
1
22sen4 (
θ0
2) + ⋯] (Ec. 7)
En donde 0 es el desplazamiento angular máximo y T0 = 2 (L/g)1/2 es el periodo
correspondiente al límite de ángulos pequeños.
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Procedimiento
Construya un péndulo simple para realizar las mediciones, como se muestra en la figura 2. Aquí
se utilizará una fotocompuerta electrónica que hará la función de medición del periodo de
oscilación del péndulo. Aunque en la gráfica no se muestra, es conveniente utilizar un péndulo
bifilar para mantener al péndulo oscilando en un plano y no se impacte sobre la fotocompuerta
electrónica.
Para efectos de comparación entre los resultados experimentales y las predicciones de la teoría
conviene iniciar las mediciones con ángulos en el intervalo de 5° a 60°, aproximadamente, en
pasos de 5°. Es conveniente realizar, al menos, 10 mediciones del periodo en cada ángulo
elegido para obtener datos suficientes para la determinación de la incertidumbre tipo A en el
periodo.
Utilice tres longitudes distintas para el péndulo (se sugiere L= 0.8 m, 1.0 m y 1.2 m) y en cada
caso registre, al menos, 15 parejas de valores (, T) para hacer una comparación con la teoría y
también comparaciones entre datos experimentales en una misma gráfica.
Considere que al efectuar las mediciones correspondientes a = 5° razón por la cual se sugirió
el intervalo angular, se está haciendo la aproximación para ángulo pequeño, y se tiene que el
periodo se comporta según la ecuación (6); dicho periodo es el que corresponde a T0 en la
ecuación (7). Tenga presente que este valor de T0 es diferente para cada longitud del péndulo.
Como puede verse en la ecuación (7), resulta difícil hacer un ajuste por mínimos cuadrados, por
lo cual en esta práctica bastar con efectuar las comparaciones entre los datos experimentales y
los resultados que predice la mencionada ecuación. Es posible hacer otro tipo de ajustes como
la interpolación mediante splines cúbicos o interpolación de Lagrange, pero dichos métodos
numéricos están fuera del alcance de este curso, razón por la cual es suficiente hacer sólo
comparaciones gráficas.
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Figura 2. Arreglo experimental para determinar el periodo de oscilación de un
péndulo simple.
Tratamiento de datos
Construya una gráfica de período, T(s-1) versus el ángulo de oscilación, θ (°) y determine si
es una relación lineal o no.
Realice una gráfica del periodo T (s-1) versus la longitud de la cuerda, L (m) y determine si
es una relación lineal o no. Analice la dependencia descrita en la teoría. Establezca el
mecanismo por el cual puede linearizar la gráfica.
Determinar el valor de la aceleración gravitacional.
Referencias
1. Paul A. Tipler. Física. Segunda edición, Tomo I, Editorial Reverté, S. A., 1991, p. 387-393.
2. Marcelo Alonso, Edward J. Finn, Física, Volumen I, Mecánica. Addison-Wesley
Iberoamericana, S. A., 1986, p. 366-369.
3. Salvador Gil, Eduardo Rodríguez. Física re-Creativa, Prentice Hall, 2001, p. 341-342.
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Práctica 3. Fenómenos ondulatorios en una cuba de ondas
Autor: Ernesto Ladrón de Guevara Reyes.
Editor: Ernesto Ladrón de Guevara Reyes
Introducción
Una lente, es un sistema que consiste en dos (o más) superficies refractoras, donde al menos
una es curva. Las lentes se encuentran su mayor aplicación en la óptica en la cual se usan para
determinar propiedades de la luz. Sin embargo, aunque en la óptica tienen su mayor utilidad no
son las lentes exclusivas de ella, así, existen lentes para microondas, ondas superficiales, ondas
de radio, etc. El estudio de las lentes se remonta a la época de Ptolomeo, ya que los griegos
conocían la magnificación (o aumento de los objetos) al ser vistos a través de esferas de vidrio
llenas de agua. Así como las lentes uno de los elementos ópticos que se conoce desde hace miles
de años son los espejos. Un espejo es más sencillo que una lente, su uso se basa en que con él se
puede reflejar una onda. Así como las lentes existen espejos para todo tipo de ondas, desde los
rayos X hasta las olas de mar, por ejemplo. Cabe resaltar que para conformar un espejo
únicamente se necesita de una superficie y para un lente se necesitan mínimo dos superficies
Tanto las lentes como los espejos tienen clasificaciones, para el caso de las lentes tenemos:
lentes convexas y lentes cóncavas. Y para los espejos se tienen convexos, cóncavos y planos.
Las lentes convexas tiene la propiedad de ser convergentes, esto es, de hacer que un haz de
ondas se concentre en un punto después de pasar por la lente. Las lentes convexas o
convergentes se clasifican principalmente en tres tipos: biconvexas, planoconvexas y concavo-
convexas.
Procedimiento
El primer paso de la práctica es nivelar la cuba de ondas, como se muestra en la figura 1, para
determinar el número Af. Primero colocar el pliego de papel e iluminar el área de trabajo
colocando la lámpara al centro de donde se requiere. Después se coloca el modelo de lente (o
espejo) en el centro, de tal forma que las ondas incidan paralelamente al eje transversal de la
lente, la lente queda cercana al perturbador y debe cubrirse con la barrera la zona exterior de
la lente, para evitar que el paso de ondas a la región de análisis como se muestra en la figura 2.
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Figura 1. Alineamiento de la cuba de ondas.
Figura 2. Arreglo experimental con ondas planas.
Primero se tiene que generar un tren de ondas planas, para determinar el punto de
convergencia del tren al pasar por el lente. Se debe encontrar una frecuencia a la cual el proceso
se vea con claridad. Se determina la longitud de onda antes y después de la lente para sacar el
índice de refracción relativo; posteriormente, se localiza el punto de convergencia y se
determina su distancia desde el centro o eje.
El segundo consiste en colocar la lente a la distancia determinada en el punto anterior, y en ese
paso hacer incidir ondas circulares sobre el lente.
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Tratamiento de datos
Comprender la acción de una lente.
Determinar la distancia focal de la lente.
Calcular el índice de refracción del medio y explicar de qué depende.
Comprender la acción de un espejo
Determinar las características del fenómeno de la reflexión
Se necesita determinar la longitud de onda a partir de fotografías tomadas al pliego de papel
cuando las ondas pasen a través del lente. A su vez, se debe determinar la distancia focal del
lente. Según la ecuación de la lente delgada. En el segundo paso, determinar qué pasa con
la distancia de convergencia del lente al hacer pasar ondas circulares a la distancia focal.
¿Cómo se llama el fenómeno que realiza el lente?
Para complementar los resultados obtenido y completar el análisis de recomienda que el
alumno revise la ley de refracción y la ecuación de los lentes delgados. A su vez el siguiente
cuestionario será útil para el análisis.
¿Explicar por qué se estima que el origen de emisión de ondas planas está situado en el
infinito? ¿Qué significa el hecho de que al pasar ondas planas por un lente convergen en un
punto y si por otro lado, al pasar ondas circulares (en el punto de convergencia) y en la
misma lente se transforman en ondas planas?
Referencias
1. Manual de Cuba de Ondas. Centro de Instrumentos UNAM. 1994.
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Práctica 4. Leyes de reflexión y refracción de la luz
Fuente: Manual de prácticas para fundamentos de espectroscopía. Proyecto PAPIME PE101106.
Editor: Elizabeth Hernández Marín
Introducción
Cuando un haz de luz incide, a un ángulo Ө1 con respecto a la normal de una superficie que
separa dos medios, parte de la misma se transmite y parte se refleja como se observa
esquemáticamente en la figura 1. En cada uno de los medios, la luz se propaga con velocidades
diferentes.
Figura 1. Reflexión y refracción de la luz.
Como puede observarse, la fracción que se transmite a través de un medio con índice de
refracción n ’, experimenta una desviación con respecto a la dirección del haz incidente y se
transmite entonces a un ángulo Ө3 con respecto a la normal. A este fenómeno se le conoce como
refracción. Por otra parte, la fracción que se refleja lo hace a un ángulo Ө2 que se localiza en el
cuadrante opuesto al del ángulo de incidencia.
