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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones

Combinación de FuncionesTransformaciones

Funciones

Dra. Karen R. Ríos-Soto

Departamento de Ciencias MatemáticasUniversidad de Puerto Rico - Mayaguez

AFAMaC, 6 de septiembre de 2010

Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones

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1 Funciones Crecientes y Decrecientes

2 Otros tipos de funcionesFunción RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto

3 Combinación de FuncionesOperaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones

4 TransformacionesTraslaciones Verticales y HorizonalesReflexión

Definición

DefinitionSea I un intervalo que pertenece al dominio de la función f .Entonces,

f es creciente en un intervalo I si f (b) > f (a) siempre queb > a en I.f es decreciente en un intervalo I si f (b) < f (a) siempreque b > a en I.f es constante en un intervalo I si f (b) = f (a) para todo a yb en I.

Definición

Ejemplo Función Creciente

La función y = 2x + 5 es creciente en los números reales.

Ejemplo Función Decreciente

La función y = −x3 + 1 es decreciente en los números reales.

Ejemplo 1

Hallar los intervalos donde la función es creciente odecreciente.

Función RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto

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Definición y Ejemplo Función Recíproca

Definition

Una función recíproca para f (x) es definida de la forma 1f (x)

siempre que f (x) 6= 0.

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Función por Partes

DefinitionUna función definida a trozos es aquella cuya expresióncontiene más de una fórmula para distintos valores del dominio.

Ejemplos de la vida real:

Enviar paquetes por correo dependiendo del peso, elorigen y el destino.Población de alguna ciudad como función del tiempo.

Función por Partes

Ejemplo de una Función por Partes

Ejemplo 2

Grafique las siguientes funciones a trozos.

a. f (x) =

{−x si x < 02 si x ≥ 0

b. f (x) =

x2 si x ≤ −1x si − 1 < x ≤ 12 si x > 1

Ejemplo 2

Grafique las siguientes funciones a trozos.

a. f (x) =

{−x si x < 02 si x ≥ 0

b. f (x) =

x2 si x ≤ −1x si − 1 < x ≤ 12 si x > 1

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Radicales con Varibles

La función valor absoluto es un ejemplo de una función atrozos.

DefinitionLa función valor absoluto está definida como

f (x) = |x | =

{−x si x < 0x si x ≥ 0

Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones

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Suma y Resta de Funciones

Para obtener la función f + g, resultado de sumar dosfunciones, f y g, sumamos, punto a punto, los valores desus ordenadas. Es decir: h(x) = (f + g)(x) = f (x) + g(x).Similarmente, para obtener la función f − g, resultado derestar dos funciones, f y g,restamos, punto a punto, losvalores de sus ordenadas. Es decir:h(x) = (f − g)(x) = f (x)− g(x).El dominio vive en la intersección de las funciones.

Ejemplo Suma y Resta

Si f (x) = x2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces,Suma:(f + g)(x) = f (x) + g(x) = x2 + 2 + 2x − 1 = x2 + 2x + 1Resta:(f −g)(x) = f (x)−g(x) = (x2 +2)− (2x −1) = x2−2x +3En ambos casos el dominio es todos los reales.

Multiplicación y Cociente de Funciones

Para obtener la función f · g, resultado de multiplicar dosfunciones, f y g, multiplicamos, punto a punto, los valoresde sus ordenadas. Es decir: h(x) = (f · g)(x) = f (x) · g(x).Similarmente, para obtener la función f

g , resultado dedividir dos funciones, f y g, dividimos, punto a punto, losvalores de sus ordenadas. Es decir:h(x) =

)(x) = f (x)

g(x) , siempre que g(x) 6= 0.

El dominio vive en la intersección de las funciones.

)(x) = f (x)

Ejemplo Multiplicación y Cociente

Si f (x) = x2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces,Suma:(f ·g)(x) = f (x)·g(x) = (x2+2)·(2x−1) = 2x2−x2+4x−2y el dominio es todos los reales.

Resta:(

)(x) = f (x)

g(x) = (x2+2)(2x−1) en este caso el dominio es

todos los reales excepto x = 12 .

