FUNCIONES TRACENDENTES

ANDRES CAMILO SANTOS OCHOA

FUNDACION UNIVERSITARIA DE SANGIL (UNISANGIL)

INGENIERIA DE SISTEMAS

YOPAL CASANARE

2017

FUNCIONES TRACENDENTES

ANDRES CAMILO SANTOS OCHOA

QUEVIN JOHAN BARRERA

INGENIERO ELECTRONICO

FUNDACION UNIVERSITARIA DE SANGIL (UNISANGIL)

INGENIERIA DE SISTEMAS

YOPAL CASANARE

2017

CONTENIDO

Pag.

1. FUNCIONES TRACENDENTES 5

2. FUNCION TRIGONOMETRICA 6

2.1CONCEPTOS BÁSICOS 62.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA 8

3. FUNCIÓN RECÍPROCA 9

3.1 DEFINICIONES FORMALES 93.2 NOTACIÓN ALTERNATIVA 103.3PROPIEDADES ALGEBRAICAS 10

4. FUNCIÓN EXPONENCIAL 11

4.1 DEFINICIONES 114.2PROPIEDADES 115. FUNCIÓN LOGARÍTMICA 13

5.1 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN LOGARÍTMICA 135.2 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 135.3 ECUACIONES LOGARÍTMICAS 145.4 SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS 14

BIBLIOGRAFIA 16

INTRODUCCION

Calculo diferencial hace parte del análisis matemático ya que consiste en el estudio de como hacen los cambio de funciones cuando sus variable cambian. El principal objeto del estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencia.

El estudio del cambio de una función es de muy especial interés para el cálculo diferencial, en si el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero. Y básicamente el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite.

1. FUNCIONES TRACENDENTES

1 “Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinomica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación. En otras palabras, una función transcendente es una función que trasciende al algebra en el sentido que no se puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación a exponentes constantes reales. Una función de unas variables es transcendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.”

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2. FUNCION TRIGONOMETRICA

2 “En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Figura 1 funciones

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.

2.1 CONCEPTOS BÁSICOS

Figura 2. Identidades trigonométricas fundamentales

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de

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razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el ver seno (1 − cos θ) y la ex secante (sec θ − 1).”

Tabla 1. funcion

2.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA

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Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)

Seno sen, sin

Coseno cos

Tangente tan, tg

Cotangente ctg (cot)

Secante sec

Cosecante csc (cosec)

Figura 3. Representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas

3. FUNCIÓN RECÍPROCA

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3“Una función f y su inversa o reciproca f  -1 como f aplica a en 3, la inversa f  -1

lleva 3 de vuelta en a

En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f  -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f  -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.

Figura 4. Fun

3.1 DEFINICIONES FORMALES

ea f una función real biyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

Entonces:

Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.

Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.

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Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.

Este último punto se usa como definición de función inversa.

3.2 NOTACIÓN ALTERNATIVA

La notación tradicional   puede ser confusa, ya que puede dar a entender  Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número -1

3.3 PROPIEDADES ALGEBRAICAS

La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula:

Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1.

La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:

Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas:”

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4. FUNCIÓN EXPONENCIAL

4“La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

Siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0, a ≠ 1. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

4.1 DEFINICIONES

La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita o bien como un límite de una sucesión. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

O como el límite de la sucesión:

4.2 PROPIEDADES

La función exponencial (y exponencial en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.

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Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

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5. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

5“Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.

5.1 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que:

loga x = b Û ab = x.

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).

5.2 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).

Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.

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En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.

La función logarítmica de la base es siempre igual a 1. Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1

y decreciente para a < 1.

5.3 ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento o como base de un logaritmo, se llama logarítmica.

La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:

loga f (x) = loga g (x)

Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.

También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:

loga f (x) = m

de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual.

5.4 SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:

Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica. Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas. Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación

exponencial.

En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el

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argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.

Forma de las funciones logarítmicas según el valor de la base.”

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BIBLIOGRAFIA

Abramowitz, M. y Stegun, I. A.. Exponential Function. §4.2 en Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 69-71, 1972.

Courant, Richard y Fritz, John. Introducción al cálculo y al análisis matemático Vol.I. Editorial Limusa,1999. ISBN 968-18-0639-5.

Apostol, T. M., Calculus. Tomo I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al Álgebra lineal. Editorial reverte, 2005 ISBN 84-291-5002-1.

Ahlfors, Lars. Complex Analysis: an Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (1953, 1966, 1979) (ISBN 0-07-000657-1)

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