En este experimento se pretende establecer relaciones entre los ángulos de incidencia, reflexión
y refracción, de tal manera que sea posible efectuar predicciones al respecto.
Procedimiento
Utilizando una “D” como en la figura 2, haga incidir un haz de luz, de preferencia el de un láser,
con distintos ángulos de incidencia, empezando con -90° y terminando con 90° con respecto a
la normal al lado plano de la “D”, con incrementos de 5°. Para cada ángulo de incidencia mida
tanto el ángulo de reflexión como el de refracción.
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Figura 2. Dispositivo experimental
Tratamiento de datos
Construir una tabla en la que la variable independiente sea el ángulo de incidencia y la
variable dependiente sea el ángulo de reflexión en un caso y el de refracción en otro.
Construir una gráfica con los valores obtenidos para la reflexión de la luz, y otra gráfica para
los datos correspondientes a la refracción.
Construir una tabla en la que la variable independiente sea la función trigonométrica seno
de theta el ángulo de incidencia y la variable dependiente sea la función seno (el ángulo de
reflexión) en un caso y seno (refracción) en otro.
A partir de las gráficas anteriores, establezcer las relaciones matemáticas que relacionen al
ángulo de reflexión como función del ángulo de incidencia y al ángulo de refracción también
como función del ángulo de incidencia.
Utilizando el método de los mínimos cuadrados, determinar el índice de refracción
correspondiente al material del que está hecho la “D”.
A partir del índice de refracción obtenido, indicar el posible material del que está hecha la
“D”
Actividad adicional (opcional)
Haciendo incidir la luz de un láser sobre la parte curva de la “D”, determinar el ángulo crítico
para el cual se presenta la reflexión total interna dentro del material que se está analizando.
Estas mediciones requieren de mucho cuidado para determinar apropiadamente el ángulo
crítico, ya que no resulta tan fácil distinguir en qué momento se presenta la reflexión total
interna.
Referencias
2. Eugene Hetch, Alfred Zajac. Óptica. Fondo Educativo Interamericano, S. A., 1977, p. 64-105.
3. David Halliday, Robert Resnick, Kenneth S. Krane. Physics, Volume 2, John Wiley & Sons,
Inc., 1992, p. 904-909.
4. Salvador Gil, Eduardo Rodríguez. Física re-Creativa, Prentice Hall, 2001, p. 193-194.
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Práctica 5. Índice de refracción de líquidos
Autor(es): Ivonne Rosales Chávez, Elisa Collado Fregoso.
Editor: Ivonne Rosales Chávez, Ricardo Alfaro Fuentes
Introducción
El espectro de ondas electromagnéticas abarca una amplia gama de energías que van desde
ondas poco energéticas como las de radio, hasta ondas de alta energía como los rayos gamma.
El estudio del comportamiento y propiedades de una pequeña porción del espectro, la luz
visible, se lleva a cabo por la óptica. En un principio la óptica realizaba el estudio de algunos de
los fenómenos de la luz como la reflexión y refracción a través de modelos geométricos. En
dichos modelos la óptica geométrica describe la trayectoria de la luz como un rayo que se
propaga en línea recta, describiendo los fenómenos de reflexión y refracción de la luz como un
rayo el que al chocar con una superficie rebota o cambia de dirección al atravesar la superficie.
El siguiente diagrama describe la reflexión de la luz, en
donde la línea DH corresponde a la perpendicular a la
superficie AC en el punto B. En tanto que theta ()
corresponde al ángulo entre el rayo incidente EB y la
perpendicular DB y theta prima (‘) al rayo reflejado BF. En
el caso de la reflexión el ángulo equivale al ángulo ‘(Ley
de la reflexión).
Para el fenómeno de la refracción su trayectoria se describe
por el cambio de dirección del rayo incidente EB, al pasar la
superficie cuyo ángulo phi (ϕ) corresponde a la inclinación
del rayo BG, siendo este menor que .
La desviación de la luz al pasar del medio aire al agua (o de
cualquier otra sustancia líquida) se puede calcular por
medio de la ley de Snell al medir el ángulo de reflexión y
refracción de la sustancia (agua). La ley de Snell se basa en la propiedad de un material, índice
de refracción (n) de los materiales por los que pasa el rayo de luz.
La ley de Snell establece la relación entre el rayo incidente y el rayo refractado:
Senθ
Senϕ=
v1
v1=
n1
n1 (𝐸𝑐. 1)
donde θ es el ángulo incidente, ϕ el ángulo refractado, v1 y v2 la velocidad de la luz en los
materiales o medios, y n1 y n2 los índices de refracción de éstos. No obstante, la ley de Snell
considera la medición de los ángulos del rayo incidente y refractado para la determinación del
índice de refracción es posible calcular éste sólo considerando una serie de mediciones de
longitud y una aproximación de ángulo pequeño como lo refiere Newburgh et al.
Figura 1. Geometría de la
reflexión y refracción
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La determinación del índice de refracción constituye una herramienta sencilla de identificación
de algunos materiales solidos o líquidos por medio de la trayectoria de un haz de luz que pasa
a través de éstos.
Procedimiento
Colocar la fuente de luz (láser) en la posición E tal como se muestra en el esquema de la
figura 2.
Antes de colocar la cuba, determinar el ángulo con respecto al eje vertical D (procurar que
no sea mayor de 15), para ello utilizar un transportador y tomar como centro el punto
donde se incide la luz del láser con la mesa para determinar los grados del ángulo,
recordando que con la relación de ángulos internos-externos el ángulo evaluado
corresponde a .
Una vez hecha esta medición colocar la cuba vacía procurando que el láser pase por tres
cuartos de la parte superior de la cuba, punto B, para ello auxiliarse con una tarjeta blanca
alineada con uno de los lados y marcar en el borde de la cuba para medir la distancia (d).
Sin mover el recipiente y con mucho cuidado llenarlo con agua hasta el borde y medir la
profundidad (h). Cada una de las mediciones, se deben de hacer por triplicado. ¡MUCHO
CUIDADO AL MONTAR EL LÁSER!
Figura 2. Esquema del sistema para la medición de alturas de un contenedor sin (F) y con
agua (G) al incidir una fuente de luz.
Tratamiento de datos
Determinar el ángulo ϕ usando una relación trigonométrica adecuada.
Una vez teniendo los dos ángulos usar la relación de Snell para obtener el índice de
refracción del agua.
Referencias
1. Gerald Rottman. The geometry of light. Galileo´s telescope, Kepler´s optics. Publicado por
Gerald Rottman, Baltimore, Maryland. 2008, p. 9-10.
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2. Ronald Newburgh, Using the small-angle approximation to measure the index of refraction
of water, The Physics Teacher. 38 (2000) p. 478-479.
3. Nanoprofessor. Introducción a ciencia y tecnología de nanoescala. NanoInk, Inc. 2011, p. 96.
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Práctica 6. Interferencia de Young
Fuente: Manual de prácticas para fundamentos de espectroscopía. Proyecto PAPIME PE101106.
Editor: Elizabeth Hernández Marín, Ivonne Rosales Chávez
Introducción
El principio de propagación rectilínea de la luz ha sido fundamental para la descripción de los
fenómenos analizados en la óptica geométrica; gracias a ese principio se ha podido reemplazar
las ondas luminosas con los rayos que representan las direcciones de propagación de los frentes
de onda y obtener relaciones sencillas que dan cuenta, con buena aproximación, del
comportamiento de algunos sistemas ópticos.
Sin embargo, ya desde el siglo XVII Grimaldi había observado que la luz tenía la capacidad de
bordear obstáculos de la misma forma como lo hacen las ondas que se propagan sobre la
superficie de un estanque; este hecho contradecía el principio de propagación rectilínea y
reforzaba la teoría acerca de la naturaleza ondulatoria de la luz.
Thomas Young, en el año 1803, realizó el primer experimento típicamente ondulatorio al
producir el fenómeno de interferencia entre las ondas generadas en dos rendijas.