Resta:(

)(x) = f (x)

Resta:(

)(x) = f (x)

Ejemplo 3

Halle la suma, resta, multiplicación y cociente de las siguientesfunciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio.

a. f (x) = x + 5 y g(x) = 3b. f (x) = x2 y g(x) = 1

Ejemplo 3

Halle la suma, resta, multiplicación y cociente de las siguientesfunciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio.

a. f (x) = x + 5 y g(x) = 3b. f (x) = x2 y g(x) = 1

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Composición

DefinitionDada las funciones f (x) y g(x), la composición de f con g, estádada por (f ◦ g)(x) = f (g(x)) donde g(x) es el dominio de f (x).

DefinitionDada las funciones f (x) y g(x), la composición de g con f , estádada por (g ◦ f )(x) = g(f (x)) donde f (x) es el dominio de g(x).

Composición

DefinitionDada las funciones f (x) y g(x), la composición de f con g, estádada por (f ◦ g)(x) = f (g(x)) donde g(x) es el dominio de f (x).

DefinitionDada las funciones f (x) y g(x), la composición de g con f , estádada por (g ◦ f )(x) = g(f (x)) donde f (x) es el dominio de g(x).

Diagrama Composición

Ejemplo Composición

Si f (x) = x2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces,(f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (2x−1) = (2x−1)2+2 = 4x2+4x+3(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 2) = 2(x2 + 2)− 1 = 2x2 + 3.En ambos casos el dominio es todos los reales.

Ejemplo 4

Halle las composiciones f ◦g, g ◦ f , g ◦g y f ◦ f de las siguientesfunciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio.

a. f (x) = x + 5 y g(x) = 3b. f (x) = x2 y g(x) = 1

Ejemplo 4

Halle las composiciones f ◦g, g ◦ f , g ◦g y f ◦ f de las siguientesfunciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio.

a. f (x) = x + 5 y g(x) = 3b. f (x) = x2 y g(x) = 1

Ejemplo 5

Halle los valores de (f ◦ g)(8) y (g ◦ f )(9), para las funciones:

f (x) =√

x , g(x) = x + 1.

Ejemplo 6

Halle la composición de tres funciones,f (x) = x

x+1 , g(x) = x10, h(x) = x + 3,esto es halle (f ◦ g ◦ h)(x).

Reconociendo Composiciones de Funciones

Dado una función debemos reconocer cuando es unacomposición identificando sus componentes.Por ejemplo en dado F (x) = 1

3x+7 hallar f y g tal queF (x) = (f ◦ g)(x).En este caso f (x) = 1

x y g(x) = 3x + 7.VerificandoF (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (3x + 7) = 1

3x+7 .

Ejemplo 7

Dado las siguientes funciones hallar f y g tal queF (x) = (f ◦ g)(x).

a. F (x) =√

8x + 5b. F (x) = |x2 + 1|c. F (x) = (10x + 1)3

Ejemplo 7

a. F (x) =√

8x + 5b. F (x) = |x2 + 1|c. F (x) = (10x + 1)3

Ejemplo 7

a. F (x) =√

8x + 5b. F (x) = |x2 + 1|c. F (x) = (10x + 1)3

Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión

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Desplazamiento Vertical

Ejemplo de Desplazamiento Vertical

Ejemplo 8

Dibujar las gráficas de:a. f (x) = x2 + 3b. g(x) = x3 − 1c. h(x) = |x |+ 2

Ejemplo 8

Desplazamiento Horizontal

Ejemplo de Desplazamiento Horizontal

Ejemplo 8

Dibujar las gráficas de:a. f (x) = (x + 3)2

b. g(x) = (x − 1)3

c. h(x) = |x + 2|

Ejemplo 8

b. g(x) = (x − 1)3

c. h(x) = |x + 2|

Ejemplo 8

b. g(x) = (x − 1)3

c. h(x) = |x + 2|

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Reflexión de una Función

Ejemplo de Reflexión

Ejemplo 9

Dibujar las gráficas de:a. f (x) = −x2

b. g(x) =√−x

b. h(x) = −√

Ejemplo 9

b. g(x) =√−x

b. h(x) = −√

Ejemplo 9

b. g(x) =√−x

b. h(x) = −√

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