Procedimiento
Interferencia producida por una rendija.
a. Hacer incidir luz procedente de una fuente puntual monocromática, sobre una rendija.
b. Colocar una pantalla paralela a la rendija, en donde se formará una franja iluminada que
puede interpretarse como la proyección geométrica de la rendija.
c. Variar el ancho de la rendija, de más amplia a más estrecha, de tal forma que pueda observar
los cambios que se producen en la serie de franjas que se proyectan en la pantalla. (El ancho
de la franja de mayor intensidad del patrón de difracción, disminuye según la ranura se haga
más estrecha).
d. Localizar el ancho de la ranura (muy estrecha), en donde la zona de iluminación se amplía
en lugar de disminuir, éste fenómeno es el llamado difracción y evidencia que la luz no se
propaga en forma rectilínea.
e. Determinar el ancho de la ranura en que ocurre la difracción.
f. Realizar la medición del ancho de la franja más intensa a diez distancias de la pantalla a la
rendija.
Interferencia producida por dos rendijas.
a. Hacer incidir luz procedente de una fuente puntual monocromática, sobre dos rendijas (S1
y S2) las cuales deben tener anchos iguales.
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b. Colocar una pantalla (P) paralela a las dos rejillas, lo suficientemente alejada de las rendijas,
figura 1.
Figura 1. Interferencia producida por dos rendijas, el punto indica la fuente de luz
monocromática, en tanto que S1 y S2 corresponden a las rendijas (Slits).
a) Medir la distancia entre los extremos más separados de las rendijas S1 y S2, y la distancia de
separación entre las rendijas y la pantalla (D), así como la distancia del centro de la pantalla
al punto (x), Figura 2.
Figura 2. Dos ondas que se superponen en el punto P viajando en líneas de propagación
paralelas.
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Los caminos ópticos recorridos por las ondas paralelas generadas en las rendijas S1 y S2 para
llegar al punto P son, respectivamente, r1 y r2. La diferencia de fase depende únicamente de la
diferencia de caminos ópticos, o sea, la distancia entre S2 y el punto M, que puede estimarse
como: |r2 - r1| = S2M = d (Sen Ө), en dónde Ө es el ángulo entre el eje óptico del sistema, FO, y
la línea FP paralela a las trayectorias de las ondas, bajo ciertas condiciones, sen Ө ≅ tan Ө = x /
D.
b) Realizar las mediciones de: d, D y x, para diferentes puntos brillantes.
c) Realizar las mediciones de: d, D y x, para diferentes puntos oscuros.
d) Medir el ancho de la franja más brillante para diferentes distancias de D.
Tratamiento de datos
Interferencia producida por una rendija.
– Compare el ancho de la ranura con de la longitud de onda de la luz incidente.
– Realice una gráfica distancia rendija-pantalla versus ancho de la franja más intensa.
Interferencia producida por dos rendijas.
A partir de los valores de d, D y X para puntos brillantes y oscuros, determine las diferencias de
caminos ópticos para los diferentes puntos. ¿Qué relación existe entre las diferencias de
caminos ópticos y el tipo de interferencia que observa?
Referencias
1. Eugene Hetch, Alfred Zajac. Óptica. Fondo Educativo Interamericano, S. A., 1977, p. 64-105
2. David Halliday, Robert Resnick, Kenneth S. Krane. Physics, Volume 2, John Wiley & Sons,
Inc., 1992, p. 904-909.
3. Salvador Gil, Eduardo Rodríguez. Física re-Creativa, Prentice Hall, 2001, p. 193-194.
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Práctica 7. La polarización de la luz
Autor(es): Marcelo Francisco Lugo Licona
Editor: Ivonne Rosales Chávez
Introducción
Los polarizadores para ondas electromagnéticas tienen determinadas características de diseño,
según la longitud de onda de que se trate. En el caso de microondas con una longitud de onda
de unos pocos centímetros un buen polarizador es una serie de alambres conductores paralelos
muy próximos entre sí y aislados unos de otros. Los electrones tienen libertad de movimiento
a lo largo de los alambres conductores, y se mueven en respuesta a una onda cuyo campo E⃗⃗ es
paralelo a los alambres. Las corrientes resultantes en los alambres disipan energía por
calentamiento de I2R, En consecuencia, una onda que atraviese un filtro de esta naturaleza
quedará polarizada principalmente en la dirección perpendicular a los alambres [1].
El filtro polarizador más común para la luz visible es un material conocido por su nombre
comercial de Polaroid, el cual se utiliza extensamente en fabricación de lentes de Sol y filtros
polarizadores para lentes fotográficos.
Inventado originalmente por el científico estadounidense Edwin H. Land, este material contiene
sustancias que presentan dicroísmo, una absorción selectiva en la que uno los componentes
polarizados se absorbe mucho más intensamente que el otro. Un filtro Polaroid transmite el
80% o más de la intensidad de las ondas polarizadas paralelamente a cierto eje del material,
conocido como eje de polarización, pero sólo el 1% o menos de las ondas polarizadas
perpendicularmente a este eje. En cierto tipo de filtro Polaroid, unas moléculas de cadena larga
contenidas el filtro están orientadas con su eje perpendicular al eje de polarización; estas
moléculas absorben preferentemente la luz que está polarizada a lo largo de ellas, de forma
muy parecida a los alambres conductores de un filtro polarizador para microondas [1, p. 1263].
Procedimiento
En esta práctica, se usará la luz proveniente de la pantalla de una computadora portátil como
fuente de luz ya polarizada, ver el diseño del sistema en la figura 1.
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Utilizar una computadora portátil y
ajustar el brillo a la máxima intensidad y el
máximo contraste (leer el manual de la
computadora para lograrlo). Como primer
ejercicio, utilizar cualquier programa (un
editor de texto o de imágenes puede ser
apropiado) de la computadora que
presente alguna región de la pantalla en
“blanco”.
Con el sensor de luz light sensor [2]
conectado a una interfase colectora de
datos Vernier Lab Pro [3] y ésta a una
computadora en la que tenga instalado el
programa Logger Pro 3.4.6 [3] para la
detección de la luz, colocar el detector en diferentes partes dela región en “blanco” sobre la
pantalla (procurar hacer la menor presión posible con el detector sobre la pantalla de la
computadora sobre la que se hará el análisis pues podría dañarla), ver la figura 2. Observar y
anotar el valor registrado por el detector en cada sitio en el que ha colocado la sonda de
detección.
A continuación interponer un filtro
polarizante entre la pantalla de la
computadora y el sensor de luz, registrar el
valor mostrado por el sensor y hacer una
rotación en el polarizador (se sugiere hacer la
rotación cada 5°), ver las figuras 3.
Figura 1. Arreglo experimental para efectuarlas mediciones del estado de polarización de la luz proveniente de la pantalla una computadora portátil
Figura 2. Se coloca el sensor de luz sobre la pantalla de la computadora, procurando evitar la entrada de luz de otras fuentes
21
Figura 3. (A) Entre la pantalla de la
computadora y el sensor de luz se interpone
un filtro polarizante o polarizador para
verificar el estado de la polarización de la
luz emitida por la computadora. (B) Al rotar
el polarizador se pueden observar los
cambios en la intensidad de la luz
transmitida a través del mismo.
En la figura 4 se muestra una sección de la pantalla
en la que aparece el valor de la intensidad luminosa
registrada por el sensor de luz.
Figura 4. En la parte inferior izquierda de la
fotografía puede verse la lectura de una de las
mediciones hechas con el sensor de luz. También
puede apreciarse parte de la pantalla del programa
activo con el que se registran las mediciones.
Tratamiento de datos
Analizar los datos obtenidos, trazare una gráfica y escribir las conclusiones correspondientes.
Referencias
1. Física Universitaria con Física Moderna, Sears, Zemansky, Young, Pearson Education Inc.
2. Vernier, usa un fotodiodo de silicio Hamamatsu 1133.
3. Introduction to Molecular Spectroscopy, G. M. Barrow, McGraw-Hill Book Company, Inc.,
1962, p. 61-82.
4. Wave Phenomena, Dudley H. Towne, Dover Publications, Inc. New York, 1967, p. 196-197.
5. Óptica, E. Hetch, A. Zajac, Fondo Educativo Interamericano, S. A., 1977, p. 44, 45, 91, 95, 485.
6. Ondris-Crawford R., Crawford G. P., Doane J. W., “Liquid Crystals, the phase of the future”,
Phys. Teach. 30, 332 (1992).
7. Fakhruddin H., “Some Activities with Polarized Light from a Laptop LCD Screen”, Phys.
Teach. 46, 229 (2008)
8. Ciferno T. M., Ondris-Crawford R. J., Crawford G. P., “Inexpensive Electro optic experiments
on Liquid Crystals Displays”, Phys. Teach. 33, 104 (1995).
(A) (B)
22
Prácticas optativas
Optativa 1. Determinación de la constante de Planck
Autor(es): Walls Pérez, Xavier, Jiménez López, Cristina
Editor: Ivonne Rosales Chávez
Introducción
Uno de los conceptos más estudiados y menos comprendidos en la historia de la ciencia ha sido
la luz. El estudio de la misma se remonta a los estudios de Isaac Newton y Christiaan Huygens
para determinar el comportamiento de la luz como onda o partícula. Sin embargo no fue hasta
los inicios de la mecánica cuántica que pudo determinarse la dualidad onda-partícula de la luz.
Los principales aportes a este descubrimiento se atribuyen a Max Planck al proponer la
ecuación de Planck, ecuación básica para la realización de la teoría cuántica y otras grandes
teorías, entre ellas el efecto fotoeléctrico, teoría descrita posteriormente por Albert Einstein.
Desde la formulación de la Ecuación de Planck toda la física posterior es llamada física moderna.
La ecuación de Planck resulta ser un concepto fundamental para la física, ya que esta estableció
el comportamiento cuántico de la luz. Para poder comprender esta ecuación es fundamental
conocer al agente principal de esta ecuación, que es la constante que lleva su nombre, es decir,
la constante de Planck.
Material
Fuente de poder
Cables banana-banana
Caimanes
Resistencia eléctrica
Multimedidor
Lámpara de luz halogenada
LED de color (se recomienda el uso de LEDs transparentes que emiten luz de color)
Computadora
Espectrofotómetro de película de difracción (será construido a partir de distintos
materiales de acuerdo al espectrofotómetro seleccionado)
Consultas recomendadas para la construcción del espectrofotómetro:
– http://makezine.com/projects/high-res-spectrograph/
– http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast161/Unit4/HandSpec/
– http://old.publiclab.org/sites/default/files/8.5x11mini-spec3.8.pdf
– http://old.publiclab.org/sites/default/files/desktop-kit-instructions-0.4.pdf
23
Procedimiento
Para realizar este experimento y encontrar un valor para la constante de Planck armar el
siguiente sistema que se presenta en la figura 1, al cual se incorporará el multimedidor para
determinar la diferencia de potencial eléctrico.
Figura 1. Circuito eléctrico para la determinación de la constante de Planck.
Medir la diferencia de potencial eléctrico necesaria para encender el LED. Manteniendo la
diferencia de potencial eléctrico constante, se utilizará el espectrofotómetro construido para
medir la longitud de onda de la luz emitida por el LED. Para un correcto funcionamiento del
espectrofotómetro se recomienda utilizar el programa de recopilación de datos en:
http://spectralworkbench.org/
Tratamiento de datos
Determinar la energía eléctrica del sistema a partir de la diferencia de potencial eléctrico.
E = e∆V (Ec. 1)
Dónde 𝐸 representa la energía eléctrica, 𝑒 representa a la carga del electrón y Δ𝑉 representa
la diferencia de potencial eléctrico.
Determinar la frecuencia de la onda de luz a partir de la velocidad de la luz:
c = λ𝑓 (Ec. 2)
Dónde 𝑐 representa a la velocidad de la luz en el vacío, 𝜆 representa la longitud de onda y 𝑓
representa la frecuencia de onda.
Establecer la relación entre la energía eléctrica y la frecuencia de onda de la luz del LED con
lo cual es posible determinar la constante de Planck.
E = h𝑓 (Ec. 3)
Dónde 𝐸 representa la energía, ℎ representa a la constante de Planck y 𝑓 representa la
frecuencia de onda.
Referencias
1. The physics of vibrations and waves, Sextaedición, Pain, H.J. Wiley & Sons, 2005, p. 367-376.
2. Vibraciones y Ondas, Segundaedición, French, A.P. Massachusetts Institute of Technology:
MIT, 2002, p. 324-335.
24
Optativa 2. Óptica sin lentes
Autor(es): Ernesto Ladrón de Guevara.
Editor: Ivonne Rosales Chávez
Introducción
La distancia focal de una lente o de un espejo depende de su curvatura y del índice de difracción
del medio (para el caso de la lente). De esta manera se utilizará una lente plana convexa para
tomar fotos de objetos pequeños y determinar el poder magnificador de la lente al tomar fotos
de un objeto de tamaño conocido.
Material
Teléfono celular
Pizeta de agua
Jeringa
Rejilla de difracción
Soporte universal
Pinzas
Procedimiento Experimental
Se deberá montar el teléfono celular sobre un soporte que permita manipularlo y que la cámara
fotográfica se encuentre hacia arriba. Se le pondrá una gota de agua sobre la cámara fotográfica
y se buscará la distancia ideal a la cual las imágenes están enfocadas.
La cámara se deberá configurar con sensibilidad a la automática a la luz y en los siguientes dos
estados:
al mínimo aumento,
al máximo aumento.
Solo se deberá utilizar una sola resolución, de preferencia menor a 2 megapíxeles, para que las
imágenes sean fáciles de manipular.
Sobre un vernier se deberán poner 3 ó más muestras pequeñas pegada a la escala de pulgadas,
y se deberán tomar imágenes en foco de las muestras.
Para calibrar los aumentos de una lente se deberá tomar la foto de una rejilla de difracción. A
su vez, para conocer la separación entre las barras de la rejilla se deberá medir el patrón de
difracción con un láser (de longitud de onda conocida) y se deberá determinar la separación
que tiene cada línea de la rejilla por medio de la ley de difracción.
25
Demostración en el laboratorio.
A través de una gota (de agua de la llave) que cuelga de la punta de una jeringa, hacer pasar un
láser verde por la gota y proyectar imagen en una hoja blanca. Explique de qué depende la
magnificación que se observa en la pantalla.
Tratamiento de datos
El alumno deberá reportar:
Las imágenes tomadas por su cámara de varios objetos pequeños.
Las imágenes de una rejilla de difracción que le será entregada por el profesor.
La imagen del patrón de difracción de la rejilla proyectada sobre una superficie oscura.
El análisis del patrón de difracción que indique la separación de cada elemento de rejilla,
tabulado y con las incertidumbres del instrumento con el cual se determinó.
Sobre la imagen de la rejilla se deberá dibujar (in silico) una barra o cuadro del tamaño de
la separación, esta barra se debe copiar a las demás imágenes para determinar la
amplificación del lente.
26
Taller de simetría
I. Grupos puntuales, elementos y operaciones de simetría
Introducción
La simetría molecular es útil en la clasificación de moléculas, para simplificar cálculos de
mecánica molecular, determinar la presencia de ciertas propiedades moleculares tales como
polaridad y quiralidad, etc. La importancia de la simetría se hará evidente en cursos más
avanzados que contemplan tópicos tales como cristalografía de rayos X, la derivación de las
reglas de selección para diversas espectroscopías, entre otros.
Este taller no pretende ser una revisión detallada de los principios que rigen el estudio de la
simetría molecular, sino una introducción a algunos de los conceptos relevantes.
Luego de una exposición de los conceptos que se desea introducir, se incluyen ejercicios a
resolver durante la clase.
En esta sesión serán introducidos los conceptos básicos de simetría molecular.
I. Definición de grupo
Sea G un conjunto no vacío y "⦁" empleado para expresar una operación binaria en G. Entonces
G es un grupo bajo "⦁" sí y sólo sí se cumple lo siguiente:
i) Hay cerradura.
Para todo elemento gi y gj que pertenecen al conjunto, el producto de la operación gi ⦁ gj
también es un elemento del conjunto.
ii) Hay asociatividad.
Para todo elemento gi, gj, y gk que pertenecen al conjunto se cumple que:
gi ⦁ (gj ⦁ gk) = (gi ⦁ gj)⦁ gk
iii) Existe el elemento identidad o idéntico expresado con el símbolo "e" tal que:
gi ⦁ e = e ⦁ gi =gi
iv) Existe el inverso (gi-1) de cada elemento gi tal que:
(gi-1) ⦁ gi = e
donde gi-1 también debe pertenecer al conjunto.
Ejemplo. Sea el conjunto C = {1, -1}. Su tabla de “multiplicar” es entonces:
27
⦁ 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1
Notar que se cumple la cerradura porque todos los elementos de la tabla pertenecen al
conjunto C.
Adicionalmente, en este ejemplo, el elemento identidad es el número 1 porque:
1 ⦁ 1 = 1
1 ⦁ -1 = -1 ⦁ 1 = -1
También, cada número es su propio inverso:
-1 ⦁ -1 = 1
1 ⦁ 1 = 1
EJERCICIO 1
1. Sea A un conjunto tal que A = {1, eiπ}. Recordar que e±iϴ = cos(ϴ)± isen(ϴ).
(a) Llene la siguiente tabla
⦁ 1 eiπ 1
eiπ
(b) Indique si el conjunto C es o no un grupo. Justifique la respuesta. En caso de que sea un
grupo, indique el elemento identidad y los inversos de cada elemento.
2. Sea C el conjunto de los colores primarios, C = {verde, rojo, azul}.
(a) Llene la siguiente tabla
⦁ verde rojo azul verde rojo azul
(b) Indique si el conjunto C es o no un grupo. Justifique la respuesta. En caso de que sea un
grupo, indique el elemento identidad y los inversos de cada elemento.
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II. Elementos y operaciones de simetría Un elemento de simetría es una entidad geométrica tal como un punto, un plano o una línea con respecto al cual se llevan a cabo las operaciones de simetría. Una operación de simetría implica 'transformar' un objeto en el espacio, de tal forma que la apariencia de dicho objeto es indistinguible de la estructura original. La correspondencia entre los elementos y operaciones de simetría se muestra en la siguiente tabla:
Elemento Operación
- identidad (e)
punto inversión (i)
línea (eje) rotación (Cn)
plano reflexión o imagen (σ)
III. Operaciones de simetría (a) Identidad (e)
Consiste en la realización de ninguna acción.
(b) Rotación (Cn)
Esta operación se lleva a cabo alrededor de un eje de rotación. El objeto es rotado un ángulo de 2π/n radianes (n es un entero). Por ejemplo, para una molécula de agua la rotación es 2π/2 = π radianes o 180°.
Algunas moléculas tienen más de un eje de rotación, por ejemplo en la molécula que se muestra a continuación existe un eje C4 y otro C2 perpendicular a C4. La convención dicta que el eje principal con el valor mayor de n sea designado como el eje principal. En este ejemplo, el eje C4 es el eje principal.
29
Existen casos en que una molécula contiene más de una rotación sobre un eje. Por ejemplo, la molécula cuadrada plana XeF4 tiene un eje C4 que atraviesa al átomo de Xe y que es perpendicular al plano de la molécula. Si se llevan a cabo dos rotaciones consecutivas de 90°, es decir (C4)2 = C4 ⦁ C4, el equivalente sería realizar una rotación de 180º alrededor del mismo eje. De este modo, el eje C2 coincide con el eje C4.
En las moléculas diatómicas se puede realizar una rotación para cualquier valor de ángulo a través del eje internuclear. Este eje se llama C∞ y es el eje de rotación principal.
(c) Reflexión a través de un plano (σ)
Una reflexión se lleva a cabo en un plano de simetría (algunas veces llamado plano espejo). Los planos de reflexión pueden contener ejes de rotación o ser perpendiculares a un eje de rotación. Cuando un plano es perpendicular al eje principal, dicho plano se designa con el símbolo σh. Cuando un plano contiene al eje de rotación principal, dicho plano se denota como σv. De este modo, un σv se considera paralelo al eje de rotación.
Un caso especial es el plano diedral, denotado con σd. Este plano es paralelo al eje principal y bisecta el ángulo entre dos ejes C2 que son perpendiculares al eje principal.
(d) Inversión (i)
La inversión ocurre a través del centro de simetría, i. La operación de inversión transforma un punto (x,y,z) de la molécula en otro punto (-x,-y,-z). Notar por ejemplo que el agua no posee un centro de inversión, mientras que el XeF4 sí lo tiene.
30
(e) Rotaciones impropias (Sn)
Una rotación impropia consiste en la aplicación de dos operaciones sucesivas: 1) Una rotación de 2π/n radianes alrededor de un eje (llamado eje Sn) y 2) una reflexión en un plano que es perpendicular a Sn. En el ejemplo anterior el eje de rotación no es necesariamente un eje Cn de la molécula. (Notar que un rotación de 90° por sí sola no da como resultado a la molécula original). Entonces, la reflexión en un plano que pasa a través del carbono central, es necesaria para completar la operación de simetría.
IV. Grupos puntuales Un conjunto de operaciones de simetría particulares para una molécula cumple con los 'requisitos' para formar un grupo. De acuerdo a las operaciones de simetría contenidas en el grupo, es posible obtener una gran variedad de grupos. Las moléculas son clasificadas de acuerdo a los elementos de simetría que poseen (es decir, de acuerdo al grupo al que pertenecen). Existen dos sistemas de notación: el sistema Schoenflies (en el cual un grupo puntual es llamado, por ejemplo C4v y el sistema Hermann-Mauguin que se usa más en cristalografía.
EJERCICIO 2 Se le proporcionarán 5 moléculas, determine su grupo puntual siguiendo la nomenclatura de Schoenflies. Utilice el diagrama de flujo proporcionado en el Anexo 1.
Bibliografía sugerida 1. P. Atkins, J. de Paula, Physical Chemistry, 9a ed. 2010, Freeman and Company. Revisar el
capítulo titulado "Molecular Symmetry" (en esta o en ediciones anteriores).
31
2. F. A. Cotton, Chemical Applications of Group Theory, 1990, Wiley. ANEXO 1. Diagrama de flujo para determinar el grupo puntual de acuerdo a la nomenclatura de Schoenflies.
32
Taller de simetría molecular
II. Algunas implicaciones de la simetría
Polaridad Una molécula polar tiene un dipolo eléctrico permanente, μ, el cual tiene una orientación específica en la molécula. Si una molécula tiene un eje de rotación, entonces el momento dipolar debe encontrarse a lo largo de dicho eje. Esto es porque el momento dipolar no puede cambiar bajo una rotación. Por ejemplo, el momento dipolar de una molécula de agua se encuentra a lo largo de su eje C2:
Si una molécula posee al menos un eje secundario o un plano perpendicular al eje de rotación principal, entonces no puede tener momento dipolar. Lo contrario implicaría que μ debería encontrarse a lo largo de todos los ejes de rotación y sobre todos los planos de reflexión. Esto no puede ocurrir y por lo tanto μ = 0. Por ejemplo, XeF4 tiene un eje principal C4 y un plano secundario C2, perpendicular al principal. Los momentos dipolares individuales a lo largo de cada enlace Xe-F se cancelan unos a otros y el resultado neto es μ = 0.
Siguiendo el mismo razonamiento, si una molécula tiene un centro de inversión entonces no puede tener momento dipolar. Entonces, moléculas cuyo grupo puntual es Oh e Ih no tendrán momento dipolar. Adicionalmente, moléculas bajo el grupo puntual Td tampoco tienen momento dipolar. Quiralidad
Si una molécula es quiral, es ópticamente activa. Una molécula es quiral cuando las imágenes especulares de la molécula no pueden ser superpuestas. Una molécula con rotaciones impropias no es quiral. Notar que la rotación impropia S2 (rotación C2, seguida de una reflexión a través del respectivo plano !h es la operación de inversión. Por lo tanto, si una molécula tiene un centro de inversión, y/o planos de reflexión no puede ser quiral. Moléculas que pertenecen a los grupos puntuales Dnd, Dnh, Td, y Oh no son quirales.
33
EJERCICIO 1 1. Indique si las moléculas que le son asignadas son polares y/o quirales. Justifique usando
argumentos de simetría. 2. Indique si el conjunto C es o no un grupo. Justifique la respuesta. En caso de que sea un
grupo, indique el elemento identidad y los inversos de cada elemento.
Tablas de multiplicación de un grupo
Ya se ha mencionado que un conjunto de operaciones de simetría particulares para una
molécula forma un grupo. El número de elementos en un grupo se define como el orden del
grupo. Frecuentemente, el orden del grupo se denota con el símbolo h.
Por ejemplo, podemos llamar C2v a un conjunto que contiene las operaciones de simetría E, C2,
σ(xz) y σ’(yz), (es decir, la operación identidad, un eje de rotación C2 y dos planos de reflexión
σv). Por lo tanto, el orden del grupo puntual C2v es 4.
La operación de multiplicación dentro de un grupo se denota como A ⦁ B y puede 'leerse' como
"primero se lleva a cabo, sobre la molécula, la operación de simetría B. Enseguida, se realiza la
operación A. El resultado neto de la acción consecutiva es otra operación de simetría. Para
ilustrarlo, tomar al diclorometano orientado como en la siguiente figura:
Siguiendo el diagrama de flujo proporcionado anteriormente, se puede comprobar que al
diclorometano le corresponde el grupo puntual C2v.
La operación identidad, E, deja a la molécula sin cambios.
El eje C2 se encuentra a lo largo del eje-z. La operación C2 transforma la molécula de la siguiente
manera:
Llevar a cabo dos operaciones C2 consecutivas, es equivalente a haber aplicado la identidad:
C2 ⦁ C2 = E.
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La molécula de diclorometano tiene dos planos de reflexión (ambos paralelos al eje C2). Uno de
los planos contiene a los átomos Cl-C-Cl. Llamaremos a este plano σ’(yz). El otro plano será
entonces σ(xz). La aplicación de la operación σ’(yz) intercambia la posición de los 2 hidrógenos
mientras los demás átomos no se mueven. Por otro lado, la operación σ(xz) permuta
únicamente a los átomos de cloro.
Si se aplica dos veces consecutivas la operación σ’(yz), encontramos que es lo mismo que
aplicar la identidad: [σ’(yz)]2 = σ’(yz) ⦁ σ’(yz) = E.
Lo que quiere decir que σ’(yz) es su propio inverso. Lo mismo ocurre con σ(xz).
Ahora, la multiplicación σ’(yz) ⦁ σ(xz) da como resultado:
Este resultado es equivalente a la aplicación de una rotación C2, entonces
σ’(yz) ⦁ σ(xz) = C2
EJERCICIO 2
(a) Muestre, con diagramas como los del ejemplo de arriba, que σ(xz) ⦁ σʼ(yz) = C2.
(b) Encuentre el resultado de la operación σʼ(yz) ⦁ C2:
(c) Utilizando diagramas como los anteriores, encuentre σ(xz) ⦁ C2 .
(d) Encuentre el resultado del producto C2 ⦁ σ(xz).
(e) A partir de los resultados anteriores y realizando las operaciones adicionales necesarias,
construya la tabla de multiplicación para el grupo C2v.
35
Algunas reglas para tener en cuenta:
1. Para la multiplicación, realizar primero la operación sobre la columna y luego la operación
sobre la fila.
2. En una fila o columna no se puede repetir ningún elemento del grupo.
C2v e C2 σ(xz) σʼ(yz) e e C2 C2 σ(xz) σ(xz) σʼ(yz) σʼ(yz)
Nota: La conmutatividad no es una condición necesaria para que un conjunto sea un grupo. Sin
embargo, la conmutatividad se puede cumplir en algunos casos.
El conjunto C2v contiene a la identidad y cumple la cerradura. Para que C2v sea un grupo, es
necesario que cada elemento del grupo tenga su inverso (que debe ser parte del conjunto) y se
debe cumplir también con la asociatividad.
EJERCICIO 3
(a) Recordando que gi-1 ⦁ gi = e, donde gi-1 es el inverso de gi, identifique al inverso de cada
elemento del conjunto C2v. Llene la siguiente tabla:
Operación Inverso e e C2
σ(xz) σʼ(yz)
(b) A partir de la tabla que construyó en el ejercicio 2, compruebe que para las siguientes
operaciones se cumple la asociatividad:
1. C2 ⦁ [σ(xz) ⦁ σ’(yz)] = [C2 ⦁ σ(xz)] ⦁ σ’(yz)
2. [σ(xz) ⦁ σ(xz)] ⦁ σ’(yz) = σ(xz) ⦁ [σ(xz) ⦁ σ’(yz)]
Ejemplo: E ⦁ [C2⦁σ’(yz)] = [E⦁C2]⦁σ’(yz)
lado izquierdo de la igualdad: E⦁[C2⦁σ’(yz)] = E⦁[σ(xz)] = σ(xz)
lado derecho de la igualdad: [E⦁C2]⦁σ’(yz)= [C2]⦁σ’(yz) = σ(xz)
Dado que en el lado derecho e izquierdo de la igualdad se llega al mismo resultado, la igualdad
se demuestra como verdadera.
36
TAREA OPCIONAL. Construya la tabla de multiplicar para el grupo puntual C3v.
La molécula de amoniaco corresponde al grupo puntual C3v. Esta molécula tiene un eje de
rotación C3 y tres planos de reflexión.
Para este ejercicio, se establece la siguiente convención: cada plano de reflexión será etiquetado
de acuerdo a la posición (1,2, o 3) que contenga a dicho plano. Por ejemplo la aplicación del
plano σ1 resulta en:
Notar que las etiquetas 1,2 y 3 no cambian y que el plano σ1 ocasiona el intercambio de los
hidrógenos denominados HB y HC.
Se puede mostrar que cada plano es su propio inverso y que (C3)3 = (C3)2 ⦁ C3 = C3 ⦁ (C3)2 =E,
y por lo tanto (C3)2 ⦁ es el inverso de C3.
Algunos ejemplos para ayudar a completar la tabla de multiplicar:
* C3 ⦁ C3 = (C3)2
*σ2 ⦁ σ3 = C3
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* σ1 ⦁ C3 = σ2
Con la información proporcionada, se puede comenzar a llenar la tabla de multiplicar para C3v.
C3v e C3 (C3)2 σ1 σ2 σ3 e C3 (C3)2 e
(C3)2 σ1 σ2 e σ2 e C3 σ3 e
Algunas reglas para tener en cuenta:
1. La rotación C3 va en contra de las manecillas del reloj.
2. Para la multiplicación, realizar primero la operación sobre la columna y luego la operación
sobre la fila.
3. En una fila o columna no se puede repetir ningún elemento del grupo.
Taller de simetría molecular
III. Tablas de caracteres
Introducción
Cuando una molécula tiene simetría, es posible hacer uso de esa simetría para clasificar a los
orbitales atómicos y moleculares correspondientes. Esto resulta importante para simplificar el
cálculo de algunas propiedades moleculares tales como momentos dipolares. También facilita
la evaluación de reglas de selección para transiciones electrónicas.
La simetría molecular es una herramienta valiosa al clasificar el movimiento vibracional de una
molécula y es útil en la predicción de transiciones vibracionales permitidas.
Las operaciones de simetría estudiadas anteriormente también se pueden aplican a los
orbitales atómicos:
38
Notar que al aplicar una rotación C2 sobre un orbital s, no hay cambio de signo sobre dicha
función.
La misma operación sobre uno de los orbitales p, digamos el py, causa un cambio en el signo
respecto a la función original.
El enlace químico se puede describir en términos de la distribución electrónica sobre los
orbitales de una molécula. Estos orbitales moleculares (OM) pueden ser escritos como una
combinación lineal de orbitales atómicos (CLOA). A continuación se presentan un par de
diagramas de OM para la molécula de H2 y el ión H2+, respectivamente.
De acuerdo a la representación esquemática de arriba, es posible escribir cada uno de los
orbitales moleculares (σ y σ*. No confundir con el símbolo para planos de reflexión) como una
combinación lineal de dos orbitales atómicos 1s centrados en cada uno de los átomos de
hidrógeno.
Denominando a cada uno de los hidrógenos como HA y HB, la combinación de enlace σ es:
ψ = 1/2 (1sA + 1sB)
Mientras que la combinación de antienlace σ* es:
ψ = 1/2 (1sA - 1sB)
La descripción anterior de la distribución electrónica en las moléculas se basa en la teoría del
orbital molecular. Y expresar a los orbitales moleculares como una combinación de orbitales
atómicos es parte del método MO-LCAO (molecular orbital- linear combination of atomic
orbitals).
39
En esta sesión se pretende mostrar cómo el uso de simetría permite derivar y leer tablas de
caracteres que ayudaran en la aplicación del método MO-LCAO.
Transformaciones
En sesiones anteriores se trabajó con las operaciones de simetría (rotaciones, reflexiones, etc.)
sobre los átomos de una molécula. Ahora, a cada uno de los átomos se les asociará un conjunto
de objetos (por ejemplo, orbitales atómicos, o un sistema coordenado) y se estudiará el efecto
de la aplicación de las operaciones de simetría (transformación) sobre esos objetos.
Por ejemplo, agregar un sistema coordenado a cada uno de los átomos en una molécula de SO2
que se localiza sobre el plano yz:
donde xS es el eje-x asociado con el átomo de azufre, xA es el eje-x asociado con el átomo de
oxígeno A, xB es el eje-x asociado con el átomo de oxígeno B, etc.
La molécula de SO2 pertenece al grupo puntual C2v. Dicho grupo contiene 4 elementos, a saber,
las siguientes operaciones de simetría: E, C2, σv(xz) y σv’(yz).
Ahora, considerar el efecto que tiene sobre los ejes coordenados sobre cada átomo, cada uno de
las operaciones del grupo C2v. Es claro que la identidad E deja cada eje coordenado sin cambio.
Para el plano σv’(yz) tenemos lo siguiente:
eje-x Cambio de signo para todos los ejes-x de cada átomo (la coordenada +x pasa a -x).
eje-y No hay cambio de signo para ningún eje de ningún átomo.
eje-z No hay cambio de signo para ningún eje de ningún átomo.
Los resultados pueden escribirse como:
σv’(yz) xS = -xS σv’(yz) yS = yS σv’(yz) zS = zS
σv’(yz) xA = -xA σv’(yz) yA = yA σv’(yz) zA = zA
σv’(yz) xB = -xB σv’(yz) yB = yB σv’(yz) zB = zB
Se podría representar a todas las coordenadas como un vector de 9 componentes y cada
transformación como una matriz de 9x9. Sin embargo, esto puede llegar a ser complicado
40
conforme aumenta el número de átomos. Pero hay que notar que los ejes-x siempre se
transforman a ejes-x, los ejes-y a ejes-y y los ejes-z a ejes-z. Esto reduce entonces la posibilidad
de representar la transformación con matrices de 3x3.
Entonces, para la reflexión debido a σv’(yz) se tiene:
𝜎´𝑉(𝑦𝑧)(𝑥𝑆, 𝑥𝐴 , 𝑥𝐵) = (𝑥𝑆, 𝑥𝐴 , 𝑥𝐵) (−1 0 00 −1 00 0 −1
)
𝜎´𝑉(𝑦𝑧)(𝑦𝑆, 𝑦𝐴 , 𝑦𝐵) = (𝑦𝑆 , 𝑦𝐴 , 𝑦𝐵) (1 0 00 1 00 0 1
)
𝜎´𝑉(𝑦𝑧)(𝑧𝑆, 𝑧𝐴 , 𝑧𝐵) = (𝑧𝑆, 𝑧𝐴 , 𝑧𝐵) (1 0 00 1 00 0 1
)
Se puede ver que cada línea en la matriz representa el valor del signo de la transformación, así
como la posición en el espacio de cada eje.
Ahora, para la rotación C2:
eje-x Cambio de signo para todos los ejes-x de cada átomo.
Notar también que los átomos OB y OA intercambian posiciones.
eje-y Cambio de signo para todos los ejes-y.
Los átomos OB y OA intercambian posiciones.
eje-z No hay cambio de signo para ningún eje-z.
Los átomos OB y OA intercambian posiciones.
Los resultados pueden escribirse como:
C2 xS = -xS C2 yS = -yS C2 zS = zS
C2 xA = -xB C2 yA = -yB C2 zA = zB
C2 xB = -xA C2 yB = -yA C2 zB = zA
41
y en términos de matrices:
𝐶2(𝑥𝑆, 𝑥𝐴 , 𝑥𝐵) = (𝑥𝑆, 𝑥𝐴 , 𝑥𝐵) (−1 0 00 −1 00 0 −1
)
𝐶2(𝑦𝑆, 𝑦𝐴 , 𝑦𝐵) = (𝑦𝑆 , 𝑦𝐴 , 𝑦𝐵) (−1 0 00 0 −10 −1 0
)
𝐶2(𝑧𝑆, 𝑧𝐴 , 𝑧𝐵) = (𝑧𝑆, 𝑧𝐴 , 𝑧𝐵) (1 0 00 0 10 1 0
)
Todas las matrices reflejan tanto el cambio (o no cambio) de signo, como el intercambio de las
posiciones A y B (prestar atención sobre todo en la segunda y tercera líneas de cada matriz).
La transformación de los orbitales px debida al plano σv(xz) queda de la siguiente manera:
𝜎𝑉(𝑥𝑧)(𝑥𝑆, 𝑥𝐴 , 𝑥𝐵) = (𝑥𝑆, 𝑥𝐴 , 𝑥𝐵) (1 0 00 0 10 1 0
)
Nuevamente, las matrices reflejan el cambio de posiciones A y B.
EJERCICIO 1 Escribir las transformaciones a las que son sujetas los orbitales py y pz al aplicar el plano σv(xz). Escriba también las matrices asociadas a dichas transformaciones.
Ahora, considerando todas las transformaciones debidas a las operaciones de simetría para los
orbitales px (xS, xA,xB), se tienen 4 matrices que representan todas las operaciones de simetría
evaluadas anteriormente:
𝐷(𝑒) = (1 0 00 1 00 0 1
) 𝐷(𝐶2) = (−1 0 00 0 −10 −1 0
)
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𝐷(𝜎𝑣 (𝑥𝑧)) = (1 0 00 0 10 1 0
) 𝐷(𝜎′𝑣 (𝑦𝑧)) = (−1 0 00 −1 00 0 −1
)
Las 4 matrices anteriores forman una representación (reducible) del grupo C2v. De hecho, estas
matrices reproducen el efecto de las operaciones de simetría.
Cada conjunto de objetos sobre los átomos (sistema coordenado u orbital atómico) produce
una matriz. Ahora, si colocáramos un orbital px sobre cada átomo se generarían las mismas
matrices que las anotadas anteriormente.
EJERCICIO 2 Escribir las 4 matrices (D(e), D(C2), D(σvʼ(xz)), D(σvʼ(yz)) que representan las transformaciones de los orbitales py sobre cada átomo.
Es posible tener varias representaciones matriciales diferentes, y mientras más elementos tenga el grupo puntual, más matrices son generadas. Entonces, es más sencillo trabajar con una cantidad más invariante -la traza de la matriz-. La traza es la suma de los elementos diagonales de una matriz. Por ejemplo, las trazas de las matrices de la página anterior son:
TrD(E) = 3, TrD(C2) = -1, TrD(σv(xz)) = 1, TrD(σv’(yz)) = -3. La traza de la matriz se llama el carácter de la representación. Entonces, para la representación definida por (xS, xA,xB) se tiene la representación reducible г (es decir, г es un símbolo que denota a una representación reducible):
C2v e C2 σv(xy) σ’v(yz) г 3 -1 1 3
Una ventaja de usar caracteres, es que las trazas de matrices que representan elementos en la misma clase son idénticas. Por ejemplo, en el caso del grupo puntual C3v, se incluyen operaciones del tipo C3 y (C3)2. Estas operaciones pertenecen a la misma clase y entonces se espera que las trazas de sus matrices sean similares. Regresando a las matrices relacionadas con (xS, xA,xB), se observa que dichas matrices pueden ser subdivididas:
𝑫(𝐸) = (1 0 00 1 00 0 1
)
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De este modo, es posible separar 4 matrices de 1x1 para el átomo S y 4 matrices de 2x2 para los átomos de oxígeno OA y OB. Para S: TrD(e) = 1, TrD(C2) = -1, TrD(σv(xz)) = 1, TrD(σv’(yz)) = -1. Para A y B:
𝐷(𝑒) = (1 00 1
) 𝐷(𝐶2) = (0 −1
−1 0 ) 𝐷(𝜎𝑣 (𝑥𝑧)) = (
0 11 0
) 𝐷(𝜎′𝑣 (𝑦𝑧)) = (
−1 00 −1
)
Traza = 2 0 0 -2
Entonces, se ha logrado reducir la representación matricial de 3x3 a una representación
matricial 1-dimensional y una representación 2-dimensional. De este modo la matriz de 3x3 es
una representación reducible. La matriz unidimensional no puede ser simplificada más por lo
que se dice que es una representación irreducible. En la Tabla 1, esta representación irreducible
se presenta con el símbolo Г1.
Tabla 1. Representación reducida Г1.
C2v e C2 σv(xy) σ’v(yz) Г1 1 -1 1 -1 Г2 2 0 0 -2
EJERCICIO 3 Usando las matrices del Ejercicio 1, encontrar los caracteres de las representaciones reducibles para los orbitales py. Llenar la siguiente tabla:
C2v e C2 σv(xy) σ’v(yz) Г Г1 Г2
El número de representaciones irreducibles es igual a número de clases. En el grupo puntual C2v hay 4 clases, una por cada operación de simetría. Por lo tanto en C2v deben existir 4 representaciones irreducibles. Hasta el momento sólo se ha identificado una, con sus caracteres (trazas) asociados. Pero una vez formadas todas las representaciones irreducibles, es posible crear una tabla de caracteres del grupo puntual. La tabla de caracteres de C2v se muestra a continuación:
C2v e C2 σv(xy) σ’v(yz) h=4 A1 1 1 1 1 z x2,y2,z2 A2 1 1 -1 -1 Rz xy B1 1 -1 1 -1 x, Ry xz B2 1 -1 -1 1 Y, Rx yz
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La fila inicial indica el grupo puntual y las operaciones de simetría. La primera columna contiene el nombre de las representaciones irreducibles (4 en este caso). La nomenclatura que se sigue para nombrar a las representaciones irreducibles es la siguiente: A y B se usan para indicar que el caracter de la rotación principal es 1 o -1, respectivamente. Cada representación irreducible es unidimensional porque el caracter de la operación E es 1. Si la traza (el caracter) fuera 2, entonces la representación sería una matriz bidimensional. Si el caracter fuera 3, se tendría una matriz de 3x3. El orden del grupo (h) se encuentra al sumar los cuadrados de los caracteres de cada clase. En las dos últimas columnas se indica qué funciones en un punto fijo son transformadas de acuerdo a la representación irreducible. Por ejemplo, la coordenada x y el orbital px sobre un átomo que queda fijo se transforma como la representación irreducible B1. El producto xy se transforma como A2. Los términos Rx, Ry, Rz se refieren a operadores tales como los del momento angular. Si se compara Г1 de la Tabla 1 con las representaciones irreducibles de la tabla de caracteres para C2v, se puede notar que Г1 corresponde con B1. Esto es porque el átomo S se encuentra en un punto fijo del grupo puntual. También se vio que xA y xB, forman una matriz bidimensional. Esto implica que Г2 en la Tabla 1 es reducible.
EJERCICIO 4 Siguiendo el ejemplo dado en clase, determinar la representación irreducible de la combinación [pxA - pxB].
Se ha visto que para la molécula de SO2, el orbital px del azufre transforma como B1 (Г1, Tabla 1). También se ha visto que existe una combinación lineal de los orbitales px del oxígeno que transforma como B1. Entonces, los orbitales px de azufre y oxígeno se pueden combinar de dos maneras:
a pxS + b(pxA + pxB) -a pxS + b(pxA + pxB)
La primera combinación representa un orbital molecular π de enlace, la segunda combinación es un orbital de antienlace π*.
Algunas aplicaciones
Una aplicación de la teoría de grupos se encuentra en el cálculo de valores esperados y reglas de selección (espectroscopía). Producto directo. Se obtiene al multiplicar los caracteres de cada representación irreducible
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involucrada en el producto. Se encuentra que el resultado del producto A2xB1 es similar a la representación irreducible B2. Por lo tanto A2xB1 = B2.
C2v e C2 σv(xy) σ’v(yz) A1 1 1 -1 -1 B1 1 -1 1 -1
A2xB1 1 -1 -1 1 Estados moleculares. Es posible determinal es estado molecular de un sistema al tomar el producto directo de las representaciones irreducibles de cada orbital molecular ocupado por un electrón. Para capas cerrradas (todos los electrones apareadas), el resultado es la irreducible totalmente simétrica (es decir, aquella cuyos caracteres son todos 1). Por ejemplo, en en grupo puntual C2v, la irreducible totalmente simétrica es la A1. Los estados excitados se obtienen usualmente al excitar uno o más electrones a orbitales vacios. Suponer que en una molécula, un electrón se excita de un orbital π (por ejemplo, la combinación B1 del ejemplo con SO2) a un orbital π* (también B1). Entonces, el estado excitado sería B1xB1 = A1. Valores esperados. Sea O un operador cualquiera. De este modo, una integral (elemento de matriz) se define como <ψ|O|Θ> cuando ψ = Θ se tiene el valor esperado si la función de onda está normalizada. Para que esa integral sea diferente de cero, no debe cambiar ante ninguna operación de simetría. Asumiendo que ψ se transforma como Гψ que también es irreducible, y que O se transfroma como la irreducible Г0 y finalmente ( se transforma como ГΘ. Entonces es posible calcular el producto directo:
Гψ x Г0x ГΘ
Si el resultado es, o contiene a la representación totalmente simétrica, entonces la integral será diferente de cero. Por ejemplo, el operador de momento dipolar μ es
μ = -e (xi + yj + zk) Este operador es relevante para determinar la probabilidad de que ocurra una transición electrónica. En el ejemplo de SO2, el estado basal se transforma como A1, y de acuerdo a la tabla de caracteres, las coordenadas x transforman como B1. Ya se ha calculado que uno de los estados excitados transforma como A1. Para que la transición sea permitida, al menos uno de los productos Гψ x Г0x ГΘ debe ser la irreducible totalmente simétrica.
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Entonces, si se irradia luz polarizada únicamente en la dirección x, se tiene que:
Гψ x Г0x ГΘ = A1 B1 A1 = B1
Por lo tanto, la transición π ⟶ π* con luz polarizada únicamente en la dirección x no es permitida.
EJERCICIO 5 Siguiendo el ejemplo anterior, determine si la transición π ⟶ π* es permitida cuando se irradia con luz polarizada en la dirección y ó z. Es decir, resuelva los siguientes productos:
Гψ Гy ГΘ = Гψ Гz ГΘ =
y determine si en alguno de los dos casos anteriores se obtiene como resultado la representación A1. Recuerde que Гψ = A1 (estado basal), ГΘ = A1 (estado excitado), y que Гy y Гz
(dirección de la luz polarizada) se puede encontrar en la tabla de caracteres.
EJERCICIO 6 Para las 3 vibraciones normales de la molécula de agua (también perteneciente al grupo puntual C2v), determinar la representación irreducible de cada una de dichas vibraciones normales. (Revisar el ejercicio 4)
Nota: Taller de Simetría Molecular, partes I, II y III están basadas principalmente en "Chemistry 373: Quantum Mechanics and Symmetry. Laboratory Manual", Department of Chemistry, University of Calgary, Fall 2007, pags. 17-29.